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2020年度 山形県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)① 91.4%
6-9-(-2)
=-3+2=-1

② 77.3%
(-2/5+4/3)÷4/5
=-2/5÷4/5+4/3÷4/5 ←先に展開してみた。
=-1/2+5/3
=7/6

③ 64.7%
(-3a)2÷6ab×(-16ab2
=-24a2

④ 76.6%
(√3+1)(√3+5)-√48
=8+6√3-4√3
=8+2√3

(2) 79.5%
答案では解き方も記述する。
(2x-1)(x-4)=-4x+2
2x2-9x+4=-4x+2
2x2-5x+2
=(2x-1)(x-2)=0
x=1/2、2

(3) 51.4%
すべての場合は、2×3×3=18通り
『少なくとも1個は白』=すべて-全部白
全部白の場合は、1×1×2=2通り
『少なくとも1個は白』…18-2=16通り

確率は、16/18=8/9

(4) 46.8%
円錐の側面積となる扇形の中心角は【×半径/母線】で処理。
360×5/10=180°
半円であるウ。

(5) 48.2%
ア:最頻値は1組…7.75時間、2組…7.75時間で同じ。×
イ:1組…32人の中央値は16番目と17番目の平均で7.25時間。
 2組…33人の中央値は17番目で7.75時間。2組の方が大きい。×
ウ:1組…7人、2組…11人で2組のほうが多い。×
エ:1組…21/32、2組…21/33
分子が同じ。分母が小さい1組の方が値が大きい。〇

大問2(小問集合2)

(1)① 52.9%
反比例の変化の割合。
x=1のとき、y=12
x=4のとき、y=3
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
=(3-12)/(4-1)=-3

② 46.8%
y=12/xにx=3を代入して、A(3、4)。
これをy=ax2に代入してaを求める。
4=9a
a=4/9
y=4/9x2にx=-6を代入して、B(-6、16)。

直角三角形をつくると、辺の比が3:4:5!
AB=15

(2)得点率100%-19.8%!、50~99%-14.7%、1~49%-14.4%
整数の証明問題。
4けたの自然数は、1000a+100b+10a+bと表すことができる。
1000a+100b+10a+b
=1010a+101b=101(10a+b)
10a+bが整数だから、101(10a+b)は101の倍数である。

(3)① 64.0%
観戦者の人数をxとおく。最初に持っていた金額で等式を立てる。
3300x-4400=2700x+400
*過不足の扱いに注意しよう!
連立の場合は、最初に持っていた金額をy円とし、
y=3300x-4400
y=2700x+400

② 55.4%
うえの一次方程式を解く。
600x=4800
x=8
最初に持っていた金額は、2700×8+400=22000円

(4) 57.9%

①『点Aで直線ℓと接する円』→中心から伸びる半径と接線は直交する→Aを通る直線ℓの垂線。
②『2点B、Cを通る円』→BCの垂直二等分線
これらの交点が2つの円の中心P。


大問3(数量変化)

(1)① 76.3%
動く距離が4cmになるまで、重なる部分は正方形。
y=3×3=9

②ア;74.8%、イ;57.9%、ウ;45.3%、グラフ;76.6%

0≦x≦4のとき、1辺がxの正方形。y=x2
x=4のとき、1辺4cmの正方形(y=16)がスポっと入る。
正方形が長方形PQRSから出る直前は辺ADが辺PSに接したとき
それまで重なる部分は16で一定。
4≦x≦6のとき、y=16

6≦x≦10のときの式を求める。
x=6のとき、y=16
x=10のとき、y=0
(6、16)(10、0)の2点を通る式
傾きは、(0-16)÷(10-6)=-4
0=-4×10=b
b=40
y=-4x+40
ア…6、イ…
2ウ…4x+40

最初はy=x2なので、(1、1)(2、4)(3、9)の格子点を通過するように描く!

(2) 9.4%!
重なっている部分yと△APQの面積が等しくなる瞬間はどこか?|д・)
x=4のとき、y=16
試しに、このときの△APQの面積を求めると、
PQ×QO÷2=6×(10-4)÷2=18
ということは、0≦x≦4では等しくならない。

今度は次の転換点であるx=6のときを計算すると、
△APQの面積は、4×(10-6)÷2=8
4≦x≦6のとき、重なっている部分yは16で一定なので、この変域のどこか。

6×(10-x)÷2=16
30-3x=16
x=14/3


大問4(平面図形)

(1)100%—14.4%!、50~99%—13.7%,1~49%—50.0%
△ACG≡△ADEの証明。

仮定から、AC=AD。この両端角に狙いを定める。
共通角で∠CAG=∠DAE
弧AFの円周角→AB=ADより△ABDは二等辺三角形→∠ACG=∠ADE
1辺と両端角相等で合同。
*平行線は使わなかった。

(2)① 49.6%

△ADE∽△CBE
AE:CE=AD:CB=6:3=2:1
AC=6cmなので、AE=6×2/3=
4cm

@別解@

二等辺三角形ABDの底角と、平行線→錯角で∠ABE=∠EBC
角の二等分線の定理より、BA:BC=AE:EC=6:3=2:1
AE=6×2/3=4cm

② 2.2%!!

