投稿者「家庭教師サボ」のアーカイブ

2022年度 大阪府公立高校入試B問題過去問【数学】解説

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大問1(計算)

(1)
18-(-4)2÷8
=18-16÷8
=18-2
=16

(2)
2(5a-b)-3(a+6b)
=10a-2b-3a-18b
=7a-20b

(3)
14ab÷7a2×ab
=2b2

(4)
(x+1)(x-1)-(x+3)(x-8)
=x2-1-(x2-5x-24)
=x2-1-x2+5x+24
=5x+23

(5)
(√6-√2)2+√27
=6-2√12+2+3√3
=8-4√3+3√3
=8-√3

大問2(小問集合)

(1)b=(5a+4)/7 …両辺×7
7b=5a+4 …移項
5a=7b-4 …両辺÷5
a=(7b-4)/5

(2)
2x2-3x-1=0
解の公式を適用して、
x=(3±√17)/4

(3)
平均値a…(2×1+3×4+4×3+5×2+6×1+12×1)÷12=54÷12=4.5冊
最頻値b…最もあらわれている値で3冊。
中央値c…12人のメジアンは6番目と7番目の平均で4冊。
b<c<a

(4)
2枚の取り出し方→3×4=12通り
20の約数は【1・2・4・5・10・20】
◆1→ない
◆2→(1、1)
◆4→(1、3)(3、1)
◆5→(2、3)
◆10→(3、7)
◆20→ない
計5通りで、確率は5/12。

(5)
最も小さい整数をnとすると、連続する3つの整数はn、n+1、n+2。
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3=2022
n=673

(6)

孤BCに対する中心角より、∠BOC=2a
△OCDで外角定理→∠CDO=2a-b°

(7)
4<√n<5 ←すべて2乗して根号を外す
16<n<25 …①

√(6n)が自然数→6nが平方数で根号が外れる。
nは〔6×平方数である。
n=1→6×12=6
n=2→6×22=24
①の範囲にあるのはn=24

(8)
答案では途中式を含めた求め方も書く。
手順どおりに機械的に処理していく。

y=1/2x2にx=3を代入、A(3、9/2)
CB=9/2だから、Cのx座標は3-9/2=-3/2

y=1/2x2にx=-3/2を代入、D(-3/2、9/8)
y=ax2にx=-3/2を放り込んで、E(-3/2、9/4a)
DE=2だから、9/8-9/4a=2 ←8倍
9-18a=16
a=-7/18
(*a<0の条件に適合する)

大問3(関数)

(1)①
15が足される回数はあいだの数、つまり、(x-1)回である
x=4のとき、y=320+15×(4-1)=365
x=8のとき、y=320+15×(8-1)=425
ア…365、イ…425


規則を一般化する。
y=320+15(x-1)
y=15x+305


先ほどの式にy=620を代入する。
620=15x+305
x=21

(2)
コーンA;y=15s+305
コーンB;y=150+10(t-1)=10t+140

コーンAとコーンBの合計が39個だから、s+t=39 …①
高さが同じ⇒yの値が等しいので、15s+305=10t+140 …②

①、②の連立を解けばよいが、処理が面倒くさい(´д`)
②を整理すると、10t-15s=165 …③
①×10-③でs=9
①に代入してt=30
sの値…9、tの値…30

@別解@
こういう面倒な方程式をみると、どうにか回避できないものかという衝動に駆られる…。
増加分はコーンの個数のあいだの数なので、あらかじめAとBを1個ずつ置いておく
残りは合計37個。
AとBの差は、320-150=170cm
高さを同じくするため、170÷10=17個のBを積む。

積み上げる高さが等しくなるように、残り20個を配分する。
増加する長さの比はA:B=15:10=3:2
積むべきコーンの個数は逆比でA:B=②:③
Aは20×②/⑤=8個積む。
最初の1個と合わせて、Aは9個。
Bの個数は、39-9=30個

大問4(図形)

(1)
△BCE∽△DFHの証明。

仮定より、∠CEB=∠FHD=90°
平行四辺形ABCDの対角と対頂角より、∠EBC=∠HDF
2角相等で∽。

(2)①
前問の相似を利用する。
FD:DH=CB:BE
5:2=6:BE
BE=2×6/5=12/5cm


 
△FGDの底辺をGDとすると高さはFH。
△FDHで三平方→√21cm

GDの長さを知りたい。
△FGDと相似にあたるのは△EGA

先ほどのBEを手がかりに、AE=7-12/5=23/5cm
△EGA∽△FGDより、相似比はAE:DF=23/5:5==AG:GD
GD=6×/=25/8cm
よって、△FGDの面積は、25/8×√21÷2=25√21/16cm2

(3)

ネジレ⇒平行ではない、かつ延長しても交わらない。
辺ADとネジレにあるのは辺EFと辺FB。
ウ・エ

(4)①

AD//IJ//BC。
Aを通るDCに平行な線をひき、IJ、BCとの交点とK、Lとする
平行四辺形は対辺が等しいから、AD=KJ=LC=3cm
BJ=7-3=4cm
△AIK∽△ABLより、IK=4×2/6=4/3cm
IJ=4/3+3=13/3cm



立体は四角柱⇒面ABCD⊥面FBCG。
面ABCD上にある△IBJを底面とすると、高さはFB=9cm
△IBJの面積さえわかればいい。

△IBJの高さが知りたい。
AB=DC=6cmの台形ABCDは左右対称な等脚台形である。
AD、IJの延長線にBから垂線をひき、交点をM、Nとする。
MA=(7-3)÷2=2cm
△MABで三平方→MB=4√2cm
△MAB∽△NIBより、NB=4√2×4/6=8√2/3cm
求積すべき立体の体積は、13/3×8√2/3÷2×9÷3=52√2/3cm3
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2022年度 大阪府公立高校入試A問題過去問【数学】解説

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大問1(計算)

(1)
-2-(-12)
=-2+12
=10

(2)
27×(-5/9)
=-15

(3)
40-72
=40-49
=-9

(4)
x-3+6(x+1)
=x-3+6x+6
=7x+3

(5)
48x3÷8x
6x2

(6)
√12+9√3
=2√3+9√3
=11√3

大問2(小問集合)

