難関中算数科」カテゴリーアーカイブ

2020年度 東京学芸大学附属小金井中学入試問題【算数】大問4解説

 下の表はかけ算の計算結果を順に並べている表です。上から1段目(つまり一番上の段)、左から2列目のマスには1×2の計算結果(つまり2)が書かれており、上から4段目、左から6列目のマスには4×6の計算結果(つまり24)が書かれています。
 紙面の都合上、たても横も15段目、15列目までしか書かれていませんが、「・・・」は、それより先も同じように数が続いていることを表しています。例えば、上から20列目、左から19列目のマスなども、この表には書かれていませんが、あるものとします。

この表をもとにして次の問いに答えなさい。
(問1)
上から5段目、左から8列目のマスに書かれている数から、
上から4段目、左から8列目のマスに書かれている数をひいた数を答えなさい。

(問2)
上から17段目、左から12列目のマスに書かれている数から、
上から16段目、左から12列目のマスに書かれている数をひいた数を答えなさい。

(問3)
上から256段目、左から36列目のマスに書かれている数は、9216でした。
このマスの上にあるマスに書かれている数を答えなさい。

(問4)
上から123456段目、左から654321列目のマスに書かれている数は、そのマスの右上にあるマスに書かれている数に比べて、どれだけ差があるか答えなさい。なお、解答らんの〔    〕には数字を、「   」の中には「大きい」か「小さい」のどちらかを記入しなさい。

@解答欄@
上から123456段目、左から654321列目のマスに書かれている数の方が、
〔           〕だけ、「    」。

(問5)
あるマスに書かれている数と、そのマスの右上にあるマスに書かれている数が同じになることがあります。例えば上から4段目、左から3列目のマスに書かれている数と上から3段目、左から4列目に書かれている数はどちらも12で同じです。それは、「元のマス」の「列の数」、「段の数」がどのようなときですか。「元のマス」、「列の数」、「段の数」を使って説明しなさい。なお、「列の数」とは「左から何列目にあるか」を、「段の数」とは「上から何段目にあるか」を表す数のことです。


@解説@
(問1)
5×8-4×8=8

(問2)
17×12-16×12
=(17-16)×12
=12

(問3)
上から255段目、左から36列目のマスが正解。
255×36…をしてもよいが、問1と問2のように左から〇列目は〇ごとに増えていく。
8列目は8、12列目は12、36列目は36ずつの等差数列。
256×36=9216だから、9216-36=9180

(問4)
ここで差がつく。

123456×654321は計算しないよ( ˘ω˘ )

左から654321列目なので、1個上にいくと-654321。
上から123455段目なので、1個右にいくと+123455。
654321-123455=530866
〔530866〕だけ「大きい」。

(問5)

右上と数が同じペアを観察すると見えてくる。
平方数を通るように斜め45度線を描くと、右上と左下が対称。

問題文の「元のマス」の意味がわからなかったのだが…(;´・ω・)
『あるマス』が元のマスとして、
『元のマスの列の数と段の数の差が1のとき』かな?
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2020年度 麗澤中学入試問題【算数】大問4解説

麗澤中学校で1年生の交流を深めるためにクラス対抗ラグビー大会を実施しました。
試合中の得点は、次のルールにしたがって点数が加算されます。
①トライ…5点、②コンバージョンゴール…2点、③ドロップゴール…3点
ただし、コンバージョンゴールはトライの回数以下です。
A、B、C、Dの4クラスが参加し、総当たりのリーグ戦を行いました。
リーグ戦は次のルールにしたがって勝ち点を計算しました。
①勝ち…4点 ②引き分け…2点 ③負け…0点
④勝敗に関係なく、トライの回数が4回以上…1点
⑤負けた場合、点差が7点以内…1点

A組とB組の対戦では、31-17でA組が勝利しました。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1)
試合は全部で何試合行われたか答えなさい。

(2)
A組とB組の対戦でのA組の点数の取り方は、何通りあるか答えなさい。
ただし、点数が加点された順番は考えなくてかまいません。

大会が進み、残りはA組とD組の対戦のみとなりました。
ここまでの結果として、次のことがわかっています。
・C組とD組の対戦では、C組が3回トライし17点差で勝利した。
・B組とD組の対戦は引き分けではなく、D組のトライの回数の方が多かった。
・B組とC組の対戦では、C組が3回トライしたがB組は負けなかった。
・A組とC組の対戦では、A組が2回トライし10点差で勝利した。
・B組の勝ち点は3、D組の勝ち点は4です。
なお、この大会の優勝クラスの決定方法は勝ち点が一番多かったクラスです。
ただし、勝ち点で並んだクラスがあったときは直接対決で勝ったクラスが優勝とします。
(3)
A組とD組の対戦が終了し、D組が優勝したとき、
各組の勝ち点の組み合わせは何通りあるか答えなさい。


