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大問１（計算）

（ア）
－11＋（－５）
＝－11－５
＝－16　【１】

（イ）
１/５－９/10
＝－７/10　【２】

（ウ）
（５ｘ－ｙ）/６－（３ｘ－４ｙ）/８
＝｛４（５ｘ－ｙ）－３（３ｘ－４ｙ）｝/24
＝（20ｘ－４ｙ－９ｘ＋12ｙ）/24
＝（11ｘ＋８ｙ）/24　【４】

（エ）
25/√10－√40＋√５/√２
＝５√10/２－２√10＋√10/２
＝√10　【２】

（オ）
（ｘ＋９）（ｘ－６）－（ｘ－４）²
＝ｘ²＋３ｘ－54－ｘ²＋８ｘ－16
＝11ｘ－70　【３】

大問２（小問集合）

（ア）
５ｘ＋８ｙ＝－２　…①
１/３ｘ＋３/４ｙ＝－１　←12倍
４ｘ＋９ｙ＝－12　…②

数字の並びが(;´･ω･)
②×５－①×４をすると、
13ｙ＝－52
ｙ＝－４
①に代入、５ｘ－８×（－４）＝－２
５ｘ＝30
ｘ＝６
ｘ＝６、ｙ＝－４　【４】

（イ）
２ｘ²－８ｘ＋１＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（４±√14）/２　【４】

（ウ）
ｙ＝ａｘ²において、ｘの値がｐ→ｑに増加したときに変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）。
一次関数の変化の割合は傾きで表される。
ａ（１＋３）＝－６
４ａ＝－６
ａ＝－３/２　【１】

（エ）
加えた食塩水をｘｇとする。
食塩の量で等式を立てる。
350×0.05＋0.15ｘ＝（350＋ｘ）×0.08　←100倍
1750＋15ｘ＝2800＋８ｘ
７ｘ＝1050
ｘ＝150→150ｇ　【２】

＠別解＠
中学受験では天秤法というテクニックがあります。

混ぜた後の濃度８％を支点にする。
支点からの距離は３：７。
天秤が釣り合うには、重さを逆比にして⑦：③。
350×③/⑦＝150ｇ

（オ）

整数になる→根号が外れる→根号の中身は平方数。
61までの平方数は、【１、４、９、16、25、36、49】の７個。
４の倍数＋１から４の倍数を引いた数は、４の倍数＋１である。
条件に合う平方数は、【１、９、25、49】の４個。　【３】
（具体的にいうと、ｎ＝３、９、13、15）

大問３（小問集合２）

（ア）ⅰ
△ＡＥＦ≡△ＢＤＥの証明。

仮定より、∠ＥＡＦ＝∠ＤＢＥ（●）
ＡＢ＝ＡＣでＤとＥは各々の中点だから、ＤＢ＝ＡＥ
△ＡＤＥは二等辺三角形で底角が等しいので、∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ（×）
△ＡＤＥに外角定理を適用、∠ＡＥＦ＝∠ＡＤＥ（×）＋∠ＤＡＥ（▲）
∠ＢＤＥ＝∠ＡＥＤ（×）＋∠ＤＡＥ（▲）
∠ＡＥＦ＝∠ＢＤＥ
（もしくは、180－×で等角と指摘してもよい）
以上より、１辺と両端角が等しいので合同。
ａ…【３】、ｂ…【１】

ⅱ

ＧＥ：ＥＨを求めたい。
ＧとＨが垂線上にあるので、直角をどこかで使わなくてはならない。
△ＡＢＣは二等辺三角形。二等辺で直角といえば底辺の垂直二等分線！
底辺ＢＣの垂直二等分線をひき、ＤＦ、ＢＦ、ＢＣとの交点をそれぞれＩ、Ｊ、Ｋとする。

△ＧＨＦ∽△ＡＪＦに着目してＩＦを境に上下を観察すると、ＧＥ：ＥＨ＝ＡＩ：ＩＪである。
（△ＧＥＦ：△ＡＩＦ＝△ＨＥＦ：△ＪＩＦ）
ＡＩ：ＩＪを求めれば良い。

何ら長さの情報が与えられていない。そこで等辺から見当をつける。
ＤＩ＝ＩＥ＝●とする。
△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ、ＫはＢＣの中点だから、ＢＫ＝ＫＣ＝●●
前問の合同より、ＤＥ＝ＥＦ＝●●
△ＢＫＪ∽△ＦＩＪの相似比で、ＩＪ：ＪＫ＝③：②

△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ→ＡＩ＝ＩＫ＝⑤
ＡＩ：ＩＪ＝ＧＥ：ＥＦ＝５：３　【３】

（イ）
クセがある。

ＡＤ//ＦＯより、同位角で∠ＯＦＣ＝∠ＤＡＦ
∠ＤＡＦを求めれば良い。
直径ＡＢと接線ＢＧは直交するから、∠ＡＢＧ＝90°
ＣＢに補助線をひく。
弧ＢＤに対する円周角より、∠ＢＣＤ＝34°

直径ＡＢに対する円周角から∠ＡＣＢ＝90°
∠ＡＣＥ＝90－34＝56°
△ＡＣＥで外角定理→∠ＣＡＥ＝82－56＝26°
∠ＤＡＦ（∠ＯＦＣ）＝26＋34＝60°

（ウ）

Ⅰ：12ヶ月の第１四分位数は下から３番目と４番目の平均。
　地点Ａの第１四分位数が20℃超え→少なくとも９ヶ月は20℃以上。〇
Ⅱ：地点ＢとＣの30～35℃を見ると、Ｃは中央値から最大値までスッポリ含まれる。
　Ｃの半分（６ヶ月）は少なくとも30～35℃の範囲に入る。ＢよりＣの方が多い。〇
Ⅲ：四分位範囲＝第３四分位数－第１四分位数。箱の横の長さでＥよりＤの方が大きい。×
Ⅳ：最大値が30℃以上なので正しい。〇
Ⅴ：地点Ｅは中央値が25℃を下回る。25℃以上は最大でも６か月。×
確実に読み取れるのはⅠ、Ⅱ、Ⅳ。　【５】

（エ）

直径に対する円周角→∠ＡＣＢ＝90°
５：12：13の直角三角形は覚えておこう。ＡＣ＝５ｃｍ
ＡＥ：ＥＣ＝２：３より、ＡＥ＝２ｃｍ
直径ＡＢ＝13ｃｍから半径ＤＯ＝13/２ｃｍ

ＯＦを延長、ＣＢとの交点をＨとする。
ＡＣ//ＯＨから、ＡＯ：ＯＢ＝ＣＨ：ＨＢ＝１：１
ＨはＣＢの中点でＣＨ＝６ｃｍ
また、△ＡＢＥ∽△ＯＢＦの相似比は２：１→ＯＦ＝１ｃｍ

四角形ＡＤＦＥは台形。
△ＡＤＥ：△ＡＤＦ＝ＡＥ：ＤＦ＝２：15/２＝④：⑮

王道の解き方ではないかもしれぬが(;`ω´)、ここで面積の変化率を使います。
ＥからＦに点が動くとする。
スタートのＥでは④（△ＡＤＥ）、ゴールのＦでは⑮（△ＡＤＦ）。
底辺をＡＤとすると高さの比は一定の割合で上昇するので、面積の変化率も一定。
ＧはＥＦの中点だから△ＡＤＧの面積は△ＡＤＥと△ＡＤＦの平均→（④＋⑮）÷２＝〇19/２
△ＡＤＥの面積は２×６÷２＝６ｃｍ²なので、△ＡＤＧ＝６×(〇19/２)/④＝57/４ｃｍ²

