2023年度　西大和学園高校過去問【数学】大問３解説

図のように、傾きが２である直線が放物線ｙ＝ａｘ^２と２点Ａ,Ｂで交わり、ｙ軸と点Ｃで交わっている。
原点をＯとし、Ａのｘ座標を－２、△ＯＡＣの面積を６とするとき、次の各問いに答えよ。

（１）
直線ＡＢの式を求めよ。

（２）
ａの値を求めよ。

（３）
点Ｐは、放物線ｙ＝ａｘ^２上の点Ａと点Ｂの間の点で、ｘ座標が負である。
△ＰＡＢの面積と△ＯＡＢの面積の比が、△ＰＡＢ：△ＯＡＢ＝７：12となるとき、
点Ｐの座標を求めよ。

（４）
(３)の点Ｐに対して、△ＣＰＡをｙ軸まわりに１回転させたときにできる立体の体積を求めよ。

（２）
ｙ＝２ｘ＋６にｘ＝－２を代入→Ａ（－２、２）
これをｙ＝ａｘ^２に代入。
２＝４ａ
ａ＝１/２

（３）

△ＰＡＢと△ＯＡＢは底辺ＡＢが共通。
→面積比は高さの比に相当する。
Ｐを通るＡＢに平行な線をひき、ｙ軸との交点をＤとする。
△ＰＡＢ：△ＯＡＢ＝ＣＤ：ＣＯ＝⑦：⑫
ＤＯ：ＣＯ＝⑤：⑫
ＤＯ＝６×⑤/⑫＝５/２

Ｐはｙ＝１/２ｘ^２とｙ＝２ｘ＋５/２の交点だから、
１/２ｘ^２＝２ｘ＋５/２　←２倍して整理
ｘ^２－４ｘ－５
＝（ｘ＋１）（ｘ－５）＝０
ｘ＜０より、ｘ＝－１
ｙ＝１/２ｘ^２に代入して、ｙ＝１/２
Ｐ（－１、１/２）

（４）

△ＣＰＡは回転軸から浮いているので、大きな円錐－小さな円錐の形に直す。
ＡＰを延長、ｙ軸との交点をＥとする。
Ａ→Ｐは右に１、下に３/２
Ｐ→Ｅは右に１、下に３/２移動して、１/２－３/２＝－１→Ｅ（０、－１）
求積すべき立体は、半径２、高さ合計７の円錐から、半径１、高さ合計７の円錐を引く。
２×２×π×７÷３－１×１×π×７÷３
＝（４－１）π×７÷３
＝７π