問題ＰＤＦ
２つの鏡ＬとＭではさまれた区域があります。ＬとＭがつくる角の大きさはｘです。
図のように、光線はＬと平行に入ってきて、鏡に反射して直進します。
ただし、光線が鏡に反射するときには、図のように角アと角イが等しくなります。

（１）
ｘが30°のとき、光線は鏡に何回か反射して、ＬとＭのどちらかと平行に出ていきます。
それは何回で、ＬとＭのどちらと平行ですか。

（２）
ｘが20°のときも、光線は鏡に何回か反射して、ＬとＭのどちらかと平行に出ていきます。
それは何回で、ＬとＭのどちらと平行ですか。

（３）
光線が、鏡に何回か反射してＬと平行に出ていくのは、ｘが次のうちどの角度のときですか。
すべて選びなさい。
〔５°　15°　25°　35°　45°　55°　65°　75°　85°〕

＠解説＠
（１）
反射の問題は鏡の世界をつくる。

光はＬと平行に入ってくる。
最初のＬを基準として時計回りに30°の角を６個並べると180°になる。
この一直線と光は平行で交点がなくなり、光が反射しなくなる。
交点の数は５個→反射の回数は５回。
時計回りにＬ・Ｍ・Ｌ…と打っていくと、最後はＬと平行である。
５回、Ｌ

（２）

同様に調べる。
180÷20＝９個の角を合わせると光と平行になる。
交点の数は８個→反射は８回。最後はＭと平行。
８回、Ｍ

＠余談＠
反射の回数は〔角の個数－１〕回。

（３）

たとえば75°だと平行線が作れない。
鏡Ｌか鏡Ｍに対して光が平行にならないので、どこかで反射が続いてしまう。
180の約数である角でなければ光線は平行に出ていかない。
この時点で５°、15°、45°に絞られる。

前問を振り返ると、角の個数が偶数個でＬ平行、奇数個でＭ平行となる。
180÷５＝36個→Ｌ平行
180÷15＝12個→Ｌ平行
180÷45＝８個→Ｌ平行
全部Ｌ平行！
よって、５°、15°、45°。
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問題ＰＤＦ
商品Ａ、Ｂ、Ｃがあります。
（１）
１日目は、Ａのみ48個仕入れました。すべて売ったときの売り上げの目標金額を決めました。仕入れ値の３割の利益を見込んだ売り値ですべて売ると、その売り上げは目標金額より2156円高くなり、仕入れ値の16％の利益を見込んだ売り値ですべて売ると、目標金額より1540円低くなります。Ａの仕入れ値は１個何円ですか。また、目標金額は何円ですか。

（２）
２日目は、Ａ、Ｂ、Ｃをあわせて16個仕入れました。Ａは仕入れ値の２割の利益を見込んだ売り値をつけ、Ｂは１個754円、Ｃは１個315円ですべて売りました。売り上げは10026円でした。Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ何個ずつ仕入れましたか。ただし、どの商品も１個は仕入れました。１日目と２日目のＡの仕入れ値は同じです。

（１）
Ａ１個の仕入れ値を【100】とする。
３割の利益を見込む→１個あたり【130】で売ると、売り上げは目標金額＋2156円
16％の利益を見込む→１個あたり【116】で売ると、売り上げは目標金額－1540円

ということは、１個あたり【130】－【116】＝【14】の差が2156＋1540＝3696円を生んだ。
全部で48個売ったので１個あたりの仕入れ値は、3696×【100】/【14】÷48＝550円

目標金額は、3696×【130】/【14】－2156＝32164円
（もしくは、3696×【116】/【14】＋1540＝32164円）
仕入れ値…550円、目標金額…32164円

（２）
２日目のＡの売り値は550×12/10＝660円
【Ａ：660円　Ｂ：754円　Ｃ：315円】
それぞれの個数をＡ、Ｂ、Ｃとすると、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝16
660×Ａ＋754×Ｂ＋315×Ｃ＝10026

まずは偶奇判定で絞り込む。
660×Ａ、754×Ｂ、10026は偶数なので、315×Ｃも偶数。
⇒Ｃは偶数。
315×Ｃの一の位は、５ではなく０である。

ということは、10026の６を754×Ｂでつくる必要がある。
４の段で一の位が６になるのは、４×４＝16か４×９＝36。
４×14だとＡ＋Ｃ＝16－14＝２となり、すべての商品を仕入れたからＡ＝１、Ｃ＝１
しかし、Ｃは偶数だから不適。

