図のように、ＡＢ＝６ｃｍ、ＡＤ＝８ｃｍ、ＡＥ＝12ｃｍの直方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨから、
１辺の長さが４ｃｍである正方形を底面とする直方体でまっすぐ奥までくりぬいた立体があります。
次の問いに答えなさい。

（１）
この立体の体積と表面積をそれぞれ求めなさい。

（２）
辺ＡＤ、ＢＣ、ＥＨの真ん中の点をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒとします。
この立体を３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切断したとき、点Ａをふくむ方の立体をＫとします。
立体Ｋの表面積を求めなさい。

（３）
（２）の立体Ｋにおいて、辺ＡＥ、ＰＲの真ん中の点をそれぞれＳ、Ｔとし、
辺ＢＦ上にＢＵ＝４ｃｍとなる点Ｕをとります。
立体Ｋを３点Ｓ、Ｔ、Ｕを通る平面で切断したとき、
点Ａをふくむ方の立体の体積を求めなさい。

＠解説＠
（１）
◆体積
（６×８－４×４）×12
＝32×12＝384ｃｍ³

◆表面積

外側を展開すると、横28（長方形ＡＢＣＤの周りの長さ）ｃｍ、縦12ｃｍの長方形。
中側を展開すると、横16ｃｍ、縦12ｃｍの長方形。
これに前後の32ｃｍ²を足す。

28×12＋16×12＋32×２
＝44×12＋64＝592ｃｍ²

（２）

外・中・前後は前問の半分。
切断により新たにむき出しになる部分は、うえの斜線部分。
592÷２＋２×12＝320ｃｍ²

（３）

書いててゴチャゴチャしましたが、概ねこんな感じになります(´°ω°`;)
断面の形はコ。
立体Ｋは全体の半分だから、384÷２＝192ｃｍ³

四角形ＡＢＦＥで捉える。
断面はコの字だが、一様にコの字なので柱体の切断をみなし、上底＋下底の比が使える。
全体の体積比は、12＋12＝㉔
求積すべき立体の体積比は、６＋４＝⑩
192×⑩/㉔＝80ｃｍ³
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（１）
次の計算をしなさい。

（２）
まっすぐな道路の片側に木を植えます。
最初にＡ地点とＢ地点に木を植えて、すべての木と木の間かくが等しくなるように、
Ａ地点とＢ地点の間に木を植えることにします。
木の本数は、10ｍおきに植えるときのほうが、14ｍおきに植えるときより22本多く植えられます。
次の問いに答えなさい。
①Ａ地点とＢ地点は何ｍ離れていますか。

②10ｍおきに植えるときと、14ｍおきに植えるときに、
同じ位置に木を植えられるのは、Ａ地点とＢ地点を除いて何か所ありますか。

（３）
太郎君は３種類のお菓子Ａ、Ｂ、Ｃを合計2021個もらいました。
それぞれのお菓子の個数の比は、ＡとＢは１：６、ＢとＣは８：５です。
次の問いに答えなさい。
①太郎君はお菓子Ａとお菓子Ｃをそれぞれ何個もらいましたか。

②お菓子をもらった日、太郎君はお菓子Ａを20個とお菓子Ｃを180個家族にあげました。
その翌日から、太郎君は１人で毎日お菓子Ａを２個とお菓子Ｃを３個食べ続けました。
何日間か食べたところ、お菓子Ａの残りとお菓子Ｃの残りの個数の比が１：５になりました。
太郎君はお菓子を何日間食べましたか。

（４）
図のように直角三角形ＡＢＣと直線ℓが２点Ｄ、Ｅで交わっています。
直角三角形ＡＢＣを直線ℓの周りに１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし、円すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求めるものとします。

（５）
図は１辺４ｃｍの正方形と、半径２ｃｍで中心角90°のおうぎ形を４つ組み合わせた図形で、
辺ＡＤ上にＡＭ＝１ｃｍとなるような点Ｍをとります。
また、辺ＢＣ上のＦとＣの間に点Ｐをとり、２点Ｍ、Ｐを結び、
図のように影のついた部分をそれぞれア、イ、ウとします。
次の問いに答えなさい。

①ＣＰ＝１ｃｍのとき、ア、イ、ウの面積の和を求めなさい。

②アの面積と、イとウを合わせた面積が等しいとき、
ＣＰの長さを求めなさい。

（１）

16－９＝７
*ここの１番は例年、答えが整数値です。

（２）①
Ａ～Ｂにおいて、14ｍおきの間の数を●、10ｍおきの間の数を▲とする。
Ａ～Ｂの距離で等式を立てると、14×●＝10×▲
ということは、間の数の比は逆比となる。●：▲＝10：14＝⑤：⑦
22本多く植えられる→間の数が22個多い。
差の②が22個に相当するので、10本おきの間の数▲＝22×⑦/②＝77個
Ａ～Ｂの距離は、10×77＝770ｍ

