（１）次の空欄にあてはまる数を答えなさい。

（２）
液体Ａをある容器に54ｇ入れるといっぱいになりました。同じ容器に液体Ｂを30ｇ入れるといっぱいになりました。この容器に液体Ａと液体Ｂを入れていっぱいにしたところ、容器に入っている容器Ａと容器Ｂの重さの比は６：５になりました。
このとき、容器に入っている液体Ａと液体Ｂはそれぞれ何ｇですか。
ただし、液体Ａと液体Ｂは混ざり合わないものとします。

（３）
同じ大きさの小さい立方体の積み木125個を積んで図のように大きい立方体をつくりました。図において、ＰはＡＢ、ＱはＢＣ、ＲはＣＤのそれぞれ真ん中の点です。Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で大きい立方体を切断しました。このとき、次の問いに答えなさい。必要ならば解答欄の図を用いなさい。

（ⅰ）
切られなかった小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

（ⅱ）
切り口の形が正六角形となっている小さい立方体の積み木は全部で何個ありますか。

↑解答欄の図。

＠解説＠
（１）

過呼吸になるね(:.;ﾟ;Д;ﾟ;.:)

心折られて手つけたくないが、解説ブロガーとして無視したい無視すべきではないの葛藤に悩まされ、おそらくこれが解けるまで永遠に病みつづけるであろうと悟り、やむを得ず挑戦してみました。
とりあえず、□のない右辺から処理してみるよ。。

通分してつなげたときは、うしろの項にカッコをつけること！
カッコを展開すると＋１は－１に符号が変わる。
立方数の差はがんばって出す。結果は60。

左辺でわかるところを処理。
21×21－19×19
＝441－361＝80
43×47＝2021
*この素数の積は年号問題で予想されていたので、難なくクリアできたはず。
41×49＝2009

残るカッコ内の分子を△（＝2009＋□）としてまとめると・・

80－20＝60だけど４ケタの分数が邪魔すぎる(:.;ﾟ;Д;ﾟ;.:)
何か整数論のマジックがあるのかもしれないが（あるの？）、20×2009/△の値が知りたいので・・

マウスを握る手が痛くなってきたが、20でまとめると分子が20×2009で共通する！
△＝2025
2009＋□＝2025
□＝16

＠余談＠

結果論になってしまいますが、△＝2025であれば、
80×2021－20×2009＝60×2025が成り立つ。
長方形の面積でとらえると、Ｌ字の赤い部分の下が12×20＝240で、
これを右上に縦60でくっつけると横が４。
ちょうど60×2025になる:( ´ω` ):
東大寺の先生はどうやってこういうの作ってるんでしょうね。。

■追記■
80×2021－20×2009＝60×2025
80×43×47－20×41×49＝60×45×45
80×（45－２）×（45＋２）－20×（45－４）×（45＋４）＝60×45²
80×（45²－４）－20×（45²－16）＝60×45²
80×45²－80×４－20×45²＋20×16＝60×45²
45²×（80－20）＝60×45²
80－20＝60

（２）
同じ容器にＡだけで54ｇ、Ｂだけで30ｇ。
単位体積あたりの重さの比は、Ａ：Ｂ＝54：30＝９：５
容器に混ぜたときの重さの比はＡ：Ｂ＝６：５なので、
体積比はＡ：Ｂ＝６÷９：５÷５＝②：③

容器の体積を⑤とすると、Ａは②、Ｂは③入っている。
Ａの重さ…54×２/５＝21.6ｇ
Ｂの重さ…30×３/５＝18ｇ

（３）（ⅰ）

頻出のパターンなので正解したい。
ＰとＱが小さい立方体の中点にある。平行線の出発点を間違えないように！

３段目の中央で折り返すので、対称性から１段目と５段目、２段目と４段目は同じ。
各段で切り込まれる上面と下面の平行線を作図。
この平行線に触れる正方形の数を数える。
９×２＋12×２＋13＝55個
切られない立方体は、125－55＝70個

（ⅱ）

↑大きい立方体が切り込まれた状況のように、上からみたときに上面の上と右の辺、
下面の下と左の辺の中点を断面が通ると正六角形になる。

３×２＋４×２＋５＝19個
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図のような道路があり、ＰＱ間は600ｍ、ＱＲ間は320ｍ、ＲＳ間は800ｍです。

