難関中算数科」カテゴリーアーカイブ

2022年度 武蔵中学過去問【算数】大問4解説

図のような、点Oが中心の大小2つの半円があります。点Pは点Aを出発して大きい半円の円周上を毎秒3cmの速さで点Bまで進み、Bで2秒間停止した後、再び同じ円周上を同じ速さでAまで進み、Aで2秒間停止します。Pはこの動きをくり返します。また、点Qは点Cを出発して小さい半円の円周上を点Dまで進み、Dからは直径DC上を進んでCまで戻る動きをくり返します。Qは停止することなく毎秒2cmの速さで動きます。P、Qが同時にA、Cを出発したとき、次の各問に答えなさい。ただし、この問題では円周率は22/7とします。

(1)
点Qが点Cに初めて戻ってくるのは出発して何秒後ですか。

(2)
角POQの大きさが初めて45°になるのは出発して何秒後ですか。

(3)
点Qが直径CD上になく、3点O、P、Qが一直線上に並ぶことがあります。
初めてそうなるのは出発して何秒後ですか。また、3回目にそうなるのは出発して何秒後ですか。


(1)
小さい半円の周りの長さは、14×22/7÷2+14=22+14=36cm
Qは毎秒2cmだから、36÷2=18秒後

(2)

小さい円と大きい円の半径の比は1:3。
ということは、半円の長さも1:3。

Pを小さい円に移した点をP’とする
P’の到着時間はPと変わらず、距離が1/3倍になるから、P’の速さは1/3倍で毎秒1cm。
同一円周上を動くP’とQの長さが円周の1/4のとき、∠POQ=45°になる
1秒間で両者の差は1cm開くので、22÷4÷1=
5.5秒後

(3)
PとQは別々のコースを動くが、先ほどのように同一円周上を動く2点と仮定すれば、
PとQが重なったときに3点O、P、Qが一直線上になる

ダイヤグラムを作成。
Pは片道22秒で、向こう側に着くと2秒間停止する。
Qは片道11秒で、7秒間は直径CD上で停止する。
交点●が一直線になるところ。

あとはお馴染みの処理。
速さの比がP:Q=だから、時間は逆比で②:①
1回目は、③=29-24=5秒なので、24+5×②/③=82/3秒後
3回目は、①=54-48=6秒なので、54+6=60秒後
1回目…82/3秒後、3回目…60秒後
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2022年度 武蔵中学過去問【算数】大問3解説

A、B2つの皿と、3g、4g、5g、6g、7g、8g、9gの7つの分銅があり、
9gの分銅はAにのせてあります。残りの6個の分銅もA、Bどちらかの皿にのせます。
ただし、Bには少なくとも1個の分銅をのせるものとし、皿の重さは考えません。


<例>のようなのせ方をしたとき、Aだけに着目して〔349〕と表すことにします。
そのとき、数字は小さい順に書きます。次の各問に答えなさい。
(1)
A、Bの重さが等しくなるようなのせ方をすべて書きなさい。
ただし、〔349〕のように、Aだけに着目した表し方をしなさい。

(2)
BがAより重くなるのせ方は全部で何通りありますか。

(3)
AがBより重くなるのせ方は全部で何通りありますか。


@解説@
(1)
3g~9gの和は42g。
42÷2=21gずつAとBに配分すればいい
Aに21-9=12gを追加でのせる。
12=4+8=5+7
8を3+5に分解して、3+4+5にできる。
7を3+4に分解できるが、3+4+5で前と同じ。

〔489〕〔579〕〔3459〕

(2)
Aに12g追加で釣り合うから、Aの追加分が11g以下になればBが重くなる
Aに追加するおもりの個数で場合分け
●Aに追加なし
分銅すべてをBに乗せる。1通り
●Aに1個追加
3g~8gすべてOK。6通り
●Aに2個追加
3gと4~8g→5通り
4gと5~7g→3通り
5gと6g→1通り
●Aに3個追加
3+4+5=12gなので無し。
よって、16通り。

(3)
3~8gの6個をAかBに乗せる。
2×2×2×2×2×2=64通り
注意点は『Bには少なくとも1個の分銅をのせる』ので、
全体のパターンは分銅すべてをBにのせる場合をのぞいた63通り。
(1)がA=B、(2)がA<Bだから、余事象でA>Bが求まる。
63-(3+16)=44通り
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2022年度 栄光学園中学過去問【算数】大問4解説

図1のような円すいがあります。

この円すいの側面を直線XAに沿って切りひらくと、円の4分の1であるおうぎ形になります。また、円すいの底面の円には、すべての頂点が円周上にあるような正方形ABCDが書いてあります。正方形ABCDの1辺の長さは10cmです。

