難関中算数科」カテゴリーアーカイブ

2021年度 渋谷教育学園渋谷中学過去問【算数】大問4解説

 図1のような空の水槽に、高さ36cmの仕切りが立ててあります。仕切りの左側に給水管A、右側に給水管Bがあり一定の割合で水を注ぎます。仕切りの左側の底には、排水管Cがあり一定の割合で水を出します。仕切りの左右で入っている水の高さを測ります。

 水槽は最初、空の状態で全ての管が閉じてあります。まずAとBを開き給水します。給水を始めてから20分までは、仕切りの右側の水の高さの方が高くなりました。給水してから初めて仕切りの左右に入っている水の高さの差が0cmになったとき、Aだけを閉じCを開きました。50分後に全ての管を閉めました。図2は、給水してからの時間と仕切りの左右に入っている水の高さの差の関係をグラフに表したものです。

 次の問いに答えなさい。また、答えを求めるのに必要な式、考え方なども順序よくかきなさい。
(1)
Cは1分間あたり何L排水しますか。


 50分後に全ての管を閉めたのと同時に、水の高さの差が0cmになるように仕切りを左に動かしました。仕切りを動かしたとき、仕切りの左から右への水の移動はありませんでした。また、仕切りを動かす時間は考えないものとし、仕切りを動かしたあともAとCは仕切りの左側で給水または排水します。仕切りを動かした後すぐに、全ての管を開きました。
 仕切りを動かしてからのグラフの続きをかいたところ、図3のようになりました。

(2)
50分後に仕切りを左側に何cm動かしましたか。

(3)
図3の(ア)、(イ)、(ウ)にあてはまる数を求めなさい。


@解説@
(1)
はじめはB側の水面が高い。
18分後にB側からA側に水が流れ込み
20分後にA側とB側の水面の高さが仕切りの高さ36cmになって差が0cmとなる。

18分後の様子を作図する。A側の高さは36-6=30cm
B側の体積を18分で割れば、1分あたりのBの給水量が分かる。
Bの給水…20×40×36÷18=1600cm3=1.6L
念のため、Aの給水を求めておく。30×40×30÷18=2000cm3=2L
(AとBの体積比で考えても良い。
A:Bの底面積の比が3:2、高さの比が5:6だから、1.6L×3/2×5/6=2L)

Cが開くのは20~50分。
Aは閉じており、両者の差が広がるということはCの排水がBの給水を上回る

1分あたり、20cm÷30分=2/3cmずつ差が広がっている。
体積では、30×40×2/3=800cm3=0.8Lずつ減少する。
Bの給水が1.6Lだから、Cの排水は1.6+0.8=2.4L

(2)

50分後の様子を図示。20cm差だから、A側の高さは16cm。
仕切りを移動させるとA側とB側の水面が等しくなった。
→仕切りがない場合と同じ→2つの長方形の面積を均す
(30×16+20×36)
÷50=24cm

B側に注目。
高さの比は、移動前:移動後=36:24=3:2
面積は変わらないので横の長さは逆比。移動前:移動後=②:③
移動前の横の長さ20cmを②すると、
移動後の横の長さは③、仕切りを移動させた長さは①。
仕切りの移動距離は、20×①/②=
10cm

(3)

仕切りを移動して水面の高さを24cmにした後、
Cの排水によりA側が下がり、B側が上がる。
(イ)はB側の水がA側に流れ込み、A側の水面が再び上昇するとき
(ウ)で水面の高さが仕切りの高さ36cmに達して左右が等しくなる。

Bの給水は1分あたり1600cm3。B側の水面が36cmとなるのは、
30×40×12÷1600=9分後
(イ)=50+9=59分後

Aの給水は1分あたり2000cm3、Cの排水は2400cm3だから、400cm3ずつ減少する。
A側は9分後に、400×9÷(20×40)=4.5cm下がる。
B側は+12cmで高さが36cmだから、このときの両者の差は(ア)=12+4.5=16.5cm

A側の16.5cm分を埋める。
Bの給水が加わることで、400cm3の減少に1600cm3を加算して1200cm3ずつ増加する。
20×40×16.5÷1200=11分後
(ウ)=59+11=70分後
ア…16.5、イ…59、ウ…70
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2021年度 渋谷教育学園渋谷中学過去問【算数】大問3解説

