問題ＰＤＦ
下の図において、四角形ＡＢＣＤ、四角形ＢＥＦＣ、四角形ＡＥＦＤはすべて平行四辺形です。
ＣＰ：ＰＤ＝６：７、ＰＱ：ＱＥ＝２：１、三角形ＣＱＰの面積が36ｃｍ²のとき、次を求めなさい。

（１）三角形ＱＥＦの面積
（２）三角形ＡＰＤの面積
（３）五角形ＡＢＥＦＤの面積

＠解説＠
（１）

与えられた辺の比から、新たにわかる面積比を探す。
ＤＱに補助線。
ＣＰ：ＰＤ＝△ＣＱＰ：△ＰＱＤ＝⑥：⑦
△ＰＱＤ＝36×⑦/⑥＝42ｃｍ²
ＡＥとＤＦは平行。
△ＰＱＤと△ＱＥＦの高さは等しいので、面積比は底辺の比ＰＱ：ＱＥ＝②：①。
△ＱＥＦ＝42×①/②＝21ｃｍ²

（２）

ＰＱとＤＦが平行→△ＣＱＰと△ＣＦＤは相似。
ＰＱ：ＤＦ＝⑥：⑬
ＱＥ＝⑥÷２＝③

平行四辺形の対辺は等しいから、ＡＥ＝⑬
ＡＰ＝⑬－（⑥＋③）＝④
△ＱＥＦ：△ＡＰＤ＝ＱＥ：ＡＰ＝③：④なので、
△ＡＰＤの面積は、21×④/③＝28ｃｍ²

（３）

線分ＥＦを赤線方向に平行移動させると、その軌跡は平行四辺形ＡＥＦＤ、
同じ高さの分だけ青線方向に平行移動させると平行四辺形ＡＢＣＤとＢＥＦＣになる。
くの字に曲がった青線を左から押し込むと赤線になり、両者の面積は等しい。

ということは、重複する△ＡＰＤと△ＱＥＦを除外した部分、
すなわち、上図の青線エリアと赤線エリアは等積である。（★）

前問で使った△ＣＱＰと△ＣＦＤの相似に着目すると、
面積比は△ＣＱＰ：△ＣＦＤ＝⑥×⑥：⑬×⑬＝【36】：【169】
ちょうど△ＣＱＰ＝36ｃｍ²なので、△ＣＦＤ＝169ｃｍ²である。
★＝169－36＝133ｃｍ²
五角形ＡＢＥＦＤの面積は、133×２＋28＋36＋21＝351ｃｍ²
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問題ＰＤＦ
下の図のように、マス目に以下の手順で記号〇、●を入れていきます。

・１番上の行のマス目にはすべて〇を入れる。
・１番左の列のマス目にはすべて〇を入れる。
・それ以外のマス目には、左のマス目と上のマス目に同じ記号が入っているときは●を、
　異なる記号が入っているときは〇を入れる。

例えば、２行目２列目のマス目には、左のマス目にも上のマス目にも〇が入っているため、
●を入れます。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
４行目４列目までの16個のマス目には〇と●がどのように入れられるか。
[解答欄]の空らんの部分に〇、●をかきなさい。

（２）
16行目16列目までの256個のマス目に〇と●を入れたとき、
その中に含まれる〇の個数を求めなさい。

（３）
[　あ　]行目[　あ　]列目までのマス目に〇と●を入れると、〇の個数が1000個以上になります。
[　あ　]にあてはまる数の中で、最も小さいものを求めなさい。

＠解説＠
（１）

条件に従って埋めていく。上と左が同色で●になる。
ここを間違えると、うしろも解けないので慎重に！

（２）

いきなり16行目16列目はわからないので、問題文の８行目８列目まで埋めてみよう。
１行目と１列目はすべて〇。２行目２列目は〇と●が交互になる。
埋めていくと、５行目と５列目で〇がストレートに４つ並ぶ。
〇か●かは上と左に依存するので、〇が４連続する赤線を頼りに考えると、
（１）の４×４と同じ模様が現れる。
しかし、５行目５列目は●となり、右下の４×４だけは全部●になる。
同じ模様が右下以外の３ヶ所にできる。

次の９行目９列目をやってみると、こんな感じになる。
〇がそろってリセットされるようで、５行目５列目と様相が似ている…。
８×８を１つの模様として、今度は右と下に同じ模様が、右下に黒だけが連なるのでは？

これを想像できるかどうか。
（１）の解答をよくみると、４×４の中でも２×２で区切ると同じ模様が浮かんでみえる。
16×16を試験会場で書くのはさすがに困難だが、
同じ模様が連続して現れる自己相似（フラクタル）だとすれば光が見えてくる。

