問題ＰＤＦ
Ｋ中学校の冬期講習は、１日６時間で、国語、数学、英語、
各２時間の授業があります。次の問いに答えなさい。

（１）
時間割の作り方は全部で何通りありますか。

（２）
同じ科目の授業は２時間連続しないことにすると、時間割の作り方は全部で何通りありますか。

（３）
講習の希望者が多くなり、クラスをＡ組とＢ組の２つに分けて授業を行うことになりました。
Ａ組とＢ組で同じ時間に同じ科目の授業は行われません。
このとき、時間割の作り方は全部で何通りありますか。
ただし、同じ科目の授業が２時間連続してもよいことにします。
 

＠解説＠
（１）
国語、数学、英語をＡ、Ｂ、Ｃに置きかえると、
ＡＡＢＢＣＣの並び替えの問題に帰結する。
６×５×４×３×２×１÷（２×１）÷（２×１）÷（２×１）
＝90通り

（２）
ＡＡＢＢＣＣが隣り合わない場合の数を求める。
先にＡＡＢＢの並び方は、４×３×２×１÷（２×１）÷（２×１）＝６通り
６通りに場合分けして、残りのＣの位置を決めていく。

・【ＡＢＡＢ】と【ＢＡＢＡ】

あいだの↓に２つのＣを挿入する。
₅Ｃ_２×２＝20通り

・【ＡＡＢＢ】【ＢＢＡＡ】

Ｃの位置が確定する。合計２通り。

・【ＡＢＢＡ】【ＢＡＡＢ】

１つのＣは確定。もう１つのＣを４つの↓から選ぶ。
₄Ｃ₁×２＝８通り
したがって、20＋２＋８＝30通り

（３）

Ａ組だけだと、（１）より90通り。
Ａ組が【ＡＡＢＢＣＣ】のとき、Ｂ組は何通りあるか。
１時間目と２時間目の組み合わせで場合分けする。

Ａ・Ｂ・Ｃの並びには対称性があり、文字の場所を入れ替えても全体の様子が変わらない。
【ＢＢ】１通りとわかれば、【ＣＣ】も１通り、
【ＢＣ】４通りとわかれば、【ＣＢ】も４通りである。
合計10通り。
全部で、90×10＝900通り
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問題ＰＤＦ
図１のような１辺が６ｃｍの立方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨがあり、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ、Ｍ、Ｎは辺の真ん中の点です。いくつかの点を結んでできる、図２のような三角柱ア（ＰＥＦーＲＨＧ）、イ（ＭＢＡ―ＮＣＤ）、ウ（ＱＦＧ―ＳＥＨ）を考えます。次の問いに答えなさい。ただし、角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められるものとします。

（１）
アとイの共通部分（どちらの三角柱にもふくまれている部分）の体積を求めなさい。

（２）
アとウの共通部分（どちらの三角柱にもふくまれている部分）の体積を求めなさい。

（３）
イとウの共通部分（どちらの三角柱にもふくまれている部分）の体積を求めなさい。

＠解説＠
（１）

底面が菱形（対角線が３ｃｍと６ｃｍ）で高さ６ｃｍの四角柱。
３×６÷２×６＝54ｃｍ³

（２）

ＰＲ、ＳＱの中点をＯとする。
ＱＧを正面（面ＢＦＧＣ）から見て、奥にある面ＰＦＧＲに押し込むとＯＧになる。
ＱＦを面ＰＦＧＲに押し込むとＯＦになる。
同様に、ＳＨを面ＰＥＨＲに押し込むとＯＨに、ＳＥはＯＥになる。
Ｅ・Ｆ・Ｇ・Ｈから伸びる４つの線分がＯに集まり、求積すべき立体は正四角錘ＯーＥＦＧＨ。
６×６×６÷３＝72ｃｍ³

（３）
 
これも押し込んで考える。
面ＳＥＦＱにＡＭを押し込むとＳＭに、ＢＭを押し込むとＱＭにプリントアウトされる。
同様に、面ＳＨＧＱにＣＮはＱＮに、ＤＮはＳＨにプリントアウトされる。
求積すべき立体は四面体ＭＮＱＳ。