△ABEと△CEFは対頂角と円周角で2角が等しく相似。
辺の比さえわかれば、隣辺比の積から面積比が出せる。
FC:FE=AB:AE=6:4=③:②
BEの値が出せないものか(´ω`).。0

等角のに注目して共通角と合わせると、△BCF∽△CEF
BC:BF=CE:CF
3:BF=2:③
BF=③×3/2=〇4.5
BE=〇4.5-②=〇2.5

隣辺比から面積比。
△ABE:△CEF
AE×BE:FE×CE
=4×〇2.5:②×2
=10:4
=5:2

@別解@

(1)の△ACG≡△ADEから、AG=AE=4cm、GD=6-4=2cm
2つの合同図形から斜線部分を除くと、余りの△CEFと△DGFも合同
DF=③
△BCF∽△DGFより、BF=③×3/2=〇4.5
BE=〇4.5-②=〇2.5
あとは先ほどと同様に隣辺比で5:2。

大問が4つしかない(‘Д’)
大問1
(3)『少なくとも』ときたら余事象の確率。
(4)×半径/母線は他でもでるよ!取れないのはもったいない。
(5)機械的に調べるだけ。もう少し正答率を上げたい。
大問2
(1)①大阪Cでも反比例の変化の割合が出た。
(2)数を文字式で表す→101でまとめる→お決まりの常套句を披露。
大問3
(1)②グラフの方が正答率高いのは何故??
混乱したら絵を描いて整理。
(2)まず、どのxの変域に答えが含まれるか。
転換点ごとに△APQの面積を算出して絞る。
大問4
似たような図形を他でも見かけたような。
(2)②隣辺比の処理に慣れておきたい。
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2021年度 東大寺学園中学過去問【算数】大問1解説

(1)次の空欄にあてはまる数を答えなさい。

(2)
液体Aをある容器に54g入れるといっぱいになりました。同じ容器に液体Bを30g入れるといっぱいになりました。この容器に液体Aと液体Bを入れていっぱいにしたところ、容器に入っている容器Aと容器Bの重さの比は6:5になりました。
このとき、容器に入っている液体Aと液体Bはそれぞれ何gですか。
ただし、液体Aと液体Bは混ざり合わないものとします。

(3)
同じ大きさの小さい立方体の積み木125個を積んで図のように大きい立方体をつくりました。図において、PはAB、QはBC、RはCDのそれぞれ真ん中の点です。P、Q、Rを通る平面で大きい立方体を切断しました。このとき、次の問いに答えなさい。必要ならば解答欄の図を用いなさい。

(ⅰ)
切られなかった小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

(ⅱ)
切り口の形が正六角形となっている小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

↑解答欄の図。


@解説@
(1)

過呼吸になるね(:.;゚;Д;゚;.:)

心折られて手つけたくないが、解説ブロガーとして無視したい無視すべきではないの葛藤に悩まされ、おそらくこれが解けるまで永遠に病みつづけるであろうと悟り、やむを得ず挑戦してみました。
とりあえず、□のない右辺から処理してみるよ。。

通分してつなげたときは、うしろの項にカッコをつけること!
カッコを展開すると+1は-1に符号が変わる。
立方数の差はがんばって出す。結果は60。

左辺でわかるところを処理。
21×21-19×19
=441-361=80
43×47=2021
*この素数の積は年号問題で予想されていたので、難なくクリアできたはず。
41×49=2009

残るカッコ内の分子を△(=2009+□)としてまとめると・・

80-20=60だけど4ケタの分数が邪魔すぎる(:.;゚;Д;゚;.:)
何か整数論のマジックがあるのかもしれないが(あるの?)、20×2009/△の値が知りたいので・・

マウスを握る手が痛くなってきたが、20でまとめると分子が20×2009で共通する!
△=2025
2009+□=2025
□=16

@余談@

結果論になってしまいますが、△=2025であれば、
80×2021-20×2009=60×2025が成り立つ。
長方形の面積でとらえると、L字の赤い部分の下が12×20=240で、
これを右上に縦60でくっつけると横が4。
ちょうど60×2025になる:( ´ω` ):
東大寺の先生はどうやってこういうの作ってるんでしょうね。。

■追記■
80×2021-20×2009=60×2025
80×43×47-20×41×49=60×45×45
80×(45-2)×(45+2)-20×(45-4)×(45+4)=60×452
80×(452-4)-20×(452-16)=60×452
80×452-80×4-20×452+20×16=60×452
452×(80-20)=60×452
80-20=60

(2)
同じ容器にAだけで54g、Bだけで30g。
単位体積あたりの重さの比は、A:B=54:30=9:5
容器に混ぜたときの重さの比はA:B=6:5なので、
体積比はA:B=6÷9:5÷5=②:③

容器の体積を⑤とすると、Aは②、Bは③入っている。
Aの重さ…54×2/5=21.6g
Bの重さ…30×3/5=18g

(3)(ⅰ)

頻出のパターンなので正解したい。
PとQが小さい立方体の中点にある。平行線の出発点を間違えないように!

3段目の中央で折り返すので、対称性から1段目と5段目、2段目と4段目は同じ。
各段で切り込まれる上面と下面の平行線を作図。
この平行線に触れる正方形の数を数える。
9×2+12×2+13=55個
切られない立方体は、125-55=70個

(ⅱ)

↑大きい立方体が切り込まれた状況のように、上からみたときに上面の上と右の辺、
下面の下と左の辺の中点を断面が通ると正六角形になる。

3×2+4×2+5=19個
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2021年度 洛星中学過去問【算数】大問4解説

図のような道路があり、PQ間は600m、QR間は320m、RS間は800mです。

太郎君はPからSへ向かって、次郎君はSからPへ向かって、同時に出発しました。
太郎君がSに着いたとき、次郎君はPまであと344mのところにいました。
なお、2人が歩く速さはそれぞれ一定です。

(1)
2人が歩く速さの比を求めなさい。

 

別の日に、RからQへ向かって一定の速さで動く歩道ができました。
太郎君はPからSへ向かって、次郎君はSからPへ向かって、同時に出発しました。
すると、2人はRですれちがいました。ただし、QR間は動く歩道を歩くものとします。

