投稿者「家庭教師サボ」のアーカイブ

2020年度 和歌山県公立高校入試問題【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①
-8+5=-3


1+3×(-2/7)
=1-6/7=1/7


2(a+4b)+3(a-2b)
=2a+8b+3a-6b
=5a+2b


√27-6/√3
=3√3-2√3
=√3


(x+1)2+(x-4)(x+2)
=x2+2x+1+x2-2x-8
=2x2-7

(2)
9x2-4x2
=(3x+2y)(3x-2y)

(3)
10-nが平方数となれば根号が外れる。
nが自然数なので、√(10-n)は√1、√4、√9しかない
10-n=1 ➡ n=9
10-n=4 ➡ n=6
10-n=9 ➡ n=1
n=1、6、9

(4)

折り返しで∠ACB=20°
錯角で∠FCB=∠CFD=40°
x=180-40=140°

(5)
花子が和夫より3大きい目を出す
(和、花)=(1、4~6)(2、5~6)(3、6)
計6通り
6/36=1/6

大問2(小問集合2)

(1)
底面の円の半径は3cm
高さは立面図の半分で三平方→√(62-32)=3√3cm
3×3×π×3√3÷3=9√3πcm3

(2)

↑この範囲にあればAB上を通る。
1/4≦a≦3
ア…1/4、イ…3

(3)①
ア:階級の幅は共に2。〇
イ:最頻値(モード)は4月が3冊、5月が7冊。×
ウ:30人の中央値(メジアン)は15番目と16番目の平均。4月が3冊、5月が7冊。〇
エ:4月は8/30(≒0.27)、5月は7/30(≒0.23)。×
オ:4月は25人、5月は13人。×6冊以上を数えても良い。
ア・ウ


階級値で計算する。
(1×3+3×3+5×7+7×10+9×7)÷30
=180÷30=6冊

(4)
連立の題材がおもしろい(*‘ω‘ *)
答案では過程も記述する。

先月の公園清掃ボランティアをx、先月の駅前清掃ボランティアをyとする。
右側の文章から、y-x=30…①
左側の割合を使う。50%増→1.5倍に変換。
1.5x+1.2y=1.3(x+y)…②

②を10倍して整理すると、、
15x+12y=13x+13y
2x=y…③

これを①のyに放り込み。
2x-x=30
x=30
③に放り込んで、y=30×2=60
先月の公園清掃ボランティアは30人、先月の駅前清掃ボランティアは60人。


大問3(規則)

(1)①

↑右側からみるとこんな感じ。
左上だけが3面。左上以外の一番上の辺と一番左の辺が2面。
右下の正方形が1面。
ア…(5-1)×2=8
イ…62=36


(8-1)2=49個



1辺がnの正方形に1を足す。
2n+1個

(2)①
3番目の3×3の正方形では、1+2=3個移動。
4番目の4×4の正方形では、1+2+3=6個移動。
6番目の6×6の正方形では、1~5の総和で15個。


答案では過程も記述する。
x番目の箱の個数は、1辺がx個の正方形だからx2個。
表2より、見えない箱はx-1個。
(箱の個数)-(見えない箱)=(見えている箱)
2-(x-1)=111
2-x-110
=(x-11)(x+10)=0
x>0なので、x=11

大問4(関数)

(1)
変域問題。原点0を通過する点に注意!。
x=-6のとき、最小値y=-9
x=0のとき、最大値y=0
-9≦y≦0

(2)
見落としやすい(´Д`||)

1つはPA=PB。
もう1つはAP=ABとBP=BAだが、こちらは2通りずつある。
計5個。

(3)
y=-1/4x2にx=-2を
放り込んで、C(-2、-1)
CとA(4、-4)を通る直線の式を考える。
C→Aに移動すると右に6、下に3だから、傾きは-3/6=-1/2
Cから左に2、上に1移動してP(-4、0)

(4)

座標を確認。y=ax2にx=-3を代入してD(-3、9a)
四角形PABDをADで分割
△ADPの面積…4×7÷2=14
△ABDの面積…50-14=36


△ABDの高さ…36×2÷6=12
Dのy座標(9a)…12-4=8
9a=8
a=8/9


大問5(平面図形)

(1)

PQ//ABから2つの錯角+3cmの等辺=一辺両端角相等→△PQR≡BOR
OR=QR
QR=3÷2=3/2cm

(2)
円周角定理で、∠BOQ=36×2=72°
3×3×π×72/360=9/5πcm2

(3)①
△RQS∽△RPQの証明。
辺の情報が乏しいので角度攻め。
共通角があるので、もう1つはどちらの角度か。

弧BQの円周角で、∠RPQ()=∠OAQ(
半径から△OAQが二等辺
その底角で∠OAQ()=∠RQS(
2角が等しく∽。



SO//QBで2角が等しい→△ASO∽△AQB
AS:SQ=AO:OB=1:1
相似比(もしくは中点連結定理)からSO:QB=

同様に、平行線から△OSR∽△QBRで、
辺の比からOR:RQ=
OR=3×/=1cm
△ORBで三平方→BR=√10cm

大問1
(4)このレベルの角度は小学校の算数でもでるよ!
(5)花子がどんな目を出せば和夫より上に行けるか。
大問2
(4)変化球のある出題で戸惑いがち。正答率は高くなさげ。
大問3
規則はそんなに複雑ではなかった。
大問4
(2)3個見つけて安心する人が多そう。
(4)BA⊥APでBAとAPの長さが分かってるので、四角形をDAで分割。
大問5
(3)②最後のわりには素直であった。
BRを1辺とする直角三角形は△ORB。
OB=3がわかっているからORを知りたい。
ORを1辺とする三角形は…とゴールから逆算して解法を編み出す。
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2020年度 東京学芸大学附属小金井中学入試問題【算数】大問4解説

 下の表はかけ算の計算結果を順に並べている表です。上から1段目(つまり一番上の段)、左から2列目のマスには1×2の計算結果(つまり2)が書かれており、上から4段目、左から6列目のマスには4×6の計算結果(つまり24)が書かれています。
 紙面の都合上、たても横も15段目、15列目までしか書かれていませんが、「・・・」は、それより先も同じように数が続いていることを表しています。例えば、上から20列目、左から19列目のマスなども、この表には書かれていませんが、あるものとします。

この表をもとにして次の問いに答えなさい。
(問1)
上から5段目、左から8列目のマスに書かれている数から、
上から4段目、左から8列目のマスに書かれている数をひいた数を答えなさい。

