難関中算数科」カテゴリーアーカイブ

2021年度 栄光学園中学過去問【算数】大問3解説

図のように、ある一定の長さの黒い部分と、長さ1cmの透明な部分が交互になっているテープA、Bがあります。テープAの黒い部分の長さは4cmです。テープBの黒い部分の長さは分かりません。

この2つのテープを、左はじをそろえて重ねたときの見え方について考えます。
ただし、透明な部分と黒い部分が重なると黒く見えるものとします。

例えば、テープBの黒い部分が1cmのとき、図のように、最初の黒い部分が9cm、
その隣の透明な部分が1cmになります。

(1)
図のように、テープBの黒い部分が5/2cmのとき、テープA、Bを重ねると、
最初の黒い部分とその隣の透明な部分の長さはそれぞれ何cmになりますか。

(2)
テープA、Bを重ねたとき、図のように、最初の黒い部分が9cm、
その隣の透明な部分が1cmになりました。テープBの黒い部分の長さは何cmですか。
上の例であげた1cm以外で考えられるものをすべて答えなさい。

(3)
テープA、Bを重ねたとき、図のように、最初の黒い部分が9cm、
その隣の透明な部分が2/3cmになりました。
テープBの黒い部分の長さは何cmですか。考えられるものをすべて答えなさい。

(4)
テープA、Bを重ねたとき、図のように、最初の黒い部分が14cmになり、
その隣の透明な部分が1cm未満になりました。
テープBの黒い部分の長さはどの範囲にあると考えられますか。
答え方の例にならって、その範囲をすべて答えなさい。


【答え方の例】
2cmより長く4cmより短い範囲と、11/2cmより長く8cmより短い範囲が答えの場合
…(2~4)、(11/2~8)


@解説@
栄光こういうの好きね(´・∀・`)-3
(1)

地道にやっていくしかありません(´д`)
最初の黒い部分…9.5cm、隣の透明な部分…0.5cm

(2)

透明な部分はまるまる1cm。
テープAとBはともに10cmから黒い部分がスタートする
黒と透明部分を1セットとして、〇セットで場合分け。
(黒+透明1cm)×〇=10cm
〇=1
黒は、10÷1-1=9cm
〇=2
黒は、10÷2-1=4cm
例題と同じだから×。
〇=3
黒は、10÷3-1=7/3cm
〇=4
黒は、10÷4-1=3/2cm
〇=5
黒は、10÷5-1=1cm
例題と同じで×。
〇=6
黒は、10÷6-1=2/3cm
1cm未満なので、左から4~5cmの透明を隠せない×

9cm、7/3cm、3/2cmのなかで、左から4~5cmを隠せるものをしぼる。
9cmは言わずもがな隠せる〇。

7/3は2・1/3と帯分数に、3/2は1.5と小数に変えると計算しやすい。
4~5cm目を隠せるのは7/3cmだけ。
したがって、7/3cm、9cm。

(3)

テープAだけなら10cmから黒がスタートするところ、
29/3cmから黒ということは、テープBは(黒+1)×〇=29/3cm
〇=1
黒は、29/3-1=26/3cm
〇=2
黒は、29/3÷2-1=23/6cm
〇=3
黒は、29/3÷3-1=20/9cm |д・)およ?
〇=4
黒は、29/3÷4-1=17/12cm
分子が3減って分母が3ずつ増えている
おそらく、〇=5のときは14/15cmとなり、
1cm未満だと左から4~5cm目を隠せないので×!

26/3cm、23/6cm、20/9cmで、左から4~5cmを隠せるものをしぼる。
帯分数に変換。
8・2/3cmは隠せる。〇
0~3・5/6cm(黒)⇒~4・5/6cm(透明)⇒~8・2/3cm(黒)
4cm~4・5/6cmが透明だから×!
0~2・2/9cm(黒)⇒~3・2/9cm(透明)⇒~5・4/9cm(黒)〇
したがって、20/9cm、26/3cm。

(4)
試験時間内では無理だと思う。

4~5cm、9~10cmを隠しつつ、
14cmから透明が始まり、15cmよりも手前で黒になる。
(黒+1)×〇=14cm~15cm

〇=1
15-1=14cm、14-1=13cm、
黒の長さは13~14cm。
13cmよりも長くなると14cmの右側に透明部分があらわれ、
14cmよりも短くなると15cmの左側で黒に変わる。
4~5cmと9~10cmを黒で隠せるから、1つ目は(13~14)。

