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1辺の長さが3cmの立方体があります。図1のように、この立方体の3つの頂点を通る平面で切断すると、切断面は正三角形になります。この切断面の正三角形4つをはり合わせてできる立体(あ)と、正三角形8つをはり合わせてできる立体(い)を考えます。
(1)
立体(あ)の体積は何cm3ですか。
(2)
立体(い)の4つの頂点を通る平面で切断した切り口は必ず正方形になります。
立体(い)の体積は何cm3ですか。
(3)
立体(い)を図2の太線部分で切ります。
展開図を解答らんの図にかきなさい。
(4)
(3)の展開図からは、立体(い)と異なるもう1つの立体(う)を作ることができます。
立体(う)の体積は何cm3ですか。
@解説@
(1)
求積すべき立体は左図の正四面体。
赤い面を意識してサイドの●を等積変形で下におろすと、
右図の正四角錐に変形できる。
3×3×3÷3=9cm3
*昨年度の久留米大附設大問4でも出題されている。
(2)
求積すべき立体は右図の正八面体。
底面が1辺6cmの正方形の半分、高さの合計が6cmの四角錐。
6×6÷2×6÷3=36cm3
*赤い三角錐の8倍でもある。
(3)
A・B・Cの配置がいやらしい(´д`)
正八面体の裏側を上向きにしてスタートする。
BCを共有する赤い正三角形の残りの頂点をDとする。この3辺は切られない。
つづいてBDを共有する三角形に着目。残りの頂点をEとする。ここも切られない。
BEを共有する三角形では、AB・AEが切られる。
DEを共有する三角形では、残りの頂点をFとするとDF・EFが切られる。
切られる辺が展開図の縁で太線で記す。
CDを共有する三角形ではDFが切られる。
CFを共有する三角形ではACが切られ、AFを共有する三角形ではAE・FEが切られる。
↑解答
(4)
先ほどの展開図は異なる組み立て方ができるらしい…(´д`)ムズ
拡大コピーして組み立ててみました。
凹んでしまったけど、なんとか完成しました。
立体図の描写が難しい(-_-;)
1つの頂点に4面ずつ集まると正八面体になるので、どこかの頂点を3面に減らす。
左右に3面の角、あいだの2面で左右を接続する。
立体(あ)が3つ分だから、9×3=27cm3
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