(1)
XAの長さは底面の円の半径の長さの何倍ですか。

この円すいの表面上を動く点Pと点Qを考えます。
点Pは図2のように、Aを出発して円すいの側面を最短距離で左回りに1周してAに戻ってきます。一方、点Qは、図3のように、Aを出発して正方形ABCDの辺上を左回りに1周してAに戻ってきます。点Pと点Qは同時にAを出発して、それぞれ一定の速さで動きます。点Pは速さは点Qの速さの4倍です。このとき、円すいを真上から見ると、点Pは図4の実線部分に沿って動いていました。

(2)
点PがAを出発してから、再びAに戻るまでに移動した距離を答えなさい。
また、点PがAに戻ったときの点Qの位置を、次の①~⑧の中から選び、記号で答えなさい。
①A ②AとBの間 ③B ④BとCの間
④C ⑤CとDの間 ⑥D ⑦DとAの間

(3)

図5は、あるときに円すいを真上からみた図で、3点C、P、Xは一直線上にありました。
このとき、実際のXPの長さ(円すいの頂点から点Pまでの長さ)と、
図5のXPの長さ(真上から見たときのXPの長さ)を答えなさい。

(4)
 
図6は、あるときに円すいを真上から見た図で、3点B、P、Xは一直線上にありました。

(ア)Aを出発してからこのときまでにかかった時間は、
点Pが1周する時間の1/4倍の時間と比べて、長いですか、短いですか、同じですか。
次の①~③の中から選び、記号で答えなさい。
①長い ②短い ③同じ

(イ)図6の(あ)の角度を答えなさい。

(ウ)図6のXPの長さは、図6のXQの長さと比べて、長いですか、短いですか、同じですか。
次の①~③の中から選び、記号で答えなさい。また、その理由も書きなさい。
①長い ②短い ③同じ

(5)

図7は、あるときに円すいを真上から見た図で、点Pは辺AB上にありました。
図7の(い)の角度を答えなさい。


@解説@
(1)

中心角の比と、母線:半径の比は逆比。
XA(母線)は底面の円の半径の4倍。

(2)

最短距離なので、Pが動いた長さはAA’になる。

↑Aが3つでてくるので、A’’にしました。
長さは底面に描かれた正方形の1辺10cmしかわかっていない。
対角線AC、BDの交点をOとする。
△XAA’と△OA’’Bがともに直角二等辺三角形で相似
AA’:AB=④:①
Pが動いたAA’=10×④=40cm

Pが1周して40cm移動。
距離の比は速さの比と同じだから、Qの移動距離は10cm。よって、Bの位置。
点Pが移動した距離…40cm、点Qの位置…③

(3)

Cは弧AA’の真ん中。
XCとAA’との交点PはAA’の中点である
直角二等辺XAA’を真っ二つにした、△XAPと△XA’Pも同様に直角二等辺。
XP=40÷2=20cm

図5は上から見た図だが、正面から見た図だと三角形の相似が使える。
上から見たときのXPは?の長さにあたる。
相似比4:1を利用して、?=20×1/4=5cm
実際のXPの長さ…20cm 図5のXPの長さ…5cm

(4)ア
このあたりから難易度が上がってくる。。

XBとAA’の交点がP。
AA’の中点をRとすると、なんとなくAP>PRに思える。。

ACをひき、XBとの交点をSとする。
XBを対称の軸として、線対称からAS=CS

Sを通るRCに平行な線をひき、ARとの交点をTとする。
△ATSと△ARCの相似を利用すると、ARの中点はTである。
PはTの右側にあるので、PがAA’を1周する時間の1/4倍より長いことになる。①

@別解@

もう1つのやり方としては、高校数学に出てくる角の二等分線の証明が使える。
Rを通るAXに平行な直線と、XPの延長との交点をSとする。
錯角で∠XSR=

2つの底角が等しいから、△ARSは二等辺三角形
AR=①とすると、SR=①
直角二等辺三角形XRAの斜辺XAは①よりも長い。

△AXPと△RSPは2角が等しく相似。
対応する辺の比から、XA:SR=AP:RP
XA>SRだから、AP>RPが言える。



(あ)の角度は円錐を上から見た図だが、Qの情報が少ない・・。
そこで、PとQに何かしらの関係があるのではないか?とにらむ。

PとQの位置を図示する。(´ω`).。0(形が似ている)

(1)より、母線XA:半径XA=④:①
進んだ長さから、AP:AQ=【4】:【1】
これらと45°を合わせると、2辺の比とあいだの角が等しいので△XAPと△XAQが相似

∠AXPは90°の4分の1だから22.5°である。
対応する角で∠AXQ(あ)=∠AXP=22.5°


まぐれ当たり防止のためか、解答に説明が要求される(´゚д゚`)