Ｓ、Ｑを真下に下ろした交点をそれぞれＳ’、Ｑ’とする。
面ＯＭＮに平行となるように四面体ＭＮＱＳを等積変形すると、正四角錘ＯーＭＱ’ＮＳ’になる。
（２）の正四角錘ＯーＥＦＧＨと高さが同じで底面積が半分だから体積は半分。
72÷２＝36ｃｍ³
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問題ＰＤＦ
下の図のように、半径４ｃｍの円があり、その周上に８つの点
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈが時計回りに等間隔に並んでいます。
次の問いに答えなさい。

（１）
三角形ＤＥＧの面積を求めなさい。

（２）
三角形ＢＤＧと三角形ＡＢＣの面積の差を求めなさい。

＠解説＠
（１）

ＥＧとＤＨは平行。
ＤＨは正八角形の対角線で、この中心をＯとする。
△ＤＥＧを△ＯＥＧに等積変形すると、△ＯＥＧは直角二等辺三角形。
４×４÷２＝８ｃｍ²

＠＠＠

正八角形は等積変形をよく使うので、この平行線はおさえておこう。

（２）

△ＡＢＣと△ＢＣＤは合同な二等辺三角形。
図形がかぶらない方が見やすいので、△ＢＤＧと△ＢＣＤの差を考える。

先ほどの△ＤＥＧ＝８ｃｍ²が使えないか。
ＤＧとＥＦが平行で、△ＤＦＧに等積変形してみる。

ＤＦとＦＧそれぞれに平行な線をひき、交点をＱとする。
四角形ＧＦＤＱは２組の対辺が平行だから平行四辺形であり、ＧＤは対角線。
△ＧＱＤは△ＤＦＧと合同で８ｃｍ²。

上も同じことをする。△ＧＱＢ＝８ｃｍ²。

平行四辺形の対辺の長さは等しいので、〇はすべて長さが等しい。
ＢＤは共通辺。３辺が等しいから、△ＢＣＤと△ＢＱＤは合同。
△ＢＤＧと△ＢＣＤの差は、△ＧＱＤ＋△ＧＱＢ＝８＋８＝16ｃｍ²

＠別解＠
スチールさんから素晴らしい別解を頂きました。

ＧＣとＢＤの交点をＩ、ＧＣの中点（円の中心）をＯとします。
まずは上半分の△ＢＯＧ（青）＋△ＢＩＯ（紫）と△ＢＣＩ（赤）の差を調べます。

ＧＯ＝ＯＣより、△ＢＯＧと△ＢＣＯ（青）は等積です。
青＋紫－赤は紫が２枚分、すなわち、△ＯＢＩ２つ分です。

上下をあわせると、求めたい差は直角二等辺三角形ＯＢＤ２つ分です。
これは１辺が４ｃｍの正方形なので、４×４＝16ｃｍ²となります。
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問題ＰＤＦ
整数ＡをＢ個かけ合わせた数をＡ^Ｂで表すことにします。
例えば、７^２＝７×７＝49、７^４＝７×７×７×７＝2401です。
次の問いに答えなさい。

（１）
７^８の千の位、百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ求めなさい。

（２）
７^20の千の位、百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ求めなさい。

（３）
７^100の千の位、百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ求めなさい。

＠解説＠
（１）
以下、指数を使います。
７^２＝７²（７の２乗）＝７×７＝49
７^４＝７⁴（７の４乗）＝７×７×７×７＝2401
右上の小さな数字を指数という。

７⁸＝（７×７×７×７）×（７×７×７×７）＝７⁴×７⁴
（７を８回かけた数＝７を４回かけた数を２回かけた数）
問題文より、７^４＝2401だから、

下４桁のみを計算すると4801。
千の位…４、百の位…８、十の位…０、一の位…１

（２）
前問の〔４８０１〕の数字の並びをみると、下２桁が〔０１〕なので計算がしやすい。
７⁸＝７⁴×７⁴ → ８＝４＋４
指数の和が20になれば７²⁰になるはず。
７²⁰＝７⁸×７⁸×７⁴（20＝８＋８＋４）

