赤坂さんと永田さんは山間部でのみかん栽培において、
収穫したみかんを農業用モノレールで運搬するためのレールをどのように
敷くかについて、下の図１のような山の模型をもとに話をしている。
図１に示した立体Ｏ―ＡＢＣＤは、底面ＡＢＣＤが１辺の長さｘｃｍの正方形で、
ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝10ｃｍの正四角すいであり、∠ＢＯＣ＝ｙ°とする。
ただし、山の地面からレールを敷く際の高さについては考えないことにする。
２人の会話文を読んであとの問いに答えよ。
永田さん：まずは山の高さに相当する線分の長さについて考えてみようか。
赤坂さん：そうだね。それは大切なことだね。四角形ＡＢＣＤの２つの対角線の交点をＨとし、
頂点Ｏと点Ｈを結んだ場合を考えると、線分ＯＨの長さが山の高さに相当するね。
永田さん：線分ＯＨの長さはｘを用いた式で【１】ｃｍと表すことができるね。
赤坂さん：線分ＯＨの長さがだんだん短くなると、【２】なり、【３】なるね。
永田さん：なるほどね。次にレールの長さが最短となるルートについて考えてみようか。
赤坂さん：ルートを考えるうえでは途中通過しないといけない集積場所があるよ。
図１の模型を用いて考えてみようか。
赤坂さん：ｙ＝60のとき、ＢＥ＋ＥＦの最小の長さが14ｃｍになったよ。
永田さん：ＢＥ＋ＥＦの長さが最小で、かつＦＧの長さが最小となるとき、
線分ＯＦの長さは【４】ｃｍとなるね。
赤坂さん：ところで、農業用モノレールは、どれくらい急な斜面を運搬することができるのかな。
図１の模型を用いて考えてみようか。
赤坂さん：傾斜角度が45°のときが農業用モノレールがみかんを運搬できる最大の角度のようだよ。
永田さん：傾斜角度が45°で、ＢＪ：ＪＣ＝３：１のとき、ＪＩ＋ＩＫの長さは【５】ｃｍとなるね。
赤坂さん：頂点Ｂと点Ｉを結んだときのＢ→Ｉというルートの距離より、Ｊ→Ｉというルートの距離の方が
短いけど、Ｊ→Ｉというルートがみかんを運搬できる最大の傾斜角度ということだね。
（１）①
【１】に当てはまるｘの式として正しいものを次の中から１つ選びなさい。
②
【２】と【３】に当てはまる言葉として最も適切な組み合わせを次の中から１つ選びなさい。
（２）
【４】に当てはまる数を答えよ。
（３）
【５】に当てはまる数を答えよ。
＠解説＠
（１）①
△ＢＣＤは直角二等辺、ＨはＢＤの中点だから、ＢＨ＝√２/２ｘｃｍ
△ＯＢＨで三平方。
ＯＨ＝√（100－ｘ２/２）ｃｍ
イ
②
ＯＨを短くする→√（100－ｘ２/２）の値を小さくする。
→根号の中のｘ２/２が大きくなる→ｘの値は大きくなる。
＠＠
高さは低くなり、底面積は拡大する。
ピラミッドが平たくなるので、∠ＢＯＣ（ｙ）は大きくなる。
エ
（２）
最短距離なので展開図を作成。
ＢＦは直線だが、ＧはＧＦ⊥ＯＤ
ＢＦを斜辺とする直角三角形で三平方をする。
ＤＯを延長し、Ｂから垂線をひいた交点をＨとすると、
△ＢＯＨは１：２：√３→ＯＨ＝５ｃｍ、ＨＢ＝５√３ｃｍ
△ＢＦＨで三平方→ＨＦ＝11ｃｍ
ＯＦ＝11－５＝６ｃｍ
（３）
わかっているのは、10ｃｍと45°しかない。
10ｃｍを斜辺とする直角三角形に目をつける。
ＢＣとＡＤの中点をそれぞれＭ、Ｎとすると、
△ＯＭＮは正四角錐Ｏ―ＡＢＣＤを２等分する対称面で、
ＯＭ//ＩＪ、ＭＮ//ＪＬより、面ＯＭＮ//面ＩＪＬＫ、∠ＯＭＮ＝∠ＩＪＬ＝45°
対称性から△ＯＭＮは直角二等辺である。
ＢＭ＝ｘとする。
正方形の１辺と等しいＭＮ＝２ｘ
直角二等辺ＯＭＮより、ＯＭ＝２ｘ×１/√２＝√２ｘ
△ＯＢＭで三平方→ｘ２＋２ｘ２＝100
ｘ＞０より、ｘ＝10√３/３ｃｍ
△ＯＭＣ∽△ＩＪＣより、ＪＩ＝√２×10√３/３÷２＝５√６/３ｃｍ
△ＯＣＤ∽△ＯＩＫより、ＩＫ＝２×10√３/３÷２＝10√３/３ｃｍ
ＪＩ＋ＩＫ＝５√６/３＋10√３/３＝（５√６＋10√３）/３ｃｍ
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