@解説@
(1)
4組で総当たり戦(リーグ戦)。

↑こんなヤツです。6試合。

(2)
31点の中身を調べる。
@条件@
トライ…5点、コンバージョンゴール…2点、ドロップゴール…3点
ただし、コンバージョンゴールはトライ以下の回数。
得点の大きいトライの回数で場合分け
■トライ6回
31-5×6=1点
残り1点が作れないので×。
■トライ5回
31-5×5=6点
2×3と、3×2の2通り。
■トライ4回
31-5×4=11点
2×4+3と、2+3×3の2通り。
■トライ3回
31-5×3=16点
2×2+3×4の1通り。
■トライ2回
31-5×2=21点
3×7の1通り。
■トライ1回
31-5×1=26点
2×1+3×8の1通り。
■トライ0回
残り31点を作れない×。
したがって、7通り。
*トライが多いときはドロップ、少ないときはコンバージョンで場合分けした方が良いかな?(‘ω’)

(3)
推論問題。条件がフクザツで厳しいよ~(´Д`)
この問題に精を尽くすより、他を確実にとった方が良いです。

だいたいこの手の問題は、最後に挙げられた情報が一番重要であったりする(´-`).。oO
Bの勝ち点は3、Dの勝ち点はD
〔BvsC〕でBが勝ってしまうと、Bの勝ち点が+4になってしまう。
BとCは引き分けとなる。Bはトライ4回以上の可能性あり。
同様に、〔BvsD〕でBが勝つとBの勝ち点が+4になってしまう。
Bは負け、Dが勝ち。いずれもトライ4回以上の可能性はあり、
Bはドロップゴールをたくさん決めて7点差以内で負けたかもしれない。
だが、DはBとの勝利で勝ち点が4なので、これまでに追加点はなかったことになる

これを踏まえたうえで条件を整理する。
トライの回数が4回以上、もしくは負けても7点差以内でもらえる1点の処理がキツイ。
この1点が不明な場合、以下、△とあらわす
〔AvsB〕A:4+△ B:0
*勝ったAは4点、負けたBは0点。
前問のようにAは31点のうち、トライが4回以上の場合がある。
Bは14点差で負け、17点ではトライは最大で3回だから追加点はない。
〔AvsC〕A:4 C:0+△
*Aはトライ2回で追加点なし。Cはトライ4回以上がありうる。
(たとえば、Cがトライだけで5×
4=20点。Aは5×2+2×1+3×6=30点のとき)
〔AvsD
〕まだ行われていない。
〔BvsC〕B:2+△ C:2
*Bはトライ4回以上の可能性あり。
〔BvsD〕B:0+△+△ D:4
*Bはトライ4回以上、もしくは7点差で負けた可能性あり。
〔CvsD〕C:4 D:0+△
*Cはトライ3回で追加点なし。Dはトライ4回以上の可能性がある。
(たとえば、Dはトライだけで5×4=20点。Cは5×3+2×2+3×6=37点のとき)
現時点で勝ち点は少なくともA8点、B2点、C6点、D4点
Bの勝ち点は3なので、どこかの△が1だが、
AとDの対戦でこれ以上は増えない。Bは勝ち点3で確定
最終的にDが優勝するので、DはAに勝つことになる
〔AvsD〕A:0+△+△ D:4+△
A8点、B3点(確定)、C6点、D8点

■AとDの勝ち点が同点。
この場合、直接対決で制したDが優勝するので条件に適合する。
Aの△は3つ、Dの△は1つ。
(A、D)=(8、8)(9、9)の2通り。
■Dの勝ち点がAより大きい。
(A、D)=(8、9)の1通り。

さらに、Cに△が1つあるので、Cの勝ち点は6か7で2通りある。
よって、各組の勝ち点の組み合わせは、(2+1)×2=6通り
*実際の試合ではドロップゴールは難しい( ˘ω˘ )
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2020年度 開智中学・先端A入試問題【算数】大問4解説

あるクラスで100点満点の算数のテストを行ったところ、
クラスの生徒全員の平均点は75.5点でした。
100点をとった生徒は4人いて、その4人を除いた残りの生徒の平均点は72点でした。
テストの得点はすべて0以上100以下の整数であるとして、以下の問いに答えなさい。
(1)
このクラスの人数は全部で何人ですか。