下４桁だけを計算すると2001。
千の位…２、百の位…０、十の位…０、一の位…１

（３）

７⁸⁰＝8001、７¹⁰⁰は繰り上がりが起きて〔０００１〕。
千の位…０、百の位…０、十の位…０、一の位…１

＠指数法則＠
中学で習う指数法則。
ａ^ｍ×ａ^ｎ＝ａ^ｍ＋ｎ（かけ算は和になる）
ａ^ｍ÷ａ^ｎ＝ａ^ｍ－ｎ（割り算は差になる）
（ａ^ｍ）^ｎ＝ａ^ｍ×ｎ（ａをｍ回かけた数をさらにｎ回かけた数）
e.g.)２⁶⁴÷２⁶⁰＝２^64-60＝２⁴＝16
e.g.)２⁶⁴＝２^2×32＝（２²）³²＝４³²＝４^2×16＝（４²）¹⁶＝16¹⁶
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問題ＰＤＦ
Ｋ鉄道のある区間には２つのトンネルＡ、Ｂがあり、
Ａ、Ｂの順に列車が一定の速さで通過します。次の問いに答えなさい。

（１）
長さが160ｍの列車が２つのトンネルを通過します。
グラフは列車の先頭がトンネルＡに入る時を０秒として、
時間とトンネルの中にある列車の長さの関係を表しています。
トンネルＢの長さは何ｍですか。

（２）
長さが200ｍの列車が時速72ｋｍで２つのトンネルを通過します。
時間とトンネルの中にある列車の長さの関係を表すグラフをかきなさい。
ただし、グラフは列車の先頭がトンネルＡに入る時を０秒として、
最後尾がトンネルＢを出る時までとします。

＠解説＠
（１）

列車の先頭だけを追っかける。０秒後に先頭がＡに入る。
列車の長さが160ｍで、トンネルに160ｍ入ったのと同時にグラフが減るということは、
トンネルＡの長さはちょうど160ｍである。

先頭がＡから出て長さが短くなり、80ｍのところでグラフが水平になる。
これはトンネルＡの出口から80ｍ先にトンネルＢがあるから。
うえのような延長線をひき、トンネルＢに入った時間は10と20の中間の15秒後。

列車の先頭の出入りを見ると、Ａでは10秒間、Ｂでは15秒間トンネル内にいた。
速さが一定だと、時間の比は距離の比。
トンネルＢの長さは、160×15/10＝240ｍ

（２）
時速72ｋｍを秒速ｍに変換する。
〔時速×10/36＝秒速ｍ〕
72×10/36＝秒速20ｍ

転換点ごとの時間をみていく。
先端は８秒後にＡを出て、12秒後にＢに入り、24秒後にＢを出る。
最後尾は10秒後にＡに入り、18秒後にＡを出て、22秒後にＢに入り、34秒後にＢを出る。

０～８秒後⇒０ｍからトンネルＡの160ｍまで増加。
８～10秒後⇒先頭と最後尾は外にいる。トンネルＡ160ｍのまま。
10～12秒後⇒最後尾がＡに入り、長さは減少していく。減少分はＡ―Ｂ間の80ｍ。
12～18秒後⇒先頭がＢに入る。あいだの80ｍ部分だけが外。
　　　　　　先頭の増加と最後尾の減少が同じだから増減は一定。
18～22秒後⇒最後尾がＡを出る。Ｂに入る長さが増え、増加に転じる。
22～24秒後⇒列車200ｍすべてがトンネルＢの中。
24～34秒後⇒24秒後に先頭がＢを出て減少へ。34秒後に最後尾が出る。
グラフにまとめると、このようになる。
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問題ＰＤＦ
　あるスポーツの複合競技を５人の選手で競います。まず、３つの基本種目Ａ、Ｂ、Ｃを順に行います。それぞれの基本種目では、２人以上が同じ順位になることはありません。次に、基本種目Ａ、Ｂ、Ｃの順位の数字をすべてかけ合わせた数を得点にします。さらに、得点の低い選手が上位となるように、総合順位を決めます。
　例えば、基本種目Ａで３位、Ｂで２位、Ｃで３位となった選手の得点は18点です。また、得点が18点の選手は、20点の選手よりも総合順位は上位となります。

