今年は東葛飾高校で実施されました。
来年度から思考力を問う問題はなくなりますが、数学力を測る良問が詰まっております。
また、代わりに東葛飾高校で実施される独自問題に関して当該学校から、
『本校を志願する皆さんは、昨年度まで実施していた「思考力を問う問題」の過去の問題等を参考にしながら、
これまでどおりの学習を継続してください』とのアナウンスがあります。独自問題対策に活用してください。
＊数学のみです。国語と英語はありません。
問題文は原文ママではなく、導出に必要な限りで要約しています。
（１）
が自然数となる、最小の自然数ｎを求める。
＠解説＠
ルートの中を70でくくる。
６ｎ－８＝70×(平方数)であれば、ルートが外れて自然数になる。
（*自然数なので０は含まない）
６ｎ－８＝70×１２
ｎ＝13 ←ｎが自然数
あ…１、い…３
（２）
１、２、６、８が書かれた４枚のカードを並べ、４の倍数となる場合の数を求める。
＠解説＠
４の倍数→下２桁が４の倍数
一・十の位の組み合わせは【12・16・28・68】の４通り。
それぞれの百・千の位をひっくり返す。
（*たとえば、６８１２だったら８６１２）
４×２＝８通り
う…８
（３）①
ｙ軸上にｙ座標が３の点Ａがあり、△ＯＡＢは正三角形。
Ａを通り、ＯＢに平行な直線上に、∠ＡＰＯ＝30°となるような点Ｐをとる。
このときのＰの座標を求める。ただし、Ｐのｘ座標は正とする。
＠解説＠
ＢからＡＯにひいた垂線の足をＨとする。
△ＯＢＨは有名三角形→ＨＯ＝３/２、ＨＢ＝３√３/２
Ｂ（３√３/２、３/２）
Ｐのｘ座標は正。
Ｂを中心とする円を描く。
この周上にＰがあると、弧ＡＯに対する円周角より∠ＡＰＯ＝30°になる。
ＢＰに補助線。半径より、ＢＰ＝３
ＡＰ//ＯＢの錯角で、∠ＰＡＢ＝60°
ＡＢ⊥ＯＰ、有名三角形が複数登場する。
△ＡＯＰは底角30°の二等辺→ＡＰ＝３
四角形ＡＯＢＰは１辺３の菱形である。
ＡＯ//ＰＢから、Ｐのｘ座標はＢと同じ３√３/２
ｙ座標はＢから真上に＋３なので、３/２＋３＝９/２
Ｐ（３√３/２、９/２）
え…３、お…３、か…２、き…９、く…２
②
直線ｙ＝ｍ上を動くＱがある。ただし、ｍは負の数とする。
常に∠ＡＱＯ≦30°となるｍの範囲を求める。
＠解説＠
∠ＡＱＯ＝30°となるＱの位置を調べる。
前問の円を見る。
この周上にＱがあれば、弧ＡＯに対する円周角から∠ＡＱＯ＝30°が維持される。
（円の内部にＱがあると∠ＡＱＯ＞30°、円の外部にあると∠ＡＱＯ＜30°）
常に∠ＡＱＯ≦30°になる→直線ｙ＝ｍは円の内部を通過しない（円周上の１点だけを通過＝円に接するのはOK）
ｘ軸より下にあるｙ＝ｍ上にＱがあるので、Ｑは下方向にある。
ｙ＝ｍが円の最下点で接する状態、すなわち、Ｑが中心Ｂの真下にあるときから下で条件を満たす。
Ｑのｙ座標はＢから真下に－３だから、３/２－３＝－３/２
よって、常に∠ＡＱＯ≦30°となるｍの範囲は、ｍ≦－３/２
け…３、こ…２
＠余談＠
Ｑはｙ＝ｍ上を自由に動くが、ｙ軸より左側でも同様のことがいえる。
円の内部（周を含まない）を直線が通過するとＯＵＴ
仮にｍが正の数である場合、Ｐのｙ座標以降のｍ≧９/２で常にＳＡＦＥとなる。
（４）①
ＡＢを直径とする円Ｏと、ＡＯを直径とする円Ｏ’があり、
∠ＣＡＯ＝45°となるＣをとる。
ＡＣと弧ＡＯとの交点で、Ａとは異なる点をＤ、
ＣＯとＣを含まない弧ＡＢとの交点をＰとする。
さらに、ＰＤとＰを含まない弧ＡＣとの交点をＱとする。
ＡＢ＝４ｃｍのとき、ＰＱの長さを求める。
＠解説＠
円Ｏの半径は２ｃｍ
ＱＣに補助線。半円の弧に対する円周角より、∠ＣＱＰ＝90°
斜辺ＣＰ＝４ｃｍがわかっているので、直角三角形ＱＰＣの辺の比がわかればいい。
半径ＯＡ＝ＯＣ、∠ＣＡＯ＝45°から△ＡＯＣは直角二等辺→ＡＢ⊥ＣＰ
ＱＰとＡＢの交点をＥとすると、共通角●と90°から２角相等で△ＱＰＣ∽△ＯＰＥ
円Ｏ’の半径は１ｃｍ
ＤＯ’に補助線。△ＡＯ’Ｄも半径と45°から直角二等辺（Ｏ’の真上にＤ）
90°の同位角でＤＯ’//ＣＰ→△Ｏ’ＤＥ∽△ＯＰＥの相似比は１：２
Ｏ’Ｅ＝１×１/３＝１/３ｃｍ
△Ｏ’ＤＥ∽△ＯＰＥ∽△ＱＣＰより、
Ｏ’Ｅ：Ｏ’Ｄ＝ＱＣ：ＱＰ＝１/３：１＝１：３
△ＱＣＰの辺の比で三平方→ＣＰ＝√10
ＰＱ＝４×３/√10＝６√10/５ｃｍ
さ…６、し…１、す…０、せ…５
②
Ｏと２点Ｄ、Ｑをそれぞれ結ぶ。
このときの△ＯＱＤの面積を求める。
＠解説＠
△ＯＱＤの３つの頂点のうち、Ｑの位置がはっきりしない。
ＱからＣＰに垂線をひき、交点をＦとする。
共通角●と90°より、△ＱＣＰ∽△ＦＱＰ
△ＦＱＰの辺の比も１：３：√10だから、ＱＦ＝６√10/５×１/√10＝６/５ｃｍ
ＱＰ上にあるＱＤに関する比がほしい。
ＤからＣＰにひいた垂線の足をＧとする。
ＤはＯ’の真上だから、ＤＧ＝Ｏ’Ｏ＝１ｃｍ
△ＦＱＰ∽△ＧＤＰより、ＱＰ：ＤＰ＝ＱＦ：ＤＧ＝６/５:１＝⑥：⑤
ＱＤ：ＤＰ＝①：⑤
△ＯＤＰは底辺ＯＰ＝２ｃｍ、高さＤＧ＝１ｃｍ
高さ共通→面積比＝底辺の比だから、
ＱＤ：ＤＰ＝△ＯＱＤ：△ＯＤＰ＝①：⑤
△ＯＱＤの面積は、２×１÷２×①/⑤＝１/５ｃｍ２
そ…１、た…５
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