下の表はかけ算の計算結果を順に並べている表です。上から１段目（つまり一番上の段）、左から２列目のマスには１×２の計算結果（つまり２）が書かれており、上から４段目、左から６列目のマスには４×６の計算結果（つまり24）が書かれています。
　紙面の都合上、たても横も15段目、15列目までしか書かれていませんが、「・・・」は、それより先も同じように数が続いていることを表しています。例えば、上から20列目、左から19列目のマスなども、この表には書かれていませんが、あるものとします。

この表をもとにして次の問いに答えなさい。
（問１）
上から５段目、左から８列目のマスに書かれている数から、
上から４段目、左から８列目のマスに書かれている数をひいた数を答えなさい。

（問２）
上から17段目、左から12列目のマスに書かれている数から、
上から16段目、左から12列目のマスに書かれている数をひいた数を答えなさい。

（問３）
上から256段目、左から36列目のマスに書かれている数は、9216でした。
このマスの上にあるマスに書かれている数を答えなさい。

（問４）
上から123456段目、左から654321列目のマスに書かれている数は、そのマスの右上にあるマスに書かれている数に比べて、どれだけ差があるか答えなさい。なお、解答らんの〔　　　　〕には数字を、「　　　」の中には「大きい」か「小さい」のどちらかを記入しなさい。

＠解答欄＠
上から123456段目、左から654321列目のマスに書かれている数の方が、
〔　　　　　　　　　　　〕だけ、「　　　　」。

（問５）
あるマスに書かれている数と、そのマスの右上にあるマスに書かれている数が同じになることがあります。例えば上から４段目、左から３列目のマスに書かれている数と上から３段目、左から４列目に書かれている数はどちらも12で同じです。それは、「元のマス」の「列の数」、「段の数」がどのようなときですか。「元のマス」、「列の数」、「段の数」を使って説明しなさい。なお、「列の数」とは「左から何列目にあるか」を、「段の数」とは「上から何段目にあるか」を表す数のことです。

＠解説＠
（問１）
５×８－４×８＝８

（問２）
17×12－16×12
＝（17－16）×12
＝12

（問３）
上から255段目、左から36列目のマスが正解。
255×36…をしてもよいが、問１と問２のように左から〇列目は〇ごとに増えていく。
８列目は８、12列目は12、36列目は36ずつの等差数列。
256×36＝9216だから、9216－36＝9180

（問４）
ここで差がつく。

123456×654321は計算しないよ( ˘ω˘ )

左から654321列目なので、１個上にいくと－654321。
上から123455段目なので、１個右にいくと＋123455。
654321－123455＝530866
〔530866〕だけ「大きい」。

（問５）

右上と数が同じペアを観察すると見えてくる。
平方数を通るように斜め45度線を描くと、右上と左下が対称。

問題文の「元のマス」の意味がわからなかったのだが…(;´･ω･)
『あるマス』が元のマスとして、『元のマスの列の数と段の数の差が１のとき』かな？
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麗澤中学校で１年生の交流を深めるためにクラス対抗ラグビー大会を実施しました。
試合中の得点は、次のルールにしたがって点数が加算されます。
①トライ…５点、②コンバージョンゴール…２点、③ドロップゴール…３点
ただし、コンバージョンゴールはトライの回数以下です。
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４クラスが参加し、総当たりのリーグ戦を行いました。
リーグ戦は次のルールにしたがって勝ち点を計算しました。
①勝ち…４点　②引き分け…２点　③負け…０点
④勝敗に関係なく、トライの回数が４回以上…１点
⑤負けた場合、点差が７点以内…１点

Ａ組とＢ組の対戦では、31－17でＡ組が勝利しました。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）
試合は全部で何試合行われたか答えなさい。

（２）
Ａ組とＢ組の対戦でのＡ組の点数の取り方は、何通りあるか答えなさい。
ただし、点数が加点された順番は考えなくてかまいません。

大会が進み、残りはＡ組とＤ組の対戦のみとなりました。
ここまでの結果として、次のことがわかっています。
・Ｃ組とＤ組の対戦では、Ｃ組が３回トライし17点差で勝利した。
・Ｂ組とＤ組の対戦は引き分けではなく、Ｄ組のトライの回数の方が多かった。
・Ｂ組とＣ組の対戦では、Ｃ組が３回トライしたがＢ組は負けなかった。
・Ａ組とＣ組の対戦では、Ａ組が２回トライし10点差で勝利した。
・Ｂ組の勝ち点は３、Ｄ組の勝ち点は４です。
なお、この大会の優勝クラスの決定方法は勝ち点が一番多かったクラスです。
ただし、勝ち点で並んだクラスがあったときは直接対決で勝ったクラスが優勝とします。
（３）
Ａ組とＤ組の対戦が終了し、Ｄ組が優勝したとき、
各組の勝ち点の組み合わせは何通りあるか答えなさい。