先ほどの相似から、実際のXPとXQの長さは〔4〕:〔1〕
側面の展開図を上からみたとき、長さがどれほど縮まるかを検証する。
展開図のXAの長さ④は上から見た図ではXB①にあたる。
XBの長さは半径よりXAと同じ。
ということは、側面の展開図を1/4倍縮小すると上から見た図の長さになる
上から見た図のXPは、〔4〕×1/4=〔1〕だから、XPとXQの長さは同じ。

(5)
これはヤバめ:(っ`ω´c):
算数オリンピックはよく知らないけど、そういうのに出てきそうな感じがする。

(3)はQがなかったので試しに調べると、半周だからAとBの中点である。XQ=5cm
結果を観察してみると、どれもXP=XQ、∠PXA:∠QXA=
4:1

急に消えたQを再現する
ひょっとするとXP=XQは常に成り立つのでは?
おまけに、∠PXA:∠QXA=4:1も成り立ちそう

∠PXA=④とすると、∠QXA=①

直角二等辺三角形XABとXP=XQの対称性より、∠PXB=∠QXA=①
(い)=90×④/⑤=
72°

@余談@

長さについては(4)ウで示したとおり、相似比が4:1の三角形から、
大きい三角形を上から押し込むと1/4倍に圧縮されて等しくなる。
問題は角度がどうして∠PXA:∠QXA=4:1になるのか・・。

(4)アではB・P・Xが一直線上にあるとき、PはAA’の1/4より長い距離を移動していた。
角速度は一定ではないが、相似より対応する角の大きさは常に等しいので、
∠PXAと∠QXAの動きはシンクロしている
線分の端っこを移動しているときは角の開きは
遅いが、Xの真下に近づくと角の開きは速くなる。
Qの速さを4分の1にしてゴールをBまでにしたのは、2つの角の動きを同じにするためだと思う。

真上からみると、Pの軌道は円ではないくせに∠PXA:∠QXA=4:1となるのは何故か。
PをP’、QをQ’に移動させ、同一円周上を動く2点で捉えてみると
P’は1周で変な動きをする。Q’は1/4周で変な動きをする
2つの変な動きは互いにシンクロしているので、ある時間での角の大きさは4:1になるのだと思う…。

本問の背景に潜むメカニズムを発見した方は是非、
下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願いますm(_ _)m
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2022年度 鷗友学園女子中学過去問【算数】大問6解説

半径6cm、高さ35cmの円柱の容器に、底面から15cmの高さまで水が入っています。
この中に半径2cm、高さ25cmの円柱の鉄の棒を1本ずつまっすぐに立てて入れていきます。

(1)
鉄の棒を1本入れたとき、水面は何cm上昇しますか。

(2)
入れた鉄の棒のすべてが、初めて完全に水の中に入るのは、鉄の棒を何本入れたときですか。
また、そのときの水面の高さを求めなさい。


@解説@
(1)
容器の底面積を6×6=㊱とする。
鉄の棒の底面積は2×2=④
鉄の棒1本を入れると、底面積は㊱-④=㉜
底面積の比は、入れる前:入れた後=㊱:㉜=9:8
高さは逆比で、入れる前:入れた後=【8】:【9】
入れる前の高さ15cmが【8】で、水面が上昇した分が差の【1】だから、
15×【1】/【8】=15/8cm

(2)
鉄の棒が完全に沈む→水面の高さは25cm以上。
高さが25cmのときの底面積を調べる。
高さの比→15:25=3:5
底面積の比は【5】:【3】。
最初の容器の底面積㊱を【5】としたとき、底面積が【3】になると高さが25cmになる。
減少分の【2】=㊱×2/5=〇14.4
鉄の棒1本で④減るから、4本入れると水面の高さが25cmを超える。

あとは、鉄の棒4本の体積を容器の底面積で割り、その高さを最初の15cmに足せばいい。
2×2×3.14×25×4÷(6×6×3.14)+15
=100/9+15=235/9cm
4本、235/9cm
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2022年度 栄光学園中学過去問【算数】大問2解説

図1のようなすごろくと、1、2、3、4のいずれかの目が出るルーレットがあります。

スタートにあるコマを、以下のルールで、ゴールにぴったり止まるまで動かします。

●ルーレットを回して出た目の数だけ右に動かします。
●ゴールにぴったり止まれない場合は、ゴールで折り返して、
 余った分だけ左に動かします。
●折り返した後も、次にルーレットを回したとき、まずは右に動かします。
●一度止まった①~④のマスは「スタートに戻る」マスになり、
 次以降にそのマスに止まった場合は、コマをスタートに戻します。