(2)
太郎君が歩く速さは、動く歩道が動く速さの何倍ですか。

 

太郎君がSに着いてから2分42秒後に、次郎君はPに着きました。

(3)
太郎君が歩く速さは毎分何mですか。


@解説@
(1)
太郎の移動距離は、600+320+800=1720m
次郎の移動距離は、1720-344=1376m
速さの比は距離の比。
太郎:次郎=1720:1376=215:172=5:4
*最後は43で割りますヽ(`Д´)ノ

(2)

次郎は800m歩く。
前問の速さの比を使うと、太郎は800×5/4=1000m歩くはずだが、
Rで次郎と出会うということは、1000-(600+320)=80m減っている。
これは太郎が歩くはずの1000mのうち、600mは通常の速さだが、
動く歩道で減速した結果、残りの400mが320mに縮小されて-80mとなった
-80mが動く歩道の影響を受けた部分。
太郎の速さ:動く歩道の速さ=400:80=5:1
太郎の速さは動く歩道の速さの5倍。

(3)
速さの比は太郎が⑤、次郎が④、動く歩道が①で、
次郎は動く歩道に乗ると④+①=⑤で加速する。

太郎がRからSに歩く時間で、次郎はどのくらい移動するか。
PQ間は動く歩道の影響を受けないので、Pからさかのぼって計算してみる
本来、次郎の速さでは800×④/⑤=640m歩くはずだが、
実際は超過分の40mは動く歩道の影響を受けるので、40×⑤/④=50m歩く。
残りの320-50=270mが2分42秒となる。
2・42/60分=27/10分
270m÷27/10分=毎分100m

次郎+動く歩道の⑤が毎分100m。
太郎は⑤だから、毎分100m。
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2021年度 甲陽学院中学1日目過去問【算数】大問3解説

図のような、立方体の各辺の真ん中の点を結んで出来た立体Xがあります。

(1)
辺BEの真ん中の点Mを通り、面ABCDに平行な平面で立体Xを切断するとき、
立体Xの断面積は面ABCDの面積の何倍ですか。

(2)
BN:NE=1:2となるように辺BE上に点Nをとります。
点Nを通り、面BCFに平行な平面で立体Xを切断するとき、
立体Xの断面積は面BCFの面積の何倍ですか。


@解説@
(1)

△ABEは斜めの面だが、上から眺めると直角二等辺三角形にみえる。
MはEBの中点で、ABと平行になるように切られるので断面はEAの中点も通過する
対称性でつなげていくと、断面の形は八角形である。

左下の△FEMの面積を①とする。
辺の比から△ABE=△ABO=④
五角形AFMBO=⑧-①=⑦(等脚台形AFMBは③)

面積比の算出は正方形AEBO内で決着がつく。
正方形ABCD:断面積(八角形)=△ABO:五角形AFMBO=④:⑦
断面積は面ABCDの7/4倍。

(2)

断面の作図は図形Xの面上ではなく、外側へ延長しよう。
BFとの平行線を意識して、Nを通る正三角形GHIを作成。
EBは右上45度線、GIは右下45度線。
△GBNは直角二等辺三角形ゆえ、GN=BN=①
四角形BNJFは長方形で、NJ=BF=③
対称性からJI=GN=①
断面積は右の赤枠のような形になる。
△BCFの面積…③×③=【9】
断面積…⑤×⑤-①×①×3=【22】
断面積は面BCFの22/9倍。

@余談@

△BCFと△GHIは平行なので、三角錐J-BCFと三角錐J-GHIは相似関係にあるが、
Bから直接Gの位置を探ろうとすると失敗する(;`ω´)
BJは直角二等辺三角形BJFの等辺だが、GBは直角二等辺三角形GBNの斜辺にあたる。
中3で習う根号(ルート)を使わないと厳しい。。
また、角の3つの底面は正三角形だが、立体はきれいな三角錐ではない。

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2021年度 大阪星光学院中学過去問【算数】大問2解説

下の図1のように、縦の長さが8cmの長方形ABCDがあります。

点PはAを出発して辺AD上を毎秒5cmの速さで何度も往復します。
また点Qは、点Pと同時にCを出発して、辺CB上を一定の速さで何度も往復します。
下の図2のグラフはこのときの図形ABQPの面積の変化を表しています。

(1)
点Qの速さは毎秒何cmですか。

(2)
図2のグラフの〔ア〕にあてはまる数は何ですか。

(3)
2点P、Qが出発してから180秒間で面積が最も大きくなるのは何秒後ですか。
あてはまる数をすべて答えなさい。


@解説@
(1)

図形ABQPの面積は、AP(上底)+BQ(下底)の和に依存する
6秒後までは面積が増加しているのでAP+BQは長くなる。
つまり、BQの減少よりAPの増加が勝るので、PはQより速いことになる。
→6秒後、先にPがDに到着する。
ここからグラフが急激に下がるのは、Pが折り返すことでAPとBQがともに短くなるから。
面積が90cm2のときにQがBに到着する。
6×2=12秒後にPがAに戻る。
AD(長方形の横)の長さは6×5=30cm

QがBについたとき、AP=90×2÷8=22.5cm
Pの移動距離は、60-22.5=37.5cm
37.5÷5=7.5秒後
Qの速さは、30÷7.5=毎秒4cm

