図のように、ある一定の長さの黒い部分と、長さ１ｃｍの透明な部分が交互になっているテープＡ、Ｂがあります。テープＡの黒い部分の長さは４ｃｍです。テープＢの黒い部分の長さは分かりません。

この２つのテープを、左はじをそろえて重ねたときの見え方について考えます。
ただし、透明な部分と黒い部分が重なると黒く見えるものとします。

例えば、テープＢの黒い部分が１ｃｍのとき、図のように、最初の黒い部分が９ｃｍ、
その隣の透明な部分が１ｃｍになります。

（１）
図のように、テープＢの黒い部分が５/２ｃｍのとき、テープＡ、Ｂを重ねると、
最初の黒い部分とその隣の透明な部分の長さはそれぞれ何ｃｍになりますか。

（２）
テープＡ、Ｂを重ねたとき、図のように、最初の黒い部分が９ｃｍ、
その隣の透明な部分が１ｃｍになりました。テープＢの黒い部分の長さは何ｃｍですか。
上の例であげた１ｃｍ以外で考えられるものをすべて答えなさい。

（３）
テープＡ、Ｂを重ねたとき、図のように、最初の黒い部分が９ｃｍ、
その隣の透明な部分が２/３ｃｍになりました。
テープＢの黒い部分の長さは何ｃｍですか。考えられるものをすべて答えなさい。

（４）
テープＡ、Ｂを重ねたとき、図のように、最初の黒い部分が14ｃｍになり、
その隣の透明な部分が１ｃｍ未満になりました。
テープＢの黒い部分の長さはどの範囲にあると考えられますか。
答え方の例にならって、その範囲をすべて答えなさい。

【答え方の例】
２ｃｍより長く４ｃｍより短い範囲と、11/２ｃｍより長く８ｃｍより短い範囲が答えの場合
…（２～４）、（11/２～８）

＠解説＠
栄光こういうの好きね(´･∀･`)-3
（１）

地道にやっていくしかありません(´д`)
最初の黒い部分…9.5ｃｍ、隣の透明な部分…0.5ｃｍ

（２）

透明な部分はまるまる１ｃｍ。
テープＡとＢはともに10ｃｍから黒い部分がスタートする。
黒と透明部分を１セットとして、〇セットで場合分け。
（黒＋透明１ｃｍ）×〇＝10ｃｍ
〇＝１
黒は、10÷１－１＝９ｃｍ
〇＝２
黒は、10÷２－１＝４ｃｍ
例題と同じだから×。
〇＝３
黒は、10÷３－１＝７/３ｃｍ
〇＝４
黒は、10÷４－１＝３/２ｃｍ
〇＝５
黒は、10÷５－１＝１ｃｍ
例題と同じで×。
〇＝６
黒は、10÷６－１＝２/３ｃｍ
１ｃｍ未満なので、左から４～５ｃｍの透明を隠せない×！

９ｃｍ、７/３ｃｍ、３/２ｃｍのなかで、左から４～５ｃｍを隠せるものをしぼる。
９ｃｍは言わずもがな隠せる〇。

７/３は２・１/３と帯分数に、３/２は1.5と小数に変えると計算しやすい。
４～５ｃｍ目を隠せるのは７/３ｃｍだけ。
したがって、７/３ｃｍ、９ｃｍ。

（３）

テープＡだけなら10ｃｍから黒がスタートするところ、
29/３ｃｍから黒ということは、テープＢは（黒＋１）×〇＝29/３ｃｍ
〇＝１
黒は、29/３－１＝26/３ｃｍ
〇＝２
黒は、29/３÷２－１＝23/６ｃｍ
〇＝３
黒は、29/３÷３－１＝20/９ｃｍ　|д･)およ？
〇＝４
黒は、29/３÷４－１＝17/12cm
分子が３減って分母が３ずつ増えている。
おそらく、〇＝５のときは14/15ｃｍとなり、
１ｃｍ未満だと左から４～５ｃｍ目を隠せないので×！