下の図は立方体の展開図です。
この展開図を組み立ててできる立方体について、次の問いに答えなさい。

(1)
立方体の見取り図に向きを考えて数字をかき入れなさい。

(2)
同じ立方体になるように向きも考えて展開図に数字をかき入れなさい。

(3)
下の図のように、この立方体を正方形のマス目がかかれた紙の上に、2が上の状態で置きます。置いてある位置は、数字とアルファベットで表すと6—Fとなります。
下の図の状態から立方体の上の数字が、2、3、5、7、11、13の順になるように、正方形のマス目に合わせてすべらないように倒していきます。13が上の状態になったとき、置いてある位置を、数字とアルファベットで答えなさい。また、13が上の状態になったときの立方体を下の図と同じ方向から見た見取り図に向きも考えて数字をかき入れなさい。



@解説@
(1)

接する辺に注目して面を移動させる。
側面の2・3・5・11はループできる。2を11の右に移動。
7は右に90度回転させて11の下に移動。

(2)

先ほどの図を手がかりにする。
11と7は向かい合う。11の右側は2で同じ向き。

7の右は5。5は7のほうを向く。
3は5の左。5と同じ方向を向く。

(3)
側面の記入。

2・3・5は西に移動する。
5の次の7は南側の側面をまわる。

北に移動して、7を上に持ち上げる。
7と11は向き合うので、東側の側面に11がある。
西に移動すると、東側の側面に13があらわれる。
さらに西に移動して5―Bで止まる。

解答の書き込みも油断しないように!
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2021年度 豊島岡女子学園中学3回目過去問【算数】大問6解説

下の図のように、1辺の長さが12cmの立方体ABCD-EFGHの頂点B、D、E、Gを結んでできる三角すいを立体(あ)とします。立体(あ)の辺DE、BE、BG、DGの真ん中の点をそれぞれK、L、M、Nとし、辺EGを4等分する点をEに近い方からP、Q、Rとします。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
立体(あ)を4つの点K、L、M、Nを通る平面で切り分けたとき、
点Qを含む立体を(い)とします。立体(い)の体積は何cm3ですか。

(2)
(1)の立体(い)を3つの点K、L、Pを通る平面と、
3つの点M、N、Rを通る平面で切り分けたとき、
点Qを含む立体を(う)とします。立体(う)の体積は何cm3ですか。

(3)
(2)の立体(う)の3つの辺KP、LP、MPの真ん中の点をこの順にX、Y、Zとします。
3つの点X、Y、Zを通る平面で立体(う)を切り分けたとき、
点Qを含む立体の体積は何cm3ですか。


@解説@
(1)

中の立体は、立方体からA・C・F・Hを頂点とする4つの三角錐を切り落とした図形。
12×12×12-12×12÷2×12÷3×4
=12×12×12-12×12×8
=12×12×(12-8)=576cm3

立方体から同じように切り落とすので、切り落とした4つの三角錐はすべて合同
これらの底面の三角形(△BEG・△BDE・△BDG・△DEG)は、
立方体の面(正方形)の対角線を1辺とする正三角形で合同⇒中の立体は正四面体である。

これをKLMNで切り分けたときの側面に注目。
側面の正三角形をに分けると、上も下も面はが2つ、が2つ、四角形KLMNで同じ形。
つまり、上と下も同じ立体であり、求めたい立体(あ)は正四面体の半分である。
576÷2=288cm3

*4辺の中点で切断すると、正四面体は合同に2等分される

(2)

正四面体D-BEGから、三角錐K-LEPの体積を隣辺比で算出。
576×1/2×1/2×1/4=36cm3
三角錐N-MGRについても同様で36cm3
立体(い)の体積は、288-36×2=216cm3

(3)

これも側面の正三角形から図形の特徴をつかむ。
△BMLと△BGEは相似で、EG=④とすると相似比でLM=②
PR=④÷2=②
△DNKと△DGEも同様に相似でKN=②となり、LM=PR=KN
同位角も等しいから平行、LM//PR//KN