同じ模様が３ヵ所出現⇒〇の数を３倍していく。
２×２…３個
４×４…３×３＝９個
８×８…９×３＝27個
16×16…27×３＝81個

（３）
続きをやると、
32×32…81×３＝243個
64×64…243×３＝729個
次で1000を超えるので、１行１列ずつチェックしていく。

65行目65列目は右下以外すべて〇。（５行目５列目の様子を見るとわかりやすいかも）
729＋64×２＝857個

66行目66列目は〇●〇●…が続く。
４個中２個が〇→64÷２＝32個が２つ分。
857＋32×２＝921個

67行目67列目は〇〇●●…がつづく。
先ほどと同様に４個中２個なので、921＋64＝985個
68行目68列目は〇●●●…がつづく。
４個中１個なので、32÷２＝16個が２つ分。
985＋16×２＝1017個
したがって、答えは68。

 

＠余談＠
本問は有名なフラクタル図形の亜種にあたる。

ガスコン研究所より。
頂点に１。以下、両端に１を置いて、左上と右上の数字の和を下に書いていく。
数学の世界では名の知れたパスカルの三角形で、奇数だけを塗りつぶすとフラクタルがあらわれる。

見たことある人いるんじゃないかな？
シェルピンスキーのギャスケットといいます。

市川の問題を斜めで見ると、左上部分がシェルピンスキーのギャスケットになります。

気持ち悪いって(´°ω°`;)

シェルピンスキーは四面体もあります。
上図は四面体の内部の方に色が塗られています。
フラクタルってなんか人を不安にさせますね…。
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問題ＰＤＦ
ＡＢ＝24ｃｍ、ＡＤ＝18ｃｍ、ＡＥ＝24ｃｍの直方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨがあり、
辺ＡＥ、ＢＦ、ＣＧ、ＤＨの真ん中の点をそれぞれＫ、Ｌ、Ｍ、Ｎとします。
また、ＣＥとＡＭの交点をＪとします。
＜図１＞は四角形ＡＥＧＣをぬき出したものです。

（１）
ＥＪ：ＪＣを最も簡単な整数の比で表しなさい。
また、底面をＥＦＧＨとしたとき、点Ｊの高さは何ｃｍですか。

（２）
長方形ＫＬＭＮとＡＨ、ＡＦ、ＪＦ、ＪＨとの交点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとします。
①ＰＱ、ＳＲの長さはそれぞれ何ｃｍですか。
②四角形ＰＱＲＳの面積は何ｃｍ²ですか。

＠解説＠
（１）

断面図が提供されている。
△ＡＥＪと△ＭＣＪが相似。
ＥＪ：ＪＣ＝２：１

24ｃｍの高さの比を③とすると、Ｊの高さの比は②に相当する。
Ｊの高さ…24×②/③＝16ｃｍ

（２）①

ＰＱを１辺とする三角形は△ＡＰＱ。
ＰＱが含まれる面ＫＬＭＮは面ＥＦＧＨと平行→ＰＱとＨＦも平行。
△ＡＰＱと△ＡＨＦの相似比は１：２。ＨＦの長さがわかればいい。

算数の範囲で解ける直角三角形の斜辺の長さは有名三角形に限られる。
△ＨＥＦの辺の比を調べると３：４：５だから、ＨＦ＝30ｃｍ
ＰＱ＝30÷２＝15ｃｍ

同様に△ＪＳＲと△ＪＨＦが相似。
先ほどＪの高さは16ｃｍと出している。
ＳとＲの高さは12ｃｍだから、高さの比から相似比は△ＪＳＲ：△ＪＨＦ＝①：④
ＳＲ＝30×①/④＝7.5ｃｍ
答え…ＰＱ＝15ｃｍ、ＳＲ＝7.5ｃｍ

②
出しづらい:;(∩´＿`∩);:

（＜は平行線の印）
ＰＱとＨＦが平行、ＳＲとＨＦが平行ということは、ＨＦを媒介にＰＱとＳＲも平行である。

上から見た図を作成。（長方形の頂点は便宜上、ＥＦＧＨを打ちました）
前問の図より、ＪＲ：ＲＦ＝①：③
上底ＳＲの２倍がちょうど下底ＰＱなので、△ＰＲＳ：△ＰＱＲ＝①：②
△ＰＱＲの面積を３/２倍すれば台形ＰＱＲＳになる。

ＳＲとＥＦを延長した交点をＴとする。△ＰＱＲと△ＰＱＴは等積である。
△ＰＱＴの高さはＰＥ＝９ｃｍ。底辺ＱＴさえわかればいい。

Ｓ・Ｒの位置はＪに由来するので、Ｊから考える。
（１）のＥＪ：ＪＣ＝２：１は直方体の対角線。
この斜め線の比は縦方向と横方向を内分する比と同じである。
上図は緑の数字でＪの位置を特定した。