(問2)
上から17段目、左から12列目のマスに書かれている数から、
上から16段目、左から12列目のマスに書かれている数をひいた数を答えなさい。

(問3)
上から256段目、左から36列目のマスに書かれている数は、9216でした。
このマスの上にあるマスに書かれている数を答えなさい。

(問4)
上から123456段目、左から654321列目のマスに書かれている数は、そのマスの右上にあるマスに書かれている数に比べて、どれだけ差があるか答えなさい。なお、解答らんの〔    〕には数字を、「   」の中には「大きい」か「小さい」のどちらかを記入しなさい。

@解答欄@
上から123456段目、左から654321列目のマスに書かれている数の方が、
〔           〕だけ、「    」。

(問5)
あるマスに書かれている数と、そのマスの右上にあるマスに書かれている数が同じになることがあります。例えば上から4段目、左から3列目のマスに書かれている数と上から3段目、左から4列目に書かれている数はどちらも12で同じです。それは、「元のマス」の「列の数」、「段の数」がどのようなときですか。「元のマス」、「列の数」、「段の数」を使って説明しなさい。なお、「列の数」とは「左から何列目にあるか」を、「段の数」とは「上から何段目にあるか」を表す数のことです。


@解説@
(問1)
5×8-4×8=8

(問2)
17×12-16×12
=(17-16)×12
=12

(問3)
上から255段目、左から36列目のマスが正解。
255×36…をしてもよいが、問1と問2のように左から〇列目は〇ごとに増えていく。
8列目は8、12列目は12、36列目は36ずつの等差数列。
256×36=9216だから、9216-36=9180

(問4)
ここで差がつく。

123456×654321は計算しないよ( ˘ω˘ )

左から654321列目なので、1個上にいくと-654321。
上から123455段目なので、1個右にいくと+123455。
654321-123455=530866
〔530866〕だけ「大きい」。

(問5)

右上と数が同じペアを観察すると見えてくる。
平方数を通るように斜め45度線を描くと、右上と左下が対称。

問題文の「元のマス」の意味がわからなかったのだが…(;´・ω・)
『あるマス』が元のマスとして、
『元のマスの列の数と段の数の差が1のとき』かな?
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2020年度 豊島岡女子学園中学入試問題【理科】大問1解説

自然の長さが10cmで重さの無視できるばねを天井につるしておもりを取りつけるとばねは伸び、ばねを床に取りつけておもりをのせるとばねは縮みます。このばねの長さとおもりの重さの関係は、グラフのようになります。

(1)
このばねを2つ用意し、40gのおもりの上下に取りつけました。上側のばね1の端を天井に、下側のばね2の端を床に取りつけ、ばね1、ばね2の長さがそれぞれ10cmになるようにおもりを手で支えました。ばね1、おもり、ばね2は一直線上にある状態になっていました。おもりを静かにはなしてしばらく待つと、ばね1、おもり、ばね2は一直線上にある状態で静止しました。このとき、ばね1とばね2の長さはそれぞれ何cmになりますか。四捨五入して整数で求めなさい

ばねの代わりに、自然の長さが10cmで重さの無視できるゴムひもを用いると、ゴムひもはばねと同じように伸びますが、縮めようとしてもたるんでしまうため、ゴムひもは10cmの長さのままです。ゴムひもの長さとおもりの重さの関係は、グラフのようになります。

(2)
このゴムひもを2つ用意し、(1)のばね1、2の代わりにゴムひも1、2を取りつけました。おもりを静かにはなして止まるまで待つと、ゴムひも1とゴムひも2の長さはそれぞれ何cmになりますか。四捨五入して整数で求めなさい

ゴムひも1の端を天井からはずして手で持ち、ゴムひも1とゴムひも2をたるんだ状態にして、おもりを床に置きました。はじめにおもりと手の距離を0cmとしてから、ゴムひも1を持つ手をおもりの真上に向けて一定の速さでゆっくりと動かし、ゴムひもの合計の長さが30cmになるまで引っ張りました。

(3)
手を動かし始めてから時間を横軸に、ゴムひも1とゴムひも2の長さを縦軸にとったグラフとして正しいものをそれぞれ1つずつ選びなさい。

次に、下の図のように、太さが均一な40gの棒の左端をばねばかりで、右端をゴムひもでつるし、水平になるようにしました。ばねはかりは1kgまではかることができます。棒のちょうど中央におもりをつるせるようになっていて、中央におもりをつるしたときに、ゴムひもがどれだけ伸びるか調べる実験をしました。

棒の中央に100gのおもりを1個ずつ増やしていった場合について、ゴムひもの長さを測定しました。その結果は、下の表のようになりました。

(4)
おもりの重さが200gのとき、ばねはかりの目盛りは何gを指していますか。
四捨五入して整数で求めなさい

(5)
今度は、100gのおもりを何個かゴムひもに直接つるしました。これまでの実験結果から、おもりの個数とゴムひもの伸びの比が変わらない(おもりの個数とゴムひもの伸びが比例している)のは、おもりが何個のときまでと考えられますか。


@解説@
(1)ばね1…12cm、ばね2…8cm
グラフより10gで1cm伸びるから、ばね1が40gを支えるので14cmと6cm……
ではない!!(‘д‘⊂彡☆))Д´)パ-


ばねは伸びたら縮もうとし、縮んだら伸びようとする。
もとの自然長に戻ろうとする力を弾性力という。
この弾性力でばね1はおもりを上にあげ、ばね2は下から押す。
2つのばねは同じばねで、グラフから縮んだときと伸びたときののびの大きさは同じだから、
40÷2=20gずつ均等にかかっている
ばね1は2cm伸びて12cm、ばね2は2cm縮んで8cm。

(2)ゴムひも1…14cm、ゴムひも2…10cm
一方で、ゴムひもは伸びるときに弾性力が働くが、たるんだときは弾性力が働かない。
ゴムひも1に40gがかかるので長さは14cm。
ゴムひも2はたるんだ状態で、たるんでいるときの長さはグラフから10cm。

(3)ゴムひも1…か、ゴムひも2…お
横軸の時間が詳しく記載されていないので変化に注意する。
はじめ、ゴムひも1はたるんでいる状態で10cmのまま。
10cmを超えると、おもりの重さは地面だけでなくゴムひも1にもかかって伸びる。
ゴムひも1が14cm伸びておもりが地面から離れると、
ゴムひも1に40gすべてがかかる。
24cmを超えるとゴムひも2が伸びて下からひっぱり、
ゴムひも1が上からひっぱり伸びる。
このとき、手に引っ張られて変形する伸び率は1と2で半分ずつ。

