平均11.8点（前年比；－1.4点）
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大問１（小問集合）
（１）
５－３×（－２）
＝５＋６
＝11 【エ】
（２）
４（３ｘ－１）－２（５ｘ－６）
＝12ｘ－４－10ｘ＋12
＝２ｘ＋８ 【イ】
（３）
（√３＋√２）２＋（√３－√２）２
＝５＋２√６＋５－２√６
＝10 【ウ】
（４）
ｘ２＋６ｘ＋５
＝（ｘ＋１）（ｘ＋５）＝０
ｘ＝－１、－５
それぞれを＋３した、ｘ＝２、－２が解になる二次方程式を求める。
（ｘ－２）（ｘ＋２）
＝ｘ２－４＝０ 【ア】
（５）
ｙ＝12/ｘにおいて、
ｘ＝－２のとき、ｙ＝－６
ｘ＝４のとき、ｙ＝３
傾き（変化の割合）＝（ｙの増加量）/（ｘの増加量）
＝｛３－（－６）｝/｛４－（－２）｝
＝３/２ 【エ】
（６）
ｘ－ｙ＝－２ …①
５ｘ－２ｙ＝２ …②
②－①×２をすると、３ｘ＝６
ｘ＝２
①に代入して、ｙ＝４
（ｘ、ｙ）＝（２、４）を代入して成り立つ式はｙ＝ｘ２ 【イ】
（７）
ア：絶対値は数直線上で原点０からの距離。－５の絶対値は５〇
絶対値は縦棒で挟んで示す。❘－５❘＝５
イ：❘－６❘＝６の方が大きい。×
ウ：素数とは１と自身以外の約数をもたない、１より大きい自然数。
素数の平方数は、約数にその素数がはいるので素数ではない。×
素数７の平方数49の約数は〔１・７・49〕
エ：15以下の素数は【２・３・５・７・11・13】の６個〇
オ：√２＝1.41421356…（一夜一夜に人見頃）循環しない無限小数。×
カ：有理数＝整数の分数で表せる数、無理数＝整数の分数で表せない数
循環小数は整数の分数で表せる有理数。×
1000倍して小数点以下をそろえると、137/111になる。
【ア】【エ】
（８）
ア：30人の中央値は15番目と16番目の平均→15～20分の階級。×
イ：最頻値は最もあらわれている値で10～15分の階級に含まれる。平均値の方が大きい。×
ウ：20～25分の相対度数は、６/30＝１/５＝0.2〇
エ：四分位範囲＝第３四分位数（Ｑ3）－第１四分位数（Ｑ1）
Ｑ1は下位15人の真ん中、下から８番目→10～15分
Ｑ3は上位８人の真ん中、上から８番目→20～25分
階級値で計算すると、四分位範囲は22.5－12.5＝10分×
【ウ】
（９）
３√11＝√99
√81＜√99＜√100だから
９＜√99＜10
自然数＝正の整数（０・負の整数を含まない）
√99より小さい自然数は１～９の９個。 【ア】
（10）
Ｅは二等辺ＡＢＣの底辺ＢＣの中点→ＡＥ⊥ＢＣ
90°と共通角×の２角相等で△ＡＣＥ∽△ＢＣＤ
ＢＣ：ＣＤ＝ＡＣ：ＣＥ＝３：１だから、
ＣＤ＝８÷３＝８/３ｃｍ
ＡＤ＝12－８/３＝28/３ｃｍ 【エ】
大問２（小問集合２）
（１）
ア：ａ－ｂ＝自然数
ａ＞ｂだから、（ａ、ｂ）＝（２～６、１）（３～６、２）
（４～６、３）（５～６、４）（６、５）の15通り
イ：ａ－ｂ≠自然数
全体は６×６＝36通り
ア以外だから、36－15＝21通り
（ａ＜ｂとａ＝ｂ→15＋６＝21通り）
ウ：ａとｂの最大公約数が１
公約数（共通する約数）が１しかない→互いに素である。
（１、１～６）（２、３）（２、５）（３、４）（３、５）（４、５）（５、６）
12組のうち、ゾロ目は（１、１）のみ