Ｒの垂線の足をＵとする。ＪＲ：ＲＦ＝①：③を用いて、
ＲＵ＝12×③/④＝９ｃｍ
ＵＦ＝８×③/④＝６ｃｍ

ＱＦ＝12ｃｍだから、ＱＵ＝12－６＝６ｃｍ
△ＰＥＱと△ＲＵＴに着目すると、斜辺が平行でＰＥ＝ＲＵの直角三角形→合同（１辺両端角）
ＵＴ＝ＥＱ＝12ｃｍ
ＱＴ＝６＋12＝18ｃｍ
したがって、18×９÷２×③/②＝121.5ｃｍ²

＠別解＠

歪んじゃいましたが、ＰＥ＝ＲＵ＝９ｃｍということは四角形ＰＥＵＲは長方形です。
△ＰＱＲは長方形の半分である点からも、18×９÷２×３/２の式が導けます。
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問題ＰＤＦ
次の①～③のルールにしたがって整数をつくって、左から右へ順番に並べていきます。

＜ルール＞
①１番目の数を０とする。
②２番目の数をａとする。（ａは１けたの整数とする。）
③３番目からあとの数は、１つ前につくった数と２つ前につくった数を
　たした数の１の位の数とする。

　このルールで整数を並べたときのｎ番目の数を、（ａ、ｎ）と表します。
たとえば、ａ＝１とすると、数が０、１、１、２、３、５、８、３…と並ぶので、
（１、８）＝３となります。次の各問いに答えなさい。

（１）
（１、ｎ）＝０にあてはまるｎのうち、２番目に小さい数を求めなさい。

（２）
（１、2023）＋（ａ、2023）＝10にあてはまるａをすべて求めなさい。

＠解説＠
（１）
ａ＝１は０を付けたフィボナッチ数列である。
最初はフィボナッチの一の位を書き上げて調べる。
【０、１、１、２、３、５、８、３、１、４、５、９、４、３、７、０】
２番目の０は16番目。
ｎ＝16

（２）
規則を探るために続きを書いてみる。
16番目が０なので、15個ずつに区切ると、
【０、１、１、２、３、５、８、３、１、４、５、９、４、３、７】
【０、７、７、４、１、５、６、１、７、８、５、３、８、１、９】０…
１列目と２列目の数字は異なるが、31番目にまた０がでてくる。
２列目は077…からスタートなので、問題文に照らし合わせるとａ＝７の数列である。
もう１列＋α調べると規則が見つかるかもしれない。

ａ＝１【０、１、１、２、３、５、８、３、１、４、５、９、４、３、７】
ａ＝７【０、７、７、４、１、５、６、１、７、８、５、３、８、１、９】
ａ＝９【０、９、９、８、７、５、２、７、９、６、５、１、６、７、３】
ａ＝３【０、３、３、６、９、５…】
ここらで気が付きたい。
１列目はすべて０、２列目は1793、３列目は1793でａの値と一緒。
数列を横ではなく縦読みするのでは？
１列目が１→７→９→３、５列目は３→１→７→９…８列目は３→１→７、９列目は１→７→９…？
１の位に着目した数列で、１→７→９→３→１→７→９→３→１…??
ここまでくれば見えやすいと思う。
７の倍数の１の位が循環している。
（*７×１＝７、７×７＝49、49×７＝343、343×７＝2401）

もう全部書きました(;´･ω･)
１行15個なので、2023÷15＝134…13
横の数列で2023は13列目にあたる。
先の法則に従えば、13列目は４→８→６→２がループする。
今度は縦の数列に切り替えると、2023は135行目にあたるので、
135÷４＝33…３から、（１、2023）＝６となる。

ということは、（ａ、2023）＝４
13列目は４→８→６→２の繰り返しで、余り３が2023にあたるから、
３番目が４となるように調整すると〔６→２→４→８〕
１行目13列目が６になるのはａ＝９

残りは１・３・７・９以外にある。
ａ＝１【０、１、１、２、３、５、８、３、１、４、５、９、４、３、７】
ａ＝７【０、７、７、４、１、５、６、１、７、８、５、３、８、１、９】
ａ＝１を７倍した１桁がａ＝７の数列だった。
つまり、ａ＝１を２倍した１桁の数列がａ＝２、３倍した１桁の数列がａ＝３の数列になる。