(4)120g
均一な棒なので、棒の重さ40gはおもりが吊るされる真ん中にかかる。
ばねはかりにかかる重さは、(200+40)÷2=120g

(5)3個
表の最初のほうでは100gで5cmずつ伸びているが、
600g→700gで6cm伸びている。
おもりが600gのとき、ゴムひもにかかる力は(600+40)÷2=320g
700gでは、(700+40)÷2=370g
320~370gのどこかで比例関係が崩れる。
おもりの重さの合計は100の倍数なので、おもり3個まで比例関係はつづく。
*元に戻らなくなる限界値を弾性限界という。
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2020年度 豊島岡女子学園高校入試問題【数学】解説

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50分100点満点

大問1(計算)

(1)
(-2/3x2y)3×3x2y÷(-1/3xy22
=-8/27x63×3x2y×9/x24
=-8x6

(2)

*後ろは有理化ではなく、根号で約分しました。

(3)
ax2-3axy-4ay2
=a(x2-3xy-4y2
=a(x+y)(x-4y)

(4)
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
y=1/2x2に代入。
x=1/2のとき、y=1/8
x=3のとき、y=9/2
(9/2-1/8)÷(3-1/2)…①

y= a/xに代入。
x=1/2のときy=2a、x=3のときy=a/3
(a/3-2a)÷(3-1/2)…②

①と②の値(変化の割合)が等しい。
(9/2-1/8)÷(3-1/2)=(a/3-2a)÷(3-1/2)
9/2-1/8=a/3-2a
-5/3a=35/8
a=-21/8

大問2(小問集合)

(1)
2-5x-3=0に解の公式を適用。
x=(5±√37)/2
まず、√37の整数部分を考える。
√36<√37<√49だから、√37の整数部分は6。
5より√37の方が大きいので、『正の解』は(5+√37)/2。
(5+37)/2の整数部分は、(5+6…)÷2=11…÷2=5…
小数部分a=正の解-整数部分=(5+√37)/2-5

a(a+5)
={(5+√37)/2-5}{(5+√37)/2-5+5

={(√37-5)/2}{(√37+5
)/2}
={(√37)2-52}/4=12/4=3

(2)
2m-1≦√n≦2m ←すべて2乗
(2m-1)2≦n≦(2m)2
2m-1と2mは連続する整数
連続する2つの整数の平方数のあいだにある数を考えればいい。
留意すべきは、不等号≦にイコールがあること
つまり、(2m-1)2もnに含まれる
たとえば、4と9の差は9-4=5個だが、4を含めると5+1=6個となる。
n=2020は(2m-1)2を含む個数なので、(2m)2と(2m-1)2の差は2019

(2m)2-(2m-1)2=2019
4m2-4m2+4m-1=2019
4m=2020
m=505

(3)
7の倍数の判定法は使えにくい(;´Д`)
地道に代入して調べていくが、余りに注目しよう。
11=7+4(余り4
8=7+1(余り1
余りの合計が7の倍数であれば全体で7の倍数
たとえば、a=
1のとき、
余り4×1+余り1×3=7だから、b=3となる。
a=2のとき、4×2+1×6=14→b=6
a=3のとき、4×3+1×2=14→b=2
a=4のとき、4×4+1×5=21→b=5
a=5のとき、4×5+1×1=21→b=1
a=6のとき、4×6+1×4=28→b=4
以上、6通り→6/36=1/6

(4)

平行四辺形は対辺の長さが等しく、辺を内分する比が同じ。
AF//HCED//BG
△AEP∽△ABQより、AP:PQ=AE:EB=2:3

△ADP∽△HDSに注目。
HS=×2/5=〇4/5
図形全体が点対称なので、対称的に考えてQF=〇4/5
分数がでてきたので、いったん比を整数に変換。
AP:PQ:QF=〇4/5

平行四辺形ABCDの面積を1として、上底+下底の和から面積比を計算する。
【平行四辺形ABCD→平行四辺形AFCH→四角形PQRS】
1×6/10×30/58=
9/29
9/29倍


大問3(関数)

(1)
Bはy=x2とy=x+2の交点。
2=x+2
2-x-2
=(x+1)(x-2)=0
Bのx座標は正しいだから、B(2、4)
*Aの座標は(-1、1)

(2)

y=1は横線。
B(2、4)を対称移動させてC(2、-2)
②と平行なので傾きは1。
Cから切片へ移動。下に2、左に2で(0、4)
y=x-4

(3)
面積が等しい。等積変形→平行線。
②y=x+2から前問のy=x-4との距離が等しく、
②の上側にあるグラフに注目する。

ポイントはy軸上で考えること!
y=x-4の切片は-4
y=2x+2の切片は2
距離が6離れるので、Pが通る直線の切片は8
y=x2とy=x+8の交点座標が答え。
2=x+8
2-x-8=0
因数分解ができないので、解の公式。
x=(1±√33)/2

大問4(方程式)

(1)
表を書いて整理!

豊島岡レベルを狙うならサクッと処理したい。
xがy%減少→xに(1-y/100)倍
40%増→140/100=7/5倍
2019年の女子は、7/5x(1-y/100)

(2)
yしかない男に着目。

これを、前問の解答に代入。
7/5x(1-25/100)=63
7/5x×3/4=63
21/20x=63
x=60


大問5(平面図形)

(1)

情報の多い△ADGに着目。
辺の比が2:1で、あいだの角が60°…どこかで見たことのある三角形( ^ω^)・・
同じものを2つくっつけると正三角形なので、
△ADGは1:2:√3の直角三角形→∠AGD=90°

∠CGE=180-90-60=30°
△GCEで外角定理→∠GEB=30+60=90°
合同より、∠DEG=∠DEBだから、∠DEG=90÷2=45°

(2)
△ADGは1:2:√3の直角三角形→DG=√3
合同で、DB=√3
正三角形ABCの1辺ABが2+√3だから、
FG=2+√3-1-1=√3

(3)
難問(;´・ω・)
3点を通る円の半径を求めたい場合、まず円の直径を探る。
直径に対する円周角は90°だから、どこかに直角があるはずだが、
△EFGの内角を調べると∠EFG=90°が導けない…(´゚д゚`)
直径はEGではないのでは?
そこで、別の直角を探す

大問3もそうだったが、前問の解答がきちんと誘導になっている
DG=√3、GF=√3、∠DGF=90°より、△DGFは直角二等辺三角形
∠DGFを使いたい…。残るEをどうするか?(‘Д’)