〇=2
15÷2-1=13/2(6.5)cm
14÷2-1=6cm
4~5cmと9~10cmを黒で隠せるから、2つ目は(13/2~7)。

〇=3
15÷3-1=4cm
14÷3-1=11/3cm
黒が4cmのときの透明部分4~5cmを、
黒が11/3cmのときの透明部分3・2/3cm~4・2/3cmにスライドさせると、
4~4・2/3cmのところが透明になってしまって隠し切れない!
よって、無い。

〇=4
15÷4-1=11/4cm
14÷4-1=5/2cm
4~5cmは隠せるが、9~10cmでは9・1/2cm~10cmが隠せない
10~10・1/2cmはOK

10cmから3つの目の透明部分が始まるように配置。
黒は、(10-2)÷3=8/3cm
これは4~5cmを隠せる。3つ目は(8/3~11/4)。

〇=5
もう辞めたいんですけど(;´・ω・)
15÷5-1=2cm
14÷5-1=9/5cm
3~5cmの黒を左に移すので、5cm左側が隠せない!×
4~5cmでダメだとわかったら、9~10cmは検討しなくていい。

〇=6
15÷6-1=3/2(1.5)cm
14÷6-1=4/3cm
4cmの右側の部分が隠せません。

〇=7
15÷7-1=8/7cm
14÷7-1=1cm
4cmの右側に透明ができる。×
〇=8以降は黒が1cm未満になってしまうのでもう無い。
したがって、(8/3~11/4)(6~13/2)(13~14)
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2021年度 浅野中学過去問【算数】大問4解説

A君は自転車に乗ってP駅を出発し、線路沿いの道を一定の速さでQ駅に向かいました。A君が出発してから3分後に、電車がP駅を出発してQ駅に向かいました。電車がA君の4倍の速さでP駅とQ駅の間を何回か行ったり来たりし、各駅に着くと5分間停車するものとします。
〔図1〕のグラフは、A君がP駅を出発してからQ駅にたどり着くまでの時間と、A君と電車との間の距離の関係を表したものです。このとき、後の問いに答えなさい。
ただし、線路や道は一直線で、道の幅や自転車、電車の長さは考えないこととします。

(1)
A君が電車に初めて後ろから追い越されるのは、A君がP駅を出発してから何分後ですか。

(2)
A君がQ駅にたどり着いたのは、A君がP駅を出発してから何分後ですか。

(3)
A君が電車と初めて正面から出会うのは、A君がP駅を出発してから何分何秒後ですか。

(4)
〔図1〕の(ア)にあてはまる数と(イ)にあてはまる数の比を求めなさい。


@解説@
(1)

グラフの読解。
3分後に電車がP駅を出発。電車がAを追い越してQ駅に5分停車。
電車とAが向き合い、途中で出会う。電車がP駅に5分停車。電車がAを追いかける。
グラフの最後でAがQ駅に到着したときに0m。ということは、電車も同時にQ駅に到着する

距離の比(速さの比)は、A:電車=①:④
Aは③を3分で移動するので、Aが電車に追い越された④は4分後。

(2)

ダイヤグラムに変換する。
時間の比は、A:電車=④:①
電車が片道にかかる時間①が3本あり、全体の時間が④である。
③+3+5×2=④
①=13
AがQ駅に着く④は、13×④=52分後

(3)

電車の片道①が13分。これを頼りに時間を確定すると、うえのようになる。
電車とAが出会うのは●のところ。

●から垂線をひく。
時間の比はA:電車=4:1だから、34×4/5=27.2分=27分12秒後

(4)

全体の距離を〇52とする。
39分後のAと電車の距離(イ)は㊴。
21分後のA-P駅間の距離が㉑だから、Aと電車の距離(ア)は㉛。
したがって、ア:イ=31:39

