図のような、点Ｏが中心の大小２つの半円があります。点Ｐは点Ａを出発して大きい半円の円周上を毎秒３ｃｍの速さで点Ｂまで進み、Ｂで２秒間停止した後、再び同じ円周上を同じ速さでＡまで進み、Ａで２秒間停止します。Ｐはこの動きをくり返します。また、点Ｑは点Ｃを出発して小さい半円の円周上を点Ｄまで進み、Ｄからは直径ＤＣ上を進んでＣまで戻る動きをくり返します。Ｑは停止することなく毎秒２ｃｍの速さで動きます。Ｐ、Ｑが同時にＡ、Ｃを出発したとき、次の各問に答えなさい。ただし、この問題では円周率は22/７とします。

（１）
点Ｑが点Ｃに初めて戻ってくるのは出発して何秒後ですか。

（２）
角ＰＯＱの大きさが初めて45°になるのは出発して何秒後ですか。

（３）
点Ｑが直径ＣＤ上になく、３点O、P、Qが一直線上に並ぶことがあります。
初めてそうなるのは出発して何秒後ですか。また、３回目にそうなるのは出発して何秒後ですか。

（１）
小さい半円の周りの長さは、14×22/７÷２＋14＝22＋14＝36ｃｍ
Ｑは毎秒２ｃｍだから、36÷２＝18秒後

（２）

小さい円と大きい円の半径の比は１：３。
ということは、半円の長さも１：３。

Ｐを小さい円に移した点をＰ’とする。
Ｐ’の到着時間はＰと変わらず、距離が１/３倍になるから、Ｐ’の速さは１/３倍で毎秒１ｃｍ。
同一円周上を動くＰ’とＱの長さが円周の１/４のとき、∠ＰＯＱ＝45°になる。
１秒間で両者の差は１ｃｍ開くので、22÷４÷１＝5.5秒後

（３）
ＰとＱは別々のコースを動くが、先ほどのように同一円周上を動く２点と仮定すれば、
ＰとＱが重なったときに３点Ｏ、Ｐ、Ｑが一直線上になる。

ダイヤグラムを作成。
Ｐは片道22秒で、向こう側に着くと２秒間停止する。
Ｑは片道11秒で、７秒間は直径ＣＤ上で停止する。
交点●が一直線になるところ。

あとはお馴染みの処理。
速さの比がＰ：Ｑ＝①：②だから、時間は逆比で②：①。
１回目は、③＝29－24＝５秒なので、24＋５×②/③＝82/３秒後
３回目は、①＝54－48＝６秒なので、54＋６＝60秒後
１回目…82/３秒後、３回目…60秒後
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Ａ、Ｂ２つの皿と、３ｇ、４ｇ、５ｇ、６ｇ、７ｇ、８ｇ、９ｇの７つの分銅があり、
９ｇの分銅はＡにのせてあります。残りの６個の分銅もＡ、Ｂどちらかの皿にのせます。
ただし、Ｂには少なくとも１個の分銅をのせるものとし、皿の重さは考えません。

＜例＞のようなのせ方をしたとき、Ａだけに着目して〔３４９〕と表すことにします。
そのとき、数字は小さい順に書きます。次の各問に答えなさい。
（１）
Ａ、Ｂの重さが等しくなるようなのせ方をすべて書きなさい。
ただし、〔３４９〕のように、Ａだけに着目した表し方をしなさい。

（２）
ＢがＡより重くなるのせ方は全部で何通りありますか。

（３）
ＡがＢより重くなるのせ方は全部で何通りありますか。

＠解説＠
（１）
３ｇ～９ｇの和は42ｇ。
42÷２＝21ｇずつＡとＢに配分すればいい。
Ａに21－９＝12ｇを追加でのせる。
12＝４＋８＝５＋７
８を３＋５に分解して、３＋４＋５にできる。
７を３＋４に分解できるが、３＋４＋５で前と同じ。
〔４８９〕〔５７９〕〔３４５９〕

（２）
Ａに12ｇ追加で釣り合うから、Ａの追加分が11ｇ以下になればＢが重くなる。
Ａに追加するおもりの個数で場合分け。
●Ａに追加なし
分銅すべてをＢに乗せる。１通り
●Ａに１個追加
３ｇ～８ｇすべてＯＫ。６通り
●Ａに２個追加
３ｇと４～８ｇ→５通り
４ｇと５～７ｇ→３通り
５ｇと６ｇ→１通り
●Ａに３個追加
３＋４＋５＝12ｇなので無し。
よって、16通り。

（３）
３～８ｇの６個をＡかＢに乗せる。
２×２×２×２×２×２＝64通り
注意点は『Ｂには少なくとも１個の分銅をのせる』ので、
全体のパターンは分銅すべてをＢにのせる場合をのぞいた63通り。
（１）がＡ＝Ｂ、（２）がＡ＜Ｂだから、余事象でＡ＞Ｂが求まる。
63－（３＋16）＝44通り
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図１のような円すいがあります。

この円すいの側面を直線ＸＡに沿って切りひらくと、円の４分の１であるおうぎ形になります。また、円すいの底面の円には、すべての頂点が円周上にあるような正方形ＡＢＣＤが書いてあります。正方形ＡＢＣＤの１辺の長さは10ｃｍです。