26/３ｃｍ、23/６ｃｍ、20/９ｃｍで、左から４～５ｃｍを隠せるものをしぼる。
帯分数に変換。
８・２/３ｃｍは隠せる。〇
０～３・５/６ｃｍ（黒）⇒～４・５/６ｃｍ（透明）⇒～８・２/３ｃｍ（黒）
４ｃｍ～４・５/６ｃｍが透明だから×！
０～２・２/９ｃｍ（黒）⇒～３・２/９ｃｍ（透明）⇒～５・４/９ｃｍ（黒）〇
したがって、20/９ｃｍ、26/３ｃｍ。

（４）
試験時間内では無理だと思う。

４～５ｃｍ、９～10ｃｍを隠しつつ、
14ｃｍから透明が始まり、15ｃｍよりも手前で黒になる。
（黒＋１）×〇＝14ｃｍ～15ｃｍ

〇＝１
15－１＝14ｃｍ、14－１＝13ｃｍ、
黒の長さは13～14ｃｍ。
13ｃｍよりも長くなると14ｃｍの右側に透明部分があらわれ、
14ｃｍよりも短くなると15ｃｍの左側で黒に変わる。
４～５ｃｍと９～10ｃｍを黒で隠せるから、１つ目は（13～14）。

〇＝２
15÷２－１＝13/２（6.5）ｃｍ
14÷２－１＝６ｃｍ
４～５ｃｍと９～10ｃｍを黒で隠せるから、２つ目は（13/２～７）。

〇＝３
15÷３－１＝４ｃｍ
14÷３－１＝11/３ｃｍ
黒が４ｃｍのときの透明部分４～５ｃｍを、
黒が11/３ｃｍのときの透明部分３・２/３ｃｍ～４・２/３ｃｍにスライドさせると、
４～４・２/３ｃｍのところが透明になってしまって隠し切れない！
よって、無い。

〇＝４
15÷４－１＝11/４ｃｍ
14÷４－１＝５/２ｃｍ
４～５ｃｍは隠せるが、９～10ｃｍでは９・１/２ｃｍ～10ｃｍが隠せない。
10～10・１/２ｃｍはＯＫ。

10ｃｍから３つの目の透明部分が始まるように配置。
黒は、（10－２）÷３＝８/３ｃｍ
これは４～５ｃｍを隠せる。３つ目は（８/３～11/４）。

〇＝５
もう辞めたいんですけど(;´･ω･)
15÷５－１＝２ｃｍ
14÷５－１＝９/５ｃｍ
３～５ｃｍの黒を左に移すので、５ｃｍ左側が隠せない！×
４～５ｃｍでダメだとわかったら、９～10ｃｍは検討しなくていい。

〇＝６
15÷６－１＝３/２（1.5）ｃｍ
14÷６－１＝４/３ｃｍ
４ｃｍの右側の部分が隠せません。

〇＝７
15÷７－１＝８/７ｃｍ
14÷７－１＝１ｃｍ
４ｃｍの右側に透明ができる。×
〇＝８以降は黒が１ｃｍ未満になってしまうのでもう無い。
したがって、（８/３～11/４）（６～13/２）（13～14）
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Ａ君は自転車に乗ってＰ駅を出発し、線路沿いの道を一定の速さでＱ駅に向かいました。Ａ君が出発してから３分後に、電車がＰ駅を出発してＱ駅に向かいました。電車がＡ君の４倍の速さでＰ駅とＱ駅の間を何回か行ったり来たりし、各駅に着くと５分間停車するものとします。
〔図１〕のグラフは、Ａ君がＰ駅を出発してからＱ駅にたどり着くまでの時間と、Ａ君と電車との間の距離の関係を表したものです。このとき、後の問いに答えなさい。
ただし、線路や道は一直線で、道の幅や自転車、電車の長さは考えないこととします。

（１）
Ａ君が電車に初めて後ろから追い越されるのは、Ａ君がＰ駅を出発してから何分後ですか。

（２）
Ａ君がＱ駅にたどり着いたのは、Ａ君がＰ駅を出発してから何分後ですか。

（３）
Ａ君が電車と初めて正面から出会うのは、Ａ君がＰ駅を出発してから何分何秒後ですか。

（４）
〔図１〕の（ア）にあてはまる数と（イ）にあてはまる数の比を求めなさい。

＠解説＠
（１）

グラフの読解。
３分後に電車がＰ駅を出発。電車がＡを追い越してＱ駅に５分停車。
電車とＡが向き合い、途中で出会う。電車がＰ駅に５分停車。電車がＡを追いかける。
グラフの最後でＡがＱ駅に到着したときに０ｍ。ということは、電車も同時にＱ駅に到着する。