太郎君はＰからＳへ向かって、次郎君はＳからＰへ向かって、同時に出発しました。
太郎君がＳに着いたとき、次郎君はＰまであと344ｍのところにいました。
なお、２人が歩く速さはそれぞれ一定です。

（１）
２人が歩く速さの比を求めなさい。

 

別の日に、ＲからＱへ向かって一定の速さで動く歩道ができました。
太郎君はＰからＳへ向かって、次郎君はＳからＰへ向かって、同時に出発しました。
すると、２人はＲですれちがいました。ただし、ＱＲ間は動く歩道を歩くものとします。

（２）
太郎君が歩く速さは、動く歩道が動く速さの何倍ですか。

 

太郎君がＳに着いてから２分42秒後に、次郎君はＰに着きました。

（３）
太郎君が歩く速さは毎分何ｍですか。

＠解説＠
（１）
太郎の移動距離は、600＋320＋800＝1720ｍ
次郎の移動距離は、1720－344＝1376ｍ
速さの比は距離の比。
太郎：次郎＝1720：1376＝215：172＝５：４
*最後は43で割りますヽ(`Д´)ﾉ

（２）

次郎は800ｍ歩く。
前問の速さの比を使うと、太郎は800×５/４＝1000ｍ歩くはずだが、
Ｒで次郎と出会うということは、1000－（600＋320）＝80ｍ減っている。
これは太郎が歩くはずの1000ｍのうち、600ｍは通常の速さだが、
動く歩道で減速した結果、残りの400ｍが320ｍに縮小されて－80ｍとなった。
－80ｍが動く歩道の影響を受けた部分。
太郎の速さ：動く歩道の速さ＝400：80＝５：１
太郎の速さは動く歩道の速さの５倍。

（３）
速さの比は太郎が⑤、次郎が④、動く歩道が①で、
次郎は動く歩道に乗ると④＋①＝⑤で加速する。

太郎がＲからＳに歩く時間で、次郎はどのくらい移動するか。
ＰＱ間は動く歩道の影響を受けないので、Ｐからさかのぼって計算してみる。
本来、次郎の速さでは800×④/⑤＝640ｍ歩くはずだが、
実際は超過分の40ｍは動く歩道の影響を受けるので、40×⑤/④＝50ｍ歩く。
残りの320－50＝270ｍが２分42秒となる。
２・42/60分＝27/10分
270ｍ÷27/10分＝毎分100ｍ

次郎＋動く歩道の⑤が毎分100ｍ。
太郎は⑤だから、毎分100ｍ。
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図のような、立方体の各辺の真ん中の点を結んで出来た立体Ｘがあります。

（１）
辺ＢＥの真ん中の点Ｍを通り、面ＡＢＣＤに平行な平面で立体Ｘを切断するとき、
立体Ｘの断面積は面ＡＢＣＤの面積の何倍ですか。

（２）
ＢＮ：ＮＥ＝１：２となるように辺ＢＥ上に点Ｎをとります。
点Ｎを通り、面ＢＣＦに平行な平面で立体Ｘを切断するとき、
立体Ｘの断面積は面ＢＣＦの面積の何倍ですか。

＠解説＠
（１）

△ＡＢＥは斜めの面だが、上から眺めると直角二等辺三角形にみえる。
ＭはＥＢの中点で、ＡＢと平行になるように切られるので断面はＥＡの中点も通過する。
対称性でつなげていくと、断面の形は八角形である。

左下の△ＦＥＭの面積を①とする。
辺の比から△ＡＢＥ＝△ＡＢＯ＝④
五角形ＡＦＭＢＯ＝⑧－①＝⑦（等脚台形ＡＦＭＢは③）

面積比の算出は正方形ＡＥＢＯ内で決着がつく。
正方形ＡＢＣＤ：断面積（八角形）＝△ＡＢＯ：五角形ＡＦＭＢＯ＝④：⑦
断面積は面ＡＢＣＤの７/４倍。

（２）

断面の作図は図形Ｘの面上ではなく、外側へ延長しよう。
ＢＦとの平行線を意識して、Ｎを通る正三角形ＧＨＩを作成。
ＥＢは右上45度線、ＧＩは右下45度線。
△ＧＢＮは直角二等辺三角形ゆえ、ＧＮ＝ＢＮ＝①
四角形ＢＮＪＦは長方形で、ＮＪ＝ＢＦ＝③
対称性からＪＩ＝ＧＮ＝①
断面積は右の赤枠のような形になる。
△ＢＣＦの面積…③×③＝【９】
断面積…⑤×⑤－①×①×３＝【22】
断面積は面ＢＣＦの22/９倍。