●Ｂ＝４●
Ｂ×４＝754×４＝3016
660×Ａ＋315×Ｃ＝10026－3016＝7010
660×Ａと315×Ｃがともに３の倍数だから和も３の倍数になるが、
7010は３の倍数ではないので不適。

Ｂ＝９が確定。
660×Ａ＋315×Ｃ
＝7010－754×５　←前の結果からさらにＢ×５を引けばいい。
＝7010－3770＝3240
Ａ＋Ｃ＝16－９＝７

あとはお馴染みの鶴亀算。
660×７－3240＝1380
Ｃ＝1380÷（660－315）＝４
Ａ＝７－４＝３
Ａ…３個、Ｂ…９個、Ｃ…４個

＠別解＠
Ｂが４なのか９なのか、平均から考えた人もいたと思います。
平均を算出すると、10026÷16＝626…円
【Ａ：660円　Ｂ：754円　Ｃ：315円】
平均との差を概算すると、
【Ａ：＋35円　Ｂ：＋130円　Ｃ：－310円】
Ｃは最低２個なので、－620円。
もしＢ＝４だと＋130×４＝＋520円、合計して－100円。
残り10個をＡに振り分けると＋に大きく超過する。
Ｃ＝４とすると－1240円、Ｂの＋520円を足して－720円。
残り８個をＡに振り分けても－720円は到底埋められない。

Ｂ＝９だと、＋130×９＝＋1170円
Ｃ×４＝－1240円として、残り３個をＡに振り分けると＋35円でちょうどイイ感じに。
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問題ＰＤＦ
大きさの異なる円柱の水そうＡ、Ｂ、Ｃがあります。
Ａ、Ｂ、Ｃを図のように組み合わせ、底面を固定しました。

上の蛇口からＡに、下の蛇口からＢに、毎分同じ量の水を、一定の割合で同時に入れ始めました。
水を入れ始めてから、
・14分後に、Ｂから水があふれ始めました。
・18分後に、ＡとＢの水の高さが同じになりました。
・27分後に、Ａから水があふれ始めました。
ただし、水そうの厚さは考えません。

（１）
ＡとＢの水そうの高さの比を求めましょう。

（２）
ＡとＢの底面の半径の比を求めましょう。

（３）
ＢとＣの水そうの高さの比は、ＡとＢの水そうの高さの比と同じです。
Ｃの底面の半径はＡの底面の半径の２倍です。
Ｃから水があふれ始めるのは、水を入れ始めてから何分何秒後ですか。

（１）

Ａだけを見る。
18分後にＢと同じ高さ（青）、27分後に上の部分（赤）が満たされてあふれる。
高さの比は、Ａ：Ｂ＝27：18＝３：２

（２）

Ｂだけを見る。
14分後に赤い部分、18分後に青い部分が満たされる。
赤：青＝14：18＝⑦：⑨
底面積の比は、Ａ：Ｂ＝⑨：（⑦＋⑨）＝⑨：⑯
底面積の比は半径×半径の比なので、半径の比はＡ：Ｂ＝３：４

（３）

３つの水槽を端に寄せ、横からみた面積で考える。  
蛇口１本が１分間に水を入れる部分の体積を１とする。
水槽Ａにおいて水槽Ｂの高さまでの体積が18、それより上が９。
水槽Ａを除いた水槽Ｂの体積が14。

（１）の解答と問題文より、水槽Ｂと水槽Ｃの高さの比は③：②。
水槽Ａの18を①：②に分けると、上の体積は６、下は12。
水槽Ｂの上は14/３。

半径の比はＡ：Ｃ＝１：２
底面積の比はＡ：Ｃ＝①：④
水槽Ｃの体積は、12×④＝48
全体の体積は、48＋６＋９＋14/３＝203/３
これを蛇口２本で満タンにするから、
203/３÷２＝203/６＝33・５/６分＝33分50秒後
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問題ＰＤＦ
　１から10までの数が書かれたカードが１枚ずつ、計10枚あり、聖（たかし）さんと光さんの２人がカードを引き、それぞれ手元に置きます。このとき、次の問いに答えなさい。
ただし、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードは区別するものとします。
　たとえば、聖さんの手元のカードが１と２で、光さんの手元のカードが３と４である場合と、聖さんの手元のカードが３と４で、光さんの手元のカードが１と２である場合は区別します。