(1)
-2a+14
=-2×(-6)+14
=12+14
=26

(2)
A市の最低気温-B市の最低気温
=5.3-(-0.4)
=5.3+0.4
=5.7℃

(3)
1袋にa個のミカン。これが3袋だから、ミカンの合計は3a個。
これが20個より多いので、3a>20

(4)
7x+y=19 …①
5x+y=11 …②
①-②で、2x=8
x=4
②に代入して、5×4+y=11
y=-9
x=4、y=-9

(5)
2-8x+15
=(x-3)(x-5)=0
x=3、5

(6)
7人の中央値(メジアン)は、(7+1)÷2=4番目の値。
28回

(7)
2枚のカードを取り出す→3×3=9通り
積が16の組み合わせは、(2、8)(4、4)の2通り。
確率は2/9。

(8)

右下のグラフなので、傾きaは負。
切片bはy>0だから正。

(9)
y=ax2に(x、y)=(-6、7)を代入して、
7=36a
a=7/36

(10)①

AC//DF


柱の体積は【底面積×高さ】。
三角柱ABC—DEFの体積は、4×9÷2×a=18acm3

大問3(関数)

三角コーンが積まれている様子に興味もつのか?(´ω`).。0
(1)①

yの値は15ずつ増える。
15が増える回数はあいだの数、すなわち、(x-1)回である
x=4のとき、320+15×(4-1)=365
x=7のとき、320+15×(8-1)=425
ア…365、イ…425


規則を一般化する。
yの値は、320に
(x-1)回分の15を足す。
y=320+15(x-1)=15x+305
y=15x+305

(2)
y=15t+305にy=620を代入する。
620=15t+305
t=21

大問4(平面図形)

(1)

△ABEの内角で、∠BEA=a°、∠ABE=90°だから、
∠BAE=180-(a+90)=90-a°

(2)
△HDFは正方形の半分→直角二等辺三角形
辺の比は1:1:√2だから、FD=5√2cm

(3)
△DEC∽△IDGの証明。

長方形ABCDの内角より、∠DCE=90°
正方形FGDHの内角より、∠IGD=90°
(アルファベットは対応する順に書こう!)
AD//BCの錯角で、∠DEC=∠IDG
2角が等しいから∽。
a…IGD、b…IDG、c…ウ

(4)
答案では途中式を含めた求め方も書く。

HIのようなナナメ線を求めるには、それを斜辺とする直角三角形で三平方を疑う。
直角三角形HIFに着目する。
正方形の1辺からFH=5cmなので、FIの長さが知りたい。
FIを求めるには、IGがわかればいい。

IGは△IDGの辺
ここで前問の△DEC∽△IDGを用いる。
EC:DG=DC:IG=2:1
IG=6÷2=3cm

FI=5-3=2cm
△HIFで三平方→HI=√29cm
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2022年度 灘中学過去問【理科】大問3解説

地球のまわりには空気が取り巻いており、この空気を地球の大気と呼んでいます。大気中の、特に地表に近い部分では、風がふいたり、雲ができて雨が降ったりと、さまざまな天気の変化が起こっています。地球の大気はどれくらいの高さまであるのでしょうか。

問1
雲は、できる高さと形などによって、10種類に分けられています。次の①~④の説明にあてはまる雲を、下のア~カからそれぞれ選び、記号で答えなさい。
①最も高い位置にできる雲のひとつである。雨を降らせることはない。
②うね雲とも呼ばれ、波打ったような形をしている。
この雲が次々と出てくると、その後の天気がくずれることがある。
③ひつじ雲とも呼ばれる。この雲がすぐに消えると、晴れることが多い。
④むくむくと空高くにわき上がる雲である。雷をともなった大雨を降らせることがある。
ア:高積雲、イ:乱層雲、ウ:巻積雲、エ:積乱雲、オ:層積雲、カ:層雲

問2
空気にも重さがあります。ある高さで、1m2の平面の上に乗っている空気の柱の重さを、その高さでの大気圧といい、高さが0mとなる海水面1m2の上に乗っている空気の柱の重さは10トン(10000kg)にもなります。一方で、大気圧は、その高さよりも上にある空気の柱の重さによって決まるので、高い場所ほど大気圧は小さくなります。図1に示すように、5.5km高くなるごとに、大気圧の大きさは半分になっていくことが知られています。地球の全表面が海水面と同じ高さであると仮定したとき、高さ11kmより下にあるすべての大気の重さは、地球全体の大気の重さのおよそ何%になりますか。整数で答えなさい。

問3
海水面付近では、空気1Lの重さは1.3gであることが知られています。実際には、上空ほど空気1Lの重さは小さくなりますが、もし、空気1Lの重さが1.3gのまま上空まで変わらないとしたら、地球の大気は、海水面からどれくらいの高さまであることになりますか。最も近いものを次のア~カから選び、記号で答えなさい。
ア:80m、イ:800m、ウ:8km、エ:80km、オ:800km、カ:8000km

問4
大気の高さが初めて推定されたのは、今から1000年ほど前と言われています。その方法を説明した次の文の①~③にあてはまる数値を整数で答えなさい。必要であれば、下図の直角三角形の3辺の長さの比を用いなさい。ただし、図は正確ではありません。

 地球の大気は、太陽の光を受けると明るくなるという性質があるため、日の出前に東の地平線付近の空が明るくなる「薄明はくめい」という現象が起こります。この「薄明」が始まってから日の出までの時間の長さを計測することによって、大気の高さを推定しました。ここでは、春分の日に、薄明が始まってから日の出までの時間を72分とします。

 図2は、地球の赤道上のGに人が立ったようすを、北極点の上空から見たものです。Gでの地平線はBCで表され、太陽がBにきたとき、Gでは日の出となります。一方で、Gで薄明が始まった瞬間の太陽の位置をAとします。Aから出た太陽の光は地上のEを通りDに達します。このDが大気の上の端であると考えたのです。
 太陽は24時間で地球のまわりを1周しますから、72分間では( ① )度回転します。したがって、地球の中心をHとすると∠EHG=( ② )度になります。地球の半径を6400kmとすると、FD=( ③ )kmとなり、この値が求める大気の高さとなります。