距離の比（速さの比）は、Ａ：電車＝①：④
Ａは③を３分で移動するので、Ａが電車に追い越された④は４分後。

（２）

ダイヤグラムに変換する。
時間の比は、Ａ：電車＝④：①
電車が片道にかかる時間①が３本あり、全体の時間が④である。
③＋３＋５×２＝④
①＝13
ＡがＱ駅に着く④は、13×④＝52分後

（３）

電車の片道①が13分。これを頼りに時間を確定すると、うえのようになる。
電車とＡが出会うのは●のところ。

●から垂線をひく。
時間の比はＡ：電車＝４：１だから、34×４/５＝27.2分＝27分12秒後

（４）

全体の距離を〇52とする。
39分後のＡと電車の距離（イ）は㊴。
21分後のＡ－Ｐ駅間の距離が㉑だから、Ａと電車の距離（ア）は㉛。
したがって、ア：イ＝31：39
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１とその数自身のほかに約数がない整数を素数といいます。
ただし、１は素数ではありません。

素数を小さい順に並べていくと、次のようになります。

異なる２つの素数の積となる数を『素積数』と呼ぶことにします。
例えば、2021＝43×47となり、43も47も素数であることから、2021は『素積数』です。

素数は『素積数』でありません。
素数以外にも、次のような数は『素積数』ではありません。
・121（＝11×11）や169（＝13×13）のような、同じ素数の積となる数
・105（＝３×５×７）や117（＝３×３×13）のような、３つ以上の素数の積となる数

（１）
偶数の『素積数』のうち、小さい方から７番目の数を答えなさい。

 

連続する整数と『素積数』について考えます。
例えば、33、34、35…はすべて『素積数』です。

（２）
連続する４つの整数がすべて『素積数』であるということはありません。
その理由を説明しなさい。

（３）
100以下の整数のうち、連続する３つの整数がすべて『素積数』であるような組がいくつかあります。
上の例で挙げた33、34、35以外の組を、答え方にならってすべて答えなさい。
【答え方の例】（33、34、35）

（４）
連続する７つの整数のうち６つが『素積数』であるような組を、
答え方の例にならって１つ答えなさい。
【答え方の例】31～37の連続する７つの整数が答えの場合…（31～37）

＠解説＠
（１）
偶素数（偶数の素数）は２しかない。
奇素数（奇数の素数）の７番目は19だから、２×19＝38

（２）
説明問題。
素数は基本的に奇数だが、偶素数２をかければ素積数は偶数となる。
→素積数の素因数２は最大で１個だけ。
連続する４つの整数には４の倍数があり、４の倍数は素因数２が２個ある。
４の倍数は素数積にならないので、連続する４つの整数すべてが素積数にはならない。

（３）

連続する４つの整数で４の倍数は素積数ではなかった。
ということは、連続する３つの素積数の並びは【奇数・偶数・奇数】となる。
２×（素数）＝偶数の素積数を求め、その前後の奇数の素積数を１個ずつ調べていく(;`ω´)

２×３＝６
前後の５と７は素数は素積数ではない×

２×５＝10
９は素数の平方数で×。11も素数で×。

２×７＝14…13が素数で×
２×11＝22…23が素数×
２×13＝26…25は５の平方数×。27も×。
２×17＝34…例題と一緒で×！
２×19＝38…37×
２×23＝46…45と47×
２×29＝58…59×
２×31＝62…61と63×
２×37＝74…73と75×
２×41＝82…81と83×
２×43＝86…85＝５×17、87＝３×29〇
２×47＝94…93＝３×31、95＝５×19〇
これ以上は100を超してしまう。
したがって、（85、86、87）（93、94、95）
*問題文にのっている素数が登場したら、速やかに×と判断して迅速に調べる。