（１）
聖さん、光さんが１枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

（２）
聖さん、光さんが２枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

（３）
聖さん、光さんが５枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードに書かれた数の和が光さんの手元のカードに書かれた数の和より15だけ大きくなりました。このとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

（４）
聖さん、光さんが５枚ずつカードを引いたとき、聖さんの手元のカードに書かれた数の積が光さんの手元のカードに書かれた数の積の７倍になりました。このとき、聖さんの手元のカードと光さんの手元のカードの組み合わせは全部で何通りありますか。

＠解説＠
（１）
10枚から聖が１枚、光が１枚選ぶ。
聖・光のカードは区別するので、10枚から順番をつけて２枚選ぶ。
＊たとえば、３と４を選んで（聖、光）＝（３、４）（４、３）
₁₀Ｐ₂＝10×９＝90通り

（２）
聖が10枚から２枚選ぶ。光が残った８枚から２枚選ぶ。
₁₀Ｃ₂×₈Ｃ₂＝1260通り

（３）
ここから問題のテイストが変わる。
１～10の和は、（１＋10）×10÷２＝55
聖と光のカードの和は55、差が15。
和差算を使って、聖…（55＋15）÷２＝35、光…55－35＝20

和の少ない光で考える。
〇＋〇＋〇＋〇＋〇＝20（〇は１～10）
この組み合わせを考える。
最大数10から場合分け。
●【〇＋〇＋〇＋〇】＋10＝20
１＋２＋３＋４＝10しかない。１通り

●【〇＋〇＋〇＋〇】＋９＝20
４つの〇の和を11にする。
先ほどの１＋２＋３＋４のどこかを＋１すればいい。
重複はできないので４を５に変えて、１＋２＋３＋５の１通り。

●【〇＋〇＋〇＋〇】＋８＝20
先ほどの１＋２＋３＋５のどれかを重複しないで＋１する。
１＋２＋３＋５→１＋２＋４＋５
１＋２＋３＋５→１＋２＋３＋６
２通り

●【〇＋〇＋〇＋〇】＋７＝20
１＋２＋４＋５→１＋３＋４＋５
１＋２＋４＋５→１＋２＋４＋６
１＋２＋３＋６の６を＋１してしまうと７が重複する。×
２通り

●【〇＋〇＋〇＋〇】＋６＝20
１＋３＋４＋５→２＋３＋４＋５
２＋３＋４＋５＋６＝20で終わり。１通り
計７通り。

（４）
時間かかる(;`ω´)

聖＝光×７ということは、聖の〇４つの積が光の〇５つの積になればいい。
７以外の素因数をみていくと、、
【１】【２】【３】
【４】＝２×２
【５】
【６】＝２×３
【８】＝２×２×２
【９】＝３×３
【10】＝２×５

２の素因数が８個、３の素因数が４個、５の素因数が２個ある。
⇒２の素因数を４個、３の素因数を２個、５の素因数を１個に振り分ける。

・【４】と【８】で素因数２が合計５個だから、必ず分かれる。
・【３】【６】と【９】も分かれる。
・【５】と【10】も分かれる。
どう振り分けるべきか悩む。。(´～`)
（３、６）の固まりに注意してみる。
①
聖：７、３、６、10、４
光：９、５、２、８、１
聖に３と６、光に９を振り分ける。
そのうえで聖に10、光に５。
２の素因数は４個ずつだから、聖の残りは４しかない。

②
聖：７、３、６、５、８
光：９、10、２、４、１
５と10をチェンジしてみた。
聖の２の素因数は３個必要だから、残りは８しかない。

③④
聖：７、９、10、（１、８）
光：３、６、５、（２、４）
今度は聖に９、光に３と６を振り分ける。
聖に10、光に５とする。
２の素因数はともに残り３個。
１×８＝２×４いずれでもいけるので２通りある。

⑤
聖：７、９、５、２、８
光：３、６、10、１、４
先ほどの５と10をチェンジ。
聖の２の素因数が４個不足だから２×８しかない。
【３】【６】←→【９】、【10】←→【５】の配置変えはこれでおしまい。
計５通り。
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問題ＰＤＦ
　３辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直角三角形ＡＢＣ（図１）と１辺の長さが２ｃｍの正方形（図２）があります。正方形の対角線の交点を点Ｏとします。まず、図３のように点ＯがＡと重なるように正方形をおきます。