②
10と14の最小公倍数は70。
Ａ地点から70ｍおきに同じ位置に木を植えられる。
770÷70＝11ヶ所
しかし、最後はＢ地点でかぶるので除くこと！
答えは10ヶ所。

（３）①
2021個とかもらいすぎじゃね(･Д･)

連比処理にかけると、Ａ：Ｂ：Ｃ＝④：㉔：⑮
和の㊸が2021個に相当する。

43×47＝2021←年度問題。対策しておく。
Ａ…2021×④/㊸＝47×④＝188個
Ｃ…2021×⑮/㊸＝47×⑮＝705個

②
Ａ残り…188－20＝168個
Ｃ残り…705－180＝525個
ここから１日にＡは２個、Ｃは３個ずつ減っていく。
求める日数までに減った総数（１日に減る個数×日数〇）の比をＡ：Ｃ＝②：③とおくと、
【168－②：525－③＝１：５】

（168－②）×５＝840－⑩＝525－③
移項を使わせて頂きます(;`ω´)
⑦＝315
①＝45
〇が日数なので、45日間。

（４）

↑回転体はこのようになる。
円錐に円柱が重なり、上部に空白の円錐がある。
△ＡＢＣ∽△ＤＢＥより、ＤＥ＝４ｃｍ

さらに長さを調べていく。
下の大きい円錐を区切ってみると、●がＢＤの中点にあたる。
立体の体積は、半径６高さ４の円錐と半径３高さ４の円柱の和から、
重複する半径３高さ２の円錐と上部空白の半径３高さ２の円錐を引けばいい。
６×６×3.14×４÷３＋３×３×3.14×４－３×３×3.14×２÷３×２
＝72×3.14＝226.08ｃｍ³

（５）①
とても面白い問題です(´ω`ﾉﾉﾞ

ＣＰ＝ＡＭ＝１ｃｍのとき、図形全体が点対称である。
アを右へ引越し。
赤線のエリアが求積すべきエリアであり、
これは台形ＭＤＣＰから半径２ｃｍの扇形を引けばいい。
（３＋１）×４÷２－２×２×3.14÷４
＝4.86ｃｍ²

②

黒い部分を共通部分として巻き込むと、
イ＋ウ＋黒（扇形３つ）＝ア＋黒（台形ＡＭＰＢ）
台形ＭＤＣＰの面積は、正方形全体－台形ＡＭＰＢ＝正方形全体－扇形３つ
＝４×４－２×２×3.14×３/４＝6.58ｃｍ²
ＰＣの長さは、6.58×２÷４－３＝0.29ｃｍ

＠余談＠

最初は、ア・イ・ウに囲まれているこちらを巻き込んで考えました。

ア＋黒は✨みたいな形。
✨は正方形全体から扇形４つ引いたもの。
一方、イ＋黒＋ウは台形から扇形１つを引いたもの。これらが等積である。

もっと整理すると、正方形全体から扇形３つを引いたものが台形ＭＤＣＰとわかる。
なぜ扇形３つが左の台形になるのか？そのワケを探して先の解法を見つけました(´･ω･`)
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下の図のような道に沿って、地点Ａから地点Ｂまで進みます。

次の問いに答えなさい。

（１）
図Ⅰの道を、右、上のどちらかの方向に進むとき、行き方は全部で何通りありますか。

（２）
図Ⅱの道を、右、上、右ななめ上のどれかの方向に進むとき、行き方は全部で何通りありますか。

＠解説＠
（１）

左と下を合わせていく。
機械的に調べていくと42通り。

（２）

２つか３つを足していくと90通り。

＠カタラン数＠

【１・２・５・14・42・132・429…】
この数列はカタラン数といい、中学受験でもたびたび登場する。
階段状の最短経路にはカタラン数があらわれる。
これを知っていると42通りとすぐでる。
132くらいまで覚えておくと便利かも。

では、なぜ42になるのか？？(´～`)