大問４（関数）

（ア）
ｙ＝ａｘ²上にあるＡ座標に着目する。
ｙ＝－ｘ＋２にｘ＝－６を代入する。Ａ（－６、８）
これをｙ＝ａｘ²に代入。
８＝36ａ
ａ＝２/９　【２】

（イ）

ｙ＝８/ｘにｘ＝２を代入→Ｅ（２、４）
Ｆは原点ＯについてＥと対称→Ｆ（－２、－４）
ＣＯ：ＯＤ＝３：４より、Ｄのｘ座標は８。
Ｆから右に10、上に４でＤだから、傾きｍは４/10＝２/５
切片ｎはＦから右に⑤（＝２）、上に②進んで、ｎ＝－４＋２×②/⑤＝－16/５
ⅰ…【２】、ⅱ…【１】

（ウ）
イカニモ神奈川(´Д`||)

各頂点の座標を記しておく。
Ｇはｙ＝－ｘ＋２とｙ＝２ｘの交点。
－ｘ＋２＝２ｘ
ｘ＝２/３→Ｇ（２/３、４/３）
ＥＧ：ＧＦ＝４/３：８/３＝１：２

ＡＧとＦＤの交点を求めてみると、ｘ＝26/７と容赦ない数字が現れる(;°;ω;°;)
四角形ＡＢＦＧと△ＤＥＧは離れており、形も美しくない…。
なるべく点座標や直線の式が整数であるところを利用したい。
Ｄを通るＥＦに平行な線をひき、ＡＧとの交点をＨとする。
ＤＨの傾きは２。（８、０）を通るのでｙ＝２ｘ－16
Ｈのｘ座標は、－ｘ＋２＝２ｘ－16
ｘ＝６→Ｈ（６、－４）
ＦＨはｘ軸と平行である。
等積変形で、△ＤＧＦ＝△ＨＧＦ、△ＤＥＧ＝△ＨＥＧ

△ＡＧＦ：△ＨＧＦ＝ＡＧ：ＧＨ＝20/３：16/３＝⑤：④
ＥＧ：ＧＦ＝１：２から、△ＨＥＧ＝②
残りは△ＡＢＦ…。

ここまでくれば地道に面積を求めてもよいのですが、面積比を続けます。
ＡＢとＨＦを延長、交点をＩとする。
ＩＦ：ＦＨ＝４：８＝①：②
ＡＢ：ＢＩ＝28/３：８/３＝⑦：②
△ＡＦＨ＝⑨なので、△ＡＢＦ＝⑨×①/②×⑦/⑨＝〇3.5
四角形ＡＢＦＧ：△ＤＥＧ（△ＨＥＧ）＝〇8.5：②＝17：４

良い解法を編み出した方は下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願いますm(_)m
ちなみに、ＢＦとＥＤは平行ですが、いまいち活用法を見出せませんでした。

大問５（確率）

（ア）
●条件整理●
操作１：Ｐ→Ｑ（＝ＰからＱに移す）
操作２：Ｐ≧ＱのときはＰ→Ｑ、Ｐ＜ＱのときはＱ→Ｐ

操作１でＰを６個以下にしないと、操作２でＰを０個にできない。
また、操作２でＰ→ＱとなるギリギリのラインはＰ＝Ｑ
玉は合計12個だから（Ｐ、Ｑ）＝（６、６）である。
ということは、操作１終了後のＰは６個しかない。
操作１で（Ｐ、Ｑ）＝（６、６）、操作２で（０、12）
全体は６×６＝36通り、場合の数は１通りだから確率は１/36。

（イ）
操作２において、Ｐ→ＱかＱ→Ｐで場合分けする。
最終的にＰ＞Ｑなので、Ｐは７個以上、Ｑは５個以下になる。
◆Ｐ→Ｑ
初期状態は（Ｐ、Ｑ）＝（９、３）
操作１で１個移して（８、４）、操作２で１個移して（７、５）
この１通りしかない。

◆Ｑ→Ｐ
操作１終了後はＰ＜Ｑ、（Ｐ、Ｑ）＝（５、７）（４、８）（３、６）の３通り。
操作２終了後のＰは７個以上だから、（５、７）はＰの個数が＋２～６の５通り。
（４、８）はＰが＋３～６の４通り、（３、６）はＰが＋４～６の３通り。
合計すると13通りで、確率は13/36。

大問６（空間図形）

（ア）
底面は１辺６ｃｍの正方形。
４つの側面を伸ばすと、縦５ｃｍ、横６×４＝24ｃｍの長方形。
表面積は、６×６×２＋24×５＝192ｃｍ²　【４】

（イ）

展開図をつくる。
求めたいＩＣを斜辺とする直角三角形で三平方の定理を使いたい。
そこで、ＩからＨＣに垂線をひいて交点をＫとし、△ＫＩＣをつくる。

△ＨＩＫ∽△ＨＦＧより、ＨＫ：ＫＧ＝１：２→ＫＧ＝６×２/３＝４ｃｍ
ＫＩ：ＧＦ＝１：３→ＫＩ＝６×１/３＝２ｃｍ
（△ＨＩＫは直角二等辺三角形である）
△ＫＩＣで三平方→ＩＣ＝√85ｃｍ　【３】

（ウ）

 線分ＦＪを含む面ＨＤＢＦで切り取る。
△ＥＦＨは直角二等辺三角形→ＨＦ＝６√２ｃｍ
ＨＩ：ＩＦ＝①：②より、ＨＩ＝２√２ｃｍ、ＩＦ＝４√２ｃｍ
正方形の対角線ＡＣとＢＤの交点Ｏはおのおのの中点なので、ＤＯ＝ＯＢ＝３√２ｃｍ
ＩからＤＢに垂線をひき、足をＰとする。
ＰＯ＝３√２－２√２＝√２ｃｍ
ＨＦ//ＤＢより錯角で∠ＩＯＰ＝∠ＦＩＪ（●）、２角相等で△ＩＰＯ∽△ＦＪＩ
△ＩＰＯで三平方→ＩＯ＝３√３ｃｍ
ＩＰ：ＩＯ＝ＦＪ：ＦＩなので、
ＦＪ＝４√２×５/３√３＝20√６/９ｃｍ
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大問１（小問集合）

（１）①
２－６
＝－４

②
８/５＋７/15×（－３）
＝８/５－７/５
＝１/５

③
３（２ａ＋ｂ）－（ａ＋５ｂ）
＝６ａ＋３ｂ－ａ－５ｂ
＝５ａ－２ｂ

④
９/√３－√75
＝３√３－５√３
＝－２√３

⑤
ａ（ａ＋２）＋（ａ＋１）（ａ－３）
＝ａ²＋２ａ＋ａ²－２ａ－３
＝２ａ²－３

（２）
ｘ²－12ｘ＋36
＝（ｘ－６）²

（３）
絶対値…数直線上で原点０からの距離。
０、±１、±２、±３、±４の９個。

（４）ア
16/200＝８/100＝0.08

イ
累積度数…その階級までの度数の合計。
24＋56＋64＝144

（５）
ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（３、－18）を代入する。
－18＝９ａ
ａ＝－２
ｙ＝－２ｘ²

（６）

中心角は円周角の２倍、∠ＢＯＣ＝∠ＢＤＣ×２
中心角は弧の長さに比例する。∠ＡＯＣ（ｘ）＝∠ＢＯＣ×４/３
ｘ＝39×２×４/３＝104°

大問２（小問集合２）

（１）①

Ａと重なるのはＥ。

②

体積比は相似比の３乗。
Ｐ：Ｑ＝①³：③³＝１：27
Ｑ：Ｒ＝１：26

（２）①
【緑・赤・青】を１周期として並べるので、
13÷３＝４…１
余り１は緑。

②
最後のｎ枚目が７ｃｍ。
ｎ－１枚目までが２ｃｍ。
２（ｎ－１）＋７
＝２ｎ＋５

（３）
12の約数は【１・２・３・４・６・12】
積がこれらになる組み合わせを調べる。
１×１、１×２、１×３、１×４、２×２、１×６、２×３、２×６、３×４
１×１と２×２以外は逆もあるので16通り。
全体は６×６＝36通りだから、確率は16/36＝４/９