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2021年度 栄光学園中学過去問【算数】大問4解説

1とその数自身のほかに約数がない整数を素数といいます。
ただし、1は素数ではありません。

素数を小さい順に並べていくと、次のようになります。

異なる2つの素数の積となる数を『素積数』と呼ぶことにします。
例えば、2021=43×47となり、43も47も素数であることから、2021は『素積数』です。

素数は『素積数』でありません。
素数以外にも、次のような数は『素積数』ではありません。
・121(=11×11)や169(=13×13)のような、同じ素数の積となる数
・105(=3×5×7)や117(=3×3×13
)のような、3つ以上の素数の積となる数

(1)
偶数の『素積数』のうち、小さい方から7番目の数を答えなさい。

 

連続する整数と『素積数』について考えます。
例えば、33、34、35…はすべて『素積数』です。

(2)
連続する4つの整数がすべて『素積数』であるということはありません。
その理由を説明しなさい。

(3)
100以下の整数のうち、連続する3つの整数がすべて『素積数』であるような組がいくつかあります。
上の例で挙げた33、34、35以外の組を、答え方にならってすべて答えなさい。
【答え方の例】(33、34、35)

(4)
連続する7つの整数のうち6つが『素積数』であるような組を、
答え方の例にならって1つ答えなさい。
【答え方の例】31~37の連続する7つの整数が答えの場合…(31~37)


@解説@
(1)
偶素数(偶数の素数)は2しかない。
奇素数(奇数の素数)の7番目は19だから、2×19=38

(2)
説明問題。
素数は基本的に奇数だが、偶素数2をかければ素積数は偶数となる。
素積数の素因数2は最大で1個だけ
連続する4つの整数には4の倍数があり、4の倍数は素因数2が2個ある。
4の倍数は素数積にならないので、連続する4つの整数すべてが素積数にはならない。

(3)

連続する4つの整数で4の倍数は素積数ではなかった。
ということは、連続する3つの素積数の並びは【奇数・偶数・奇数】となる。

2×(素数)=偶数の素積数を求め、その前後の奇数の素積数を1個ずつ
調べていく(;`ω´)

2×3=6
前後の5と7は素数は素積数ではない×

2×5=10
9は素数の平方数で×。11も素数で×。

2×7=14…13が素数で×
2×11=22…23が素数×
2×13=26…25は5の平方数×。27も×。
2×17=34…例題と一緒で×!
2×19=38…37×
2×23=46…45と47×
2×29=58…59×
2×31=62…61と63×
2×37=74…73と75×
2×41=82…81と83×
2×43=86…85=5×17、87=3×29〇
2×47=94…93=3×31、95=5×19〇
これ以上は100を超してしまう。
したがって、(85、86、87)(93、94、95)
*問題文にのっている素数が登場したら、速やかに×と判断して迅速に調べる。

(4)

連続する7つの整数を詳しくみていく。
このうち6つが素積数なので、まんなかの4の倍数を境に左右3つが素積数となる。
本問も偶数の素積数に注目する。
この2つの差が4であるということは、2とかけ合わせる奇素数の差は2である。

前問の解答から、100以下の整数で題意を満たす組はなかった。
53以降の素数で差が2である組を探して、1つずつ調べていく。
(59、61)⇒(118、122)…117は9の倍数で×、121は11の平方数で×。
(71、73)⇒(142、146)…147が49の倍数で×。
(101、103)⇒(202、206)…207が9の倍数で×。
(107、109)⇒(214、218)…213=3×71、215=5×43、217=7×31、219=3×73
(゚Д゚;≡;゚Д゚)
したがって、
(213~219)

@@
2つの素数の積で表される数(素数の平方数を含む)を半素数というそうです。
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2021年度 鷗友学園女子中学過去問【算数】大問6解説

直線上に点A、Bがあり、AとBの間は30cmです。
直線上のAとBの間を、点Pと点Qがそれぞれ動きます。
点PはAを出発しBに向かい、同時に点QはBを出発しAに向かいます。
点P、Qは出会ったら向きを変えて進みます。
点Pも点Qも、AまたはBにたどり着いたら向きを変えて進みます。
ただし、点QはBにたどり着いたとき、2秒間止まってから再び動き出します。
点P、Qの速さはそれぞれ一定です。
また、グラフは点Pの移動の様子の一部を表したものです。

(1)
点P、Qの速さはそれぞれ毎秒何cmですか。

(2)
点P、Qが7回出会うまでに点Pが進んだ長さの合計は何cmですか。


@解説@
(1)