@解説@
問1:①ウ、②オ、③ア、④エ
覚えるのが憂鬱になる十種雲形(;´*`;)

日本気象協会より。層だの積だの紛らわしい名前が多い(´°ω°`;)
積乱雲が一番わかりやすい。夏の入道雲もこれで、下はとんでもない天候になる。
乱層雲は一般的な雨雲で、“乱”がつく雲は雨を降らす
”巻”がつくと上層にできる雲で、高度が高いからか分厚くない。
巻雲は「すじ雲」とよばれる。巻積雲は「いわし雲」や「うろこ雲」。
巻層雲はさっきの巻雲と一体何が違うのか(;°;ω;°;)
一般的に“層”がつくと横に広がり、”積”がつくと丸っこちい
“高”は”巻”の下。高積雲は「ひつじ雲」。うろこ雲やひつじ雲が大きくなると雨のサイン。
高層雲は”層”とあるので横に広がる。
層積雲が「うね雲」ともいうそうで、これが次々出てくると天気が崩れる可能性があるらしい…。
積雲は「わた雲」。層雲は最も下層にできる霧状の雲。
お手元の教科書で振り返ってください。

問2:75%

高さが5.5km高くなるたびに大気圧の大きさは半分になる。
高さ11kmの大気圧を①とすると、高さ5.5kmでは②、高さ0kmでは④。
【大気圧=ある高さで1m2の平面の上にある空気の柱の重さ】

④が海水面1m2の上にある空気の柱の重さ10トンである。
『地球の全表面が海水面と同じ高さにある』と仮定する→全表面が0km
海水面1m2を地球の全表面に拡大して
地球全体の大気の重さを④とすると、
地球の全表面における高さ0~11km未満の大気の重さは③。
その割合は、③÷④=75%

@@

色と形で気象予報士!より。
対流圏の高度を11kmとする記載があるのは、大気圧が5.5kmごとでおよそ半分になるから。
対流圏と成層圏のあいだを対流圏界面という。地表の温度が高いと対流圏界面が上がるので、
季節や場所によって対流圏の高さは異なるが約10kmという認識で良いと思う。
地球全体の大気の質量の約75%が対流圏に集まっている。

問3:ウ
単位換算。
手際よく処理しないと桁ミスが発生するし、めまいがする(*_*)

空気の柱の質量は10t=10000kg
これは底面積が1m2あたりの重さである。
空気の質量は1L=1000cm3=1.3g
柱の高さを求めたい。

まず、1mあたりの空気の重さを求める。
1m3=100×100×100cm3なので…
1mあたりの空気の重さは、1.3g×(100×100×100)/1.000=1300g=1.3kg
1kmあたりの空気の重さは、1.3kg×1000=1300kg
空気の柱の高さは、10.000kg÷1300kg=100÷13=7.69…≒8km

問4:①…18、②…18、③…64

少しおさらいします。
太陽がAにくると、地点Gにいる人物の視界に太陽の光がはいるので薄明が起こる。
BCは地点Gの地平線で、Bに太陽がくると地点Gで日の出となる。
Dを大気の上の端と考えるので、大気の高さはDFで表される。

太陽は1時間(60分)で15°まわるから、72分間では15×72/60=18°回転する。

∠ADB=18°となるが、これは地球から見た太陽の見かけ上の動きである。
実際は太陽は動かず、地球が自転している。
図は北極側から見たもので、地点
Gが地点Eまで反時計回りして日の出となる。
∠EHG=18°

∠DHE=18÷2=9°
地球の半径6400kmをHE(HF)=【100】とすると、
大気の高さFD=【101】-【100】=【1】
FD=6400×1/100=64km

 

@大気の高さ@
問3では1L=1.3gが上空でも変わらないとの条件付きで8km。
問4では薄明を利用して64km。
値が全然違うんですけど、結局、大気の高さはどのくらいなのか?┐(´~`)┌

空と宇宙の境目はどこですか?(ファン!ファン!JAXA!)

上のページによりますと、結論からいえば一意的な定義はないそうです。
国際航空連盟という民間団体は高度100kmから上を宇宙としていますが(カーマンライン)、アメリカ空軍や連邦航空局、NASAでは80kmを境界線としています。しかし、NASAのなかでもミッションコントロールセンター(管制施設)では空気抵抗が大きくなる76マイル(およそ122km)を大気圏再突入としています。一方で、熱圏の外側にある
外気圏は高度500kmを超え、学術的にはスペースシャトルやISSが飛行する高度400kmでもまだ大気圏内らしいです。つまるところ、大気の高さは考え方によって変わる感じでしょうか。

ちなみに、宇宙条約2条では宇宙空間の領有が禁止されていますが、どこまでが各国の主権が及ぶ領空で、どこからが領有が禁止される宇宙なのか、いまだ明文化はされていません。人工衛星が軌道に乗る高度はとても高く、日本のJAXAが開発した超低高度の人工衛星「つばめ」でも高度が167.4kmらしいので、現段階では曖昧な状態でも差し迫った問題はありません。これから宇宙開発が進んで各国の利害対立がより鮮明になったとき、宇宙がどこから始まるかについて議論されると思います。そう遠い未来の話ではないかもしれませんね。
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2022年度 灘中学過去問【理科】大問1解説

図1のような小さな圧力センサーを使って実験をします。
圧力センサーは、その上にたとえば50gのおもりをのせると「50g」と表示される装置です。

 図2のように、正三角形ABCをかいた軽い板を用意し、各頂点A、B、Cの真下にそれぞれセンサーを並べて、その上に板を乗せます。3個のセンサーを頂点と同じ記号A、B、Cで区別しておきます。板の重さは無視します。
 板の上に何も置かないときはセンサーの表示はA、B、Cの順に(0g、0g、0g)です。たとえば頂点Bに50gのおもりを置いたときは、表示は(0g、50g、0g)です。以下では、単位を省いてA、B、Cの順に数字を並べて(0、50、0)のように表すことにします。
 いま、Bに50gのおもりを置き、辺BC上でBからCまで少しずつ、そのおもりの場所を変えながらセンサーの表示を読み取りました。その結果が図3のグラフです。