@別解@

PがAに戻る72cm2でも解ける。
BQ=72×2÷8=18cm
速さの比は、P:Q=60:48=5:4
Pが毎秒5cmなので、Qは毎秒4cm。

(2)
AP=30cm、BQ=30-4×6=6cm
(30+6)×8÷2=144

(3)
図形ABQPの面積が最大になるのは、PがD、QがCにいるとき
(長方形ABCDと同じ面積になる)
〔PがDにいる時間〕→6・18・30・42…
〔QがCにいる時間〕→15・30・45…
30秒後に面積がはじめて最大化。
留意点は、はじめにPはAから出発しているので、
今度はDから出発して再びDに戻るときを考えること!
30秒後にPはA→Dに移動するので、D→A→Dは60秒後
30と60の最小公倍数は言わずもがな60なので、以降60秒ごとに面積が最大化。
30+60=90秒後
90+60=150秒後
180秒間では30、90、150秒後。
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2021年度 浦和明の星女子中学過去問【算数】大問4解説

直方体の形をした、2つの容器A、Bに水が入っています。この2つの容器の底面積は異なり、容器Aの底面積は120cm2です。
はじめ、2つの容器AとBの水の深さの比は3:2でした。Aに入っている水の量の1/6をBへ移したところ、Aの水の深さはBより0.8cmだけ深くなりました。さらに、Aに入っている水の量の1/5をBへ移すと、Bの水の深さはAより2.4cm深くなりました。

(1)
はじめに容器A、Bに入っていた水の深さをそれぞれ答えなさい。

(2)
2つの容器の水の深さを等しくするには、この後、BからAへ何cm3の水を移せばよいですか。


(1)
AとBの水の量は等しいとは限らない。。

はじめのAの量を【6】とする。
【1】をBに移してAの量が【5】になったとき、A>Bで差は0.8cm。
【5】の1/5をBに移動。移動する水の量は【1】で先ほどと同じ量
Aの量が【4】になったとき、A<Bで差は2.4cm。

Aが【5】→【4】に変化したとき、Bを基準にAは+0.8から-2.4に下がる。
ということは、【1】の移動でAとBの差は2.4+0.8=3.2cmずつ拡大する

【5】のときから逆再生してAを【6】に戻すと、AとBの差は0.8+3.2=4cm。
これが初期状態におけるAとBの差の①に相当する。
③=4×3=12cm、②=4×2=8cm
A…12cm、B…8cm

(2)
Aが【5】のとき、A>Bで差が0.8cmであった。
もし、この状態からAとB
の水深を等しくするには、
Aからどれほどの量をBに移動させるべきであったか?

【1】で差が3.2cm拡大するから、0.8cmでは【0.8/3.2】=【1/4】
ということは、余分に移してしまった【3/4】をBから戻せばいい
はじめのAの水の量が【6】なので、
120×12×1/6×3/4=180cm3
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2020年度 大分県公立高校入試過去問【数学】解説

平均31.9点(60点満点;前年比+7.2点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)① 98.4%
2-6=-4

② 87.9%
-3×(-22
=-3×(-4)
=12

③ 88.2%
(2a+b)/3+(a-b)/2
={2(2a+b)+3(a-b)}/6
=(7a-b)/6

④ 91.7%
xy2×x2÷xy
=x2

⑤ 79.2%
6/√3+√15×√5
=2√3+5√3
=7√3

(2) 79.6%
2+7x-18
=(x+9)(x-2)=0
x=-9、2

(3) 90.6%

典型問題。平行線をひき、同位角や錯角で集める。
x=70°

(4) 67.0%
2-6a+9
=(a-3)2 ←ここで代入。
=(√5+3-3)2
=5

(5) 44.2%
円錐の高さは、母線5cmを斜辺とする3:4:5の直角三角形→4cm
3×3×π×4÷3=12πcm3

(6)2点-53.8%、1点-22.9%

①∠Aの二等分線。BCとの交点がP。
②AとPが重なる折り目→APの垂直二等分線。
垂直二等分線は対称の軸でAとPが対応する関係になる。

大問2(小問集合2)

(1)① 70.9%
それぞれの硬貨の結果は表か裏かの2択。
2×2×2=8通り

② 43.0%
500以下より、500超の場合が少ない。
500超のパターンは、550・600・650の3通りしかない。
500以下は8-3=5通り
確率は5/8。

(2)① 64.6%
12~15冊は10人。
相対度数は小数で求めよう。
10÷40=0.25

② 36.8%
16冊は15冊以上18冊未満の階級に含まれる。
15冊以上借りた人は19人いるので、はなこは上位20人に入っているので正しくない。
*平均値と順位は話が異なる。


大問3(関数)

(1) 83.1%
y=ax2にA(3、3)を放り込む。
3=9a
a=1/3

(2) 42.8%
y=1/3x2に代入。
x=3のとき、y=3
x=5のとき、y=25/3
変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)
=(25/3-3)÷(5-3)=8/3

@別解@
y=ax2において、xの値がpからqまで増加するときの変化の割合はa(p+q)
1/3×(3+5)=8/3

(3) 18.8%!

赤い直角三角形は合同。
AとBの座標の差から、横は2、縦は16/3。
Cはy軸上の点なのでx座標は0。Dのx座標は0-2=-2
Dのy座標は、1/3×(-2)2=4/3
Cのy座標は、4/3+16/3=20/3

大問4(数量変化)

(1) 72.8%
Aの方法は、お湯を使うまでの時間と保温時間が一緒。
表2は使わない。表1の『1時間あたり0.9円』から、
y=0.9x

(2)3点-13.6%!、2点-28.3%

x=1のとき、3分間沸かすから、y=0.4×3=1.2
以降、1時間ごとに湯を沸かす時間は1分間伸びるので、電気代は0.4円ずつ増加する。
グラフは(1、1.2)を通る傾き0.4の一次関数。
縦軸の1目盛りは0.2なので、1時間に2目盛りずつ増える。

(3) 18.1%!