解説ページなので全部書いてみました。１の位だけで計算してみましょう。
ａ＝２はａ＝１の２倍。ａ＝８はａ＝２の４倍。
ａ＝７の２倍はａ＝14ですが、14→４とするとａ＝４と符合します。

ａ＝１の全体の数列の2023番目が６なので、各々の2023番目の一の位は、
ａ＝２…６×２＝12→２×
ａ＝４…６×４＝24→４〇
ａ＝５…６×５＝30→０×
ａ＝６…６×６＝36→６×
ａ＝８…８×６＝48→８×
したがって、ａ＝４・９

 

＠余談＠

フィボナッチ数列の一の位は、この60個の数を１周期としてループすることになる。
フィボナッチ数列の2023番目の一の位は、2023÷60＝33…43
45番目は３行目の最後の３なので、43番目は６。

数値の配列が線対称でも点対称でもないくせに、この収まり具合はいったい何なのだろう…。
フィボナッチ数列っていろんな性質を持つと聞きましたが、こんなのもあったんですね(´ﾟωﾟ`;)
ａ＝１→７→９→３の繰り返しで、７倍した数の一の位が縦に連なることになりますが、
この理由をご存知の方がいましたらコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願いますm（＿）m

＠＠
＞フィボナッチ数列と有限体（Ikuro’s Home Page）
こちらのページにそれっぽいのがありました。
【２】フィボナッチ数の周期性のところです。
ある数の１の位は、その数を10で割ったときの余りの数に等しいので、
ある数ｍ（mod）で割って余りが周期する長さを調べていくと、

例えば、それぞれのフィボナッチ数を÷３（mod3）した余りを調べると、
〔０、１、１、２、０、２、２、１〕の８個がループします。
÷４（mod4）では〔１、１、２、３、１、０〕の６個です。
頑張って計算していけば、mod10の周期が60、mod100が300、mod1000が1500となるので、
下１桁の周期は60個、下２桁は300個、下３桁は1500個らしいです。
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問題ＰＤＦ
　太郎君と次郎君は駅を８時に出発し、同じ速さで歩いて学校に向かいました。その途中、駅から528ｍ歩いたところにバス停Ａがあります。太郎君はそのまま歩いて学校に向かい、８時41分に学校に着きました。次郎君はバス停Ａから８時21分発のバスに乗りました。バスは８時23分に太郎君を追いぬき、学校を通り過ぎてバス停Ｂに８時28分に着きました。バスを降りた次郎君はそこから歩く速さの1.5倍の速さで走って学校の方にもどったところ、太郎君と同時に学校に着きました。

（１）
太郎君の歩く速さとバスの速さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

（２）
駅から学校までの距離を求めなさい。

＠解説＠
（１）

ダイヤグラムを作成する。
バス停Ａに２人が着いた時刻は不明だが、ここで次郎だけがバスを待つ。
21分に発車して23分に太郎を追い越す。学校を通り過ぎ、28分にバス停Ｂに到着する。
それ以降の速さの比は、太郎：次郎＝１：1.5＝②：③

（↑説明しやすいように点Ｃ～Ｈを打ちました）
バスと太郎の速さの比が知りたい。バスが走る時間のうち、赤線部分に注目しよう。
時間が同じ５分なので、この間の距離の比がわかれば速さの比を知れる。

最後の13分は時間一定→速さの比＝距離の比で、ＣＤ：ＤＥ＝③：②
ＦＧに補助線。△ＥＦＧと△ＥＨＤは相似。
ＥＧ＝②×５/13＝〇10/13

ＣＧ＝③＋②＋〇10/13＝〇75/13
太郎：バス＝ＥＧ：ＣＧ
＝〇10/13：〇75/13＝２：15

（２）

手がかりは駅―バス停Ａ間の528ｍしかない。
次郎がバス停Ａで待ち始めるＩの時間がわかれば学校までの距離が求まる。

前問の速さの比を活用する。
ＪＫに補助線。太郎のＩ、次郎のＪから合流地点（交点）までは距離一定。
時間の比は速さの逆比で、ＩＫ：ＪＫ＝15：２
ＪＫがちょうど２分なので、ＩＪは13分。
Ｉの時刻は８時21分の13分前だから８時８分。
太郎は８時41分に学校に着くので、528×41/８＝2706ｍ
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問題ＰＤＦ
ある川に上流の地点Ｐと、下流の地点Ｑがあります。
ＰからＱまで川を下るのに、Ａ君は30分かかり、Ｂ君は60分かかります。
Ａ君がＰからＱに向かって、Ｂ君がＱからＰに向かって同時に出発したところ、
25分後に出会いました。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
Ｂ君はＱからＰまで川を上るのに何分かかるか求めなさい。