＠余談＠

△ＢＣＦと△ＧＨＩは平行なので、三角錐Ｊ－ＢＣＦと三角錐Ｊ－ＧＨＩは相似関係にあるが、
Ｂから直接Ｇの位置を探ろうとすると失敗する(;`ω´)
ＢＪは直角二等辺三角形ＢＪＦの等辺だが、ＧＢは直角二等辺三角形ＧＢＮの斜辺にあたる。
中３で習う根号（ルート）を使わないと厳しい。。
また、角の３つの底面は正三角形だが、立体はきれいな三角錐ではない。
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下の図１のように、縦の長さが８ｃｍの長方形ＡＢＣＤがあります。

点ＰはＡを出発して辺ＡＤ上を毎秒５ｃｍの速さで何度も往復します。
また点Ｑは、点Ｐと同時にＣを出発して、辺ＣＢ上を一定の速さで何度も往復します。
下の図２のグラフはこのときの図形ＡＢＱＰの面積の変化を表しています。

（１）
点Ｑの速さは毎秒何ｃｍですか。

（２）
図２のグラフの〔ア〕にあてはまる数は何ですか。

（３）
２点Ｐ、Ｑが出発してから180秒間で面積が最も大きくなるのは何秒後ですか。
あてはまる数をすべて答えなさい。

＠解説＠
（１）

図形ＡＢＱＰの面積は、ＡＰ（上底）＋ＢＱ（下底）の和に依存する。
６秒後までは面積が増加しているのでＡＰ＋ＢＱは長くなる。
つまり、ＢＱの減少よりＡＰの増加が勝るので、ＰはＱより速いことになる。
→６秒後、先にＰがＤに到着する。
ここからグラフが急激に下がるのは、Ｐが折り返すことでＡＰとＢＱがともに短くなるから。
面積が90ｃｍ²のときにＱがＢに到着する。
６×２＝12秒後にＰがＡに戻る。
ＡＤ（長方形の横）の長さは６×５＝30ｃｍ

ＱがＢについたとき、ＡＰ＝90×２÷８＝22.5ｃｍ
Ｐの移動距離は、60－22.5＝37.5ｃｍ
37.5÷５＝7.5秒後
Ｑの速さは、30÷7.5＝毎秒４ｃｍ

＠別解＠

ＰがＡに戻る72ｃｍ²でも解ける。
ＢＱ＝72×２÷８＝18ｃｍ
速さの比は、Ｐ：Ｑ＝60：48＝５：４
Ｐが毎秒５ｃｍなので、Ｑは毎秒４ｃｍ。

（２）
ＡＰ＝30ｃｍ、ＢＱ＝30－４×６＝６ｃｍ
（30＋６）×８÷２＝144

（３）
図形ＡＢＱＰの面積が最大になるのは、ＰがＤ、ＱがＣにいるとき。
（長方形ＡＢＣＤと同じ面積になる）
〔ＰがＤにいる時間〕→６・18・30・42…
〔ＱがＣにいる時間〕→15・30・45…
30秒後に面積がはじめて最大化。
留意点は、はじめにＰはＡから出発しているので、
今度はＤから出発して再びＤに戻るときを考えること！
30秒後にＰはＡ→Ｄに移動するので、Ｄ→Ａ→Ｄは60秒後。
30と60の最小公倍数は言わずもがな60なので、以降60秒ごとに面積が最大化。
30＋60＝90秒後
90＋60＝150秒後
180秒間では30、90、150秒後。
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直方体の形をした、２つの容器Ａ、Ｂに水が入っています。この２つの容器の底面積は異なり、容器Ａの底面積は120ｃｍ²です。
はじめ、２つの容器ＡとＢの水の深さの比は３：２でした。Ａに入っている水の量の１/６をＢへ移したところ、Ａの水の深さはＢより0.8ｃｍだけ深くなりました。さらに、Ａに入っている水の量の１/５をＢへ移すと、Ｂの水の深さはＡより2.4ｃｍ深くなりました。