＠解説＠
（１）
４組で総当たり戦（リーグ戦）。

↑こんなヤツです。６試合。

（２）
31点の中身を調べる。
＠条件＠
トライ…５点、コンバージョンゴール…２点、ドロップゴール…３点
ただし、コンバージョンゴールはトライ以下の回数。
得点の大きいトライの回数で場合分け。
■トライ６回
31－５×６＝１点
残り１点が作れないので×。
■トライ５回
31－５×５＝６点
２×３と、３×２の２通り。
■トライ４回
31－５×４＝11点
２×４＋３と、２＋３×３の２通り。
■トライ３回
31－５×３＝16点
２×２＋３×４の１通り。
■トライ２回
31－５×２＝21点
３×７の１通り。
■トライ１回
31－５×１＝26点
２×１＋３×８の１通り。
■トライ０回
残り31点を作れない×。
したがって、７通り。
*トライが多いときはドロップ、少ないときはコンバージョンで場合分けした方が良いかな？(‘ω’)

（３）
推論問題。条件がフクザツで厳しいよ～(´Д｀)
この問題に精を尽くすより、他を確実にとった方が良いです。

だいたいこの手の問題は、最後に挙げられた情報が一番重要であったりする(´-`).｡oO
Ｂの勝ち点は３、Ｄの勝ち点はＤ
〔ＢvsＣ〕でＢが勝ってしまうと、Ｂの勝ち点が＋４になってしまう。
ＢとＣは引き分けとなる。Ｂはトライ４回以上の可能性あり。
同様に、〔ＢvsＤ〕でＢが勝つとＢの勝ち点が＋４になってしまう。
Ｂは負け、Ｄが勝ち。いずれもトライ４回以上の可能性はあり、
Ｂはドロップゴールをたくさん決めて７点差以内で負けたかもしれない。
だが、ＤはＢとの勝利で勝ち点が４なので、これまでに追加点はなかったことになる。

これを踏まえたうえで条件を整理する。
トライの回数が４回以上、もしくは負けても７点差以内でもらえる１点の処理がキツイ。
この１点が不明な場合、以下、△とあらわす。
〔ＡvsＢ〕Ａ：４＋△　Ｂ：０
*勝ったＡは４点、負けたＢは０点。
前問のようにＡは31点のうち、トライが４回以上の場合がある。
Ｂは14点差で負け、17点ではトライは最大で３回だから追加点はない。
〔ＡvsＣ〕Ａ：４　Ｃ：０＋△
*Ａはトライ２回で追加点なし。Ｃはトライ４回以上がありうる。
（たとえば、Ｃがトライだけで５×４＝20点。Ａは５×２＋２×１＋３×６＝30点のとき）
〔ＡvsＤ〕まだ行われていない。
〔ＢvsＣ〕Ｂ：２＋△　Ｃ：２
*Ｂはトライ４回以上の可能性あり。
〔ＢvsＤ〕Ｂ：０＋△＋△　Ｄ：４
*Ｂはトライ４回以上、もしくは７点差で負けた可能性あり。
〔ＣvsＤ〕Ｃ：４　Ｄ：０＋△
*Ｃはトライ３回で追加点なし。Ｄはトライ４回以上の可能性がある。
（たとえば、Ｄはトライだけで５×４＝20点。Ｃは５×３＋２×２＋３×６＝37点のとき）
現時点で勝ち点は少なくともＡ８点、Ｂ２点、Ｃ６点、Ｄ４点。
Ｂの勝ち点は３なので、どこかの△が１だが、
ＡとＤの対戦でこれ以上は増えない。Ｂは勝ち点３で確定。
最終的にＤが優勝するので、ＤはＡに勝つことになる。
〔ＡvsＤ〕Ａ：０＋△＋△　Ｄ：４＋△
Ａ８点、Ｂ３点（確定）、Ｃ６点、Ｄ８点。

■ＡとＤの勝ち点が同点。
この場合、直接対決で制したＤが優勝するので条件に適合する。
Ａの△は３つ、Ｄの△は１つ。
（Ａ、Ｄ）＝（８、８）（９、９）の２通り。
■Ｄの勝ち点がＡより大きい。
（Ａ、Ｄ）＝（８、９）の１通り。

さらに、Ｃに△が１つあるので、Ｃの勝ち点は６か７で２通りある。
よって、各組の勝ち点の組み合わせは、（２＋１）×２＝６通り
*実際の試合ではドロップゴールは難しい( ˘ω˘ )
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あるクラスで100点満点の算数のテストを行ったところ、
クラスの生徒全員の平均点は75.5点でした。
100点をとった生徒は４人いて、その４人を除いた残りの生徒の平均点は72点でした。
テストの得点はすべて０以上100以下の整数であるとして、以下の問いに答えなさい。
（１）
このクラスの人数は全部で何人ですか。