(2)
平均点より高い得点をとった生徒は、もっとも多くて何人ですか。

同じクラスで100点満点の国語のテストを行ったところ、平均点は60.5点でした。
算数のテストで自分がとった点数以上の点数を国語のテストでとった人は、
ちょうど10人いました。
(3)
算数、国語の両方のテストでともに平均点より高い点数をとって生徒は、
もっとも多くて何人ですか。


@解説@
*入試では(2)(3)は考え方も解答用紙に書く。
(1)

左が満点の4人。右がその他の?人。
2つの長方形を均すと75.5点になる。

4人の75.5点以上の面積が、その他の72点以上75.5以下と同じ。
(100-75.5)×4=24.5×4=98
?=98÷(75.5-72)=98÷3.5=28
4+28=32人

(2)
クラス全員の平均は75.5点だった。
平均よりも高い点数をとった生徒を多くするには、
平均点よりギリギリ上の76点の生徒を増やす

その他28人の総和…72×28=2016点
これを76で割り、その整数部分が76点の得点者。
2016÷76=26.5…→26人
26+4=30人
*26人の総和は、76×26=1976点
残りの2人で2016-1976=
40点を適当に配分すればいい。

↑図を描くとこうなる。

(3)
(2)のように、総和から条件に適合するように得点を配分する。
クラス全員の総和…60.5×32=1936点
『国語で算数以上の点数をとった人は10人』
言い換えれば、算数より国語で点が下がった人は22人もいる
平均点の高い算数より、平均点の低い国語が悪かった人は多いので、
『国語で算数以上の点数をとった10人』を優先してつくる。

まず、先ほどの算数で平均以下だった2人が、国語で同じ点数を取る。
2人の総和…40点
算数で76点だった26人のうち、8人が国語で76点をとる。
8人の総和…76×8=608点
これで、『国語が算数以上の10人』が完成。

残りの22人で、1936-(40+608)=1288点を分配する。
国語のギリ平均超えである61点の得点者を増産。
1288÷61=21…≒21人

21人の総和…61×21=1281点
残りの1人は、1288-1281=7点となる。

したがって、算国両方で平均超えは、最も多くて8+21=29人。
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2020年度 巣鴨中学入試問題【算数】大問3解説

図のように3×3のマス目に1から9までの数字が書かれたカードがあります。
また、1から9までの数字が1つずつ書かれたボールが入っている箱があります。
このとき、次のようなゲームをおこないます。

@ルール@
①箱からボールを1個取り出し、ボールに書かれた数字と同じ数字のマス目に〇を付ける。
ただし、一度取り出したボールは箱にもどさないものとする。
②①をくり返して、9個のマス目のうち、たて、横、ななめのいずれか一列の数字
すべてに〇が付いたら終了とする。

たとえば、1、2、4、3の順でボールと取り出すと、1、2、3の列の数字すべてに〇が付くので、ボールを4個取り出してゲームは終了となります。
また、1、2、3の順でボールと取り出す場合と1、3、2の順でボールを取り出す場合は、ともに1、2、3の列の数字すべてに〇が付くので、ボールを3個取り出してゲームは終了となりますが、これらは異なるボールの取り出し方とします。このとき、次の各問いに答えなさい。
(1)
3個のボールを取り出し、1、5、9に〇が付いてゲームを終了するような取り出し方は
何通りありますか。

(2)
4個のボールを取り出し、1、5、9に〇が付いてゲームを終了するような取り出し方は
何通りありますか。

(3)
5個のボールを取り出し、1、5、9の列の他にもう1列の数字すべてに〇が付いて
ゲームが終了するような取り出し方は何通りありますか。


@解説@
(1)
〔1・5・9〕を取り出してビンゴ。
3つの順列→3×2×1=6通り

(2)
〔1・5・9・□〕を取り出し、1-5-9でビンゴ。

最後の4回目は1・5・9のどれかでなくてはならない
この3つの並びは6通り。
1or2or3回目に1・5・9以外の6つの数字のどれかが入る
6×3=18通り
よって、6×18=108通り

(3)
最後の5回目は、1・5・9のどれかでなくてはならない。

A:1でフィニッシュ。
〔2・3〕か〔4・7〕を出す。

〔2・3〕を出す。
2・3・5・9の順列→4×3×2×1=24通り
〔4・7〕も同様で24通りだから、計48通り。

B:9でフィニッシュ。
これもAと対称的に考えて48通り。

C:5でフィニッシュ。
〔2・8〕〔3・7〕〔4・6〕がある。
24×3=72通り

したがって、48+48+72=168通り
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2020年度 麗澤中学入試問題【算数】大問2解説