PとQは出会うとトンボ帰りする。
行きと同じ速度で帰るので、はじめのグラフは上下対称になる
1回目の出会いは8÷2=4秒後
PとQの速さの合計は30cm÷4秒=毎秒7.5秒

2回目の出会いまでPは4.8秒、Qは2.8秒動く。
P、Qが一緒に動いたときの距離の和は、毎秒7.5cm×2.8秒=21cm
Pだけが動いた距離は、30-21=9cm
Pの速さは、9÷2=毎秒4.5m
Qの速さは、7.5-4.5=毎秒3cm

(2)

Pの方が速く、Qは2秒の待機があるので、QがAに到着することはない。
PがQより2秒余分に動いたとしても、12.8秒後のようにPはBに着くことなくAへ戻る。
PはB、QはAに絶対到着できない。

PとQが動いた距離の和をみると、1回目の出会いまでが30cm。
2回目が30×3、3回目が30×5cm…
7回目の出会いまでに30cm×(2×7-1)=390cm動く。
この間にQは6回休憩するので、Pだけが動いた距離は、4.5×2×6=54cm

PとQが一緒に動いたときの距離の和は、390-54=336cm
PとQの速さの比=距離の比は、4.5:3=3:2
したがって、Pが動いた距離は、54+336×3/5=255.6cm

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2021年度 早稲田実業学校中等部過去問【算数】大問5解説

紙の折り方には山折りと谷折りがあり、それぞれ図1のような折り方をします。
いま、縦9cm、横12cmの長方形の方眼紙ABCDがあります。次の各問いに答えなさい。

(1)
図2のように紙を折ったとき、縦の長さは何cmになりますか。

(2)
図2のあと、図3のように紙を折りました。
BF上に点Qをとり、PQに沿って三角形PFQを切り取って広げた図形を、図形アとします。
次の①、②に答えなさい。
①FQの長さが3cmのとき、図形アとして切り取られた部分を解答用紙の図にかき、
斜線で示しなさい。

②図形アの面積が20cm2のとき、FQの長さを求めなさい。


@解説@
(1)

4行なくなる。5cm

(2)①

青で囲んだ4行がなくなる。
折ったあとにPと重なる点をP’とする。
P’F=3cm
切り取った直角二等辺三角形P’FQだけを図示すると、うえのようになる。

EFの折り目を戻すと左右で線対称。

最後に横の折り目で線対称。1cmごとに
上へ2連続、対称移動する。
実際の解答は斜線で描くこと。


 
切り取った直角三角形PFQの面積比を高さ1cmごとに分けると、
面積比はそれぞれ
紙を広げると、右のようになる。

図形アの半分である10cm2にあたる。
直角三角形PFQの面積は、10×/=90/17cm2
FQの長さは、
90/17×2÷3=60/17cm
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2021年度 栄光学園中学過去問【算数】大問1解説

立方体の各面に、下のような1~6の目がかかれたシールを1枚ずつ貼り、
さいころを作りました。 

このとき、さいころの向かい合う面の和が7になるようにしました。

(1)
このさいころを2の目を上にして、ある方向から見ると図1のように見えました。また、1の目を上にして、ある方向から見ると(図2)、見えた目は図1で見えた目とはすべて異なりました。手前の面(斜線が引かれた面)の目を算用数字で答えなさい。

(2)
下の図はこのさいころの展開図です。
の目の向きの違いに注意して、展開図を完成させなさい。

(3)
このさいころを4回ふったところ、出た目(上面の目)は大きくなっていきました。
また、手前の面(斜線が引かれた面)の目はすべて2でした。

 を正しくかきいれなさい。

(4)
このさいころを3回ふったところ、出た目は大きくなっていきました。
また、手前の面は下の図のようになりました。


出た目として考えられる組み合わせを、答え方の例にならってすべて答えなさい。
【答え方の例】1、2、3の順に出た場合・・・(1、2、3)


@解説@
(1)
図1で見えた目とは異なり、1が出ているので4か5の2択。

右側にコロンと倒して、180°回転させる。
手前は4。

(2)
まずは数字の位置を確定する。

向かい合う面の和は7から、4・5の反対側の2・3を決める。
図1から2と3と隣り合う面は6、残りのマスが1。
1は向きが関係ないので確定。

2・3・6の3面が集めるに注目!
2と3はに向かうように並ぶ。
6は2の方向に向かうよう、横に並ぶ。

(3)
正面が2、背面が5だから、出た目は1⇒3⇒4⇒6。

1と6は、2と接しているのでわかりやすい。

3と4は転がして2に近づけるとわかりやすいかな?
3は上にもってくると点対称で2の向きは同じ。

左から順に上の目が1⇒3⇒4⇒6。

(4)

