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大問１（小問集合）
（１）
－６＋７÷１/２
＝－６＋７×２
＝８
（２）
ａ＋ｂ－（４ａ＋９ｂ）/５
＝（５ａ＋５ｂ－４ａ－９ｂ）/５
＝（ａ－４ｂ）/５
（３）
３÷√12×√８
←√４で約分➡√３で約分
＝√６
（４）
ｘ－６＝４ｘ＋９
３ｘ＝－15
ｘ＝－５
（５）
３ｘ－７ｙ＝－５ …①
ｘ＝ｙ＋１ …②
②を①に代入すると、
３（ｙ＋１）－７ｙ＝－５
－４ｙ＝－８
ｙ＝２
②に代入、ｘ＝２＋１＝３
ｘ＝３、ｙ＝２
（６）
２ｘ２－９ｘ＋８＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（９±√17）/４
（７）
ｙ＝－２ｘ２は上に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
ｘ＝－３のとき、最小値ｙ＝－18
－18≦ｘ≦０
①…ク、②…オ
（８）
６個から２個取る組み合わせ→６Ｃ２＝15通り
赤２個と青３個から、それぞれ１個ずつ取る組み合わせ→２×３＝６通り
確率は６/15＝２/５
あ…２、い…５
（９）
ＰはＢとＣから等距離にある点→ＢＣの垂直二等分線上にある。
これとＡＣとの交点がＰ
大問２（式の証明）
（１）
上図のように区切る。
縦２ｃｍ、横５ｃｍの長方形が３ヵ所。
線分ＰＱは１周すると１回転するので、３つの扇形を合わせると円になる。
（１つの中心角を求めると、360－90×２－60＝120°）
エリアの面積は、２×５×３＋２×２×π＝30＋４πｃｍ２
エ
（２）
面積Ｓ…縦ａ、横ｂの長方形４つ＋半径ａの円。
Ｓ＝ａ×ｂ×４＋ａ×ａ×π＝４ａｂ＋πａ２ …①
長さℓ…直線ｂが４つ＋半径ａ/２の円の円周
ℓ＝４ｂ＋ａ/２×２×π＝４ｂ＋πａ
ａℓ＝４ａｂ＋πａ２ …②
①＝②より、Ｓ＝ａℓ
＠余談＠
【中心の移動距離×幅＝軌跡の面積】
中学受験の世界ではセンターラインの公式とよばれています。
2023年度早稲田中２回目大問２（２）より。
リンク先の解説では分割しましたが、これにセンターラインの公式を使うと‥
円の中心の移動距離は、直線が３×６＋２＋４×２＝28ｃｍ
曲線は直径２ｃｍの円の円周6.28ｃｍなので、28＋6.28＝34.28ｃｍ
幅２ｃｍだからセンターラインの公式より、34.28×２＝68.56ｃｍ２
ただし、センターラインは外回りには強いですが、内回りでは重複部分が発生します。
赤線のエリアが重複するので、１辺２ｃｍの正方形から半径１ｃｍの円を除いたものを引きます。
また、今回は１周ではないから両端の青い半円を足す必要もあります。
68.56－（２×２－3.14）＋3.14＝70.84ｃｍ２
大問３（関数）
（１）
ｙ＝－２ｘ＋12にｙ＝18を代入。
－２ｘ＋12＝18
ｘ＝－３
イ
（２）
△ＰＡＣは二等辺三角形。
Ｐから垂線をおろして足をＨとすると、ＨはＡＣの中点。
Ｈのｘ座標は、（－10＋６）÷２＝－２
直線ＰＨ（ｘ＝－２）を対称の軸として左右対称。
→直線ｍの傾きは２
ｍの切片を求める。
対称性から、ｘ＝－２から右に２移動したｙ軸上のｍの切片（●）は、
ｘ＝－２から左に２移動したｙ＝－４上の点（●）とｙ座標が等しい。
ｘ＝－４を直線ℓに代入。
ｙ＝－２×（－４）＋12＝20
ｍの切片は20
ｙ＝２ｘ＋20
①…エ、②…ア
（３）
Ｐのｘ座標をｔとする。Ｐ（ｔ、－２ｔ＋12）
△ＣＰＱの面積は、（６－ｔ）×（－２ｔ＋12）÷２ ←２（－ｔ＋６）＝２（６－ｔ）
＝２（６－ｔ）（６－ｔ）÷２ ←２を約分
＝（６－ｔ）２
