平均47.1点(前年比;-7.2点)
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大問1(小問集合)
(1)
7+4×(-2)
=7-8
=-1
(2)
xy3×6x2y÷3y2
=2x3y2
(3)
√24-√6
=2√6-√6
=√6
(4)
8a+4b-(5a-b)
=8a+4b-5a+b
=3a+5b
(5)
2x+3y=4 …①
5x+4y=3 …②
①×5-②×2をすると、7y=14
y=2
①に代入、x=-1
x=-1、y=2
(6)
回転体は円柱になる。
3×3×π×10=90πcm3
(7)
y=ax2において、xの値がp→qに増加するときの変化の割合はa(p+q)
a(2+6)=12
8a=12
a=3/2
(8)
大人4人…4a円、子供3人…3b円
これらの合計が7000円以下だから、4a+3b≦7000
(9)
5個から2個を取り出す→5C2=10通り
余事象で攻める。2数の積が奇数なのは【奇数×奇数】の組み合わせしかない。
3個の奇数から2個を取り出す→選ばない1個を選ぶ→3通り
積が偶数となる確率は、1-3/10=7/10
(10)
ABをACに重ねる→折り目APが対称の軸。
∠CABの二等分線をひき、BCとの交点がP。
大問2(方程式)
(1)
畑の面積で等式を立てる。畑を端に寄せる。
(x-3)(3x-3)=297
①…x-3、②…3x-3
(2)
今度は道の面積で等式を立てる。
横の長方形が9x、縦の長方形が3x。重複する交差の9m2をひく。
9x+3x-9=12x-9=3x2-297
③…12x-9
(3)
前問の方程式を解く。
12x-9=3x2-297
3x2-12x-288=0 ←÷3
x2-4x-96
=(x-12)(x+8)=0
x>3だから、x=12
12m
大問3(データの活用)
(1)
四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数
=11-3
=8問
(2)①
箱ひげ図をもとにマス目を書いてみる。
最初の7人のうち、5人は数値が判明する。
8人のQ1より2番目が3、Q3より7番目が11と確定。
同じくQ1より3番目は5、Q3より6番目は9と決まる。
8人のQ2から5番目が8→4番目が6。
7人の5番目は9である。
7人の3番目が5or6が決まらない→みずきは5か6である。
5、6
②
各四分位数は隣同士の平均。
総和…(4+7+10)×2+2+14=58
平均値は、58÷8=7.25問
大問4(規則)
②
n番目は4n個
(2)
平方数が並ぶ。
3番目→4×4(〇番目+1の平方数)である点に注意!
14×14=196→13番目の三角形。
200を超えるのは14番目の三角形。
大問5(空間図形)
(1)
△ACMで三平方→AM=√(72-22)=3√5cm
(2)
仮定より、△ABMは正三角形。
Aから垂線をおろし、底面との交点をHとする。
AC=AD=BC=BD=7cm
面ABMを対称面とおくと図形全体が左右対称→HはBM上にある。
△AMHの辺の比は1:2:√3→AH=3√5×√3/2=3√15/2cm
底面は△BCD=△ACD
三角錐の体積は、4×3√5÷2×3√15/2÷3=15√3cm3
(3)
三角錐A―BCDと三角錐P―QCDの高さの比は、AB:PB=2:1
底面積の比は、△BCD:△QCD=BM:QM(底辺CDが共通→高さの比が面積比)
三角錐A―BCD(×1/2×QM/BM)=三角錐P―QCD
1/2×QM/BM=1/3
QM/BM=1/3÷1/2=2/3→QM:BM=②:③
BM=3√5cmなので、QM=3√5×②/③=2√5cm
大問6(数量変化)
(1)
Bは5分待ったあと、A宅に向かって5分歩いてAと出会う。
分速60mが右1、下1→分速120mのAは右1、上に2の傾き。
(10、600)の出会いから右1、上に2移動してC宅に着く。
図の黒線が答え。(Aは5分後にA宅を出発したことになる)
(2)
AがB宅に着く予定は(0、900)だった。
これを通る傾き1マス(分速60m)の直線をひく。