（２）
平均点より高い得点をとった生徒は、もっとも多くて何人ですか。

同じクラスで100点満点の国語のテストを行ったところ、平均点は60.5点でした。
算数のテストで自分がとった点数以上の点数を国語のテストでとった人は、
ちょうど10人いました。
（３）
算数、国語の両方のテストでともに平均点より高い点数をとって生徒は、
もっとも多くて何人ですか。

＠解説＠
*入試では（２）（３）は考え方も解答用紙に書く。
（１）

左が満点の４人。右がその他の？人。
２つの長方形を均すと75.5点になる。

４人の75.5点以上の面積が、その他の72点以上75.5以下と同じ。
（100－75.5）×４＝24.5×４＝98
？＝98÷（75.5－72）＝98÷3.5＝28
４＋28＝32人

（２）
クラス全員の平均は75.5点だった。
平均よりも高い点数をとった生徒を多くするには、
平均点よりギリギリ上の76点の生徒を増やす！

その他28人の総和…72×28＝2016点
これを76で割り、その整数部分が76点の得点者。
2016÷76＝26.5…→26人
26＋４＝30人
*26人の総和は、76×26＝1976点
残りの２人で2016－1976＝40点を適当に配分すればいい。

↑図を描くとこうなる。

（３）
（２）のように、総和から条件に適合するように得点を配分する。
クラス全員の総和…60.5×32＝1936点
『国語で算数以上の点数をとった人は10人』
言い換えれば、算数より国語で点が下がった人は22人もいる。
平均点の高い算数より、平均点の低い国語が悪かった人は多いので、
『国語で算数以上の点数をとった10人』を優先してつくる。

まず、先ほどの算数で平均以下だった２人が、国語で同じ点数を取る。
２人の総和…40点
算数で76点だった26人のうち、８人が国語で76点をとる。
８人の総和…76×８＝608点
これで、『国語が算数以上の10人』が完成。

残りの22人で、1936－（40＋608）＝1288点を分配する。
国語のギリ平均超えである61点の得点者を増産。
1288÷61＝21…≒21人

21人の総和…61×21＝1281点
残りの１人は、1288－1281＝７点となる。

したがって、算国両方で平均超えは、最も多くて８＋21＝29人。
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図のように３×３のマス目に１から９までの数字が書かれたカードがあります。
また、１から９までの数字が１つずつ書かれたボールが入っている箱があります。
このとき、次のようなゲームをおこないます。

＠ルール＠
①箱からボールを１個取り出し、ボールに書かれた数字と同じ数字のマス目に〇を付ける。
ただし、一度取り出したボールは箱にもどさないものとする。
②①をくり返して、９個のマス目のうち、たて、横、ななめのいずれか一列の数字
すべてに〇が付いたら終了とする。

たとえば、１、２、４、３の順でボールと取り出すと、１、２、３の列の数字すべてに〇が付くので、ボールを４個取り出してゲームは終了となります。
また、１、２、３の順でボールと取り出す場合と１、３、２の順でボールを取り出す場合は、ともに１、２、３の列の数字すべてに〇が付くので、ボールを３個取り出してゲームは終了となりますが、これらは異なるボールの取り出し方とします。このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）
３個のボールを取り出し、１、５、９に〇が付いてゲームを終了するような取り出し方は
何通りありますか。

（２）
４個のボールを取り出し、１、５、９に〇が付いてゲームを終了するような取り出し方は
何通りありますか。

（３）
５個のボールを取り出し、１、５、９の列の他にもう１列の数字すべてに〇が付いて
ゲームが終了するような取り出し方は何通りありますか。

＠解説＠
（１）
〔１・５・９〕を取り出してビンゴ。
３つの順列→３×２×１＝６通り

（２）
〔１・５・９・□〕を取り出し、１－５－９でビンゴ。

最後の４回目は１・５・９のどれかでなくてはならない。
この３つの並びは６通り。
１or２or３回目に１・５・９以外の６つの数字のどれかが入る。
６×３＝18通り
よって、６×18＝108通り

（３）
最後の５回目は、１・５・９のどれかでなくてはならない。

Ａ：１でフィニッシュ。
〔２・３〕か〔４・７〕を出す。

〔２・３〕を出す。
２・３・５・９の順列→４×３×２×１＝24通り
〔４・７〕も同様で24通りだから、計48通り。

Ｂ：９でフィニッシュ。
これもＡと対称的に考えて48通り。

Ｃ：５でフィニッシュ。
〔２・８〕〔３・７〕〔４・６〕がある。
24×３＝72通り

したがって、48＋48＋72＝168通り
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次の〔　　〕にあてはまる数を答えなさい。
（１）
濃度６％の食塩水250ｇと濃度10％の食塩水〔　　〕ｇと水50ｇを混ぜると、
濃度７％の食塩水になりました。

（２）
麗太くんと麗子さんは、南柏駅から〔　　〕ｋｍの一直線の道を通って麗澤中学校に向かうため、
麗太くんは分速100ｍで歩き、麗子さんは時速30ｋｍで進むバスに乗りました。
麗子さんの乗ったバスは、途中にある３つの信号で、それぞれ２分ずつ停車しました。
２人は同時に出発しましたが、麗太くんは麗子さんよりも10分遅れて麗澤中学校に到着しました。