直角二等辺だから、∠DFG=45°
(1)より、∠DEG=45°(‘ω‘ )!!
点E、Fが直線DGにおいて同じ側にあり、∠DEG=∠DFGが成り立つ
円周角定理の逆から、4点D、E、F、Gは同一円周上にある
この円の半径を求めればいい。
直径DFは1:1:√2より、√3×√2=√6
半径は√6÷2=√6/2

大問6(空間図形)

(1)

小球の中心Oは球の半径から面AEHD(左)、面AEFB(前)、面EFGH(底面)から等距離で、
3つの面から等距離にある点の集合は
立方体の対角線ECである
(Cも3つの面から等距離にある。CD=CB=CG)
EOとEPを伸ばすとCとGにあたる。
△EOP∽△ACG
EP/OP=EG/CG
EGは正方形の対角線で6√2だから、
EP/OP=6√2/6=√2

(2)
大球と小球が接するQは、どの直線上にあるのだろう?(´-`).。oO


大球の中心をO’、Qから垂線をおろして足をRとする。
大球は立方体に接するので、O’はどの側面の正方形からみても中心。
すなわち、O’は立方体の中心にあり、立方体の対角線EC上にある
小球と大球はQで接するのでO-Q-O’は一直線、
かつ、QはEC上にあるOとO’の間にあるから、QもEC上にある

△ECGで三平方→EC=6√3
△ECG∽△EQRで、EQ:QR=EC:CA=6√3:6=√3:1
 
立方体の中心にあるO’は対角線ECの中点
EO’=6√3÷2=3√3
O’Qは大球の半径3だから、EQ=3√3-3
QR=(3√3-3)×①/〇√3=3-√3

したがって、四角錘Q-EFGHの体積は、
6×6×(3-√3)÷3=
36-12√3

@データ@
受験者平均:63.01点
合格者平均:71.81点
やはりボーダーは高いですな|・ω・` )
簡単なところでの失点は痛いです。

豊島岡女子の算数も面白いので、ぜひトライしてみてね(*’ω’*)
とくに大問6の空間がヤバめ。
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2020年度 麗澤中学入試問題【算数】大問4解説

麗澤中学校で1年生の交流を深めるためにクラス対抗ラグビー大会を実施しました。
試合中の得点は、次のルールにしたがって点数が加算されます。
①トライ…5点、②コンバージョンゴール…2点、③ドロップゴール…3点
ただし、コンバージョンゴールはトライの回数以下です。
A、B、C、Dの4クラスが参加し、総当たりのリーグ戦を行いました。
リーグ戦は次のルールにしたがって勝ち点を計算しました。
①勝ち…4点 ②引き分け…2点 ③負け…0点
④勝敗に関係なく、トライの回数が4回以上…1点
⑤負けた場合、点差が7点以内…1点

A組とB組の対戦では、31-17でA組が勝利しました。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1)
試合は全部で何試合行われたか答えなさい。

(2)
A組とB組の対戦でのA組の点数の取り方は、何通りあるか答えなさい。
ただし、点数が加点された順番は考えなくてかまいません。

大会が進み、残りはA組とD組の対戦のみとなりました。
ここまでの結果として、次のことがわかっています。
・C組とD組の対戦では、C組が3回トライし17点差で勝利した。
・B組とD組の対戦は引き分けではなく、D組のトライの回数の方が多かった。
・B組とC組の対戦では、C組が3回トライしたがB組は負けなかった。
・A組とC組の対戦では、A組が2回トライし10点差で勝利した。
・B組の勝ち点は3、D組の勝ち点は4です。
なお、この大会の優勝クラスの決定方法は勝ち点が一番多かったクラスです。
ただし、勝ち点で並んだクラスがあったときは直接対決で勝ったクラスが優勝とします。
(3)
A組とD組の対戦が終了し、D組が優勝したとき、
各組の勝ち点の組み合わせは何通りあるか答えなさい。


@解説@
(1)
4組で総当たり戦(リーグ戦)。

↑こんなヤツです。6試合。

(2)
31点の中身を調べる。
@条件@
トライ…5点、コンバージョンゴール…2点、ドロップゴール…3点
ただし、コンバージョンゴールはトライ以下の回数。
得点の大きいトライの回数で場合分け
■トライ6回
31-5×6=1点
残り1点が作れないので×。
■トライ5回
31-5×5=6点
2×3と、3×2の2通り。
■トライ4回
31-5×4=11点
2×4+3と、2+3×3の2通り。
■トライ3回
31-5×3=16点
2×2+3×4の1通り。
■トライ2回
31-5×2=21点
3×7の1通り。
■トライ1回
31-5×1=26点
2×1+3×8の1通り。
■トライ0回
残り31点を作れない×。
したがって、7通り。
*トライが多いときはドロップ、少ないときはコンバージョンで場合分けした方が良いかな?(‘ω’)

(3)
推論問題。条件がフクザツで厳しいよ~(´Д`)
この問題に精を尽くすより、他を確実にとった方が良いです。

だいたいこの手の問題は、最後に挙げられた情報が一番重要であったりする(´-`).。oO
Bの勝ち点は3、Dの勝ち点はD
〔BvsC〕でBが勝ってしまうと、Bの勝ち点が+4になってしまう。
BとCは引き分けとなる。Bはトライ4回以上の可能性あり。
同様に、〔BvsD〕でBが勝つとBの勝ち点が+4になってしまう。
Bは負け、Dが勝ち。いずれもトライ4回以上の可能性はあり、
Bはドロップゴールをたくさん決めて7点差以内で負けたかもしれない。
だが、DはBとの勝利で勝ち点が4なので、これまでに追加点はなかったことになる

これを踏まえたうえで条件を整理する。
トライの回数が4回以上、もしくは負けても7点差以内でもらえる1点の処理がキツイ。
この1点が不明な場合、以下、△とあらわす
〔AvsB〕A:4+△ B:0
*勝ったAは4点、負けたBは0点。
前問のようにAは31点のうち、トライが4回以上の場合がある。
Bは14点差で負け、17点ではトライは最大で3回だから追加点はない。
〔AvsC〕A:4 C:0+△
*Aはトライ2回で追加点なし。Cはトライ4回以上がありうる。
(たとえば、Cがトライだけで5×
4=20点。Aは5×2+2×1+3×6=30点のとき)
〔AvsD
〕まだ行われていない。
〔BvsC〕B:2+△ C:2
*Bはトライ4回以上の可能性あり。
〔BvsD〕B:0+△+△ D:4
*Bはトライ4回以上、もしくは7点差で負けた可能性あり。
〔CvsD〕C:4 D:0+△
*Cはトライ3回で追加点なし。Dはトライ4回以上の可能性がある。
(たとえば、Dはトライだけで5×4=20点。Cは5×3+2×2+3×6=37点のとき)
現時点で勝ち点は少なくともA8点、B2点、C6点、D4点
Bの勝ち点は3なので、どこかの△が1だが、
AとDの対戦でこれ以上は増えない。Bは勝ち点3で確定
最終的にDが優勝するので、DはAに勝つことになる
〔AvsD〕A:0+△+△ D:4+△
A8点、B3点(確定)、C6点、D8点

