2023年度　西大和学園高校過去問【数学】大問４解説

一辺の長さが１の正六角形ABCDEFにおいて、ＡＤとＢＥの交点をＨとする。
Ｈを通り、正六角形に垂直な直線の上にＯＨ＝√３となる点Ｏをとる。
六角錐OABCDEF(以下、立体Ｖと呼ぶ)において、ＯＢ、ＯＤの中点をそれぞれ点Ｐ,Ｑとし、
ＯＦ上にＯＲ：ＲＦ＝２：１となる点Ｒをとる。次の各問いに答えよ。

（１）
立体Ｖの体積を求めよ。

（２）
立体Ｖを３点Ｐ,Ｑ,Ｄを含む平面で切断したとき、点Ｃを含む立体の体積を求めよ。

（３）
ＰＱの中点Ｍから平面ABCDEFに下ろした垂線の足をＨ’とする。ＨＨ’の長さを求めよ。

（４）
３点Ｐ,Ｑ,Ｒを含む平面と辺ＯＣの交点をＳとする。ＯＳの長さを求めよ。

＠解説＠
（１）

立体Ｖは底面が一辺１の正六角形、高さが√３の正六角錐。
正六角形を６等分して正三角形にする。
１辺ａの正三角形の面積…√３/４ａ^２
√３/４×１^２×６×√３÷３＝３/２

（２）

Ｐ・Ｑ・Ｄを通る面で切断する。
ＰとＱはそれぞれＯＢ、ＯＤの中点。中点連結定理より、ＰＱ//ＢＤ
ＰＱを下に平行移動させるとＢＤ→切断面はＢを通る。
面ＰＢＤＱを拡大すると△ＯＢＤ→切断面はＯＢＤ

三角錐Ｏ―ＢＣＤの体積を求める。
底面積は右図のように分割すると、正六角形の６分の１
三角錐Ｏ―ＢＣＤの体積は正六角錐の６分の１だから、３/２×１/６＝１/４

（３）

上から見た図で整理する。
Ｍの真下にあるＨ’はＣＦ上にある。
ＢＤとＨＣの交点をＧとする。
△ＨＰＱ∽△ＨＢＤより、ＨＨ’：Ｈ’Ｇ＝①：①
四角形ＨＢＣＤは等辺１の菱形。
対角線は各々の中点で交わるから、ＨＧ＝ＧＣ＝②
ＨＨ’：ＨＣ＝①：④
ＨＣ＝１なので、ＨＨ’＝１×①/④＝１/４

（４）

△ＯＨＤで三平方→ＯＤ＝ＯＣ＝２

Ｐ・Ｑ・Ｒを通る切断面とＯＣとの交点がＳ
ＲとＳを含む面ＯＦＣで切り取る。
切断面は左右対称で、ＰとＱは対応する関係にある。
ＰＱの中点ＭはＲＳ上にある。

△ＯＦＣは二等辺三角形だから、ＦＨ＝④
赤〇は斜辺上の線分比だが、高さの比(垂直方向の比)と同じとみなす。（青〇は水平方向の比）
計算しやすいように、高さの比③と底辺の比④の最小公倍数12で統一しておく。

Ｍの真上をＴとする。ＯＴ：ＴＣ＝③：⑨
ＭはＰ・Ｑと同じ高さにあるから、ＭＨ’＝⑫÷２＝⑥
Ｓの高さの比が知りたい。斜辺ＲＳを使うしかない。

Ｒから垂線をひき、ＴＨ’との交点をＵとする。
Ｒ→Ｍは右に⑪、上に②の傾き。

Ｓから垂線をひき、ＴＨ’との交点をＶとする。
△ＭＲＵ∽△ＭＳＶより、ＭＵ：ＵＲ＝ＭＶ：ＣＳ＝２：11（*〇とは異なる比を設定）
ＯＨ：ＨＣ＝⑫：⑫＝１：１より、ＴＶ：ＶＳ＝11：11
ＴＭ＝③＝13だから、ＴＶ(斜辺上のＴＳ)＝③×11/13＝〇33/13
ＯＳ＝ＯＴ＋ＴＳ(ＴＶ)＝③＋〇33/13＝〇72/13
ＯＣ＝⑫＝２なので、ＯＳ＝２×(〇72/13)/⑫＝12/13