（３）
あるファストフード店では、店内で食べる物には10％の消費税が、
持ち帰るものには８％の消費税がかかります。麗太くんは店内で定価290円のポテトを食べ、
定価〔　　〕円のハンバーガーを持ち帰ったので697円かかりました。

（４）
身長が全員ことなる５人を以下の規則にしたがって一列に並ばせるとき、
並び方は全部で〔　　〕通りあります。
規則：左から２番目と４番目の人はどちらも、両隣りの人より背が高い。

（５）
下の数字の列はある規則性にしたがって並んでいます。
〔　　〕に入る数を答えなさい。

（６）
下の図の斜線部分の面積は〔　　〕ｃｍ²です。
ただし、円周率は3.14とします。

＠解説＠
（１）
天秤法を使いたいが…水がジャマ|･ω･` )
先に、濃度６％食塩水250ｇと水50ｇを混ぜてしまおう。
食塩の量は250×６％＝15ｇ
食塩水の量は250＋50＝300ｇ
水50ｇを混ぜた後の濃度は、15÷300×100＝５％

ここで天秤法。
支点からの距離が２：３なので、おもりの重さは３：２。
300×２/３＝200ｇ

（２）
時速30ｋｍを分速に変換。
麗子の速さ…30×1000÷60＝分速500ｍ
速さの比は、麗太：麗子＝100：500＝１：５
時間の比は逆比で、麗太：麗子＝⑤：①

麗子のバスは途中で合計６分間停車し、麗太は麗子の10分遅れで到着。
→もし、信号がすべて青でバスの停車がなかったら、麗太は16分遅れになっていた。
時間の比の差④が16分だから、麗子の時間①は４分。
南柏駅～麗澤中学までは、分速500ｍ×４分＝2000ｍ＝２ｋｍ

（３）
店内のポテトは税込みで、290×110％＝319円
残りは、697－319＝378円
持ち帰ったハンバーガーの定価は、378×100/108＝350円

（４）

最も背が高い人を２番に配置。
２番目に高い人を１番に配置すると、３番目に高い人は４番にくる。
２通り。

今度は、２番目に高い人を４番に配置する。
残り３人はどこでもいい。
３×２×１＝６通り
計８通り

最も背が高い人を４番に配置しても同様のことがいえる。
対称的に考えて、８×２＝16通り

（５）

整数を分数に、既約分数が約分されたと仮定すると…
分子が３、分母が１ずつ増えていた(ﾉ∀`)
19/７

（６）
迷った(;`ω´)

半円の中心点を意識しよう。
青線の直角三角形が相似。
底辺：高さ＝１：３から、小さい直角三角形の底辺が１ｃｍ。その左が２ｃｍ。

緑線の三角形で相似。
辺の比が２：６＝１：３
上の三角形の高さは、６×①/④＝３/２ｃｍ
★の面積を調べてみると…１×３÷２＝３/２ｃｍ²
２×３/２÷２＝３/２ｃｍ²で面積が等しい(´ω`ﾉﾉﾞ
移植すると、半径３ｃｍの４分の１円になる。
３×３×3.14÷４＝7.065ｃｍ²

＠別解＠

正方形の対角線Оは正方形の中心。
ＡＯ＝３＋３＝６ｃｍ
△ＡＯＤと△ＣＢＤは１辺と両端角が等しく合同。
ＢＤ＝ＤＯ

△ＯＢＥは直角二等辺三角形で、ＥＡ＝ＥＯ＝３ｃｍ
ＯＥ：ＥＡ＝１：１
△ＯＤＥと△ＯＢＡで、ＯＤ：ＤＢ＝ＯＥ：ＥＡ＝１：１
平行線と線分の比（中点連結定理）からＢＡ//ＤＥ。

等積変形で△ＤＢＥと△ＤＡＥの面積が等しい。
２つの三角形から△ＤＦＥをひくと、△ＤＢＦと△ＦＡＥの面積も等しい。
★を移植して、斜線部分の面積は半径３ｃｍの４分の１円に変形できる。
難しい(;´Д｀)
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Ｓ中学校のＴ先生とＭさんが「11の倍数の見分け方」について会話しています。
あとの各問いに答えなさい。