次の〔  〕にあてはまる数を答えなさい。
(1)
濃度6%の食塩水250gと濃度10%の食塩水〔  〕gと水50gを混ぜると、
濃度7%の食塩水になりました。

(2)
麗太くんと麗子さんは、南柏駅から〔  〕kmの一直線の道を通って麗澤中学校に向かうため、
麗太くんは分速100mで歩き、麗子さんは時速30kmで進むバスに乗りました。
麗子さんの乗ったバスは、途中にある3つの信号で、それぞれ2分ずつ停車しました。
2人は同時に出発しましたが、麗太くんは麗子さんよりも10分遅れて麗澤中学校に到着しました。

(3)
あるファストフード店では、店内で食べる物には10%の消費税が、
持ち帰るものには8%の消費税がかかります。麗太くんは店内で定価290円のポテトを食べ、
定価〔  〕円のハンバーガーを持ち帰ったので697円かかりました。

(4)
身長が全員ことなる5人を以下の規則にしたがって一列に並ばせるとき、
並び方は全部で〔  〕通りあります。
規則:左から2番目と4番目の人はどちらも、両隣りの人より背が高い。

(5)
下の数字の列はある規則性にしたがって並んでいます。
〔  〕に入る数を答えなさい。

(6)
下の図の斜線部分の面積は〔  〕cm2です。
ただし、円周率は3.14とします。


@解説@
(1)
天秤法を使いたいが…水がジャマ|・ω・` )
先に、濃度6%食塩水250gと水50gを混ぜてしまおう
食塩の量は250×6%=15g
食塩水の量は250+50=300g
水50gを混ぜた後の濃度は、15÷300×100=5%

ここで天秤法。
支点からの距離が2:3なので、おもりの重さは3:2。
300×2/3=200g

(2)
時速30kmを分速に変換。
麗子の速さ…30×1000÷60=分速500m
速さの比は、麗太:麗子=100:500=1:5
時間の比は逆比で、麗太:麗子=⑤:①

麗子のバスは途中で合計6分間停車し、麗太は麗子の10分遅れで到着。
→もし、信号がすべて青でバスの停車がなかったら、麗太は16分遅れになっていた。
時間の比の差④が16分だから、麗子の時間①は4分。
南柏駅~麗澤中学までは、分速500m×4分=2000m=2km

(3)
店内のポテトは税込みで、290×110%=319円
残りは、697-319=378円
持ち帰ったハンバーガーの定価は、378×100/108=350円

(4)

最も背が高い人を2番に配置。
2番目に高い人を1番に配置すると、3番目に高い人は4番にくる。
2通り。

今度は、2番目に高い人を4番に配置する。
残り3人はどこでもいい。
3×2×1=6通り
計8通り

最も背が高い人を4番に配置しても同様のことがいえる。
対称的に考えて、8×2=16通り

(5)

整数を分数に、既約分数が約分されたと仮定すると…
分子が3、分母が1ずつ増えていた(ノ∀`)
19/7

(6)
迷った(;`ω´)

半円の中心点を意識しよう。
青線の直角三角形が相似。
底辺:高さ=1:3から、小さい直角三角形の底辺が1cm。その左が2cm。

緑線の三角形で相似。
辺の比が2:6=1:3
上の三角形の高さは、6×①/④=3/2cm
の面積を調べてみると…1×3÷2=3/2cm2
2×3/2÷2=3/2cm2で面積が等しい(´ω`ノノ゙
移植すると、半径3cmの4分の1円になる。
3×3×3.14÷4=7.065cm2

@別解@

正方形の対角線Оは正方形の中心。
AO=3+3=6cm
△AODと△CBDは1辺と両端角が等しく合同。
BD=DO

△OBEは直角二等辺三角形で、EA=EO=3cm
OE:EA=1:1
△ODEと△OBAで、OD:DB=OE:EA=1:1
平行線と線分の比(中点連結定理)からBA//DE。


等積変形で△DBEと△DAEの面積が等しい。
2つの三角形から△DFEをひくと、△DBFと△FAEの面積も等しい
★を移植して、斜線部分の面積は半径3cmの4分の1円に変形できる。
難しい(;´Д`)
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2020年度 専修大学松戸中学入試問題【算数】大問7解説