さらに、正三角形BGEは左右対称でLMとPRの長さが同じということは、
LMを真下にスライドするとPRとなり、LPとMRは底辺EGに垂直に交わる
(BからEGに垂線をひき、左右で相似を使ってもよい)
四角形LPRMは長方形で、同様に、四角形KLMNと四角形KPRNも長方形である。
ここから側面の3つが長方形だから、立体(い)は三角柱である
XYZが通過する断面は長方形KLMNに平行である。

三角柱(い):三角柱(う)=△KLP:△XYP
=【4】:【1】
立体(う)の体積は、216×1/4=54cm3
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2021年度 豊島岡女子学園中学3回目過去問【算数】大問4解説

下の図のように、ある規則にしたがって整数がマスの中に1つずつ書かれています。

第1行の数を1つ選びAとします。
Aの1つ右のマスに書かれた数をBとし、Aの1つ下のマスに書かれた数をCとし、
Cの1つ右のマスに書かれた数をDとして、4つの数A、B、C、Dの和をXとします。
例えば、A=9のときはX=9+10+8+11=38であり、
A=10のときはX=10+25+11+24=70です。
このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
A=122のとき、Xはいくつですか。

(2)
X=2710のとき、Aはいくつですか。


@解説@
(1)

1行目にある特徴的な数といえば、奇数の平方根
1行目の奇数番目は奇数×奇数、次の偶数番目は+1。

X=122+123+168+169=582

(2)
左上のAが奇数の平方数であるか否かの2択。

Aが奇数の平方数である場合、A~Dは連続する4つの整数
最も小さいCをとすると、
X=+(+1)+(+2)+(+3)
×4+6=2710
×4=2704
=676

A=+1=677だが、25×25=625なので奇数の平方数ではない!
ということは、Aは676に近い奇数の平方数である625に+1をした626である。

@検算@
A=626、B=27×27=729、C=627、D=728
X=626+729+627+728=2710
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2021年度 豊島岡女子学園中学2回目過去問【算数】大問5解説

下の<図1>のように、同じ大きさの正方形のタイルが9枚並んでいます。
これらのタイルに色をぬる方法が何通りあるかを考えます。

例えば、4枚のタイルに色をぬる場合、

<図2>と<図3>は違う向きから見ると同じぬり方になるので、1通りと数えます。
また、<図2>と<図4>は違う向きから見ても同じぬり方にはならないので、
それぞれ異なるぬり方と考えます。このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
2枚のタイルに色をぬる方法は何通りありますか。

(2)
3枚のタイルに色をぬる方法は何通りありますか。


@解説@
(1)
9マスから塗る2マスを選ぶ→92=36通り

ここから回転したときに重複するパターンを除外する。

回転すると4パターンできる。÷4すれば重複を回避できる


注意点は、回転させても2パターンしかないものがあること
そこで、以上の4通りについては別枠としてカウントする。
(36-4)÷4=8通り

別枠は回転の重複を除くと2通りだから、8+2=10通り

(2)
仕組みがわかれば前問と一緒。

9マスから3マスを選ぶ→93=84通り
回転させても4パターンにならないものは別枠で処理。
(84-4)÷4+2=22通り
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2021年度 豊島岡女子学園中学2回目過去問【算数】大問3解説

(1)
下の<図1>の正方形ABCDと正方形DEFGは合同です。
三角形BDFが正三角形となるとき、角EBCは何度ですか。

(2)
下の<図2>の正八角形ABCDEFGHと正八角形HIJKLMNOは合同です。
三角形DHLが正三角形となるとき、角JDEは何度ですか。


@解説@
(1)

正三角形と正方形が融合した図形なので、
どこかで2つの図形の情報を組み合わせられないかという発想に持っていく

△BDEと△BFEに注目。
BD=BF(正三角形の1辺
ED=EF(正方形の1辺
BEは共通辺。
3辺が等しいから、△BDEと△BFEは合同

対応する角度は等しいので、∠DBE=∠FBE=60÷2=30°
BDは正方形の対角線。△BCDは直角二等辺三角形→∠DBC=45°
∠EBC=∠DBC-∠DBE=45-30=15°