例えばルーレットの目が1、3、4の順に出たとき、コマは、①マス、④マスの順に止まった後、
ゴールで折り返して②マスに止まります(図2)。

続いて、ルーレットの目が1、1の順に出ると、コマは、③マス、④マスの順に止まり、
④マスはすでに「スタートに戻る」マスになっているので、スタートに戻ります(図3)。
これ以降、ルーレットでどの目が出てもスタートに戻ることになり、ゴールできません。

(1)
ルーレットで3と4の目が出ることなくゴールしました。
(ア)スタートに戻ることなくゴールしたとき、考えられる目の出方は何通りありますか。

(イ)ゴールするまでに出た目の和として考えられるものを、小さい方から3つ答えなさい。

(2)
ルーレットで1と2の目が出ることなくゴールしました。
(ア)スタートに戻ることなくゴールしたとき、
ゴールするまでに出た目の和として考えられるものをすべて答えなさい。

(イ)ゴールするまでに出た目の和が2022のとき、何回ルーレットを回しましたか。

(3)
スタートに戻ることなくゴールしました。
このとき、ゴールするまでに出た目の和として考えられるものをすべて答えなさい。

(4)
ゴールしたとき①~④のすべてのマスが「スタートに戻る」マスになっていて、
ゴールするまでに出た目の和は12でした。
このとき、考えられる目の出方は何通りありますか。


@解説@
(1)ア
1か2しか進まず、スタートに戻らない。
出た目の和が5になればいい
(1、1、1、1、1
)→1通り
(1、1、1、2)→4通り
(1、2、2)→3通り
合計で8通り。


和が最も少ない場合は前問の5。
折り返すことなく、ストレートにゴールすればいい。

和を5より大きくするにはゴールで折り返す。
④マスで1を出すとそのままゴール、2を出すと折り返してスタートに戻る。
和を増やすには、
④で止まってスタートに戻るマスにして、折り返して④でスタートに戻る
再スタートから③に止まり、2を出せばゴール。
折り返しの④までが6。再スタートで+5して11。
【例】S(スタート)→②→④→④→S→①→③→G(ゴール)

次に和が大きくなるルートは、スタートに戻ったあとにまたスタートに戻る。
2周目にマス①でスタートに戻れたら和を小さくできるが…

1周目に①に止まる。どうにかして④まで行き、2を出して④、スタートへ戻る。
2周目は①に止まってスタートへ。
3周目は③で2を出して④を飛び越えないとゴールできない
すなわち、1周目ではゴール用にマス③を残しておく!(③に止まらない)
そうなると、1~2周目は①→②→④→④→S→①→Sの流れになるが
①と②が潰されているので、3周目で③に行けない
2周目に①でスタートに戻るプランは潰された。

1周目で②に止まり、2周目で②でスタートに戻るとできる。
和は6+2+5=13
答えは小さい順に5、11、13。

(2)ア
3か4しか出せない。和が5にならないのでストレートにゴールできない。

フィニッシュの仕方から考える。②で3を出せばゴールに行ける。

②に着くには④で4を出すしかない
和は11。

①から4でフィニッシュしようとしても、5を出さないと①にたどり着けない。
②からフィニッシュするしかない

④にたどりつく別のルートを探す。
1周目で③に迂回して④を目指す。
和は13。

他にないか探してみる。
最後が〔④→②→G〕。3か4のみで④にたどり着く方法がもう無い
よって、11と13。
まだ3問目だがキツイ(´д`)



スタートに戻らなければ、この2通りしかなかった。
最後は〔④→②→G〕が確定だから、ゴール用に②と④は残しておかなければならない

3か4しか進めない状況でどうにかするにはココしかない!
つまり、スタートから3進んで③、③がスタートに戻るマスになる。
4を出して③に戻り、スタートに戻る。スタートから3進んで③でスタートに戻る…
以下、ひたすら3を出し続けて、スタートと③を往復する
最後に〔④→②→G〕でフィニッシュ!

出た目でまとめると、【3→4】【3→3→…(ループ)…→3】【4→4→3】
2022から最初と最後の5回分の出目を引く。
2022-(3+4+4+4+3)=2004
ループの3の回数は、2004÷3=668回
ルーレットの回数は、668+5=673回

(3)
(1)(2)アより、5と11と13は手堅くゲット。
他にないだろうか?

ゴールからの折り返し分で増えていくので、どこまで折り返すかで場合分けしてみる。
④は7、③は9、②は11。①までは折り返せないので×
②と④の折り返しが13であった。

残りの候補としては〔②と③と④〕と〔②と③〕と〔③と④〕。
〔②と③〕は無い!
②から折り返して③は5マス、③から折り返して②も5マスだから不可能。
〔②と③と④〕も無い!
折り返し後の着地点を③→④→②や②→④→③と④をクッションに挟もうとしても無理。

〔③と④〕はどうか?

