平均20.5点（前年比；－5.5点）
問題はこちら→東進ハイスクールさん（解答）
大問１（小問集合）－64.2％
（１）① 98.2％
４＋（－６）
＝４－６
＝－２
② 91.2％
２×（－３）２
＝２×９
＝18
③ 74.4％
18ａ３ｂ２÷（－６ａｂ）×２ａ
＝－６ａ３ｂ
④ 77.7％
（ｘ－４）２－４（ｘ＋２）
＝ｘ２－８ｘ＋16－４ｘ－８
＝ｘ２－12ｘ＋８
（２） 71.3％
ｘ２－６ｘ＋４＝０
解の公式を適用して、ｘ＝３±√５
（３） 59.3％
ｘ２＋３ｘ－10
＝（ｘ－２）（ｘ＋５） ←代入
＝（√３＋２－２）（√３＋２＋５）
＝√３（√３＋７）
＝３＋７√３
（４） 66.4％
ア：ｙ＝ｘ３
イ：ｙ＝５πｘ２（ｙ＝ａｘ２、ａ＝５π）
ウ：ｙ＝180－90－ｘ＝－ｘ＋90
エ：ｙ＝80ｘ
イ
（５） 84.5％
72°を錯角で下ろす。
青線で外角定理→ｘ＝131－72＝59°
（６） 30.5％！
ア：35人の中央値は18番目の値。160～180ｃｍの階級に含まれる。×
イ：190ｃｍが０人の可能性もある。×
ウ：階級の幅は20ｃｍ×
エ：最頻値は最も現れている値で、140～160ｃｍの階級値である150ｃｍ〇
オ：累積相対度数は、その階級までの相対度数の和。
140ｃｍ未満の累積相対度数は、（１＋６)÷35＝７/35＝１/５＝0.20〇
エ・オ
（*誤答例はイエオ）
（７） 63.3％
ａ/ｂが整数になる→ａ÷ｂが割り切れる→ｂはａの約数
ａで場合分け。
ａ＝１→ｂ＝１
ａ＝２→ｂ＝２・１
ａ＝３→ｂ＝３・１
ａ＝４→ｂ＝４・２・１
ａ＝５→ｂ＝５・１
ａ＝６→ｂ＝６・３・２・１
計14通り
全体は６×６＝36通りだから、確率は14/36＝７/18
（８） 42.8％
ＡＰ＝ＣＰ→ＰはＡ・Ｃから等距離にある→ＰはＡＣの垂直二等分線上にある。
具体的な角が与えられたので、適当なＰを描いて角度を調査する。
△ＡＰＣは二等辺→∠ＰＡＣ＝∠ＰＣＡ＝（180－110）÷２＝35°
70÷２＝35°だから、∠ＡＣＢの二等分線上にＰがある。
①ＡＣの垂直二等分線
②∠ＡＣＢの二等分線、交点がＰ
（*誤答例…角の二等分線か垂直二等分線の一方のみ作図）
大問２（平面図形）－23.8％
（１）①あ…65.2％、い…67.9％
Ｍの下をＮとする。
半径ＯＢ＝ＯＮ＝ｒ
ＭはＯＮの中点→ＯＭ＝１/２ｒ
△ＢＯＭは辺の比が１：２：√３の直角三角形だから、∠ＢＯＭ＝60°
対称性から∠ＡＯＢ＝60×２＝120°、中心角120°が３つなので円が３等分される。
あ…１/２、い…60
② 3.9％!!
３つのエリアが等積。それぞれの面積を①とすると、
面積比は△ＡＤＥ：△ＡＦＧ：△ＡＢＣ＝①：②：③
相似比はＡＤ：ＡＦ：ＡＢ＝１：√２：√３
ＡＤ＝１、ＦＢ＝√３－√２だから、√３－√２倍
（*誤答例…１/２）
（２）①う…61.2％、え…31.2％！
長方形ＡＢＣＤの縦ＡＢ＝９ｃｍ、横ＢＣ＝12ｃｍ
周の長さは、２×（９＋12）＝42ｃｍ
これを３等分して、ＥＣ＋ＣＦ＝42÷３＝14ｃｍ（う）
四角形ＰＥＣＦの面積は長方形の１/３だから、12×９÷３＝36ｃｍ２
台形ＰＥＣＦの上底ＰＥ＝36×２÷６－８＝４ｃｍ（え）
う…14、え…４
（*えの誤答例…4.5）
② 0.2％!!!