Ｔ先生：Ｍさん、11の倍数の見分け方を知っていますか？
Ｍさん：３の倍数や４の倍数なら知っていますが、11の倍数は知りません。
Ｔ先生：それは、１けたおきに加えた和どうしの差を11で割るというものです。
　たとえば、〔３８１７〕の場合、
　１けたおきに加えた和➡３＋１＝４…(Ａ)、８＋７＝15…(Ｂ)
　(Ａ)と(Ｂ)の差➡15－４＝11…(Ｃ)
(Ｃ)が11で割り切れるので、〔３８１７〕は11の倍数だとわかるのです。
もう一つ例をあげると、〔２５４８７〕の場合、
　１けたおきに加えた和➡２＋４＋７＝13…(Ａ)、５＋８＝13…(Ｂ)
　(Ａ)と(Ｂ)の差➡13－13＝０…(Ｃ)
　この場合も(Ｃ)が11で割り切れるので、〔２５７８７〕は11の倍数だとわかります。
Ｍさん：へぇ～。びっくりしました。
Ｔ先生：それでは、さっそく問題です。
　７けたの整数〔２Ｎ３０９５８〕が11の倍数になるとき、Ｎにあてはまる数は何ですか？
Ｍさん：はい。答えは〔　ア　〕です。
Ｔさん：正解です。よくできましたね。
Ｍさん：でも、Ｔ先生。どうしてそのようになるのですか？
Ｔ先生：それでは、99、9999、999999のように、９だけが偶数個並んだ数は
　11の倍数になることを説明してみてください。
Ｍさん：はい。999999の場合で説明をすると、
　999999＝990000＋9900＋99
＝11×90000＋11×900＋11×９
＝11×（90000＋900＋９）
＝11×〔　イ　〕
　これでどうですか？
Ｔ先生：よくできました。
　そうすると、９だけが偶数個並んだ数に11を加えた数も11になりますね。
　ですから、
　99＋11＝110、9999＋11＝10010、999999＋11＝1000010、…
　も11の倍数です。ところで、これらの数の一の位の数字はすべて０ですから、
　これらの数を10で割った数も11の倍数になりますね。
Ｍさん：つまり、11、1001、100001…のように、２個の１の間に偶数個の０が並ぶような数は
　11の倍数だということですね。
Ｔ先生：その通り。
　これらの性質を使うことで、11の倍数の見分け方がわかるのです。
　たとえば、〔３８１７〕の場合で説明しましょう。
　3817＝3000＋800＋10＋７
＝1000×３＋100×８＋10×１＋７
＝（1001－１）×３＋（99＋１）×８＋（11－１）×１＋７
＝1001×３－３＋99×８＋８＋11×１－１＋７
＝11×91×３－３＋11×９×８＋８＋11×１－１＋７
＝11×（91×３＋９×８＋１）－３＋８－１＋７
＝11×（91×３＋９×８＋１）＋（８＋７）－（３＋１）…(＊)
となります。　　の部分は11の倍数ですから、　　の部分が11の倍数であれば、
〔３８１７〕も11の倍数だとわかるのです。
Ｍさん：なるほど！よくわかりました。

（１）
次の①～④のうち、11の倍数はどれですか。すべて選びなさい。
①773124　②2701384　③9999999　④10000001

（２）
〔　ア　〕、〔　イ　〕にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。

（３）
Ｍさんは家に帰ってから、Ｔ先生の説明にならって、
〔２５４８７〕が11の倍数になる理由を考えました。
下の式は、Ｔ先生が作った（＊）の式と同じ内容のものです。
〔　ウ　〕～〔　オ　〕にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。
11×（〔　ウ　〕×２＋〔　エ　〕×５＋〔　オ　〕×４＋８）＋（２＋４＋７）－（５＋８）

＠解説＠
（１）
①奇数番目の位➡４＋１＋７＝12、偶数番目の位➡２＋３＋７＝12、両者の差➡12－12＝０
　差が０の場合も11の倍数になる。〇
②奇数番目の位➡４＋３＋０＋２＝９、偶数番目の位➡８＋１＋７＝16、両者の差➡16－９＝７
　差が11の倍数ではないので違う。×
③９だけが偶数個並ぶと11の倍数。9999999は奇数個なので違う。×
④２個の１の間に偶数個の０が並ぶので当たり。〇
①・④

（２）ア
奇数番目の位➡８＋９＋３＋２＝22
偶数番目の位➡５＋０＋Ｎ＝５＋Ｎ
両者の差が11の倍数か０になればいい。
22－（５＋Ｎ）＝17－Ｎ
０≦Ｎ≦９だから、Ｎ＝６

イ
中２で習う、整数の証明問題と考え方は同じです。
999999＝990000＋9900＋99
＝11×90000＋11×900＋11×９
＝11×（90000＋900＋９）
＝11×〔　イ　〕
イ＝90000＋900＋９＝90909
*11の倍数を証明したい場合、11×（整数）の形に変形する。

（３）
少々、問題文のおさらいを入れます(‘Д’)