（４）
答案では求める過程も記述する。
ドーナツをｘ個とすると、カップケーキは18－ｘ個。

25ｘ＋15（18－ｘ）＝400　←÷５
５ｘ＋３（18－ｘ）＝80
２ｘ＝26
ｘ＝13
カップケーキは18－13＝５個
ドーナツ…13個、カップケーキ…５個
（*公式解答のように連立でもＯＫ）

（５）
平均値より大きい太郎が８番以内に入らない理由を記述する。

15人のＱ2（中央値；第２四分位数）は、（15＋１）÷２＝８番目の生徒の記録。
『箱ひげ図より、中央値にあたる８番目の生徒の記録が25ｍだから、
それより小さい記録である太郎は８番以内に入らない』

大問３（関数）

（１）
変化の割合＝（ｙの増加量）/（ｘの増加量）
１次関数の変化の割合は傾きと同じである。
ｙの増加量÷４＝１/２
ｙの増加量＝１/２×４＝２

（２）
Ａ（２、４）→Ｐ（６、０）
右に４、下に４だから、傾きは－１。
切片はＡから左に２、上に２移動して６。
ｙ＝－ｘ＋６

（３）

Ａからｘ軸に垂線をおろし、足をＨとする。
Ａ座標より、ＯＨ＝２、ＡＨ＝４
△ＡＨＰは内角が30°―60°―90°、辺の比は１：２：√３だからＨＰ＝４√３
Ｐのｘ座標は、ＯＨ＋ＨＰ＝２＋４√３

（４）

Ｐを通るＡＢに平行な線をひくと、ｙ軸との交点がＱである。
なぜなら、等積変形より△ＡＢＰ＝△ＡＢＱだから。
平行からＰＱの傾きは１/２。
ＯＰ＝４なので、ＯＱ＝２
Ｑ（０、－２）

ＢＱ＝３－（－２）＝５
ｙ軸上でＢより上にＱ’Ｂ＝５となるようなＱ’（０、８）をおく。
ＢＱ＝ＢＱ’で底辺共通→△ＡＢＱ＝△ＡＢＱ’だから、△ＡＢＱ’も△ＡＢＰと等積である。
（０、－２）（０、８）

大問４（平面図形）

（１）

ＡＢ//ＤＣの同位角で118°を移す。
∠ＡＢＥ＝180－118＝62°
△ＡＢＥは二等辺三角形だから、∠ＢＡＥ＝180－62×２＝56°

＠別解＠

平行四辺形の対辺と対角は等しい。
四角形ＡＥＣＤは等脚台形で★＝62°だから、
∠ＢＡＥ＝118－62＝56°

（２）

ＤＥを斜辺とする直角三角形を作成する。
Ｄから垂線を下ろし、ＢＣの延長線との交点をＰとする。
平行四辺形ＡＢＣＤの対辺は等しい。ＡＢ＝ＤＣ
平行四辺形の高さより、ＡＥ＝ＤＰ
斜辺と他の１辺が等しい直角三角形から△ＡＢＥ≡△ＤＣＰ 

対応する辺で、ＢＥ＝ＣＰ（●）
ＢＥ（●）＋ＥＣ（×）＝ＣＰ（●）＋ＥＣ（×）＝ＥＰ＝５ｃｍ
△ＤＥＰで三平方→ＤＥ＝√34ｃｍ

（３）
四角形ＢＥＤＦが平行四辺形である証明。

『対角線の交点をＯとする』が新情報なので、これをうまく使う。
平行四辺形の対角線はおのおのの中点で交わる。ＯＢ＝ＯＤ
これらを１辺とする△ＯＢＥと△ＯＤＦに着目すると、
ＢＥ//ＦＤの錯角から、∠ＯＢＥ＝∠ＯＤＦ
対頂角で、∠ＢＯＥ＝∠ＤＯＦ
１辺と両端角が等しいので、△ＯＢＥ≡△ＯＤＦ

対応する辺は等しく、ＯＥ＝ＯＤ
四角形ＢＥＤＦの対角線がおのおのの中点で交わるので、
四角形ＢＥＤＦは平行四辺形である。

（４）

ＡＨ//ＢＥ→△ＧＡＨ∽△ＧＢＥより、ＡＨ＝３×２/６＝１ｃｍ 

上底＋下底の和から面積比を算出する。
台形ＡＢＥＨ：平行四辺形ＡＢＣＤ
＝ＡＨ＋ＢＥ：ＡＤ＋ＢＣ
＝２：５
台形ＡＢＥＨの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの２/５倍。
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平均53.6点（前年比；＋0.5点）

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大問１（小問集合）

（１）ア　98.2％
４－10
＝－６

イ　89.9％
（－２）²×３＋（－15）÷（－５）
＝４×３＋３
＝15

ウ　66.0％
　６ｘ²－ｘ－５
－)２ｘ²＋ｘ－６
　４ｘ²－２ｘ＋１

エ　79.4％
（６ｘ²ｙ＋４ｘｙ²）÷２ｘｙ
＝６ｘ²ｙ÷２ｘｙ＋４ｘｙ²÷２ｘｙ
＝３ｘ＋２ｙ

オ　48.4％
√（３/２）－√54/２
＝√６/２－３√６/２
＝－√６

（２）　59.8％
縦がｘ、横がｙ。
２（ｘ＋ｙ）は縦と横の長さを２倍した数→長方形の周の長さ

（３）
●相対度数●　72.9％
６÷20＝６/20＝30/100＝0.30
●累積相対度数●　60.9％
（４＋６＋１）÷20＝0.55

（４）　55.1％
３ｘ²－６ｘ－45
＝３（ｘ²－２ｘ－15）
＝３（ｘ＋３）（ｘ－５）

（５）ａ…53.7％、ｂ…47.4％
『ｘが２増加するとｙが４増加』→変化の割合（傾きａ）＝４/２＝２
ｙ＝２ｘ＋ｂに（１、－３）を代入。
－３＝２＋ｂ
ｂ＝－５
ａ…２、ｂ…－５

（６）　76.1％

外角定理を用いて、28＋80＝108°
同位角で108°をあげる。
ｘ＝180－（25＋108）＝47°

（７）　45.0％

ＢＤで分割すると有名三角形が現れる。
△ＡＢＤは直角二等辺。辺の比は１：１：√２だから、ＢＤ＝４√２×√２＝８ｃｍ
△ＢＣＤは辺の比が１：２：√３の直角三角形。ＢＣ＝８×√３/２＝４√３ｃｍ

（８）　35.5％
ア：第２四分位数は中央値（メジアン）のこと。〇
イ：四分位範囲＝第３四分位数－第１四分位数。
　中央に集まる約50％のデータで、極端にかけ離れた外れ値の影響を受けにくい。〇
ウ：箱の横の長さは四分位範囲を表す。×
　範囲（レンジ）＝最大値－最小値、ひげ～ひげまでの長さ。　
エ：四分位範囲は中央値から±25％、全体の約50％のデータ。〇
ウ

大問２（作図＆確率）

（１）　51.6％

『時計回りに90°』だから、Ａの右側にＢがある。
ＡＯを延長、Ｏを通る垂線をひく。
半径ＯＡの長さをとって垂線に移す。交点がＢ。

（２）ア　あ…71.8％、い…56.5％、う・え…79.4％、Ｘ…83.8％
３桁の整数は、５×４×３＝60通り（あ）
最も大きい百の位で場合分けをする。（Ｘ＝百）
もしくは、うしろのレンのセリフでＸの位は３、（う）、（え）の３パターンしかない点から、
Ｘは百の位と確定することができる。

百の位が３のとき、350位以上の整数だから十の位は５で確定。
一の位は残りの１、２、４→３通り（い）
百の位は３の他に４（う）か５（え）。
あ…60、い…３、う…４、え…５、Ｘ…百