（１）
ＸＡの長さは底面の円の半径の長さの何倍ですか。

この円すいの表面上を動く点Ｐと点Ｑを考えます。
点Ｐは図２のように、Ａを出発して円すいの側面を最短距離で左回りに１周してＡに戻ってきます。一方、点Ｑは、図３のように、Ａを出発して正方形ＡＢＣＤの辺上を左回りに１周してＡに戻ってきます。点Ｐと点Ｑは同時にＡを出発して、それぞれ一定の速さで動きます。点Ｐは速さは点Ｑの速さの４倍です。このとき、円すいを真上から見ると、点Ｐは図４の実線部分に沿って動いていました。

（２）
点ＰがＡを出発してから、再びＡに戻るまでに移動した距離を答えなさい。
また、点ＰがＡに戻ったときの点Ｑの位置を、次の①～⑧の中から選び、記号で答えなさい。
①Ａ　②ＡとＢの間　③Ｂ　④ＢとＣの間
④Ｃ　⑤ＣとＤの間　⑥Ｄ　⑦ＤとＡの間

（３）

図５は、あるときに円すいを真上からみた図で、３点Ｃ、Ｐ、Ｘは一直線上にありました。
このとき、実際のＸＰの長さ（円すいの頂点から点Ｐまでの長さ）と、
図５のＸＰの長さ（真上から見たときのＸＰの長さ）を答えなさい。

（４）
 
図６は、あるときに円すいを真上から見た図で、３点Ｂ、Ｐ、Ｘは一直線上にありました。

（ア）Ａを出発してからこのときまでにかかった時間は、
点Ｐが１周する時間の１/４倍の時間と比べて、長いですか、短いですか、同じですか。
次の①～③の中から選び、記号で答えなさい。
①長い　②短い　③同じ

（イ）図６の（あ）の角度を答えなさい。

（ウ）図６のＸＰの長さは、図６のＸＱの長さと比べて、長いですか、短いですか、同じですか。
次の①～③の中から選び、記号で答えなさい。また、その理由も書きなさい。
①長い　②短い　③同じ

（５）

図７は、あるときに円すいを真上から見た図で、点Ｐは辺ＡＢ上にありました。
図７の（い）の角度を答えなさい。

＠解説＠
（１）

中心角の比と、母線：半径の比は逆比。
ＸＡ（母線）は底面の円の半径の４倍。

（２）

最短距離なので、Ｐが動いた長さはＡＡ’になる。

↑Ａが３つでてくるので、Ａ’’にしました。
長さは底面に描かれた正方形の１辺10ｃｍしかわかっていない。
対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＯとする。
△ＸＡＡ’と△ＯＡ’’Ｂがともに直角二等辺三角形で相似。
ＡＡ’：ＡＢ＝④：①
Ｐが動いたＡＡ’＝10×④＝40ｃｍ

Ｐが１周して40ｃｍ移動。
距離の比は速さの比と同じだから、Ｑの移動距離は10ｃｍ。よって、Ｂの位置。
点Ｐが移動した距離…40ｃｍ、点Ｑの位置…③

（３）

Ｃは弧ＡＡ’の真ん中。
ＸＣとＡＡ’との交点ＰはＡＡ’の中点である。
直角二等辺ＸＡＡ’を真っ二つにした、△ＸＡＰと△ＸＡ’Ｐも同様に直角二等辺。
ＸＰ＝40÷２＝20ｃｍ

図５は上から見た図だが、正面から見た図だと三角形の相似が使える。
上から見たときのＸＰは？の長さにあたる。
相似比４：１を利用して、？＝20×１/４＝５ｃｍ
実際のＸＰの長さ…20ｃｍ　図５のＸＰの長さ…５ｃｍ

（４）ア
このあたりから難易度が上がってくる。。

ＸＢとＡＡ’の交点がＰ。
ＡＡ’の中点をＲとすると、なんとなくＡＰ＞ＰＲに思える。。

ＡＣをひき、ＸＢとの交点をＳとする。
ＸＢを対称の軸として、線対称からＡＳ＝ＣＳ

Ｓを通るＲＣに平行な線をひき、ＡＲとの交点をＴとする。
△ＡＴＳと△ＡＲＣの相似を利用すると、ＡＲの中点はＴである。
ＰはＴの右側にあるので、ＰがＡＡ’を１周する時間の１/４倍より長いことになる。①

＠別解＠

もう１つのやり方としては、高校数学に出てくる角の二等分線の証明が使える。
Ｒを通るＡＸに平行な直線と、ＸＰの延長との交点をＳとする。
錯角で∠ＸＳＲ＝●

２つの底角が等しいから、△ＡＲＳは二等辺三角形。
ＡＲ＝①とすると、ＳＲ＝①
直角二等辺三角形ＸＲＡの斜辺ＸＡは①よりも長い。

△ＡＸＰと△ＲＳＰは２角が等しく相似。
対応する辺の比から、ＸＡ：ＳＲ＝ＡＰ：ＲＰ
ＸＡ＞ＳＲだから、ＡＰ＞ＲＰが言える。

イ

（あ）の角度は円錐を上から見た図だが、Ｑの情報が少ない・・。
そこで、ＰとＱに何かしらの関係があるのではないか？とにらむ。

ＰとＱの位置を図示する。(´ω`).。0（形が似ている）

（１）より、母線ＸＡ：半径ＸＡ＝④：①
進んだ長さから、ＡＰ：ＡＱ＝【４】：【１】
これらと45°を合わせると、２辺の比とあいだの角が等しいので△ＸＡＰと△ＸＡＱが相似！