（２）
Ａ君とＢ君の静水時の速さの比を求めなさい。

（３）
ある日、川の流さの速さが通常時の1.5倍になりました。
このとき、Ａ君がＰからＱに向かって、Ｂ君がＱからＰに向かって同時に出発すると、
２人は何分後に出会うか求めなさい。

＠解説＠
（１）

ＡとＢが出会った地点をＲとする。
最初はＡに着目する。
ＡはＰ→Ｑを30分で下るので、残りのＲ→Ｑは５分で下る。
速さ一定より、距離の比は時間の比→ＰＲ：ＲＱ＝25：５＝⑤：①
ＢはＱ→Ｒ（①）に25分かかったから、Ｑ→Ｐは25×⑥＝150分

（２）

静水時の速さの比を知るには流水の比が必要。
上りと下りの時間が判明しているＢに着目する。

速さの比は時間の逆比。
速さの比は、Ｂ上り：Ｂ下り＝60：150＝②：⑤
Ｂ静水はこの平均で〇3.5。流水＝⑤－〇3.5＝〇1.5

下りの時間の比からＡはＢの２倍の速さなので、
Ａ下り＝⑤×２＝⑩
Ａ静水＝⑩－〇1.5＝〇8.5
Ａ静水：Ｂ静水＝〇8.5：〇3.5＝17：７

（３）

速さの比は、Ａ下り：Ｂ上り＝（⑰＋流）：（⑦－流）
流水の速さが1.5倍でだろうが0.5倍であろうが、
ＡとＢの速さの合計は（⑰＋流）＋（⑦－流）＝㉔で変わらない。
（*流速が変わっても打ち消しあうので、両者が近づく速さは不変である）
速さの合計が一定、ＰＱ間の距離は同じ⇒出会う時間は25分で一定。
25分後
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問題ＰＤＦ
（１）
４けたの整数について、次の性質（Ｐ）を考えます。

　性質（Ｐ）千の位の数を十の位の数、百の位の数を一の位とする２けたの整数で割り切れる。
例えば、
　　　1900＝19×100、1352＝13×104
ですから、1900や1352は性質（Ｐ）を満たします。
性質（Ｐ）を満たす４けたの整数の中で2023以下のものは全部で何個ありますか。

（２）
４けたの整数について、次の性質（Ｑ）を考えます。
　性質（Ｑ）百の位の数を十の位の数、十の位の数を一の位の数とする２けた以下の整数で割り切れる。
例えば、
　　　6786＝78×87、6076＝７×868
ですから、6786や6076は性質（Ｑ）を満たします。
これらの例のように、千の位と一の位がともに６であり、性質（Ｑ）を満たすような４けたの整数は全部で何個ありますか。

（３）
４けたの整数について、次の性質（Ｒ）を考えます。
　性質（Ｒ）十の位の数を十の位の数、一の位の数を一の位の数とする２けた以下の整数で割り切れる。
最初に２けたの整数を１つ選んで、その整数の十の位の数を千の位の数に、一の位の数を百の位の数とする４けたの整数をつくります。そして、その中で性質（Ｒ）を満たすものが何個あるかを考えます。例えば、最初に20を選んだときは、
　　　2025＝25×81、2008＝８×251
ですから、2025や2008は性質（Ｒ）を満たします。

（ⅰ）上の例のように最初に選んだ２けたの整数が20のときは、性質（Ｒ）を満たす４けたの整数を全部で何個つくることができますか。

（ⅱ）すべての２けたの整数に対して、性質（Ｒ）を満たす４けたの整数がそれぞれ全部で何個つくられるかを考えたとき、その個数は最も少なくて何個ですか。また、そのときに最初に選んだ２けたの整数を求めなさい。

（ⅲ）すべての２けたの整数に対して、性質（Ｒ）を満たす４けたの整数がそれぞれ全部で何個つくられるかを考えたとき、その個数が（ⅱ）の答えより１個だけ多いような２けたの整数として考えられるものを小さい順に５個求めなさい。

＠解説＠
（１）

ある４桁の整数で千と百の位の2桁をＡ、十と一の位の２桁をＢとして、
筆算を書いて割り切れた様子が上図である。
Ａ÷Ａ＝１、Ｂ÷Ａが割り切れる→ＢはＡの倍数である。

●Ａ＝【10】
Ｂは00、10、20、30…90の10個。
*Ｂは00を含む！
●Ａ＝【11】
Ｂは00、11、22…99の10個。
●Ａ＝【12】
Ｂは00、12、24…96の９個。
●Ａ＝【13】
Ｂは00、13、26…91の８個
●Ａ＝【14】
Ｂは00、14…98の８個。
●Ａ＝【15】
Ｂは00、15…90の７個。
●Ａ＝【16】
Ｂは00、16…96の７個。
●Ａ＝【17】
Ｂは00、17…85の６個
●Ａ＝【18】
Ｂは00…90の６個
●Ａ＝【19】
Ｂは00…95の６個
●Ａ＝【20】
2023以下なので、Ｂは00と20の２個しかない。
計79個。