わかりやすいように、左上を足して全体を正方形にする。
Ｓ⇒Ｇは５つの→、５つの↑の並び替えで求められるから、
₁₀Ｃ₅＝252通り

全体の252通りから、少なくとも１つの★を通過する左上ルートを引けば、
カタラン数42がでてくるはず。

★のラインを対称の軸として線対称のルートを作成。
ＳとＳ’は対応するので、★までの場合の数がすべて等しい！
Ｓ’⇒Ｇは必ず１つの★を通り、６つの→、４つの↑だから、₁₀Ｃ₄＝210通り
階段上のＳ⇒Ｇは、252－210＝42通り

以上をまとめると、５番目のカタラン数は
₁₀Ｃ₅－₁₀Ｃ₄＝42で求められた。
カタラン数Ｃ_ｎ＝_2ｎＣ_ｎ－_2ｎＣ_ｎ－1となり、
これを高校数学でチャッチャカチャーと処理すると、、

となります。
６番目のカタラン数は、
Ｃ₆＝₁₂Ｃ₆/_７＝132

（２）についてカタラン数で解けた方は、
ぜひ下のコメント欄かお問い合わせより教えてくださいませm(＿)m
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１から４までの数字が書かれた４枚のカードをＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人に１枚ずつ配りました。
配られたカードの数字を自分以外の３人にだけ見えるように持ったところ、
Ａ、Ｂ、Ｃの３人がそれぞれ次のように言いました。

Ａ「僕から見える３枚のうち、奇数のカードは１枚だけだ」
Ｂ「僕から見える３枚のうち、Ｃのカードが１番大きい」
Ｃ「僕から見える３枚のうち、Ｄのカードが１番大きい」

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
Ａ、Ｂ、Ｃの３人が本当のことを言っているとき、４人のカードの数を答えなさい。

（２）
Ｄ「僕から見える３枚のうち、Ｂのカードの数が１番小さい」
今、Ｄは本当のことを言っています。
また、Ａ、Ｂ、Ｃのうち、２人がうそをついていて、１人だけが本当のことを言っています。
Ａ、Ｂ、Ｃのうち、本当のことを言っているのは誰か答えなさい。
さらに、このときの４人のカードの数も答えなさい。

＠解説＠
（１）
Ａ「僕から見える３枚のうち、奇数のカードは１枚だけだ」
⇒Ａは奇数の１か３。

Ｂ「僕から見える３枚のうち、Ｃのカードが１番大きい」
⇒ＡＤ＜Ｃ

Ｃ「僕から見える３枚のうち、Ｄのカードが１番大きい」
⇒ＡＢ＜Ｄ
Ｂの発言（Ｄ＜Ｃ）と合わせるとＣが最も大きい４。Ｄは次に大きい３。
Ａは奇数の１で、Ｂが残りの２。
Ａ１、Ｂ２、Ｃ４、Ｄ３

（２）
Ｄ「僕から見える３枚のうち、Ｂのカードの数が１番小さい」
⇒Ｂ＜ＡＣ
Ｂは１か２のどちらか。

ＡＢＣのうち、１人は本当で２人はウソ。
誰が本当のことを言っているかで場合分けする。

＠条件再掲＠
Ａ；Ａ＝１か３
Ｂ；ＡＤ＜Ｃ
Ｃ；ＡＢ＜Ｄ
Ｄ；Ｂ＜ＡＣ

■Ａが本当
・B＝１のとき
Ａは本当だからＡ＝３
ＣはウソだからＤ＝２
Ｃ＝４となるがＢが本当になってしまう！×

・Ｂ＝２のとき
Ｄは本当だからＤ＝１、Ｃはウソになる。
Ａが本当だからＡ＝３
Ｃ＝４となるが、Ｂが本当になってしまう！×

■Ｂが本当
・Ｂ＝１のとき
Ｂは本当だからＣ＝４
ＡはウソだからＡ＝２
Ｄ＝３となるが、Ｃが本当になってしまう！×

・Ｂ＝２のとき
Ｄは本当だからＤ＝１、Ｃはウソになる。
ＡはウソだからＡ＝４
Ｃ＝３となるが、Ｂがウソになってしまう…×

■Ｃが本当
・B＝１のとき
Ａはウソだから２か４だが、
Ｃは本当なのでＡは４ではない→Ａ＝２
Ｂはウソだから、Ｃ＝３、Ｄ＝４
矛盾なし！〇

・B＝２のとき
Ｄは本当だからＤ＝１でＣはウソになる。×

本当のことを言っている人―Ｃ
Ａ２、Ｂ１、Ｃ３、Ｄ４

＠＠＠＠＠

Ｑ１４・正解

誰が本当で誰がウソツキであるかを仮定して、
矛盾を突き詰めていく背理法は推論問題でよくでてきます。
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ある場所で、春分の日の影のでき方について調べました。
図１は点Oから見た太陽の動きを表しています。