（１）
はじめに容器Ａ、Ｂに入っていた水の深さをそれぞれ答えなさい。

（２）
２つの容器の水の深さを等しくするには、この後、ＢからＡへ何ｃｍ³の水を移せばよいですか。

（１）
ＡとＢの水の量は等しいとは限らない。。

はじめのＡの量を【６】とする。
【１】をＢに移してＡの量が【５】になったとき、Ａ＞Ｂで差は0.8ｃｍ。
【５】の１/５をＢに移動。移動する水の量は【１】で先ほどと同じ量。
Ａの量が【４】になったとき、Ａ＜Ｂで差は2.4ｃｍ。

Ａが【５】→【４】に変化したとき、Ｂを基準にＡは＋0.8から－2.4に下がる。
ということは、【１】の移動でＡとＢの差は2.4＋0.8＝3.2ｃｍずつ拡大する。

【５】のときから逆再生してＡを【６】に戻すと、ＡとＢの差は0.8＋3.2＝４ｃｍ。
これが初期状態におけるＡとＢの差の①に相当する。
③＝４×３＝12ｃｍ、②＝４×２＝８ｃｍ
Ａ…12ｃｍ、Ｂ…８ｃｍ

（２）
Ａが【５】のとき、Ａ＞Ｂで差が0.8ｃｍであった。
もし、この状態からＡとＢの水深を等しくするには、
Ａからどれほどの量をＢに移動させるべきであったか？

【１】で差が3.2ｃｍ拡大するから、0.8ｃｍでは【0.8/3.2】＝【１/４】
ということは、余分に移してしまった【３/４】をＢから戻せばいい。
はじめのＡの水の量が【６】なので、
120×12×１/６×３/４＝180ｃｍ³
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流れの速さが毎分36ｍの川の下流にア町、上流にイ町があります。この区間を２そうの船Ａ、Ｂが往復しています。Ａが上流に向かって進む速さとＢが下流に向かって進む速さは同じです。
この２そうの船Ａ、Ｂが、ア町からイ町に向かって同時に出発しました。Ａがイ町に到着したとき、Ｂはイ町より1728ｍ下流の地点にいました。その後Ａはすぐにア町に向かって戻り、途中Ｂとすれ違った後、出発してから40分後にア町に戻りました。
下のグラフは、２そうの船がア町を出発してからの時間と、ア町からの距離を表したものです。
ただし、清水時での船の速さはそれぞれ一定であるとします。

（１）
静水時での船Ａ、Ｂの速さの差は、毎分何ｍですか。

（２）
静水時での船Ａの速さは毎分何ｍですか。

（３）
船Ａ、Ｂが２度目にすれ違ったのは、ア町から何ｍ上流の地点ですか。

＠解説＠
（１）
グラフばかりに目がいくと、初問でつまづいて全敗する(;´･ω･)
差の1728ｍは使わない。
用いるのは『Ａの上流とＢの下流の速さが同じ』。

上流の速さ＝静水時の速さ－流れの速さ
下流の速さ＝静水時の速さ＋流れの速さ
Ａの上流とＢの下流の速さが等しいということは、
静水時のＡとＢの差は流れ２つ分。
36×２＝毎分72ｍ

（２）

静水時のＡとＢの速さの差が毎分72ｍ➡流れの速さを引いた上流の速さの差も72ｍ。
ＡとＢが同時に出発して1728ｍの差がでたということは、1728÷72＝24分
Ａの上りは24分で、Ａの下りは40－24＝16分
時間の比は、上り：下り＝24：16＝３：２
速さは逆比で、上り：下り＝②：③

①…流れの２倍で毎分72ｍ。
Ａの静水時の速さは、72×②＋36＝毎分180ｍ

（３）
Ａの上りは、180－36＝毎分144ｍ
（１）より、ＡとＢの速さの差は毎分72ｍ（上りの差も同様）。
Ｂの上りは144－72＝毎分72ｍ
上りの速さが、Ａ：Ｂ＝144：72＝２：１

