問題はこちら→東進ハイスクールさん（解答）
大問１（小問集合）
（１） 98.5％
２×（－７）
＝－14
（２） 77.2％
３ａ３ｂ２÷ａｂ２/２
＝６ａ２
（３） 90.9％
５√７－√28
＝５√７－２√７
＝３√７
（４） 75.7％
ｘ２－９ｘ＋８
＝（ｘ－１）（ｘ－８）＝０
ｘ＝１、８
（５） 74.7％
反比例の比例定数ａは積ｘｙ
□＝１×（－６）÷４＝－３/２
（６） 77.8％
平行線と線分の比。
ｘ：５＝４：９
ｘ＝５×４/９＝20/９
（７） 57.3％
弧ＡＢに対する円周角で、∠ＡＣＢ＝62÷２＝31°
左の三角形の内角から、ｘ＝180－（31＋93）＝56°
（８） 53.9％
逆…仮定と結論をひっくり返したもの。逆は必ずしも正しいとは限らない。
反例…成り立たない例。
ｘ＋ｙ＝３が成り立ち、（ｘ、ｙ）＝（１、２）以外の整数のペアを挙げればいい。
解答例；ｘ＝－５、ｙ＝８
大問２（小問集合２）
（１） 61.8％
有理数…整数の分数で表せる数
無理数…整数の分数で表せない数
ア：１/８（有）
イ：√５（無；2.2360679…循環しない無限小数）
ウ：√16＝４＝４/１（有）
エ：３√２は無理数√２を３倍した数（無）
イ・エ
（２）① 41.4％（部分正答含む64.0％）
答案では連立方程式をつくり、途中の計算も書く。
手順通りとなる式を立てる。
２（ｘ＋３）－９＝ｙ
ｙ＝２ｘ－３ …①
２（ｙ－９）＋３＝ｘ
ｘ＝２ｙ－15 …②
文字について解いたので、代入法を用いる。
①を②に代入して、
ｘ＝２（２ｘ－３）－15
３ｘ＝21
ｘ＝７
これを①に代入、ｙ＝２×７－３＝11
ｘ＝７、ｙ＝11
② 17.3％！（部分正答含む57.2％）
初めの数をｎとすると、
計算Ｃ…（ｎ＋３）２－９＝ｎ２＋６ｎ＋９－９＝ｎ２＋６ｎ
計算Ｄ…（ｎ－９）２＋３＝ｎ２－18ｎ＋81＋３＝ｎ２－18ｎ＋84
12の倍数と証明したいので、最終的に12でくくる形にもっていく。
計算Ｃ－計算Ｄ
＝（ｎ２＋６ｎ）－（ｎ２－18ｎ＋84）
＝24ｎ－84
＝12（２ｎ－７）
２ｎ－７は整数だから、12（２ｎ－７）は12の倍数である。
大問３（図形）
（１） 58.4％
ＡＰ＝ＣＰ→ＰはＡとＣから等距離にある→ＡＣの垂直二等分線
これとＢＣとの交点がＰ
（２）① 71.4％
３×３×π×５÷３＝15πｃｍ３
② 15.4％！
青線の円は、円錐の底面の円周３倍。
３×２×π×３＝18πｃｍ
青線の円の半径は、18π÷π÷２＝９ｃｍ
これが円錐の母線にあたる。
辺の比で三平方→ｈ＝〇２√２
ｈ＝３×〇２√２＝６√２ｃｍ
（３）13.6％！（部分正答含む70.4％）
２つの円の直径は等しい。ＢＤ＝ＡＣ
半円の弧に対する円周角より、∠ＤＡＢ＝∠ＣＢＡ＝90°
共通辺ＡＢ
斜辺と他の１辺が等しい直角三角形だから、△ＡＤＢ≡△ＢＣＡ
合同の対応する辺から、ＡＤ＝ＢＣ
（Ⅱ）２組の対辺がそれぞれ等しいから、四角形ＡＤＢＣは平行四辺形である。
大問４（小問集合３）
（１） 61.7％
標本80匹のうち、標本全部：印付き＝80：６＝㊵：③
印付きは全部で90匹だから、90×㊵/③＝1200匹
（２）① 65.4％
ルールを簡単に記すと、
●同色→大きい方
●異色→白玉
２つの箱にはそれぞれ異色の玉がある。
異色であれば白玉が得点になるので、白玉は全部ありうる。
ありえないのは、赤で同色になったときの小さい方の７点。
② 39.5％
色だけに注目する。
赤玉と白玉しかないので、結果は赤の数字か白の数字しかない。