∠ＡＸＰは90°の４分の１だから22.5°である。
対応する角で∠ＡＸＱ（あ）＝∠ＡＸＰ＝22.5°

ウ
まぐれ当たり防止のためか、解答に説明が要求される(´ﾟдﾟ｀)

先ほどの相似から、実際のＸＰとＸＱの長さは〔４〕：〔１〕。
側面の展開図を上からみたとき、長さがどれほど縮まるかを検証する。
展開図のＸＡの長さ④は上から見た図ではＸＢ①にあたる。
ＸＢの長さは半径よりＸＡと同じ。
ということは、側面の展開図を１/４倍縮小すると上から見た図の長さになる！
上から見た図のＸＰは、〔４〕×１/４＝〔１〕だから、ＸＰとＸＱの長さは同じ。

（５）
これはヤバめ:(っ`ω´c):
算数オリンピックはよく知らないけど、そういうのに出てきそうな感じがする。

（３）はＱがなかったので試しに調べると、半周だからＡとＢの中点である。ＸＱ＝５ｃｍ
結果を観察してみると、どれもＸＰ＝ＸＱ、∠ＰＸＡ：∠ＱＸＡ＝４：１。

急に消えたＱを再現する。
ひょっとするとＸＰ＝ＸＱは常に成り立つのでは？
おまけに、∠ＰＸＡ：∠ＱＸＡ＝４：１も成り立ちそう。

∠ＰＸＡ＝④とすると、∠ＱＸＡ＝①

直角二等辺三角形ＸＡＢとＸＰ＝ＸＱの対称性より、∠ＰＸＢ＝∠ＱＸＡ＝①
（い）＝90×④/⑤＝72°

＠余談＠

長さについては（４）ウで示したとおり、相似比が４：１の三角形から、
大きい三角形を上から押し込むと１/４倍に圧縮されて等しくなる。
問題は角度がどうして∠ＰＸＡ：∠ＱＸＡ＝４：１になるのか・・。

（４）アではＢ・Ｐ・Ｘが一直線上にあるとき、ＰはＡＡ’の１/４より長い距離を移動していた。
角速度は一定ではないが、相似より対応する角の大きさは常に等しいので、
∠ＰＸＡと∠ＱＸＡの動きはシンクロしている。
線分の端っこを移動しているときは角の開きは遅いが、Ｘの真下に近づくと角の開きは速くなる。
Ｑの速さを４分の１にしてゴールをＢまでにしたのは、２つの角の動きを同じにするためだと思う。

真上からみると、Ｐの軌道は円ではないくせに∠ＰＸＡ：∠ＱＸＡ＝４：１となるのは何故か。
ＰをＰ’、ＱをＱ’に移動させ、同一円周上を動く２点で捉えてみると、
Ｐ’は１周で変な動きをする。Ｑ’は１/４周で変な動きをする。
２つの変な動きは互いにシンクロしているので、ある時間での角の大きさは４：１になるのだと思う…。

本問の背景に潜むメカニズムを発見した方は是非、
下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願いますm(_ _)m
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半径６ｃｍ、高さ35ｃｍの円柱の容器に、底面から15ｃｍの高さまで水が入っています。
この中に半径２ｃｍ、高さ25ｃｍの円柱の鉄の棒を１本ずつまっすぐに立てて入れていきます。

（１）
鉄の棒を１本入れたとき、水面は何ｃｍ上昇しますか。

（２）
入れた鉄の棒のすべてが、初めて完全に水の中に入るのは、鉄の棒を何本入れたときですか。
また、そのときの水面の高さを求めなさい。

＠解説＠
（１）
容器の底面積を６×６＝㊱とする。
鉄の棒の底面積は２×２＝④
鉄の棒１本を入れると、底面積は㊱－④＝㉜
底面積の比は、入れる前：入れた後＝㊱：㉜＝９：８
高さは逆比で、入れる前：入れた後＝【８】：【９】
入れる前の高さ15ｃｍが【８】で、水面が上昇した分が差の【１】だから、
15×【１】/【８】＝15/８ｃｍ

（２）
鉄の棒が完全に沈む→水面の高さは25ｃｍ以上。
高さが25ｃｍのときの底面積を調べる。
高さの比→15：25＝３：５
底面積の比は【５】：【３】。
最初の容器の底面積㊱を【５】としたとき、底面積が【３】になると高さが25ｃｍになる。
減少分の【２】＝㊱×２/５＝〇14.4
鉄の棒１本で④減るから、４本入れると水面の高さが25ｃｍを超える。

あとは、鉄の棒４本の体積を容器の底面積で割り、その高さを最初の15ｃｍに足せばいい。
２×２×3.14×25×４÷（６×６×3.14）＋15
＝100/９＋15＝235/９ｃｍ
４本、235/９ｃｍ
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図１のようなすごろくと、１、２、３、４のいずれかの目が出るルーレットがあります。