問1
次の文の①、②にあてはまる数値を答えなさい。

『図4のように、辺BCを2:3に分ける点Pに50gのおもりを置く。このとき、センサーの表示は(0、①、②)となる。このおもりの置き方は、点Bに①gのおもりを置き、点Cに②gのおもりを置いた場合と同等である。つまり1個のおもりを適切な2個のおもりに置きかえることができる』

問2
点Aに30gのおもりを置き、点Pに60gのおもりを置いた場合、センサーの表示はどうなりますか。( 、 、 )の形で答えなさい。

問3
問2と同じ表示をおもり1個だけを置いて実現するためには、何gのおもりをどの場所に置けばよいですか。おもりの重さを答え、場所を図示しなさい。
(図示のしかたは図示例にならいなさい。以下同様)
 

問4
おもり1個だけを置いてセンサーの表示が(50、30、70)になるようにするためには、何gのおもりをどの場所に置けばよいですか。おもりの重さを答え、場所を図示しなさい。

問5
辺AB、BC、CAのそれぞれのまん中の点を順にD、E、Fとします。点D、E、Fにおもりを1個ずつ置いて、問4の表示を実現するためには、それぞれ何gのおもりを置けばよいですか。


@解説@
問1:①30、②20
図3のグラフをみると、50gのおもりが
BC上を移動しているとき
Aは常に0gで、おもりの重さはBとCに配分されている

配分の割合はおなじみの方法。
Pを支点にして距離がBP:PC=2:3だから、重さは逆比でB:C=3:2
B=50×3/5=30
C=50-30=20

問2:(30、36、24)
問題文より頂点Bに50gを置いたら(0、50、0)だったので、
頂点Aにおいた30gは全部Aにのしかかる
辺BC上のP60gは先ほどと同じ処理をする。
B=60×3/5=36
C=60-36=24
(30、36、24)

問3:おもりの重さ…90g、おもりの場所…下図

逆の流れをする。
B36gとC24gを集めてP60gなので、
A30gとP60gを集めて90g。
場所は重りの比の逆比で60:30=②:①
APを2:1に内分する点に90gをのせる。

問4:おもりの重さ…150g、おもりの場所…下図

B30gとC70gを集めて100g。距離は⑦:③。
A50gと100gを集めて150g。距離は△2:△1。

問5:D…10g、E…50g、F…90g
ここで差が開くか。

Bに置いた50gがBCの中点にきたとき、BとCではそれぞれ25gが表示された。

D・E・Fに置いたおもりの重さは両サイドの頂点に半分ずつ配分される。
A=D/2+F/2=50 …①
B=D/2+E/2=30 …②
C=E/2+F/2=70
①を2倍すると、D+F=100 …③
②を2倍すると、D+E=60 …④

また、板全体にかかる重さは、D+E+F=A+B+C=50+30+70=150 …⑤
③、⑤より、E=150-100=50
④、⑤より、F=150-60=90
D=150-(50+90)=10
Dに10g、Eに50g、Fに90g置けばいい。

@別解@

A+B-C
=(D/2+F/2)+(D/2+E/2)-(E/2+F/2
=D
D=50+30-70=10g
ようは、Dの両隣り(A50とB30)を足して対角(C70)をひく

考え方としては、以下の感じだと思う。
辺AB上にあるDはAとBから影響を受け、Cからの影響は受けない
AとBから捉えるとこれらの一部がDに集まるが、残りのAとBはC方向(EやF)に向かい、
向かった分の和がC70gに相当するので、D=50(A)+30(B)-70(C)=10gが成り立つ。

同様に、E=B+C-A=30+70-50=50g
F=A+C-B=50+70-30=90g
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2022年度 東京都立高校入試過去問・分割後期【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
7+6×(-2/3)
=7-4
=3

(2)
(9a-1)/8-(a-5)/4
={(9a-1)-2(a-5)}/8
=(9a-1-2a+10)/8
=(7a+9)/8

(3)
(√6-3)(√6+2)
=6+2√6-3√6-6
=-√6

(4)
8x-7=4x+1
4x=8
x=2

(5)
2x+y=9 …①
x+3y=7 …②
サボは②×2-①をしました。
x=4、y=1

(6)
2+14x+45
=(x+9)(x+5)=0
x=-9、-5

(7)
y=-1/3x2は上に凸のグラフ。
x=0のとき、最大値y=0
x=-3のとき、最小値y=-3
-3≦y≦0
①…ア、②…エ

(8)
5枚から2枚取る組み合わせ→52=10通り
大きい数と小さい数が3以上離れる組み合わせは、
(5、1)(5、2)(4、1)の3通り。
確率は3/10。
あ…3、い…1、う…0

(9)

①ABとBCまでの距離が等しい→∠ABCの二等分線
②BC=BP

大問2(式の証明)

(1)

1辺aの正方形から直径aの円をひく。
2-π(a/2)2
=a2-πa2/4
=a2(1-π/4)

(2)

各々の表面積を算出。
P=a2×2+ah×4
=2a2+4ah
πP/4=π(2a2+4ah)÷4
=π(1/2a2+ah) …①

Q=π×(1/2a)2×2+πah
=1/2πa2+πah
=π(1/2a2+ah) …②
①、②より、Q=πP/4


大問3(関数)

(1)
Pは直線ℓ上の点。
y=x+2にx=-5を代入して、
y=-5+2=-3

(2)①

Qのx座標が-3でPC=CQだから、Pのx座標は3
y=x+2にx=3を代入して、P(3、5)

A(0、-1)⇒P(3、5)
右に3、上に6だから、傾きは6/3=2



Pのx座標をtとおく。
以下、三角形の面積は÷2を省いている
△APC=3t

Rのx座標は-t。
ROの距離がtだから、RB=t-2
y=x+2の傾きは1(45°線)なので、△BRQは直角二等辺三角形
RQ=t-2
△BRQ=(t-2)2

△APC÷3=△BRQ
3t÷3=(t-2)2
2-5t+4
=(t-4)(t-1)=0
t>2ゆえ、t=4
Pのx座標は4。

大問4(平面図形)