(2)

(1)と同様に、正三角形と正八角形の情報を使う図形を考える
JHとJLに補助線をひき、先ほどと同じような形にする。
△DHJと△DLJにおいて、DH=DL(正三角形の1辺)、DJの共通辺。
ここで、△IJHと△KJLに注目する。
これらは正八角形の1辺を等辺、あいだの角を正八角形の内角とする二等辺三角形で合同。
JH=JLゆえ、△DHJと△DLJは3辺が等しく、やはり合同
対応する角から、∠HDJ=60÷2=30°
正八角形の4辺を延長すると、正八角形は正方形にスポっとおさまる
四隅は直角二等辺三角形で、正八角形の内角は180-45=135°
DHに着目すると、DとHは正八角形の中心をはさんで対極な位置関係にある
対称性から、DHは正八角形を合同に2等分する。
∠HDE=135÷2=67.5°
∠JDE=∠HDE-∠HDJ=67.5-30=37.5°

@別解@
なきいるかさんから、素晴らしい解法を頂きました(*´д`艸)

正八角形のなかに四角形HBDFと四角形HJLNを結ぶと・・

なんと(1)同じ構図ができあがるw(゚Д゚)w

∠JDF=15°は求めている。
∠FDEは二等辺三角形DEFの底角だから、
∠JDE=∠JDF+∠FDE
=15+(180-135)÷2=37.5°

2018年の算数オリンピック決勝で似たような構図の問題が出題されたようです。
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2021年度 豊島岡女子学園中学1日目過去問【算数】大問5解説

次のように整数が並んでいます。

4、6、9、12、15、20・・・

この数の並びの中の隣り合う2つの数について、
左の数に、その数を割り切る最も大きい素数を加えたものが右の数
となっています。
例えば、隣り合う2つの数4と6について、左の数4に、4を割り切る最も大きい素数2を加えたものが右の数6です。また、隣り合う2つの数6と9について、左の数6に、6を割り切る最も大きい素数3を加えたものが右の数9です。
このとき、次の各問いの〔  〕に当てはまる数をそれぞれ答えなさい。

(1)
15番目の数は〔   〕です。

(2)
この数の並びの中の数のうち、最も小さい47の倍数は〔   〕です。

(3)
この数の並びの中の数のうち、3500に最も近い数は〔   〕です。


@解説@
(1)
ルールの理解。
4を割り切る数⇒4の約数は〔1・2・4〕。このうち最大の素数は2だから、2+4=6
6の約数は〔1・2・3・6〕。このうち最大の素数は3だから、6+3=9
9の約数は〔1・3・9〕。最大素数は3だから、9+3=12

このようにやっていくと、
【4、6、9、12、15、20、25、30、35、42、49、56、63、70、77】
15番目は77。

(2)
先ほどの数列を観察すると、
4~までが+2、6~15までが+3、15~35までが+5、35~77までが+7。
77の次は+11で88である。

項の差が変わる数に注目すると…
6=2×3
15=3×5
35=5×7
77=7×11
素数と次の素数の積で表される数である。

47の1個前の素数は43。
最初に現れる47の倍数(最も小さい47の倍数)は、43×47=2021
*年号問題ゆえ、計算結果を暗記していた生徒は多かったはず。

(3)
3500に近くなる素数の積を考える。
43×47=2021だから、43×47より大きい組み合わせである。
60×60=3600なので、試しに59×61を計算してみる。

59×61=3599
オーバーなので、59ずつ減らしていく。
(3599の次が+61、手前は-59)
3599-59=3540
3540-59=3481
3500に最も近い数は
3481。
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2021年度 豊島岡女子学園中学1回目過去問【算数】大問3解説

ある店では、同じ品物を360個仕入れ、5割の利益を見込んで定価をつけ、売り始めました。1日目が終わって一部が売れ残ったため、2日目は定価の2割引きで売ったところ、全て売り切れました。このとき、1日目と2日目を合わせて、4割の利益が出ました。次の各問いに答えなさい。