できるけど和が既出の11…( ˙ω˙ )
よって、答えは5、7、9、11、13です( ˙ω˙ )

(4)
この大問だけで試験時間終わりそうなのだが(*’ω’*)💢
具体的にどのマスに止まったかは後回しにして、先に和が12になるルートを把握する

(3)より、スタートに戻ることがないとすると
5・7・9・11・13と
連続する5つの奇数になっている。
和が12ということは、どこかのマスを2回踏んでスタートに戻るしかない

2周目がストレートゴールだとすると、1周目は12-5=7移動する。
スタートから7マス移動してゴールから折り返すと
1周目で③で止まってスタートに戻るマスにして、折り返して③でスタートに戻る。
方針1;【③③】の固まりを作る。最終的に全部のマスへ止まるようにする。
●S【③③】S①②④G
●S①【③③】S②④G
●S②【③③】S①④G
●S①②【③③】S④G

方針2;1周目の③→③のあいだで④を挟むことができる。
2周目は①か②から直接ゴールへ飛ぶ。【③④③】の固まりを作る。
●S【③④③】S①②G
●S①【③④③】S②G
●S②【③④③】S①G
*S
①②【③④③】SGはできない。
2周目でSからGに直接ジャンプができないため。

先ほどは③でスタートに戻るだった。②で戻るはどうか?

和が13になるのでダメです!×

④で戻るはどうか?
1周目で和が6。残りは6。
SからGまで5だから、どこかで1つ暇を潰さなくてはならない
プランとしては…1周目で①に止まり、スタートに戻るマスにする。
④に止まり、ゴールを折り返して④に止まり、スタートへ。
2周目は①に止まってスタートへ。
3周目は②か③を踏み台にしてゴールへ向かう。

方針3;1~2周目で〔①④④①〕の固まりを作る。
●S①④④S①S②③G

方針4;〔①④④①〕の並びを維持して、1周目で②か③を踏む。
●S①②④④S①S③G
●S①③④④S①S②G
*1周目でS①②③④④Sと全部踏むと3周目でゴールできない。

もう無いと祈る。
10通り。
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2022年度 聖光学院中学過去問【算数】大問5解説

(1)
長さ27cmの直線AB上を、長さ9cmの2直線P、Qが移動することを考えます。

(ア)
図1のように、直線Pは左端が点Aに、直線Qは右端が点Bにつくようにおかれています。

 直線Pはある時刻に毎秒1cmで点Bに向けて移動を開始し、右端が点Bについたら止まります。直線Qは、直線Pと同時に毎秒2cmで点Aに向けて移動を開始します。直線Qは左端が点Aについたらすぐに、点Bに向けて移動を開始し、右端が点Bについたら止まります。
 このとき、2直線P、Qが移動を開始してからの時間(秒)と、P、Qが重なっている部分の長さ(cm)の関係を表すグラフを、解答欄にかき入れなさい。ただし、グラフの横軸の1目盛りは1秒、縦軸の1目盛りは1cmとします。

(イ)
図2のように2直線P、Qがともに左端が点Aにつくようにおかれています。

 直線Pはある時刻に毎秒1cmで点Bに向けて移動を開始し、右端が点Bについたら止まります。直線Qは、直線Pと同時に毎秒2cmで点Bに向けて移動を開始します。直線Qは右端が点Bについたらすぐに、点Aに向けて移動を開始し、左端が点Aについたら止まります。
 このとき、2直線P、Qが移動を開始してからの時間(秒)と、P、Qが重なっている部分の長さ(cm)の関係を表すグラフを、解答欄にかき入れなさい。ただし、グラフの横軸の1目盛りは1秒、縦軸の1目盛りは1cmとします。

(2)
図3のような、1辺の長さが27cmの正方形ABCDの中を、1辺の長さが9cmである2つの正方形R、Sが一定の速さで移動することを考えます。

 はじめ、正方形Rは左下の頂点が点Aにあり、点Aを含むRの2辺と正方形ABCDの2辺が重なるようにおかれています。ある時刻に、正方形Rは点Cに向けて移動を開始します。Rの対角線の交点が直線AC上にあり、Rの辺が正方形ABCDの辺と平行になるように移動をし、Rの右上の頂点が点Cにつくまで、18秒間で移動をします。
 また、正方形Sは右下の頂点が点Bにあり、点Bを含むSの2辺と正方形ABCDの2辺が重なるようにおかれています。Rと同時に、正方形Sは点Dに向けて移動を開始します。Sの対角線の交点が直線BD上にあり、Sの辺が正方形ABCDの辺と平行になるように移動をし、Sの左上の頂点がDについたらすぐに点Bに向けて移動を開始し、Sの右下の頂点が点Bにつくまで、18秒間で移動をします。