（２）
百の位をＡ、十の位をＢとすると、４桁の整数は〔６ＡＢ６〕。

これがＡＢで割り切れる。
ポイントは６ＡＢ６＝6006＋ＡＢ０に分けること！
6006＋ＡＢ０はＡＢの倍数。
→ＡＢ０は言わずもがなＡＢで割り切れる。6006がＡＢの倍数であればいい。

ＡＢは２桁以下の6006の約数だが、これがわかっても出すのがしんどい(;´･ω･)
【6006＝６×1001＝２×３×７×11×13】
（*1001＝７×11×13の素因数分解は有名なのでおさえておく）
素因数の個数で場合分けして99以下になるものを探す。
ＡＢは「２桁以下の整数」だから、１桁（Ａ＝０）でもＯＫ。
●素因数１個→２～13の５個。１を忘れずに！ＡＢ＝01もいける。＋１個！
●素因数２個→２×（３～13）の４個、３×（７～13）の３個、７×（11、13）の２個。
●素因数３個→（２、３、７～13）の３個。
●素因数４個→（２、３、７、11）がダメだから無い。
計18個。

（３）ⅰ

問題文の条件を整理します。
４桁の整数で十の位をＡ、一の位をＢとする。
今、「最初に選んだ２桁」を20にしたので、千の位を２、百の位を０としたら、
２０ＡＢ÷ＡＢが割り切れた。このようなＡＢはいくつあるかを求める。

ここも、２０ＡＢ＝2000＋ＡＢに分解する。
下２桁のＡＢはＡＢの倍数なので、2000はＡＢの倍数である。
→２桁以下の2000の約数を求めればいい。
素因数分解すると、2000＝１×２×２×２×２×５×５×５
５の素因数の個数で場合分け。
●５の素因数が０個→１、２、４、８、16
●５の素因数が１個→５、10、20、40、80
●５の素因数が２個→25、50
計12個。

ⅱ
本問は千の位と百の位となる「最初に選ぶ２桁の整数」のなかで、
ＡＢの個数が最も少なくなる数を探し出す。

前問の手順をおさらいすると、
〔２０ＡＢ〕＝2000＋ＡＢ→ＡＢは２桁以下の2000の約数。
４桁の整数を分解し、下２桁のＡＢを00に置き換えてからＡＢの個数を考えた。
そして、置き換えた数は必ず100の倍数である。
（２桁に12を選んだら1200＝12×100、37を選んだら3700＝37×100）
ＡＢには常に２桁以下の100の約数がはいってくる！
具体的に書くと、〔１・２・４・５・10・20・25・50〕の８個である。

では、ＡＢ＝８個を維持する理想の２桁はあるのだろうか？
100の約数は絶対くるので、そこに狙いをつけてみる。
100の約数のうち、２桁は〔10・20・25・50〕の４個。

この中で最も約数が少ないのは25である。
25を選んだ場合、2500＝25×100
25の約数は〔１・５・25〕
100の約数（２桁）〔１・２・４・５・10・20・25・50〕において、
100以上にならないようにいずれかを５倍したり25倍したらどれかの数字とかぶる！
たとえば、２×５＝10…４×５＝20…５×５＝25…10×５＝50…２×25＝50…
すべて重複するゆえ、８個をキープする！！

10×100＝1000…〔１・２・４・５・８・10・20・25・40・50〕
20×100＝2000…〔１・２・４・５・８・10・16・20・25・40・50・80〕前問の12個
50×500＝5000…〔１・２・４・５・８・10・20・25・40・50〕
10、20、50は偶数で約数２が邪魔してしまう。
10×100では（10の約数２）×（100の約数４）＝８（10の約数２）×（100の約数20）＝40が追加。
（1000の倍数は８・40の追加が確定することになる）
20×100では、さらに20の約数４の存在から４×４＝16、20×４＝80が追加されてしまう。
したがって、最も少ない個数は『８個』で最初に選ぶ２桁の整数は『25』となる。

ⅲ
■再掲■
100の約数（２桁）〔１・２・４・５・10・20・25・50〕
↑絶対に出てきてしまう８個。
これに１個だけを足したい。

100の約数は２を含むので、49以下の数字は×！
実際に見てみましょう。
49×100＝4900…〔１・２・４・５・７・10・14・20・25・28・35・49・50・70・98〕
↑（49の約数49）×（100の約数２）＝98が登場する。約数７もいろいろ邪魔している。
47×100＝4700…〔１・２・４・５・10・20・25・47・50・94〕
↑素数であっても（47の約数47）×（100の約数２）＝94が登場して10個になってしまう。