スタートにあるコマを、以下のルールで、ゴールにぴったり止まるまで動かします。

●ルーレットを回して出た目の数だけ右に動かします。
●ゴールにぴったり止まれない場合は、ゴールで折り返して、
　余った分だけ左に動かします。
●折り返した後も、次にルーレットを回したとき、まずは右に動かします。
●一度止まった①～④のマスは「スタートに戻る」マスになり、
　次以降にそのマスに止まった場合は、コマをスタートに戻します。

例えばルーレットの目が１、３、４の順に出たとき、コマは、①マス、④マスの順に止まった後、
ゴールで折り返して②マスに止まります（図２）。

続いて、ルーレットの目が１、１の順に出ると、コマは、③マス、④マスの順に止まり、
④マスはすでに「スタートに戻る」マスになっているので、スタートに戻ります（図３）。
これ以降、ルーレットでどの目が出てもスタートに戻ることになり、ゴールできません。

（１）
ルーレットで３と４の目が出ることなくゴールしました。
（ア）スタートに戻ることなくゴールしたとき、考えられる目の出方は何通りありますか。

（イ）ゴールするまでに出た目の和として考えられるものを、小さい方から３つ答えなさい。

（２）
ルーレットで１と２の目が出ることなくゴールしました。
（ア）スタートに戻ることなくゴールしたとき、
ゴールするまでに出た目の和として考えられるものをすべて答えなさい。

（イ）ゴールするまでに出た目の和が2022のとき、何回ルーレットを回しましたか。

（３）
スタートに戻ることなくゴールしました。
このとき、ゴールするまでに出た目の和として考えられるものをすべて答えなさい。

（４）
ゴールしたとき①～④のすべてのマスが「スタートに戻る」マスになっていて、
ゴールするまでに出た目の和は12でした。
このとき、考えられる目の出方は何通りありますか。

＠解説＠
（１）ア
１か２しか進まず、スタートに戻らない。
⇒出た目の和が５になればいい。
（１、１、１、１、１）→１通り
（１、１、１、２）→４通り
（１、２、２）→３通り
合計で８通り。

イ
和が最も少ない場合は前問の５。
折り返すことなく、ストレートにゴールすればいい。

和を５より大きくするにはゴールで折り返す。
④マスで１を出すとそのままゴール、２を出すと折り返してスタートに戻る。
和を増やすには、④で止まってスタートに戻るマスにして、折り返して④でスタートに戻る。
再スタートから③に止まり、２を出せばゴール。
折り返しの④までが６。再スタートで＋５して11。
【例】Ｓ（スタート）→②→④→④→Ｓ→①→③→Ｇ（ゴール）

次に和が大きくなるルートは、スタートに戻ったあとにまたスタートに戻る。
２周目にマス①でスタートに戻れたら和を小さくできるが…

１周目に①に止まる。どうにかして④まで行き、２を出して④、スタートへ戻る。
２周目は①に止まってスタートへ。
３周目は③で２を出して④を飛び越えないとゴールできない。
すなわち、１周目ではゴール用にマス③を残しておく！（③に止まらない）
そうなると、１～２周目は①→②→④→④→Ｓ→①→Ｓの流れになるが
①と②が潰されているので、３周目で③に行けない！
２周目に①でスタートに戻るプランは潰された。

１周目で②に止まり、２周目で②でスタートに戻るとできる。
和は６＋２＋５＝13
答えは小さい順に５、11、13。

（２）ア
３か４しか出せない。和が５にならないのでストレートにゴールできない。

フィニッシュの仕方から考える。②で３を出せばゴールに行ける。

②に着くには④で４を出すしかない。
和は11。

①から４でフィニッシュしようとしても、５を出さないと①にたどり着けない。
②からフィニッシュするしかない。

④にたどりつく別のルートを探す。
１周目で③に迂回して④を目指す。
和は13。

他にないか探してみる。
最後が〔④→②→Ｇ〕。３か４のみで④にたどり着く方法がもう無い。
よって、11と13。
まだ３問目だがキツイ(´д｀)

イ

スタートに戻らなければ、この２通りしかなかった。
最後は〔④→②→Ｇ〕が確定だから、ゴール用に②と④は残しておかなければならない。

３か４しか進めない状況でどうにかするにはココしかない！
つまり、スタートから３進んで③、③がスタートに戻るマスになる。
４を出して③に戻り、スタートに戻る。スタートから３進んで③でスタートに戻る…
以下、ひたすら３を出し続けて、スタートと③を往復する。
最後に〔④→②→Ｇ〕でフィニッシュ！

出た目でまとめると、【３→４】【３→３→…（ループ）…→３】【４→４→３】
2022から最初と最後の５回分の出目を引く。
2022－（３＋４＋４＋４＋３）＝2004
ループの３の回数は、2004÷３＝668回
ルーレットの回数は、668＋５＝673回

（３）
（１）（２）アより、５と11と13は手堅くゲット。
他にないだろうか？

ゴールからの折り返し分で増えていくので、どこまで折り返すかで場合分けしてみる。
④は７、③は９、②は11。①までは折り返せないので×。
②と④の折り返しが13であった。

残りの候補としては〔②と③と④〕と〔②と③〕と〔③と④〕。
〔②と③〕は無い！
②から折り返して③は５マス、③から折り返して②も５マスだから不可能。
〔②と③と④〕も無い！
折り返し後の着地点を③→④→②や②→④→③と④をクッションに挟もうとしても無理。