時間は逆比で１：２だから、Ｂがイ町に着くのは24×２＝48分
Ａの上りとＢの下りは時間が等しいので、Ｂがア町に戻るのは48＋24＝72分
赤い三角形に注目<●><●>ｶｯ!!
速さが同じ→傾きの角度が一緒で底角が等しく二等辺三角形。
ＡとＢが２度目にすれ違う時間は、40と72の真ん中である56分。
すなわち、Ａがふたたびア町を出発してから16分後である。
144×16＝2304ｍ
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１ｃｍの目盛りの工作用紙を、１辺が６ｃｍの正方形の形に切り出して、図１のように３点Ｏ、Ａ、Ｂをとります。さらにこの正方形の周上に２点Ｐ、ＱをとりＯからＰまでと、ＯからＱまでをまっすぐカッターで切ります。

（１）
点Ｐ、Ｑが図１の場合、切りはなされた２つの部分のうち小さい方の面積を求めなさい。

以下、問い（２）、（３）、（４）では分けられた２つの部分のうち、小さい方の面積が常に10ｃｍ²となるように切りはなすこととします。Ｐ、Ｑの位置は線の交差している場所でなくてもかまいません。

（２）、（３）の答え方は、点Ａから右または上に何ｃｍ、点Ｂから下または左に何ｃｍとします。例えば、図１の点Ｑは「点Ａから上に３ｃｍ」、図３の点Ｐは「点Ｂから左に５ｃｍ」となります。点Ａや点Ｂに一致するときは「点Ａから×に０ｃｍ」のように答えなさい。

（２）
点Ｐが図２の位置にあるとき、点Ｑの位置として考えられる点をすべて答えなさい。

（３）
点Ｐが図３の位置にあるとき、点Ｑの位置として考えられる点をすべて答えなさい。

（４）
点Ｐから点Ｑに正方形の周上を反時計回りにたどった方が時計回りにたどるよりも距離が短いように点Ｐ、Ｑを決めます。また、点Ｐ、Ｑは異なる辺に含まれるものとします。
点Ｐを含む辺と辺Ｑを含む辺が隣り合わないのは、点Ｐがどこにあるときですか。あり得る場所の範囲を解答らんの図に太線で表しなさい。なお、正方形の頂点については考えなくてもかまいません。

＠解説＠
（１）

13ｃｍ²

（２）

Ｐの左と右に10ｃｍ²の領域をつくる。
正方形の辺とＯの距離がともに４ｃｍなので、
Ｐから底辺の合計が５ｃｍとなる場所がＱになる。
点Ａから×に０ｃｍ、点Ｂから下に２ｃｍ。

（３）

同様にＰの左と右に10ｃｍ²の領域を作成。
高さに気を付けながら10ｃｍ²になるまで底辺を増やしていく。
点Ａから右に1.5ｃｍ、点Ｂから下に2.5ｃｍ。

（４）
Ｐの反時計回りにＱがいる。
『ＰとＱは異なる辺に含まれるものとする』『Ｐを含む辺とＱを含む辺が隣り合わない』
→ＰとＱは正方形の対辺にある（なお、問題文から正方形の頂点は考えなくてよい）
面積10ｃｍ²を維持しながら、ＰとＱが正方形の対辺にくるときのＰの範囲を調べる。

①ＰはＡからスタート、ここからＰとＱを反時計回りに辺上を移動させる。
高さ（Ｏ～正方形の辺までの距離）は４ｃｍだから底辺の合計は５ｃｍ。
②ＱがＢに到着。ここまでは高さが４ｃｍなので、底辺の合計は５ｃｍのまま。
ＰとＱは対辺にない。
③Ｑが左上の頂点に到着。ここから先はＰとＱが対辺にくる。
④ＰがＢに到着。対辺でなくなる。
⑤ＱがＡに到着。これ以降は対辺の関係。
⑥Ｐが左上の頂点に到着。対辺でなくなる→①に戻る。

↑解答。
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＋、－、×、÷の混ざった計算では＋、－よりも×、÷が優先されるため、
計算の順序を変えるためには（　）を使う必要があります。
　例）（３＋４）×（６－２）＝７×４＝28
このような計算を（　）を用いずに表す方法として、逆ポーランド記法という表し方が知られています。例えば上の例の式を逆ポーランド記法では、数と記号を並べた
　３、４、＋、６、２、－、×
という列で表します。（「、」は区切りを表すためにつけたもので、計算には使いません）
これを計算するときの手順は次の通りです。