（４）

連続する７つの整数を詳しくみていく。
このうち６つが素積数なので、まんなかの４の倍数を境に左右３つが素積数となる。
本問も偶数の素積数に注目する。
この２つの差が４であるということは、２とかけ合わせる奇素数の差は２である。

前問の解答から、100以下の整数で題意を満たす組はなかった。
53以降の素数で差が２である組を探して、１つずつ調べていく。
（59、61）⇒（118、122）…117は９の倍数で×、121は11の平方数で×。
（71、73）⇒（142、146）…147が49の倍数で×。
（101、103）⇒（202、206）…207が９の倍数で×。
（107、109）⇒（214、218）…213＝３×71、215＝５×43、217＝７×31、219＝３×73
(ﾟДﾟ；≡；ﾟДﾟ)
したがって、（213～219）

＠＠
２つの素数の積で表される数（素数の平方数を含む）を半素数というそうです。
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直線上に点Ａ、Ｂがあり、ＡとＢの間は30ｃｍです。
直線上のＡとＢの間を、点Ｐと点Ｑがそれぞれ動きます。
点ＰはＡを出発しＢに向かい、同時に点ＱはＢを出発しＡに向かいます。
点Ｐ、Ｑは出会ったら向きを変えて進みます。
点Ｐも点Ｑも、ＡまたはＢにたどり着いたら向きを変えて進みます。
ただし、点ＱはＢにたどり着いたとき、２秒間止まってから再び動き出します。
点Ｐ、Ｑの速さはそれぞれ一定です。
また、グラフは点Ｐの移動の様子の一部を表したものです。

（１）
点Ｐ、Ｑの速さはそれぞれ毎秒何ｃｍですか。

（２）
点Ｐ、Ｑが７回出会うまでに点Ｐが進んだ長さの合計は何ｃｍですか。

＠解説＠
（１）

ＰとＱは出会うとトンボ帰りする。
行きと同じ速度で帰るので、はじめのグラフは上下対称になる。
１回目の出会いは８÷２＝４秒後
ＰとＱの速さの合計は30ｃｍ÷４秒＝毎秒7.5秒

２回目の出会いまでＰは4.8秒、Ｑは2.8秒動く。
Ｐ、Ｑが一緒に動いたときの距離の和は、毎秒7.5ｃｍ×2.8秒＝21ｃｍ
Ｐだけが動いた距離は、30－21＝９ｃｍ
Ｐの速さは、９÷２＝毎秒4.5ｍ
Ｑの速さは、7.5－4.5＝毎秒３ｃｍ

（２）

Ｐの方が速く、Ｑは２秒の待機があるので、ＱがＡに到着することはない。
ＰがＱより２秒余分に動いたとしても、12.8秒後のようにＰはＢに着くことなくＡへ戻る。
→ＰはＢ、ＱはＡに絶対到着できない。

ＰとＱが動いた距離の和をみると、１回目の出会いまでが30ｃｍ。
２回目が30×３、３回目が30×５ｃｍ…
７回目の出会いまでに30ｃｍ×（２×７－１）＝390ｃｍ動く。
この間にＱは６回休憩するので、Ｐだけが動いた距離は、4.5×２×６＝54ｃｍ

ＰとＱが一緒に動いたときの距離の和は、390－54＝336ｃｍ
ＰとＱの速さの比＝距離の比は、4.5：３＝３：２
したがって、Ｐが動いた距離は、54＋336×３/５＝255.6ｃｍ
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紙の折り方には山折りと谷折りがあり、それぞれ図１のような折り方をします。
いま、縦9ｃｍ、横12ｃｍの長方形の方眼紙ＡＢＣＤがあります。次の各問いに答えなさい。

（１）
図２のように紙を折ったとき、縦の長さは何ｃｍになりますか。

（２）
図２のあと、図３のように紙を折りました。
ＢＦ上に点Ｑをとり、ＰＱに沿って三角形ＰＦＱを切り取って広げた図形を、図形アとします。
次の①、②に答えなさい。
①ＦＱの長さが３ｃｍのとき、図形アとして切り取られた部分を解答用紙の図にかき、
斜線で示しなさい。