(1)
1日目に売れた品物は何個ですか。

(2)
3日目に同じ品物をさらに140個仕入れ、2日目と同じ、定価の2割引きで売り始めました。3日目が終わって一部が売れ残ったため、4日目は定価の2割引きからさらに30円引きで売ったところ、全て売り切れました。このとき、3日目と4日目を合わせて、48600円の売り上げになりました。もし、同じ値段のつけ方で3日目と4日目に売れた個数が逆であったら、48000円の売り上げになります。このとき、この品物は1個当たりいくらで仕入れましたか。


@解説@
(1)
仕入れ値を⑩とすると定価は⑮。
この2割引きは、⑮×8/10=⑫

品物1個あたり、1日目の利益は⑤、2日目の利益は②である。

面積図。④で均す
平均④より上の1日目と下の2日目の面積が等しい
縦の長さは、1日目:2日目=1:2だから、横の長さは2:1。
1日目に売れた品物は、360×2/3=240個

(2)
3日目の方が売値が高く、売り上げは48600円だった。
売れた個数を逆にすると48000円に下がるので、4日目より3日目の方が多く売れている

差額の600円を面積で表すとどこだろう?
4日目の横の長さを3日目に移し、3日目の長方形を縦に分割する。
の部分は縦と横が等しく、面積が同じ。
48600の太枠と48000太枠の差は左上の長方形であり、この部分が600に相当する
 
600÷30=20
4日目に売れた個数は、(140-20)÷2=60個
右上の長方形は、60×30=1800
全体の長方形
は、48600+1800=50400

3日目は2日目と同じ⑫の値段で売ったので、縦の長さは⑫。
仕入れ値⑩は、50400÷140×⑩/⑫=300円
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2021年度 豊島岡女子学園中学1回目過去問【算数】大問2解説

(1)
4つの整数A、B、C、Dがあります。AとBとCの和は210、AとBとDの和は195、
AとCとDの和は223、BとCとDの和は206です。このとき、Aはいくつですか。

(2)
豊子さんと花子さんは、同時にA地点を出発し、
A地点とB地点の間をそれぞれ一定の速さで1往復します。
2人はB地点から140mの場所で出会い、豊子さんがA地点に戻ったとき、
花子さんはB地点を折り返しており、A地点まで480mの場所にいました。
このとき、(豊子さんの速さ):(花子さんの速さ)を求めなさい。

(3)
下の図のように、円周を12等分した点をとり、
点Aと点B、点Cと点Dをそれぞれまっすぐ結びました。
直線ABの長さが6cmであるとき、色のついている部分の面積は何cm2ですか。

(4)
下の図の三角ABCにおいて、AD=9cm、DB=6cm、AF=8cm、FC=2cmで、
(三角形BDEの面積):(三角形DEFの面積)=2:3です。
このとき、(三角形CEFの面積):(三角形ABCの面積)を求めなさい。


@解説@
(1)
 A+B+C=210
 A+B+D=195
 A+C+D=223
+)B+C+D=206
(A~Dの和)×3=834
(A~Dの和)=278
A=278-206=72

(2)

豊子がBを折り返して140mのところで花子と出会った。
このとき、豊子と花子の差は、140×2=280m
一方、豊子がAに着いたとき、花子との差は480m。

速さが一定の場合、時間が経つほど差も一定に広がるから、距離の差の比=時間の比
280:480=⑦:⑫
2人が出会った時間が⑦、豊子がAに着いた時間が⑫。

豊子の片道にかかる時間は、⑫÷2=⑥
⑥で折り返し、140m移動したら⑦の時間になった。
ということは、豊子がBに着いた⑥より140m手前にいる時間は⑤。
同じ距離にかかる時間の比が豊子:花子=⑤:⑦
速さの比は逆比で7:5。

(3)

円の中心OからAOとBOをひく。
弧ABは円が12等分されたうちの3つ分なので、∠AOB=360×3/12=90°
半径よりAO=BOだから、△ABOは直角二等辺三角形
これと同じ直角二等辺三角形をくっつけると正方形になる。
正方形の面積は、6×6÷2=18cm2
これはAO×BO、つまり、半径×半径の値が18である。

求積すべき図形は、直角二等辺三角形(正方形の半分)と弧3つ分の扇形だから、
18÷2+18×3.14×3/12
=23.13cm2

(4)

奇妙な面積比を使うしかない(;`ω´)
BD:DA=6:9=②:③
△BDE:△DEF=
・・・これは偶然か?

