難関中算数科」カテゴリーアーカイブ

2021年度 立教新座中学過去問【算数】大問3解説

図のように、AB=6cm、AD=8cm、AE=12cmの直方体ABCD―EFGHから、
1辺の長さが4cmである正方形を底面とする直方体でまっすぐ奥までくりぬいた立体があります。
次の問いに答えなさい。

(1)
この立体の体積と表面積をそれぞれ求めなさい。

(2)
辺AD、BC、EHの真ん中の点をそれぞれP、Q、Rとします。
この立体を3点P、Q、Rを通る平面で切断したとき、点Aをふくむ方の立体をKとします。
立体Kの表面積を求めなさい。

(3)
(2)の立体Kにおいて、辺AE、PRの真ん中の点をそれぞれS、Tとし、
辺BF上にBU=4cmとなる点Uをとります。
立体Kを3点S、T、Uを通る平面で切断したとき、
点Aをふくむ方の立体の体積を求めなさい。


@解説@
(1)
◆体積
(6×8-4×4)×12
=32×12=
384cm3

◆表面積

外側を展開すると、横28(長方形ABCDの周りの長さ)cm、縦12cmの長方形。
中側を展開すると、横16cm、縦12cmの長方形。
これに前後の32cm2を足す。

28×12+16×12+32×2
=44×12+64=592cm2

(2)

外・中・前後は前問の半分。
切断により新たにむき出しになる部分は、うえの斜線部分。
592÷2+2×12=320cm2

(3)

書いててゴチャゴチャしましたが、概ねこんな感じになります(´°ω°`;)
断面の形はコ。
立体Kは全体の半分だから、384÷2=192cm3

四角形ABFEで捉える。
断面は
コの字だが、一様にコの字なので柱体の切断をみなし、上底+下底の比が使える
全体の体積比は、12+12=㉔
求積すべき立体の体積比は、6+4=⑩
192×⑩/㉔=80cm3
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2021年度 立教新座中学過去問【算数】大問1解説

(1)
次の計算をしなさい。

(2)
まっすぐな道路の片側に木を植えます。
最初にA地点とB地点に木を植えて、すべての木と木の間かくが等しくなるように、
A地点とB地点の間に木を植えることにします。
木の本数は、10mおきに植えるときのほうが、14mおきに植えるときより22本多く植えられます。
次の問いに答えなさい。
①A地点とB地点は何m離れていますか。

②10mおきに植えるときと、14mおきに植えるときに、
同じ位置に木を植えられるのは、A地点とB地点を除いて何か所ありますか。

(3)
太郎君は3種類のお菓子A、B、Cを合計2021個もらいました。
それぞれのお菓子の個数の比は、AとBは1:6、BとCは8:5です。
次の問いに答えなさい。
①太郎君はお菓子Aとお菓子Cをそれぞれ何個もらいましたか。

②お菓子をもらった日、太郎君はお菓子Aを20個とお菓子Cを180個家族にあげました。
その翌日から、太郎君は1人で毎日お菓子Aを2個とお菓子Cを3個食べ続けました。
何日間か食べたところ、お菓子Aの残りとお菓子Cの残りの個数の比が1:5になりました。
太郎君はお菓子を何日間食べましたか。

(4)
図のように直角三角形ABCと直線ℓが2点D、Eで交わっています。
直角三角形ABCを直線ℓの周りに1回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし、円すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求めるものとします。

(5)
図は1辺4cmの正方形と、半径2cmで中心角90°のおうぎ形を4つ組み合わせた図形で、
辺AD上にAM=1cmとなるような点Mをとります。
また、辺BC上のFとCの間に点Pをとり、2点M、Pを結び、
図のように影のついた部分をそれぞれア、イ、ウとします。
次の問いに答えなさい。

①CP=1cmのとき、ア、イ、ウの面積の和を求めなさい。

②アの面積と、イとウを合わせた面積が等しいとき、
CPの長さを求めなさい。


(1)