図２のように、地表から高さ60ｃｍの位置に直方体ABCDEFGHの底面EFGHを固定し、ＡＢ＝ＡＤ＝30ｃｍ、ＡＥ＝20ｃｍとなっていて、図４のように太陽の光は平行に降り注ぐことがわかっています。図５は図４を真上から見た図です。10：00には図２のように点Ｃの影が点Ｐに落ち、15：25には図３のように点Ｃの影が点Ｑに落ちるとするとき、次の問いに答えなさい。

（１）
10：00時点の直方体の影の面積を求めなさい。

（２）
10：00時点の直方体の影の輪郭は、６つの辺ＢＣ、ＣＤ、ＤＨ、ＥＨ、ＥＦ、ＢＦの影です。
15：25時点の直方体の影の輪郭は、どの辺の影であるか６つ選んで解答用紙の□に印をつけなさい。

（３）
10：00から15：25の間に直方体の影が通った部分の面積を求めなさい。

（１）

図２＝図４＝図５。図５の面積を求めればいい。
２つの直角二等辺三角形を合わせると８マス分。
15×15×８＝1800ｃｍ²

（２）

10：00を確認するとこうなる。
太陽に照らされた辺のうち、６辺がうしろの影へ移動する。

15：25ではこうなる。
本問は影を正確に描写できなくても正解できる。

（３）
ＡとＢの位置はわかりやすい。
光は平行に差すので、ＡＢ＝ＢＣ＝30ｃｍはそのまま平行移動するから、
Ｑ⇒Ｂ⇒Ａは２マス分ずつ離れる。

問題はＧがどこにくるか。

高さに注目する。三角形の相似を描くと、地面～Ｇ：ＧＣ＝60：20＝③：①
これを平面図でとらえると、ＣＱは横４マス、縦８マスの長方形の対角線だから、
ＣＧ’から横３マス、縦６マスの長方形の対角線に相当する。

平行を頼りに残りを描写すると、15：25の影はうえのようになる。
ＣＰとＣＱの長さが違う。
・・半径が変動したら算数の範囲で求められなくね？(‘ω’)

ここで理科の知識です。
『春分の日の影』はまっすぐに進むから、求積すべき範囲は青線のエリアになる。
３×14マスの長方形から２つの三角形を取り除くと40.5マス分。
15×15×40.5＝5＝9112.5ｃｍ²

＠日影曲線＠
影の先端の軌跡を日影曲線という。

京都市青少年科学センターより、３地点の日影曲線。
上から夏至→春分・秋分→冬至。理科で狙われるので、しっかりおさえておこう。

では、なぜ春分・秋分の日影曲線はまっすぐになるのか？
この説明がかなりキツイ(;´･ω･)

春分・秋分の太陽は真東からのぼり、真西に沈む。
太陽の南北方向と東西方向にかかる移動の比率で影の先端がまっすぐになるんだと思う…。
考えれば考えるほどよくわからん。

赤道の影がまっすぐになるのはわかりやすいので、そこが突破口だと思われる。
春分・秋分の日は赤道に対して太陽光が垂直に入る（南中高度が90°）。
23.4°の地軸の傾きを無視し、地球を球体として回転させると、
赤道からの距離（北緯）に応じて各棒の影が北へ平行移動して日影曲線がまっすぐになりそう。
うまい説明を考案した方は、下のコメント欄かお問い合わせより是非お知らせ願います。
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大和君は、誕生日にロボットをプレゼントされました。
ロボットは下のような形をしていて、数字を表示する液晶盤Ａ、Ｂがついています。また、斜線の部分（以降「くちばし」と呼ぶことにします）がロボットの進む方向になっていて、ロボットは正方形のマスをつないだ板の上を動きます。

０から９までの数字のボタンやＡ、Ｂの２つのボタン、プログラム（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ）を選択できるボタンなどがついたコントローラーがあり、それを使ってロボットを動かすことができます。

Ａ、Ｂのボタンは直前までに押されたボタンの数字を液晶盤に表示するためのもので、リセットボタンはロボットのくちばしを北の方向に戻す役割を持っています。消去ボタンは液晶盤に表示されている数を消す役割を持ち、実行ボタンはプログラムに従ってロボットを動かす役割を持っています。また、ロボットは正方形の板の端まで進んだ場合、それ以上前へ進むことができず止まります。３つのプログラムは、表のような内容のものになっています。