〔③と④〕はどうか？

できるけど和が既出の11…( ˙ω˙ )
よって、答えは５、７、９、11、13です( ˙ω˙ )

（４）
この大問だけで試験時間終わりそうなのだが(*’ω’*)💢
具体的にどのマスに止まったかは後回しにして、先に和が12になるルートを把握する。

（３）より、スタートに戻ることがないとすると、
５・７・９・11・13と連続する５つの奇数になっている。
和が12ということは、どこかのマスを２回踏んでスタートに戻るしかない。

２周目がストレートゴールだとすると、１周目は12－５＝７移動する。
スタートから７マス移動してゴールから折り返すと③。
１周目で③で止まってスタートに戻るマスにして、折り返して③でスタートに戻る。
方針１；【③③】の固まりを作る。最終的に全部のマスへ止まるようにする。
●Ｓ【③③】Ｓ①②④Ｇ
●Ｓ①【③③】Ｓ②④Ｇ
●Ｓ②【③③】Ｓ①④Ｇ
●Ｓ①②【③③】Ｓ④Ｇ

方針２；１周目の③→③のあいだで④を挟むことができる。
２周目は①か②から直接ゴールへ飛ぶ。【③④③】の固まりを作る。
●Ｓ【③④③】Ｓ①②Ｇ
●Ｓ①【③④③】Ｓ②Ｇ
●Ｓ②【③④③】Ｓ①Ｇ
＊Ｓ①②【③④③】ＳＧはできない。
２周目でＳからＧに直接ジャンプができないため。

先ほどは③でスタートに戻るだった。②で戻るはどうか？

和が13になるのでダメです！×

④で戻るはどうか？
１周目で和が６。残りは６。
ＳからＧまで５だから、どこかで１つ暇を潰さなくてはならない。
プランとしては…１周目で①に止まり、スタートに戻るマスにする。
④に止まり、ゴールを折り返して④に止まり、スタートへ。
２周目は①に止まってスタートへ。
３周目は②か③を踏み台にしてゴールへ向かう。

方針３；１～２周目で〔①④④①〕の固まりを作る。
●Ｓ①④④Ｓ①Ｓ②③Ｇ

方針４；〔①④④①〕の並びを維持して、１周目で②か③を踏む。
●Ｓ①②④④Ｓ①Ｓ③Ｇ
●Ｓ①③④④Ｓ①Ｓ②Ｇ
＊１周目でＳ①②③④④Ｓと全部踏むと３周目でゴールできない。

もう無いと祈る。
10通り。
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（１）
長さ27ｃｍの直線ＡＢ上を、長さ９ｃｍの２直線Ｐ、Ｑが移動することを考えます。

（ア）
図１のように、直線Ｐは左端が点Ａに、直線Ｑは右端が点Ｂにつくようにおかれています。

　直線Ｐはある時刻に毎秒１ｃｍで点Ｂに向けて移動を開始し、右端が点Ｂについたら止まります。直線Ｑは、直線Ｐと同時に毎秒２ｃｍで点Ａに向けて移動を開始します。直線Ｑは左端が点Ａについたらすぐに、点Ｂに向けて移動を開始し、右端が点Ｂについたら止まります。
　このとき、２直線Ｐ、Ｑが移動を開始してからの時間（秒）と、Ｐ、Ｑが重なっている部分の長さ（ｃｍ）の関係を表すグラフを、解答欄にかき入れなさい。ただし、グラフの横軸の１目盛りは１秒、縦軸の１目盛りは１ｃｍとします。

（イ）
図２のように２直線Ｐ、Ｑがともに左端が点Ａにつくようにおかれています。

　直線Ｐはある時刻に毎秒１ｃｍで点Ｂに向けて移動を開始し、右端が点Ｂについたら止まります。直線Ｑは、直線Ｐと同時に毎秒２ｃｍで点Ｂに向けて移動を開始します。直線Ｑは右端が点Ｂについたらすぐに、点Ａに向けて移動を開始し、左端が点Ａについたら止まります。
　このとき、２直線Ｐ、Ｑが移動を開始してからの時間（秒）と、Ｐ、Ｑが重なっている部分の長さ（ｃｍ）の関係を表すグラフを、解答欄にかき入れなさい。ただし、グラフの横軸の１目盛りは１秒、縦軸の１目盛りは１ｃｍとします。

（２）
図３のような、１辺の長さが27ｃｍの正方形ＡＢＣＤの中を、１辺の長さが９ｃｍである２つの正方形Ｒ、Ｓが一定の速さで移動することを考えます。

　はじめ、正方形Ｒは左下の頂点が点Ａにあり、点Ａを含むＲの２辺と正方形ＡＢＣＤの２辺が重なるようにおかれています。ある時刻に、正方形Ｒは点Ｃに向けて移動を開始します。Ｒの対角線の交点が直線ＡＣ上にあり、Ｒの辺が正方形ＡＢＣＤの辺と平行になるように移動をし、Ｒの右上の頂点が点Ｃにつくまで、18秒間で移動をします。
　また、正方形Ｓは右下の頂点が点Ｂにあり、点Ｂを含むＳの２辺と正方形ＡＢＣＤの２辺が重なるようにおかれています。Ｒと同時に、正方形Ｓは点Ｄに向けて移動を開始します。Ｓの対角線の交点が直線ＢＤ上にあり、Ｓの辺が正方形ＡＢＣＤの辺と平行になるように移動をし、Ｓの左上の頂点がＤについたらすぐに点Ｂに向けて移動を開始し、Ｓの右下の頂点が点Ｂにつくまで、18秒間で移動をします。