逆のパターンを含めると、12×２－１＝23通り
エ：ａとｂの最大公約数が２
素因数２を含む→ａとｂは偶数。
条件にあてはまるペアは（２、２）（２、４）（２、６）（４、６）
*最大公約数２から（４、４）（６、６）は含まない点に注意！
逆を含めて、２×４－１＝７通り
オ：ａｂ＝素数
一方が１、他方が素数の組み合わせ。
１は素数ではないので、（１、１）は×！
（１、２）（１、３）（１、５）と逆で６通り
カ：ａｂが３の倍数
少なくとも１回は３か６が出る。余事象で求める。
３の倍数ではない→３・６以外の４つから２回出す。
４×４＝16通り
少なくとも１回は３か６が出るのは、36－16＝20通り
最も起きやすいのは【ウ】
（２）
ＢＣ＋ＣＡが最小。
ｙ軸についてＡと対称なＡ’（－２、４ａ）をつくると、
Ａ’Ｂとｙ軸との交点がＣになる。
ｘ座標の差より、Ａ’Ｃ：ＣＢ＝２：４＝①：②
ｙ座標の差に注目すると、③＝12ａ
①＝４ａだから、Ｃのｙ座標は４ａ＋４ａ＝８ａ＝４
ａ＝１/２
ＯＡの傾きは１
Ｃ→Ｂは右に４、上に４だから傾き１
ＯＡ//ＣＢから台形ＯＡＢＣの二等分線とＢＣとの交点をＤとすると、
上底と下底の関係がＣＤ＝ＯＡ＋ＤＢになればいい。
Ｄのｘ座標は（４＋２）÷２＝３
Ｃから右に３、上に３移動してＤ（３、７）
ＯＥ；ｙ＝７/３ｘ 【オ】
（３）①
３点の動きを整理しておく。Ｒが変。
最初はＲを使わない。４秒後は上図になる。
三角錐Ｆ―ＢＰＱの体積ｙ＝４×４÷２×６÷３＝16 【イ】
②
底面となる△ＰＢＱの変化を追う。
０≦ｘ≦６…底辺と高さがともに伸びるので、面積ｙ＝ａｘ２
ｘ＝６のとき、ｙ＝６×６÷２×６÷３＝36
ｙ＝ａｘ２に（ｘ、ｙ）＝（６、36）を代入して、ｙ＝ｘ２
６≦ｘ≦12…等積変形で一定。
12≦ｘ≦18…面積は減少、ｘ＝18のときｙ＝０
四角錐Ｒ―ＥＦＧＨの高さＲＦの変化を追う。
移動開始時のｘ＝２は、６×６×３÷３＝36
３秒後のｘ＝５で体積０
６秒後のｘ＝11は、ｘ＝２のときの高さ２倍だから、体積２倍で72
以降、６秒ごとに72→０→72→０…を繰り返す。
グラフを描くとこうなる。（縦軸は１マス４）
面積が一致する交点は４ヵ所。 【エ】
大問３（図形）
（１）
ＡＤに補助線。
半円の弧に対する円周角より、∠ＡＤＢ＝90°
△ＡＤＥで外角定理→∠ＥＡＤ＝90－73＝17°
これは弧ＣＤに対する円周角で、∠ＤＯＣはこの中心角にあたるから、
∠ＤＯＣ＝17×２＝34°
（２）①
ＤＦ＝12－３＝９ｃｍ
△ＡＤＦは３：４：５の直角三角形→ＡＦ＝15ｃｍ
②
ＡＦとＢＣを延長して、交点をＧとする。
錯角で∠ＡＧＢ＝●
△ＡＥＧは二等辺三角形である。
●と90°を含む三角形の辺の比が３：４：５であることを利用したい。
Ｅの位置が知りたい。
二等辺の頂角Ｅから降ろした垂線の足Ｈは、底辺ＡＧを２等分する。
ＡＨ＝（15＋５）÷２＝10ｃｍ
△ＡＥＨは３：４：５の直角三角形。
ＥＨ＝10×③/④＝7.5ｃｍ
四角形ＡＥＣＦ＝△ＡＥＧ－△ＦＣＧ
＝20×7.5÷２－３×４÷２＝69ｃｍ２
（３）①
直角二等辺ＡＢＣの１：１：√２→ＡＣ＝６√２ｃｍ
Ｅは正方形の対角線の交点→ＡＥ＝６√２÷２＝３√２ｃｍ
△ＯＡＥで三平方→ＯＥ＝３√２ｃｍ
ＦＥ＝３√２÷２＝３√２/２ｃｍ
②
ＧとＨの位置を特定するために、ＯＧ：ＧＣが知りたい。