3を転がすと、手前の
3が右上を向くときの上の面は2か5。
3回ふって目を大きくしていくので、1回目は2となる

2回目と3回目では、背面の5は出ない。
シナリオとしては、(2、3、4)(2、3、6)(2、4、6)のどれか。

先ほどの図で確かめることができる。
3が上にあるとき、2は右下ライン。
4が上にあるとき、2は右下ライン。
6が上にあるとき、2は右上ライン。
(2、3、4)は4のときが×。
したがって、(2、3、6)(2、4、6)。
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2021年度 早稲田中学過去問【算数】大問4解説

図1のような直方体があります。点Pは直方体の辺上を点Aを出発して、一定の速さでA→B→C→Dの順に動き、その後1.5倍の速さでD→E→F→Aの順に動きました。
図2は、点Pが点Aを出発してからの時間と三角形ADPの面積との関係を表したグラフです。
次の問いに答えなさい。

(1)
点PはA→B→C→Dを毎秒何cmの速さで動きますか。

(2)
三角形ADPが4回目に二等辺三角形になるのは、点Aを出発してから何秒後ですか。

(3)
直方体の体積は何cm3ですか。


@解説@
(1)

PがABCD上を移動しているとき、最初の5秒がAB、最後の5秒がCD、
あいだの6秒がBCとなる。
長さがわからないので、AB=⑤、BC=⑥とすると、
⑤×⑥÷2=60
⑤×⑥=120
⑤と⑥の倍数で調査。
2倍して、10×12=120 ←OK!
AB=10cmをPは5秒で移動するから、毎秒2cm。

(2)
BC(⑥)=12cm
直方体の高さが気になる。。

グラフの後半部分。
直方体の高さであるDEはわからないが、EF=BC=12cm
先ほどBC間が6秒だったので、1.5倍速では6×2/3=4秒かかる。
DE(FA)間は(20-4)÷2=8秒
Pは毎秒3cm動くので、DE=3×8=24cm

4回目に二等辺となるPの位置を調査。


おそらく、1回目と3回目が飛ばされやすいかと思われる。
等辺が12cmになるとき、Pは中途半端な場所にある。
4回目に二等辺となるのは、PがDEの中点にあるとき
Pは16秒後にDに着くので、16+12÷3=
20秒後

(3)
10×12×24=2880cm3
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2021年度 早稲田中学過去問【算数】大問3解説

生徒から1個ずつ集めたプレゼントを先生が生徒に分けることにしました。
次の空らんに当てはまる数を答えなさい。
(1)
A、B、Cの3人から集めたプレゼントを先生が分けます。
(ア)3人とも自分のプレゼントを受け取るとき、その分け方は1通りあります。
(イ)3人とも他の人のプレゼントを受け取るとき、その分け方は2通りあります。
(ウ)3人のうち1人だけが自分のプレゼントを受け取るとき、その分け方は(①)通りあります。

その後、遅れてDがプレゼントを持ってきました。
ここからDが3人のうち、誰か1人とプレゼントを交換することで4人とも他の人のプレゼントを受け取る分け方を考えます。
(ア)の場合は、誰と交換しても分けられません。
(イ)の場合は、A、B、Cの誰か1人と交換すれば、分けられます。
(ウ)の場合は、A、B、Cのうち、自分のプレゼントを受け取った人と交換すれば、分けられます。
以上のことから、4人とも他の人のプレゼントを受け取る方法は(②)通りあります。

(2)
4人の生徒のプレゼントを先生が分けるとき、
4人のうち1人だけが自分のプレゼントを受け取る分け方は(③)通りあります。

(4)
5人の生徒のプレゼントを先生が分けるとき、
5人とも他の人のプレセントを受け取る分け方は(④)通りあります。


@解説@
(1)①
1人だけが自分のプレゼントを受け取る。
〔A⇒A〕を固定すると、B⇒C、C⇒Bの1通りに決まる。
〔B⇒B〕〔C⇒C〕にも同様のことがいえる。
3通り