先ほどのグラフを左に延長して、切片は0.8。
y=0.9xとy=0.4x+0.8の交点を求める。
0.9x=0.4x+0.8
x=8/5
1・3/5時間=1時間36分

大問5(空間図形)

(1)① 64.4%

2角が等しく、△PSQ∽△TSR
PS:TS=PQ:TR=
QR:RS=PT:TS=
QR=3mなので、RS=3×1/3=1m

② 3.6%!!
前問のQR:RS=3:1は、本問も維持される

RS=a×1/3=a/3m
△QBA∽△QEF
辺の比は高さの比と等しく、BA:EF=QR:QS=
EF=2×3/4=8/3m

台形ABEFの面積は、(2+8/3)×a/3÷2=7/9am2

(2) 4.0%!!

△PFQ∽△DFAより、PF:DF=
△PCD∽PEF
より、CD:EF=
EF=2×4/3=8/3m

大問6(平面図形)

(1)3点-41.4%、2点-5.6%、1点-15.5%
△ADF∽△BCFの証明。基本レベル。

1つは対頂角。もう1つは円周角。
2角相等で∽。

(2)① 30.6%!

先ほどの相似で、対応する角に注目する。
これと∠Eもしくは直角から、2角相等で△ACE∽△BDE
求めたいCEをxとおいて、
AE:EC=BE:ED
8:x=x+2:3
内項と外項の積で、x(x+2)=24
2+2x-24
=(x+6)(x-4)=0
x>0より、x=4
4cm

② 0.4%!!!
ムズいべ(゚∀゚)
EGが中途半端な位置にある。
ひとまず直角三角形の斜辺にあたるEFが求まりそう。

直角三角形ACEの辺の比に注目すると、AE:EC=8:4=2:1
直角三角形BDEの辺の比も、BE:ED=6:3=2:1
ここから、△ACEと△BDEは1:2:√3の直角三角形であり、
これらと相似関係にある△ADFと△BCFの辺の比も1:2:√3である。
FC=2×1/√3=2√3/3cm
面倒だが…△CEFで三平方。
EF2=42+(2√3/3)2=156/9
EF=2√39/3cm

ここからどうやってEG:GFを出すべきか(-_-;)
四角形CEDFは対角の和が180°で内接四角形。
4辺の長さはでるので、対角線DCとEFで分けられた4つの三角形の相似比を
統一してもできそうだが、しち面倒くさい(;´Д`)
そこで、直角三角形の辺の比1:2:√3を活用する

CからDEに向けて垂線。EF、EDとの交点をそれぞれH、Iとする。
△CEIも1:2:√3の直角三角形。EI=4÷2=2cm、ID=3-2=1cm
同位角が等しく、IC//DF。
△EIH∽△EDFより、IH=とすると、DF=となる。
また、△ADF∽△AICより、IC=×6/5=〇18/5
HC=〇18/5〇8/5

△CHG∽DFGより、HG:GF=CH:DF=8/5:3=
再び△EIH∽△EDFに戻り、EH:HF=2:1だから、EH=
×2=
したがって、EH=2√39/3×〇54/〇69=12√39/23cm

大問1
全問とるべき。
(5)よくあるパターンなので、もう少し正解したい。
大問2
(1)②確率は基本レベル。
(2)②16冊がどの階級に属するか。上から数えて少なくとも何番目か。
大問3
(3)2020年富山大問2にも似たような問題が。
大問4
問題文が長いが、必要な情報は少ない。
(3)題意をくみとれれば計算はしやすかった。
大問5
(1)②前問はQR=3mでこちらはQR=amだから、
別問だと判断した生徒は少なくないかもしれない…。
混乱を誘発しやすい設問だったと思う(´・_・`)
大問6
(2)ここまで解ければ十分。
(3)難問:;(∩´_`∩);:
もっとうまいやり方があるかも。。できなくても問題無い。
1:2:√3を使うしかないと思うが、なぜCからDEに向けて垂線を引こうとしたのか、
と尋ねられるとサボもうまく答えられない。やってみたら運良くできました。。
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2021年度 浦和明の星女子中学過去問【算数】大問3解説

流れの速さが毎分36mの川の下流にア町、上流にイ町があります。この区間を2そうの船A、Bが往復しています。Aが上流に向かって進む速さとBが下流に向かって進む速さは同じです。
この2そうの船A、Bが、ア町からイ町に向かって同時に出発しました。Aがイ町に到着したとき、Bはイ町より1728m下流の地点にいました。その後Aはすぐにア町に向かって戻り、途中Bとすれ違った後、出発してから40分後にア町に戻りました。
下のグラフは、2そうの船がア町を出発してからの時間と、ア町からの距離を表したものです。
ただし、清水時での船の速さはそれぞれ一定であるとします。

(1)
静水時での船A、Bの速さの差は、毎分何mですか。

(2)
静水時での船Aの速さは毎分何mですか。

(3)
船A、Bが2度目にすれ違ったのは、ア町から何m上流の地点ですか。


@解説@
(1)
グラフばかりに目がいくと、初問でつまづいて全敗する(;´・ω・)
差の1728mは使わない。
用いるのは『Aの上流とBの下流の速さが同じ』。

上流の速さ=静水時の速さ-流れの速さ
下流の速さ=静水時の速さ+流れの速さ
Aの上流とBの下流の速さが等しいということは、
静水時のAとBの差は流れ2つ分
36×2=毎分72m

(2)