S中学校のT先生とMさんが「11の倍数の見分け方」について会話しています。
あとの各問いに答えなさい。

T先生:Mさん、11の倍数の見分け方を知っていますか?
Mさん:3の倍数や4の倍数なら知っていますが、11の倍数は知りません。
T先生:それは、1けたおきに加えた和どうしの差を11で割るというものです。
 たとえば、〔3817〕の場合、
 1けたおきに加えた和➡3+1=4…(A)、8+7=15…(B)
 (A)と(B)の差➡15-4=11…(C)
(C)が11で割り切れるので、〔3817〕は11の倍数だとわかるのです。
もう一つ例をあげると、〔25487〕の場合、
 1けたおきに加えた和➡2+4+7=13…(A)、5+8=13…(B)
 (A)と(B)の差➡13-13=0…(C)
 この場合も(C)が11で割り切れるので、〔25787〕は11の倍数だとわかります。
Mさん:へぇ~。びっくりしました。
T先生:それでは、さっそく問題です。
 7けたの整数〔2N30958〕が11の倍数になるとき、Nにあてはまる数は何ですか?
Mさん:はい。答えは〔 ア 〕です。
Tさん:正解です。よくできましたね。
Mさん:でも、T先生。どうしてそのようになるのですか?
T先生:それでは、99、9999、999999のように、9だけが偶数個並んだ数は
 11の倍数になることを説明してみてください。
Mさん:はい。999999の場合で説明をすると、
 999999=990000+9900+99
=11×90000+11×900+11×9
=11×(90000+900+9)
=11×〔 イ 〕
 これでどうですか?
T先生:よくできました。
 そうすると、9だけが偶数個並んだ数に11を加えた数も11になりますね。
 ですから、
 99+11=110、9999+11=10010、999999+11=1000010、…
 も11の倍数です。ところで、これらの数の一の位の数字はすべて0ですから、
 これらの数を10で割った数も11の倍数になりますね。
Mさん:つまり、11、1001、100001…のように、2個の1の間に偶数個の0が並ぶような数は
 11の倍数だということですね。
T先生:その通り。
 これらの性質を使うことで、11の倍数の見分け方がわかるのです。
 たとえば、〔3817〕の場合で説明しましょう。
 3817=3000+800+10+7
=1000×3+100×8+10×1+7
=(1001-1)×3+(99+1)×8+(11-1)×1+7
=1001×3-3+99×8+8+11×1-1+7
=11×91×3-3+11×9×8+8+11×1-1+7
=11×(91×3+9×8+1)-3+8-1+7
=11×(91×3+9×8+1)(8+7)-(3+1)…(*)
となります。  の部分は11の倍数ですから、  の部分が11の倍数であれば、
〔3817〕も11の倍数だとわかるのです。
Mさん:なるほど!よくわかりました。

(1)
次の①~④のうち、11の倍数はどれですか。すべて選びなさい。
①773124 ②2701384 ③9999999 ④10000001

(2)
〔 ア 〕、〔 イ 〕にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

(3)
Mさんは家に帰ってから、T先生の説明にならって、
〔25487〕が11の倍数になる理由を考えました。
下の式は、T先生が作った(*)の式と同じ内容のものです。
〔 ウ 〕~〔 オ 〕にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。
11×(〔 ウ 〕×2+〔 エ 〕×5+〔 オ 〕×4+8)+(2+4+7)-(5+8)


@解説@
(1)
①奇数番目の位➡4+1+7=12、偶数番目の位➡2+3+7=12、両者の差➡12-12=0
 差が0の場合も11の倍数になる。〇
②奇数番目の位➡4+3+0+2=9、偶数番目の位➡8+1+7=16、両者の差➡16-9=7
 差が11の倍数ではないので違う。×
③9だけが偶数個並ぶと11の倍数。9999999は奇数個なので違う。×
④2個の1の間に偶数個の0が並ぶので当たり。〇
①・④

(2)ア
奇数番目の位➡8+9+3+2=22
偶数番目の位➡5+0+N=5+N
両者の差が11の倍数か0になればいい。
22-(5+N)=17-N
0≦N≦9だから、N=6


中2で習う、整数の証明問題と考え方は同じです。
999999=990000+9900+99
=11×90000+11×900+11×9
=11×(90000+900+9)
=11×〔 イ 〕
イ=90000+900+9=90909
*11の倍数を証明したい場合、11×(整数)の形に変形する。

(3)
少々、問題文のおさらいを入れます(‘Д’)