　この状態から正方形を、向きを保ったまま（回転することなく）動かします（図４）。点Ｏは、直角三角形の辺上をＡ→Ｂ→Ｃ→Ａの順に毎秒１ｃｍで動き、再びＡに戻ってきたら止まります。
　以下の問では、直角三角形と正方形が重なっている部分の面積（図４の斜線部）について考えます。

（１）
次のときの重なっている部分の面積をそれぞれ答えなさい。
（ア）スタートしてから３秒後
（イ）スタートしてから４秒後
（ウ）スタートしてから５秒後

（２）
重なっている部分の面積が２ｃｍ²であるのは、スタートしてから何秒後ですか。
答え方の例にならって、すべて答えなさい。
例：１/２秒から２秒後の間と３秒後のとき
（答え方）１/２～２、３秒後

（３）
重なっている部分の面積が32/75ｃｍ²であるのは、スタートしてから何秒後ですか。
すべて答えなさい。

＠解説＠
（１）（ア）

３秒後は正方形の中心がＢにくる。
１辺が１ｃｍ、辺の比が３：４：５の直角三角形をつくる。
この高さは、１×３/４＝３/４ｃｍ
重なっている部分（青）は、１×１－１×３/４÷２＝５/８ｃｍ²

（イ）

Ｂから斜辺を１ｃｍ進む。
正方形の左側の辺はＢＡの外側にある。

前図（ア）から右側の辺は、１－３/４＝１/４ｃｍ
左上の直角三角形の高さは３/５ｃｍ、底辺が４/５ｃｍ。
重なり部分の台形は、（１/４＋８/５）×９/５÷２＝333/200ｃｍ²

（ウ）

１直線が正方形の中心を通過する→正方形の半分。
２×２÷２＝２ｃｍ²

（２）

（１）ウのように正方形の内部を１直線が切るような状態になると、半分の２ｃｍ²になる。
はじめは１ｃｍ移動して、正方形の下の辺がＡＣに接するとき。
ここから正方形の右上の頂点がＢＣに接するときまで２ｃｍ²を保つ。
ＢＯ＝１＋３/４＝７/４ｃｍ
移動距離ＯＡ；ＢＡ－ＢＯ＝３－７/４＝５/４ｃｍ
１～５/４秒後

正方形の左の辺がＢＡに接してからスタート。
Ａ～Ｏの距離；３＋５/４＝17/４ｃｍ
正方形の下の辺がＡＣに接するまで続く。
ＯＣ＝５/３ｃｍ、ＢＯ＝５－５/３＝10/３ｃｍ
移動距離Ａ～Ｏ；３＋10/３＝19/３ｃｍ
17/４～19/３秒後

正方形の右上頂点がＢＣに接してからスタート。
移動距離；３＋５＋４/３＋１＝31/３ｃｍ
ゴールは正方形の左辺がＡＢに接するとき。
移動距離；△ＡＢＣの外周－ＡＯ＝（３＋４＋５）－１＝11ｃｍ
31/３～11秒後
まとめると、１～５/４秒後、17/４～19/３秒後、31/３～11秒後。

（３）

正方形が頂点から離れると２ｃｍ²、頂点に近づくと重なり部分が小さくなる。
スタートのＡが１ｃｍ²。
Ｂは上図（１）アより５/８ｃｍ²。
32/75ｃｍ²はこれより小さいのでＣ付近で起こるはず。

ＯがＡＣ上にある場合を考える。
直角三角形の高さを３×□、底辺を４×□とする。
（３×□）×（４×□）÷２＝32/75　←両辺２倍
12×□×□＝64/75　←両辺÷12
□×□＝64/（75×12）＝16/225
□＝４/15