ＢＨ＝４ｃｍ
反時計回りに長さを書いていく。
Ｈ～Ｉ、Ｉ～Ｊ、Ｊ～Ｈは前問（う）の14ｃｍ
ＡＱ、ＢＱ、ＣＱ、ＤＱに補助線。
△ＱＢＨと△ＱＨＣは高さ共通だから、底辺の比が面積比にあたる。
△ＱＢＨ：△ＱＨＣ＝１：２
同様に、△ＱＡＪ：△ＱＪＤ＝１：11
△ＱＩＤ：△ＱＣＩ＝１：２
１：２が２ヵ所あることに着目する。
△ＱＨＣを３/２倍すると△ＱＢＣ
△ＱＣＩを３/２倍すると△ＱＣＤ
長方形の１/３である四角形ＱＨＣＩを３/２倍すると、
△ＱＢＣ＋△ＱＣＤ＝四角形ＢＣＤＱ＝１/３×３/２＝１/２
一方で、△ＢＣＤは対角線ＢＤより長方形の１/２で等積。
→Ｑは対角線ＢＤ上にある。
△ＱＡＤ＋△ＱＢＣは右図のように等積変形すると長方形の１/２→△ＢＣＤと等積。
重複部分である△ＱＢＣを除くと、△ＱＡＤ＝△ＱＣＤ
12＝３
灰色を４倍して赤に統一する。
四角形ＱＩＤＪ＝四角形ＱＨＣＩ＝15だから、△ＱＨＣ＝15－８＝７
△ＱＢＨ＝７÷２＝3.5
底辺共通→高さの比は面積比に相当する。
△ＱＡＤ：△ＱＢＣ＝12：10.5＝⑧：⑦
９×⑦/⑮＝21/５ｃｍ
（*誤答例…4.5）
大問３（関数）－38.9％
（１） 85.2％
ｙ＝18/ｘにｘ＝－９を代入。
ｙ＝18÷（－９）＝－２
（２） 17.4％！
Ａ（３、６）Ｂ（９、２）
ＡＰ＋ＰＢが最短→線対称を使って直線ＡＢにする。
ｘ軸についてＢを対称移動させたＢ’（９、－２）とＡを結ぶと、
ｘ軸との交点がＰになる。
赤線は３：４：５の直角三角形。
ＡＢ’＝ＡＰ＋ＢＰ＝10
（*誤答例…12）
（３） 58.5％
ア：Ｑのｘ座標が大きくなると、ｙ座標は小さくなる。×
ＱとＲの移動先をＱ’、Ｒ’とする。
エ：ＱＲの長さは小さくなる。×
イ：反比例の比例定数ａは積ｘｙで一定。
長方形の縦はＱのｙ座標、横はＱのｘ座標だから、長方形の面積はｘｙ＝ａで一定。
その半分にあたる△ＯＱＲの面積も一定。×
ウ：ＱＡの傾きは急になり、大きくなる。〇
ウ
（*誤答例…イ）
（４） 2.7％!!
ＡＣは原点Ｏを通る→反比例上のＣはＡと原点対称。
Ｃ（－３、－６）→Ｂ（９、２）
右に12、上に８だから、傾きは８/12＝２/３
ＢＣとｙ軸との交点をＤとすると、
Ｃから右に３、上に２移動して、Ｄ（０、－４）
ＡＤに補助線。
ＣＤ：ＤＢ＝△ＡＣＤ：△ＡＤＢ＝３：９＝①：③
△ＡＣＢ＝④だから、②ずつに分ければいい。
Ｄを通る△ＡＣＢの２等分線はＡＢと交わる。
交点をＥとすると、△ＤＥＢ＝②だから、△ＤＡＥ＝①
ＡＥ：ＥＢ＝△ＤＡＥ：△ＤＥＢ＝①：②
ＡとＢのｘ座標の差は６、ｙ座標の差は４
Ｅのｘ座標…３＋６×①/③＝５
Ｅのｙ座標…６－４×①/③＝14/３
Ｄ（０、－４）→Ｅ（５、14/３）
傾きは、｛14/３－（－４）｝÷５＝26/３÷５＝26/15
切片はＤのｙ座標だから、ｙ＝26/15ｘ－４
（*誤答例…ｙ＝２ｘ－４）
大問４（平面図形２）－15.9％
（１） 36.4％
△ＡＢＥ∽△ＡＣＢの証明。
共通角より、∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＢ
二等辺ＡＢＤの底角＋弧ＡＢに対する円周角で、∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＢ
２角相等より△ＡＢＥ∽△ＡＣＢ
（２） 30.2％！
∠ＡＥＢ＝180－ａ°
前問の相似の対応する角で、∠ＡＢＣ＝180－ａ°
四角形ＡＢＣＤは円に内接する四角形で、内角はその対角の外角に等しい。
∠ＡＤＦ＝180－ａ°
（*誤答例…90－ａ）
（３）① 1.6％!!
２組の等辺と前問の∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＦより、
２辺とあいだの角が等しく、△ＡＢＣ≡△ＡＤＦ
△ＡＣＦ＝△ＡＣＤ＋△ＡＤＦ＝△ＡＣＤ＋△ＡＢＣ＝四角形ＡＢＣＤ
四角形ＡＢＣＤの面積を求めればいい。
角度を調べる。
∠ＡＢＤ＝●とする。
弧ＡＤに対する円周角で、∠ＡＣＤ＝●
前問相似の対応する角＋ＡＤ//ＢＣの錯角で、∠ＣＡＤ＝●
△ＡＣＤは二等辺だから、ＣＤ＝８ｃｍ
四角形ＡＢＣＤは等脚台形である。
６ｃｍを下におろし、左右対称ゆえ両端は１ｃｍ
三平方より、等脚台形の高さは３√７ｃｍ
四角形ＡＢＣＤ（△ＡＣＦ）の面積は、（６＋８）×３√７÷２＝21√７ｃｍ２
（＊誤答例…56）
② 0.3％!!!