(イ)A~Cが他の人のプレゼントを受け取る場合は2通り。
Dは3人の誰かと交換すればよいので、3×2=6通り

(ウ)1人だけが自分のプレゼントを受け取る場合は前問の3通り。
Dは自分のプレゼントを持っている1人と交換する→1×3=
3通り。
合計で9通り。

(2)③
自分のプレゼントをもらう人をAで固定すると、
残りのB・C・Dの3人が他の人のプレゼントを受け取る場合は、(1)イから2通り。
自分のプレゼントをもらう人がB・C・Dの場合も同様で、2×4=8通り

(3)④
問題文を読んだときに違和感を覚えませんでしたか?(;´・ω・)
先生がわざわざ前の持ち主と同じプレゼントを配りなおしたり(ア)、
1人だけ自分のプレゼントを受け取る場合(ウ)を考えて(2)で問われたりと。。
なぜ、かような愚かしいことをするのか(´゚д゚`)

しかし、一見無駄に見える場合分けというのは、次の問いの誘導になっているもの
そこで、本問も同じように考えてみる。

◆(ア)A~Dの4人とも自分のプレゼントを受け取っている。
⇒1通り
Eが誰かと交換しても、5人とも他の人のプレゼントを受け取ることはできない。×
◆(イ)A~Dの4人とも他のプレゼントを受け取っている。
⇒(1)②より、9通り。
Eは4人のうち誰か1人と交換すれば分けられる。4×9=36通り
◆(ウ)A~Dの4人のうち、1人だけが自分のプレゼントを受け取っている。
⇒(2)より、8通り。
Eは自分のプレゼントを受け取った人と交換すれば分けられる。1×8=8通り
したがって、36+8=44通り。

@@
本当にこれであってるのか??
AがBに送ったケースを樹形図で調べると・・

11通りある。
AがC・D・Eに送った場合も同様で、11×4=44通り!

@完全順列(かく乱順列)@
プレゼント交換や席順の問題のように、各要素が最初と同じ場所にならない順列のことを
数学の世界では完全順列(かく乱順列)といいます。

n個の完全順列の総数はモンモール数(D)というそうで、
0=1
1=0
2=1
3=2
4=9
5=44
6=265
7=1854
8=14833…

高校数学で習う漸化式を使って、これらの数字の並びを一般化すると、
=(n-1)(Dn-2+Dn-1
*n番目のモンモール数は、n-1の値に2個前と1個前のモンモール数の和をかける。
3=(3-1)×(1+0)=2
6=(6-1)×(9+44)=265
8=(8-1)×(265+1854)=14833
公式通りだね(´ω`ノノ゙

高校数学の美しい物語より。
このページによりますと、完全順列の総数を十分に大きくすると、
元の場所と位置が完全に変わっている確率は37%程度に落ち着くようです。
自分のプレゼントが当たる人が少なくとも1人でもでてくる確率は約63%。
意外と大きな数値で驚きです。
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2021年度 女子学院中学過去問【算数】大問6解説

右端から左端までが20mのプールを兄と妹が往復します。
兄は一定の速さで泳ぎ、1往復するごとに10秒間休みますが、妹は一定の速さで泳ぎ続けます。
2人は同時に泳ぎ始め、妹が16m泳いだときに初めて兄とすれちがい、
兄がちょうど5往復したときに妹はちょうど4往復しました。
(1)
「泳ぎ始めてからの時間(秒)」と「プールの右端との距離(m)」の関係を、
兄はで 妹はで途中までグラフに表します。
グラフ①からグラフ④のうち、正しいグラフは〔    〕で、アにあてはまる数は〔    〕です。

(2)
妹は20m泳ぐのに〔  〕秒かかります。

(3)
2人が2回目にすれちがうのは、泳ぎ始めてから〔  〕秒後です。

(4)
2人が(3)ですれちがった地点と同じ地点で次にすれちがうのは、
泳ぎ始めてから〔  〕秒後です。


@解説@
(1)