②図形アの面積が20ｃｍ²のとき、ＦＱの長さを求めなさい。

＠解説＠
（１）

４行なくなる。５ｃｍ

（２）①

青で囲んだ４行がなくなる。
折ったあとにＰと重なる点をＰ’とする。
Ｐ’Ｆ＝３ｃｍ
切り取った直角二等辺三角形Ｐ’ＦＱだけを図示すると、うえのようになる。

ＥＦの折り目を戻すと左右で線対称。

最後に横の折り目で線対称。１ｃｍごとに上へ２連続、対称移動する。
実際の解答は斜線で描くこと。

②
 
切り取った直角三角形ＰＦＱの面積比を高さ１ｃｍごとに分けると、
面積比はそれぞれ①：③：⑤。
紙を広げると、右のようになる。

図形アの半分である10ｃｍ²が⑰にあたる。
直角三角形ＰＦＱの面積は、10×⑨/⑰＝90/17ｃｍ²
ＦＱの長さは、90/17×２÷３＝60/17ｃｍ
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立方体の各面に、下のような１～６の目がかかれたシールを１枚ずつ貼り、
さいころを作りました。 

このとき、さいころの向かい合う面の和が７になるようにしました。

（１）
このさいころを２の目を上にして、ある方向から見ると図１のように見えました。また、１の目を上にして、ある方向から見ると（図２）、見えた目は図１で見えた目とはすべて異なりました。手前の面（斜線が引かれた面）の目を算用数字で答えなさい。

（２）
下の図はこのさいころの展開図です。
の目の向きの違いに注意して、展開図を完成させなさい。

（３）
このさいころを４回ふったところ、出た目（上面の目）は大きくなっていきました。
また、手前の面（斜線が引かれた面）の目はすべて２でした。
 を正しくかきいれなさい。

（４）
このさいころを３回ふったところ、出た目は大きくなっていきました。
また、手前の面は下の図のようになりました。

出た目として考えられる組み合わせを、答え方の例にならってすべて答えなさい。
【答え方の例】１、２、３の順に出た場合・・・（１、２、３）

＠解説＠
（１）
図１で見えた目とは異なり、１が出ているので４か５の２択。

右側にコロンと倒して、180°回転させる。
手前は４。

（２）
まずは数字の位置を確定する。

向かい合う面の和は７から、４・５の反対側の２・３を決める。
図１から２と３と隣り合う面は６、残りのマスが１。
１は向きが関係ないので確定。

２・３・６の３面が集める★に注目！
２と３は★に向かうように並ぶ。
６は２の方向に向かうよう、横に並ぶ。

（３）
正面が２、背面が５だから、出た目は１⇒３⇒４⇒６。

１と６は、２と接しているのでわかりやすい。

３と４は転がして２に近づけるとわかりやすいかな？
３は上にもってくると点対称で２の向きは同じ。

左から順に上の目が１⇒３⇒４⇒６。

（４）

３を転がすと、手前の３が右上を向くときの上の面は２か５。
３回ふって目を大きくしていくので、１回目は２となる。

２回目と３回目では、背面の５は出ない。
シナリオとしては、（２、３、４）（２、３、６）（２、４、６）のどれか。

先ほどの図で確かめることができる。
３が上にあるとき、２は右下ライン。
４が上にあるとき、２は右下ライン。
６が上にあるとき、２は右上ライン。
（２、３、４）は４のときが×。
したがって、（２、３、６）（２、４、６）。
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図１のような直方体があります。点Ｐは直方体の辺上を点Ａを出発して、一定の速さでＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄの順に動き、その後1.5倍の速さでＤ→Ｅ→Ｆ→Ａの順に動きました。
図２は、点Ｐが点Ａを出発してからの時間と三角形ＡＤＰの面積との関係を表したグラフです。
次の問いに答えなさい。

