問題ＰＤＦ
図のように東西、南北それぞれ９本ずつの道が等間隔であります。
点Ａから点Ｂまで最短の道のりで移動します。
石を２個持って点Ａを出発し、通過する交差点（Ａ、Ｂを含む）のうち２ヵ所に石を置きます。
ここで交差点とは南北の道と東西の道が繋がっている点をいいます。
以下の問題では石の置かれた場所だけに注目します。
つまり石の置かれ方が同じであれば、異なる経路を歩いても１通りと数えます。
（１）
東向きから北向きに、または北向きから東向きに曲がるときに必ず石を１個置き、
石を置かない交差点では曲がらないものとすると、石の置き方は何通りありますか。
（２）
１本の道の上に２個の石が並ばないような石の置き方は何通りありますか。
（３）
石の置き方は全部で何通りありますか。
（４）
点Ｐを通って点Ａから点Ｂまで行くときに、石の置き方は何通りありますか。
＠解説＠
（１）
２個の石を持って、曲がるときに石を置く→２回曲がってＢに着く。
●東→北→東…７通り（右端まで行かないこと！）
●北→東→北…７通り
計14通り
（２）
基準となる石を１個置く。
置けないところは上下左右の８×２＝16ヵ所
置けるところは基準石を四隅に寄せると１辺８の正方形→64ヵ所
基準石１ヵ所でもう１個の石は64通り置ける。
基準石の場所は81通り、重複を避けるために÷２をする。
留意点はＡ→Ｂの最短経路だから、２個の石を結んだ斜線は右上でなくてはならないこと！
左上の斜線では最短経路で通過できない。
右上を対角線とする四角形のもう１つの対角線が左上なので、
右上と左上の斜線はそれぞれ同数表れるから、÷２で左上だけを弾ける。
64×81÷２÷２＝1296通り
（３）
直線部分の２個置きを数える。
基準石の上下左右は16通り。
基準石の置き場所は81通り、÷２で重複を回避する。
斜線と違い、直線上にある２個の石は必ず最短経路で両方通過できる。
（Ａに近い方を先に通ればいい）
16×81÷２＝648通り
全部で、1296＋648＝1944通り
（４）
前問と同様の処理をする。
●Ａ→Ｐ間に２個置く
斜線…基準石以外は５×５＝25通り。25×36÷２÷２＝225通り
直線…基準石以外は５＋５＝10通り。10×36÷２＝180通り
225＋180＝405通り
●Ｐ→Ｂ間に２個置く
斜線…９×16÷２÷２＝36通り
直線…６×16÷２＝48通り
36＋48＝84通り
●Ｐ以外で石を１個ずつ置く
（36－１）×（16－１）＝525通り
全部で、405＋84＋525＝1014通り
難関中（算数科）解説ページに戻る
コメント