右図は右方向から立体をみたとき、手前の頂点をそのまま転写している。
Ｅを通るＢＧに平行な線をひき、ＯＣとの交点をＪとする。
ＢＧ//ＥＪより、ＢＥ：ＥＣ＝ＧＪ：ＪＣ＝１：１
ＦＧ//ＥＪより、ＯＦ：ＦＥ＝ＯＧ：ＧＪ＝１：１
ＯＧ：ＧＣ＝１：２
四角形ＡＢＧＨは左右対称の等脚台形。
左図の△ＯＧＨ∽△ＯＣＤより、ＨＧ＝６×①/③＝２ｃｍ
右図でＧの真下をＫとする。
△ＯＥＣ∽△ＧＫＣより、ＧＫ＝３√２×②/③＝２√２ｃｍ
ＥＫ：ＫＣ＝１：２だから、ＥＫ＝１ｃｍ→ＢＫ＝４ｃｍ
△ＢＫＧで三平方→ＢＧ＝２√６ｃｍ
立体図ではこれが台形の高さにあたるから、（２+６）×２√６÷２＝８√６ｃｍ２
講評
大問１
配点率45.5％
（４）手順をつかもう。
因数分解で解を求める→それぞれの解を＋３→因数分解の形から二次方程式。
（６）ｙ＝…の形にせず、そのまま連立方程式で代数的に解く。
（７）６択から２つを選ぶ。
ウ：素数×素数は、もはや素数ではない。
ｵｶ：循環小数は有理数、循環しない無限小数は無理数。
√２、√３、π、黄金比φは循環しない無限小数。
できれば、分数に直す方法もおさえておきたい。
（９）３√11は数直線でどの整数に挟まれるか。ａ√ｂを変形する。
（10）90°＋共通角の∽を経由する。
大問２
（１）2024年愛知大問２に類題はあるが、今年の方が難しい。
判定事項が６つもあるので、後回しでもいい。
『そうなるということは、つまりどういうことか』という視点が整数問題ではとくに大切。
ウ：最小公倍数や最大公約数は小学生で習うが、拒絶反応を示す子がいる。
エ：最大公約数２→素因数２を含むから偶数。最大公約数を４・６にしないこと。
オ：１×素数の組み合わせしかない。2025年鹿児島大問２（１）に類題。
（２）昨年度の尖った関数は正答者が少なかったか。
最短距離→線対称でａを求める。座標の差からＣのｙ座標をａで示す。
後半は二等分線の式。傾き１の平行で上底＋下底が使える。
具体的に面積を求めたり、等積変形でも解ける。四角形ＯＡＢＣと△ＡＡ’Ｂは等積である。
（３）①３点の動きはバラバラだが、最初は厄介なＲがないので取っておきたい。
②底面の変化と高さの変化を丁寧に調べていく。
（１）の代わりに、ここで時間を費やす作戦も良い。
大問３
（１）∠ＤＯＣは見た目が円周角。
円外にある73°と弧ＣＤに対する円周角がつながるような補助線を入れる。
半円の弧に対する円周角もよぎらせたい。
（２）②発想を含むが、角度の演習問題に出てくる構図である。
３：４：５の有効活用には、●と90°を内角とする三角形をつくる。
Ｅの情報が不明なので、ＥからＡＦ方向に垂線を伸ばせば、３：４：５の三角形が得られる。
二等分線の条件は等角の錯角降ろし→二等辺の作出に用いるが、これを正方形の外側で行う。
二等辺と垂線がマッチすれば、計算処理の方針が見いだせる。
（３）②これもハイレベル向けの問題集で見かける、正四角錐の斜め切断。
ＯＧ：ＧＣは側面方向から分析し、Ｅが中点にあることを利用して平行線をひく。
もしくはＢＧを延長して右上に三角形をつくり、砂時計相似でも１：２がでる。
求めたいのは体積ではなく断面積。台形の高さも側面から見て三平方する。
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