９が偶数個だと11の倍数になる証明は前問の通りだが、
筆算をかくと視覚的にわかりやすい。

（９が偶数個並ぶ数）が11の倍数なので、
（９が偶数個並ぶ数）＋11も11の倍数。
999999＋11＝1000010　←11の倍数

÷10をすると桁が１個右にスライドする。
奇数番目の位●と偶数番目の位×の和の差が０なので、11の倍数は維持される。

偶数番目の位である10、1000、100000…を（11－１）、（1001－１）、（100001－１）に、
奇数番目の位である100、10000、1000000を（99＋１）（9999＋１）、（999999＋１）に変換。
11、1001、100001、99、9999、999999はすべて11の倍数だから、
残りが11の倍数となれば全体で11の倍数となる。
例題の〔３８１７〕の場合、11×（91×３＋９×８＋１）＋（８＋７）－（３＋１）と
　　　の部分は〔３８１７〕の８と７、３と１の和の差をしている。
これが、１桁おきに加えた和どうしの差を11で割れば11の倍数を判定できる理由。

25487
＝10000×２＋1000×５＋100×４＋10×８＋７
＝（9999＋１）×２＋（1001－１）×５＋（99＋１）×４＋（11－１）×８＋７
＝11×909×２＋２＋11×91×５－５＋11×９×４＋４＋11×８－８＋７
＝11×（909×２＋91×５＋９×４＋８）＋（２＋４＋７）－（５＋８）
　　　の部分が０なので、25487は11の倍数となる。
ウ…909、エ…91、オ…９
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図１のように、１辺の長さが１ｃｍの正方形のタイルに半径が１ｃｍの円の一部が描かれているものがたくさんあります。また、１辺の長さが１ｃｍの正方形９つに区切られた図２のようなパネルがあり、このタイルをはめることができます。

タイルのうちいくつかをパネルにはめこみ、輪を作ります。ただし、輪とは、ある点から始めて、同じ点を通ることなく、すべての点を通って元の点に戻ることのできる形のこととします。例えば、図３と図４の２つの形は輪ですが、図５と図６の２つの形は輪ではありません。

（１）
輪に囲まれた部分の面積がもっとも大きくなるのは、輪がどのような形のときですか。
解答用紙のパネルに輪を書きこみなさい。
（考えられるものがいくつかあるときはそのうちの１つでかまいません）

（２）
輪に囲まれた部分の面積として考えられるものは何通りありますか。

（３）
輪に囲まれた部分の面積が図４のときと同じになるような輪の形は、
図４の場合を含めて全部で何通りありますか。
ただし、回転や裏返しでちょうど重なるものは同じとします。例えば、

の２種類は回転や裏返しで図４の輪と重なるので、すべて同じものとします。

＠解説＠
*入試では（２）と（３）は考え方も記述する。
（１）

↑面積を最大にするので、外側への膨らみを意識する。

（２）
まず、２×２の正方形だけで考える。

基本形を円とすると、４つの弧のうち、いくつを欠けさせるか。
５通り

今度は、３×３の正方形で考える。

左上の正方形から始めて、大きな正方形の隣にある頂点に移動しようとすると輪にならない。

結局、前問の解答が基本形になる|д･)
６つの弧のうち、いくつの弧を欠けさせるか→７通り
この７通りは真ん中に１ｃｍ²の正方形があり、先ほどの５通りと面積がかぶらない。
よって、12通り。

（３）

これも（１）を基本形とする。図４は①と⑥の弧が欠けた状態。
上下・左右対称移動して重複しない組み合わせを調べる。
６通り。
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ＡさんとＢさんは同じ道を通り、Ｐ地点から、途中のＱ地点で10分間休けいをとり、Ｒ地点へ行きました。ＢさんはＡさんより少し遅れて出発し、Ａさんの８分後にＲ地点に着きました。Ｃさんは９時にＡさんと同時に出発し、Ｒ地点から、ＡさんとＢさんと同じ道を通り、休まずＰ地点へ行きました。下のグラフは、３人が出発してからの時間（分）と、着くまでに進んだ距離（ｍ）をグラフに表したものです。

（１）
ＢさんはＡさんが出発してから何分後に出発しましたか。

（２）
ＡさんがＲ地点に着いたのは何時何分後ですか。

（３）
ＣさんがＢさんとすれちがったのは、何時何分後ですか。
ただし、秒は切り捨てて答えなさい。

（４）
もしＣさんが、ＡさんとＢさんの２人と同時に会う速さで進んでいた場合、
何時何分にＰ地点に着きますか。

＠解説＠
（１）
まずはグラフの理解。

０ｍがＰ、2080ｍがＱ，3900ｍがＲ。
ＡとＣが同時に出発、遅れてＢが出発。
ＢはＡの８分後にＲへ着くので、ここからＡとＢは上のようになる。
つまり、ＡがＱで休憩を終えた42分後に、ＢがＱに到着する。
アとイは平行→Ｐ－Ｑ間のＡとＢは同じ速さ。
アとイを対辺とする四角形は平行四辺形。10分を下におろす。
ＢはＡの10分後に出発したことになる。

（２）
78－８＝70分
９時の70分後→10時10分
*イとウは一直線だから、アとウも平行で傾きが同じ。
Ａは休憩後も休憩前の速度で歩いている。
しかし、ウを１辺とする四角形は平行四辺形でない。
ＢがＲに着いたとき、Ａから10分遅れではなく８分遅れであった。
→Ｂは休憩を終えてから速度をあげている。