（１）
点ＰはＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄを毎秒何ｃｍの速さで動きますか。

（２）
三角形ＡＤＰが４回目に二等辺三角形になるのは、点Ａを出発してから何秒後ですか。

（３）
直方体の体積は何ｃｍ³ですか。

＠解説＠
（１）

ＰがＡＢＣＤ上を移動しているとき、最初の５秒がＡＢ、最後の５秒がＣＤ、
あいだの６秒がＢＣとなる。
長さがわからないので、ＡＢ＝⑤、ＢＣ＝⑥とすると、
⑤×⑥÷２＝60
⑤×⑥＝120
⑤と⑥の倍数で調査。
２倍して、10×12＝120　←ＯＫ！
ＡＢ＝10ｃｍをＰは５秒で移動するから、毎秒２ｃｍ。

（２）
ＢＣ（⑥）＝12ｃｍ
直方体の高さが気になる。。

グラフの後半部分。
直方体の高さであるＤＥはわからないが、ＥＦ＝ＢＣ＝12ｃｍ。
先ほどＢＣ間が６秒だったので、1.5倍速では６×２/３＝４秒かかる。
ＤＥ（ＦＡ）間は（20－４）÷２＝８秒
Ｐは毎秒３ｃｍ動くので、ＤＥ＝３×８＝24ｃｍ

４回目に二等辺となるＰの位置を調査。

おそらく、１回目と３回目が飛ばされやすいかと思われる。
等辺が12ｃｍになるとき、Ｐは中途半端な場所にある。
４回目に二等辺となるのは、ＰがＤＥの中点にあるとき。
Ｐは16秒後にＤに着くので、16＋12÷３＝20秒後

（３）
10×12×24＝2880ｃｍ³
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生徒から１個ずつ集めたプレゼントを先生が生徒に分けることにしました。
次の空らんに当てはまる数を答えなさい。
（１）
Ａ、Ｂ、Ｃの３人から集めたプレゼントを先生が分けます。
（ア）３人とも自分のプレゼントを受け取るとき、その分け方は１通りあります。
（イ）３人とも他の人のプレゼントを受け取るとき、その分け方は２通りあります。
（ウ）３人のうち１人だけが自分のプレゼントを受け取るとき、その分け方は（①）通りあります。

その後、遅れてＤがプレゼントを持ってきました。
ここからＤが３人のうち、誰か１人とプレゼントを交換することで４人とも他の人のプレゼントを受け取る分け方を考えます。
（ア）の場合は、誰と交換しても分けられません。
（イ）の場合は、Ａ、Ｂ、Ｃの誰か１人と交換すれば、分けられます。
（ウ）の場合は、Ａ、Ｂ、Ｃのうち、自分のプレゼントを受け取った人と交換すれば、分けられます。
以上のことから、４人とも他の人のプレゼントを受け取る方法は（②）通りあります。

（２）
４人の生徒のプレゼントを先生が分けるとき、
４人のうち１人だけが自分のプレゼントを受け取る分け方は（③）通りあります。

（４）
５人の生徒のプレゼントを先生が分けるとき、
５人とも他の人のプレセントを受け取る分け方は（④）通りあります。

＠解説＠
（１）①
１人だけが自分のプレゼントを受け取る。
〔Ａ⇒Ａ〕を固定すると、Ｂ⇒Ｃ、Ｃ⇒Ｂの１通りに決まる。
〔Ｂ⇒Ｂ〕〔Ｃ⇒Ｃ〕にも同様のことがいえる。
３通り

②

（イ）Ａ～Ｃが他の人のプレゼントを受け取る場合は２通り。
Ｄは３人の誰かと交換すればよいので、３×２＝６通り

（ウ）１人だけが自分のプレゼントを受け取る場合は前問の３通り。
Ｄは自分のプレゼントを持っている１人と交換する→１×３＝３通り。
合計で９通り。

（２）③
自分のプレゼントをもらう人をＡで固定すると、
残りのＢ・Ｃ・Ｄの３人が他の人のプレゼントを受け取る場合は、（１）イから２通り。
自分のプレゼントをもらう人がＢ・Ｃ・Ｄの場合も同様で、２×４＝８通り

（３）④
問題文を読んだときに違和感を覚えませんでしたか？(;´･ω･)
先生がわざわざ前の持ち主と同じプレゼントを配りなおしたり（ア）、
１人だけ自分のプレゼントを受け取る場合（ウ）を考えて（２）で問われたりと。。
なぜ、かような愚かしいことをするのか(´ﾟдﾟ｀)

