難関中算数科」カテゴリーアーカイブ

2021年度 東大寺学園中学過去問【算数】大問1解説

(1)次の空欄にあてはまる数を答えなさい。

(2)
液体Aをある容器に54g入れるといっぱいになりました。同じ容器に液体Bを30g入れるといっぱいになりました。この容器に液体Aと液体Bを入れていっぱいにしたところ、容器に入っている容器Aと容器Bの重さの比は6:5になりました。
このとき、容器に入っている液体Aと液体Bはそれぞれ何gですか。
ただし、液体Aと液体Bは混ざり合わないものとします。

(3)
同じ大きさの小さい立方体の積み木125個を積んで図のように大きい立方体をつくりました。図において、PはAB、QはBC、RはCDのそれぞれ真ん中の点です。P、Q、Rを通る平面で大きい立方体を切断しました。このとき、次の問いに答えなさい。必要ならば解答欄の図を用いなさい。

(ⅰ)
切られなかった小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

(ⅱ)
切り口の形が正六角形となっている小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

↑解答欄の図。


@解説@
(1)

過呼吸になるね(:.;゚;Д;゚;.:)

心折られて手つけたくないが、解説ブロガーとして無視したい無視すべきではないの葛藤に悩まされ、おそらくこれが解けるまで永遠に病みつづけるであろうと悟り、やむを得ず挑戦してみました。
とりあえず、□のない右辺から処理してみるよ。。

通分してつなげたときは、うしろの項にカッコをつけること!
カッコを展開すると+1は-1に符号が変わる。
立方数の差はがんばって出す。結果は60。

左辺でわかるところを処理。
21×21-19×19
=441-361=80
43×47=2021
*この素数の積は年号問題で予想されていたので、難なくクリアできたはず。
41×49=2009

残るカッコ内の分子を△(=2009+□)としてまとめると・・

80-20=60だけど4ケタの分数が邪魔すぎる(:.;゚;Д;゚;.:)
何か整数論のマジックがあるのかもしれないが(あるの?)、20×2009/△の値が知りたいので・・

マウスを握る手が痛くなってきたが、20でまとめると分子が20×2009で共通する!
△=2025
2009+□=2025
□=16

@余談@

結果論になってしまいますが、△=2025であれば、
80×2021-20×2009=60×2025が成り立つ。
長方形の面積でとらえると、L字の赤い部分の下が12×20=240で、
これを右上に縦60でくっつけると横が4。
ちょうど60×2025になる:( ´ω` ):
東大寺の先生はどうやってこういうの作ってるんでしょうね。。

■追記■
80×2021-20×2009=60×2025
80×43×47-20×41×49=60×45×45
80×(45-2)×(45+2)-20×(45-4)×(45+4)=60×452
80×(452-4)-20×(452-16)=60×452
80×452-80×4-20×452+20×16=60×452
452×(80-20)=60×452
80-20=60

(2)
同じ容器にAだけで54g、Bだけで30g。
単位体積あたりの重さの比は、A:B=54:30=9:5
容器に混ぜたときの重さの比はA:B=6:5なので、
体積比はA:B=6÷9:5÷5=②:③

容器の体積を⑤とすると、Aは②、Bは③入っている。
Aの重さ…54×2/5=21.6g
Bの重さ…30×3/5=18g

(3)(ⅰ)

頻出のパターンなので正解したい。
PとQが小さい立方体の中点にある。平行線の出発点を間違えないように!

3段目の中央で折り返すので、対称性から1段目と5段目、2段目と4段目は同じ。
各段で切り込まれる上面と下面の平行線を作図。
この平行線に触れる正方形の数を数える。
9×2+12×2+13=55個
切られない立方体は、125-55=70個

(ⅱ)

↑大きい立方体が切り込まれた状況のように、上からみたときに上面の上と右の辺、
下面の下と左の辺の中点を断面が通ると正六角形になる。

3×2+4×2+5=19個
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2021年度 洛星中学過去問【算数】大問4解説

図のような道路があり、PQ間は600m、QR間は320m、RS間は800mです。

太郎君はPからSへ向かって、次郎君はSからPへ向かって、同時に出発しました。
太郎君がSに着いたとき、次郎君はPまであと344mのところにいました。
なお、2人が歩く速さはそれぞれ一定です。

(1)
2人が歩く速さの比を求めなさい。

 