■AとDの勝ち点が同点。
この場合、直接対決で制したDが優勝するので条件に適合する。
Aの△は3つ、Dの△は1つ。
(A、D)=(8、8)(9、9)の2通り。
■Dの勝ち点がAより大きい。
(A、D)=(8、9)の1通り。

さらに、Cに△が1つあるので、Cの勝ち点は6か7で2通りある。
よって、各組の勝ち点の組み合わせは、(2+1)×2=6通り
*実際の試合ではドロップゴールは難しい( ˘ω˘ )
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2020年度 久留米大学附設高校入試問題【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
60分100点満点

大問1(小問集合)

(1)
(x+3y):(4x-2y)=3:5 …①
3x-5y=12 …②

①内項と外項の積より、
3(4x-2y)=5(x+3y

12x-6y=5x+15y
7x=21y
x=3y …③

②に代入。
3×3y-5y=12
4y=12
y=3
③に代入。x=3×3=9
x=9、y=3

(2)
高校レベルに突っ込んでる(;’∀’)
対称式を使います。
a+b=(√3+√15)+(√3-√15)=2√3
ab=(√3+√15)(√3-√15)=32-152=-12
式の変換ではa+bとabだけの形に持っていく。

*a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab

(3)

△AEOは半径より二等辺→∠EAO=(180-100)÷2=40°
O’Dに補助線
半径と接線は直交するので、∠ADO’=90°
△ADO’の外角定理から、∠DO’B=40+90=130°
△O’DBも半径より二等辺→∠DBO’=(180-130)÷2=25°
△ADBで外角定理→∠BDE=40+25=65°

(4)
(p、q)=(19、1)(18、2)(17、3)…(11、9)の9通り。

1辺が√pと√qの正方形があり、2つの面積の合計は20で一定。
このとき、√p+√qの長さがMaxになるのはどういうときだろう?(‘Д’)
…勘のイイ人はすぐ思いついてしまう(^^;

極端なケースを想定する。
条件はq>0だが、仮にq=0にしてpの面積を20とすると、√p=√20
p>qを無視して、仮にp=q=10とすると、√p+√q=√10+√10=2√10=√40
√20<√40だから、pとqの面積が等しい場合に近いほど、長さの和が長くなるはず
ということは、√p+√qにおいて最も値が大きいのは√11+√9、
2番目は√12+√8、3番目は√13+√7となる。
(p、q)=(13、7)

(5)
難しい(´゚ω゚`;)
4m3+n2=2020
2=2020-4m3
2=4(505-m3
左辺のn2が平方数。
4も平方数なので、505-m3も平方数になるはず。
3乗が曲者だが…8×8×8=512なのでmは7以下
m=1⇒505-1=504×
m=2⇒505-8=497×
m=3⇒505-27=478×
m=4⇒505-64=441=21×21〇
m=5⇒505-125=380×
m=6⇒505-216=289=17×17〇
m=7⇒505-343=162×
*20までの平方数は暗記しておくのがベター。
m、nは2組しかないとあるので、もう1個がでれば終了。

nの値は素因数に注目。(4=2×2の2だけを抜き出す)
m=4のとき、n=2×21=42
m=6のとき、n=2×17=34
(m、n)=(4、42)(6、34)
他に良い解法を編み出した方は、ぜひお問い合わせかコメント欄でお知らせ願いますm(_)m

大問2(関数)

(1)
Aはy=ax2とy=a/xの交点。
ax2=a/x ←両辺をx倍
ax3=a ←両辺を÷a
3=1
高2で虚数iを用いて三乗根ω(オメガ)を習いますが、
中学の範囲では□×□×□=1にあてはまる数は1しかないと感覚で答えるしかないと思う。
x=1
y=ax2に代入して、
A(1、a)

(2)
直線PQの式をy=ax+bとする。
PとQはy=ax2とy=ax+bの交点。
ax2=ax+b
ax2-ax-b=0
ここで解の公式を適用。

 求めたいのはp+qの値。pは負、qは正だから…

(3)
pとqの座標の距離はq-p
Rのx座標はpとqの中点だから、
pから(q-p)/2を足せばいい。
p+(q-p)/2
=(2p+q-p)/2
=(p+q)/2=1/2

これをy=a/xに代入。
Rのy座標は、y=a÷1/2=2a
R(1/2、2a)

(4)
bがわかる。

y=ax+bの傾きaは右に1いくと上にaあがる
Rから切片に移動すると、下に1/2a、左に1/2。
ここから切片は、2a-1/2a=3/2a

PとQはy=ax2とy=ax+3/2aの交点だから、
ax2=ax+3/2a
2-x-3/2=0
2x2-2x-3=0
解の公式を適用、b=2b’が使える。
x=(1±√7)/2
p<0、q>0だから、p=(1-√7)/2、q=(1+√7)/2

(5)

AP=AQなので、△APQは二等辺三角形。
頂角Aから底辺PQの中点にあるRを結ぶとAR⊥PQ
ARの傾きは、(a-2a)/(1-1/2)=-2a
2本の直線が直交するとき、傾きの積は-1
PQの傾き…-1÷-2a=1/(2a) ←aは分母にある
これがy=ax+3/2aの傾きaと同じ。
a=1/(2a) ←両辺を2a倍
2a2=1
2=1/2
a>0より、a=√2/2


大問3(確率)

(1)

aが3以上になって、切片bが1以上となる。切片bは6まで許容。
(a、b)=(3、1)(4、2)(5、3)(6、4)
4通り

(2)

直線PQではなく線分PQに注意!(`ω´)
y=2x2で線分Pに触れる。
ということは、これより開きが大きくなるy=x2では共有点なし。
c=2~6→
5通り

(3)

