平均50.8点（前年比；＋0.7点）
大問１（小問集合）
（１） 97.0％
（－２）＋６
＝４
（２） 92.3％
３/４×（－２/９）
＝－１/６
（３） 76.2％
√45＋10/√５
＝３√５＋２√５
＝５√５
（４） 72.3％
ｘ２－５ｘ－36
＝（ｘ＋４）（ｘ－９）＝０
ｘ＝－４、９
（５） 58.4％
ｙ＝ａｘ２に（ｘ、ｙ）＝（－３、27）を代入。
27＝９ａ
ａ＝３
ｙ＝３ｘ２
（６） 54.3％
少なくとも１本当たり＝全体－２本ともハズレ（余事象）
２本同時を１本ずつ引いたものとする。
４本から２本あるハズレの１本を引き当て、残り３本からハズレ１本を引き当てる。
２本ともハズレは、２/４×１/３＝１/６
少なくとも１本当たりは、１－１/６＝５/６
（７） 26.9％！
●平面の決定●
①同一直線上にない３点を含む平面
②１つの直線と別の１点を含む平面
③交わる２直線を含む平面
④平行な２直線を含む平面
異なる２点（それを通過する１直線）を含む平面は、
クルクル回せるので決定できない。
ア
（８）①…82.7％、②…33.5％、③…32.8％！、④…27.4％！
1.7２＝2.89、1.8２＝3.24
1.7＝√2.89、1.8＝√3.24
√2.89＜√３＜√3.24
1.7＜√３＜1.8
√３は1.70…より大きく、1.80…より小さい。
√３の小数第１位は７
①…2.89、②…1.7、③…1.8、④…７
大問２（方程式）
（１） 96.0％
３×５＋２×３＝21点
（２） 71.6％
答案では求める過程も書く。
表がｘ回、裏がｙ回。
投げた回数の合計で立式。
ｘ＋ｙ＝８ …①
合計得点で立式。
３ｘ＋２ｙ＝18 …②
②－①×２をすると、ｘ＝２
①に代入、ｙ＝８－２＝６
表…２回、裏…６回
（３）① 51.6％
解答例:ｘとｙの値が０から８までの整数ではないから。
*最大８回。回数なので負の数はない。
② 16.8％！
ｘは０～８の整数→９通り
③ 16.8％！
裏の点数をａとする。
ｘ＋ｙ＝８ …①
３ｘ＋ａｙ＝30 …②
①より、ｘ＝８－ｙ
これを②に代入して、３（８－ｙ）＋ａｙ＝30
ａｙ－３ｙ＝６ ←ｙでくくる
ｙ（ａ－３）＝６
ａ－３＝０、すなわち、ａ＝３だと０＝６となって式が成り立たない。
ａ－３≠０（ａ≠３）
ｙ（ａ－３）＝６ ←÷(ａ－３)、ａ≠３
ｙ＝６/（ａ－３）
左辺のｙが整数だから、右辺の６/（ａ－３）も整数。
６は（ａ－３）で割り切れる→ａ－３は６の約数である。
ａ－３＝１、２、３、６
ａ＝４、５、６、９（ａ≠３の条件適合）
大問３（データの活用）
（１） 93.6％
表をみてもいいが、範囲＝最大値－最小値だから、
最小値＝最大値－範囲＝137－56＝81ｇ
（２） 75.4％
60個の中央値は30番目と31番目の平均。
110～120ｇの階級に含まれる。
ウ
（３）① 45.1％
106、104、126、81、112の平均を求める。
仮の平均を100とすると、
（６＋４＋26－19＋12）÷５
＝29÷５＝5.8ｇ
実際の平均は、100＋5.8＝105.8ｇ
② 13.0％！
解答例:（標本の大きさが大きくなるにつれて、）
標本の平均値のばらつきが小さくなり、母集団の平均値に近づいていく。
*箱ひげ図をみると、範囲と四分位範囲（箱の部分）が小さくなっている。
四分位範囲（＝第３四分位数－第１四分位数）は中央に集まる約半数のデータのばらつきで、
範囲と四分位範囲の縮小は、ばらつきの縮小を示す。
標本の大きさを大きくすると、より多くのデータを取り入れることになるので、
極端なデータ（外れ値）の影響が弱まってばらつきが小さくなり、
標本の平均値は母集団の平均値109.5ｇに収束していく。
＠余談＠
母集団の平均＝母平均
標本の平均＝標本平均
標本の大きさを大きくすると、標本平均は母平均に近づきます。確率の単元に出てくる大数の法則です。
標本平均のばらつきを標準誤差といい、標準誤差は標本の大きさｎの平方根に反比例します。
（標本の大きさを４倍にすると、標準誤差は半分に減る）
標準誤差を使うと、母平均がだいたいどのあたりにあるかを示す信頼区間を求めることできます。
詳しくは高校の数学Ｂで習います。
大問４（平面図形）
（１） 52.0％
∠Ａの二等分線の作図法。
∠Ａは辺ＡＢ、ＡＣのあいだの角。
ＡＢ、ＡＣ上にある点をＰ、Ｑとする。
ア・エ
（２）あ…63.0％、い…65.7％、う…4.4％!!
角の二等分線の定理の証明。
ＡＤ//ＥＣの同位角で、∠ＢＡＤ＝∠ＡＥＣ
錯角で、∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ
∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ
あ…ＡＥＣ、い…ＡＣＥ
う 4.4％!!
２つの底角が等しいので、△ＡＣＥは二等辺三角形。
ＡＣ＝ＡＥ
ＡＤ//ＥＣより、ＢＡ：ＡＥ＝ＢＤ：ＤＣ
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ
（３）① 20.0%!