9が偶数個だと11の倍数になる証明は前問の通りだが、
筆算をかくと視覚的にわかりやすい。

(9が偶数個並ぶ数)が11の倍数なので、
(9が偶数個並ぶ数)+11も11の倍数。
999999+11=1000010 ←11の倍数

÷10をすると桁が1個右にスライドする。
奇数番目の位と偶数番目の位×の和の差が0なので、11の倍数は維持される。

偶数番目の位である10、1000、100000…を(11-1)、(1001-1)、(100001-1)に、
奇数番目の位である100、10000、1000000を(99+1)(9999+1)、(999999+1)に変換。
11、1001、100001、99、9999、999999はすべて11の倍数だから、
残りが11の倍数となれば全体で11の倍数となる
例題の〔3817〕の場合、11×(91×3+9×8+1)+(8+7)-(3+1)
   の部分は〔3817〕の8と7、3と1の和の差をしている。
これが、1桁おきに加えた和どうしの差を11で割れば11の倍数を判定できる理由。

25487
=10000×2+1000×5+100×4+10×8+7
=(9999+1)×2+(1001-1)×5+(99+1)×4+(11-1)×8+7
=11×909×2+2+11×91×5-5+11×9×4+4+11×8-8+7
=11×(909×2+91×5+9×4+8)+(2+4+7)-(5+8)
   の部分が0なので、25487は11の倍数となる。
ウ…909、エ…91、オ…9
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2020年度 開智中学・先端A入試問題【算数】大問3解説

図1のように、1辺の長さが1cmの正方形のタイルに半径が1cmの円の一部が描かれているものがたくさんあります。また、1辺の長さが1cmの正方形9つに区切られた図2のようなパネルがあり、このタイルをはめることができます。

タイルのうちいくつかをパネルにはめこみ、輪を作ります。ただし、輪とは、ある点から始めて、同じ点を通ることなく、すべての点を通って元の点に戻ることのできる形のこととします。例えば、図3と図4の2つの形は輪ですが、図5と図6の2つの形は輪ではありません。

(1

輪に囲まれた部分の面積がもっとも大きくなるのは、輪がどのような形のときですか。
解答用紙のパネルに輪を書きこみなさい。
(考えられるものがいくつかあるときはそのうちの1つでかまいません)

(2)
輪に囲まれた部分の面積として考えられるものは何通りありますか。

(3)
輪に囲まれた部分の面積が図4のときと同じになるような輪の形は、
図4の場合を含めて全部で何通りありますか。
ただし、回転や裏返しでちょうど重なるものは同じとします。例えば、


の2種類は回転や裏返しで図4の輪と重なるので、すべて同じものとします。


@解説@
*入試では(2)と(3)は考え方も記述する。
(1)

↑面積を最大にするので、外側への膨らみを意識する。

(2)
まず、2×2の正方形だけで考える。

基本形を円とすると、4つの弧のうち、いくつを欠けさせるか。
5通り

今度は、3×3の正方形で考える。

左上の正方形から始めて、大きな正方形の隣にある頂点に移動しようとすると輪にならない。

結局、前問の解答が基本形になる|д・)
6つの弧のうち、いくつの弧を欠けさせるか→7通り
この7通りは真ん中に1cm2の正方形があり、先ほどの5通りと面積がかぶらない。
よって、12通り。

(3)

これも(1)を基本形とする。図4は①と⑥の弧が欠けた状態。
上下・左右対称移動して重複しない組み合わせを調べる。
6通り。

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2020年度 青山学院横浜英和中学入試問題【算数】大問3解説

AさんとBさんは同じ道を通り、P地点から、途中のQ地点で10分間休けいをとり、R地点へ行きました。BさんはAさんより少し遅れて出発し、Aさんの8分後にR地点に着きました。Cさんは9時にAさんと同時に出発し、R地点から、AさんとBさんと同じ道を通り、休まずP地点へ行きました。下のグラフは、3人が出発してからの時間(分)と、着くまでに進んだ距離(m)をグラフに表したものです。

(1)
BさんはAさんが出発してから何分後に出発しましたか。

(2)
AさんがR地点に着いたのは何時何分後ですか。

(3)
CさんがBさんとすれちがったのは、何時何分後ですか。
ただし、秒は切り捨てて答えなさい。

(4)
もしCさんが、AさんとBさんの2人と同時に会う速さで進んでいた場合、
何時何分にP地点に着きますか。


@解説@
(1)
まずはグラフの理解。

0mがP、2080mがQ,3900mがR。
AとCが同時に出発、遅れてBが出発。
BはAの8分後にRへ着くので、ここからAとBは上のようになる。
つまり、AがQで休憩を終えた42分後に、BがQに到着する
アとイは平行→P-Q間のAとBは同じ速さ。
アとイを対辺とする四角形は平行四辺形。10分を下におろす。
BはAの10分後に出発したことになる。