(1)

円Dの半径からDO=DQ、△DOQは二等辺三角形。
∠DQO=∠DOQ=a
この外角定理で、∠PDQ=2a

POは円Oの半径で5cm。
PQ=5×π×2a/360=πa/36cm

(2)①
△ABP∽△APQの証明。

共通角で、∠BAP=∠PAQ
直径ABに対する円周角で∠APB=90°
直径OPに対する円周角で∠OQP=90°
→∠AQP=180-90°=90°
2角が等しいから∽。



前問で△ABPと△APQが相似関係にある直角三角形とわかった。
×=90°の角度調査でさらに展開すると、△APQ∽△PBQ(∽△ABP)。
AQ:QP=PQ:QB
QB=②×2=④

AB=⑤=10cm
①=2cm

弧AC=弧CBより、Cは半円の弧の中点、つまりOの真上にある。
∠COB=90°

△PBQの面積は、8×4÷2=16cm2
△PBQ∽△RBOより、RO=4×5/8=5/2cm
台形ORPQの面積は、(4+5/2)×3÷2
39/4cm2
え…3、お…9、か…4


大問5(空間図形)

(1)

AQ=AD=CQ=CD=8cm、共通辺QD
3辺の長さが等しいので、△AQD≡△CQD
∠QAD=∠QCD=90°(△AQDは直角二等辺三角形)
△AQPで三平方→PQ=4√5cm
き…4、く…5

(2)

はじめに正四角錘A-BCDEの高さを出しておく。
正方形BCDEの対角線の交点をOとすると、高さはAOにあたる。
前問より△ABDは直角二等辺三角形→△ABOも直角二等辺。
辺の比は1:1:√2で、AO=8×1/√2=4√2cm

三角錐A—QDEの体積は正四角錘の半分である
なぜなら、高さが等しく、底面の△QDEは等積変形すると正方形BCDEの半分だから。


AP:PD=6:2=③:①
三角錐A—QDEの体積を④とすると、高さの比から三角錐P―QDEは①。
ということは、求積すべき立体Q—AEPの体積は③となる
8×8÷2×4√2÷3×③/④=32√2cm3
け…3、こ…2、さ…2
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2022年度 都立日比谷高校過去問【数学】大問4解説

下の図1に示した立体A—BCDEは、底面BCDEがひし形で、AC=AE=BC=8cm、AB=ADの四角すいである。四角形BCDEの対角線BD、CEを引き、交点をOとし、頂点Aと点Oを結んだとき、∠AOB=90°である。四角形BCDEの面積をScm2とする。

問1
下の図2は、図1において、頂点Eから辺ACに垂線を引き、
辺ACとの交点をHとした場合を表している。
線分EHの長さは何cmか。Sを用いた式で表せ。

問2
下の図3は、図1において、辺AB上の点をPとし、点Pと頂点C、
点Pと頂点D、点Pと頂点Eをそれぞれ結んだ場合を表している。

(1)AP:PB=1:2、BD=12cmのとき、立体P―BCDEの体積は何cm3か。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

(2)AP:PB=1:1のとき、△CEPの面積は何cm2か。
Sを用いた式で表せ。


@解説@
問1
ここで間違えると差が開いてしまう。

底面BCDE=Scm2と奇妙なところに文字がつけられている。
△ACEにおいて底辺をACとすると高さはEH。△ACEの面積が知りたい

3辺の長さが等しく、△BCE≡△ACE
△BCEは菱形BCDEの半分で1/2S。

△ACE=8×EH÷2=1/2S
EH=1/2S×2÷8=1/8S

問2(1)

菱形の対角線は各々を垂直に2等分する。
BO=12÷2=6cm
△BCOで三平方→CO=2√7cm
EC=2√7×2=4√7cm
菱形BCDEの面積は、12×4√7÷2=24√7cm2

前問の合同から、AO=BO=6cm
四角錘P―BCDEの高さは、6×②/③=4cm
体積は、24√7×4÷3=32√7cm3

(2)

斜めに傾いている△CEPの面積と底面の菱形BCDEを結び付けたい。
△CEB=1/2S
△CEBと△CEPはCEで底辺共通なので、高さのBO:POが面積比にあたる

BOとPOが同一平面にくる場所を探す⇒△ABOに着目する。
本問も問1がカギになる。
△CEB≡△CEA
よりBO=AOゆえ、△ABOは直角二等辺三角形
PはABの中点だから、△PBOも直角二等辺。
BO:PO=√2:1
したがって、△CEPの面積は、1/2S×1/√2=√2/4Scm2
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2022年度 都立日比谷高校過去問【数学】大問3解説

下の図1で、点Oは線分ABを直径とする半円の中心である。
点Cは弧AB上にある点で、点A、点Bのいずれにも一致しない。
点Dは弧AC上にある点で、弧AD=弧DCである。
点Aと点C、点Dと点O、点Cと点Oをそれぞれ結ぶ。
線分ACと線分DOとの交点をE、点Dから線分COに垂線を引き、
線分COとの交点をF、線分DFと線分ACとの交点をGとする。

問1
点Bと点Dを結んだ場合を考える。
∠AOC=88°のとき、∠ODBの大きさは何度か。

問2
下の図2は、図1において、点Bと点Cを結んだ場合を表している。
△ABC∽△DGEであることを証明せよ。

問3
AO=6cm、DE=4cmのとき、線分DGの長さと線分GFの長さの比
DG:GFを最も簡単な整数の比で表せ。


@解説@
問1

弧AD=弧DCより、∠AOD=∠COD
∠AOD=88÷2=44°
∠OBDは∠AODの円周角だから、44÷2=22°
半径でOB=OD、二等辺三角形OBDの底角で∠ODB=22°