(ウ)
移動を開始してから5秒後について、2つの正方形R、Sが重なる部分の面積は何cm2ですか。

(エ)
2つの正方形R、Sが重なる部分が正方形になるのは、移動を開始してから〔 〕秒後です。
(1)のグラフを利用して、〔  〕にあてはまる数として考えられるものをすべて答えなさい。


@解説@
(1)ア

PとQが重なり始めるのは、9÷(1+2)=3秒後

後ろの点が出会うまでPとQは重なる。18÷(1+2)=6秒後
中点同士が重なる3秒後にPとQは完全に一致して重なりは9cm。
その3秒後にQの左端がAに着いて、Pとの重なりはちょうど0cmとなる。

ここから追っかける展開になる。重なりは徐々に増えていく。
9÷
(2-1)=9秒後にPとQの右端が同時にBへ到着する。
まとめるとこうなる。



9秒後にQがPを完全に追い越したとき、Qの右端がBに着く。
15秒後にPとQの重なりが0cmになる。

(2)ウ

2つの正方形が斜めに移動する。
Rの右上の頂点がCに到着するまでが18秒。
Sの左上の頂点がDに着き、再び同じ地点に到着するまでが18秒。
何か見え覚えのある動き。。

9cmずつで区切って見ると、前問の様子と酷似している。
横の辺()だけを見ると9cmずつで、あいだも9cm。
毎秒1cmのR
はCまでだが、毎秒2cmのSはDに着いて戻ってくる。
(1)アと一緒!

今度は縦の辺()だけを見る。
最初RとSが同じ位置にあり、毎秒1cmのRは行きだけだが、
毎秒2cmのSは行って戻ってくる。(1)イと一緒!!
つまり、(2)は(1)のPとQの動きを2次元化したもの
2つのグラフを重ねて5秒後をみると、4cmと6cm。
重なる部分の面積は、4×6=24cm2

@余談@

本当か?と疑い深いサボは調べてみました。
4×6=24cm2であってました。


仕組みさえわかってしまえば、すぐ解ける。

正方形は縦と横の長さが等しい⇒重なった部分の縦と横の長さが等しい。
0cmでない交点を求めればいい。
上下の合同な三角形に注目して、
3と6の中点→4.5秒後
12と15の中点→13.5秒後
4.5秒後と13.5秒後。
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2022年度 女子学院中学過去問【算数】大問5解説

正四角柱(底面が正方形である角柱)の形をしたふたのない容器3つを図1のように組み合わせた水そうがあります。この水そうを上から見ると図2のようになり、(ア)の部分の真上から一定の割合で水を注ぎました。グラフは、水を注ぎ始めてからの時間(分)と(ア)の水面の高さ(cm)の関係を表しています。
グラフのDが表す時間の後は、水そうの底から毎分0.8Lの割合で排水しました。ただし、図2で同じ印のついているところは同じ長さを表し、3つの容器の厚みは考えません。

(1)
水は毎分何Lの割合で注がれていたか求めなさい。

(2)
グラフのA、B、C、Dにあてはまる数を入れなさい。


@解説@
(1)

↑最初の3分間で埋まるところ。
20×20÷2×36÷3
=2400cm3=2.4L

(2)

上から見た図。
Aは真ん中の小さい正方形を除いた部分の高さ36cm。
左下の直角二等辺が最初の3分。

これがもう5個分あるので、全体は3×6=18分(A)

Aから33分までは、真ん中の小さな正方形を除く部分が比例で上がっていく。

グラフのを通過する直線をひくと原点を通過する
36×33/18=66cm(B)

奇妙な図ですけど(;^ω^)再び上からみた図です。
Cは高さ66cmがすべて埋まった時間。
底面積を上のように8等分したうち、赤い正方形を除いた⑥が33分だから、
33×⑧/⑥=44分(C)

与えられたグラフでは、うまく線が引けなかったので書き直しました。

44分以降はすべての底面積が埋まっていく。
仮に排水をしなかったら、44×87/66=58分後に満水になった

ここまでくれば見えてくるはず。
速さの比は、排水なし:排水あり=2.4:1.6=3:2
時間の比は逆比だから、排水なし=②とすると、排水あり=③
差の3分が①なので、58-3×②=52分(D)
A…18、B…66、C…44、D…52
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2022年度 聖光学院中学過去問【算数】大問3解説