別の日に、RからQへ向かって一定の速さで動く歩道ができました。
太郎君はPからSへ向かって、次郎君はSからPへ向かって、同時に出発しました。
すると、2人はRですれちがいました。ただし、QR間は動く歩道を歩くものとします。

(2)
太郎君が歩く速さは、動く歩道が動く速さの何倍ですか。

 

太郎君がSに着いてから2分42秒後に、次郎君はPに着きました。

(3)
太郎君が歩く速さは毎分何mですか。


@解説@
(1)
太郎の移動距離は、600+320+800=1720m
次郎の移動距離は、1720-344=1376m
速さの比は距離の比。
太郎:次郎=1720:1376=215:172=5:4
*最後は43で割りますヽ(`Д´)ノ

(2)

次郎は800m歩く。
前問の速さの比を使うと、太郎は800×5/4=1000m歩くはずだが、
Rで次郎と出会うということは、1000-(600+320)=80m減っている。
これは太郎が歩くはずの1000mのうち、600mは通常の速さだが、
動く歩道で減速した結果、残りの400mが320mに縮小されて-80mとなった
-80mが動く歩道の影響を受けた部分。
太郎の速さ:動く歩道の速さ=400:80=5:1
太郎の速さは動く歩道の速さの5倍。

(3)
速さの比は太郎が⑤、次郎が④、動く歩道が①で、
次郎は動く歩道に乗ると④+①=⑤で加速する。

太郎がRからSに歩く時間で、次郎はどのくらい移動するか。
PQ間は動く歩道の影響を受けないので、Pからさかのぼって計算してみる
本来、次郎の速さでは800×④/⑤=640m歩くはずだが、
実際は超過分の40mは動く歩道の影響を受けるので、40×⑤/④=50m歩く。
残りの320-50=270mが2分42秒となる。
2・42/60分=27/10分
270m÷27/10分=毎分100m

次郎+動く歩道の⑤が毎分100m。
太郎は⑤だから、毎分100m。
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2021年度 甲陽学院中学1日目過去問【算数】大問3解説

図のような、立方体の各辺の真ん中の点を結んで出来た立体Xがあります。

(1)
辺BEの真ん中の点Mを通り、面ABCDに平行な平面で立体Xを切断するとき、
立体Xの断面積は面ABCDの面積の何倍ですか。

(2)
BN:NE=1:2となるように辺BE上に点Nをとります。
点Nを通り、面BCFに平行な平面で立体Xを切断するとき、
立体Xの断面積は面BCFの面積の何倍ですか。


@解説@
(1)

△ABEは斜めの面だが、上から眺めると直角二等辺三角形にみえる。
MはEBの中点で、ABと平行になるように切られるので断面はEAの中点も通過する
対称性でつなげていくと、断面の形は八角形である。

左下の△FEMの面積を①とする。
辺の比から△ABE=△ABO=④
五角形AFMBO=⑧-①=⑦(等脚台形AFMBは③)

面積比の算出は正方形AEBO内で決着がつく。
正方形ABCD:断面積(八角形)=△ABO:五角形AFMBO=④:⑦
断面積は面ABCDの7/4倍。

(2)

断面の作図は図形Xの面上ではなく、外側へ延長しよう。
BFとの平行線を意識して、Nを通る正三角形GHIを作成。
EBは右上45度線、GIは右下45度線。
△GBNは直角二等辺三角形ゆえ、GN=BN=①
四角形BNJFは長方形で、NJ=BF=③
対称性からJI=GN=①
断面積は右の赤枠のような形になる。
△BCFの面積…③×③=【9】
断面積…⑤×⑤-①×①×3=【22】
断面積は面BCFの22/9倍。

@余談@

△BCFと△GHIは平行なので、三角錐J-BCFと三角錐J-GHIは相似関係にあるが、
Bから直接Gの位置を探ろうとすると失敗する(;`ω´)
BJは直角二等辺三角形BJFの等辺だが、GBは直角二等辺三角形GBNの斜辺にあたる。
中3で習う根号(ルート)を使わないと厳しい。。
また、角の3つの底面は正三角形だが、立体はきれいな三角錐ではない。