イ　54.1％
●百の位が３●
前問より３通り。

残りの枚数から、おのおの４×３＝12通り
350以上の整数は、３＋12＋12＝27通り
確率は27/60＝９/20

大問３（平面図形）

（１）ア　66.0％

△ＡＢＥで三平方。
ＡＢ：ＢＥ＝②：①なので、辺の比で三平方を使うとＡＥ＝〇√５
ＡＥ＝４√５ｃｍ

イ（ア）　19.7％！

直角を意識して組み立てると、Ｂ、Ｃ、Ｄが一致し、
底面は直角二等辺三角形、高さ８ｃｍの三角錐になる。
体積は、４×４÷２×８÷３＝64/３ｃｍ³

（イ）　6.4％!!
展開図より△ＡＥＦの面積は、８×８－（４×８÷２×２＋４×４÷２）＝24ｃｍ³
これを底面とした高さは、64/３×３÷24＝８/３ｃｍ

（２）ア　あ…67.9％、い…64.5％、う…70.5％
△ＤＦＢ≡△ＤＨＥの証明。

誘導に従う。
△ＤＢＥは直角二等辺三角形。ＤＢ＝ＤＥ
四角形ＤＦＧＨは正方形だから、ＤＦ＝ＤＨ
リード文より、斜辺と他の１辺が等しい直角三角形で△ＤＡＦ≡△ＤＣＨ（★）
対応する角は等しく、∠ＡＤＦ＝∠ＣＤＨ（×）

∠ＢＤＦ＝45－∠ＡＤＦ（×）、∠ＥＤＨ＝45－∠ＣＤＨ（×）なので、
∠ＢＤＦ＝∠ＥＤＨ（●）
２辺とあいだの角が等しいから△ＤＦＢ≡△ＤＨＥ
あ…ＤＦ＝ＤＨ　い…∠ＢＤＦ＝∠ＥＤＨ　う…２辺とあいだの角

イ　12.4％！

正方形の１辺から、ＡＢ＝ＡＤ＝５ｃｍ
前述の証明にあった△ＤＡＦ≡△ＤＣＨより、対応する辺でＡＦ＝ＣＨ＝２ｃｍ
●＋×＝90°で等角を調べると、２角相等で△ＤＡＦ∽△ＦＢＩ
ＢＩ＝２×３/５＝６/５ｃｍ
△ＦＢＩの面積は、６/５×３÷２＝９/５ｃｍ²

大問４（関数）

（１）ア　81.6％
ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝２を代入する。
ｙ＝１/２×２²＝２

イ　60.9％
『Ａ、Ｂの距離が６ｃｍ』→Ａのｙ座標は６。
ｙ＝ａｘ²は（２、６）を通過する。
６＝４ａ
ａ＝３/２

（２）ア　32.6％！

ＢＤは正方形ＡＢＣＤの対角線→△ＢＣＤは直角二等辺。
ＢＤの傾きは１。
切片はＢから左に２、下に２だから－２。
ｙ＝ｘ－２

イ　2.1％!!

ｙ＝ａｘ²にそれぞれのｘ座標を代入。
Ａ（２、４ａ）Ｅ（－１、ａ）
正方形ＡＢＣＤの１辺で、ＢＣ＝４ａｃｍ

Ｅを通るＢＤに平行な線をひき、ＢＡの延長との交点をＦとする。
等積変形で、△ＢＤＥ＝△ＢＤＦ＝80ｃｍ²

ＥからＦＢに向けて垂線をおろし、足をＧとする。
ＥＦの傾きはＢＤと同じ１。
→∠ＦＥＧ＝45°、∠ＥＧＦ＝90°から、△ＥＧＦは直角二等辺。
ＥＧ＝ＦＧ＝３ｃｍ
ＦＢ＝ＧＢ＋ＦＧ＝ａ＋３ｃｍ

△ＢＤＦの面積で等式を立てる。
（ａ＋３）×４ａ÷２＝80
２ａ²＋６ａ－80＝０　←÷２
ａ²＋３ａ－40
＝（ａ＋８）（ａ－５）＝０
ａ＞０だから、ａ＝５

大問５（方程式）

（１）あ　66.0％
一次方程式。
りんごａ個。なしは残りの50－ａ個。　

い　55.6％
連立方程式。
全体の個数で等式。
ａ＋ｂ＝50
値段で等式。
120ａ＋150ｂ＋40＝6700

（２）ア　21.9％！
りんご120円が（ｘ＋18）個、なし150円が（ｙ＋18）個。
これに箱代40円を足す。
う：120（ｘ＋18）＋150（ｙ＋18）＋40

イ　え…26.0％！、お…8.7％!!
４ｘ＋５ｙ＝60
ｙについて解くと…
５ｙ＝－４ｘ＋60
ｙ＝－４/５ｘ＋12
分母が５なので、ｙが整数になるのはｘ＝５のときｙ＝８

傾きは－４/５だから、右に５いくと下に４移動する。
（５、８）から格子点を調べると、他は（０、12）（10、４）（15、０）
え：（０、12）（５、８）（10、４）（15、０）

ここで一次不等式を使います。。
りんごを（ｘ＋18）個、なしを（ｙ＋18）個とおいたので、
条件Ｂより、（ｘ＋18）＋（ｙ＋18）＞50
ｘ＋ｙ＞14
４組のうち、ｘ＋ｙが15以上は（15、０）のみ。
りんご…15＋18＝33個
なし…０＋18＝18個
お：（15、０）、りんご…33個、なし…18個

＠別解＠
４ｘ＋５ｙ＝60
60は４の倍数だから、（ｘ、ｙ）＝（15、０）が決まる。
係数の４と５は互いに素→最小公倍数20（４×５＝５×４）で交換できる。
つまり、ｘを５減らしてｙを４増やせば帳尻が合う。
（15、０）（10、４）（５、８）（０、12）

大問１
ここだけで配点が43点もある。
（５）変化の割合から傾きを出せるか。
（７）頂角が90°の二等辺は直角二等辺。
（８）統計の問題も平易であった。
大問２
（１）まずは問題文からＢのおおよその位置に目星をつけておく。
（２）Ｘがすぐ決まらず戸惑う。
丁寧な誘導になっているが、誘導なしでも解けるようにしておきたい。
大問３
（１）どこが底面でどこが高さになるか、直角がポイントである。
（２）ア：途中で直角三角形の合同をはさむが、穴埋めなのでやりやすい。
イ：平面のラストとしては取りやすいレベル。
この相似形は公立高校入試の世界でよく見かける。
大問４
（２）イ：前問のＢＤの式を利用したい。
Ｅを右上45°に移動させると直角二等辺が使える。
大問５
（２）今年度は不定方程式の問題が散見された。
青森は誘導付きで取り組みやすい方であった。
ｘ、ｙはともに整数なので、グラフでは格子点を通過する座標である。
*公式より、『最後は（10、４）の誤答が多く、ホワイトボードで示した条件と
プリントで示した二つの条件を混同したと思われる。』
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問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）①
１－（２－５）
＝１－（－３）
＝１＋３
＝４

②
３/５×（１/２－２/３）
＝３/５×（－１/６）
＝－１/10

③
－12ａｂ×（－３ａ）²÷６ａ²ｂ
＝－12ａｂ×９ａ²÷６ａ²ｂ
＝－18ａ

④
（√７－２）（√７＋３）－√28
＝７＋３√７－２√７－６－２√７
＝１－√７

（２）
答案では解き方も書く。
（ｘ－７）（ｘ＋２）＝－９ｘ－13
ｘ²－５ｘ－14＝－９ｘ－13
ｘ²＋４ｘ－１＝０
解の公式を適用して、ｘ＝－２±√５

（３）
ｘ²－２ｘｙ＋ｙ²
＝（ｘ－ｙ）² ←ここで代入
＝（23－18）²
＝25

（４）
①中央値は箱の中の線。山形市の方が大きい。〇
②四分位範囲＝第３四分位数－第１四分位数。箱の横の長さで山形市が最も大きい×
③酒田市だけ第３四分位数が21℃を下回る。×
30日の第３四分位数は上位15日の真ん中、上から８番目の値。
酒田市の21℃以上は多くても７日だが、他は少なくても８日ある。×
エ