AEに補助線。
△BDE:△DEA=BD:DA=
△DEA=△DEF=
底辺DEが共通で面積が等しい⇒等積変形でDEとAFが平行


平行線から、BE:EC=BD:DA=2:3
隣辺比で面積比を算出。
△CEF…《3》×【1】=3
△ABC…《5》×【5】=25
△CEF:△ABC=
3:25
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2021年度 青山学院中等部過去問【算数】解説

(4)
ゆうじ君はお菓子屋さんに行きました。
このお店ではプリンをケーキよりも3割安く売っています。
1000円でプリンを5個買おうとすると、1000円でケーキを3個買ったときのお釣りの半分だけ
お金が足りなくなります。ケーキの値段は〔  〕円です。

(5)
ある鉄道は、上り電車と下り電車どちらも時速45kmで一定の間隔で運行しています。
太郎君はこの鉄道の線路に沿った道を、自転車で時速15kmの速さで走ると、
12分ごとに上り電車とすれ違いました。
このとき、太郎君は〔  〕分ごとに下り電車に追い抜かれます。

(6)
A君とB君とC君の3人の所持金の比は最初9:8:5でした。
3人がそれぞれ買い物をしたところ、A君とC君の残った所持金の差は3000円、
B君とC君の残った所持金の差は1800円になりました。
3人が使った金額の比が7:8:5だったので、A君の最初の所持金は〔  〕円です。

(7)
下の表は、16人の生徒が30点満点のテストを受けた結果を表したもので、
中央値が23.5点、平均値が24点でした。
このとき、表のアの人数は〔  〕人、エの人数は〔  〕人です。

(8)
あるクラスでテストをしたところ、クラス全体の平均点は58.5点で、
最高点と最低点の差は56点でした。
さらに最高点をとった1人を除いて平均点を計算すると57.4点、
最低点をとった1人を除いて平均点を計算すると59点になりました。
このとき、クラスの人数は〔  〕人で、最高点は〔  〕です。

(9
A地からB地とC地を経由してD地まで行くのに、下の表のような行き方があります。
かかる時間の合計は1時間以内、運賃の合計は1000円以内となるような行き方は
〔  〕通りあります。ただし、待ち時間は考えないことにします。

(10)
図は2つの合同な正方形が重なったものです。
アの図形とイの図形の面積の比が4:3のとき、
アの図形の周の長さとイの図形の周の長さの比は〔 〕:〔 〕です。

(11)
正五角形の形をした折り紙があります。
図のように、点Bと点Cが重なるように折り目ADをつけて戻した後、
点Cが折り目AD上にくるように折りました。
(あ)の角度は〔  〕度です。

(12)
図はたて4cm、横2cmの2つの合同な長方形と
半径が4cm、中心角が60°の4つの合同なおうぎ形を組み合わせたものです。
色のついた部分の面積は〔  〕cm2です。

(13)
ある公園の噴水は、水のふき出しが図のように、2つの円に沿ってそれぞれ10個並んでいます。
噴水は決まった時刻になると、①のふき出しから水が出ます。
その後は1秒ごとに②→③→…→⑨→⑩の順で水がふき出し、
⑩までくると、今度は⑨→⑧→…→②→①の順で水がふき出します。
この動きを10分間くり返します。

①噴水が始まってから2分後に水が出るのは〔  〕番のふき出し口です。

②ある日、外側の円の噴水の⑩のふき出し口が故障してしまいました。
そこで、内側の円の噴水はこれまで通りの動きで、外側の円の噴水は
①→②→…⑧→⑨→⑧→…→②→①の順で水がふき出すようにしました。
噴水が始まってから10分間で、内側と外側のどちらも①のふき出し口から
同時に水が出るのは〔  〕回です。ただし、噴水が始まったときを1回目とします。