（底辺）４×□＝４/15×４＝16/15ｃｍ
ＯＣ＝16/15－１＝１/15ｃｍ
Ｏの移動距離；３＋５＋１/15＝121/15ｃｍ→121/15秒後

もう１つはＢＣ上にある場合。
正方形の左側の辺が先ほどと重なる→中心はＯの真上にある。
Ｏから真上に線をひき、ＢＣとの交点をＯ’とする。
Ｏ’Ｃ：ＯＣ＝５：４だから、
Ｏ’Ｃ＝１/15×５/４＝１/12ｃｍ
Ｏ’の移動距離；３＋（５－１/12）＝95/12ｃｍ→95/12秒後
95/12秒後と121/15秒後。
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問題ＰＤＦ
　2023枚の折り紙をＪ、Ｇの２人で分けるのに、同じ枚数ずつＪ、Ｇ、Ｇ、Ｊ、Ｊ、Ｇ、Ｇ、Ｊ、Ｊ…の順に取っていき、最後にその枚数が取れなかった場合も順番通りの人が残りをすべて取ることにします。例えば、20枚ずつだとＪは1020枚、Ｇは1003枚で、30枚ずつだとＪは1003枚、Ｇは1020枚もらえます。

（１）
23枚ずつ取ると、Ｊは〔　　　〕枚もらえます。

（２）
〔　　　〕枚ずつだとＪは1023枚もらえます。ただし、答えは素数です。

＠解説＠
（１）
ルールの確認。
ＪＧＧＪを１周とすると、１周は23×４＝92枚
2023÷92＝21周…91枚
⇒÷92で余りが91ということは、あと１枚あれば22周いけた。
⇒最後のＪだけ22枚で、ＪはＧより１枚少ない状態にある。
２人の和は2023枚、差が１枚。
和差算で、Ｊの枚数は（2023－１）÷２＝1011枚

（２）
Ｊは1023枚。
Ｇの枚数は、2023－1023＝1000枚

ＪとＧのどちらで終わったのかがわかれば、
最後の残りを受け取らなかった方の枚数の約数が一度に取る枚数である。

↑全部取ったら満額とする。
周期のはじめのＪが残りを取る場合を考える。
手前のＪＧＧＪまではＪとＧの回数が同じ＝枚数が等しい。
残りはＪが引き受けるのでＪの方が多い→ありえる。

Ｇはすべて満額で1000枚に達したので、一度に取る枚数は1000の約数である。
Ｊは最後の満額で1000枚に達し、残りが23枚になる。
ということは、一度に取る枚数は少なくとも23枚以上。
1000を素因数分解すると、1000＝２×２×２×５×５×５
最大の素数は５、23以上ではない。よって、×！

最初のＪが満額で、次のＧが残りを取る場合。
満額回数の多いＪの方が枚数が多い→ありえる。
Ｊはすべて満額なので、１回に配る枚数は1023の約数。
1023＝３×11×31
23以上の素数は31しかない。
31枚？

他も検討してみる。２個目のＧが残りを取る場合。
ＪＧまで枚数が等しい。
次のＧが残りを引き受けると、Ｇの方がＪより多くなる→ありえない×

最後のＪが残りを取る場合。
Ｇの満額回数がＪより多いのでありえない。×
したがって、31枚。
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問題ＰＤＦ
さまざまな形をしたマス目に、以下のルールにしたがって、整数を書きます。
・１からマス目の数までの整数を、各マスに１つずつ書く。
・どの行を横に見ても、右のマスほど数が大きくなっている。
・どの列を縦に見ても、下のマスほど数が大きくなっている。

例えば、上のようなマス目Ａは、５個のマスからなるマス目なので、１から５までの整数を書きます。
このとき、整数の書き方は５通りです。
次のマス目Ｂ、Ｃ、Ｄに整数を書くとき、その書き方はそれぞれ何通りですか。
なお、下のマス目に書きこんで考えてもかまいません。

＠解説＠
甲陽学院の入試問題は大問６まであります。１個ずつ調べあげるのはＮＧ！
（１）

最小値１の場所が確定する。１の右２マスを考える。
残りの４つから２つの数を選ぶと、すべての数字の位置が確定する。
たとえば、（２、４）を埋めると上図のように１通りに決まる。
₄Ｃ₂＝６通り

