2021年度　都立国立高校過去問【数学】大問３解説

下の図１において、△ＡＢＣは１辺の長さが10ｃｍの正三角形で、
点Ｏは辺ＡＣを直径とする円の中心である。
辺ＢＣと円Ｏとの交点をＤとし、線分ＢＤを直径とする円の中心をＯ’とする。
円Ｏ’と辺ＡＢとの交点のうち、点Ｂと異なる点をＥとする。
次の各問に答えよ。

（１）
円Ｏ’の弧のうち、点Ｄを含まない弧ＢＥの長さは何ｃｍか。

（２）
下の図２は、図１において、円Ｏと円Ｏ’の交点のうち、
点Ｄと異なる点をＰとし、点Ａと点Ｄ、点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐ、点Ｃと点Ｐ、
点Ｄと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を表している。
△ＰＤＡ∽△ＰＢＣであることを証明せよ。

（３）
図２において、点Ｏと点Ｄ、点Ｏと点Ｐ、点Ｏ’と点Ｐをそれぞれ結んだ場合を考える。
四角形ＯＰＯ’Ｄの面積は、△ＡＢＣの面積の何倍か。

＠解説＠
（１）

正三角形ＡＢＣより、∠ＡＣＢ＝60°
ＯＤに補助線。
△ＯＤＣは半径よりＯＤ＝ＯＣ→底角60°の二等辺→正三角形
ＤＣ＝５ｃｍ→ＢＤ＝５ｃｍ
ＥＯ’に補助線。
同様に△ＥＢＯ’も正三角形で、∠ＥＯ’Ｂ＝60°
弧ＢＥの長さは、５π×１/６＝５/６πｃｍ

（２）
△ＰＤＡ∽△ＰＢＣの証明。

弧ＰＤに対する円周角で、∠ＰＡＤ＝∠ＰＣＢ
半円の弧に対する円周角より、∠ＡＰＣ＝∠ＢＰＤ＝90°
∠ＤＰＡ＝90＋∠ＤＰＣ＝∠ＢＰＣ
２角相等より、△ＰＤＡ∽△ＰＢＣ

（３）

四角形ＯＰＯ’Ｄの２辺が円Ｏの半径、残りの２辺が円Ｏ’の半径。
ＯＯ’に補助線。
ＯＰ＝ＯＤ、Ｏ’Ｐ＝Ｏ’Ｄ、共通辺ＯＯ’より、３辺相等で△ＯＰＯ’≡△ＯＤＯ’
ＤはＢＣの中点→Ｏ’Ｄ：ＤＣ＝△ＯＯ’Ｄ：△ＯＤＣ＝①：②
四角形ＯＰＯ’Ｄ＝△ＯＤＣ（②）で等積である。

正三角形ＯＤＣ（四角形ＯＰＯ’Ｄ）の面積は、正三角形ＡＢＣの１/４倍