しかし、一見無駄に見える場合分けというのは、次の問いの誘導になっているもの。
そこで、本問も同じように考えてみる。

◆（ア）Ａ～Ｄの４人とも自分のプレゼントを受け取っている。
⇒１通り
Ｅが誰かと交換しても、５人とも他の人のプレゼントを受け取ることはできない。×
◆（イ）Ａ～Ｄの４人とも他のプレゼントを受け取っている。
⇒（１）②より、９通り。
Ｅは４人のうち誰か１人と交換すれば分けられる。４×９＝36通り
◆（ウ）Ａ～Ｄの４人のうち、１人だけが自分のプレゼントを受け取っている。
⇒（２）より、８通り。
Ｅは自分のプレゼントを受け取った人と交換すれば分けられる。１×８＝８通り
したがって、36＋８＝44通り。

＠＠
本当にこれであってるのか？？
ＡがＢに送ったケースを樹形図で調べると・・

11通りある。
ＡがＣ・Ｄ・Ｅに送った場合も同様で、11×４＝44通り！

＠完全順列（かく乱順列）＠
プレゼント交換や席順の問題のように、各要素が最初と同じ場所にならない順列のことを
数学の世界では完全順列（かく乱順列）といいます。

ｎ個の完全順列の総数はモンモール数（Ｄ_ｎ）というそうで、
Ｄ₀＝１
Ｄ₁＝０
Ｄ₂＝１
Ｄ₃＝２
Ｄ₄＝９
Ｄ₅＝44
Ｄ₆＝265
Ｄ₇＝1854
Ｄ₈＝14833…

高校数学で習う漸化式を使って、これらの数字の並びを一般化すると、
Ｄ_ｎ＝（ｎ－１）（Ｄ_ｎ－２＋Ｄ_ｎ－１）
*ｎ番目のモンモール数は、ｎ－１の値に２個前と１個前のモンモール数の和をかける。
Ｄ₃＝（３－１）×（１＋０）＝２
Ｄ₆＝（６－１）×（９＋44）＝265
Ｄ₈＝（８－１）×（265＋1854）＝14833
公式通りだね(´ω`ﾉﾉﾞ

高校数学の美しい物語より。
このページによりますと、完全順列の総数を十分に大きくすると、
元の場所と位置が完全に変わっている確率は37％程度に落ち着くようです。
自分のプレゼントが当たる人が少なくとも１人でもでてくる確率は約63％。
意外と大きな数値で驚きです。
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右端から左端までが20ｍのプールを兄と妹が往復します。
兄は一定の速さで泳ぎ、１往復するごとに10秒間休みますが、妹は一定の速さで泳ぎ続けます。
２人は同時に泳ぎ始め、妹が16ｍ泳いだときに初めて兄とすれちがい、
兄がちょうど５往復したときに妹はちょうど４往復しました。
（１）
「泳ぎ始めてからの時間（秒）」と「プールの右端との距離（ｍ）」の関係を、
兄はで 妹はで途中までグラフに表します。
グラフ①からグラフ④のうち、正しいグラフは〔  　　〕で、アにあてはまる数は〔  　　〕です。

（２）
妹は20ｍ泳ぐのに〔　　〕秒かかります。

（３）
２人が２回目にすれちがうのは、泳ぎ始めてから〔　　〕秒後です。

（４）
２人が（３）ですれちがった地点と同じ地点で次にすれちがうのは、
泳ぎ始めてから〔　　〕秒後です。

＠解説＠
（１）

兄の方が速いので、の方が周期が短い→①か②
兄は『１往復するごとに10秒間休む』ので、行って帰ってから横線。
グラフ①
アは片道の20ｍ。

（２）
最初のすれちがいまでに、兄は折り返して24ｍ、妹は16ｍ泳いでいる。
速さの比は、兄：妹＝24：16＝３：２

『兄がちょうど５往復したときに妹はちょうど４往復』。
兄は40×５＝200ｍ、妹は40×４＝160ｍ泳ぐ。
速さの比から計算すると、兄は160×３/２＝240ｍ泳ぐはずだが、
40ｍ少ないのは40秒間休憩していたから。（５往復後の休憩は４回に注意！）
兄は40秒で40ｍ泳ぐと考えられるので、兄の速さは秒速１ｍ。
妹は秒速２/３ｍ。
妹は20ｍ泳ぐのに、20÷２/３＝30秒かかる。