（ウ）
移動を開始してから５秒後について、２つの正方形Ｒ、Ｓが重なる部分の面積は何ｃｍ²ですか。

（エ）
２つの正方形Ｒ、Ｓが重なる部分が正方形になるのは、移動を開始してから〔　〕秒後です。
（１）のグラフを利用して、〔　　〕にあてはまる数として考えられるものをすべて答えなさい。

＠解説＠
（１）ア

ＰとＱが重なり始めるのは、９÷（１＋２）＝３秒後

後ろの点が出会うまでＰとＱは重なる。18÷（１＋２）＝６秒後
中点同士が重なる３秒後にＰとＱは完全に一致して重なりは９ｃｍ。
その３秒後にＱの左端がＡに着いて、Ｐとの重なりはちょうど０ｃｍとなる。

ここから追っかける展開になる。重なりは徐々に増えていく。
９÷（２－１）＝９秒後にＰとＱの右端が同時にＢへ到着する。
まとめるとこうなる。

イ

９秒後にＱがＰを完全に追い越したとき、Ｑの右端がＢに着く。
15秒後にＰとＱの重なりが０ｃｍになる。

（２）ウ

２つの正方形が斜めに移動する。
Ｒの右上の頂点●がＣに到着するまでが18秒。
Ｓの左上の頂点●がＤに着き、再び同じ地点に到着するまでが18秒。
何か見え覚えのある動き。。

９ｃｍずつで区切って見ると、前問の様子と酷似している。
横の辺（緑）だけを見ると９ｃｍずつで、あいだも９ｃｍ。
毎秒１ｃｍのＲはＣまでだが、毎秒２ｃｍのＳはＤに着いて戻ってくる。
（１）アと一緒！

今度は縦の辺（紫）だけを見る。
最初ＲとＳが同じ位置にあり、毎秒１ｃｍのＲは行きだけだが、
毎秒２ｃｍのＳは行って戻ってくる。（１）イと一緒！！
つまり、（２）は（１）のＰとＱの動きを２次元化したもの。
２つのグラフを重ねて５秒後をみると、４ｃｍと６ｃｍ。
重なる部分の面積は、４×６＝24ｃｍ²

＠余談＠

本当か？と疑い深いサボは調べてみました。
４×６＝24ｃｍ²であってました。

エ
仕組みさえわかってしまえば、すぐ解ける。

正方形は縦と横の長さが等しい⇒重なった部分の縦と横の長さが等しい。
０ｃｍでない交点を求めればいい。
上下の合同な三角形に注目して、
３と６の中点→4.5秒後
12と15の中点→13.5秒後
4.5秒後と13.5秒後。
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正四角柱（底面が正方形である角柱）の形をしたふたのない容器３つを図１のように組み合わせた水そうがあります。この水そうを上から見ると図２のようになり、（ア）の部分の真上から一定の割合で水を注ぎました。グラフは、水を注ぎ始めてからの時間（分）と（ア）の水面の高さ（ｃｍ）の関係を表しています。
グラフのＤが表す時間の後は、水そうの底から毎分0.8Ｌの割合で排水しました。ただし、図２で同じ印のついているところは同じ長さを表し、３つの容器の厚みは考えません。

（１）
水は毎分何Ｌの割合で注がれていたか求めなさい。

（２）
グラフのＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄにあてはまる数を入れなさい。

＠解説＠
（１）

↑最初の３分間で埋まるところ。
20×20÷２×36÷３
＝2400ｃｍ³＝2.4Ｌ

（２）

上から見た図。
Ａは真ん中の小さい正方形を除いた部分の高さ36ｃｍ。
左下の直角二等辺が最初の３分。

これがもう５個分あるので、全体は３×６＝18分（Ａ）

Ａから33分までは、真ん中の小さな正方形を除く部分が比例で上がっていく。
グラフの●を通過する直線をひくと原点を通過する。
36×33/18＝66ｃｍ（Ｂ）

奇妙な図ですけど(;^ω^)再び上からみた図です。
Ｃは高さ66ｃｍがすべて埋まった時間。
底面積を上のように８等分したうち、赤い正方形を除いた⑥が33分だから、
33×⑧/⑥＝44分（Ｃ）

与えられたグラフでは、うまく線が引けなかったので書き直しました。
44分以降はすべての底面積が埋まっていく。
仮に排水をしなかったら、44×87/66＝58分後に満水になった。

ここまでくれば見えてくるはず。
速さの比は、排水なし：排水あり＝2.4：1.6＝３：２
時間の比は逆比だから、排水なし＝②とすると、排水あり＝③
差の３分が①なので、58－３×②＝52分（Ｄ）
Ａ…18、Ｂ…66、Ｃ…44、Ｄ…52
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下の図のような１辺が10ｃｍの正方形ＡＢＣＤと、
辺ＣＤを両側に５ｃｍずつ延長した直線ＥＦがあります。