△ＡＰＢ＝△ＡＣＢ－△ＡＣＰ
△ＡＣＢは底辺ＡＣ、高さ12
△ＡＣＰは底辺ＡＣ、高さ－２ｔ＋12
底辺ＡＣが共通、高さの差は12－（－２ｔ＋12）＝２ｔ
△ＡＰＢの面積は底辺ＡＣ、高さ２ｔの三角形と等しい。
△ＡＰＢは、16×２ｔ÷２＝16ｔ
△ＣＰＱ×２＝△ＡＰＢ
２（６－ｔ）２＝16ｔ ←÷２
（６－ｔ）２＝８ｔ
ｔ２－20ｔ＋36
＝（ｔ－２）（ｔ－18）＝０
ｔ＜６だから、ｔ＝２
大問４（平面図形）
（１）
∠ＡＢＱがわかれば、△ＡＢＱに外角定理を使って∠ＡＱＤが求まる。
∠ＡＢＱは二等辺ＡＢＤの内角→この頂角である∠ＤＡＢを狙う。
四角形ＡＢＣＤは等脚台形ゆえ左右対称。
70°を錯角であげて、∠ＡＤＣ＝∠ＤＡＢ＝180－70＝110°
二等辺ＡＢＤより、∠ＡＢＤ＝（180－110）÷２＝35°
△ＡＢＱで外角定理→∠ＡＱＤ＝ａ＋35°
エ
（２）①
△ＡＱＥ≡△ＰＱＲの証明。
仮定から、ＡＱ＝ＰＱ
対頂角より、∠ＡＱＥ＝∠ＰＱＲ
ＡＥ//ＲＰの錯角で、∠ＥＡＱ＝∠ＲＰＱ
１辺と両端角が等しいから、△ＡＱＥ≡△ＰＱＲ
②
１辺両端角相等で、△ＡＤＱ≡△ＰＢＱ
ＢＰ＝５ｃｍ
ＰＣ＝９－５＝４ｃｍ
ＰＲ//ＣＥから、ＢＲ：ＲＥ＝ＢＰ：ＰＣ＝５：４
前問の合同の対応する辺より、ＲＱ＝ＱＥ＝２
等脚台形ＡＢＣＤの対称性より、△ＣＤＥ＝△ＢＡＥ
△ＢＡＥ（△ＣＤＥ）：△ＡＱＥ＝ＢＥ：ＱＥ＝９：２
△ＡＱＥの面積は△ＣＤＥの２/９倍
う…２、え…９
大問５（空間図形）
（１）
四角形ＡＢＣＤは正方形。
△ＡＣＤは直角二等辺→１：１：√２より、ＡＣ＝６√２ｃｍ
ＭＣ＝６√２÷２＝３√２ｃｍ
△ＣＭＰの内角は45°―45°―90°だから直角二等辺→ＭＰ＝３√２×√２＝６ｃｍ
お…６
（２）
四角錐Ｍ―ＥＱＰＨを２等分する対称面（水色）に分割する。
Ｍの真下をＮとする。
右の断面図で、下の三角形の相似から２÷２＝１ｃｍ
ＭＮ＝11－１＝10ｃｍ
対称面の面積は、幅６ｃｍ×高さ10ｃｍ÷２＝30ｃｍ２
対称面を底面として断頭三角柱を用いる。
高さはＭ＝０ｃｍ、ＥＨ＝ＱＰ＝６ｃｍの平均で、
（０＋６＋６）÷３＝４ｃｍ
四角錐Ｍ―ＥＱＰＨの体積は、30×４＝120ｃｍ３
か…１、き…２、く…０
講評
大問１
配点46点、取らないわけにはいかない。
（２）2025年都立大問１（２）で類題あり。正答率26.9％だった。
（３）ａ√ｂに直してもいい。
（８）複数ある赤や青は、赤１、赤２と区別する。
大問２
オーソドックスな軌跡の形。立式しやすかった。
大問３
（２）作図問題のように、ＡＰ＝ＣＰ→ＰはＡＣの垂直二等分線上にある。
対称性を活かしたい。Ｐから左右に同じ距離を移動したら、同じ分だけ上にあがる。
（３）前期より処理がやや難しかった。
ＡＰの切片が求めずらい。△ＡＰＢの求積は幅×高さではなく、△ＡＣＢ－△ＡＣＰを狙う。
底辺共通なので、高さの差ｔとする三角形で求まる。
大問４
（１）例年より正答率は少し下がりそう。二等辺ＡＢＤを通過できるか。
先に方針を立てておくと良い。
（２）②面白い流れであった。
台形の面積を１として、△ＡＱＥや△ＣＤＥを求めてもできるが、
左右対称から△ＣＤＥ→△ＢＡＥに移すと、ＢＥ上の線分の比で決着する。
ＡＱ＝ＰＱを頼りにＢＰ→ＰＣを決める。平行線と前問の合同が活きる。
大問５
（２）テクニックがあれば求めやすいが、前期より正答率は下がるか。
対称面を底面に見立て、断頭三角柱を用いる。
応用範囲が広がるので、上位校を目指したい人は習得しておきたい。
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