下の図のような1辺が10cmの正方形ABCDと、
辺CDを両側に5cmずつ延長した直線EFがあります。

この図形上を2点P、Qが同時に出発して、一定の速さで移動します。点Pは、点Aを出発して、正方形ABCDの辺上をA→B→C→D→A→B→・・・の順に繰り返し移動します。また、点Qは点Eを出発して、直線EFをE→F→E→F→・・・と往復します。

(1)
点Pが毎秒2cm、点Qが毎秒5cmで移動するとき、点Pと点Qが初めて重なるのは、2点が出発してから〔 ア 〕秒後、2回目に重なるのは〔 イ 〕秒後です。
ア、イにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

(2)
点Pが毎秒2cm、点Qは点Pよりも速い速さで移動する場合について考えます。点Qが毎秒〔 ウ 〕cmよりも速く、毎秒〔 エ 〕cmよりも遅い速さで移動するときに限り、点Pが1回目に点C、Dを含む辺CD上を移動するときに、点Qと重なることはありません。
ウ、エにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

(3)
点Pが毎秒2cm、点Qは毎秒2cmよりも速く、毎秒4cmよりも遅い速さで移動する場合について考えます。点Pが1回目に辺CD上を移動する間に点Qと重なることがあり、点Pが2回目に点Dに重なるとき、点Qも同時に点Dに重なります。このとき、点Qの移動する速さは毎秒〔 オ 〕cmです。
オにあてはまる数として考えられるものをすべて答えなさい。


@解説@
(1)
PがCに着くのは、20÷2=10秒後

ダイヤグラムを作成。
縦軸はEF20cmで、CとDの位置に横線をひく
Qは20÷5=4秒ごとにEF間を行ったり来たりする。
Pは10~15秒後にCD間のみあらわれる。

三角形の相似を利用。
上の三角形:下の三角形=②:⑤
13~15秒の2秒間を⑦としたときの②の時間は、2×②/⑦=4/7秒
交点の時間は、13+4/7=95/7秒後

2回目にPがCに到着するのは、10×6÷2=30秒後
同様にダイヤグラムを作成して、31-2×①/⑦=215/7秒後
ア…95/7、イ…215/7

(2)

Pの速さは毎秒2cmは固定。Pは10~15秒後にCD上にあらわれる。
Pの直線に触れないように、Qの傾き(速さ)の範囲を求める。

PがCに着く10秒後にQを到着させる。
QはPよりも速いので、Qは一度Fに向かって反射する。
【10秒で35cm移動する→毎秒3.5cm】
Qが毎秒3.5cmよりも遅くなると、Qのジグザクは右に移動してPと重なってしまう

一応、15秒後をチェック。
15秒後は52.5cm移動なので、Eから52.5-40=12.5cmの場所。
→Dに到着したPと重なることはない!〇

念のため、Qの速度を増やして2回反射ではどうか?
【10秒で45cm移動→毎秒4.5cm】
15秒後は、さらに4.5×5=22.5cm移動するので重なる。×
これ以上、反射の回数を増やしてQを速くさせると
PがCDに滞在する5秒間に必ずQと重なってしまうので×。
Qの速さは毎秒3.5cmより大きい。

今度はQがDに到着した場合を想定する。
【15秒で55cm移動→毎秒11/3cm】
これより遅くなるとPと重なってしまう。
したがって、Qの速さは毎秒3.5cmよりも速く、毎秒11/3cmよりも遅い。
ウ…3.5、エ…11/3

(3)
Pは1回目のCD上でQと重なる。
→前問の解答から、Qの速さは毎秒3.5cm以下か、毎秒11/3cm以上であれば良い。

Pが2回目にDに到着するのは35秒後。このとき、PとQは重なる。
ジグザクの反射回数で調べるのは辛いので、QがDに到着するまでの長さを調べる。
【15、25、55、65、95、105、135、145…】
Qの速さは毎秒2cmよりも速く、毎秒4cmよりも遅いから、
Qの移動距離は2×35=70cmよりも長く、4×35=140cmよりも短い。
該当する距離は【95cm、105cm、135cm】。
Qの速さは、、
95÷35=毎秒19/7cm
105÷35=毎秒3cm
135÷35=毎秒27/7cm
これらはすべて、毎秒3.5cm以下か毎秒11/3cm以上の条件に適する
答えは毎秒19/7cm、3cm、27/7cm。
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2022年度 甲陽学院中学2日目過去問【算数】大問4解説

4けたの整数を一の位、十の位、百の位の順に四捨五入していく操作を行います。
例えば、2356にこの操作を行うと、2356→2360→2400→2000となります。