(14)
直方体の形をした中央に仕切りがある水そうがあります。
この仕切りは左右に動かすことができ、
水そうの左側と右側には20cmの高さまで水が入っています。

①図1のように、水そうの左側に底面積が300cm2の直方体の形をしたおもりを
底まで入れたところ、水面の高さは〔  〕cmになりました。

②図2のように、水そうの仕切りを右側に動かし、水そうの左側に入っていたおもりを
まっすぐ10cm持ち上げると水そうの左側と右側の水面の高さが同じになりました。
このとき、仕切りは右側に〔  〕cm動かしていて、水面の高さは〔  〕cmです。


@解説@
(4)
ケーキの値段を⑩、プリンの値段を⑦とする。
『1000円でケーキを3個買ったときのおつりの半分』
→(
1000-⑩×3)÷2=500-⑮円

1000円でプリン5個買うと、500-⑮円足りなくなるから、
⑦×5=1000+(500-⑮)
㊿=1500
ケーキの値段⑩は、1500×⑩/
㊿=300円

(5)

太郎が電車とすれ違い、次の電車とすれ違うまで12分かかる。
このとき、両者は速さの和である時速60kmで近づく。

太郎が電車に抜かれるとき、『電車は一定間隔で運行している』ので、
太郎と次の電車の距離は先ほどと同じ
→距離が同じなので、時間の比は速さの逆比。

両者は速さの差の時速30kmで近づく。
速さの比は、60:30=2:1
時間は逆比で1:2。12分×2=
24分

(6)
BとCの最初の所持金は8:5で、使った金額の比も8:5である。
最初の所持金の比を〇、使った金額の比を△とする。
B-C

①-△1=600

つづいて、A-C

(*①-△1=600を2倍して、②-△2=1200
Aの最初の所持金⑨は、1800×⑨/②=8100円

(7)
学習指導要綱の改訂により、小6にデータの活用が組み込まれたことで、
中学受験界で扱うべきテーマがまた増えました・・(´゚д゚`)ギブ

中央値とは、値を大きい順(もしくは小さい順)に並べたときの真ん中の値。
16人の中央値は8番目と9番目の値の平均値である。
中央値が23.5点ということは8番目が23点、9番目が24点。
1~8番目が23点以下なので、ア=8-(1+2+1)=4

平均点から16人の合計は、24×16=384点
イウエの合計点は、384-(20×1+21×2+22×1+23×4+26×5)
=384-306=78点

9番目以降の8人が24点以上のグループなので、イウエの人数の合計は8-5=3人
78を3人で均すと26点だから、3人で和が78点となる組み合わせは、
27点が2人で24点が1人。(26を基準とすると、27は1個上、24は2個下)
ア=4人、エ=2人

@別解@
平均点の24点を基準点とする。
負の数を使ってしまうが(;^ω^)、平均未満のグループにおいて、
23は24の1個下(-1)、22は2個下(-2)、21は3個下(-3)、20は4個下(-4)。
-1×4+(-2)×1+(-3)×2+(-4)+1=-16点
(わかりやすいように負の数を用いたが、平均より〇個下と考えて対処すればいい)

平均より上のグループで+16点にしなければならない
26点の5人は、+2×5=+10
残り3人で+6点を稼ぐ。
0×1+(+3)×2、つまり、24点が1人、27点が2人。

@代表値@
公立高校入試ではいたるところで出てきます。

範囲(レンジ)…最大値-最小値。
平均値…説明省略。
最頻値(モード)…最もあらわれている値。本問でいえば5人いる26点。
中央値(メジアン)…真ん中の順位の値。値の数が奇数か偶数かで処理が異なる。
11人の中央値は、(11+1)÷2=6番目の値
12人の中央値は、6番目と7番目の平均値となる。


(8)
本校では頻出問題。

全体を□人とする。
最高点と最低点の1人を右に寄せ、残りの□-1人を左に面積図を描く。
最高点者の1人を抜くと、最高点者の58.5より上の青い部分は左の青い部分と同じで、
□-1人の平均が57.4点に下がる。
同様に、最低点者の58.5点より下の赤い部分が右の赤い部分に相当する。