問2
△ABC∽△DGEの証明。

孤AD=孤DCより∠AOD=∠COD
半径でOA=OC、OEは二等辺三角形AOCの頂角を二等分する線分で、
底辺ACを垂直に2等分する。
∠DEG=90°

∠ABCは∠AOCの円周角だから、∠ABC

∠CAB=×とする。
△ABCの内角より×=90°
△DOFの内角で、∠ODF(∠EDG)=180-(90+)=×
∠CAB=∠EDG
2角が等しいから∽。

問3

Cを右側に持ってきても角度の情報は一緒である。
 
1辺両端角相等で△AOE≡△COE≡△DOF
FO=EO=2cm、CF=6-2=4cm

同様に1辺両端角で△DGE≡△CGF
2角相等で△DGE∽△DOFだから、DG:GE=DO:OF=6:2=③:①
対応する辺で、GF=GE=①
したがって、DG:GF=3:1
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2022年度 三重県公立高校入試・後期選抜過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
8×(-7)
=-56

(2)
4/5x-2/3x
=2/15x

(3)
15xy÷5x
=3y

(4)
5(2a+b)-2(3a+4b)
=10a+5b-6a-8b
=4a-3b

(5)
(√3+2√7)(2√3-√7)
=6-√21+4√21-14
=-8+3√21

(6)
a=xy=-2×8=-16
y=-16/x

(7)
2x2+5x-2=0
解の公式を適用して、
x=(-5±√41)/4

(8)
累積相対度数は、その階級以下の度数の合計の割合。
0.80-0.65=0.15
0≦ウ≦0.15
ウ=0.15のとき、20人×0.15=3人
0≦ア≦3
ア=0、1、2、3

大問2(小問集合2)

(1)①
18人の中央値(第2四分位数;Q2)は9番目と10番目の平均。
19m



第1四分位数は下位9個の中央値(下から5番目)で15m。
第3四分位数は上位9個の中央値(上から5番目)で23m。
最小値は8m、最大値は35m。

③ⅰ
第1四分位数はAが14m、Bが15m。


図1からBの27m以上は3人とわかるが、
Aの27mは第3四分位数と最大値のあいだで詳細不明。
具体的にいうと、Aの上から5番目は23mで1番目は38m。
2~4番目はわからず、Aの27m以上は1~4人のいずれか。

(2)①
●まどか●
x+y=1200
1200mは家から駅までの道のりだから、xは歩いた道のり、yは走った道のり。
2つ目は時間で等式を立てる。
x/50+y/90=20

●かずと●
まどかがアだから、かずとはイ。
xは歩いた時間、yは走った時間。
1つ目は時間で等式→x+y=20
2つ目は道のりで等式→50x+90y=1200
A…ア、B…ケ、C…イ、D…ウ


前問の連立を解く。
●まどか●
x+y=1200 …①
x/50+y/90=20 ←これを450倍
9x+5y=9000 …②
①、②を解くと、x=750、y=450

●かずと●
x+y=20 …①
50x+90y=1200 …②
①、②を解くと、x=15、y=5
これは時間なので、速さをかけて道のりにする。
50×15=750m、90×5=450m
歩いた道のり…750m 走った道のり…450m

(3)①
aが平方数であれば、√aが整数になる。
a=1、4、9の3通り
確率は3/10。


独特な雰囲気がする。
12/aが自然数になる→aは12の約数。
【a=1、2、3、4、6、12】の6個。

確率を1/2にするにはnまでの自然数のうち、
半分は12の約数で、残りの半分は12の約数ではない

分子の約数の個数に注目する。
約数の個数を2倍したnまでに、該当する約数の個数が維持できればいい。

約数1個の場合、n=1×2=2
2までの約数は1、
2で2個だから×。
約数2個の場合、n=2×2=4
4までの約数は1、2、3、4の4個だから×。
約数3個の場合、n=3×2=6
約数は1、2、3、4、6の5個だから×。
約数4個の場合、n=4×2=8
約数は5個だから×。

約数が5個の場合、n=5×2=10
約数は5個のままだから確率は1/2。
約数が6個の場合、n=6×2=12
約数は1、2、3、4、6、12の6個のままだから確率は1/2。
したがって、n=10、12


大問3(関数)

(1)
y=1/4x2にx=-2を代入。
y=1/4×(-2)2=1
A(-2、1)

(2)
A(-2、1)⇒B(4、4)
右に6、上に3だから、傾きは3/6=1/2
Aから右に2、上に1移動して、切片は1+1=2
y=1/2x+2

(3)①
等積変形を用いる。

△OAB:△ABC=1:3
底辺ABが共通なので、高さの比が1:3になる
ABからの距離がOまでの距離の3倍で、かつABと平行な直線を描きたい

y軸上に注目しよう。
ABの切片が2。
ということは、切片が-4である傾き1/2の直線をひけばいい。
(0、-4)から上に4、右に8移動してC(8、0)。



AとBから垂線をおろし、x軸との交点をそれぞれE・Fとする。
×=90°で角度を調査。2角相等により、△AED∽△DFB
Dのx座標をtとする。
AE:ED=DF:FB

1:t+2=4-t:4
内項と外項の積で、(t+2)(4-t)=4
2-2t-4=0
解の公式を適用。
t>0より、t=1+√5
D(1+√5、0)

大問4(空間図形&作図)

(1)①

直方体全体の体積を1とする。
三角柱ABD—EFHの体積は1/2。
三角錐D—EFHの体積は÷3して1/6。
三角錐D—EFHと三角錐I—EFHの体積比は、1/6:1/9=③:②
体積が2/3倍だから、高さも2/3倍。
6×2/3=
4cm



EIを対角線とする直方体を作成。
1辺がa、b、cの直方体の対角線→√(a2+b2+c2

前問より三角錐の高さは直方体の2/3倍だったので、DI:IF=①:②
これを活用して2cmと3cmをだす。
EI=√(22+32+42)=√29cm

(2)

①∠OBD=90°だから、Bを通る垂線。
∠CAOが弧BCに対する円周角であることに気がつきたい。
この中心角にあたる∠COBは2倍の大きさで、
∠COBを2等分すると∠DOB=∠CAOとなる。


大問5(平面図形)

(1)
△AIH∽△HIGの証明。

誘導に従えばいい。
∠AIH=∠HIGが共通角(アルファベットは対応する順に並べる)。
弧AEに対する円周角とFH//ECの錯角より、∠AHI=∠ACE=∠HGI
2角が等しいので∽。
ア…∠AIH=∠HIG、イ…∠ACE、ウ…2組の角