(2)
78-8=70分
9時の70分後→10時10分
*イとウは一直線だから、アとウも平行で傾きが同じ。
Aは休憩後も休憩前の速度で歩いている。
しかし、ウを1辺とする四角形は平行四辺形でない。
BがRに着いたとき、Aから10分遅れではなく8分遅れであった。
→Bは休憩を終えてから速度をあげている。

(3)

のところでBとCが出会う。
休憩前のBは32分で2080m歩く。
Bの速さは、2080÷32=分速65m
Cは65分で3900m歩く。
Cの速さは、3900÷65=分速60m

速さの比は、B:C=65:60=⑬:⑫
時間の比は逆比。B:C=【12】:【13】
これをグラフで表すと、下の青い三角形の底辺の比になる。

55分=【25】だから、の時間は、10+55×12/25=36.4≒36分
9時36分

(4)
 
AとBはで出会うので、Cがそこを通る線を描く。
青線の三角形で相似。
42×3900/1820=90分
9時から90分後→10時30分
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2020年度 本郷中学入試問題【算数】大問4解説

H君とR君は本郷中学校の生徒です。
二人は協力して以下の問題を解こうとしています。

H君「なんだか難しそうだね」
R君「一緒に考えてみようよ」
H君「そうだね、まずはいろいろ試してみようか。
うーん、頂点Cは通らずに、頂点Dを2回経由して最後に頂点Aに到達する経路は何本だろう?」
R君「それは・・・x本だね!」

(1)xの値を答えなさい。

H君「なるほどね。じゃあ、頂点Cを通らずに、移動し始めてから3回頂点Aを経由して
 最後に頂点Aに到達する経路は何本だろう?」
R君「今度はこうだから・・・y本だね!」

(2)yの値を答えなさい。

H君「R君、もっとわかりやすく考えていくにはどうすればいいの?」
R君「こういうときには図をかくといいよ!」
H君「そうか、そしてここに頂点Cを通らないような経路を矢印で記入するんだね」
と言って二人は次の図をかきはじめました。


R君「そう、必要な矢印をかき終えたら、ここは1、ここも1、こことここの和で2、
 のように小さく隅に数字を書きそえて…」
H君「最後にここの和を求めて、全部でz本だ!」
R君「そうだね!やったね!!」

(3)xの値を答えなさい。


@解説@
(1)

Dを2回経由してAに戻るには、A→F→E→D→E→D→E→F→Aしかない。
x=1

(2)

ゴールを含め、8回の移動でAに4回触れるには、
Aの隣にあるBかFに行ってAに戻るしかない(Eには行かない)。
A→BorF→A→BorF→A→BorF→A→BorF→A
2×2×2×2=16通り
y=16

(3)

最短経路で見かけるヤーツ(*´ェ`*)
Cには行かないので、上はD、下はBで終わり。
ジクザグ矢印を書き、おなじみの方法で数字を足していく。
z=41

@@
本郷の過去問ページより、受験者452名中の正解者数。
(1)274名(2)36名(3)106名
(2)の正答率が悪い|д゚)
ゴール時に頂点Aには3回ではなく4回触れることになる。
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2020年度 栄光学園中学入試問題【算数】大問4解説

図1のような、16枚のパネルと8つのボタンA、B、C、D、E、F、G、Hがあります。
最初は、すべてのパネルに「〇」が表示されています。


ボタンA、B、C、Dはそれぞれのボタンの下に並ぶ縦4枚のパネルに対応し、ボタンE、F、G、Hはそれぞれのボタンの右に並ぶ横4枚のパネルに対応しています。各パネルは、対応するボタンが押されるたびに、〇→△→×→〇→△→×→〇→…と、表示されている記号が変化していきます。例えば、最初の状態から、ボタンAを押すと図2にようになり、さらにボタンE、ボタンAの順番で押すと、図3、4のように変化します。

(1)
最初の状態から、ボタンを次のような順番で押すと、どのようになりますか。
パネルに表示される記号を解答用紙の図に書き入れなさい。
①Aを1回、Bを1回、Cを2回、Eを2回、Fを2回、Hを1回
②Aを3回、Cを2回、Dを5回、Eを2回、Gを3回、Hを4回