まず、準備として、いくつかの積み木を用意する。
手順①：列の１文字目は「３」なので、積み木に「３」と書き込んで床に置く。
手順②：列の２文字目は「４」なので、積み木に「４」と書き込んで、
「３」の積み木の上に重ねる。
手順③：列の３文字目は「＋」なので、積んである積み木のうち上から２個を取り出し、
「上から２番目の積み木に書かれた数」＋「上から１番目の積み木に書かれた数」を計算する。
「３」＋「４」＝「７」
計算結果の「７」を書き込んだ積み木を床に置く。（「３」「４」の積み木は捨てる）
手順④：列の４文字目は「６」なので、積み木に「６」と書き込んで「７」の積み木の上に重ねる。
手順⑤：列の５文字目は「２」なので、積み木に「２」と書き込んで「６」の積み木の上に重ねる。
手順⑥：列の６文字目は「－」なので、積んである積み木のうち上から２個を取り出し、
「上から２番目の積み木に書かれた数」－「上から１番目の積み木に書かれた数」を計算する。
「６」－「２」＝「４」
計算結果の「４」を書き込んだ積み木を、床に置いてある積み木の上に置く。
（「６」「２」の積み木は捨てる）
手順⑦：列の７文字目は「×」なので、積んである積み木のうち上から２個を取り出し、
「上から２番目の積み木に書かれた数」×「上から１番目の積み木に書かれた数」を計算する。
「７」×「４」＝「28」
計算結果の「28」を書き込んだ積み木を床に置く。（「７」「４」の積み木は捨てる）
手順⑧：これで列の最後まで進んだので、計算を終了する。
床に残った積み木に書かれた数「28」が計算結果となる。

図：①～⑦のそれぞれが終了したとき、床に置かれた積み木の状態

以下の問いに答えなさい。

（１）
逆ポーランド記法で５、６、＋、７、×と表される式の計算結果はいくつですか。

（２）
通常の表し方で（11－５）×２－３と表される式を、逆ポーランド記法で表すと
〔　ア　〕、〔　イ　〕、－、２、〔　ウ　〕、〔　エ　〕、〔　オ　〕
となります。ア～オに入る数または記号を答えなさい。

（３）
「２」を６個、「×」を２個、「＋」を３個使って逆ポーランド記法で表される式のうち、
最も計算結果が小さくなる式の計算結果は〔　カ　〕です。
また、最も計算結果が大きくなる式は
２、２、〔　キ　〕、〔　　〕、〔　　〕、〔　　〕、〔　ク　〕、〔　　〕、〔　　〕、〔　　〕、〔　　〕
および
２、２、〔　キ　〕、〔　　〕、〔　　〕、〔　　〕、〔　　〕、〔　　〕、〔　　〕、〔　ク　〕、〔　　〕で、その計算結果は〔　ケ　〕です。このとき同じ結果になる式が２つあるのは、計算についての決まり（コ）があるからです。

（ⅰ）
カ～ケに入る数または記号を答えなさい。
ただし、２ヶ所の〔　キ　〕、２ヶ所の〔　ク　〕にはそれぞれ同じものが入ります。

（ⅱ）
下線部（コ）と同じ計算の「決まり」を使っている記述として、
もっとも適切なものを次の中から選びなさい。
（あ）２×３と３×２は等しい
（い）２＋２＋２と２×３は等しい
（う）（２×３）×４と２×（３×４）は等しい
（え）３×（４＋６）と３×４＋３×６は等しい

＠解説＠
（１）
問題文が長い(;´д｀)
左から順に処理していく。
〔５、６、＋、７、×〕
５＋６＝11
11×７＝77

（２）
（11－５）×２－３を逆ポーランド記法で表す。
〔11、５、－、２、×、３、－〕
はじめは11と５を設置。－で引く。
×２は数字の２が先、記号の×が後ろ。－３も同様。
ア…11、イ…５、ウ…×、エ…３、オ…－

（３）（ⅰ）
計算結果を最も小さくする。
２＋２＝２×２＝４から、×を連続しないように配置する。
２×２＋２×２＋２＋２＝12
*逆ポーランド記法で記述すると〔２、２、×、２、２、×、+、２、＋、２、＋〕。