ロボットを下の図の●の位置に、くちばしが北を向くように置くことを
「はじめの状態」とします。

ロボットを「はじめの状態」にし、
（例１）のように矢印の順でコントローラーのボタンを押しました。

すると、ロボットは次のような動き方をしました。

液晶盤Ａに18と表示され、液晶盤Ｂに７が表示され、
くちばしが東の方向に向くように向きを変え、３マス分進み止まる。

また、ロボットを「はじめの状態」にし、（例２）のようにコントローラーのボタンを押しました。すると、ロボットは次のような動き方をしました。

液晶盤Ａに35が表示され、液晶盤Ｂに８が表示され、くちばしが西の方向を向くように向きを変え２マス分進み、一度止まり、再び同じ方向に２マス分進み、くちばしが北の方向を向きとまる。
そして液晶盤Ａ、Ｂに表示された数字が消える。
つまり、ロボットははじめの位置から西の方向へ４マス進み、くちばしが北の方向を向いた状態で止まる。

次の問いに答えなさい。
（１）
大和君が「はじめの状態」にロボットをおき、以下のようなコントローラーのボタンを押してロボットを操作しました。ロボットが動いた後の状態を説明した文章の〔　　〕に入る適切な数字や語句を答えなさい。

【コントローラーの操作①】

ロボットの動いた後の状態
はじめの位置から〔　あ　〕の方向へ〔　い　〕マス進み、
くちばしが〔　う　〕の方向を向いた状態で止まる。

（２）
大和君が「はじめの状態」にロボットをおき、コントローラーのボタンを押してロボットを操作したところ、ロボットは以下のように動きました。ロボットを動かしたときに押したボタンは以下の通りです。〔　　〕にあてはまると考えられる数字のボタンを答えなさい。

ロボットが動いた後の状態
はじめの位置から西の方向へ２マス、南の方向へ２マス進んだところで、
くちばしが北の方向を向いた状態で止まる。
【コントローラーの操作②】

（３）
大和君が「はじめの状態」にロボットをおき、コントローラーのボタンを押してロボットを操作したところ、ロボットは以下のように動きました。ロボットを動かしたときに押したボタンは以下の通りです。〔　　〕にあてはまると考えられる数字のボタンを答えなさい。

ロボットが動いた後の状態
はじめの位置から東の方向へ３マス、北の方向へ１マス進んだところで、
くちばしが東の方向を向いた状態で止まる。
【コントローラーの操作③】

（４）
下の図の斜線部分に障害物をおき、ロボットが通れないようにしました。大和君は、図の■印の位置でくちばしが西を向いた状態で止まっているロボットを、△印のところまでロボットを動かすためにコントローラーのボタンを押してロボットを操作しました。次の条件を満たすコントローラーのボタンの押し方を、例１や例２、コントローラーの操作①～③にならって答えなさい。ただし、ロボットは障害物にぶつかった場合は動かなくなるものとします。

（条件）実行ボタンは３回だけ押す。

＠解説＠
問題文なっがいね！< `∀´ >
（１）

↑条件整理。
Ⅰは方向。東西南北ではなく、進行方向に対して回転する角度である点に注意！
Ⅱは進むマス。リセットでくちばしを北に戻す。板の端までいったら進めない。

Ｂに540が表示される。
Ⅱより、540の約数は10個以上（24個）あるので１マス進む。
Ａに７が表示される。
７÷４の余りは３だから西。

ロボットは西の方向へ１マス進む。
リセットは押さないので、くちばしは西を向いたまま止まる。
あ…西、い…１、う…西

（２）

Ａに【７□】が表示される。
西に進んだということは、７□÷４の余りは３である。
70～79のうち、４の倍数＋３は71か75か79。

Ⅲより、Ｂに【７□÷４の商】が表示される。
各々の商は、71÷４⇒17、75÷４⇒18、79÷４⇒19。
２マス進んだから、約数が３～９個なので75と確定。
え…５
*２回目は西から反時計回りに90°回るので南へ進む。

（３）

空欄のない後半から考える。
Ａに【10】。
リセットでくちばしは北を向いているので、10÷４の余りは２だから東。
Ｂに【７】。
素数で約数は２個しかないから３マス進んだ。
ということは、『東へ３マス』は後半のプログラムであり。
前半のプログラムは『北へ１マス』。