この図形上を２点Ｐ、Ｑが同時に出発して、一定の速さで移動します。点Ｐは、点Ａを出発して、正方形ＡＢＣＤの辺上をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｂ→・・・の順に繰り返し移動します。また、点Ｑは点Ｅを出発して、直線ＥＦをＥ→Ｆ→Ｅ→Ｆ→・・・と往復します。

（１）
点Ｐが毎秒２ｃｍ、点Ｑが毎秒５ｃｍで移動するとき、点Ｐと点Ｑが初めて重なるのは、２点が出発してから〔　ア　〕秒後、２回目に重なるのは〔　イ　〕秒後です。
ア、イにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

（２）
点Ｐが毎秒２ｃｍ、点Ｑは点Ｐよりも速い速さで移動する場合について考えます。点Ｑが毎秒〔　ウ　〕ｃｍよりも速く、毎秒〔　エ　〕ｃｍよりも遅い速さで移動するときに限り、点Ｐが１回目に点Ｃ、Ｄを含む辺ＣＤ上を移動するときに、点Ｑと重なることはありません。
ウ、エにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

（３）
点Ｐが毎秒２ｃｍ、点Ｑは毎秒２ｃｍよりも速く、毎秒４ｃｍよりも遅い速さで移動する場合について考えます。点Ｐが１回目に辺ＣＤ上を移動する間に点Ｑと重なることがあり、点Ｐが２回目に点Ｄに重なるとき、点Ｑも同時に点Ｄに重なります。このとき、点Ｑの移動する速さは毎秒〔　オ　〕ｃｍです。
オにあてはまる数として考えられるものをすべて答えなさい。

＠解説＠
（１）
ＰがＣに着くのは、20÷２＝10秒後

ダイヤグラムを作成。
縦軸はＥＦ20ｃｍで、ＣとＤの位置に横線をひく。
Ｑは20÷５＝４秒ごとにＥＦ間を行ったり来たりする。
Ｐは10～15秒後にＣＤ間のみあらわれる。

三角形の相似を利用。
上の三角形：下の三角形＝②：⑤
13～15秒の２秒間を⑦としたときの②の時間は、２×②/⑦＝４/７秒
交点の時間は、13＋４/７＝95/７秒後

２回目にＰがＣに到着するのは、10×６÷２＝30秒後
同様にダイヤグラムを作成して、31－２×①/⑦＝215/７秒後
ア…95/７、イ…215/７

（２）

Ｐの速さは毎秒２ｃｍは固定。Ｐは10～15秒後にＣＤ上にあらわれる。
Ｐの直線に触れないように、Ｑの傾き（速さ）の範囲を求める。

ＰがＣに着く10秒後にＱを到着させる。
ＱはＰよりも速いので、Ｑは一度Ｆに向かって反射する。
【10秒で35ｃｍ移動する→毎秒3.5ｃｍ】
Ｑが毎秒3.5ｃｍよりも遅くなると、Ｑのジグザクは右に移動してＰと重なってしまう。

一応、15秒後をチェック。
15秒後は52.5ｃｍ移動なので、Ｅから52.5－40＝12.5ｃｍの場所。
→Ｄに到着したＰと重なることはない！〇

念のため、Ｑの速度を増やして２回反射ではどうか？
【10秒で45ｃｍ移動→毎秒4.5ｃｍ】
15秒後は、さらに4.5×５＝22.5ｃｍ移動するので重なる。×
これ以上、反射の回数を増やしてＱを速くさせると、
ＰがＣＤに滞在する５秒間に必ずＱと重なってしまうので×。
Ｑの速さは毎秒3.5ｃｍより大きい。

今度はＱがＤに到着した場合を想定する。
【15秒で55ｃｍ移動→毎秒11/３ｃｍ】
これより遅くなるとＰと重なってしまう。
したがって、Ｑの速さは毎秒3.5ｃｍよりも速く、毎秒11/３ｃｍよりも遅い。
ウ…3.5、エ…11/３

（３）
Ｐは１回目のＣＤ上でＱと重なる。
→前問の解答から、Ｑの速さは毎秒3.5ｃｍ以下か、毎秒11/３ｃｍ以上であれば良い。

Ｐが２回目にＤに到着するのは35秒後。このとき、ＰとＱは重なる。
ジグザクの反射回数で調べるのは辛いので、QがＤに到着するまでの長さを調べる。
【15、25、55、65、95、105、135、145…】
Ｑの速さは毎秒２ｃｍよりも速く、毎秒４ｃｍよりも遅いから、
Ｑの移動距離は２×35＝70ｃｍよりも長く、４×35＝140ｃｍよりも短い。
該当する距離は【95ｃｍ、105ｃｍ、135ｃｍ】。
Ｑの速さは、、
95÷35＝毎秒19/７ｃｍ
105÷35＝毎秒３ｃｍ
135÷35＝毎秒27/７ｃｍ
これらはすべて、毎秒3.5ｃｍ以下か毎秒11/３ｃｍ以上の条件に適する。
答えは毎秒19/７ｃｍ、３ｃｍ、27/７ｃｍ。
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４けたの整数を一の位、十の位、百の位の順に四捨五入していく操作を行います。
例えば、2356にこの操作を行うと、2356→2360→2400→2000となります。