(2)
△AFG≡△CEDの証明。

仮定より、AF=CE
等辺の情報はこれしかないから、この両端角に目をつける。
FH//ECの同位角で、∠AFG=∠CED(×
仮定の二等分線と弧BEに対する円周角より、∠FAG=∠ECD(
1辺と両端角が等しいので合同。

(3)①

△AFG∽△AECより、FE=6×4/2=12cm



FG:GH=2:5
△AFGの面積を②とすると、△AGHは⑤。

先ほどFEの長さを求めたので、これを有効利用できないか。
GEに補助線。△FEG=②×12/6=④

台形FECGの上底と下底から、△GEC=④×6/2=⑫

△IHG∽△IECで、GI:IC=5:6
△IEC=⑫×6/11=〇72/11
△IEC:△AGH=
〇72/11:⑤=72:55
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2022年度 京都府公立高校入試・中期過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
2022年度・京都(前期)数学の解説はコチラ

大問1(小問集合)

(1)
-32-6×5
=-9-30
=-39

(2)
(8a+9)/4-(6a+4)/3
={3(8a+9)-4(6a+4)}/12
=(24a+27-24a-16)/12
=11/12

(3)
(√2+√5)2
=7+2√10

(4)
0.16x-0.08=0.4 ←×100
16x-8=40 ←÷8
2x-1=5
x=3

(5)
7x-3y=11 …①
3x-2y=-1 …②
①×2-②×3がやりやすいかな?
x=5、y=8

(6)
y=1/4x2は下に凸のグラフ。
x=3のとき、y=1/4×32=9/4で最大値9にならない!
ということは、x=aのとき、最大値y=9
最大値をつくるには原点から大きく離す。
aは原点0から3より離れる負の数a<-3
9=1/4a2
2=36
a<-3より、a=-6
また、x=0のとき、最小値y=0
a=-6、b=0

(7)

△ACEで外角定理→∠CAE=92-57=35°

弧BCの円周角より、∠CBD=35°
△BCFで外角定理→x=35+92=127°

(8)
無作為に抽出した40個において、黒:白=3:37
黒は全部で50個だから、白の数は50×37/3=616.6…≒620個

大問2(確率)

(1)
全体は、6×6=36通り
a/b=2となるのは、(a、b)=(6、3)(4、2)(2、1)の3通り。
確率は3/36=1/12

(2)
出し方が曲がっている。
循環小数とは数字の並びに周期性がある無限小数。

bから考える。
b=1のとき、a/bはすべて整数になるのでない。
b=2は整数か、小数第1位が5の有限小数。
b=3のとき、÷3すると0.333…か0.666…となる1/3、2/3、4/3、5/3。
b=4は整数か有限小数。1÷4=0.25ゆえ小数第2位で終わる。
b=5は整数か小数題1位までの有限小数。
b=6のとき、1/6=1.666…で循環小数。
これ倍にした2/6、4/6、5/6も同様に循環小数。
計8通り。
確率は8/36=2/9


大問3(空間図形)

(1)

点B⊥面ADFCの距離は、BからACにひいた垂線の長さ。

(2)

四角形HDICは1組の対辺が等しく、かつ平行だから平行四辺形
これを底面としたとき、(1)のBGが四角錘B―HDICの高さにあたる。
△ABCで三平方→AC=AD=4√5cm

△ABCの面積を2通りで表すと、
4×8÷2=4√5×BG÷2
BG=4×8÷4√5=8/√5cm
四角錘B―HDICの体積は、9/2×4√5×8/√5÷3=48cm3

大問4(数量変化)

(1)

大輝が1周を走る時間は、(36-18)÷2=9分
1800mを9分で走る⇒18分間休憩⇒9分間走る

(2)

グラフを追記。大輝が休憩後、ひなたに追いつくの時間が答え。

赤線の三角形の相似比は4:1。
⑤=9分だから、①=9×①/⑤=9/5分=1分48秒
大輝の休憩が終わる9時27分の1分48秒後⇒
午前9時28分48秒

(3)
なんかイヤなんですけど(´゚д゚`)

京平は2人と反対の向きで走る。
グラフの上半分(1800~3600m)に京平を追記すると、
大輝とひなたとの交点のy座標の差が答えになる。

3人の速さを出しておく。
京平;1800÷12=分速150m
大輝;1800÷9=分速200m
ひなた;1800÷24=分速75m

京平が出発する29分後の京平と大輝の状態。
大輝は27分にA地点を出発しているので、200×2=400m進んでいる。
残りの1400mを両者は1分あたり150+200=350mずつ距離を縮めるから、
1400÷350=4分後に出会う。

29分後の京平とひなたの状態。
ひなたは24分にA地点を出発しているので、75×5=375m進んでいる。
残りは1425mで1分あたり150+75=225m縮むから、
1425÷225=19/3分後

京平が大輝とすれ違ってから、ひなたに会うまでの時間は19/3-4=7/3分
その間の移動距離は、150×7/3=350m


大問5(平面図形)

(1)

△AEF∽△ABCより、EF=7×6/9=14/3cm

(2)
ここで等角の情報を使う。

EF//BCの錯角。
△EBDと△FDCは底角が等しいから二等辺三角形
ED=EB=3cm
(1)よりEF=14/3cmなので、FD=FC=14/3-3=5/3cm
AE:EB=AF:FC=2:1
AF=5/3×2=10/3cm

(3)

わかりやすいように△DBCを等積変形で左に寄せ、△EBCにしておく。
ED:DF=3:5/3=

△CFDの面積を5とすると、△CDEは9。
AC:FC=より、△AEC=△FEC(14)×3=42
(*細かく区切ると上図のようになる)

AE:AB=より、△ABC=△AEC(42)×3/2=63
△CFD:△ABC=5:63

大問6(規則)

(1)

平方数が特徴なので、これに着目する。
左端は〇番目の平方数。
7番目の左端は、72=49

右端は〇番目の1個手前の平方数に+1した数
7番目の右端は、62+1=37
左端…37、右端…49

(2)
前問ができれば、ここも取りやすい。
n段目の左端はn2、右端は(n-1)2+1。
2+{(n-1)2+1}=1986
2n2-2n-1984=0
2-n-992=0
*30×30=900。1の位の2は1×2⇒31×32ではないかと予想する。
(n+31)(n-32)=0
n>0より、n=32
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2022年度 和歌山県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①
-9+4
=-5