Ａに【１□□】。
北にいくので４の倍数＋１。
Ｂに【１□□÷４の商】。
１マス進んだから約数は10個以上。

100～199を÷４すると、該当する商は25～49の範囲にある。
約数を多くするので、最小の素数２のベキ乗を考えてみよう。
次に小さい３を１個付け足すと…

48＝２×２×２×２×３（＝２⁴×３）
48の約数の個数は１（＝２⁰・３⁰）を含めて、
５（２⁰・２¹・２²・２³・２⁴）×２（３⁰・３¹）＝10個

Ａに入力された数は、48×４＋１＝193
お…９、か…３

（４）

行き方は２通りしかない。
青ルート；北１→西２→南３
赤ルート；南１→西２→南１
初期状態はくちばしが西を向いていることに注意！

■解答例１

↑学校発表の解答例。

最初と曲がり角のたびにリセットでくちばしを北に戻す。
Ⅰの方向はＡ＝１～４で決めたほうがやりやすい。
１マス移動したい場合は前問の48を利用。

１回の命令文は、〔数字→Ａ→Ⅰ→数字→Ｂ→Ⅱ→実行〕
*〔数字→Ａ→数字→Ｂ→Ⅱ→Ⅰ〕でも良い。
次の命令文の前にリセットと消去（順序逆でもＯＫ）をはさんでクリアーな状態にする。
本番ではⅢは使わない方が無難。

■解答例２

くちばしの向きに気をつければ、リセット無しでも行ける。

＠余談＠
『ロボットは障害物にぶつかった場合は動かなくなる』とありますが、
『ロボットは正方形の板の端まで進んだ場合、それ以上前へ進むことができず止まる』
ということは、後者の場合は次のプログラムを記述して実行すれば進めるはず？

実行ボタンを４回使うのでダメなんですけど、
①最初にＡ＝４としてⅠだけ実行。くちばしを東に向ける。
②（Ａ、Ｂ）＝（３、６）とすると端で止まる。
③続けて同じ命令で実行ボタンを押すと進む（はず）。
④最後に（Ａ、Ｂ）＝（３、２）３マス進むにはＢに素数を入れる。

【４・Ａ・Ⅰ・実行・消去・３・Ａ・Ⅰ・６・Ｂ・Ⅱ・実行・Ⅰ・Ⅱ・実行・消去・３・Ａ・Ⅰ・２・Ｂ・Ⅱ・実行】でも行けそうかな？(･Д･)

最後に、2021年・高校生クイズ優勝おめでとうございます(*’ω’*)
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円柱形の水そうの中に、円柱のコンクリートブロックが下の図１のように円の面を下にして置かれています。ブロックの底面の半径と高さは、水そうの底面の半径の１/２です。この水そうに一定の割合で水を注ぎます。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
水を注ぐ時間と水面の高さの関係を表すグラフとして、正しいものはどれでしょうか。

（２）
水を入れ始めてから水そうがいっぱいになるまでに、
水面の高さがブロックと同じになるまでの時間の３倍かかりました。
このとき、ブロックの高さと水そうの深さの比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。

（３）
ブロックを下の図２のように置いたとき、
水を注ぐ時間と水面の高さの関係を表すグラフとして、正しいものはどれでしょうか。
（１）の選択肢のなかから答えなさい。

＠解説＠
（１）（２）

（*以下、水面がブロックの高さになるまでを前半、それ以降を後半と記述します）
前半は底面積が小さく、後半は大きくなる。
→水面の高さの変化は前半が急で、後半は緩やか。
水面の高さの変化は１回だけでグラフは湾曲しない。
（１）…ア

ブロックの半径：水槽の半径＝１：２
円の面積比は半径×半径だから、ブロックの底面積を①とすると、
水槽（後半）の底面積は④、前半の底面積は③。

『水を入れ始めてから水槽がいっぱいになるまでに、
水面の高さがブロックと同じになるまでの時間の３倍かかった』
水を入れる割合は一定だから、水を入れた時間＝体積比になる。

水面の高さがブロックと同じになる前半の体積を【１】とすると、
水槽の体積は【３】、後半の体積は【２】。
高さ＝体積÷底面積

　　　　前半：後半
体積　 【１】：【２】
底面積　　 ③：④       
高さ　　１/３：１/２
＝２：３
前半の高さと水槽全体の高さの比は２：５。
（２）…２：５

（３）

底面積の変化をみると、最初は徐々に小さくなっていき、
ブロックの半分を過ぎると再び大きくなっていく。
水面の高さの変化は次第に傾きが急になり、
ある時間から再び緩やかになって、ブロックを過ぎると緩やかな直線となる。