1≦b≦6より、
(a、b)=(1、6)(2、4)(3、2)で3通り。
放物線はy=2x2しかない→c=2で1通り。
全部で6×6×6通りなので、
(3×1)/(6×6×6)=
1/72

(4)
cに1~6を代入して、x=2のときのy座標で場合分け。
◆c=1、y=4
(a、b)=(1、2)の1通り。
◆c=2、y=8
前問から3通り。
◆c=3、y=12
(3、6)(4、4)(5、2)の3通り。
◆c=4、y=16
(5、6)(6、4)の2通り。
◆c=5、y=20
y=6x+6にしてx=2を代入すると18。
yの最大値は18なので無い。
◆c=6、y=24
同様に無い。
計9通り。
9/(6×6×6)=
1/24

(5)

y=ax+bは右上に伸びるので、x<0の格子点に注目する。
(-1、1)か(-2、4)しかない
なぜなら、切片bは1~6の範囲で、(-3、9)だと6を超えてしまうから。
まず、(-1、1)を基準に検証。
◆傾き1
(a、b)=(1、2)
傾き1は45度線で格子点を通る。〇
◆傾き2
(a、b)=(2、3)
y=x2とy=2x+3の交点を求める。
2=2x+3
2-2x-3=(x+1)(x-3)=0
x=-1、3でOK。〇
◆傾き3
(a、b)=(3、4)
2-3x-4=(x+1)(x-4)=0OK
◆傾き4
(a、b)=(4、5)
2-4x-5=(x+1)(x-5)=0OK
◆傾き5
2-5x-6(x+1)(x-6)=0OK

次に、(-2、4)を基準とする。
傾き1で(1、6)しかない。
y=x2とy=x+6の交点座標は…
2-x-6=(x+2)(x-3)=0OK
6通り

大問4(平面図形)

(1)

↑PAが直径のとき。Mが中心O。
直径に対する円周角は直角なので、∠ABP=90°
△PMN∽△PABより、MN=4÷2=2

(2)

直径に対する円周角で∠PAB=90°
△PBAは3:4:5の直角三角形。
面積は3×4÷2=6
MP=3÷2=3/2

△PBAと△PMNの面積比を求める。
面背比は辺の比の2乗。
2:(3/2)2
=25:9/4=100:9
よって、
△PMNの面積は、6×9/100=27/50

(3)
エエエ:(っ`ω´c):

適当に調べてみると左のところに集まっている・・。
AとCのあいだっぽい。

BCは直径。これに対する円周角である∠BPC=90°
同位角が等しく、CP//MN
MNとACの交点をQとする。
CP//MNから2角が等しく、△ACP∽△AQM
AQ:QC=AM:MP=1:1
定点QはACの中点にある。

(1)(2)の図から直線MNを描いてQの位置を探るのが良かったかな?


大問5(空間図形)

(1
問題文に数字が2つしかない。。
球の半径が1なので、球と正四角錘が接するポイントを探す。

ABの中点をEとする。Eが接点
△OHEで三平方。
HE2=12-(√2/4)2
1-1/8=7/8
HE>0より、HE=√14/4

△HEAは直角二等辺だから。AH=
√14/4×√2=√7/2

(2)
OH=√2/4、AH=√7/2
△OAHで三平方。
OA2=(√2/4)2+(√7/2)2=15/8
OA>0で、OA=√30/4

前問のEを使う。
球面SとPAの接点がQ。
Eも球面上にあるABとの接点。
△APBで球面SはAP上でQと、AB上でEと接する。
そして、円外の点から接点までの接線の長さは等しい
QA=EA=√14/4

(3)
(2)と同じ、2本の線分の長さを求めるが、
わざわざx、yに置き換えているということは連立を組めということ。
POとPQを1辺とする三角形で相似関係を見つける。

ズバリ、△PAH∽△POQ
PO:OQ=PA:AHから、
√7/
2x=y+√14/4 …①
PQ:QO=PH:HAから、
√7/2y=x+√2/4 …②

これを解けばいいが、計算処理がツライ(;´Д`)
以下、代入法。

(*‘ω‘ *)キッツー
x=3√2/2、y=√14/2

(4)
PA=PQ+QA=√14/2+√14/4=3√14/4

球面Sの中心をRとする。
△APEで三平方→PE=√7
△APE∽△RPQよりQRの長さは、

r=√7/4

@データ@
英国数理社各100点の500点満点
合格最高点348点、合格最低点257点
総合平均点(合格者)293点(受験者)239点
6割↑は欲しい。
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2020年度 開智中学・先端A入試問題【算数】大問4解説

あるクラスで100点満点の算数のテストを行ったところ、
クラスの生徒全員の平均点は75.5点でした。
100点をとった生徒は4人いて、その4人を除いた残りの生徒の平均点は72点でした。
テストの得点はすべて0以上100以下の整数であるとして、以下の問いに答えなさい。
(1)
このクラスの人数は全部で何人ですか。

(2)
平均点より高い得点をとった生徒は、もっとも多くて何人ですか。

同じクラスで100点満点の国語のテストを行ったところ、平均点は60.5点でした。
算数のテストで自分がとった点数以上の点数を国語のテストでとった人は、
ちょうど10人いました。
(3)
算数、国語の両方のテストでともに平均点より高い点数をとって生徒は、
もっとも多くて何人ですか。


@解説@
*入試では(2)(3)は考え方も解答用紙に書く。
(1)

左が満点の4人。右がその他の?人。
2つの長方形を均すと75.5点になる。

4人の75.5点以上の面積が、その他の72点以上75.5以下と同じ。
(100-75.5)×4=24.5×4=98
?=98÷(75.5-72)=98÷3.5=28
4+28=32人

(2)
クラス全員の平均は75.5点だった。
平均よりも高い点数をとった生徒を多くするには、
平均点よりギリギリ上の76点の生徒を増やす

その他28人の総和…72×28=2016点
これを76で割り、その整数部分が76点の得点者。
2016÷76=26.5…→26人
26+4=30人
*26人の総和は、76×26=1976点
残りの2人で2016-1976=
40点を適当に配分すればいい。

↑図を描くとこうなる。

(3)
(2)のように、総和から条件に適合するように得点を配分する。
クラス全員の総和…60.5×32=1936点
『国語で算数以上の点数をとった人は10人』
言い換えれば、算数より国語で点が下がった人は22人もいる
平均点の高い算数より、平均点の低い国語が悪かった人は多いので、
『国語で算数以上の点数をとった10人』を優先してつくる。