（５）

立面図は正面から見た図。
イだけ３ヵ所。

大問２（小問集合２）

（１）①
Ａのｙ座標はＢと同じ２→Ａ（３、２）
これをｙ＝ａ/ｘに代入する。
ａ＝ｘｙ＝３×２＝６

②

Ｄ（３、６）
ｙ＝ｂｘが正方形ＡＢＣＤの辺と重なるのは、頂点Ｄ～Ｂに触れる範囲。
頂点Ｄ→ｙ＝２/７ｘ
頂点Ｂ→ｙ＝２ｘ
２/７≦ｂ≦２

（２）
答案では、確率を使って理由を説明する。
白玉を２個出す確率をそれぞれ求める。
純…２/３×１/３＝２/９
友子…１/２×２/４＝１/４
２/９＞１/４なので、純の方が起こりやすい。
イ

（３）①
商品Ｃは10箱とわかっている。
商品Ａをｘ箱、商品Ｂをｙ箱とする。
箱の数で等式。
Ａ＋Ｂ＋10＝40　…①

ドーナツとクッキーの個数で等式。
ドーナツは、８ｘ＋12×10個
クッキーは、12ｙ＋15×10個
ドーナツが50個少ないので、
８ｘ＋120＝12ｙ＋150－50　…②

②
前の式を整理すると、
ｘ＋ｙ＝30　…③
８ｘ－12ｙ＝－20　…④
③×８＋④をすると、20ｙ＝260
ｙ＝13
③に代入して、ｘ＝17
ドーナツの個数は、８ｘ＋120＝８×17＋120＝256個

（４）

①∠ＢＣＤの二等分線。『直線ＢＣの上側』なのでＣの左上方向。
②∠ＢＰＤ＝１/２∠ＢＡＤ→弧ＢＤに対する円周角と中心角の関係にあたる。
中心をＡとした円Ａの円周上にＰがある。
ＡＢ＝ＡＤから半径はＡＢ（ＡＤ）。
ＡＢをグルっと１周させて円Ａを描き、①との交点がＰ。

大問３（数量変化）

（１）①

２秒後はＢＲ＝２ｃｍ
重なっている部分は底辺２、高さ１の直角二等辺三角形。
ｙ＝２×１÷２＝１

②

台形の裾の三角形は45°―45°―90°の直角二等辺三角形。
等辺の長さは、（９－５）÷２＝２ｃｍ
台形の高さは２ｃｍである。

（１）の通り、最初の重なりは直角二等辺。
ＢＲの距離がｘ、高さは１/２ｘ。
ｙ＝ｘ×１/２ｘ÷２＝１/４ｘ²
ＢＲ＝４ｃｍまで重なりは直角二等辺。０≦ｘ≦４

重なり部分が台形になる。
ｙの値が増加し、台形ＡＢＣＤと台形ＰＱＲＳが一致するｘ＝９のときに最大になる。
４≦ｘ≦９

式は表２でｙ＝２ｘ－４と提示されている。
台形を直角二等辺と平行四辺形に分けると、平行四辺形の底辺はｘ－４ｃｍ。
これが台形の上底ＡＳの長さだから、ｙ＝（ｘ－４＋ｘ）×２÷２＝２ｘ－４

表１より、ＰがＤと重なるのはｘ＝14
（右図の状態でＢＲ＝14ｃｍ）
式の出し方はいろいろある。
●方法１●
愚直に長さを求めると左図のようになる。
ＢＲ＝ｘだから、ＣＲ＝ＤＳ＝ｘ－９
ＰＤ＝５－（ｘ－９）＝－ｘ＋14
ＱＣ＝９－（ｘ－９）＝－ｘ＋18
ｙ＝（－ｘ＋14－ｘ＋18）×２÷２＝－２ｘ＋32
●方法２●
台形ＰＱＲＳの面積は、（５＋９）×２÷２＝14
ここから減少分の平行四辺形ＤＣＲＳの面積をひく。
ｙ＝14－２（ｘ－９）＝－２ｘ＋32
●方法３●（推奨）
表１を活用する。
４≦ｘ≦９のとき、ｙ＝２ｘ－４
直角二等辺に平行四辺形が追加された台形で、面積の変化の割合は２で増加した。
９≦ｘ≦14では同じような平行四辺形で面積が減少するから変化の割合は－２。
表１よりｘ＝14のときｙ＝４なので、これをｙ＝－２ｘ＋ｂに代入する。
４＝－２×14＋ｂ
ｂ＝32
ｙ＝－２ｘ＋32

まとめると、
０≦ｘ≦４、ｙ＝１/４ｘ²
４≦ｘ≦９、ｙ＝２ｘ－４
９≦ｘ≦14、ｙ＝－２ｘ＋32
グラフは（４、４）（９、14）（14、４）を通過するように描く。
ア…ｙ＝１/４ｘ²、イ…９、ウ…ｙ＝－２ｘ＋32

（２）

台形ＡＢＲＳ：平行四辺形ＳＲＣＤ＝②：①
上底と下底の和の比も同様だから、ＡＳ＋ＢＲ：ＳＤ＋ＲＣ＝２：１

ＡＤ＋ＢＣ＝５＋９＝14ｃｍ
ＳＤ＋ＲＣ＝14×１/３＝14/３ｃｍ
平行四辺形の対辺は等しいからＳＤ＝ＲＣ
ＲＣ＝14/３÷２＝７/３ｃｍ
ＢＲ＝９－７/３＝20/３ｃｍ
ｘが最も小さい値→ＰがＤを通過する前なので、ｘ＝20/３

大問４（平面図形）

（１）
△ＡＧＣ≡△ＣＥＤの証明。

仮定より、ＡＣ＝ＣＤ
ＡＣ//ＥＤの同位角から∠ＡＣＧ＝∠ＥＤＢ＝90°→∠ＡＣＧ＝∠ＣＤＥ
△ＡＦＣは直角三角形だから、∠ＣＡＧ（×）＝90－∠ＡＣＦ（●）
∠ＤＣＥ＝90－●＝×
１辺と両端角が等しいから合同。

（２）①

前の合同から、ＡＣ＝ＤＣ＝10ｃｍ
ＢＤ＝15－10＝５ｃｍ
△ＥＢＤ∽△ＡＢＣより、ＥＤ＝10×５/15＝10/３ｃｍ

②

ＦからＡＣに垂線、足をＨとする。
ＦＨが回転体の半径にあたる。

●＋×＝90°で角度を調べると、△ＣＦＧ∽△ＡＦＣ∽△ＡＣＧ。
辺の比は、ＧＣ：ＡＣ＝10/３：10＝１：３
ＦＧ＝①とするとＦＣ＝③、ＡＦ＝③×３＝⑨
→ＡＦ：ＦＧ＝⑨：①
△ＡＦＨ∽△ＡＧＣより、ＦＨ＝10/３×⑨/⑩＝３ｃｍ
回転体の体積は、３×３×π×10÷３＝30πｃｍ³

＠別解＠

あまり変わりませんが、△ＦＣＨも同じ相似なので、
ＨＣ＝①とすると、ＦＨ＝③、ＡＨ＝⑨となります。
ＦＨ＝10×③/⑩＝３ｃｍ

大問１
配点32点。
（４）箱ひげ図は判断しやすかった。
（５）いつもは面や線の空間把握だったが、今年は立面図であった。
円柱も円の直径と高さが等しければ正方形に見える。
大問２
（１）②最も傾くとＤ、最も緩やかだとＢに触れる。
（２）各々の確率を比較して結論を述べる記述。他県でも見かける。
（３）標準レベルの方程式。
（４）∠ＢＰＤ＝１/２∠ＢＡＤ
ＢとＤが両端にある→弧ＢＤの円周角と中心角に気がつきたい。
円の中心はＡＢ＝ＡＤ（半径）からＡとわかる。
大問３
（１）②差が出るところ。
重なる部分の図形がどこで変形するのか。
アは前問と同じ直角二等辺三角形。ウはグラフから先に描くのも良い。
（２）台形の面積比＝上底＋下底の和の比
大問４
例年より、やや取りやすい感じがする。
（２）②右側で直角三角形の相似を使うのが良いかなと。
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大問１（小問集合）

