（１）
平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、直線ＡＢ上にＡＢ：ＢＰ＝５：４となる点Ｐと、
直線ＤＣ上にＤＣ：ＣＱ＝７：２となる点Ｑをとる。
直線ＡＱ、ＤＰと辺ＢＣとの交点をそれぞれＲ,Ｓとする。
このとき、線分ＢＳと線分ＳＲの長さの比をもっとも簡単な整数で答えよ。
（２）
図のように、ｙ＝√３/ｘのグラフの上に、点Ｂ（√３、１）と点Ｃがある。
直線ＢＣの傾きが１であるとき、次の問いに答えよ。
（ⅰ）点Ｃの座標を求めよ。
（ⅱ）点Ａを△ＡＢＣが正三角形となるようにとるとき、点Ａの座標を求めよ。
ただし、点Ａのｘ座標は負とする。
（３）
∠ＡＢＣ＝90°の直角三角形ＡＢＣに半径２の円が内接している。
この内接円の中心をＩとする。円と辺ＡＣの接点をＤとすると、ＡＤ＝４である。
Ｉを通りＡＣと平行な直線と内接円の交点をＰ,Ｑとし、
△ＡＢＣ∽△ＰＱＲとなるように内接円上の点Ｒをとるとき、△ＰＱＲの面積を求めよ。
（４）
図のように、円周上に４点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄがあり、直線ＢＣ上に△ＢＣＤと△ＡＢＰが相似になるように
点Ｐをとる。このとき、ＢＣとＡＤが平行であることを証明せよ。
必要であれば、円と直線ＡＰの交点のうち、点Ａと異なる点をＱとして断りなしに用いてよい。
＠解説＠
（１）
チョウチョ相似で連比処理。
ポイントは、平行四辺形の対辺が等しい点から、
ＡＢ＝⑦、ＤＣ＝⑤と比を交換しておくこと。
△ＡＢＲ∽△ＱＣＲ→ＢＲ：ＲＣ＝７：２
△ＰＢＳ∽△ＣＤＳ→ＢＳ：ＳＣ＝４：５
ちょうど９＝９でそのまま比を統一できる。
ＢＳ：ＳＲ＝４：３
（２）ⅰ
ＢＣは傾き１、（√３、１）を通る直線。
１＝√３×１＋ｂ
ｂ＝１－√３
ＢＣ；ｙ＝ｘ＋１－√３
Ｃはｙ＝ｘ＋１－√３とｙ＝√３/ｘの交点だから、
ｘ＋１－√３＝√３/ｘ ←両辺をｘ倍して整理
ｘ２＋（１－√３）ｘ－√３
＝（ｘ＋１）（ｘ－√３）＝０
Ｃ座標はｘ＜０だから、ｘ＝－１
ｙ＝√３/ｘに代入して、ｙ＝－√３
Ｃ（－１、－√３）
＠別解＠
ａ＞０の反比例の双曲線は、ｙ＝－ｘについて対称である。
ＢＣは傾き１
傾きの積が－１→ＢＣとｙ＝－ｘは直交する。
ＢとＣはｙ＝－ｘについて対称的な位置関係にあり、対応する点である。
原点Ｏは対称の軸上にある。
Ｏ→Ｂの長方形を対称移動させたＯ→Ｃは、左に１、下に√３移動する。
Ｃ（－１、－√３）
ⅱ
Ｂからｘ軸に、Ｃからｙ軸に垂線をおろし、延長した交点をＤとする。
△ＢＣＤは直角二等辺。
また、ＢＣの中点をＭとする。
正三角形ＡＢＣよりＡＢ＝ＡＣ、直角二等辺ＢＣＤよりＢＤ＝ＣＤ
先述した通り、ＢとＣはｙ＝－ｘについて対称関係にあり、
ＡとＤはＢ、Ｃからそれぞれ等距離にあるので、ＢＣの垂直二等分線上にある。
→Ａ・Ｍ・Ｄは対称の軸であるｙ＝－ｘ上にある。
Ｍのｘ座標はＢとＣの平均→（√３－１）/２
ＣＤ＝√３－（－１）＝√３＋１
上図のような、直角二等辺ＡＭＥをつくる。
ＢＭ＝ＣＭ＝①とする。△ＡＢＭの辺の比からＡＭ＝〇√３
△ＢＣＤ∽△ＡＭＥより、相似比はＢＣ：ＡＭ＝２：√３だから、
ＥＭ＝（√３＋１）×√３/２＝（３＋√３）/２
Ａのｘ座標はＭから計算して、（√３－１）/２－（３＋√３）/２＝－２
ｙ＝－ｘに代入→ｙ＝２
Ａ（－２、２）
（３）
内接円の中心（内心）Ｉから３辺に向けて垂線をおろす。
ポイントは、左下に１辺２の正方形ができること。
半径と接線は直交→円の半径から隣り合う辺が２の長方形→１辺２の正方形。
ＩからＡ・Ｂ・Ｃに補助線を入れ、△ＡＢＣ＝△ＡＢＩ＋△ＢＣＩ＋△ＣＡＩに分割する。
３組の三角形の合同から、上図のように△ＡＢＣの各辺の長さを記す。
△ＡＢＣの面積で立式。
△ＡＢＣ→底辺…ＢＣ、高さ…ＡＢ
△ＡＢＩ＋△ＢＣＩ＋△ＣＡＩ→底辺…△ＡＢＣの周の長さ、高さ…内接円の半径２
△ＡＢＣ：△ＰＱＲの相似比ＡＣ：ＰＱ＝10：４＝５：２
面積比は㉕：④
△ＰＱＲの面積は、８×６÷２×④/㉕＝96/25
（４）
平行の証明→同位角か錯角が等しいことを指摘する。
ＡＤを延長、Ｄの左側にＲをとる。
△ＢＣＤ∽△ＡＢＰの対応する角より、∠ＢＣＤ＝∠ＡＢＰ …①
円に内接する四角形の内角は、その対角の外角と等しい。
∠ＡＢＰ＝∠ＲＤＣ …②
①、②より、∠ＢＣＤ＝∠ＲＤＣだから、錯角が等しいのでＢＣ//ＡＤ
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公式解答を貼っておきます。
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∠ＢＡＱ＝∠ＣＢＤ（●）→弧ＢＱ＝弧ＣＤ→弧ＢＣ＝弧ＱＤ→∠ＢＤＣ＝∠ＱＡＤ（×）→×の錯角
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