まず、先ほどの算数で平均以下だった2人が、国語で同じ点数を取る。
2人の総和…40点
算数で76点だった26人のうち、8人が国語で76点をとる。
8人の総和…76×8=608点
これで、『国語が算数以上の10人』が完成。

残りの22人で、1936-(40+608)=1288点を分配する。
国語のギリ平均超えである61点の得点者を増産。
1288÷61=21…≒21人

21人の総和…61×21=1281点
残りの1人は、1288-1281=7点となる。

したがって、算国両方で平均超えは、最も多くて8+21=29人。
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2020年度 巣鴨中学入試問題【算数】大問3解説

図のように3×3のマス目に1から9までの数字が書かれたカードがあります。
また、1から9までの数字が1つずつ書かれたボールが入っている箱があります。
このとき、次のようなゲームをおこないます。

@ルール@
①箱からボールを1個取り出し、ボールに書かれた数字と同じ数字のマス目に〇を付ける。
ただし、一度取り出したボールは箱にもどさないものとする。
②①をくり返して、9個のマス目のうち、たて、横、ななめのいずれか一列の数字
すべてに〇が付いたら終了とする。

たとえば、1、2、4、3の順でボールと取り出すと、1、2、3の列の数字すべてに〇が付くので、ボールを4個取り出してゲームは終了となります。
また、1、2、3の順でボールと取り出す場合と1、3、2の順でボールを取り出す場合は、ともに1、2、3の列の数字すべてに〇が付くので、ボールを3個取り出してゲームは終了となりますが、これらは異なるボールの取り出し方とします。このとき、次の各問いに答えなさい。
(1)
3個のボールを取り出し、1、5、9に〇が付いてゲームを終了するような取り出し方は
何通りありますか。

(2)
4個のボールを取り出し、1、5、9に〇が付いてゲームを終了するような取り出し方は
何通りありますか。

(3)
5個のボールを取り出し、1、5、9の列の他にもう1列の数字すべてに〇が付いて
ゲームが終了するような取り出し方は何通りありますか。


@解説@
(1)
〔1・5・9〕を取り出してビンゴ。
3つの順列→3×2×1=6通り

(2)
〔1・5・9・□〕を取り出し、1-5-9でビンゴ。

最後の4回目は1・5・9のどれかでなくてはならない
この3つの並びは6通り。
1or2or3回目に1・5・9以外の6つの数字のどれかが入る
6×3=18通り
よって、6×18=108通り

(3)
最後の5回目は、1・5・9のどれかでなくてはならない。

A:1でフィニッシュ。
〔2・3〕か〔4・7〕を出す。

〔2・3〕を出す。
2・3・5・9の順列→4×3×2×1=24通り
〔4・7〕も同様で24通りだから、計48通り。

B:9でフィニッシュ。
これもAと対称的に考えて48通り。

C:5でフィニッシュ。
〔2・8〕〔3・7〕〔4・6〕がある。
24×3=72通り

したがって、48+48+72=168通り
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2020年度 麗澤中学入試問題【算数】大問2解説

次の〔  〕にあてはまる数を答えなさい。
(1)
濃度6%の食塩水250gと濃度10%の食塩水〔  〕gと水50gを混ぜると、
濃度7%の食塩水になりました。

(2)
麗太くんと麗子さんは、南柏駅から〔  〕kmの一直線の道を通って麗澤中学校に向かうため、
麗太くんは分速100mで歩き、麗子さんは時速30kmで進むバスに乗りました。
麗子さんの乗ったバスは、途中にある3つの信号で、それぞれ2分ずつ停車しました。
2人は同時に出発しましたが、麗太くんは麗子さんよりも10分遅れて麗澤中学校に到着しました。

(3)
あるファストフード店では、店内で食べる物には10%の消費税が、
持ち帰るものには8%の消費税がかかります。麗太くんは店内で定価290円のポテトを食べ、
定価〔  〕円のハンバーガーを持ち帰ったので697円かかりました。

(4)
身長が全員ことなる5人を以下の規則にしたがって一列に並ばせるとき、
並び方は全部で〔  〕通りあります。
規則:左から2番目と4番目の人はどちらも、両隣りの人より背が高い。

(5)
下の数字の列はある規則性にしたがって並んでいます。
〔  〕に入る数を答えなさい。

(6)
下の図の斜線部分の面積は〔  〕cm2です。
ただし、円周率は3.14とします。


@解説@
(1)
天秤法を使いたいが…水がジャマ|・ω・` )
先に、濃度6%食塩水250gと水50gを混ぜてしまおう
食塩の量は250×6%=15g
食塩水の量は250+50=300g
水50gを混ぜた後の濃度は、15÷300×100=5%

ここで天秤法。
支点からの距離が2:3なので、おもりの重さは3:2。
300×2/3=200g

(2)
時速30kmを分速に変換。
麗子の速さ…30×1000÷60=分速500m
速さの比は、麗太:麗子=100:500=1:5
時間の比は逆比で、麗太:麗子=⑤:①

麗子のバスは途中で合計6分間停車し、麗太は麗子の10分遅れで到着。
→もし、信号がすべて青でバスの停車がなかったら、麗太は16分遅れになっていた。
時間の比の差④が16分だから、麗子の時間①は4分。
南柏駅~麗澤中学までは、分速500m×4分=2000m=2km

(3)
店内のポテトは税込みで、290×110%=319円
残りは、697-319=378円
持ち帰ったハンバーガーの定価は、378×100/108=350円

(4)

最も背が高い人を2番に配置。
2番目に高い人を1番に配置すると、3番目に高い人は4番にくる。
2通り。

今度は、2番目に高い人を4番に配置する。
残り3人はどこでもいい。
3×2×1=6通り
計8通り

最も背が高い人を4番に配置しても同様のことがいえる。
対称的に考えて、8×2=16通り

(5)

整数を分数に、既約分数が約分されたと仮定すると…
分子が3、分母が1ずつ増えていた(ノ∀`)
19/7

(6)
迷った(;`ω´)

半円の中心点を意識しよう。
青線の直角三角形が相似。
底辺:高さ=1:3から、小さい直角三角形の底辺が1cm。その左が2cm。

緑線の三角形で相似。
辺の比が2:6=1:3
上の三角形の高さは、6×①/④=3/2cm
の面積を調べてみると…1×3÷2=3/2cm2
2×3/2÷2=3/2cm2で面積が等しい(´ω`ノノ゙
移植すると、半径3cmの4分の1円になる。
3×3×3.14÷4=7.065cm2