赤の数字となる確率をｐとすると、余事象で白の数字は１－ｐ
イ
③ 14.9％！（部分正答含む62.4％）
答案では確率を求めて説明する。
全体は４×４＝16通り
それぞれの確率を求める。
●４点
（１、４）（３、４）（７、４）→確率３/16
●５点
（５、２）（５、４）（５、８）→確率３/16
●６点
（１、６）（３、６）（５、６）（７、６）→確率１/４
３/16＜１/４だから、最も得点となりやすいのは６点で正しい。
（３）① 62.7％（部分正答含む94.1％）
【1】四分位範囲＝第３四分位数（Ｑ3）－第１四分位数（Ｑ1）
箱の長さで表される。那須高原の方が大田原より小さい。×
【2】奥日光は最小値、Ｑ1、Ｑ2（中央値）、Ｑ3、最大値がいずれも最も小さい。〇
【3】平均値を×印などで示す箱ひげ図もあるが、本問はわからない。△
【1】…イ、【2】…ア、【3】…ウ
② 38.4％
宇都宮の最小値…３℃、Ｑ1…９℃、Q2…16℃弱、Q3…24℃、最大値…28℃強
最小値からア除外。
最大値からウ除外。
残りのイ・エは真ん中らへんが異なりそう。
12個のQ2は６番目と７番目の平均。
イは６番目も７番目も16～18℃の階級に含まれる→Q2は16℃以上で不適。
エの６番目…14～16℃、７番目…16～18℃
Q2が16℃弱になりうるのはエ
大問５（関数）
（１） 46.2％（部分正答含む86.3％）
自動車の速さｘが２倍、３倍になると、
制動距離ｙは４倍、９倍になる。
ｙ＝ａｘ２に（ｘ、ｙ）＝（20、３）を代入。
３＝400ａ
ａ＝３/400
ｙ＝３/400ｘ２にｘ＝100を代入。
ｙ＝３/400×10000＝75
①…４、②…９、③…75
（２）① 67.3％
ｙ＝ａｘ２にＢ（２、１）を代入。
１＝４ａ
ａ＝１/４
② 14.6％！（部分正答含む39.2％）
答案では直線ℓの式をつくり、途中の計算も書く。
Ｂ（２、１）→Ｃ（４、４）
Ｂから右に２、上に３だから、ＢＣの傾きは３/２
ｙ＝３/２ｘ＋ｂにＡ（－６、９）を代入して、
９＝３/２×（－６）＋ｂ
ｂ＝18
直線ℓの式はｙ＝３/２ｘ＋18
これにｙ＝０を代入して、
０＝３/２ｘ＋18
ｘ＝－12
Ｄのｘ座標は－12
（３）① 44.6％
ｙ＝１/２ｘ＋１について、
ｘ＝－１のとき、最小値ｙ＝１/２
ｘ＝６のとき、最大値ｙ＝４
１/２≦ｙ≦４
② 23.1％！
∠ＰＯＱ＝45°→△ＰＯＱは直角二等辺
ＯＱ＝ＰＱ＝ｔより、Ｐ（ｔ、ｔ）
Ｐはｙ＝１/２ｘ＋１上の点でもあるので、
Ｐ（ｔ、１/２ｔ＋１）とも表せる。
Ｐのｙ座標で立式。
ｔ＝１/２ｔ＋１
ｔ＝２
Ｐ（２、２）
③ 0.6％!!!（部分正答含む7.0％）
格子点の個数を数える。
ＯＱは原点Ｏを含めてｔ＋１個。
ＡＰ上は傾き１/２から、ｔが偶数になるときに＋１される。
ｔは正の整数だが、ｘ＝０から数えるとこのような規則になる。
偶数項をピックアップ。
ｔが２増加すると、格子点は１個増える。
ｔが１増加すると格子点は１/２個増えるので、変化量は１/２ｔ
ｔ＝０は１だから、偶数…１/２ｔ＋１個
＠別解＠
偶数なので、÷２をすると規則がみえてくる。
ｔ/２の数列を+１したら格子点の個数になる。
偶数…１/２ｔ＋１個
＠＠
奇数の場合も変化量は１/２
ｔ＝１→０に下がると、格子点は１→１/２個
ｔ＝０は１/２だから、１/２ｔ＋１/２個
＠別解＠
奇数の場合、１個前の偶数と格子点の数が同じである。
奇数ｔの１個前の偶数はｔ－１
先ほどの偶数の式のｔを（ｔ－１）に入れ替えて、
奇数…１/２（ｔ－１）＋１＝１/２ｔ＋１/２個
もしくは、（格子点の数）×２－１がｔに相当するから、