（２）

この手のタイプの問題は最小値か最大値で攻める。
最大値６は不等号の閉じた場所には置けない→上の３通りが考えられる。

６が右上にある場合、残りの５マスに注目すると問題文のマス目Ａと同じである！
６が左下にある場合も同様だから、５×２＝10通り

もう１つのパターンも残りの５マスに注目すると、（１）と同じである→６通り
よって、10＋６＝16通り

（３）

ここも最大数７の配置から考える。
不等号が開いている場所は上の２ヶ所。

残り６マスに注目すると（２）の16通りと同じ。

もう１つのパターンでは６の位置を確定する。
残りの５マスに注目するとマス目Ａと同じ！
よって、16＋５＝21通り
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問題ＰＤＦ
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５つのランプがあります。それぞれのランプにはスイッチがついていて、一度スイッチを押すとランプは点灯し、もう一度押すとランプは消えます。はじめ、すべてのランプは消えています。このスイッチをＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→Ａ→Ｂ→Ｃ→…の順に押します。例えば、10回目に押したスイッチはＢで、そのときＢとＥのランプだけが点灯しています。

（１）
スイッチを〔　　〕回押したとき、消えていたＣのランプは10回目の点灯をします。

（２）
スイッチを150回押したとき、点灯しているランプをすべてあげると〔　 　　　〕です。

（３）
スイッチを200回押すまでの間に、点灯しているランプがＢとＣだけになるのは全部で〔　　〕回あります。

＠解説＠
（１）
Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→（Ａ→…
９回目でＡに戻ってくるので、１周を８回と考える。
１周にＣは２回あり、ＯＮとＯＦＦが繰り返される。
10回目のＣのＯＮは、９周目＋３回。
８×９＋３＝75回

（２）
Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→（Ａ→…
留意点は、奇数周と偶数周で結果が異なること！
１周の中でＡ・Ｅは１回、Ｂ・Ｃ・Ｄは２回押す。
ある周が終わるとき、ＢＣＤは必ず消えているが、
ＡとＥについては奇数周でＯＮ、偶数周でＯＦＦになる。

150÷８＝18周…６回
偶数周なので、18周目の終わりはすべて消えている。
余りの６回を検討。
Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｄ
ＤだけＯＮからＯＦＦに変わる。
ＯＮのランプはＡ・Ｂ・Ｃ・Ｅ。

（３）
Ｂ・ＣだけがＯＮになる状態はいつ現れるか。
奇数周ではＡＢＣが点灯してしまうので無い。
ＡとＥがＯＮの状態で偶数周に入る。
Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→ＥでＡとＥがＯＦＦ、Ｂ・Ｃ・ＤがＯＮ。
次のＤでＢとＣだけがＯＮになる。
つまり、偶数周の６回目でＢとＣだけが点灯する。

200÷８＝25周
24周目までに偶数周は12周分。ＢとＣだけが点灯するのは12回。
ラストの25周目は奇数周だから無い。
答えは12回。
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問題ＰＤＦ
　ある中学校の行事「Ａ川歩行」では、Ａ川に沿って数百人の生徒が一列になって一定の速さで歩きます。
　今年は川上の左岸のＰ地から、Ａ川に垂直にかかった全長800ｍのＢ橋を一回だけ渡って、川下の右岸のＱ地まで歩きます。
　列の先頭はＰ地を午前９時30分に出発しました。列の長さは、列の最後尾が歩き始めるときに1.6ｋｍになりました。この列はＢ橋を渡り始めてから渡り終えるまでに30分かかり、列の先頭は午前11時ちょうどに渡り終えました。Ｂ橋を渡り終えるとすぐに広い土手があって、着いた生徒から昼食休憩をとりました。その後、正午にＢ橋を渡り終えた場所から再び列の先頭が出発し、時速3.6ｋｍで歩きました。このときも、列の長さは1.6ｋｍになりました。列の先頭がＱ地に着いたのは午後２時40分でした。
　また、ボートが午前８時55分にＱ地を出発しました。このボートは午前９時55分に生徒の列の先頭と出会いました。Ａ川の流れの速さを時速２ｋｍとして、次の問いに答えなさい。

（１）
昼食休憩をとる前の生徒の列の速さは時速何ｋｍでしたか。

（２）
ボートの静水時の速さは時速何ｋｍですか。

（３）
ボートはＱ地から31ｋｍ上流にある右岸のＲ地に停泊して、そこで昼食休憩をとり、
午前11時50分に下流へ向けて出発しました。
ボートが生徒の列の最後尾に追いつくのは午後何時何分ですか。