（１）
得点としてありえない整数のうち、最も小さいものはいくつですか。
ただし、０は考えないものとします。

（２）
基本種目ＡもＢも１位であった選手がいましたが、総合順位が１位となったのは別の選手でした。
総合順位が１位となった選手の得点は何点ですか。

（３）
５人の選手の得点に同じものはなく、また、総合順位が４位、５位の選手の得点は、
それぞれ16点、80点でした。総合順位が１位、２位、３位となった選手の得点はそれぞれ何点ですか。

（４）
基本種目ＡとＢの順位の数字をかけ合わせた数は、３人だけが同じでした。
総合順位が１位となった選手の得点が12点であるとき、選手全員の得点の平均は何点ですか。

＠解説＠
それとは書いてないですが、スポーツクライミングの得点方式です。
（１）
□×□×□の積でありえない数のうち、最小数を求める。
各基本種目では同順位がいないので１～５位が必ずでる。
⇒□は１～５の範囲！

１×１×（１～５）＝１～５
１×２×３＝６
７は素数で無理。よって、７。

（２）

ＡとＢで１位だった者が総合で２位になったとする。
総合１位の得点は積を小さくするので、ＡとＢの順位を２位にしておく。

Ｃの得点はこの組み合わせしかない。
総合１位の得点は４点。

（３）
総合５位の80点は【４】×【４】×【５】しかない。
総合４位の16点は【１】×【４】×【４】か【２】×【２】×【４】だが、
前者だと２種目が４位となり、総合５位も２種目で４位だから、
４位が同種目で重複することになる。よって、総合４位は【２】×【２】×【４】。

ＡとＢには残り１・３・５が入る。
４位が16点であることに注目！
５を含む16未満は【５】×【１】×【１】、【５】×【２】×【１】、【５】×【３】×【１】。

【５】×【１】×【１】を採用すると、うまくいかない…。
【１】を分けて、【５】×【２】×【１】と【５】×【３】×【１】にすると…

うまくいく。
１位…９点、２位…10点、３位…15点

（４）
□×□の積が３人だけ同じになった。
□に３や５をいれた場合、【１】×【３】、【３】×【１】といったように、
順番をひっくり返して２個は作れるが３個目が作れない…。
【１】×【４】＝【４】×【１】＝【２】×【２】しかない。
Ａ×Ｂの積は『３人だけが同じ』⇒残りの２人は【３】×【３】、【５】×【５】。

１位の選手の12点は、【１】×【３】×【４】か【２】×【２】×【３】のどちらか。

もし、１位が【２】×【２】×【３】の場合。
Ａ×Ｂ＝12である残り２人のＣは、12点を超すように【４】か【５】でなくてはならないが、
４位が重複してしまうので不適！×

１位が【１】×【４】×【３】だと、うまい具合にいける。
５人の平均点は、（16＋12＋20＋18＋25）÷５＝18.2点
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問題ＰＤＦ
（１）
辺ＡＢと辺ＣＤの長さが等しい台形の紙を図のように折りました。
角アの大きさは何度ですか。

（２）
図の３つの点線ＰＡとＰＢとＰＣの長さの和は何ｃｍですか。

（３）
底面の半径が８ｃｍで高さが40ｃｍの円柱の容器と、
底面の半径が５ｃｍで高さが40ｃｍの円すいの形をしたおもりがあります。
図のように、円柱の容器におもりを置いて、深さ24ｃｍまで水を入れました。
おもりを取り出すと水の深さは何ｃｍになりますか