円柱を縦に割ったときの断面積の大きさは常に変化する。
⇒水面がブロックに触れているあいだ、水面の高さの変化率は常に変動する。
グラフは緩やかなＳ字を描く。オ
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あきこさんは、神奈川県の箱根町に住む祖母から「寄木細工」の工作キットを送ってもらい、お母さんといっしょに作ることにしました。この工作キットには、図１、図２、図３の３種類のひし形の部品がたくさん入っていました。それぞれの部品は大きさが等しく、内側の角度が60°と120°になっています。

あきこさんのお母さんは、図１の部品を３枚、図２の部品を３枚、図３の部品を６枚の合計12枚を使って、図４のコースターを作りました。図４のコースターの各部品に、図５のとおりアからシまでの記号をつけて、あきこさんとお母さんが【会話】をしています。

【会話】
お母さん：私が作ったコースター、きれいなデザインでしょ。
あきこさん：そうね。あれ、ちょっと待って。規則的になっていないところがあるよ。
お母さん：あ、本当だ。でも、まだ接着剤を付けていないから直せるよ。どう直そうかしら。
あきこさん：直す方法にはいろいろあるね。
　例えば、お母さんが作ったコースターは、_①キの部分を１回だけ動かせば、
　対称の軸で折ると_②色や模様がぴったり重なる線対称な図形に変えられるよ。
お母さん：ありがとう。風車のように見えるわ。
あきこさん：風車といえば回転するよね。_③色や模様がぴったり重なる点対称な図形もできるかな。

注　コースター：コップなどの下にしく平たい物。
このとき、次の各問に答えなさい。

問１
下線部①について、どのように動かすと下線部②の線対称な図形になるか、
次の【条件】にしたがって動かし方を説明しなさい。

問２
下線部②について、お母さんが作った図４のコースターを、下線部①の動かし方をして
下線部②の線対称な図形に変えたとき、その図形の対称の軸の本数を答えなさい。

問３
下線部③について、お母さんが使った12枚の部品をすべて使って、
下線部③の点対称な図形を作ることはできるでしょうか。
「できる」ならば、できあがった点対称な図形をかきなさい。
「できない」ならば、その理由を説明しなさい。

＠解説＠
（１）

しま模様を横向きにしたい。
しかし、回転させても横向きではフィットしない。

しま模様は辺ＡＤ、辺ＢＣに対して平行である。
頂点ＡとＣをひっくり返すようにうら返すと、辺ＡＤ、辺ＢＣが横向きになり、
しま模様も横向きになる。

（２）

正六角形の対称の軸は６本。
このうち、黒と白の部品が対称関係になるのは３本。

（３）
できない。

点対称は回転の中心に対し、各パーツが対称的な位置関係や向きでペアにあらねばならない。
黒と白のパーツはおのおの３個。奇数個だと基本的に対称的な位置関係に置けない。

奇数個でもうえのように中央のパーツが点対称の位置にあれば良いが、
本問は真ん中に置けないので点対称は無理。
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　図１のような空の水槽に、高さ36ｃｍの仕切りが立ててあります。仕切りの左側に給水管Ａ、右側に給水管Ｂがあり一定の割合で水を注ぎます。仕切りの左側の底には、排水管Ｃがあり一定の割合で水を出します。仕切りの左右で入っている水の高さを測ります。

　水槽は最初、空の状態で全ての管が閉じてあります。まずＡとＢを開き給水します。給水を始めてから20分までは、仕切りの右側の水の高さの方が高くなりました。給水してから初めて仕切りの左右に入っている水の高さの差が０ｃｍになったとき、Ａだけを閉じＣを開きました。50分後に全ての管を閉めました。図２は、給水してからの時間と仕切りの左右に入っている水の高さの差の関係をグラフに表したものです。

　次の問いに答えなさい。また、答えを求めるのに必要な式、考え方なども順序よくかきなさい。
（１）
Ｃは１分間あたり何Ｌ排水しますか。

　50分後に全ての管を閉めたのと同時に、水の高さの差が０ｃｍになるように仕切りを左に動かしました。仕切りを動かしたとき、仕切りの左から右への水の移動はありませんでした。また、仕切りを動かす時間は考えないものとし、仕切りを動かしたあともＡとＣは仕切りの左側で給水または排水します。仕切りを動かした後すぐに、全ての管を開きました。
　仕切りを動かしてからのグラフの続きをかいたところ、図３のようになりました。

（２）
50分後に仕切りを左側に何ｃｍ動かしましたか。

（３）
図３の（ア）、（イ）、（ウ）にあてはまる数を求めなさい。

＠解説＠
（１）
はじめはＢ側の水面が高い。
18分後にＢ側からＡ側に水が流れ込み、
20分後にＡ側とＢ側の水面の高さが仕切りの高さ36ｃｍになって差が０ｃｍとなる。