@別解@

正方形の対角線Оは正方形の中心。
AO=3+3=6cm
△AODと△CBDは1辺と両端角が等しく合同。
BD=DO

△OBEは直角二等辺三角形で、EA=EO=3cm
OE:EA=1:1
△ODEと△OBAで、OD:DB=OE:EA=1:1
平行線と線分の比(中点連結定理)からBA//DE。


等積変形で△DBEと△DAEの面積が等しい。
2つの三角形から△DFEをひくと、△DBFと△FAEの面積も等しい
★を移植して、斜線部分の面積は半径3cmの4分の1円に変形できる。
難しい(;´Д`)
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2020年度 専修大学松戸中学入試問題【算数】大問7解説

S中学校のT先生とMさんが「11の倍数の見分け方」について会話しています。
あとの各問いに答えなさい。

T先生:Mさん、11の倍数の見分け方を知っていますか?
Mさん:3の倍数や4の倍数なら知っていますが、11の倍数は知りません。
T先生:それは、1けたおきに加えた和どうしの差を11で割るというものです。
 たとえば、〔3817〕の場合、
 1けたおきに加えた和➡3+1=4…(A)、8+7=15…(B)
 (A)と(B)の差➡15-4=11…(C)
(C)が11で割り切れるので、〔3817〕は11の倍数だとわかるのです。
もう一つ例をあげると、〔25487〕の場合、
 1けたおきに加えた和➡2+4+7=13…(A)、5+8=13…(B)
 (A)と(B)の差➡13-13=0…(C)
 この場合も(C)が11で割り切れるので、〔25787〕は11の倍数だとわかります。
Mさん:へぇ~。びっくりしました。
T先生:それでは、さっそく問題です。
 7けたの整数〔2N30958〕が11の倍数になるとき、Nにあてはまる数は何ですか?
Mさん:はい。答えは〔 ア 〕です。
Tさん:正解です。よくできましたね。
Mさん:でも、T先生。どうしてそのようになるのですか?
T先生:それでは、99、9999、999999のように、9だけが偶数個並んだ数は
 11の倍数になることを説明してみてください。
Mさん:はい。999999の場合で説明をすると、
 999999=990000+9900+99
=11×90000+11×900+11×9
=11×(90000+900+9)
=11×〔 イ 〕
 これでどうですか?
T先生:よくできました。
 そうすると、9だけが偶数個並んだ数に11を加えた数も11になりますね。
 ですから、
 99+11=110、9999+11=10010、999999+11=1000010、…
 も11の倍数です。ところで、これらの数の一の位の数字はすべて0ですから、
 これらの数を10で割った数も11の倍数になりますね。
Mさん:つまり、11、1001、100001…のように、2個の1の間に偶数個の0が並ぶような数は
 11の倍数だということですね。
T先生:その通り。
 これらの性質を使うことで、11の倍数の見分け方がわかるのです。
 たとえば、〔3817〕の場合で説明しましょう。
 3817=3000+800+10+7
=1000×3+100×8+10×1+7
=(1001-1)×3+(99+1)×8+(11-1)×1+7
=1001×3-3+99×8+8+11×1-1+7
=11×91×3-3+11×9×8+8+11×1-1+7
=11×(91×3+9×8+1)-3+8-1+7
=11×(91×3+9×8+1)(8+7)-(3+1)…(*)
となります。  の部分は11の倍数ですから、  の部分が11の倍数であれば、
〔3817〕も11の倍数だとわかるのです。
Mさん:なるほど!よくわかりました。

(1)
次の①~④のうち、11の倍数はどれですか。すべて選びなさい。
①773124 ②2701384 ③9999999 ④10000001

(2)
〔 ア 〕、〔 イ 〕にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

(3)
Mさんは家に帰ってから、T先生の説明にならって、
〔25487〕が11の倍数になる理由を考えました。
下の式は、T先生が作った(*)の式と同じ内容のものです。
〔 ウ 〕~〔 オ 〕にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。
11×(〔 ウ 〕×2+〔 エ 〕×5+〔 オ 〕×4+8)+(2+4+7)-(5+8)


@解説@
(1)
①奇数番目の位➡4+1+7=12、偶数番目の位➡2+3+7=12、両者の差➡12-12=0
 差が0の場合も11の倍数になる。〇
②奇数番目の位➡4+3+0+2=9、偶数番目の位➡8+1+7=16、両者の差➡16-9=7
 差が11の倍数ではないので違う。×
③9だけが偶数個並ぶと11の倍数。9999999は奇数個なので違う。×
④2個の1の間に偶数個の0が並ぶので当たり。〇
①・④

(2)ア
奇数番目の位➡8+9+3+2=22
偶数番目の位➡5+0+N=5+N
両者の差が11の倍数か0になればいい。
22-(5+N)=17-N
0≦N≦9だから、N=6


中2で習う、整数の証明問題と考え方は同じです。
999999=990000+9900+99
=11×90000+11×900+11×9
=11×(90000+900+9)
=11×〔 イ 〕
イ=90000+900+9=90909
*11の倍数を証明したい場合、11×(整数)の形に変形する。

(3)
少々、問題文のおさらいを入れます(‘Д’)

9が偶数個だと11の倍数になる証明は前問の通りだが、
筆算をかくと視覚的にわかりやすい。

(9が偶数個並ぶ数)が11の倍数なので、
(9が偶数個並ぶ数)+11も11の倍数。
999999+11=1000010 ←11の倍数

÷10をすると桁が1個右にスライドする。
奇数番目の位と偶数番目の位×の和の差が0なので、11の倍数は維持される。

偶数番目の位である10、1000、100000…を(11-1)、(1001-1)、(100001-1)に、
奇数番目の位である100、10000、1000000を(99+1)(9999+1)、(999999+1)に変換。
11、1001、100001、99、9999、999999はすべて11の倍数だから、
残りが11の倍数となれば全体で11の倍数となる
例題の〔3817〕の場合、11×(91×3+9×8+1)+(8+7)-(3+1)
   の部分は〔3817〕の8と7、3と1の和の差をしている。
これが、1桁おきに加えた和どうしの差を11で割れば11の倍数を判定できる理由。

25487
=10000×2+1000×5+100×4+10×8+7
=(9999+1)×2+(1001-1)×5+(99+1)×4+(11-1)×8+7
=11×909×2+2+11×91×5-5+11×9×4+4+11×8-8+7
=11×(909×2+91×5+9×4+8)+(2+4+7)-(5+8)
   の部分が0なので、25487は11の倍数となる。
ウ…909、エ…91、オ…9
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