ということは、２倍したら３桁（100以上）となり、かつ１以外の約数が１個の数、
すなわち、50以上の素数を拾い上げれば良い。
53×100＝5300…〔１・２・４・５・10・20・25・50・53〕
53だけが追加されて９個( ´艸｀)
小さい順に並べると、53、59、61、67、71。
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問題ＰＤＦ
それぞれ一定の濃度の食塩水が出てくる３個のじゃ口Ａ、Ｂ、Ｃを使って水そうに食塩水を入れます。Ａ、Ｂ、Ｃからはそれぞれ毎分100ｇの食塩水が出ます。水そうは十分に大きいので食塩水があふれることはありません。また、水そうに入っている食塩水はすぐによく混ざり合うものとして、次の問いに答えなさい。

（１）
はじめ、水そうには濃度２％の食塩水が200ｇ入っていて、全てのじゃ口は閉まっていました。まず、Ａを３分間だけ開けてから閉め、水そう内の食塩水の濃度を測定しました。ふたたび、Ａを１分間だけ開けてから閉め、水そう内の食塩水の濃度を測定したところ、さきほど測定したときよりも0.4％高くなっていました。Ａから出てくる食塩水の濃度は何％ですか。

（２）
（１）の後、ＡとＢを同時に開け、２分後にＢだけを閉めました。その後、水そう内の食塩水の濃度を複数回測定しても濃度が変わらなかったので、Ａも閉めました。Ｂから出てくる食塩水の濃度は何％ですか。

（３）
（２）の後、Ｃを４分間だけ開けてから閉め、水そう内の食塩水の濃度を測定すると３％高くなっていました。ふたたび、Ｃを４分間だけ開けてから閉め、水そう内の食塩水の濃度を測定するとさらに２％高くなっていました。Ｃから出てくる食塩水の濃度は何％ですか。

＠解説＠
（１）

モビールみたいな２段階テコをつくる。
□％は蛇口Ａの濃度。
下のテコでは、２％食塩水200ｇと□％300ｇを混ぜている。
上のテコでは、合算した500ｇと□％100ｇを混ぜている。
上のテコにおいて、重さの逆比から支点からの距離は１：５なので、？＝0.4×５＝２

下のテコの右側の距離が2.4。
重さの逆比で、？＝2.4×３/２＝3.6
蛇口Ａの濃度は、２＋3.6＋2.4＝８％

（２）

（１）後の状態は前問の上テコの支点で、食塩水600ｇ、濃度は６％。
食塩は600×６％＝36ｇ
この２分後の食塩水は、600＋200×２＝1000ｇ。
その後、Ａだけを何度か入れても濃度が変わらなかった。
→Ａの濃度は８％。８％に８％を入れても８％のまま。
つまり、食塩水1000ｇのときの濃度は８％。

このときの食塩は、1000×８％＝80ｇ
２分間で食塩は80－36＝44ｇ増加している。
このうち、Ａの食塩は200×８％＝16ｇだから、Ｂの食塩は44－16＝28ｇ
Ｂの食塩水200ｇ、食塩28ｇ。濃度は28/200＝14％

（３）

ふたたびモビール。
濃度は８％→11％→13％と変わり、蛇口Ｃの濃度は？％。
８％の食塩水の量は不明である。
上のテコで支点から蛇口Ｃまでの距離を★とする。
左右のモーメントは等しいので、11％の重さは、400×★÷２＝200×★

下のテコで、支点からの距離は３：（２＋★）。
左右のモーメントから８％の重さは、400×（２＋★）÷３＝（800＋400×★）/３

左右の重さの合計で等式。
（800＋400×★）/３＋400＝200×★　←３倍する
800＋400×★＋1200＝600×★
200×★＝2000
★＝10
Ｃの濃度は、13＋10＝23％
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問題ＰＤＦ
１を１個、２を２個、３を３個…と並べた数字の列を考えます。

　１、２、２、３、３、３、４、４、４、４、５、…

この数字の列を、図のようにマス目に並べます。

例えば、もとの数字の列の１個目の「５」は、上から４行目、左から２列目にあります。
また、上から３行目、左から５列目の数字は、もとの数字の列の列の４個目の「６」です。