（３）

２回目のすれちがいがおこる時間の前後を調べる。
50秒後に兄が再出発、60秒後に妹が戻ってくる。
速さの比が③：②だから、時間の比は②：③。
50＋10×②/③＝54秒後

（４）

赤いチョウチョウ型の相似に注目。
上が40、下が10のときに辺の比が４：１となり、交差するポイントが（３）と同じである。

すれちがいではなく、兄が妹を追い越すパターンもあるのでは？
と思われるが、これはない。
（２）より妹は20ｍ泳ぐのに30秒かかるが、うえのグラフでは少なくとも50秒かかっている。

妹がスタート地点を再出発するのは60秒周期。
兄がスタート地点を最出発するのは50秒周期だが、
兄の休憩前に差が10秒になる場合もあるので、〔50の倍数－10〕も検討する。

妹；120・180・240
兄；90・100・140・150・190・200
妹180秒、兄190秒で差が10秒。

↑50の倍数－10だから兄の休憩前。グラフだとこんな感じ。
180＋10×③/⑤＝186秒後
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（１）
次の①～⑥のうち、立方体の展開図になっているものはどれですか。
すべて選び、番号を解答欄に書きなさい。

（２）
〔図１〕のように、16個の同じ大きさの正方形があり、
それぞれの正方形には１から16までの数が書かれています。

ここから、辺でつながった６個の正方形を選び、立方体の展開図を作ります。
このとき、組み立てた立方体が、次の＜ルール＞に合うようにします。

＜ルール＞
向かい合う３組の面のうち、２組の面は書かれた数の和が12である。

〔図２〕は＜ルール＞に合う例の１つです。次の問に答えなさい。

（ア）
＜ルール＞に合う展開図を〔図２〕以外に３つ答えなさい。
答え方は、〔図２〕なら（２、５、６、７、８、10）のように、
６個の正方形に書かれた数を小さい順に書きなさい。

（イ）
＜ルール＞に合う展開図は、〔図２〕と（ア）で答えたものをふくめて全部で何通りありますか。

（ウ）
＜ルール＞に合う展開図に使われている６個の数のうち、最も大きい数をＡとします。
〔図２〕ではＡは10です。Ａが最も大きい展開図を（ア）と同じように答えなさい。

＠解説＠
（１）
展開図はたくさん見てきたと思うので、すぐ解けるようにしておきたい。
②、④、⑤、⑥

（２）
ここからが本番です(ヾﾉ･ω･`)

向かい合う面の和が12となる２組が欲しい。
和が12の組合わせ→（１、11）（２、10）（３、９）（４、８）（５、７）
（４、８）は隣同士で向かい合わない×。
わかりやすいのは図２のように、６を底面とした（２、10）（５、７）のペアかな？
（ア）は３つ出せれば良いので、なんとかひねり出したい。

すべて拾い上げるのは大変です(;`ω´)
ペアが６の周りに固まっているので、６付近で探す。
すると、６は必ず採用されることになる。
２組のペアを見つけて５面を確定。残り１面は２通りずつある。

（ア）
（２，５，６，７，８，10）以外で、下から３つ。
（２，５，６，７，10，14）
（３，４，５，６，７，９）（３，５，６，７，８，９）
（２，３，６，９、10，13）（２，３，６，９，10，14）
（１，５，６，７，８，11）（１，５，６，７，11，12）
（１，２，６，10，11，14）（１，２，６，10，11，15）

（イ）10通り
（ウ）（１，２，６，10，11，15）
イとウは設問の順番が逆では？？
５×２＝10通りと出してから、右下に伸びる展開図を具体的に検証していく魂胆なのかな？
設問の中身もかぶってるような(;^ω^)
16以外はすべて使えたのは意外でした。
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