(1)
3485にこの操作を行うとき、最後の整数を求めなさい。

(2)
この操作を行うと最後に5000になる4けたの整数で、
最も大きいものと最も小さいものを求めなさい。

(3)
4けたの整数Aにこの操作を行うとA→B→C→Dとなり、
Aより小さい4けたの整数Eにこの操作を行うとE→F→G→Hとなります。
A+E=2128、B+F=2120、C+G=2200、D+H=2000であるとき、AとEを求めなさい。


@解説@
(1)
3485→3490→3500→4000

(2)
1個ずつ手前に戻していく。
●最大数●
5000から増やしていく。
5で繰り上がりだから、4でおさえる。
〔5000→5400→5440→5444〕
●最小数●
5000から減らしていく。〔5000→4500〕
次は4550…ではない!
下の位からの切り上げを期待して〔4500→4450〕に減らせる。
〔5000→4500→4450→4445〕
最も大きいもの…5444、最も小さいもの…4445

(3)

スタートのAとEは4桁の整数。
四捨五入して999未満(3桁)にはならないから、A~Hはすべて1000以上
百の位が四捨五入されたDとHは下3桁が〔000〕なので、
D=1000、H=1000

CとGは下2桁が〔00〕。
組み合わせは(C、G)=(1000、1200)(1100、1100)(1200、1000)
仮にCが1200だとすると、Bは最小で1150。
B=2120-1150=970で1000未満になってしまう
(C、G)=(1100、1100)が確定。

BとFは下1桁が〔0〕。和が2200から2120に減る。(おそらく切り上げ)
1100にするには1050以上でなくてはならない。
(B、F)=(1050、1070)(1060、1060)(1070、1050)しかない。
*B=1080だと、F=1040で不適。

最後のA・Eでは和が2120から2128に+8だけ増加する。
切り上げが発生すると十の位に影響が出てしまい、B+F=2120にならない
影響を回避するには4以下で切り捨てる。
8=4+4しかない

B、Fが1600の同数だと、A、Eも1064で同数になってしまう。
問題文よりEはAより小さいので、B=1070、F=1050

A=1074、E=1054
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2022年度 早稲田中学過去問【算数】大問4解説

3本の針がある新しい時計をつくりました。図の●は、2つの点線の円周をそれぞれ等分していて、すべての針は時計回りにそれぞれ一定の速さで回転しつづけます。針を短い順にA、B、Cとするとき、針が一周するのにかかる時間は、Aは8時間、Bは3時間、Cは1時間です。午前0時ちょうどに、すべての針は数字の0を指しています。次の問いに答えなさい。ただし、解答らんには、【例】のように24時間表記に直した時刻を答えるものとします。
【例】午前10時30分→「10時30分」、午後6時→「18時」

(1)

図1では、針Cが数字の0を指しています。
この時刻は何時ちょうどですか。

(2)

図2では、針Aと針Bが重なっています。
この時刻は何時何分ですか。

(3)
 
図3では、針Aと針Cでつくられる角を針Bが2等分しています。
この時刻は何時何分ですか。


@解説@
(1)
Aは8時間、Bは3時間、Cは1時間で1周する。
24時間後、A・B・Cは同時に0に戻ってくるので、答えはすべて24時間以内になる。

絞りやすいのはA。
Aが左を最初に指すのは〔8の倍数+6時〕だから、6時、14時、22時のいずれか。
Bが右下を指すのは〔3の倍数+1時〕なので、22時にしかない。
22時

(2)

まずはAで絞る。
Aは〔8の倍数+1時〕⇒1時、9時、17時のいずれか。
Bは〔3の倍数時〕⇒9時台が確定。

各々の1分あたりの角速度を求める
A;360÷8÷60=3/4°
B;360÷3÷60=2°
1分あたり、2-3/4=5/4°ずつ近づいていく。
9時では45°離れているので、45÷5/4=36分後
9時36分

(3)

ここもAから絞る。
Aは〔8の倍数+3時〕→3時、11時、19時
Bは〔3の倍数+1時〕→19時台が確定。

1分あたりの角速度は、
A;3/4°
B;2°
C;360÷60=6°

↑19時の様子。
ここで中受算数の戦法、シャドーを使う。
AとCの真ん中にシャドーを設置
シャドーの角速度はAとCの平均で、1分あたり(3/4+6)÷2=27/8°

このシャドーはAとCの真ん中を常に移動する
シャドーとBが重なるとき、BはAとCの真ん中にある。

19時のとき、AC間は135°だから、シャドーとCは135÷2=67.5°
BC間は120°なので、シャドーとBは120-67.5=52.5°離れている。
シャドーはBに1分あたり、27/8-2=11/8°ずつ近づく。
52.5÷11/8=420/11分
答えは、
19時420/11分(38・2/11分)。
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