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2021年度 大阪星光学院中学過去問【算数】大問2解説

下の図1のように、縦の長さが8cmの長方形ABCDがあります。

点PはAを出発して辺AD上を毎秒5cmの速さで何度も往復します。
また点Qは、点Pと同時にCを出発して、辺CB上を一定の速さで何度も往復します。
下の図2のグラフはこのときの図形ABQPの面積の変化を表しています。

(1)
点Qの速さは毎秒何cmですか。

(2)
図2のグラフの〔ア〕にあてはまる数は何ですか。

(3)
2点P、Qが出発してから180秒間で面積が最も大きくなるのは何秒後ですか。
あてはまる数をすべて答えなさい。


@解説@
(1)

図形ABQPの面積は、AP(上底)+BQ(下底)の和に依存する
6秒後までは面積が増加しているのでAP+BQは長くなる。
つまり、BQの減少よりAPの増加が勝るので、PはQより速いことになる。
→6秒後、先にPがDに到着する。
ここからグラフが急激に下がるのは、Pが折り返すことでAPとBQがともに短くなるから。
面積が90cm2のときにQがBに到着する。
6×2=12秒後にPがAに戻る。
AD(長方形の横)の長さは6×5=30cm

QがBについたとき、AP=90×2÷8=22.5cm
Pの移動距離は、60-22.5=37.5cm
37.5÷5=7.5秒後
Qの速さは、30÷7.5=毎秒4cm

@別解@

PがAに戻る72cm2でも解ける。
BQ=72×2÷8=18cm
速さの比は、P:Q=60:48=5:4
Pが毎秒5cmなので、Qは毎秒4cm。

(2)
AP=30cm、BQ=30-4×6=6cm
(30+6)×8÷2=144

(3)
図形ABQPの面積が最大になるのは、PがD、QがCにいるとき
(長方形ABCDと同じ面積になる)
〔PがDにいる時間〕→6・18・30・42…
〔QがCにいる時間〕→15・30・45…
30秒後に面積がはじめて最大化。
留意点は、はじめにPはAから出発しているので、
今度はDから出発して再びDに戻るときを考えること!
30秒後にPはA→Dに移動するので、D→A→Dは60秒後
30と60の最小公倍数は言わずもがな60なので、以降60秒ごとに面積が最大化。
30+60=90秒後
90+60=150秒後
180秒間では30、90、150秒後。
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2021年度 浦和明の星女子中学過去問【算数】大問4解説

直方体の形をした、2つの容器A、Bに水が入っています。この2つの容器の底面積は異なり、容器Aの底面積は120cm2です。
はじめ、2つの容器AとBの水の深さの比は3:2でした。Aに入っている水の量の1/6をBへ移したところ、Aの水の深さはBより0.8cmだけ深くなりました。さらに、Aに入っている水の量の1/5をBへ移すと、Bの水の深さはAより2.4cm深くなりました。

(1)
はじめに容器A、Bに入っていた水の深さをそれぞれ答えなさい。

(2)
2つの容器の水の深さを等しくするには、この後、BからAへ何cm3の水を移せばよいですか。


(1)
AとBの水の量は等しいとは限らない。。

はじめのAの量を【6】とする。
【1】をBに移してAの量が【5】になったとき、A>Bで差は0.8cm。
【5】の1/5をBに移動。移動する水の量は【1】で先ほどと同じ量
Aの量が【4】になったとき、A<Bで差は2.4cm。

Aが【5】→【4】に変化したとき、Bを基準にAは+0.8から-2.4に下がる。
ということは、【1】の移動でAとBの差は2.4+0.8=3.2cmずつ拡大する

【5】のときから逆再生してAを【6】に戻すと、AとBの差は0.8+3.2=4cm。
これが初期状態におけるAとBの差の①に相当する。
③=4×3=12cm、②=4×2=8cm
A…12cm、B…8cm

(2)
Aが【5】のとき、A>Bで差が0.8cmであった。
もし、この状態からAとB
の水深を等しくするには、
Aからどれほどの量をBに移動させるべきであったか?