＠解説＠
（１）

ＡＢ＝ＣＤである台形→四角形ＡＢＣＤは等脚台形（跳び箱）。
∠Ｃ＝66°

赤線の四角形に注目する。
180－24＝156°
折り返しと錯角で、内角の２つが∠ア。
ア＝（360－66－156）÷２＝69°

（２）
ややトリッキーな形です(-_-;)

２つの直角から同位角が等しい⇒平行
２つの三角形は相似で、相似比は３：４：５。
内角が●—×—90°であれば、相似比は３：４：５である。

全体は等辺５ｃｍの二等辺三角形。
底角が×だから真っ二つに割ると、内角が●―×―90°の直角三角形があらわれる。
斜辺が５ｃｍなので底辺は６ｃｍ、高さは４ｃｍ。
二等辺の面積は、６×４÷２＝12ｃｍ²

では、どうやってＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを求めるべきか。。
こういうのは個別の長さがわからなくても和は求まる問題なので、
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣを何かに置き換えられないか、という発想に持っていく。

青線に囲まれた３つの三角形（斜線部分以外）に注目する。
いずれも底辺が５ｃｍで、高さの合計はＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣにあたる。
３つの三角形の面積の和がわかれば、（面積）×２÷（底辺５）＝（高さの合計）
斜線部分の三角形が邪魔である。

●—×—90°の相似を直角三角形のなかにつくる。
△ＰＡＥの内角より相似比は３：４：５→ＰＡ＝３×④/⑤＝12/５ｃｍ
△ＰＤＥの面積は、１×12/５÷２＝６/５ｃｍ²

３つの三角形の和が、12－６/５＝54/５ｃｍ²
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＝54/５×２÷５＝108/25ｃｍ

（３）

水の体積は、底面が半径８ｃｍ、高さ24ｃｍの円柱から、
半径５ｃｍ、高さ40ｃｍの円錐の下24ｃｍにあたる円錐台を引いたもの。

体積比なので、高さは16：24＝②：③で計算する。
円柱…８×８×3.14×③＝192×3.14
円錐台…円錐の体積比を５×５×５＝【125】とすると、上の小さい円錐は２×２×２＝【８】
円錐台の体積比は、【125】－【８】＝【117】
５×５×3.14×⑤÷３×【117】/【125】＝39×3.14

円柱の体積比は〔192〕、円錐台は〔39〕、水の体積は差の〔153〕。
おもりを出す前：出した後＝192：153＝64：51
底面積は半径８ｃｍの円で等しいので、高さの比は体積比にあたる。
24×51/64＝153/８ｃｍ
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問題ＰＤＦ
〔例〕のような４×４のマス目があり、それぞれのマス目に数字を入れていきます。
入れる数字は、１、２、３、４のいずれか１つですが、次のようなルールがあります。

①縦、横とも、同じ列には、すべて異なる数字が入ります。
②例のように、２×２マスに分けられている４つのブロックに入る数字もすべて異なります。

以下は、Ｘ君とＹ君の会話です。

Ｘ：こんな表をもらったんだけど、ルール通りに数字を入れるとすると、
　何通りの数字の入れ方があるんだろう。

Ｙ：難しいね。どこか数字が決まるところはないのかな。
Ｘ：３が３か所に入っているから、あと１つどこかに入るはずだよね。
　あっ、わかった。Ａのところに入る数字は３じゃない？

Ｙ：本当だ。どの列にも同じ数字は１個しか入れないから、Ａが３だよね。

Ｘ：ほかに、数字が決まるところはないかな？
Ｙ：うーん、ないみたいだね。だったら、いくつか数字を当てはめて考えてみようよ。

Ｘ：じゃあ、表のＣなんだけど、１、２、４のどれかが入るんだよね。
　例えば２が入るとしてみたらどうなるかな。
Ｙ：そのときは、ＢとＤに入る数字が決まるよね。
Ｘ：あっ、だったらＥに入る数字も決まるよ。