（１）
もとの数字の列の36番目の数字は、何個目の何ですか。
また、上から何行目、左から何列目にありますか。

（２）
もとの数字の列の１個目の「21」は、上から何行目、左から何列目にありますか。

（３）
上から21行目、左から３列目の数字は、もとの数字の列の何個目の何ですか。

＠解説＠
（１）
もとの数列の36番目を求める。
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝36
もとの数列の36番目は８番目の８である。

グルグル数列は正方形で捉える。
36は平方数。１辺６個の正方形の右上にくる。（上から１行目、左から６列目）
解答…８個目の８、上から１行目、左から６列目

（２）
もとの数列の１個目の21は何番目かを求める。
（１＋２＋３…＋20）＋１
＝21×20÷２＋１＝211番目

211以下の最大の平方数は14×14＝196
１辺が偶数個の場合、左下から右上に向かうので196番目は１行目14列である。
残りは211－196＝15個→上から15行目、左から15列目

（３）

21行目１列目は、21×21＝441番目
21行目３列目は、439番目である。＊441－（３－１）＝439

前問で１個目の21が数列の211番目だったので、30に見当をつけてみる。
１＋２＋３…＋30
＝31×30÷２＝465
行き過ぎたので戻る。465－30＝435
435番目は29の最後（29個目の29）。
439番目は４個目の30となる。
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問題ＰＤＦ
　１から10まで、それぞれの番号がかかれた玉が１個ずつ、全部で10個あります。10個の玉はＡ、Ｂどちらかの箱に入っていて、サイコロを振るごとに、「１」から「６」のうちの出た目の数で割り切れる番号のかかれた玉を移しかえます。
　例えば、はじめに全部の玉がＡに入っていて、サイコロを振って「２」の目が出たとします。そのときは、２、４、６、８、10の玉をＢへ移します。その後、またサイコロを振って「３」の目が出たとします。そのときは、３、９の玉をＢへ移し、６の玉をＡへ移すので、Ａには１、５、６、７の玉、Ｂには２、３、４、８、９、10の玉が入っていることになります。

（１）
はじめに全部の玉がＡに入っていて、サイコロを３回振って「４」、「１」、「５」の目が出ました。Ａに入っている玉の番号を小さい順にすべて答えなさい。

（２）
全部の玉がＡに入った状態からサイコロを何回振っても、ある番号とある番号の玉は必ず同じ箱に入っています。その番号の組をすべて答えなさい。例えば、１と２の組を答える場合は、（１、２）のように書きなさい。

（３）
はじめに全部の玉がＡに入っていて、サイコロを４回振って玉を移しかえました。その結果、Ａに６個、Ｂに４個の玉が入っていました。出た目は４回ともすべて異なり、Ａには１と10の玉が入っていることがわかりました。Ａに入っている玉の番号を小さい順にすべて答えなさい。ただし、１と10は解答欄にすでに書いてあるので、それ以外の番号を答えなさい。

＠解説＠
以下、サイコロの出目１～６を【　】で示す。
（１）

１回目は４、８がＢに移動。
２回目の【１】で左右が入れ替わる。

３回目は５、10がＢからくる。
Ａに入っている玉は４、５、８、10。

（２）
１～10を÷１～６をして割り切れる数でふるい分けたい。
割り切れる数といえば…約数。
各々の約数のうち、６以下をピックアップする。
１→【１】
２→【１・２】
３→【１・３】
４→【１・２・４】
５→【１・５】
６→【１・２・３・６】
７→【１】
８→【１・２・４】
９→【１・３】
10→【１・２・５】
共通する出目のみを持つもの同士は運命共同体。
（１、７）（３、９）（４、８）

（３）
～条件～
●４回の出目はすべて異なる。
●４回目後、Ａには１と10の玉を含む６個、Ｂには４個の玉があった。

１を動かすには、サイコロで【１】を出すしかない。
１がＡに残っているということは、【１】は出さない。
10がＡに残っている→10はＡＢ間を０往復（まったく動かない）か１往復か２往復した。
◆10が２往復する
10が４回すべて動くことになるが、10は【１・２・５】しか動かないから無理。
◆10が０往復する
10がずっとＡに居つづけるには【３・４・６】を出すしかない。
サイコロを４回振ったら、10は必ず動く。×

ということは、10は１往復する。
→【１】は出せないので、出目の２回は【２・５】が確定する。

ＡとＢが５個ずつになる。ここからＡだけに注目する。
最終的にＡは６個になるので、残りの出目２回でＡの数を＋１したい。

Ａの数の変化を調べると、【３】…－１個、【４】…＋２個、【６】…＋１個。
【３】と【４】を出せばＡは＋１されて数が６個になる。
【３】を出してＡから３、９が去り、６が追加。
【４】を出してＡに４、８が追加。
答えは１と10以外なので、４、６、７、８。
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