ｔから始めると＋１して÷２すれば格子点の数になる。
奇数…（ｔ＋１）÷２＝１/２ｔ＋１/２個
＠＠＠
格子点の個数を整理すると、ＯＱはｔ＋１個
Ａ（０、１）より、ＡＯは２個
ＡＰは偶数…１/２ｔ＋１個、奇数…１/２ｔ＋１/２個
ＰＱも同じようにｔで表す。
ＡＰ上の格子点を右にスライドすればＰＱ上の格子点と対応する。
ＡＰ上の個数に（ｔ、０）の１個分を足せばいい。
偶数…１/２ｔ＋２個
奇数…１/２ｔ＋３/２個
４辺の格子点を合計して、各頂点で重複する点の数を引く。
●ｔ＝偶数
１/２ｔ＋１は整数。
Ｐは格子点なので、重複する点は４個。
２＋（ｔ＋１）＋（１/２ｔ＋１）＋（１/２ｔ＋２）－４
＝２ｔ＋２＝56
ｔ＝27
ｔは偶数なので不適。
●ｔ＝奇数
１/２ｔ＋１は整数ではない。
Ｐは格子点ではないので、重複する点は３個。
２＋（ｔ＋１）＋（１/２ｔ＋１/２）＋（１/２ｔ＋３/２）－３
＝２ｔ＋２＝56
ｔ＝27（ｔは奇数ゆえ適合）
【1】…ｔ/２＋１、【2】…ｔ/２＋１/２、【3】…27
＠余談＠
左下に延長して三角形をつくると、斜辺とＰＱの格子点の個数は一致する。
この形で計算すると、三角形の周上は偶奇ともに２ｔ＋４個になる。
（四角形ＡＯＱＰの周上は、２ｔ＋４－２＝２ｔ＋２個）
なぜ偶奇で等しくなるのか。
いずれも変化量は１/２ｔ。＋２・＋３/２が異なる。
斜辺＋ＰＱの２辺だけの個数を考えると、偶数はＰで重複、奇数は重複なし。
偶数→２×２－１＝３
奇数→３/２×２＝３でちょうど等しくなる。
講評
総括すると、昨年より平均点は上がると思う。
大問１
配点16点。死守したい。
（８）整数なので、０や負の整数を含む。
ｘ＝２、ｙ＝１とひっくり返してもＯＫ
大問２
（２）①整数問題でみられる操作が絡む連立。題材として面白かった。
加減法だけでなく、代入法でも解けるようにしておこう。
②時間をかけ過ぎないよう、問題文の条件を効率良く拾う。
大問３
（２）②図２の円周→その半径＝円錐の母線→三平方の流れ。
2025年千葉大問４では円錐の転がしがテーマとして出題された。
（３）２円の構図だが、証明も易しかった。
大問４
（２）②問われるのは色なので、色しか考えない。
数字を消して、箱Ａは白３個赤１個、箱Ｂは白３個赤１個とみなせばいい。
ちなみに、赤玉の得点となる確率ｐは（赤、赤）を引くので、１/４×１/４＝１/16
（３）②判断しやすい最小値・最大値から検討する。
残った選択肢で、異なりそうな四分位数を狙って調べる。
大問５
（１）③10000が出てくる。計算ミス注意！
（２）②等積変形と察しやすい。
（３）③難しかった。７点もあるが、完全解答か。
偶数項と奇数項で異なる数列は経験差が出やすい。
一次関数と同じように考えればいい。
変化の割合…ｔが１増えると格子点はいくつ増えるか→１/２個
切片…ｔ＝０のときの格子点の個数
2024年奈良大問２（２）に類題はあるが、公立入試では出題例が少ない。
最後はＰＱもｔで表す。
１/２ｔ＋１以下の最大整数～０までが格子点の個数になるが、
ｙ座標が等しい斜辺ＡＰ上の格子点がそのままＰＱ上にも現れる。
相違点は斜辺ＡＰはＡ（０、１）から出発するのに対し、ＰＱはＱ（ｔ、０）から出発する。
ここから差が１であることがわかる。
解説では重複点の個数がわかりやすいように４辺の合計から引いたが、
ＡＯは格子点が２個しかないので、ＡＰ＋ＯＱで数えたとみなしてもいい。
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