（１）　483名中431名正解
Ｄ、Ｅに入る数字を答えなさい。

Ｙ：残ったマスもすべて数字が決まるよね。
Ｘ：本当だね。今度はＣが１のときを試してみようかな。
　そうすると、表のＦに入る数字も決まるよ。

（２）　483名中385名正解
Ｆに入る数字を答えなさい。

Ｘ：へぇ、可能性のある数字を順番に当てはめていけば、きちんと数えることができるんだね。
　あとはＣが４のときだけど、これはちょっと大変かな。
Ｙ：大丈夫だよ、ていねいにやれば数え上げられるさ。
Ｘ：そうだね。何とかできそうだ。
　わかった、最初の表では、全部で　ア　通りの数字の入れ方があるんだ！

（３）　483名中142名正解
　ア　に当てはまる数字を答えなさい。

＠解説＠
（１）

Ｂ＝１が確定。次にＤ＝４確定。

右半分が埋まる。

横の行を見てＥの下が４、その左下が２。
赤線のラインに２がこないので、左上の２×２マスからＥ＝２が確定。
Ｄ＝４、Ｅ＝２

（２）

２が確定。

２の左が４、下が１。
縦と横からみてＦ＝２。

（３）

●と×が対応する。

２つの●が確定。

残りの４マスは▲と■が対応する。
●と×に入る数は、１か２の２通り。
▲と■に入る数は、３か●でない数の２通り。
２×２＝４通り。

（１）Ｃ＝２、（２）Ｃ＝１が各１通りずつだったので、
合計して６通り。
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問題ＰＤＦ
表のように、あるきまりにしたがって整数が１から順に並んでいます。
上からｘ番目、左からｙ番目の位置にある数を（ｘ、ｙ）と表すことにします。
例えば、（２、３）＝８です。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）　得点率63.1％
次の〔　ア　〕、〔　イ　〕にあてはまる数を答えなさい。
（10、９）＝〔　ア　〕
（７、７）＋（７、８）＝〔　イ　〕

（２）　得点率30.1％
次の〔　ウ　〕、〔　エ　〕に入る数は、どのような数ですか。
①～⑥のうち、正しい組み合わせを選びなさい。
（2022、10）＋（2022、11）＋（2022、12）＝〔　ウ　〕
（2022、2021）＋（2022、2022）＋（2022、2023）＝〔　エ　〕

（３）　得点率6.0％
表の太枠にある３つの数３、８、15の和は26です。
このように横に並んでいる３つの数の和が404となるとき、３つの数をすべて答えなさい。
なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

＠解説＠
（１）
ｘとｙを取り違えないこと！
上からｘ番目、左からｙ番目なので、ｘが横の行、ｙが縦の列。

平方数が１行目に並ぶ。（１、９）が81。
次の（10、１）が82。（10、９）は横に８だから、ア＝82＋８＝90
*あいだの数なので＋８である。＋９しないこと！

（１、７）が49、（１、８）が64。
７行目だからこれらの６個下。
イ＝（49－６）＋（64－６）＝101
ア…90、イ…101

（２）

連続する３つの整数の和である。
最初の数を●とすると、●＋（●＋１）＋（●＋２）＝●×３＋３＝３×（●＋１）
３の倍数だから３で割り切れる数。

最初の２つは連続する整数なので和は奇数。
問題は右の数だけ正方形から外れる(;´Д｀)

表を観察すると、正方形の右下の数（赤線）の１個右の数をみると、
４・８・14・22・32…といずれも偶数である！
したがって、奇数と偶数の和で答えは奇数となる。
②

＠余談＠
なぜ右端が偶数となったのか、これも平方数が出発点である。
偶数列目…偶数×偶数－偶数＝偶数－偶数＝偶数
e.g.)４×４－２＝14
奇数列目…奇数×奇数－奇数＝奇数－奇数＝偶数
e.g)５×５－３＝22