18分後の様子を作図する。Ａ側の高さは36－６＝30ｃｍ
Ｂ側の体積を18分で割れば、１分あたりのＢの給水量が分かる。
Ｂの給水…20×40×36÷18＝1600ｃｍ³＝1.6Ｌ
念のため、Ａの給水を求めておく。30×40×30÷18＝2000ｃｍ³＝２Ｌ
（ＡとＢの体積比で考えても良い。
Ａ：Ｂの底面積の比が３：２、高さの比が５：６だから、1.6Ｌ×３/２×５/６＝２Ｌ）

Ｃが開くのは20～50分。
Ａは閉じており、両者の差が広がるということはＣの排水がＢの給水を上回る。

１分あたり、20ｃｍ÷30分＝２/３ｃｍずつ差が広がっている。
体積では、30×40×２/３＝800ｃｍ³＝0.8Ｌずつ減少する。
Ｂの給水が1.6Ｌだから、Ｃの排水は1.6＋0.8＝2.4L

（２）

50分後の様子を図示。20ｃｍ差だから、Ａ側の高さは16ｃｍ。
仕切りを移動させるとＡ側とＢ側の水面が等しくなった。
→仕切りがない場合と同じ→２つの長方形の面積を均す。
（30×16＋20×36）÷50＝24ｃｍ

Ｂ側に注目。
高さの比は、移動前：移動後＝36：24＝３：２
面積は変わらないので横の長さは逆比。移動前：移動後＝②：③
移動前の横の長さ20ｃｍを②すると、
移動後の横の長さは③、仕切りを移動させた長さは①。
仕切りの移動距離は、20×①/②＝10ｃｍ

（３）

仕切りを移動して水面の高さを24ｃｍにした後、
Ｃの排水によりＡ側が下がり、Ｂ側が上がる。
（イ）はＢ側の水がＡ側に流れ込み、Ａ側の水面が再び上昇するとき。
（ウ）で水面の高さが仕切りの高さ36ｃｍに達して左右が等しくなる。

Ｂの給水は１分あたり1600ｃｍ³。Ｂ側の水面が36ｃｍとなるのは、
30×40×12÷1600＝９分後
（イ）＝50＋９＝59分後

Ａの給水は１分あたり2000ｃｍ³、Ｃの排水は2400ｃｍ³だから、400ｃｍ³ずつ減少する。
Ａ側は９分後に、400×９÷（20×40）＝4.5ｃｍ下がる。
Ｂ側は＋12ｃｍで高さが36ｃｍだから、このときの両者の差は（ア）＝12＋4.5＝16.5ｃｍ

Ａ側の16.5ｃｍ分を埋める。
Ｂの給水が加わることで、400ｃｍ³の減少に1600ｃｍ³を加算して1200ｃｍ³ずつ増加する。
20×40×16.5÷1200＝11分後
（ウ）＝59＋11＝70分後
ア…16.5、イ…59、ウ…70
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下の図は立方体の展開図です。
この展開図を組み立ててできる立方体について、次の問いに答えなさい。

（１）
立方体の見取り図に向きを考えて数字をかき入れなさい。

（２）
同じ立方体になるように向きも考えて展開図に数字をかき入れなさい。

（３）
下の図のように、この立方体を正方形のマス目がかかれた紙の上に、２が上の状態で置きます。置いてある位置は、数字とアルファベットで表すと６—Ｆとなります。
下の図の状態から立方体の上の数字が、２、３、５、７、11、13の順になるように、正方形のマス目に合わせてすべらないように倒していきます。13が上の状態になったとき、置いてある位置を、数字とアルファベットで答えなさい。また、13が上の状態になったときの立方体を下の図と同じ方向から見た見取り図に向きも考えて数字をかき入れなさい。

＠解説＠
（１）

接する辺に注目して面を移動させる。
側面の２・３・５・11はループできる。２を11の右に移動。
７は右に90度回転させて11の下に移動。

（２）

先ほどの図を手がかりにする。
11と７は向かい合う。11の右側は２で同じ向き。

７の右は５。５は７のほうを向く。
３は５の左。５と同じ方向を向く。

（３）
側面の記入。

２・３・５は西に移動する。
５の次の７は南側の側面をまわる。

北に移動して、７を上に持ち上げる。
７と11は向き合うので、東側の側面に11がある。
西に移動すると、東側の側面に13があらわれる。
さらに西に移動して５―Ｂで止まる。

解答の書き込みも油断しないように！
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