＠解説＠
（１）

1.6ｋｍの電車が0.8ｋｍの橋を通過する問題と同じ。
0.8＋1.6＝2.4ｋｍを30分（１/２時間）で歩くので、2.4×２＝時速4.8ｋｍ

（２）

状況を整理する。
先頭だけの時刻を追うと上図のようになる。
橋の長さ0.8ｋｍはＰＱ間の距離に含まれないことに注意！

Ｐ～休憩ポイントまでは、4.8×３/２時間＝7.2ｋｍ
Ｐ～橋までは、7.2－0.8＝6.4ｋｍ
橋～Ｑの距離は、3.6ｋｍ×８/３時間＝9.6ｋｍ
ＰＱ間の距離は、6.4＋9.6＝16ｋｍ

先頭が出発してから25分後にボートと出会う。
その距離は、4.8×25/60時間＝２ｋｍ
ボートは１時間で16－２＝14ｋｍ移動した。
上りの速さが時速14ｋｍで、これに流速の時速２ｋｍを足し、
静水時の速さは時速16ｋｍ。

（３）
ボートが列の最後尾に追いつく時間を求めるが、
最後尾がＢ橋を出発した時刻が正午から４/９時間後と変な数字がでてくる(;°;ω;°;)
列の先頭は正午発とキリが良いので、先頭を基準に考えてみる。

ボートは午前11時50分にＲを発つ。
前問でボートの静水時が時速16ｋｍだったので、下りの速さは時速18ｋｍ。
正午までボートは18×１/６時間＝３ｋｍ移動している。
列の先頭との差は、31－（３＋9.6）＝18.4ｋｍ

↑正午からボートが列の最後尾に追いつくまでの様子。
速さの比が、ボート：列＝18：3.6＝⑤：①に注目する。
時間一定ならば、速さの比は距離の比。
ボートの出発地点から列の先頭地点までの全体を見渡すと、
ボートの移動距離⑤＋1.6ｋｍ＝18.4ｋｍ＋列の先頭移動距離①
④＝16.8ｋｍ
①＝4.2ｋｍ

列が移動した時間は、4.2÷3.6＝７/６時間＝１時間10分
正午から１時間10分後である午後１時10分。

＠備考＠
列の最後尾基準で考えて、正解にたどり着けなかった人もいたと思いますので、
以下、計算過程を残しておきます。

列の最後尾がＢ橋を出発した時刻は、正午から1.6÷3.6＝４/９時間後
この間にボートは、１/６＋４/９＝11/18時間移動している。
移動距離は、11/18×18＝11ｋｍ
ボートと最後尾との差は、31－（11＋9.6）＝10.4ｋｍ
先ほどの速さの比＝距離の比＝⑤：①を用いる。
④＝10.4ｋｍだから、最後尾の移動距離①＝2.6ｋｍ
その時間は、2.6÷3.6＝13/18時間
正午から４/９＋13/18＝７/６時間＝70分後→午後１時10分

＠余談＠
＞利根川歩行・荒川歩行（早稲田中高）
Ａ川は荒川でしょうか？(´ω`).。0
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問題ＰＤＦ
下の図のような、ＡＢ＝ＡＣ＝10ｃｍ、ＢＣ＝12ｃｍの二等辺三角形ＡＢＣがあります。
はじめに点Ｐは点Ｂの位置に、点Ｑと点Ｒは点Ｃの位置にあり、３点Ｐ、Ｑ、Ｒは同時に移動を開始し、点Ｐと点Ｑは点Ａへ向かって辺上を毎秒１ｃｍの速さで、点Ｒは点Ｂへ向かって辺上を毎秒〔　ア　〕ｃｍの速さで移動します。直線ＱＲは常に辺ＡＢに平行であるとき、次の問いに答えなさい。

（１）
〔　ア　〕にあてはまる数を答えなさい。

（２）
三角形ＡＰＱと三角形ＱＲＣの面積について、面積の大きいほうが小さいほうの25倍になるのは、
３点Ｐ、Ｑ、Ｒが移動を開始してから〔　イ　〕秒後です。
〔　イ　〕にあてはまる数として考えられるものをすべて答えなさい。

（３）
３点Ｐ、Ｑ、Ｒが移動を開始してから５秒後の３点の位置をそれぞれＰ₅、Ｑ₅、Ｒ₅とし、
８秒後の３点の位置をそれぞれＰ₈、Ｑ₈、Ｒ₈とします。
直線Ｐ₅Ｑ₅とＰ₈Ｒ₈の交点をＸ、直線Ｐ₅Ｒ₅のとＰ₈Ｒ₈の交点をＹ、
直線Ｐ₅Ｒ₅とＱ₈Ｒ₈の交点をＺとします。
このとき、直線ＡＲ₅の長さは８ｃｍとなります。