青と赤の長方形の面積の和は、最高点と最低点の差である56点。
左の青と赤の長方形に注目。
縦は59-57.4=1.6点
□-1=56÷1.6=35人
□=36人

最高点はクラス平均に青の長方形の面積を足せばいい。
58.5+35×(58.5-57.4)=97点
クラス人数…36人、最高点…97点

(9)
調査系なので後回し推奨。
◆Aでモノレールを選択→残り500円、45分
Bで高速船に乗ると残り0円と35分だから、Cは無料自転車。
Bで普通船に乗ると残り250円と25分だから、Cはバス。

◆Aで電車を選択→残り650円、40分
Bで高速船に乗ると残り150円と30分だから、Cはバスと無料自転車。
Bで普通線に乗ると残り400円と20分だから、Cは路面電車とバス。

◆Aでバスを選択→残り750円、30分
Bで高速船に乗ると残り250円と20分だから、Cはバス。
Bで普通船に乗ると残り500円と10分だから、Cはタクシーと路面電車。
以上、
9通り。

(10)

重なった部分に補助線をひく。
直角と共通辺、正方形の1辺が等しいことから、2つの三角形は合同
(二等辺三角形を2つに割ったときの半分ずつは線対称で合同)

面積比の合計は【7】。
知りたいのは周りの長さなので、正方形の1辺の長さを整数にすべく、
正方形の面積比は、【7】×7=【49】(平方数)で計算する。

【49】=⑦×⑦→正方形の1辺の長さは⑦。
重なり部分の三角形の面積比は【21】/2で、長い辺の長さは⑦。
短い辺の長さは、【21】/2×2÷⑦=③

合同部分の長さは等しいので、アの周りの長さは正方形の周の長さである。
ア=⑦×4=
イ=⑩×2=⑳
ア:イ=:⑳=7:5

(11)
正五角形の内角の1つは108°。

反対側も同じように折り返してみる
△CEFの3辺はいずれも正五角形の1辺で長さが等しく、正三角形となる。
△BCEは二等辺三角形→∠BCE=(180-48)÷2=66°
(あ)=360-(66+60+108)=126°


(12)
中学受験ではお馴染みである(‘ω’)

赤い斜線の部分は、長方形と扇形を合わせた図形から扇形を引いた部分
すなわち、長方形の面積に相当する。

下は扇形の先と正方形で同様のことをすると、斜線部分は正方形になる。
左に全て寄せると長方形となり、2×6=
12cm2

(13)①
周期算。区切りの良いところを1グループとおく。
留意点は『噴水は決まった時刻になると①のふき出し口から水が出る』ので、
噴水が始まってから1秒後は、①ではなく②のふき出し口から水が出る

【②→③→…→⑨→⑩→⑨→…→②→①】の18個を1グループとする。
120秒÷18=6…12
余り12は⑦。


内側は先ほどと同じ、1グループ18個。
外側は【②→③→…→⑧→⑨→⑧→…→②→①】で1グループ16個
18と16の最小公倍数は144。
つまり、144秒ごとに内側と外側の①が同時に吹き出す。
600秒÷144=4…24
留意点は『噴水が始まったときを1回目とする』ので、
1秒後の②の前の①もカウントする
したがって、5回。

(14)①

最初は中央に仕切りがあるので、左右の水の体積は同じ。
右の底面積は、30×30=900cm2
左の底面積は、900-300=600cm2
底面積の比は、右:左=900:600=3:2

体積が等しいので、高さの比は底面積の比の逆比で2:3。
20×3/2=30cm


水面が左右同じ→仕切りを取っ払っても良い

おもりが押しのけている水の体積と、それにより上昇した部分の水の体積は同じ(斜線部分)。
底面積の比は、300:1500=1:5
高さの比は逆比だから、?=10cm×1/5=2cm
よって、水面の高さは22cm。

仕切りの右側部分だけを考える。
最初は20cmだった、仕切りを右に移動すると22cmになった。
高さの比は、20:22=10:11
底面積の比は逆比で11:10。

奥行きは30cmで共通だから、面積比は横の長さの比に依存する。
移動前の横の長さ30cmを⑪とおくと、移動後の横の長さは⑩、
仕切りを移動させた長さは①となる。
仕切りを動かした長さは、30×①/⑪=
30/11cm
仕切りの移動距離…30/11cm、水面の高さ…22cm
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