計算結果を最も大きくする。
大きなカタマリで掛け算をすれば良い。
イメージ→（　　）×（　　）×（　　）
（２＋２）×（２＋２）×（２＋２）＝64
逆ポーランド記法で記述すると
〔２、２、＋、２、２、＋、×、２、２、＋、×〕
もしくは
〔２、２、＋、２、２、＋、２、２、＋、×、×〕
カ…12、キ…＋、ク…×、ケ…64

（ⅱ）
比較してみましょう↓

（４×４）×４という順序。

積み木の例で考えると、上２つの数字を先にかける。
はじめの４は一番下にあるので、最後にかけることになる。
４×（４×４）という順序。
（う）
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（１）
１から200までの17の倍数の和をＡ、13の倍数の和をＢとするとき、
ＡとＢではどちらがどれだけ大きいですか。

（２）
３の倍数の積３×６×９×…×99を計算すると下何けたが０になりますか。

（３）
ａ×ａ＝ａ²、ａ×ａ×ａ＝ａ³のように表します。
（あ）
偶数を２、２²、２³･･･の和で表そうと思います。
例えば10＝２＋２³、24＝２³＋２⁴のようになります。2020を表しなさい。

（い）
次の〔　　　〕に当てはまる整数の組を１つ答えなさい。
2020＝23²＋29²＋〔　　〕²＋〔　　〕²

（４）
図１の7種類のタイルのうち５種類を使い、重ならないように配置して
図２の４×９の長方形をはみ出さないようにおおうことを考えます。

同じタイルはいくつ使っても、向きを変えてもかまいませんが、
裏返して使うことはできません。長方形の埋め方を１つ示しなさい。

＠解説＠
（１）
Ａ；200÷17＝11…13
Ｂ；200÷13＝15…５
１～200までに17の倍数は11個、13の倍数は15個ある。

11個目までは17－13＝４、17×２－13×２＝４×２＝８、
17×３－13×３＝４×３＝12…と、差が４の倍数で広がっていく。
11個目の差は11×４＝44。差の合計は（４＋44）×11÷２＝264
→11個目まではＡが264多い。

Ｂは12～15個目（最後から４個）の13の倍数が加算される。
13×12＋13×13＋13×14＋13×15
＝13×（12＋13＋14＋15）＝13×54＝702
差は702－264＝438
Ｂが438大きい。

（２）
10の倍数ではなく、５の倍数に着目しよう。
10の倍数でない５の倍数も偶数とかけあわせれば０が作れる。
３の倍数×５の倍数＝15の倍数
〔15・30・45・60・75・90〕
気を付けるべき点は、75は25の倍数で素因数５が２つある！
７桁

（３）（あ）
2020を２のベキ乗の和で示す。
ズバリ、２進法(σ･Д･)σ

2020を２進法になおすと〔11111100100〕。
２⁰×０＋２¹×０＋２²×１＋２³×０＋２⁴×０＋２⁵×１＋２⁶×１＋２⁷×１＋２⁸×１＋２⁹×１＋２¹⁰×１
先頭は２⁰＝１に注意！
よって、２²＋２⁵＋２⁶＋２⁷＋２⁸＋２⁹＋２¹⁰

（い）
考えるよりやってみた方が早いと思う(;`ω´)
23×23＝529
29×29＝841
2020－（529＋841）＝650

650を２つの平方数の和で示す。
23×23＝529だったので、650に近い平方数を調べてみると25×25＝625
650との差が25だから、５²＋25²と出てしまう。。

また、23×23＝529と650の差が121で、
中学受験生であれば20の平方数までは言えるはずなので11²＋23²と出る。

＠余談＠
2020を２つの平方数の和で表す問題が市川高校で出題されました。

2020年度　市川高校過去問【数学】大問２解説

－ブラーマグプタの恒等式－
【（ａ²＋ｂ²）（ｃ²＋ｄ²）＝（ａｃ+ｂｄ）²＋（ａｄ－ｂｃ）²】

650＝２×５²×13＝５²×（２×13）＝25×26
25＝０²＋５²
26＝１²＋５²
ａ＝０、ｂ＝５、ｃ＝１、ｄ＝５とおいて代入。
（０²＋５²）（１²＋５²）
＝（０×１＋５×５）²＋（０×５－５×１）²
＝25²＋（－５）²