（１）①
７－（－６）
＝７＋６
＝13

②
15＋（－４）²÷（－２）
＝15＋16÷（－２）
＝15－８
＝７

③
（ｘ＋２）（ｘ－５）－２（ｘ－１）
＝ｘ²－３ｘ－10－２ｘ＋２
＝ｘ²－５ｘ－８

④
√２×√６－√27
＝２√３－３√３
＝－√３

（２）
ｘ＋４ｙ＝５　…①
４ｘ＋７ｙ＝－16　…②

①×４－②をすると、９ｙ＝36
ｙ＝４
①に代入、ｘ＋16＝５
ｘ＝－11
ｘ＝－11、ｙ＝４

（３）
ｘ²＋５ｘ＋１＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（－５±√21）/２

（４）
ａ＜０、ｂ＜０
引き算と掛け算、割り算はマイナスとマイナスがプラスに変わる。
足し算（ａ＋ｂ）が最も小さい値になる。

＠＠
適当な値を代入してもＯＫ。
ａ＝－１、ｂ＝－２とすると、　
ａ＋ｂ＝－１＋（－２）＝－３
ａ－ｂ＝－１－（－２）＝１
ａｂ＝－１×（－２）＝２
ａ/ｂ＝－１÷（－２）＝１/２

（５）
体積比は相似比の３乗。
Ａ：Ｂ＝２³：３³＝８：27
Ｂの体積は、24×27/８＝81ｃｍ³

（６）
全体は、２³＝８通り
３回目で原点Ｏに戻るには、＋１＋１－２＝０
表を２回、裏を１回出せば良い。
３回のうち裏をどの回で出すか→３通り。
確率は３/８

（７）

△ＰＡＢはＡＢを底辺とする二等辺三角形。
ＰはＡとＢから等距離にあるので（ＰＡ＝ＰＢ）、ＰはＡＢの垂直二等分線上にある。
また、ＡＢ//ＰＣから同位角で90°が等しく、Ｃを通る垂線との交点がＰとなる。
公式解答より。

（８）

ア：中央値は累積相対度数が0.50のときの値。
　１年生（▲）が３年生（●）より左にある→１年生の方が中央値は小さい。×
イ：20分未満の累積相対度数はいずれも0.50を超えているので、半分以上いる。〇
ウ：累積相対度数はあくまでも割合。１年生は75人、３年生は90人。
　全体の人数が違えば、それぞれの76％の人数も異なる。×
エ：25分以上30分未満の相対度数＝30分の累積相対度数－25分の累積相対度数
　１年生の度数…75×４％、３年生の度数…90×14％だから、３年生の方が多い。〇
オ：累積相対度数が0.76で逆転するが、それまでは▲が左側に寄っている。
　およそ３/４の割合で１年生の方が通学時間が短い。〇
イ・エ・オ

大問２（平面図形）

（１）①

半径と接線は直交する。ＯＰ⊥ＸＹ、ＯＱ⊥ＸＺ
四角形ＸＰＯＱの内角から、∠ＰＯＱ＝360－（90＋90＋45）＝135°

②
△ＸＰＯと△ＸＱＯに着目すると、
∠ＯＰＸ＝∠ＯＱＸ、ＯＰ＝ＯＱ（半径）、共通辺ＯＸより、
斜辺と他の１辺が等しいから合同。
∠ＯＸＰ＝∠ＯＸＱだから、ＸＲは∠ＹＸＺの二等分線である。
「辺」と「距離」の用いてＸＲ上にある点を説明するので、
答えは『２辺ＸＹ、ＸＺから距離が等しい点』。

③

ＸＰとＱＯの延長との交点をＳとする。
△ＸＳＱの内角は45°―45°―90°だから直角二等辺三角形→∠ＰＳＯ＝45°
△ＰＳＯも同様に直角二等辺で辺の比は１：１：√２→ＳＯ＝２√２ｃｍ
ＳＱ＝２＋２√２ｃｍ
ＸＱ＝ＳＱ＝２＋２√２ｃｍ
さらに、△ＸＰＯ≡△ＸＱＯより、ＸＰ＝ＸＱ＝２＋２√２ｃｍ

（２）①

∠ＢＡＤ＝90°と∠ＢＸＤ＝45°を弧ＢＤの中心角と円周角の関係で捉えると、
Ｘ・Ｂ・ＤはＡを中心とする円Ａの円周上にある。
半径より、ＸＡ＝ＡＢ＝ＡＤ
すなわち、ＡＸは正方形ＡＢＣＤの１辺の長さに相当する。
イ

②

大事な情報はココ↓
『２点Ｂ、Ｄの位置が変わっても、２点Ｘ、Ａの間の距離について同じことがいえる』
『同じこと』は前文の太郎のセリフ。
つまり、ＸＡの長さはＢとＤが移動しても正方形ＡＢＣＤの１辺の長さで変わらない。
正方形が通過できない端の部分は半径３ｃｍ、中心角45°の扇形となる。
Ｙ側も同様で、通過できない部分を合わせると半径３ｃｍの４分の１円なので、
通過できる部分の面積は、10×10÷２－３×３×π÷４
＝50－９/４πｃｍ²

大問３（関数）

（１）
ｙ＝－１/２ｘ²について、
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
ｘ＝－４のとき、最小値ｙ＝－８
－８≦ｙ≦０

（２）
ｙ＝－１/２ｘ²にそれぞれのｘ座標を代入する。
Ｃ（－４、－８）→Ｄ（２、－２）
右に６、上に６だから傾きは１。
Ｃから右に４、上に４移動して、切片は－８＋４＝－４
ｙ＝ｘ－４

（３）

実際に描いてみる。
ａを大きくすると、放物線の開きは小さくなる。
ア：ＡＢの傾きは急になる→一次関数の傾きは小さくなる。〇
逆に、ａを小さくするとＡＢの傾きは緩やかになる。こちらの方が判断しやすいかもしれない。
イ：傾きが急→ＡＢがより斜めになるので、ＡＢは長くなる。×
ウ：Ｅの位置が上にあがるから、△ＯＡＢの面積は増加する。×
エ：ＡＥ：ＥＢ＝４：２＝２：１で一定。×
ｘ＝－４、０、２の平行線に注目し、平行線と線分の比を使うと見えやすい。
ア

（４）

Ａ（－４、16ａ）Ｂ（２、４ａ）
ＤＯを延長、ＡＣとの交点をＦとする。
ＦＤが四角形ＡＣＤＢの二等分線になる。
Ｄから左に２、上に２でＯだから、さらにＯから左に４、上に４でＦ（－４、４）

ＦＣ＝４－（－８）＝12
ＡＦ＝16ａ－４、ＢＤ＝４ａ－（－２）＝４ａ＋２
四角形ＡＣＤＢは台形なので、上底と下底の和が等しいと面積が等しくなる。
すなわち、ＡＦ＋ＢＤ＝ＦＣ
（16ａ－４）＋（４ａ＋２）＝12
20ａ＝14
ａ＝７/10

大問４（平面図形２）

（１）
△ＡＥＦ∽△ＢＣＥの証明。

仮定から∠ＡＦＥ＝∠ＢＥＣ＝90°
弧ＤＣの円周角で、∠ＥＡＦ＝∠ＣＢＥ（●）
２角が等しいから∽。

（２）

弧ＣＤの円周角より、∠ＥＢＧ＝ａ
∠ＡＥＦ＝ｂとする。
△ＡＥＦの内角から、ａ＋ｂ＝180－90＝90°
∠ＡＥＤ＝90°なので、∠ＦＥＤ＝90－ｂ＝ａ
対頂角で、∠ＢＥＧ＝ａ
△ＢＧＥの内角で、∠ＢＧＥ＝180－２ａ°