①三角形Ｐ₅ＸＹの面積は何ｃｍ²ですか。
②直線ＹＺの長さは何ｃｍですか。

＠解説＠
（１）

ＱＲは常にＡＢと平行である。
Ｑの速さは毎秒１ｃｍだから、10秒後にＡに着く。
同時にＲはＢに着く。Ｒの速さは、12ｃｍ÷10秒＝秒速1.2ｃｍ

（２）

ＡＰとＱＲは平行。
また、ＰとＱは対称的な動きをするのでＰＱとＢＣ（ＲＣ）も平行。
→△ＡＰＱと△ＱＲＣは２角が等しく相似。
【面積比１：25→相似比１：５】
△ＱＲＣが小さい場合、ＡＱ：ＱＣ＝⑤：①
ＱＣ＝10×①/⑥＝５/３ｃｍ→５/３秒後

もう１つは、△ＡＰＱが小さい場合。
ＱＣ＝10×⑤/⑥＝25/３ｃｍ→25/３秒後
５/３秒後と25/３秒後

（３）①
ここから差がつく。

問題文に従って、Ｘ・Ｙ・Ｚを記入する。（間違えないように！）
△Ｐ₅ＸＹを求めたい。
ＸとＹに関する比が欲しい…。

（ＢはＰ₀、Ｒ₁₀にあたる）
Ｐ₈Ｐ₅：Ｐ₅Ｂ＝３：５
△Ｐ₈Ｐ₅Ｘと△Ｐ₈ＢＲ₈は相似で、Ｐ₅Ｘ＝③とするとＢＲ₈＝⑧
ＢＲ₈：Ｒ₈Ｒ₅＝２：３だから、Ｒ₈Ｒ₅＝⑧×３/２＝⑫
△Ｐ₅ＹＸと△Ｒ₅ＹＲ₈の相似から、Ｐ₅Ｙ：ＹＲ₅＝①：④

Ｑ₅Ｒ₅に補助線。
四角形Ｐ₅ＢＲ₅Ｑ₅に着目すると、２組の対辺が平行な平行四辺形。
Ｐ₅Ｑ₅＝ＢＲ₅＝⑳

5がつく点はそれぞれの△ＡＢＣの辺の中点で、
△Ｐ₅Ｒ₅Ｑ₅の面積は△ＡＢＣの４分の１にあたる。
方針；【△ＡＢＣ⇒△Ｐ₅Ｒ₅Ｑ₅⇒△Ｐ₅ＸＹ】
△ＡＢＣの底辺はＢＣ＝12ｃｍ、高さはＡＲ₅＝８ｃｍだから、
12×８÷２÷４×③/⑳×①/⑤＝９/25ｃｍ²

②

ＹＺを１辺とする△ＹＲ₈Ｚと相似にあるのは△ＹＰ₈Ｐ₅。
対応する辺の長さを調べる。
Ｐ₈Ｐ₅＝３ｃｍ、Ｐ₅Ｂ＝５ｃｍ
△Ｐ₅ＢＲ₅と△ＺＲ₈Ｒ₅は相似→ＺＲ₈＝５×③/⑤＝３ｃｍ
△ＹＲ₈Ｚと△ＹＰ₈Ｐ₅の相似比はＺＲ₈：Ｐ₅Ｐ₈＝１：１
ＹはＰ₅Ｚの中点である。

四角形ＡＰ₅ＺＱ₈に着目する。
ＡＢとＱＲは常に平行だから、ＡＰ₅とＱ₈Ｚは平行。
Ｐ₅とＲ₅はそれぞれＡＢとＢＣの中点→Ｐ₅Ｒ₅とＡＣ（Ｐ₅ＺとＡＱ₈）も平行。
２組の対辺が平行だから平行四辺形。
Ｐ₅Ｚ＝ＡＱ₈＝２ｃｍ
ＹＺ＝２÷２＝１ｃｍ

＠別解＠
二等辺三角形Ｐ₅ＢＲ₅、ＺＲ₈Ｒ₅から、Ｐ₅Ｒ₅＝５ｃｍ、ＺＲ₅＝３ｃｍ
Ｐ₅Ｚ＝５－３＝２ｃｍでも出せました。
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