2024年度　都立国立高校過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
　下の図１のように、空間上の△ＡＢＣと、△ＡＢＣと同じ平面上にない点Ｐにおいて、点Ｐから△ＡＢＣを含む平面に垂線を引き、その垂線と平面との交点をＴとし、点Ｔが△ＡＢＣの辺上または内部にあるとき、点Ｐは、「△ＡＢＣに垂線が引ける位置にある。」とする。

　下の図２に示した立体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨは、ＡＢ＝ＡＥ＝５ｃｍ、ＡＤ＝10ｃｍの直方体である。辺ＡＤ、辺ＥＨ、辺ＦＧ、辺ＢＣの中点をそれぞれＩ、Ｊ、Ｋ、Ｌ、辺ＡＢ上にある点をＱとし、頂点Ｅと点Ｑ、頂点Ｆと点Ｑ、点Ｉと点Ｊ、点Ｉと点Ａ、点Ｊと点Ｋ、点Ｋと点Ｌをそれぞれ結ぶ。
　点Ｐは、立体ＣＤＩＬ―ＧＨＪＫの辺上、面、内部を動く点で、「△ＥＦＱに垂線が引ける位置にある。」とする。次の各問に答えよ。

〔問１〕
ＡＱ＝１ｃｍのとき、点Ｊと点Ｐを結んでできる線分が最も長くなるときの線分ＪＰの長さは何ｃｍか。

〔問２〕
下の図３は、図２において、頂点Ｃと点Ｉ、頂点Ｇと点Ｊをそれぞれ結んだ場合を表している。
ＡＱ＝ｘｃｍ（０≦ｘ≦５）のとき、四角形ＣＩＪＧの辺上または内部において、点Ｐが動き得る部分の面積は何ｃｍ²か。ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、図や途中の式などもかけ。

〔問３〕
下の図４は、図２において、点Ｑが頂点Ｂと一致するとき、線分ＩＬをＬの方向に延ばした直線上にあり、ＢＬ＝ＬＳとなる点をＳとし、頂点Ｂと点Ｓ、頂点Ｆと点Ｓをそれぞれ結んだ場合を表している。
点Ｐが「△ＥＦＱに垂線が引ける位置にある。」かつ「△ＢＦＳに垂線が引ける位置にある。」のとき、点Ｐが動き得る部分の立体の体積は何ｃｍ³か。

〔問１〕

前面にある△ＱＥＦを後ろの立方体に押し当てる。
貫いた青の三角柱の部分が△ＱＥＦに垂線が引ける位置＝Ｐが動ける範囲である。
青の三角柱の空間内で点Ｊから最も離れる場所はどこか？

Ｑを背面ＣＤＨＧに移した点をＱ’とする。
△Ｑ’ＨＧのＱ’かＧが最も遠そう。
ＪＧは側面の正方形の対角線なので、ＪＧ＝ＪＤ＜ＪＱ’
→Ｑ’はＤより遠い。

Ｑ’Ｇ上の点はどうか？
Ｊを中心としてＪＱ’をＧ方向に回転すると、Ｑ’は背面の後ろにいってしまう→やはりＱ’が最も遠い。
（*正方形ＡＥＦＢ上の△ＱＥＦにおいて、Ｅから最も遠い点はＱ）
Ｑ’Ｊを対角線とする長方形を想像して、
Ｑ’Ｊ＝√（５²＋５²＋１²）＝√51ｃｍ

〔問２〕

ＡＱ＝ｘｃｍとＱの位置が定まらない。
△ＱＥＦを後ろに押し当て、面ＩＪＧＣを貫く部分が点Ｐが動ける範囲である。
ＱがＡＢ上を動くと、Ｑ’はＩＣ上を動く→等積変形でｘがいかなる値でも△Ｑ’ＪＣの面積は一定。
△ＪＫＧは直角二等辺三角形だから、ＪＧ＝５√２ｃｍ
求積すべき面積は、５√２×５÷２＝25√２/２ｃｍ²

＠＠
公式解答を貼り付けておきます。

図は描いといた方が説明しやすいです。

〔問３〕

△ＱＥＦを押し込むと青の三角柱。この範囲の一部にＰがいる。
ＢＬ＝ＬＳ、∠ＢＬＳ＝90°より、△ＢＳＬは直角二等辺→∠ＬＢＳ＝45°

斜め45度角から△ＢＦＳを△ＩＪＣまで押し込む。
Ｐが動ける範囲は、赤の三角柱と青の三角柱の共通部分である。

辺ＦＳの動きを追ってみよう。
ＦはＪに、ＳはＣに着くので、ゴールはＪＣ。
どこで青の三角柱を切り込むか。
ＦＳ//ＪＣを維持したまま斜め45度角で押し込むと、
ＦＳの中点がＬＫの中点に接し、そこからＪ方向とＣ方向に切り込みがはいる。

ＬＫの中点をＴとすると、求積すべき立体は三角錐Ｊ―ＬＴＣである。
５×５/２÷２×５÷３＝125/12ｃｍ³
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