A宅の出発予定時刻は-15分、Aが実際に出発した時刻は5分なので、
5-(-15)=20分遅れた。
(3)
予定の直線を延長。AがC宅に着く予定は(5、1200)だった。
その5分後にCが分速30mで出発する。
傾き30(左2マス、下1マス)をy軸に延長すると切片は900→y=30x+900
ABの傾きは120、延長すると切片は-600→y=120x-600
ABがCに追いつく交点を求める。
30x+900=120x-600
x=50/3
y=30x+900に代入して、
30×50/3+900=1400m
(4)
3人がそろった後は分速60mで図書館に向かう。
赤線と青線は平行。到着予定時刻との差は?の部分である。
四角形ABCDは2組の対辺が平行だから平行四辺形。
対辺は等しいので、BCの長さを求めればいい。
赤線のy=60x+900にy=1400を代入→Bのx座標は25/3
BCの長さは、50/3-25/3=25/3=8・1/3分=8分20秒
大問7(平面図形)
(1)
△AED∽△ABGの証明。
△OACは正三角形と求めている。
弧ACに対する円周角から、∠ABC=60÷2=30°
∠AED=∠ABG=30°
共通角で∠EAD=∠BAG
2角が等しいので∽。
(2)①
AD=6÷3=2cm
△AED∽△ABGより、AE=6×2/4=3cm
BGに対応するEDの長さがわからない。
30°があるので、有名三角形の存在を疑う。
ACに補助線。半円の弧に対する円周角ACB=90°
△ABCの辺の比は1:2:√3→AC=3cm、CB=3√3cm
△AGCで三平方→GC=√7cm
BG=3√3+√7cm
②
△EFGは外側に出ているので、これと相似にあたる三角形を探す。
対頂角で30°を移すと、共通角と合わせて2角相等→△EFG∽△BFD
相似比は、EG:BD=1:4
2乗して面積比は、△EFG:△BFD=①:⑯(四角形BDEGは⑮)
△AED∽△ABGの面積比を隣辺比から求める。
△AED:△ABG
=(AE×AD):(AG×AB)
=3×2:4×6
=1:4
四角形BDEG(⑮)=3だから、△ABG=⑮×4/3=⑳
→△EFGの面積は△ABGの1/20倍。
(3√3+√7)×3÷2×①/⑳=(9√3+3√7)/40cm2
大問1
後半に厳しい設問が見られるので、高得点を狙うには迅速に処理したい。
大問2
(2)類題をどこかで見かけた。
普通は端に寄せるが、道の場合は十字の面積を直接求める。
大問3
(2)①推論要素を含み、差がつきやすい。
マスを書いて情報整理、確実なものから埋めていく。
②前問が解けなくても、平均から総和が求まる。最大値と最小値だけ足す。
大問4
(2)比較的わかりやすい規則であった。
連続する奇数和は平方数になる。
大問5
(2)底面の二等辺BCDをCDを軸にして起き上がらせると△ACD。
BM→AM、Aからの垂線をおろした交点はBM上にくる。
(3)技術力を要する。高さの比×底面積の比=1/3で等式。
大問6
各々がどの場所からどっち方向にどれくらいの速さで移動するか。
条件の把握に時間をとられると間に合わなくなる。
前問の利用がつづくので、点差も開きやすい。
(1)Aをつくる。
BがAと出会う場所、傾き120から直線を決定。600≦y≦1200まで描く。
(2)『BさんがB宅での待ち合わせ時刻』からx分。
Aの出発予定時刻はOの左側にある。
(3)予定の直線からCの出発時刻がわかる。
(4)Dの時刻を求めてもいい。
CD間は2100-1400=700m、700÷60=35/3分
Dの時刻は、50/3+35/3=85/3分
85/3-20=25/3分→8分20秒
大問7
(2)①相似のあとで差が出る。
EDがなかなか出ない。30°はどこかで垂直をつくると有名三角形になる。
ACに補助線をひくと半円に対する弧が使えるので、BG=BC+CGに分ける。
②離れている場所にある三角形は∽で回収する。
△ABGは前問の∽。2つの∽の共通部分である四角形BDEGで比を統一する。
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