(2)
最初の状態から何回かボタンを押したところ、一番上の4枚のパネルに表示されている記号は、図5のようになりました。このとき、ボタンA、B、C、Dはそれぞれ何回押しましたか。以下の答え方にならって、考えられる組み合わせをすべて答えなさい。ただし、それぞれのボタンを押した回数は、最大で2回とします。
【答え方】()の中に、A、B、C、Dの順に押した回数を記入する。
例えば、Aを1回、Cを2回押し、B、Dを押さなかった場合、(1、0、2、0)と書く。

(3)
最初の状態から何回かボタンを押したところ、いくつかのパネルに表示されている記号は次の図のようになりました。記号のかかれていないパネルのうち、記号が1つに決まるパネルにはその記号を、決まらないパネルには「?」をかき入れなさい。

(4)
最初の状態から、ボタンA、Bは1回も押さず、ボタンCは1回、ボタンDは2回押しました。EからHのボタンはどのように押したか分からないとき、〇が表示されているパネルの枚数として考えられるものをすべて答えなさい。

(5)
最初の状態から何回かボタンを押したとき、〇が表示されているパネルの枚数として考えられるものをすべて答えなさい。


@解答@
(1)

押されたボタンの回数を調査。
AとGの3回押しは押さないのと同義
Dの5回は2回押し、Hの4回は1回押しでカウント

(2)

E列のパネルなので、E列が何回押されたかで場合分け。
Eを先に押したあとでA~Dを考えたほうがやりやすい
◆E0回押し→全部〇→(0、0、1、2)
◆E1回押し→全部△→(2、2、0、1)
◆E2回押し→全部×→(1、1、2、0)
(0、0、1、2)(2、2、0、1)(1、1、2、0)

(3)①
ボタンが押された回数はわからないが、
3の倍数or3の倍数+1or3の倍数+2がわかればいい
(以下、3の倍数…
、3の倍数+1…、3の倍数+2…と表記

〔C・F〕の×に注目する。
×は②で、これをCとFで分配する。
上と左が△だから、Cは①、Fは①。

〔B・F〕の△はFの①で変わったので、Bは0。
Eも0にしないと〔B・E〕が〇にならないから、Eも0。

Eが0だから、〔D・E〕を×にするにはDが②。
〔D・G〕を△にするには、Gを②にする。
Hは決まらない。以上を整理すると、上の図になる。



〔B・G〕の×に注目。×の②をBとGに配分。
上の△からBは①。Gは①。

〔A・G〕を×にするためにAは①。
〔B・E〕を△のままにするのにEは0。

〔C・E〕と〔D・E〕の〇からCとDは0。
〔D・H〕の〇からHも0。
Fは決まらない。以上を整理すると、上の図になる。

(4)

A~Dを指定回数分押した様子から考える。
E~Hをすべて押さないと〇は8個。
Eを1回押すと△△×〇、2回押すと××〇△。
ボタンを押すと〇の数が1個減る
E~Hの4列のうち、ボタンを押して〇を減らすと、
〇の数の組み合わせは4、5、6、7、8枚。

(5)
調べ上げなので時間がかかる(;´Д`)
前問の解答より、縦のボタンで〇〇△×に固定して横を操作すると4~8枚であった。
そこで、縦のボタンをあらかじめ押してから横を考える。
以下、同じ数字の組み合わせは削除。
◆1種類
〇〇〇〇→(0・4)
◆2種類
〇〇〇△→(0・1・3)
〇〇△△→(0・2)
〇△△△→(0・1・3)
◆3種類
〇△××→(1・2)
〇△△×→(1・2)
〇〇△×→(1・2)

例えば、縦を押してすべての行を〇〇〇△にすると、
〇〇〇△
〇〇〇△
〇〇〇△
〇〇〇△
横のボタンをおすと、行に現れる〇の数は(0・1・3)だから、
0+0+0+0=0
0+0+0+1=1
0+0+1+1=2
0+1+1+1=3
0+3+3+3=9
1+3+3+3=10…が新たに作れる。

縦を押してすべての行を〇〇〇〇にすると、
0+4+4+4=12
4+4+4+4=16…が新たに作れる。

しかし、残りの〔11・13・14・15〕は作れない。
◆再掲◆
〇〇〇〇→0・4
〇〇〇△→0・1・3
〇〇△△→0・2
〇△××→1・2
11=4+4+3+0=4+4+2+1=4+3+3+1=4+3+2+2=3+3+3+2
(0・3・4)(1・2・4)(1・3・4)(2・3・4)(2・3)の組み合わせはない。

同様に、13=4+4+4+1=4+4+3+2=4+3+3+3
(1・4)(2・3・4)(3・4)の組み合わせはない。
15=4+4+4+3
(3・4)の組み合わせはない。
答えは、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、16枚。
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