【1】で差が3.2cm拡大するから、0.8cmでは【0.8/3.2】=【1/4】
ということは、余分に移してしまった【3/4】をBから戻せばいい
はじめのAの水の量が【6】なので、
120×12×1/6×3/4=180cm3
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2021年度 浦和明の星女子中学過去問【算数】大問3解説

流れの速さが毎分36mの川の下流にア町、上流にイ町があります。この区間を2そうの船A、Bが往復しています。Aが上流に向かって進む速さとBが下流に向かって進む速さは同じです。
この2そうの船A、Bが、ア町からイ町に向かって同時に出発しました。Aがイ町に到着したとき、Bはイ町より1728m下流の地点にいました。その後Aはすぐにア町に向かって戻り、途中Bとすれ違った後、出発してから40分後にア町に戻りました。
下のグラフは、2そうの船がア町を出発してからの時間と、ア町からの距離を表したものです。
ただし、清水時での船の速さはそれぞれ一定であるとします。

(1)
静水時での船A、Bの速さの差は、毎分何mですか。

(2)
静水時での船Aの速さは毎分何mですか。

(3)
船A、Bが2度目にすれ違ったのは、ア町から何m上流の地点ですか。


@解説@
(1)
グラフばかりに目がいくと、初問でつまづいて全敗する(;´・ω・)
差の1728mは使わない。
用いるのは『Aの上流とBの下流の速さが同じ』。

上流の速さ=静水時の速さ-流れの速さ
下流の速さ=静水時の速さ+流れの速さ
Aの上流とBの下流の速さが等しいということは、
静水時のAとBの差は流れ2つ分
36×2=毎分72m

(2)

静水時のAとBの速さの差が毎分72m➡流れの速さを引いた上流の速さの差も72m。
AとBが同時に出発して1728mの差がでたということは、1728÷72=24分
Aの上りは24分で、Aの下りは40-24=16分
時間の比は、上り:下り=24:16=3:2
速さは逆比で、上り:下り=②:③

①…流れの2倍で毎分72m。
Aの静水時の速さは、72×②+36=毎分180m

(3)
Aの上りは、180-36=毎分144m
(1)より、AとBの速さの差は毎分72m(上りの差も同様)。
Bの上りは144-72=毎分72m
上りの速さが、A:B=144:72=2:1

時間は逆比で1:2だから、Bがイ町に着くのは24×2=48分
Aの上りとBの下りは時間が等しいので、Bがア町に戻るのは48+24=72分
赤い三角形に注目<●><●>カッ!!
速さが同じ→傾きの角度が一緒で底角が等しく二等辺三角形
AとBが2度目にすれ違う時間は、40と72の真ん中である56分。
すなわち、Aがふたたびア町を出発してから16分後である。
144×16=2304m
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2021年度 海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問4解説

1cmの目盛りの工作用紙を、1辺が6cmの正方形の形に切り出して、図1のように3点O、A、Bをとります。さらにこの正方形の周上に2点P、QをとりOからPまでと、OからQまでをまっすぐカッターで切ります。

(1)
点P、Qが図1の場合、切りはなされた2つの部分のうち小さい方の面積を求めなさい。

以下、問い(2)、(3)、(4)では分けられた2つの部分のうち、小さい方の面積が常に10cm2となるように切りはなすこととします。P、Qの位置は線の交差している場所でなくてもかまいません。

(2)、(3)の答え方は、点Aから右または上に何cm、点Bから下または左に何cmとします。例えば、図1の点Qは「点Aから上に3cm」、図3の点Pは「点Bから左に5cm」となります。点Aや点Bに一致するときは「点Aから×に0cm」のように答えなさい。

(2)
点Pが図2の位置にあるとき、点Qの位置として考えられる点をすべて答えなさい。

(3)
点Pが図3の位置にあるとき、点Qの位置として考えられる点をすべて答えなさい。

(4)
点Pから点Qに正方形の周上を反時計回りにたどった方が時計回りにたどるよりも距離が短いように点P、Qを決めます。また、点P、Qは異なる辺に含まれるものとします。
点Pを含む辺と辺Qを含む辺が隣り合わないのは、点Pがどこにあるときですか。あり得る場所の範囲を解答らんの図に太線で表しなさい。なお、正方形の頂点については考えなくてもかまいません。


@解説@
(1)

13cm2

(2)

Pの左と右に10cm2の領域をつくる。
正方形の辺とOの距離がともに4cmなので、
Pから底辺の合計が5cmとなる場所がQになる。
点Aから×に0cm、点Bから下に2cm。

(3)

