問題ＰＤＦ
【図１】は１辺の長さが６ｃｍの立方体で、この立方体を立体①とします。
また、辺ＡＢ上にＡＩ＝２ｃｍとなる点Ｉを、辺ＡＤ上にＡＪ＝２ｃｍとなる点Ｊをとります。
（１）
立体①を、３点Ｇ、Ｉ、Ｊを通る平面で切断したとき、
（あ）辺ＤＨと切り口の平面の交点をＫとします。
ＤＫ：ＫＨを最も簡単な整数の比で表しなさい。
（い）頂点Ｂをふくむ方の立体の体積は何ｃｍ３ですか。
【図２】のように、立体①の４点Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｇを頂点とする三角すいを立体②とします。
（２）
立体②の体積は何ｃｍ３ですか。
（３）
立体②を、３点Ｇ、Ｉ、Ｊを通る平面で切断したとき、
頂点Ｂをふくむ方の立体の体積は何ｃｍ３ですか。
＠解説＠
（１）あ
ＪＫとＥＨを延長、交点をＬとする。
∠ＩＡＪ＝∠ＧＨＬ＝90°、△ＡＩＪは直角二等辺三角形。
ＩＪとＧＬは平行で45°角→△ＨＧＬも直角二等辺。
ＨＬ＝６ｃｍ
△ＪＤＫと△ＬＨＫが相似。
ＤＫ：ＫＨ＝４：６＝２：３
い
外側延長で点Ｍ・Ｎをとる。
△ＡＩＪと△ＢＩＭ、△ＤＪＮは相似で、いずれも直角二等辺。
ＭＢ＝ＮＤ＝４ｃｍ
三角錐Ｇ―ＣＭＮと、外にある２つの三角錐の体積比は、
（⑤×⑤×⑤）：（②×②×②）＝125：８
求積すべき立体の体積比は、125－（８×２）＝109
10×10÷２×６÷３×109/125＝87.2ｃｍ３
（２）
ＢＤの中点をＫとする。
面ＫＥＧとＢＦ・ＤＨは平行。Ｂ→Ｆ、Ｄ→Ｈに点を移動させると、
等積変形で三角錐Ｂ―ＫＥＧ＝Ｆ―ＫＥＧ、Ｄ―ＫＥＧ＝Ｈ―ＫＥＧ
求積すべき立体は、正四角錐Ｋ―ＥＦＧＨに変形できる。
６×６×６÷３＝72ｃｍ３
（３）
求積すべき立体は五面体になる。
立体②が切られる、面ＢＤＥと切断面の交線がポイント。
ＢＥとＤＥとの交点をそれぞれＮ、Ｏとする。
図形全体が面ＡＥＧＣを対称面として左右対称。
対称面ＡＥＧＣとＩＪの交点をＬ、ＬＧとＫＥの交点をＭとする。
ＩＪとＢＤが平行→ＡＪ：ＪＤ＝ＡＬ：ＬＫ＝①：②
ＫはＡＣの中点だから、ＡＣ＝ＥＧ＝⑥
△ＬＫＭと△ＧＥＭが相似。ＫＭ：ＫＥ＝１：３
ＢＤからＥに向けて左右対称を維持しながら切るから、ＢＤとＮＯは平行。
ＢＮ：ＮＥ＝ＤＯ：ＯＥ＝１：３
立体②と求積すべき立体の体積比は、底面積の比である△ＢＥＤ：四角形ＢＮＯＤに相当する。
△ＢＥＤ：△ＮＥＯ＝（４×４）：（３×３）＝⑯：⑨
四角形ＢＮＯＤ＝⑯－⑨＝⑦
72×⑦/⑯＝31.5ｃｍ３
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