静水時のAとBの速さの差が毎分72m➡流れの速さを引いた上流の速さの差も72m。
AとBが同時に出発して1728mの差がでたということは、1728÷72=24分
Aの上りは24分で、Aの下りは40-24=16分
時間の比は、上り:下り=24:16=3:2
速さは逆比で、上り:下り=②:③

①…流れの2倍で毎分72m。
Aの静水時の速さは、72×②+36=毎分180m

(3)
Aの上りは、180-36=毎分144m
(1)より、AとBの速さの差は毎分72m(上りの差も同様)。
Bの上りは144-72=毎分72m
上りの速さが、A:B=144:72=2:1

時間は逆比で1:2だから、Bがイ町に着くのは24×2=48分
Aの上りとBの下りは時間が等しいので、Bがア町に戻るのは48+24=72分
赤い三角形に注目<●><●>カッ!!
速さが同じ→傾きの角度が一緒で底角が等しく二等辺三角形
AとBが2度目にすれ違う時間は、40と72の真ん中である56分。
すなわち、Aがふたたびア町を出発してから16分後である。
144×16=2304m
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2020年度 富山県公立高校入試過去問【数学】解説

平均47.1点(前年比;-14.2点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
5+(-3)×2
=5-6=-1

(2)
3xy2÷(-2x2y)×4y
=-6y2/x

(3)
√45+√5-√20
=3√5+√5-2√5
=2√5

(4)
a(a+2)-2(a+2) ←共通因数a+2
=(a-2)(a+2)
=a2-4 ←ここで代入
=(√6)2-4
=6-4=2

(5)
3x+2y=7
2x+y=6
加減法がやりやすいかな?
これを解いて、x=5、y=-4

(6)
2+6x-16
=(x+8)(x-2)=0
x=-8、2

7)
1500円のa割→1500×a/10=150a円。
定価-a割
=1500-150a円

(8)
∠PAB=∠PBAをどう使うか。

線対称で対応する角は等しい。
ABの垂直二等分線をひき、ACとの交点がPとなる。

(9)

△ABDは二等辺→∠DBA=x
△ABDで外角定理→∠BDC=x+x=2x
△BCDは二等辺→∠BCD=2x
△ABCの内角より、x+2x+90°=180°
x=30°

(10)
最頻値(モード)…最もあらわれているい値。
階級値で答えること!
7.0と7.5の平均である7.25秒。

大問2(関数)

(1)
x=0のとき、最小値y=0
x=3のとき、最大値y=9
0≦y≦9

(2)
グラフの式に代入して、座標を確認。
A(1、1)⇒B(3、9)
右に2、上に8だから、傾きは4。
Aから左に1、下に4移動して、切片は1-4=-3
y=4x-3

(3)
問題文の正確な読解を(‘Д’)

線分ABを平行移動して線分CDに移す。
AがC、BがDに移動する。(Dは必ずしもグラフ上の点ではない
四角形ABCDは平行四辺形である。

Bから下に8、左に2移動してA。
Dから下に8、左に2移動してC。
Dのx座標が-1だから、Cのx座標は-3となる。
y=1/3x2に代入。
Cのy座標は、1/3×(-3)2=3
Dのy座標は、3+8=11


大問3(確率)

(1)
OB上にくるということは、大・小の目が同じ
6通りだから、6/36=
1/6

(2)

意外と少ないです(・ω・)
OAの長さは6で固定なので、AO=APからP(6、6)
0は出せないのでこれしかない。
また、OAを斜辺としてP(3、3)
OAを直径とする半円を描くと、直径に対する円周角で格子点を通るのはこれだけ。
以上、2通り。
2/36=1/18

(3)

Oから半径の長さが4となる円を描く。
気を付けるべき点は、(3、3)は含まない!
Oから(3、3)までの距離は3√2。
(3√2)2>42だから、3√2>4となる。
格子点の数は8個。
8/36=2/9

大問4(規則)

(1)

三角形の数に注目。
1番目…1個、2番目…3個、3番目…6個、4番目…10個
6番目の三角形の数は1~6の和。1+2+3+4+5+6=21個
棒の本数は、3×21=63本

(2)

1辺2の正三角形の個数を各段で数えてみると、
2段目1個、3段目2個、4段目3個…10段目9個。
1~9の和を求める。
(1+9)×9÷2=45個

(3)
(1)と同じ考え。
234÷3=78個の正三角形ができるのは何番目か。
数字が小さいので足していった方が早い(´-`).。oO
1~10までの和が55だから、
55+11=66
66+12=78!
したがって、12番目。

大問5(空間図形)

(1)
△OABは1辺4cmの正三角形。
斜辺を4cmとする1:2:√3の直角三角形より、高さは4×√3/2=2√3cm
4×2√3÷2=4√3cm2

(2)
最短距離なので展開図を作成。

四角形ABCOは1辺4cmの菱形。
△ABP∽△QOPより、OP:PB=OQ:AB=1:2
OB=4cmだから、OP=4×1/3=4/3cm

(3)

A、C、Pで切断したとき、底面は△ABCになる
→ポイントは【三角錐O-ABC⇒三角錐P-ABC
OB:PBがこれらの高さの比にあたる。
PB=4-4/3=8/3cm
OB:PB=4:8/3=

Oの真下をHとする。三角錐O-ABCの高さOHを求める。
△ABCは直角二等辺で辺の比は1:1:√2→AC=4√2
△OACの辺の比を調べると、4:4:4√2=1:1:√2
△OACも直角二等辺である。
それを二等分した△OAHも同様に直角二等辺。OH=4×1/√2=2√2cm

求積すべき体積は、4×4÷2×2√2÷3×2/3=32√2/9cm3

大問6(数量変化)

