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2024年度 島根県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均26.8点(前年比;+0.5点)

最高点―50点、最低点―0点
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
5+3×(-4)
=5-12
=-7

(2)
(2√3-√7)(2√3+√7)
=(2√3)2-(√7)2
=12-7
=5

(3)
x:(x-3)=5:3
内項と外項の積で、5(x-3)=3x
2x=15
x=15/2

(4)
2x+3y=1 …①
x-y=3 …②
①-②×2をすると、5y=-5
y=-1
②に代入。x-(-1)=3
x=2
x=2、y=-1

(5)
(x-2)2=7
x-2=±√7
x=2±√7

(6)①
毎分xLでy分間いれると20Lになる。
xy=20(y=20/x)


30mから5amを切った残りはbmより長い。
30-5a>b

(7)

∠ABC(
∠DEF)=90°→面ADEB⊥BC(EF)→面ADEB⊥面BEFC
三角柱は側面に対して底面(△DEF)、天井(△ABC)は垂直。
ア・イ・エ
@@
厳密にいうと斜めの柱体もある。側面は長方形ではなく、平行四辺形になる。

(8)

半円の弧に対する円周角より、∠ADB=90°
△ABDの内角から、x=180-(90+34)=56°

(9)①

OCを対称の軸とすると、アと線対称なのはエ。



Oを回転の中心とすると、アの回転移動で重なるのはウ・オ。


大問2(データの活用・数量変化)

(1)①
累積度数…その階級までの度数の合計。
2+10+15=27人

②〔1〕

ア:2023年と2018年が共通するのは第3四分位数(Q3)。×
イ:範囲=最大値-最小値、四分位範囲=Q3-Q1(箱の長さ)
いずれも2013年より2023年の方が大きい。〇
ウ:平均値を×印などで示す箱ひげ図もあるが、本問にはない。×
エ:2013年の最小値は7画。×
オ:40人の中央値(Q2)は20番目と21番目の平均。
Q2がいずれも15画以上→少なくとも半数(上位20名)は15画以上。〇
イ・オ

2〕

最小値が3画である2008年はウ。

2013年と2018年はQ3が大きく違う。
40人のQ3は上から10番目と11番目の平均→2018年はイ、2013年はア。

(2)①
100個で12000円だから、1個は12000÷100=120円

②〔1〕

x=40のとき、y=200×40=8000
残り60個の販売額の合計は、(200-100)×60=6000
x=100のとき、y=8000+6000=14000
原点→(40、8000)→(100、14000)を結ぶ。

〔2〕

すべて200円で売ったら赤線になる。
6000円少ない。

〔3〕

100円で売る場合、後半の傾き100と平行のグラフになる。
『販売額の合計を12000円以上にする』→(100、12000)を通る傾き100のグラフ(赤線)を描く
交点の20個で200円から100円に値下げすれば、販売額は12000円になる。
20個以上

大問3(確率・整数)

(1)①
Aは3枚中1枚→確率は1/3

②〔1〕
●太郎:12=1点
花子:2×3=6点→花子の勝ち!
●太郎:22=4点
花子:1×3→太郎の勝ち!
●太郎が3点→太郎の勝ち!
太郎が勝つ確率は2/3

〔2〕
同様に調べると、花子が勝つのは太郎が1を引いたときだけ。
(2で引き分け、4で花子負け)
確率は1/3


(1、2、4)の場合、それぞれ勝ち1、負け1、引き分け1パターンに分かれた。
太郎が
真ん中を引いて引き分けになれば、勝ち負けが1パターンずつで同じになる
AC=B2が成り立つ組み合わせを書けばいい。
(1、3、9)(1、4、16)(2、4、8)(1、5、25)(4、6、9)など

(2)①ア
a=1(連続する整数)のとき、差は1
a=2のとき、差は4
a=3のとき、差は9
aずつ離れた自然数のとき、差はa2


真ん中のBをnとする。
aずつ離れるので、A=n-a、C=n+a
イ…n-a、ウ…n+a


2-(n-a)(n+a)
=n2-(n2-a2
=a2

大問4(関数)

(1)①
y=x2にx=-2を代入。
y=(-2)2=4


A(-2、4)→B(1、1)
右に3、下に3。
ABを斜辺とする直角三角形をつくると、等辺3の直角二等辺。
1:1:√2より、AB=3√2


OBは傾き1。
Aから右に2、上に2移動して、切片は4+2=6
y=x+6

(2)
y=x2に最大値y=9を代入→x=±3
x≧-1だから、x=3
xの変域は原点を通過するので、x=のとき最小値y=0
ア…3、イ…0

(3)①

y=x+4から、C(-4、0)D(0、4)
平行四辺形の対辺は等しい→CO=DP=4なのでPのx座標は4
y座標はDと同じ4。
y=ax2にP(4、4)を代入。
4=16a
a=1/4



OPとQDは傾き1で平行
△OPQを△OPDに等積変形する

R座標を求める。y=x2にy=4を代入。
Rのx座標はx>0だから、R(2、4)

隣辺比から面積比を求める。
△OPD(△OPQ):△BPR
OP×DP:BP×RP
=4×4:3×2
=8:3

大問5(平面図形)

(1)
△OPQも直角二等辺。
∠OPQ=45°

(2)①

Qを通る直線ℓの垂線の作図。


△PCO≡△ODQの証明。

仮定より、OP=QO、∠PCO=∠ODP=90°
△PCOの内角より、∠OPC=180-90-∠COP=90-∠COP(×
また、∠QOD=180-90-∠COP=90-∠COP(×
よって、∠OPC=∠QOD(
斜辺と1つの鋭角が等しいので合同。

(3)①

回転移動で、AO=PO=2
△AORは直角二等辺、辺の比は1:1:√2→RO=√2
PR=PO-RO=2-√2



2つの直角二等辺を描く。
弧APと弧BQから2つの扇形を先に求める。
それぞれ中心角は45°、足して90°だから、
2×2×π×1/4=π
残りの四角形OBSPをどう求積するか。

前問でPRの長さを求めたので、これを1辺とする△PRSに着目する
△PRSは直角二等辺→PR=SR=2-√2

SOに補助線。
SOを対称の軸とすると、△SOPと△SOBは線対称である
(PO=BO、45°の同位角からAS//OQで2組の対辺が平行。
→平行四辺形AOQSの対角線OSは∠AOQの二等分線、サイドの45°を消すと●が等角)
SR⊥POより、△SOPの底辺をPOとすると高さはSRである。
四角形OBSP=△SOP×2=2(2-√2)÷2×2=4-2√2
求積すべき図形の面積は、π+(4-2√2)+1=π+4-2√2


大問1
全問とりたい。
(5)カッコは展開しない。
(8)∠CBDは不要だった。
大問2
(1)判断しやすかった統計問題。
小問数が多いので、時間をとられたくない。
(2)後半はグラフを活用すれば計算不要。
大問3
(1)③前問の結果から予想して、文字式に表してみる。
(2)丁寧な誘導が敷かれてありがたい。
大問4
(3)①平行四辺形の頂点C・Dの座標を先に調べる。
辺がx軸に平行で易しめ。
②前問でOBの傾き1と調査済み→直線ℓと平行
OB上にPがあるから、△OPQの等積変形を疑う。
解説では隣辺比を用いたが、普通に面積を出してもいい。
大問5
(2)②等辺を定めてから、その両端角を狙いに行く。
(3)②弧の部分は扇形からでしか求まらない。
残りをどうするか。ここでPRを使う。
形がなんとなく左右対称。理由の説明はいくつかある。
底辺と高さが判明した△SOPを2倍する。
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