（３）①

ＤＥ＝３ｃｍ、ＡＥ＝４ｃｍから、△ＡＥＤは３：４：５の直角三角形。
対頂角や円周角から２角相等で△ＡＥＤ∽△ＢＥＣ。
△ＢＥＣの辺の比も３：４：５→ＥＣ＝６ｃｍ

前問のａ＝●、ｂ＝×、●＋×＝90°として角度を調べると、
∠ＧＥＢ＝●、∠ＧＥＣ＝×
△ＧＥＢと△ＣＥＧは底角が等しい二等辺三角形。
ＢＧ＝ＥＧ＝ＣＧより、ＧはＢＣの中点である。
△ＣＥＧは△ＢＣＥの半分だから、８×６÷２÷２＝12ｃｍ²

②

唐突に半径を求めさせられる(;´･ω･)
どの線分も中心Ｏを通らないので、半径を斜辺とする直角三角形で三平方を用いる。
半径ＯＢ＝ＯＣ、△ＯＢＣは二等辺三角形。
頂角Ｏから底辺ＢＣの中点Ｇに直線をひくと直交する。ＯＧ⊥ＢＣ

これだけでは情報が足りないので、広い視点でみてみる。
ＡＣ＝ＢＣ＝10ｃｍに着目してＡＢに補助線を描く。
ＡＢの中点をＨとすると、△ＡＢＣは二等辺三角形だから先と同様にＣＨ⊥ＡＢ。

また、中心ＯはＡＢの垂直二等分線であるＣＨ上にある。
（中心点の作図方法を思い出そう。ＯはＡとＢから等距離にある）
逆に言えば、ＣＯを延長するとＨを通過することになる。

∠ＯＣＧ＝×、∠ＣＯＧ＝●、●＋×＝90°で等角を記していく。
△ＢＣＨの内角で、∠ＨＢＣ＝●
二等辺ＡＢＣの底角で、∠ＣＡＢ＝●
∠ＡＥＢ＝90°だから、△ＡＥＢの内角は●―×―90°。
２角相等より△ＯＧＣ∽△ＡＥＢ。

ＡＥ：ＢＥ＝４：８＝①：②
△ＡＥＢの辺の比で三平方→ＡＢ＝〇√５
ＡＢ：ＥＢ＝ＯＣ：ＧＣ＝〇√５：②
半径ＯＣ＝５×〇√５/②＝５√５/２ｃｍ

＠余談＠
思いっきり高校分野に入るので参考程度に載せておきます。

△ＡＢＣは円Ｏに内接している。
数Ⅰで習う正弦定理を使うと、外接円の半径Ｒを求めることができる。
正弦定理；【ｃ/sinＣ＝２Ｒ】

△ＡＥＢで三平方→ＡＢ＝４√５ｃｍ
余弦定理からcosＣ＝（ａ²＋ｂ²－ｃ²）/（２ａｂ）＝（100＋100－80）/（２・10・10）＝３/５
sin²Ｃ＋cos²Ｃ＝１より、sin²Ｃ＝１－（３/５）²＝16/25
sinＣ＝４/５
正弦定理から外接円の半径Ｒ＝ｃ/（２sinＣ）＝４√５/（２×４/５）＝５√５/２ｃｍ

大問１
（４）マイナスが変わらない選択肢を選ぶ。
（６）表と裏を何回出せば原点Ｏに戻るか。
（７）②がつまづきやすいか。90°の同位角がポイントになる。
（８）奈良以外の中学生も挑戦しておきたい問題。
社会科の資料問題みたいにいろんな角度からグラフを見る必要がある。
大問２
（１）②角の二等分線上の点はどのような点の集まりか。
具体的な辺を指摘して説明する。
③直角二等辺の辺の長さがわかっていない。
相似に頼れないので、等角をもとに図形の特徴を探し出す。
（２）①円周角が出てくるので、とりあえず円を描いてみる。
②『２点ＸＡの距離について同じことがいえる』
問題文のヒントを取りこぼさないこと！
ＸＡが変わらない→ＸＡを半径とする扇形の弧上をＡが動く。
大問３
（３）すべて選べではないのが幸い。
開きが小さくなるほど、Ａ、Ｅ、Ｂが上にあがっていく。
エが判断しづらいかもしれない。平行線に注目する。
（４）台形の面積比は上底＋下底の和の比。他県でもよく見かける。
ＯＤを延長してＡＣとの交点座標を調べる。
大問４
（２）都立でも似たような問題が出てくる。
ａ＋ｂ＝90°、円周角、対頂角。いろいろ駆使してａを見つける。
（３）②前問のａをヒントに等角をさらに調べていく。
すると、△ＢＣＥの中に２つの二等辺三角形があり、ＧがＢＣの中点とわかる。
②難所でした(;`ω´)
正弦定理を封じると三平方しかない。まずはＯＧ⊥ＢＣに気づく。
ＣＯの延長がＡＢの中点を通るか。この理由も説明できるようにしたい。
等角を記して相似を用いる。
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問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（１）①
（－21）÷７
＝－３

②
－３/４＋５/６
＝１/12

③
（－３ａ）×（－２ｂ）³
＝－３ａ×（－８ｂ³）
＝24ａｂ³

④
√８－√18
＝２√２－３√２
＝－√２

（２）
【球の体積Ｖ＝４/３πｒ³】
半径ｒの３乗がでてくる→球の体積比は半径の比の３乗。
半径を２倍すると、体積は２³＝８倍になる。

大問２（小問集合）

（１）
31％⇒31/100
31/100ａｍＬ

（２）
３ｘ＋２ｙ－４＝０
２ｙ＝－３ｘ＋４
ｙ＝－３/２ｘ＋２

（３）

『辺ＡＢ、ＢＣまでの距離が等しい』→∠ＡＢＣの二等分線を作図する。
ＡＣとの交点がＰ。

（４）
ｙ＝ａｘ²において、ｘの値がｐ→ｑに増加したときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）。
１×（１＋４）＝５

（５）
最小値は２～４回→ア×
30人の中央値は15番目と16番目の平均で８～10回→イ×
第１四分位数は下位15人の真ん中、下から８番目６～８回→ウ×
エ

大問３（確率＆整数）

（１）①
全体の取り出し方は、３×３＝９通り
Ａ＞Ｂとなるのは、（２、１）（３、１）（３、２）の３通り。
確率は３/９＝１/３

＠別解＠
ルール（ア）はＡの玉を戻すから、数が等しい”あいこ”が起こる。
じゃんけんと同様で、勝ちか負けかあいこが同じ確率で起こる→１/３

②
前問より、ルール（ア）でＡが景品をもらえない確率は１－１/３＝２/３
ルール（イ）でＡが景品をもらえない確率を計算する。

全体は、３×２＝６通り
Ａ＜Ｂとなるのは、（１、２）（１、３）（２、３）の３通り。
確率は３/６＝１/２
２/３＞１/２だから、ルール（ア）の方がＡが景品をもらえない確率が大きい。
ルール…ア、確率…２/３

＠余談＠
ルール（イ）はあいこが起こらないので、結果は勝ちか負けの１/２。
あいこでは景品をもらえないため、あいこの可能性を含むルール（ア）の方がもらえにくい。

（２）①
「常に同じになる」とあるので、左上の４マスで試せば良い。
ａ＝１、ｂ＝２、ｃ＝８、ｄ＝９
ａｄ－ｂｃ
＝１×９－２×８
＝－７

②
答案では理由も説明する。
ｎは１段に並べる整数の個数→１個下の数は＋ｎになる。

ｂ、ｃ、ｄをａ、ｎで表すと、
ｂ＝ａ＋１、ｃ＝ａ＋ｎ、ｄ＝ａ＋ｎ＋１
ａｄ－ｂｃ
＝ａ（ａ＋ｎ＋１）－（ａ＋１）（ａ＋ｎ）
＝ａ²＋ａｎ＋ａ－ａ²－ａｎ－ａ－ｎ
＝－ｎ