(1)
6秒後の様子を描く。

折り返したRは台形ABPQと面積が等しい
y=(6+2)×4÷2=16

(2)
転換点に注意する。

Rは折り返された部分と合同。
0≦x≦4では、△APQの底辺と高さがともに伸びる。
面積はy=ax2で増加し、x=4のとき、y=4×4÷2=8

4≦x≦8では、台形ABPQは上底と下底が伸びる。
面積は一次関数で増加し、x=8のとき、y=(8+4)×4÷2=24

8≦x≦10では、△DPQの部分が底辺のみ伸びる。
面積は一次関数で増加し、x=10のとき、y=24+2×4÷2=28

↑まとめるとこうなる。

(3)
ここも転換点に気を付けながら調べる(;´・ω・)

0≦x≦4はSとRは同じ。
4≦x≦8はSは等積のまま右に移動する。
8≦x≦10は高さが小さくなるので、Sの値も小さくなる。

(4)

先ほどのグラフにRを描く。
Sの面積が8cm2のときが長いので、このときのRを計算すると、
R=8×5/2=20cm2
グラフより、7秒後。

大問7(平面図形)

(1)
△ABD∽△O’BPの証明。

1つは共通角。
半径OPと接線DBは垂直だから、∠O’PB=90°
直径ABに対する円周角である∠ADB=90°
2角が等しいので∽。

(2)①
こっから難しくなります(;´Д`)
PEが変な位置にあるので、図形の特徴をつかむために少し調べる。

O’P=2cm、O’B=4cm、∠O’PB=90°から、
△O’BP
の辺の比が1:2:√3である直角三角形であることに勘づきたい。
∠PBO’=30°

前問で△ABD∽△O’BPだから、△ABDの辺の比も1:2:√3。
AB=6cmより、BD=6×√3/2=3√3cm
BDとBEは円O’の接線であり、PとQはそれぞれの接点である。
円外の点から接線までの距離は等しいので、BQ=BP=2√3cm
その延長線でBから円Oとの交点までの距離も等しく、BE=BD=3√3cm
ようするに、直径ABを対称の軸としてこれらが上下で線対称の関係にある!(ノ)`ω´(ヾ)
∠O’BQ=30°

ごちゃごちゃして申し訳ない(;`ω´)
PからBEに向けて垂線、その足をRとする。
△BPRの内角も30°-60°-90°で1:2:√3から、PR=3cm、BR=√3cm。
(△O’CPは正三角形で∠BPC=30°。すなわち、CはPR上にある
ER=3√3-√3=2√3cm
△PREで三平方→PE=√21cm
*ちなみに、△BPQは正三角形になる。図に描いたけど別にいらんかった(;^ω^)



△BCRも1:2:√3→CR=1cm
PC=3-1=2cm
△CPEは底辺PCで高さERだから、2×2√3÷2=2√3cm2

大問1
ここはミスを最小限におさえたい。
大問ごとの後ろの小問がやりにくいので重要な得点源。
大問2
(3)Dは必ずしもグラフ上の点とは限らない。
ここを踏まえないとおかしくなる。
大問3
(2)いろいろありそうだが2通りしかない。
OAが斜辺かそうでないかで場合分けが良いかも。
(3)(3、3)は含まない!
大問4
(2)ここも問題文の条件を的確に。段ごとで調べると規則がある。
大問5
(3)断面APCを作図⇒底面は四角形ABCDではなく△ABC!
前問から高さの比。正四角錘の高さも素早く求めたい。
大問6
(2)(3)時間が足りないので、要領良く調べ上げたい。
大問7
(2)①PEを1辺とする直角三角形が見当たらないので作る。
辺の比に注意して1:2:√3を早々に気がつきたい。
問題文に角度の情報がないので見つけにくいが、図形問題でつまったら角度の調査!
円の中心OとO’が直径AB上にあり、2本の接線から上下で線対称。
処理自体は多くはないが、図形の特徴を正確にひもとくのが大変な問題であった。
30°か60°がでたら垂線をひくと便利な直角三角形がつくれる。ぜひ応用してみよう。
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2020年度 新潟県公立高校入試過去問【数学】解説

平均45.3点(前年比;+8.8点)

説明問題が多いです。以下、解答に説明が求められる設問に★をつけています。
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合1)-75.4%

(1) 97.2%
7×2-9
=14-9=5

(2) 92.6%
3(5a+b)+(7a-4b)
=15a+3b+7a-4b
=22a-b

(3) 92.0%
6a2b×ab÷2b2
=3a3

(4) 87.0%
x-4y=9
2x-y=4
連立を解く。
x=1、y=-2

(5) 89.4%
√24÷√3-√2
=√8-√2
=2√2-√2
=√2

(6) 76.2%
2+3x-1=0
因数分解ができないので解の公式を適用。
x=(-3±√13)/2

(7) 68.9%
x=1のとき、y=3
x=6のとき、y=1/2
1/2≦y≦3

(8) 23.9%!