（３）
横に並ぶ３つの数字には３パターンある。

まず、同じ正方形に横並びするパターン。
連続する３つの整数だから、前問より和が３の倍数になる。
404は３の倍数ではないから×！

右１つだけが違う正方形にあるパターン。
前問より奇数になるので404は×！

となると、これしかない。
すなわち、３つの数がそれぞれ別の正方形にある。

本問の特徴的な数は平方数なので、平方数から活路を見出す。
404÷３＝134…２
【…100・121・144・169…】と平方数を並べてみると、
100＋121＋144＝365
121＋144＋169＝434
↑これが404より大きい数のうち、最も404に近い。

差は434－404＝30
それぞれを－10する。答えは111と134と159。
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問題ＰＤＦ
体育館で学年集会を行うことになりました。９人がけの長いすを使って、全員が前から順に着席していきます。ただし、人と人の間隔を１メートル以上空ける必要があるため、９人がけの長いすには１つおきにしか座れません。図１のように５人ずつ座ると長いすの数が少なくてすみますが、図２のように前から５人、４人、５人、･･･と交互に座ると長いすと長いすの間隔をせまくできます。
このとき、次の問いにこたえなさい。

（１）　得点率69.6％
学年の生徒数が240人のとき、図２のように座ると、
図１のときに比べて長いすは何脚多く必要ですか。

（２）　得点率28.9％
学年の生徒数が〔　　〕人のとき、図１のときと図２のときの長いすの数の差が３脚で、
どちらも最後列の長いすに座る人数が４人でした。
〔　　〕に入る数として考えられるものをすべて答えなさい。
なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

（３）　得点率1.4％
図１のときと図２のときの長いすの数の差が４脚のとき、
考えられる生徒数として最も少ないのは何人ですか。

＠解説＠
差集め算。
（１）

図１は、240÷５＝48脚
図２は２脚で１セット（９人）ととらえる。
240÷９＝26セット…６人
６人の配分は５人＋１人で２脚。
26×２＋２＝54脚
差は、54－48＝６脚

＠別解＠
２脚１セットで１人の差が生まれる。
図１で48脚だから、48÷２＝24人の差が生まれる。
この24人を図２のやり方で座らせると、24÷９＝２セット…６人
差は、２×２＋２＝６脚

（２）

最後列は４人。
図１より生徒数は〔５の倍数＋４〕人である。
図１の脚数が偶数個の場合、図２の最後の３脚には５人―４人―４人が座ることになる。

もう１人いると図１の長方形がすべて埋まるのでやりやすくなる。
そこで、生徒数が１人多い場合を想定する。
図２の最後列は５人席だから、１人増えても脚数に変動はない。

同じ脚数における差の合計は、５＋４＋４＋１＝14人
２脚１セットで１人の差が生まれるので、図１は１×２×14＝28脚
実際の人数は１人少ないから、５×28－１＝139人

もう１つのシナリオは、図１の脚数が奇数個の場合。
図２の最後の３脚は４―５―４人が座ることになる。
⇒先ほどの５―４―４人と差の合計が変わっていない。
図１の４人は最後列だが、順番を入れ替えて１個手前の列を４人にすると、
上の部分も先ほどと変わらない。
図１と図２に１列５人を足しても変化しない。139＋５＝144人

144＋５＝149人にすると差が１人増えるので、もう１脚足さなければならなくなる。
よって、答えは139人と144人。

（３）

生徒数を少なくするので、図１の脚数□をできるだけ少なくする。
脚数を少なくするということは、図１と同じ脚数における生徒数の差を減らす。
図１は多めにして最後列を５人フルで座らせる。
図２のラスト４列に座る生徒数を少なくするために最後列は１人にする。
手前の３列は５―４―５より４―５―４の方が人数が少ない。
差の合計は４＋５＋４＋１＝14人
２列１セットで１人の差を生むから、セットの部分は１×２×14＝28列
図２の最後から５列目は５人なので、全体は奇数列だからもう１列ある。
□＝28＋１
図１より、生徒数は５×29＝145人

＠余談＠

前問の144人の図から答えがすぐでてしまう(*´д`*)
上の図１の□（空席）に１人追加すると、
図２はもう１脚必要になって差が４脚になる。
144＋１＝145人
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