10/3+2÷(-3/4)
=10/3-8/3
2/3


(3a+5b)+2(2a-b)
=3a+5b+4a-2b
=7a+3b


√48-√3+√12
=4√3-√3+2√3
=5√3


(a+3)2-(a+4)(a-4)
=a2+6a+9-a2+16
=6a+25

2)
2+5x-14
=(x+7)(x-2)=0
x=-7、2

(3)
根号の中の数とnが同じであれば、約分して自然数になる
√20=2√5

この2通りしかない。
n=5、20

(4)
反比例の比例定数aはxとyの積である20。
y=20/x
これにx=-10を代入して、y=-2

(5)

BDに補助線。
孤CDに対する円周角で、∠CBD=35°
直径ADに対する円周角で、∠ABD=90°
x=35+90=125°

(6)
半径4cmの半球。
球の体積V=4/3πr3
4/3π×43÷2=128/3πcm3

大問2(小問集合2)

(1)
玉を取り出す作業だが、ようはA~Dの4人の走る順番を考えればいい。
全体の場合の数は、44=24通り
Aが1番で、Dが4番→【ABCD】か【ACBD】しかない。
確率は、2/24=
1/12

(2)①
オリンピック問題。

1ループはどこからどこまでか⇒1~10番目。
27÷10=2…7
余り7は黄色。


124÷10=12…4
12ループと余り4。
1ループに黒は2つ、余り4に1つ。
2×12+1=25個

(3)
答案では過程も記述する。
唐揚げ弁当1個の定価をx円、エビフライ弁当1個の定価をy円とする。
x+50=y …①

唐揚げ弁当は10個はx円、残りの10個は0.5x円で販売。
エビフライ弁当は20個すべてy円で販売した。
10x+0.5x×10+20y=15000
15x+20y=15000 …②

①を②に代入すると、
15x+20(x+50)=15000
35x=14000
x=400
①に代入して、y=450
唐揚げ弁当…400円、エビフライ弁当…450円

(4)①

Ⅰ:四分位範囲=第3四分位数(Q3)-第1四分位数(Q1)でCが最も大きい。×
Ⅱ:第2四分位数(Q2;中央値)をみるとBだけ20冊以下。Bの過半数が20冊以下。〇
Ⅲ:Aの最大値は30~35冊である。
CのQ3は上位17人の中央値、すなわち、上から9番目の生徒が30~35冊である。
しかし、Bはわからない。△
Ⅰ…イ、Ⅱ…ア、Ⅲ…ウ


わかりやすいところから除外していく。
エは最小値と最大値が違う。
C組34人のQ2は17番目と18番目の平均で、Q1は下から9番目、Q3は上から9番目。
イはQ1とQ3が違う。
アのQ2は15~20冊の階級にあって違う。


無作為に抽出した標本といえないから。
*3年生の生徒だけから抽出したら、あくまで3年生の結果になる。
これでは1~3年生までの全校生徒を調べたことにはならない。
標本(サンプル)は学年や性別といった属性に偏ることなく、無作為に抽出する。


大問3(関数)

(1)
y=ax2において、xの値がp→qまで増加するときの変化の割合はa(p+q)
1/4×{(-2)+0}=-1/2

(2)
y=1/4x2は下に凸のグラフ。
x=0のとき、最小値y=0
最大値y=9、1/4x2=9
x=±6
x≧-2だから、x=6
ア…6、イ…0

(3)

二等辺三角形OPBの等辺は4パターンある。
このうち、x座標が最も小さいのはB1で、最も大きいのはB4。

Pから垂線をおろして=4。B1のx座標は-8。

三平方でPO=4√2
B4のx座標は4√2。
最も大きい…B(4√2、0)、最も小さい…B(-8、0)

(4)

△OPD:△ODC=3:2から、PD:DC=③:②
P・D・Cのx座標の差より、Pのx座標は-6。
これをy=1/4x2に代入して、P(-6、9)

なんとなくPCとAOが平行っぽく見える・・。
P⇒Cは右に10、下に5で傾き-1/2。
A⇒Oは右に2、下に1で傾き-1/2。
PC//AOより、四角形OAPCは台形である

各々の点のx座標の差から、AO=②、PC=⑩とすると、
上底と下底の和である⑫を⑥ずつに分ける直線を考えればいい

ちょうどDを通過する
PとCのy座標の差である5を3:2に内分してD(0、6)。
A⇒Dは右に2、上に5だから傾きは5/2。
y=5/2x+6


大問4(平面図形)

(1)①

三角形の内角より∠BAP=30°、∠DAQ=20°
∠PAQ=90-(30+20)=40°


△ABPの内角は30°―60°―90°で辺の比は1:2:√3
BP=6×1/√3=2√3cm
△ABPの面積は、2√3×6÷2=6√3cm2

(2)
定番の形
である。

仮定よりBP=CQ
正方形ABCDよりAB=BC、∠ABP=∠BCQ
2辺とあいだの角が等しいから、△ABP≡△BCQ

∠PAB=●、∠APB=×として、△ABPの内角から●+×=90°
対応する角で∠QBC=∠PAB=●
△BPEで外角定理→∠AEB=●+×=90°

(3)
前問と少しかぶっている。

∠BAP=∠CPQ=とする。
∠ABP=∠PCQ=90°とあわせて2角相等→△ABP∽△PCQ
AB:BP=PC:CQ=
2:1
CQ=3÷2=1.5cm

円の直径は直角探し
∠APB=×として、△ABPの内角より×=90°
∠APQ=180-(×)=90°
3点A、P、Qを通る円の直径はAQである。
(∠ADQ=90°からDも同一円周上にある)

DQ=6-1.5=4.5cm
△ADQに着目すると、AD:DQ=6:4.5=④:③
△ADQは辺の比が3:4:5の直角三角形
AQ=6×⑤/④=15/2cm
したがって、円の半径は15/4cm。
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