△ADE∽△CBEより、DE:EB=②:⑤
△DEF∽△DBCで、EF:BC=DE:DB=②:⑦
EF=5×2/7=10/7cm

(9) 47.9%

∠BACは∠BOCの円周角→72÷2=36°
円周角は弧の長さの比例する。
x=36×4/3=48°

(10) 79.0%
無作為に取り出した40個のうち、青は7個。
480×7/40=84個

大問2(小問集合2)-54.2%

(1)★ 45.7%
2つのパターンを鉛筆の本数yで等式。
y=4x-8

y=3x+12
過不足の処理に気を付けよう!
4x-8=3x+12
x=20
y=4×20-8=72
x=20、y=7

(2)★ 56.5%
5×5=25なので、26以上の方が少ない
積が26以上は(5、6)(6、5)(6、6)の3通りだけ。
積が25以下は、6×6-3=33通り。
確率は33/36=11/12

(3)① 56.1%
y=x2に代入→A(-3、9)
A(-3、9)を通る、傾きが-1の直線の式を求める。
Aから右に3、下に3移動すると切片。9-3=6
y=-x+6

②★ 52.6%

典型問題ゆえミスしたくはない。
辺OBを底辺として、6×3÷2=9
説明問題でなくて良かったと思うが(;´・ω・)

(4) 60.0%
『2つの点A,Bを通る円の中心P』→PはABの垂直二等分線上にある。
これと直線ℓとの交点がPとなる。


大問3(平面図形)-45.0%

★△AEF≡△CEGの証明1題。

対頂角。AD//BCから錯角。
平行四辺形の対角線は各々の中点で交わる→AE=CE
以上、1辺と両端角相等で合同。

大問4(数量変化)-26.4%

(1) 41.1%

Pは反時計回りに秒速1cm、Qは時計回りに秒速3cm。
PQが円Oの直径、すなわち反対側にくるとき、PとQの移動距離の和は半周12cm
1秒間にPとQは4cmずつ離れていくから、12÷4=3秒後

その後、PとQは近づいていき、両者が重なる。
そこから1秒あたり4cmずつ
離れていき、再びPとQが反対側にくるのは、
PとQの移動距離の和が1周半である36cmのとき。
36÷4=9秒後
x=3、9

(2)① 53.3%
PとQが重なるのは、前問の3秒後と9秒後のあいだである6秒後。
計算式でかくと、PとQの移動距離の和が1周24cmだから、24÷4=6秒後。

x=6

② 11.1%!
x=3のとき、PQは半周でy=12
x=6のとき、PとQは重なっているのでy=0
(3、12)と(6、0)を通る直線の式を求める。
 12=3a+b
-)0=6a+b
 12=-3a
a=-4
b=24
y=-4x+24

(3)★ 13.3%!
ここも説明いるのか(;`ω´)

グラフを描写。
y≧10を考えよう。
赤い三角形の∽から、y≧10のときは1+1=2秒間。
y≦10は、10-2=8秒間


大問5(規則)-26.9%

(1)① 41.1%
初問で規則を見つけておきたい。

外側に白い辺ができる。四隅(角)は2辺が白なので除く。
a={(4-2)+(5-2)}×2=10

② 53.3%
同様。
a={(12-2)+(18-2)}×2=52

(2)★ 11.1%!

外側から中に1つ進むとb。
bの縦はx-2、横はy-2。
b=(x-2)(y-2)
=xy-2x-2y+4

(3)★ 13.3%!
前図より、a={(x-2)+(y-2)}×2=2x+2y-8
b-a=20
b-a
=xy-2x-2y+4-(2x+2y-8)
=xy-4x-4y+12=20
xy-4x-4y-8=0
y=x+5を代入。
x(x+5)-4x-4(x+5)-8
=x2-3x-28=(x+4)(x-7)=0
題意よりx≧3なので、x=7
y=7+5=12

x=7、y=12

@別解@

xの両端を除き、x-2=とします。bの縦は
yはxより5を大きい⇒y-2はx-2より5大きい。bの横は+5。
a=4×+10
b=×+5×
b-a=2+5-(4+10)=20
2-30
=(+6)(-5)=0
>0より、=5
x=+2=5+2=7
y=7+5=12

大問6(空間図形)-18.1%

(1)① 40.4%

△ABCは1辺6cmの正三角形。
△BCPで三平方→辺の比は1:2:√3だから、BP=3√3cm

② 45.0%
6×3√3÷2=9√3cm2

(2)★ 13.4%!

△APQの内角は30°-60°-90°で辺の比は1:2:√3
AQ=3÷2=3/2cm

(3)①★ 1.9%!!

ポイントは△ABD△ACE
BDとCEは底辺の正方形の対角線なので、2つの三角形はAFで直交している
BDとCEの交点をFとする。△ABF△ACE
∠BFA=90°
△APEは△ACE上にある。辺AB上の点Qからひいた垂線もAFと交わる。∠QHA=90°
同位角が等しく、QH//BF
△AQHと△ABFは相似である。

前問より、AQ=3/2cm
AQ:AB=QH:BF=3/2:6=1:4
QH=3√2×1/4=3√2/4cm

②★ 0.7%!!!
高さQHが出たので、底面である△APEの面積さえわかればいい。

ここも△ACEで考える。
直角二等辺三角形CDE→辺の比が1:1:√2より、CE=6√2cm
△ACEの3辺の比は、6:6:6√2=1:1:√2!
すなわち、△ACE直角二等辺三角形であり、∠PAE=90°
(正四角錘を対角線で切った断面は直角二等辺三角形)
よって、四面体APEQの体積は、
3×6÷2×3√2/4÷3=9√2/4cm3

大問1
全体的に正答率が高い。
(8)相似を器用に扱う。EFを1辺とする△DEFと∽関係な三角形はどれか。
(9)弧の比が提供されたら円周角の比。
大問2
処理がしやすい設問が多い。
(1)yがでてくるが、実質的には一次方程式。
大問3
ここも典型問題であった。
大問4
算数の旅人算で解いちゃった(´゚ω゚`;)
大問5
(2)より(3)の方が正答率が高いのは部分点か??
大問6
(2)までは取りたい。1:2:√3で決着がつく。
(3)どの面に着目すべきか、空間認識が鋭く問われた。
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