兄の方が速いので、の方が周期が短い→①か②
兄は『1往復するごとに10秒間休む』ので、行って帰ってから横線。
グラフ①
アは片道の20m。

(2)
最初のすれちがいまでに、兄は折り返して24m、妹は16m泳いでいる。
速さの比は、兄:妹=24:16=3:2

『兄がちょうど5往復したときに妹はちょうど4往復』。
兄は40×5=200m、妹は40×4=160m泳ぐ。
速さの比から計算すると、兄は160×3/2=240m泳ぐはずだが、
40m少ないのは40秒間休憩していたから。(5往復後の休憩は4回に注意!)
兄は40秒で40m泳ぐと考えられるので、兄の速さは秒速1m。
妹は秒速2/3m。
妹は20m泳ぐのに、20÷2/3=30秒かかる。

(3)

2回目のすれちがいがおこる時間の前後を調べる。
50秒後に兄が再出発、60秒後に妹が戻ってくる。
速さの比がだから、時間の比は
50+10×/=54秒後

(4)

赤いチョウチョウ型の相似に注目。
上が40、下が10のときに辺の比が4:1となり、交差するポイントが(3)と同じである

すれちがいではなく、兄が妹を追い越すパターンもあるのでは?
と思われるが、これはない。
(2)より妹は20m泳ぐのに30秒かかるが、うえのグラフでは少なくとも50秒かかっている。

妹がスタート地点を再出発するのは60秒周期。
兄がスタート地点を最出発するのは50秒周期だが、
兄の休憩前に差が10秒になる場合もあるので、〔50の倍数-10〕も検討する。

妹;120・180・240
兄;90・100・140・150・190・200
妹180秒、兄190秒で差が10秒

↑50の倍数-10だから兄の休憩前。グラフだとこんな感じ。
180+10×/=186秒後
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2021年度 武蔵中学過去問【算数】大問4解説

(1)
次の①~⑥のうち、立方体の展開図になっているものはどれですか。
すべて選び、番号を解答欄に書きなさい。

(2)
〔図1〕のように、16個の同じ大きさの正方形があり、
それぞれの正方形には1から16までの数が書かれています。

ここから、辺でつながった6個の正方形を選び、立方体の展開図を作ります。
このとき、組み立てた立方体が、次の<ルール>に合うようにします。

<ルール>
向かい合う3組の面のうち、2組の面は書かれた数の和が12である。

〔図2〕は<ルール>に合う例の1つです。次の問に答えなさい。

(ア)
<ルール>に合う展開図を〔図2〕以外に3つ答えなさい。
答え方は、〔図2〕なら(2、5、6、7、8、10)のように、
6個の正方形に書かれた数を小さい順に書きなさい。

(イ)
<ルール>に合う展開図は、〔図2〕と(ア)で答えたものをふくめて全部で何通りありますか。

(ウ)
<ルール>に合う展開図に使われている6個の数のうち、最も大きい数をAとします。
〔図2〕ではAは10です。Aが最も大きい展開図を(ア)と同じように答えなさい。


@解説@
(1)
展開図はたくさん見てきたと思うので、すぐ解けるようにしておきたい。
②、④、⑤、⑥

(2)
ここからが本番です(ヾノ・ω・`)

向かい合う面の和が12となる2組が欲しい。
和が12の組合わせ→(1、11
)(2、10)(3、9)(4、8)(5、7)
(4、8)は隣同士で向かい合わない×。
わかりやすいのは図2のように、6を底面とした(2、10)(5、7)のペアかな?
(ア)は3つ出せれば良いので、なんとかひねり出したい。

すべて拾い上げるのは大変です(;`ω´)
ペアが6の周りに固まっているので、6付近で探す
すると、6は必ず採用されることになる。
2組のペアを見つけて5面を確定。残り1面は2通りずつある。

(ア)
(2,5,6,7,8,10)以外で、下から3つ。
(2,5,6,7,10,14)
(3,4,5,6,7,9)(3,5,6,7,8,9)
(2,3,6,9、10,13)(2,3,6,9,10,14)
(1,5,6,7,8,11)(1,5,6,7,11,12)
(1,2,6,10,11,14)(1,2,6,10,11,15)

(イ)10通り
(ウ)(1,2,6,10,11,15)
イとウは設問の順番が逆では??
5×2=10通りと出してから、右下に伸びる展開図を具体的に検証していく魂胆なのかな?
設問の中身もかぶってるような(;^ω^)
16以外はすべて使えたのは意外でした。
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