△ＡＢＣの辺の比は３：４：５→ＢＣ＝５ｃｍ
角の二等分線の定理より、ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ＝④：③
ＢＤ＝５×④/⑦＝20/７ｃｍ
② 7.3％!!
ＤＣ＝５－20/７＝15/７ｃｍ
角の二等分線の定理より、ＣＡ：ＣＤ＝ＡＧ：ＧＤ＝３：15/７＝７：５
③ 9.9％!!
方針【△ＡＢＣ→△ＡＤＣ→△ＡＧＣ】
４×３÷２×③/⑦×⑦/⑫＝３/２ｃｍ２
大問５（関数）
（１） 28.8％
ｙ＝12/ｘを通る格子点の個数を求める。
ｘｙ＝12
（１、12）（２、６）（３、４）（４、３）（６、２）（12、１）
（－１、－12）といった負のパターンを含めて12個
（２） 49.3％
ｙ＝12/ｘにｘの値を代入して座標を確定する。
Ａ（－４、－３）→Ｂ（２、６）
右に６、上に９だから、傾きは９/６＝３/２
Ｂから左に２、下に３移動して、切片は６－３＝３
ｙ＝３/２ｘ＋３
（３）① 17.1％！
Ｂを通るＡＯに平行な線をひくと、ｘ軸との交点がＰになる。
（ＡＯ//ＰＢの等積変形で、△ＡＯＢ＝△ＡＯＰ）
Ａ→Ｏは右に４、上に３だから、傾きは３/４
Ｂから下に６、左に８移動して、Ｐのｘ座標は２－８＝－６
Ｐ（－６、０）
② 3.8％!!
立体アは底面の半径３、高さ合計６の円錐。
３×３×π×６÷３＝18π
ＰＡを延長、ｙ軸との交点をＱとする。
ＰＱ：ＡＱ＝６：４＝③：②
体積比は相似比の３乗。
小さい円錐(母線AQ)：大きい円錐(母線PQ)＝②３：③３＝⑧：㉗
中の空洞の円錐は、体積比⑧の円錐と底面が共通。
高さの比が体積比になるから、⑧÷２＝④
立体イの体積比は、㉗－（⑧＋④）＝⑮
大きい円錐は底面の半径６、高さ９だから、
立体イの体積は、６×６×π×９÷３×⑮/㉗＝60π
立体ア：立体イ＝18π：60π＝３：10
＠余談＠
ザ・お受験テクニックですが…、
【パップス・ギュルダンの定理；回転体の体積＝断面積×重心の移動距離】
三角形の重心Ｇの座標は、三角形の頂点座標の平均で求まる。
原点Ｏ、Ａ（－４、－３）Ｐ（－６、０）
Ｇのｘ座標…｛０＋（－４）＋（－６）｝÷３＝－10/３
Ｇのｙ座標…｛０＋（－３）＋０｝÷３＝－１
Ｇ（－10/３、－１）
立体アと立体イの断面積は、△ＡＯＰで共通。
体積比は重心Ｇの移動距離の比に相当する。
それぞれの重心Ｇの移動距離は、立体アが半径１の円周、立体イは半径10/３の円周。
半径の比＝直径の比＝円周の長さの比＝体積比だから、
立体ア：立体イ＝１：10/３＝３：10
講評
大問１
（７）平面の決定は中１で習う。
出題数がやや少なく、おろそかになりがちな場所なので注意！
2022年山形大問１（４）、2021年山形大問１（５）では平面と直線の位置関係を問う。
（８）2025年香川大問１（７）に類題がある。数を無理数にそろえる。
大問２
（３）①②文字が示すものに立ち返る。
③やりづらさがある。
投げる回数は８回、表の点数は３点、合計点数は30点
裏の点数をａとし、立式してから方針を立てる。
３ｘ＋ａｙ＝30
３ｘと30が３の倍数だから、ａｙは３の倍数。
しかし、裏の点数ａは自然数以外に特別な条件がなく、手が詰まる。
ｘ＋ｙ＝８を使って、代入法からｘかｙを消す。
このとき、係数にａをもたないｘを消す。
ｙ＝８－ｘを代入すると、３ｘ＋８ａ－ａｘ＝30、厄介な８ａが残ってしまう。
ｘ＝８－ｙを代入すると、ａｙ－３ｙ＝６となり、
左辺をｙでくくれば、ｙについて解くことができる。
０では割れないので、ａ≠３の条件を確認しておくこと。
式を解釈すると、ａは（６の約数＋３）になる。
式の変形が難しい場合は、（ｘ,ｙ）の９通りの組み合わせを調べる。
大問３
（１）表で調べる人はいたはず。（３）①までは取りたい。
（３）②問われているのは、『標本の平均値と母集団の平均値』の関係性。
標本の大きさを大きくしていくと、何がどう変化していくか。
母集団の平均値は109.5ｇで固定。変わっていくのは標本の平均値。
範囲も四分位範囲もデータのばらつきを示す。
これが小さくなっている＝ばらつきが小さくなっている。
標本の平均値はどこに向かうのか。箱ひげ図に109.5ｇの線を入れてみよう。
大問４
（２）角の二等分線の定理。
中学では発展事項として扱われるが、上位層はおぼえておこう。
導出もできるようにしたい。外側に平行線→二等辺→比の流れ。
（３）小問の誘導がきいている。
等角を変えて、角の二等分線の定理を適用する。
大問５
（１）反比例の格子点の問題は、全国的に正答率が良くない。
（３）①ＰはＯの左側にある。
△ＡＯＢ＝△ＡＯＰはＡＯが共通する。Ｂ→Ｐに移動させる平行線をひく。
②この回転体は他県でもでてくるが、２つを求める。
テクニックと処理能力が要求された。
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