（３）

★のところでＢとＣが出会う。
休憩前のＢは32分で2080ｍ歩く。
Ｂの速さは、2080÷32＝分速65ｍ
Ｃは65分で3900ｍ歩く。
Ｃの速さは、3900÷65＝分速60ｍ

速さの比は、Ｂ：Ｃ＝65：60＝⑬：⑫
時間の比は逆比。Ｂ：Ｃ＝【12】：【13】
これをグラフで表すと、下の青い三角形の底辺の比になる。
55分＝【25】だから、★の時間は、10＋55×12/25＝36.4≒36分
９時36分

（４）
 
ＡとＢは★で出会うので、Ｃがそこを通る線を描く。
青線の三角形で相似。
42×3900/1820＝90分
９時から90分後→10時30分
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Ｈ君とＲ君は本郷中学校の生徒です。
二人は協力して以下の問題を解こうとしています。

Ｈ君「なんだか難しそうだね」
Ｒ君「一緒に考えてみようよ」
Ｈ君「そうだね、まずはいろいろ試してみようか。
うーん、頂点Ｃは通らずに、頂点Ｄを２回経由して最後に頂点Ａに到達する経路は何本だろう？」
Ｒ君「それは･･･ｘ本だね！」

（１）ｘの値を答えなさい。

Ｈ君「なるほどね。じゃあ、頂点Ｃを通らずに、移動し始めてから３回頂点Ａを経由して
　最後に頂点Ａに到達する経路は何本だろう？」
Ｒ君「今度はこうだから･･･ｙ本だね！」

（２）ｙの値を答えなさい。

Ｈ君「Ｒ君、もっとわかりやすく考えていくにはどうすればいいの？」
Ｒ君「こういうときには図をかくといいよ！」
Ｈ君「そうか、そしてここに頂点Ｃを通らないような経路を矢印で記入するんだね」
と言って二人は次の図をかきはじめました。

Ｒ君「そう、必要な矢印をかき終えたら、ここは１、ここも１、こことここの和で２、
　のように小さく隅に数字を書きそえて…」
Ｈ君「最後にここの和を求めて、全部でｚ本だ！」
Ｒ君「そうだね！やったね！！」

（３）ｘの値を答えなさい。

＠解説＠
（１）

Ｄを２回経由してＡに戻るには、Ａ→Ｆ→Ｅ→Ｄ→Ｅ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ａしかない。
ｘ＝１

（２）

ゴールを含め、８回の移動でＡに４回触れるには、
Ａの隣にあるＢかＦに行ってＡに戻るしかない（Ｅには行かない）。
Ａ→ＢorＦ→Ａ→ＢorＦ→Ａ→ＢorＦ→Ａ→ＢorＦ→Ａ
２×２×２×２＝16通り
ｙ＝16

（３）

最短経路で見かけるヤーツ(*´ｪ`*)
Ｃには行かないので、上はＤ、下はＢで終わり。
ジクザグ矢印を書き、おなじみの方法で数字を足していく。
ｚ＝41

＠＠
本郷の過去問ページより、受験者452名中の正解者数。
（１）274名（２）36名（３）106名
（２）の正答率が悪い|дﾟ)
ゴール時に頂点Ａには３回ではなく４回触れることになる。
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図１のような、16枚のパネルと８つのボタンＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈがあります。
最初は、すべてのパネルに「〇」が表示されています。

ボタンＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄはそれぞれのボタンの下に並ぶ縦４枚のパネルに対応し、ボタンＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈはそれぞれのボタンの右に並ぶ横４枚のパネルに対応しています。各パネルは、対応するボタンが押されるたびに、〇→△→×→〇→△→×→〇→…と、表示されている記号が変化していきます。例えば、最初の状態から、ボタンＡを押すと図２にようになり、さらにボタンＥ、ボタンＡの順番で押すと、図３、４のように変化します。

（１）
最初の状態から、ボタンを次のような順番で押すと、どのようになりますか。
パネルに表示される記号を解答用紙の図に書き入れなさい。
①Ａを１回、Ｂを１回、Ｃを２回、Ｅを２回、Ｆを２回、Ｈを１回
②Ａを３回、Ｃを２回、Ｄを５回、Ｅを２回、Ｇを３回、Ｈを４回

（２）
最初の状態から何回かボタンを押したところ、一番上の４枚のパネルに表示されている記号は、図５のようになりました。このとき、ボタンＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄはそれぞれ何回押しましたか。以下の答え方にならって、考えられる組み合わせをすべて答えなさい。ただし、それぞれのボタンを押した回数は、最大で２回とします。
【答え方】（）の中に、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの順に押した回数を記入する。
例えば、Ａを１回、Ｃを２回押し、Ｂ、Ｄを押さなかった場合、（1、０、２、０）と書く。