負の数は２乗すると符号が正に変わるので、
650＝５²＋25²に置き換えられる。

―別解―
650＝２×５²×13＝13×50
13＝２²＋３²
50＝１²＋７²
ａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝１、ｄ＝７で代入。
（２²＋３²）（１²＋７²）
＝（２×１＋３×７）²＋（２×７－３×１）²
＝23²＋11²

―別解２―
13＝２²＋３²
50＝７²＋１²←項を入れ替えた。
ａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝７、ｄ＝１で代入。
（２²＋３²）（７²＋１²）
＝（２×７＋３×１）²＋（２×１－３×７）²
＝17²＋（－19）²
２乗すると負が正に変わるから、17²＋19²

（４）
テトリス問題(‘ω’)
７種類のなかから５種類のタイルを選ぶ。

９列あるが棒と正方形を使えば列の数を減らすことはできる。
残りの３種類で四角形を埋めることができれば、ほぼ正解◎。

下から埋めてみました。
同じパーツを使ってみると良いかも。『ト』が万能。
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半径３ｃｍの球の体積は、底面が半径３ｃｍの円で、高さが６ｃｍの円柱の体積の３分の２に等しいことが知られています。このことを利用して、次の問いに答えなさい。
（１）
半径３ｃｍの球の体積を求めなさい。

（２）
図１のような直方体の箱があります。この箱の内部を半径３ｃｍの球が自由に動き回るとき、動き回ることのできる部分は図２のような立体になります。この立体の体積は、半径３ｃｍの球の体積の何倍ですか。

（３）
１辺の長さが15ｃｍの立方体の箱があります。この箱の内部を半径３ｃｍの球が自由に動き回るとき、動き回ることのできる部分の体積を求めなさい。

＠解説＠
（１）
問題文の情報から式を立てる。
３×３×3.14×６×２/３＝113.04ｃｍ³
*半径をｒ、円周率をπとして、〔球の体積Ｖ＝４/３πｒ³〕と中学１年生で習います。

（２）

おそらく、こうやって欲しいのだと思う(‘Д’)
問題文から半径３ｃｍの球と、底面が半径３ｃｍ高さ６ｃｍの円柱の体積比が２：３。
半径３ｃｍ高さ６ｃｍの円柱と、同じ底面で高さ９ｃｍの体積比も２：３。
これを連比処理すると④：⑥：⑨。
図２の立体は、球＋高さ９ｃｍの円柱だから④＋⑨＝⑬
球の体積の13/４倍。

（３）
難関校対策クラスではやるのかもしれないが…ムズいべ(;´Д｀)
求積すべき立体がイメージできないと話にならない。

わかりやすい場所からいきます。
15ｃｍの立方体の各頂点に８つの球を設置。
この球の中心を頂点とする立方体（１辺９ｃｍ）の内部は、球がすべて通過できる。

つづいて、内部の立方体の各６面に接する、外側の立体を考える。
１辺15ｃｍ立方体を上からみると、４つの円の中心を頂点とする１辺９ｃｍ正方形の内部は、
すべて球が通過する。立体で捉えれば、９ｃｍ×９ｃｍ×３ｃｍの四角柱で、これが６つ。
*うえの図では上面と左面しか記載していません(;^ω^)

さらに、先ほどの９×９×３の四角柱の外側に注意を向けると、
半径３ｃｍ中心角90°の扇形の柱体がある。
この柱体は１辺15ｃｍの立方体の辺に１本ずつあるので合計12本。
４本集めると半径３ｃｍ高さ９ｃｍの円柱となるから、前問の体積比でいえば⑨となる。
円柱は12÷４＝３個できるので体積比の合計は㉗。
最後に立方体の８つの頂点には、それぞれ球の８分の１がある。
８つ集めると半径３ｃｍの球となり、前問の体積比でいえば④。

まとめると･･･
９×９×９＋９×９×３×６＋113.04×（㉗＋④）/④
＝729＋1458＋876.06＝3063.06ｃｍ³
類題を解いて理解していれば辛うじて式は立てやすいが、そうじゃないとかなり厳しい(´～`)
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