2023年度　西大和学園高校・県外過去問【数学】大問４解説

図において、立体ABCD―EFGHは直方体である。
ＡＢ＝６、ＡＤ＝６、ＡＥ＝12であり、辺ＢＦ,ＡＢ,ＡＤ上にそれぞれ、
ＢＰ＝４、ＡＱ＝４、ＡＲ＝４となる点Ｐ,Ｑ,Ｒをとる。
3 点Ｐ,Ｑ,Ｒを通る平面と辺ＤＨ、ＨＧ、ＧＦの交点をそれぞれＳ,Ｔ,Ｕとする。
このとき、次の各問いに答えよ。

（１）
ＴＵの長さを求めよ。

（２）
六角形PQRSTUの面積を求めよ。

（３）
直線ＢＨと六角形PQRSTUの交点をＩとする。
四角錐Ｉ―ＡＢＣＤの体積を求めよ。

（４）
四角錐Ｉ―ＡＢＣＤを六角形PQRSTUを含む平面で２つの立体にわけるとき、
体積が大きい方の立体の体積を求めよ。

（５）
点Ｃから平面PQRSTUに垂線ＣＪをおろす。ＣＪの長さを求めよ。

（１）

ＣＢ、ＵＰ、ＲＱ

（２）

ＴＵ＝２√２、ＳＰ＝６√２、ＲＱ＝４√２
六角形の面積を求めるには、赤線の高さがほしい。

ＡＣとＢＤの交点をＯとする。
赤線を右にズラすと、ＯＧに相当する（横方向のＱＢ＝ＴＧを意識する）
ＯＧは縦３×横３×高さ12の直方体の対角線だから、
赤線＝√（３^２＋３^２＋12^２）＝９√２

六角形を延長して、上下の合同な三角形を見る。
ＴＵとＲＱの距離９√２を上に１個ズラすと、三角形の高さは９√２
三角形の面積比を⑨とすると、
四角形ＴＳＰＵ＝⑧、四角形ＳＲＱＰ＝⑤
六角形＝⑬
６√２×９√２÷２×⑬/⑨＝78

（３）

四角錐の高さが知りたい。
Ｉを含むＨＢは面ＨＤＢＦ上の線分。
また、点Ｓ・Ｐも面ＨＤＢＦ上にあり、かつ六角形の頂点である。
→面ＨＤＢＦと六角形の交線はＳＰ
Ｉも面ＨＤＢＦと六角形に含まれるから、交線ＳＰ上にある。
→四角錐の高さは４だから、６×６×４÷３＝48

（４）

底面積（五角形ＤＲＱＢＣ）は、６×６－４×４÷２＝28
高さ共通→底面積の比＝体積比なので、48×28/36＝112/３

（５）

ＴＵ、ＲＱの中点をそれぞれＷ、Ｘとする。
ＷＸ＝９√２は求めている。
△ＡＢＣは直角二等辺→ＡＣ＝６√２
上図のように区切ると、ＸＣ＝６√２×④/⑥＝４√２
赤と青の三角形が２角相等で相似だから、ＣＪ＝12×４√２/９√２＝16/３