（１）
3485にこの操作を行うとき、最後の整数を求めなさい。

（２）
この操作を行うと最後に5000になる４けたの整数で、
最も大きいものと最も小さいものを求めなさい。

（３）
４けたの整数Ａにこの操作を行うとＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄとなり、
Ａより小さい４けたの整数Ｅにこの操作を行うとＥ→Ｆ→Ｇ→Ｈとなります。
Ａ＋Ｅ＝2128、Ｂ＋Ｆ＝2120、Ｃ＋Ｇ＝2200、Ｄ＋Ｈ＝2000であるとき、ＡとＥを求めなさい。

＠解説＠
（１）
3485→3490→3500→4000

（２）
１個ずつ手前に戻していく。
●最大数●
5000から増やしていく。
５で繰り上がりだから、４でおさえる。
〔5000→5400→5440→5444〕
●最小数●
5000から減らしていく。〔5000→4500〕
次は4550…ではない！
下の位からの切り上げを期待して〔4500→4450〕に減らせる。
〔5000→4500→4450→4445〕
最も大きいもの…5444、最も小さいもの…4445

（３）

スタートのＡとＥは４桁の整数。
四捨五入して999未満（３桁）にはならないから、Ａ～Ｈはすべて1000以上。
百の位が四捨五入されたＤとＨは下３桁が〔000〕なので、
Ｄ＝1000、Ｈ＝1000

ＣとＧは下２桁が〔00〕。
組み合わせは（Ｃ、Ｇ）＝（1000、1200）（1100、1100）（1200、1000）
仮にＣが1200だとすると、Ｂは最小で1150。
Ｂ＝2120－1150＝970で1000未満になってしまう！
（Ｃ、Ｇ）＝（1100、1100）が確定。

ＢとＦは下１桁が〔0〕。和が2200から2120に減る。（おそらく切り上げ）
1100にするには1050以上でなくてはならない。
（Ｂ、Ｆ）＝（1050、1070）（1060、1060）（1070、1050）しかない。
*Ｂ＝1080だと、Ｆ＝1040で不適。

最後のＡ・Ｅでは和が2120から2128に＋８だけ増加する。
切り上げが発生すると十の位に影響が出てしまい、Ｂ＋Ｆ＝2120にならない。
影響を回避するには４以下で切り捨てる。
８＝４＋４しかない！

Ｂ、Ｆが1600の同数だと、Ａ、Ｅも1064で同数になってしまう。
問題文よりＥはＡより小さいので、Ｂ＝1070、Ｆ＝1050

Ａ＝1074、Ｅ＝1054
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３本の針がある新しい時計をつくりました。図の●は、２つの点線の円周をそれぞれ等分していて、すべての針は時計回りにそれぞれ一定の速さで回転しつづけます。針を短い順にＡ、Ｂ、Ｃとするとき、針が一周するのにかかる時間は、Ａは８時間、Ｂは３時間、Ｃは１時間です。午前０時ちょうどに、すべての針は数字の０を指しています。次の問いに答えなさい。ただし、解答らんには、【例】のように24時間表記に直した時刻を答えるものとします。
【例】午前10時30分→「10時30分」、午後６時→「18時」

（１）

図１では、針Ｃが数字の０を指しています。
この時刻は何時ちょうどですか。

（２）

図２では、針Ａと針Ｂが重なっています。
この時刻は何時何分ですか。

（３）
 
図３では、針Ａと針Ｃでつくられる角を針Ｂが２等分しています。
この時刻は何時何分ですか。

＠解説＠
（１）
Ａは８時間、Ｂは３時間、Ｃは１時間で１周する。
24時間後、Ａ・Ｂ・Ｃは同時に０に戻ってくるので、答えはすべて24時間以内になる。

絞りやすいのはＡ。
Ａが左を最初に指すのは〔８の倍数＋６時〕だから、６時、14時、22時のいずれか。
Ｂが右下を指すのは〔３の倍数＋１時〕なので、22時にしかない。
22時

（２）

まずはＡで絞る。
Ａは〔８の倍数＋１時〕⇒１時、９時、17時のいずれか。
Ｂは〔３の倍数時〕⇒９時台が確定。

各々の１分あたりの角速度を求める。
Ａ；360÷８÷60＝３/４°
Ｂ；360÷３÷60＝２°
１分あたり、２－３/４＝５/４°ずつ近づいていく。
９時では45°離れているので、45÷５/４＝36分後
９時36分

（３）

ここもＡから絞る。
Ａは〔８の倍数＋３時〕→３時、11時、19時
Ｂは〔３の倍数＋１時〕→19時台が確定。

１分あたりの角速度は、
Ａ；３/４°
Ｂ；２°
Ｃ；360÷60＝６°

↑19時の様子。
ここで中受算数の戦法、シャドーを使う。
ＡとＣの真ん中にシャドーを設置。
シャドーの角速度はＡとＣの平均で、１分あたり（３/４＋６）÷２＝27/８°

このシャドーはＡとＣの真ん中を常に移動する。
シャドーとＢが重なるとき、ＢはＡとＣの真ん中にある。

19時のとき、ＡＣ間は135°だから、シャドーとＣは135÷２＝67.5°
ＢＣ間は120°なので、シャドーとＢは120－67.5＝52.5°離れている。
シャドーはＢに１分あたり、27/８－２＝11/８°ずつ近づく。
52.5÷11/８＝420/11分
答えは、19時420/11分（38・２/11分）。
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