大問４（方程式）

４人グループをｘ組、５人グループをｙ組とする。
生徒の合計で等式。
４ｘ＋５ｙ＝200　…①

配ったゴミ袋の数で等式。
生徒１人に１枚ずつ配るので200枚は必ず配る。
これにグループごとの予備の枚数を加える。
200＋２ｘ＋３ｙ＝314
２ｘ＋３ｙ＝114　…②
①、②の連立を解くと、ｘ＝15、ｙ＝28
４人グループ…15組、５人グループ…28組

大問５（平面図形）

（１）
△ＥＤＯ∽△ＥＢＤの証明。

共通角（×）、ＡＣ//ＤＯの錯角と弧ＡＤに対する円周角（●）
２角相等で∽。

（２）

△ＥＤＯ∽△ＥＣＡの相似比は９：７。
△ＥＤＯ∽△ＥＢＤの相似比を求めるには対応する辺の比が欲しいが、
なかなか出てこない…(´д`)
面積比から攻めてみる。

Ｂ側の情報を得るために、円の半径を使う。
ＯＢ＝ＯＡ＝16
△ＥＤＯ：△ＥＢＤ＝ＥＯ：ＥＢ＝９：（９＋16）＝⑨：㉕
よって、相似比は△ＥＤＯ：△ＥＢＤ＝３：５

大問６（関数）

（１）
ｙ＝１/ｘ、ｙ＝ｘにｘ＝２を代入すると、
Ｂのｙ座標は１/２、Ｃのｙ座標は２。
ＢＣ＝２－１/２＝３/２

（２）

四角形ＡＤＢＣが平行四辺形になるとき、対辺が等しくなる。
ＡＤ＝ＣＢ＝６
ＢとＣのｙ座標をａで表すと上図になる。
ＣＢ＝２ａ－ａ/２＝３/２ａ＝６
ａ＝４

（３）

ａ＝１のときの四角形ＡＤＢＣの面積を求める。
（１）よりＢＣ＝３/２、Ａのｘ座標は１/６なので、
（６＋３/２）×（２－１/６）÷２＝55/８

計算がやや面倒だが(´Д｀)、四角形ＡＤＢＣの面積をａで表す。
ＢＣ＝３/２ａ、高さは２－ａ/６、面積は55/８になるから、
１/２（６＋３/２ａ）（２－ａ/６）
＝１/２（12－ａ＋３ａ－ａ²/４）
＝－ａ²/８＋ａ＋６＝55/８　←両辺を８倍して整理

ａ²－８ａ＋７
＝（ａ－１）（ａ－７）＝０
０＜ａ＜12なので、ａ＝７

＠余談＠
ａ＝４のとき、四角形ＡＤＢＣは平行四辺形であった。
－ａ²/８＋ａ＋６にａ＝４を代入すると面積は８である。

他のａを計算してみると、
ａ＝３、５は63/８で等積。
ａ＝２、６は15/２で等積。
ａ＝１、７は55/８で等積であった・・。
０＜ａ＜12でａ＝０だとグラフが無くなってしまうが、
ａ＝０、８では値が６で等しくなり、
ａ＝－１、９では値が39/８で等しくなる…。
すなわち、平均が４（和が８）となる組み合わせで等積になる。

試しに、－ａ²/８＋ａ＋６のａを（８－ａ）に置き換えてみると、
－（８－ａ）²/８＋（８－ａ）＋６
＝－ａ²/８＋ａ＋６…と同じ値が出てくる|-`)｡oO(ホワーイ?)

この理由なのですが、高校で習う２次関数を使います。
先ほどのａを変数ｘに置き換え、四角形ＡＤＢＣの面積をｙとし、
ｘの値を変えていくと、四角形ＡＤＢＣの面積がどのように変化するかをグラフで表します。

ｙ＝－１/８ｘ²＋ｘ＋６
＝－１/８（ｘ²－８ｘ－48）
＝－１/８（ｘ＋４）（ｘ－12）＝０
ｘ＝－４、12のとき、面積ｙが０になる。
→グラフはｘ軸と（－４、０）（12、０）で交わる。
問題文で『０＜ａ＜12』とあるのは、ａ＝12で面積が０になるからです。

放物線は左右対称で、対称軸を軸といいます。
ａ＜０から上に凸のグラフ、軸の方程式は－４と12の真ん中のｘ＝４
代入するとｙ＝８だから、頂点の座標は（４、８）
つまり、ｘ＝４のとき、四角形ＡＤＢＣの面積は８で最大になります。
そして、対称性から頂点から等距離にあるｘ座標の組み合わせは、
ｙの値が等しいので面積が等しいことになります。
（たとえば、ｘ＝3.9と4.1をあてはめると、いずれも面積は7.99875で等積になる）

ちなみに、頂点の座標は平方完成でも求めることができます。
ｙ＝ａ（ｘ－ｐ）²＋ｑの標準形に変形すると、頂点の座標は（ｐ、ｑ）。
ｙ＝－１/８ｘ²＋ｘ＋６
＝－１/８（ｘ²－８ｘ）＋６
＝－１/８（ｘ－４）²＋８　→頂点（４、８）

大問７（空間図形）

（１）

正面からみると、円錐は二等辺三角形。
三平方の定理より、円錐の母線は４ｃｍ。

（２）

最短距離なので、展開図を作成する。
側面の扇形の中心角は、360×半径/母線＝360×１/４＝90°
ヒモを展開図に描くと上図のＩＩ’になる。
△ＯＩＩ’は直角二等辺三角形で辺の比は１：１：√２だから、
ＩＩ’＝４√２ｃｍ

（３）

四角錘Ｐ―ＡＢＣＤの高さが知りたい。まずはＰの位置を確認する。
四角錘Ｐ―ＡＢＣＤの体積が最小となる⇒Ｐは面ＡＢＣＤに最も近い場所。
前問の展開図がヒントになる。
立体図でＰは面ＥＦＧＨ上にあるＩから最も遠くにあり、展開図でいえばＰはＩＩ’の中点である。
直角三角形ＱＩＰより、ＱＰ＝４×１/√２＝２√２ｃｍ

Ｐから面ＡＢＣＤに垂線をひき、足をＲとする。
ＰＲが求めるべき四角錘の高さにあたる。
正面から見た図で△ＱＰＲ∽△ＱＧＣより、ＲＰ＝√15×２√２/４＝√30/２ｃｍ
よって、四角錘Ｐ―ＡＢＣＤの体積は、２×２×√30/２÷３＝２√30/３ｃｍ³

６（３）と７（３）は時間を要する。
高得点を狙うには時間配分に注意されたい。
大問１
ここだけで全体の５分の１にあたる配点。オール死守。
大問２
（５）箱ひげ図も判断しやすかった。
ここもすべて取っておきたい。
大問３
（１）じゃんけんに置き換えると捉えやすかった。
（２）①で試行して②で証明する。
ｎをどう使うか。４つの整数の下段でｎを用いる。
大問４
練習問題に良さげ。
袋の枚数は６ｘ＋８ｙ＝314でも解けるが、
〔１人ずつに配る200枚〕と〔グループごとの予備の袋〕に分けると少し楽。
大問５
（２）円が出てきたら半径を見る癖をつけたい。
大問６
（２）ＡＤ＝６は固定。ＣＢの長さをａで表す。
（３）やり方は文字に置き換えて方程式を立てるという高校受験の王道だが、
処理がやや複雑で時間を要する。後回しでも良い。
大問７
（２）円錐の側面積である扇形の中心角や面積はすばやく出せるようにしたい。
（３）まずはＰの位置をおさえること！
立体図からＩから最も遠い場所→扇形の展開図でＩから遠いのはＱの真下。
立体の立面図から相似で高さを算出する。
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