同様にPの左と右に10cm2の領域を作成。
高さに気を付けながら10cm2になるまで底辺を増やしていく。
点Aから右に1.5cm、点Bから下に2.5cm。

(4)
Pの反時計回りにQがいる。
『PとQは異なる辺に含まれるものとする』『Pを含む辺とQを含む辺が隣り合わない』
PとQは正方形の対辺にある(なお、問題文から正方形の頂点は考えなくてよい)
面積10cm2を維持しながら、PとQが正方形の対辺にくるときのPの範囲を調べる。

①PはAからスタート、ここからPとQを反時計回りに辺上を移動させる。
高さ(O~正方形の辺までの距離)は4cmだから底辺の合計は5cm。
②QがBに到着。ここまでは高さが4cmなので、底辺の合計は5cmのまま。
PとQは対辺にない。
③Qが左上の頂点に到着。ここから先はPとQが対辺にくる。
④PがBに到着。対辺でなくなる。
⑤QがAに到着。これ以降は対辺の関係。
⑥Pが左上の頂点に到着。対辺でなくなる→①に戻る。

↑解答。
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2021年度 海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問3解説

+、-、×、÷の混ざった計算では+、-よりも×、÷が優先されるため、
計算の順序を変えるためには( )を使う必要があります。
 例)(3+4)×(6-2)=7×4=28
このような計算を( )を用いずに表す方法として、逆ポーランド記法という表し方が知られています。例えば上の例の式を逆ポーランド記法では、数と記号を並べた
 3、4、+、6、2、-、×
という列で表します。(「、」は区切りを表すためにつけたもので、計算には使いません)
これを計算するときの手順は次の通りです。

まず、準備として、いくつかの積み木を用意する。
手順①:列の1文字目は「3」なので、積み木に「3」と書き込んで床に置く。
手順②:列の2文字目は「4」なので、積み木に「4」と書き込んで、
「3」の積み木の上に重ねる。
手順③:列の3文字目は「+」なので、積んである積み木のうち上から2個を取り出し、
「上から2番目の積み木に書かれた数」+「上から1番目の積み木に書かれた数」を計算する。
「3」+「4」=「7」
計算結果の「7」を書き込んだ積み木を床に置く。(「3」「4」の積み木は捨てる)
手順④:列の4文字目は「6」なので、積み木に「6」と書き込んで「7」の積み木の上に重ねる。
手順⑤:列の5文字目は「2」なので、積み木に「2」と書き込んで「6」の積み木の上に重ねる。
手順⑥:列の6文字目は「-」なので、積んである積み木のうち上から2個を取り出し、
「上から2番目の積み木に書かれた数」-「上から1番目の積み木に書かれた数」を計算する。
「6」-「2」=「4」
計算結果の「4」を書き込んだ積み木を、床に置いてある積み木の上に置く。
(「6」「2」の積み木は捨てる)
手順⑦:列の7文字目は「×」なので、積んである積み木のうち上から2個を取り出し、
「上から2番目の積み木に書かれた数」×「上から1番目の積み木に書かれた数」を計算する。
「7」×「4」=「28」
計算結果の「28」を書き込んだ積み木を床に置く。(「7」「4」の積み木は捨てる)
手順⑧:これで列の最後まで進んだので、計算を終了する。
床に残った積み木に書かれた数「28」が計算結果となる。

図:①~⑦のそれぞれが終了したとき、床に置かれた積み木の状態

以下の問いに答えなさい。

(1)
逆ポーランド記法で5、6、+、7、×と表される式の計算結果はいくつですか。

(2)
通常の表し方で(11-5)×2-3と表される式を、逆ポーランド記法で表すと
〔 ア 〕、〔 イ 〕、-、2、〔 ウ 〕、〔 エ 〕、〔 オ 〕
となります。ア~オに入る数または記号を答えなさい。

(3)
「2」を6個、「×」を2個、「+」を3個使って逆ポーランド記法で表される式のうち、
最も計算結果が小さくなる式の計算結果は〔 カ 〕です。
また、最も計算結果が大きくなる式は
2、2、〔 キ 〕、〔  〕、〔  〕、〔  〕、〔 ク 〕、〔  〕、〔  〕、〔  〕、〔  〕
および
2、2、〔 キ 〕、〔  〕、〔  〕、〔  〕、〔  〕、〔  〕、〔  〕、〔 ク 〕、〔  〕で、その計算結果は〔 ケ 〕です。このとき同じ結果になる式が2つあるのは、計算についての決まり(コ)があるからです。