半径ｒを作図する。
中心Ｏから、どの円周上の点に半径を伸ばすべきか。
直角がないと三平方の定理が使えない。
△ＡＢＤが二等辺であることに着目して、Ａからおろした垂線の足をＨとする。
半径ＡＯ＝ＯＤ＝ｒ
こうすれば三平方が使えそう。どこかの長さが知りたい。
等脚台形ＡＢＣＤの対角線は等しい。
ＢＤ＝ＡＣ＝ｘとする。
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＦ、∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＦの２角相等より、△ＡＢＤ∽△ＡＣＦ
８：ｘ＝ｘ：14
内項と外項の積から、ｘ２＝112
ｘ＝４√７ｃｍ
ＨはＢＤの中点→４√７÷２＝２√７ｃｍ
△ＡＨＤで三平方→ＡＨ＝６ｃｍ
ＯＤ＝ｒ、ＯＨ＝６－ｒ
△ＯＤＨで三平方。
（６－ｒ）２＋（２√７）２＝ｒ２
36－12ｒ＋ｒ２＋28＝ｒ２
12ｒ＝64
ｒ＝16/３ｃｍ
（*誤答例…５）
＠別解＠
ＢＤの算出についてです。
円に内接する四角形の性質にトレミーの定理というものがあります。
ＡＢ×ＣＤ＋ＢＣ×ＡＤ＝ＡＣ×ＢＤ
等脚台形の対角線より、ＡＣ＝ＢＤなので、
ＢＤ２＝８×８＋６×８＝112
ＢＤ＝４√７ｃｍと求まります。
＠別解２＠
△ＡＣＤ：△ＡＤＦ＝ＣＤ：ＤＦ＝４：３
合同で、△ＡＢＣ＝３
△ＡＢＣと△ＡＣＤはＡＣで底辺共通→面積比は高さの比に相当する。
ＢＥ：ＥＤ＝③：④
ＨはＢＤの中点→ＢＨ＝⑦÷２＝〇3.5
ＥＨ＝〇3.5－③＝〇0.5
等脚台形ＡＢＣＤの対称性からＥＤ＝ＥＡ＝④
ＥＡ：ＥＨ＝４：0.5＝⑧：①
二等辺ＡＥＤの底角（●×）－二等辺ＡＯＤの底角（×）から、
∠ＥＡＨ＝∠ＯＤＨ（●）
２角相等より、△ＥＡＨ∽△ＯＤＨ
対応する辺の比で、ＥＡ：ＥＨ＝ＯＤ：ＯＨ＝８：１
△ＯＤＨの辺の比で三平方→ＨＤ＝３√７
△ＡＤＨの辺の比で三平方→ＡＤ＝12
半径ＡＯ＝８×８/12＝16/３ｃｍ
講評
大問１
配点率38％
（７）ｂはａの約数だからａで整理する。分子ａ≧分母ｂ
（８）良い問題。具体的な角がきたら、適当な点を描いて角度調査。
△ＡＰＣが二等辺であることがポイント。どちらの底角が使えるか。
大問２
テーマは面積と周の長さを等分する。
（１）①角度の情報がない条件で、∠ＢＯＭの大きさを求めよということは、
どこかに有名三角形が潜んでいる。
②相似はわかりやすいが、比の処理を丁寧におこなえるか。
（２）①う…長方形の周の長さの１/３、え…長方形の面積の１/３を用いる。
②難しかった。独特な解法で申し訳ない。
本来は求めたい長さに文字を置き、四角形の面積で方程式を立てる。
前図のように四角形を三角形に分割して、Ｑ―ＣＤ間の距離をｙとして連立を組む。
面積比１/３を３/２倍すると、ちょうど１/２になることから、
Ｑは対角線上に位置するとわかったので、これをどうしても取り入れたかった…。
長方形の半分同士から共通部分を除くと、底辺が横と縦の三角形が等積とわかる。
時計回りに面積比を確定。縦９ｃｍを△ＱＡＤ：△ＱＢＣの面積比で案分すればいい。
大問３
（３）すべて選べではないので、ウと選びやすい。
（４）まず、ＢＣとｙ軸の交点座標が必要。
Ｄを通るＡＤでいったん区切ってみると、△ＡＣＢ全体の面積比も表せるので、
ＡＤより右側で１：２に分ければいいとわかる。
大問４
（２）円に内接する四角形の性質は、公立高校入試の対策でもおさえておきたい。
（３）①６ｃｍ、８ｃｍの等辺の位置から、２辺とあいだの角をすぐ疑う。
合同より、円からはみ出る△ＡＤＦを△ＡＢＣに移して円内に収める。
等角を記してＣＤ＝８ｃｍ、等脚台形は公立入試によく出てくる。
②二等辺ＡＢＤの頂角Ａから下ろした垂線上に円の中心がある。
ここから二等辺の垂線と半径を用いた三平方の構図を作ってみる。
ＨＤ＝２√７ｃｍ、残りの２辺はｒで表せるので方程式に持ち込める。