（３）
最初の状態から何回かボタンを押したところ、いくつかのパネルに表示されている記号は次の図のようになりました。記号のかかれていないパネルのうち、記号が１つに決まるパネルにはその記号を、決まらないパネルには「？」をかき入れなさい。

（４）
最初の状態から、ボタンＡ、Ｂは１回も押さず、ボタンＣは１回、ボタンＤは２回押しました。ＥからＨのボタンはどのように押したか分からないとき、〇が表示されているパネルの枚数として考えられるものをすべて答えなさい。

（５）
最初の状態から何回かボタンを押したとき、〇が表示されているパネルの枚数として考えられるものをすべて答えなさい。

＠解答＠
（１）

押されたボタンの回数を調査。
②ＡとＧの３回押しは押さないのと同義。
Ｄの５回は２回押し、Ｈの４回は１回押しでカウント。

（２）

Ｅ列のパネルなので、Ｅ列が何回押されたかで場合分け。
Ｅを先に押したあとでＡ～Ｄを考えたほうがやりやすい。
◆Ｅ０回押し→全部〇→（０、０、１、２）
◆Ｅ１回押し→全部△→（２、２、０、１）
◆Ｅ２回押し→全部×→（１、１、２、０）
（０、０、１、２）（２、２、０、１）（１、１、２、０）

（３）①
ボタンが押された回数はわからないが、
３の倍数or３の倍数＋１or３の倍数＋２がわかればいい。
（以下、３の倍数…０、３の倍数＋１…①、３の倍数＋２…②と表記）

〔Ｃ・Ｆ〕の×に注目する。
×は②で、これをＣとＦで分配する。
上と左が△だから、Ｃは①、Ｆは①。

〔Ｂ・Ｆ〕の△はＦの①で変わったので、Ｂは０。
Ｅも０にしないと〔Ｂ・Ｅ〕が〇にならないから、Ｅも０。

Ｅが０だから、〔Ｄ・Ｅ〕を×にするにはＤが②。
〔Ｄ・Ｇ〕を△にするには、Ｇを②にする。
Ｈは決まらない。以上を整理すると、上の図になる。

②

〔Ｂ・Ｇ〕の×に注目。×の②をＢとＧに配分。
上の△からＢは①。Ｇは①。

〔Ａ・Ｇ〕を×にするためにＡは①。
〔Ｂ・Ｅ〕を△のままにするのにＥは０。

〔Ｃ・Ｅ〕と〔Ｄ・Ｅ〕の〇からＣとＤは０。
〔Ｄ・Ｈ〕の〇からＨも０。
Ｆは決まらない。以上を整理すると、上の図になる。

（４）

Ａ～Ｄを指定回数分押した様子から考える。
Ｅ～Ｈをすべて押さないと〇は８個。
Ｅを１回押すと△△×〇、２回押すと××〇△。
ボタンを押すと〇の数が１個減る。
Ｅ～Ｈの４列のうち、ボタンを押して〇を減らすと、
〇の数の組み合わせは４、５、６、７、８枚。

（５）
調べ上げなので時間がかかる(;´Д｀)
前問の解答より、縦のボタンで〇〇△×に固定して横を操作すると４～８枚であった。
そこで、縦のボタンをあらかじめ押してから横を考える。
以下、同じ数字の組み合わせは削除。
◆１種類
〇〇〇〇→（０・４）
◆２種類
〇〇〇△→（０・１・３）
〇〇△△→（０・２）
〇△△△→（０・１・３）
◆３種類
〇△××→（１・２）
〇△△×→（１・２）
〇〇△×→（１・２）

例えば、縦を押してすべての行を〇〇〇△にすると、
〇〇〇△
〇〇〇△
〇〇〇△
〇〇〇△
横のボタンをおすと、行に現れる〇の数は（０・１・３）だから、
０＋０＋０＋０＝０
０＋０＋０＋１＝１
０＋０＋１＋１＝２
０＋１＋１＋１＝３
０＋３＋３＋３＝９
１＋３＋３＋３＝10…が新たに作れる。

縦を押してすべての行を〇〇〇〇にすると、
０＋４＋４＋４＝12
４＋４＋４＋４＝16…が新たに作れる。

しかし、残りの〔11・13・14・15〕は作れない。
◆再掲◆
〇〇〇〇→０・４
〇〇〇△→０・１・３
〇〇△△→０・２
〇△××→１・２
11＝４＋４＋３＋０＝４＋４＋２＋１＝４＋３＋３＋１＝４＋３＋２＋２＝３＋３＋３＋２
（０・３・４）（１・２・４）（１・３・４）（２・３・４）（２・３）の組み合わせはない。

同様に、13＝４＋４＋４＋１＝４＋４＋３＋２＝４＋３＋３＋３
（１・４）（２・３・４）（３・４）の組み合わせはない。
15＝４＋４＋４＋３
（３・４）の組み合わせはない。
答えは、０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、10、12、16枚。
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