(ⅰ)
カ~ケに入る数または記号を答えなさい。
ただし、2ヶ所の〔 キ 〕、2ヶ所の〔 ク 〕にはそれぞれ同じものが入ります。

(ⅱ)
下線部(コ)と同じ計算の「決まり」を使っている記述として、
もっとも適切なものを次の中から選びなさい。
(あ)2×3と3×2は等しい
(い)2+2+2と2×3は等しい
(う)(2×3)×4と2×(3×4)は等しい
(え)3×(4+6)と3×4+3×6は等しい


@解説@
(1)
問題文が長い(;´д`)
左から順に処理していく。
〔5、6、+、7、×〕
5+6=11
11×7=77

(2)
(11-5)×2-3を逆ポーランド記法で表す。
〔11、5、-、2、×、3、-〕
はじめは11と5を設置。-で引く。
×2は数字の2が先、記号の×が後ろ。-3も同様。

ア…11、イ…5、ウ…×、エ…3、オ…-

(3)(ⅰ)
計算結果を最も小さくする。
2+2=2×2=4から、×を連続しないように配置する。
2×2+2×2+2+2=12
*逆ポーランド記法で記述すると〔2、2、×、2、2、×、+、2、+、2、+〕。

計算結果を最も大きくする。
大きなカタマリで掛け算をすれば良い。
イメージ→(  )×(  )×(  )
(2+2)×(2+2)×(2+2)=64
逆ポーランド記法で記述すると
〔2、2、+、2、2、+、×、2、2、+、×〕
もしくは
〔2、2、+、2、2、+、2、2、+、×、×〕
カ…12、キ…+、ク…×、ケ…64

(ⅱ)
比較してみましょう↓

(4×4)×4という順序。

積み木の例で考えると、上2つの数字を先にかける
はじめの4は一番下にあるので、最後にかけることになる。
4×(4×4)という順序。
(う)
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2021年度 海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問1解説

(1)
1から200までの17の倍数の和をA、13の倍数の和をBとするとき、
AとBではどちらがどれだけ大きいですか。

(2)
3の倍数の積3×6×9×…×99を計算すると下何けたが0になりますか。

(3)
a×a=a2、a×a×a=a3のように表します。
(あ)
偶数を2、22、23・・・の和で表そうと思います。
例えば10=2+23、24=23+24のようになります。2020を表しなさい。

(い)
次の〔   〕に当てはまる整数の組を1つ答えなさい。
2020=232+292+〔  〕2+〔  〕2

(4)
図1の7種類のタイルのうち5種類を使い、重ならないように配置して
図2の4×9の長方形をはみ出さないようにおおうことを考えます。

同じタイルはいくつ使っても、向きを変えてもかまいませんが、
裏返して使うことはできません。長方形の埋め方を1つ示しなさい。


@解説@
(1)
A;200÷17=11…13
B;200÷13=15…5
1~200までに17の倍数は11個、13の倍数は15個ある。

11個目までは17-13=4、17×2-13×2=4×2=8、
17×3-13×3=4×3=12…と、差が4の倍数で広がっていく
11個目の差は11×4=44。差の合計は(4+44)×11÷2=264
→11個目まではAが264多い。

Bは12~15個目(最後から4個)の13の倍数が加算される。
13×12+13×13+13×14+13×15
=13×(12+13+14+15)=13×54=702
差は702-264=438
Bが438大きい。

(2)
10の倍数ではなく、5の倍数に着目しよう。
10の倍数でない5の倍数も偶数とかけあわせれば0が作れる。
3の倍数×5の倍数=15の倍数
〔15・30・45・60・75・90〕
気を付けるべき点は、75は25の倍数で素因数5が2つある
7桁

(3)(あ)
2020を2のベキ乗の和で示す。
ズバリ、2進法(σ・Д・)σ

2020を2進法になおすと〔11111100100〕。
0×0+21×0+22×1+23×0+24×0+25×1+26×1+27×1+28×1+29×1+210×1
先頭は20=1に注意!
よって、22+25+26+27+28+29+210

(い)
考えるよりやってみた方が早いと思う(;`ω´)
23×23=529
29×29=841
2020-(529+841)=650

650を2つの平方数の和で示す。
23×23=529だったので、650に近い平方数を調べてみると25×25=625
650との差が25だから、52+252と出てしまう。。

また、23×23=529と650の差が121で、
中学受験生であれば20の平方数までは言えるはずなので112+232と出る。

@余談@
2020を2つの平方数の和で表す問題が市川高校で出題されました。

2020年度 市川高校過去問【数学】大問2解説

-ブラーマグプタの恒等式-
(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2

650=2×52×13=52×(2×13)=25×26
25=02+52
26=12+52
a=0、b=5、c=1、d=5とおいて代入。
(02+52)(12+52
=(0×1+5×5)2+(0×5-5×1)2
=252+(-5)2

負の数は2乗すると符号が正に変わるので、
650=52+252に置き換えられる。

―別解―
650=2×52×13=13×50
13=22+32
50=12+72
a=2、b=3、c=1、d=7で代入。
(22+32)(12+72
=(2×1+3×7)2+(2×7-3×1)2
=232+112

―別解2―
13=22+32
50=72+12 ←項を入れ替えた。
a=2、b=3、c=7、d=1で代入。
(22+32)(72+12
=(2×7+3×1)2+(2×1-3×7)2
=172+(-19)2
2乗すると負が正に変わるから、172+192

(4)
テトリス問題(‘ω’)
7種類のなかから5種類のタイルを選ぶ。

9列あるが棒と正方形を使えば列の数を減らすことはできる。
残りの3種類で四角形を埋めることができれば、ほぼ正解◎。

下から埋めてみました。
同じパーツを使ってみると良いかも。『ト』が万能。
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2020年度 明治学園中学過去問【算数】大問5解説

半径3cmの球の体積は、底面が半径3cmの円で、高さが6cmの円柱の体積の3分の2に等しいことが知られています。このことを利用して、次の問いに答えなさい。
(1)
半径3cmの球の体積を求めなさい。

(2)
図1のような直方体の箱があります。この箱の内部を半径3cmの球が自由に動き回るとき、動き回ることのできる部分は図2のような立体になります。この立体の体積は、半径3cmの球の体積の何倍ですか。

(3)
1辺の長さが15cmの立方体の箱があります。この箱の内部を半径3cmの球が自由に動き回るとき、動き回ることのできる部分の体積を求めなさい。


@解説@
(1)
問題文の情報から式を立てる。
3×3×3.14×6×2/3=113.04cm3
*半径をr、円周率をπとして、〔球の体積V=4/3πr3〕と中学1年生で習います。

(2)

おそらく、こうやって欲しいのだと思う(‘Д’)
問題文から半径3cmの球と、底面が半径3cm高さ6cmの円柱の体積比が2:3。
半径3cm高さ6cmの円柱と、同じ底面で高さ9cmの体積比も2:3。
これを連比処理すると④:⑥:⑨。
図2の立体は、球+高さ9cmの円柱だから④+⑨=⑬
球の体積の13/4倍。

(3)
難関校対策クラスではやるのかもしれないが…ムズいべ(;´Д`)
求積すべき立体がイメージできないと話にならない。

わかりやすい場所からいきます。
15cmの立方体の各頂点に8つの球を設置。
この球の中心を頂点とする立方体(1辺9cm)の内部は、球がすべて通過できる。


つづいて、内部の立方体の各6面に接する、外側の立体を考える。
1辺15cm立方体を上からみると、4つの円の中心を頂点とする1辺9cm正方形の内部は、
すべて球が通過する。立体で捉えれば、9cm×9cm×3cmの四角柱で、これが6つ。
*うえの図では上面と左面しか記載していません(;^ω^)

さらに、先ほどの9×9×3の四角柱の外側に注意を向けると、
半径3cm中心角90°の扇形の柱体がある。
この柱体は1辺15cmの立方体の辺に1本ずつあるので合計12本。
4本集めると半径3cm高さ9cmの円柱となるから、前問の体積比でいえば⑨となる。
円柱は12÷4=3個できるので体積比の合計は㉗。

最後に立方体の8つの頂点には、それぞれ球の8分の1がある。
8つ集めると
半径3cmの球となり、前問の体積比でいえば④。

まとめると・・・
9×9×9+9×9×3×6+113.04×(㉗+④)/④
=729+1458+876.06=
3063.06cm3
類題を解いて理解していれば辛うじて式は立てやすいが、そうじゃないとかなり厳しい(´~`)
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