16-9=7
*ここの1番は例年、答えが整数値です。

(2)①
A~Bにおいて、14mおきの間の数を●、10mおきの間の数を▲とする。
A~Bの距離で等式を立てると、14×●=10×▲
ということは、間の数の比は逆比となる。●:▲=10:14=⑤:⑦
22本多く植えられる→間の数が22個多い。
差の②が22個に相当するので、10本おきの間の数▲=22×⑦/②=77個
A~Bの距離は、10×77=
770m


10と14の最小公倍数は70。
A地点から70mおきに同じ位置に木を植えられる。
770÷70=11ヶ所
しかし、最後はB地点でかぶるので除くこと
答えは10ヶ所。

(3)①
2021個とかもらいすぎじゃね(・Д・)

連比処理にかけると、A:B:C=④:㉔:⑮
和の㊸が2021個に相当する。

43×47=2021←年度問題。対策しておく。
A…2021×④/㊸=47×④=188個
C…2021×⑮/㊸=47×⑮=705個


A残り…188-20=168個
C残り…705-180=525個
ここから1日にAは2個、Cは3個ずつ減っていく。
求める日数までに減った総数(1日に減る個数×日数〇)の比をA:C=②:③とおくと、
168-②:525-③=1:5

(168-②)×5=840-⑩=525-③
移項を使わせて頂きます(;`ω´)
⑦=315
①=45
〇が日数なので、
45日間。

(4)

↑回転体はこのようになる。
円錐に円柱が重なり、上部に空白の円錐がある。
△ABC∽△DBEより、DE=4cm

さらに長さを調べていく。
下の大きい円錐を区切ってみると、●がBDの中点にあたる
立体の体積は、半径6高さ4の円錐と半径3高さ4の円柱の和から、
重複する半径3高さ2の円錐と上部空白の半径3高さ2の円錐を引けばいい。
6×6×3.14×4÷3+3×3×3.14×4-3×3×3.14×2÷3×2
=72×3.14=
226.08cm3

(5)①
とても面白い問題です(´ω`ノノ゙

CP=AM=1cmのとき、図形全体が点対称である
アを右へ引越し。
赤線のエリアが求積すべきエリアであり、
これは台形MDCPから半径2cmの扇形を引けばいい。
(3+1)×4÷2-2×2×3.14÷4
=4.86cm2



黒い部分を共通部分として巻き込むと、
イ+ウ+黒(扇形3つ)=ア+黒(台形AMPB)
台形MDCPの面積は、正方形全体-台形AMPB=正方形全体-扇形3つ
=4×4-2×2×3.14×3/4=6.58cm2
PCの長さは、6.58×2÷4-3=0.29cm

@余談@

最初は、ア・イ・ウに囲まれているこちらを巻き込んで考えました。

ア+黒は✨みたいな形。
✨は正方形全体から扇形4つ引いたもの。
一方、
イ+黒+ウは台形から扇形1つを引いたもの。これらが等積である。

もっと整理すると、正方形全体から扇形3つを引いたものが台形MDCPとわかる。

なぜ扇形3つが左の台形になるのか?そのワケを探して先の解法を見つけました(´・ω・`)
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2021年度 立教池袋中学過去問【算数】大問10解説

下の図のような道に沿って、地点Aから地点Bまで進みます。

次の問いに答えなさい。

(1)
図Ⅰの道を、右、上のどちらかの方向に進むとき、行き方は全部で何通りありますか。

(2)
図Ⅱの道を、右、上、右ななめ上のどれかの方向に進むとき、行き方は全部で何通りありますか。


@解説@
(1)

左と下を合わせていく。
機械的に調べていくと42通り。

(2)

2つか3つを足していくと90通り。

@カタラン数@

1・2・5・14・42・132・429…
この数列はカタラン数といい、中学受験でもたびたび登場する。
階段状の最短経路にはカタラン数があらわれる
これを知っていると42通りとすぐでる。
132くらいまで覚えておくと便利かも。

では、なぜ42になるのか??(´~`)

わかりやすいように、左上を足して全体を正方形にする。
S⇒Gは5つの→、5つの↑の並び替えで求められるから、
105=252通り

全体の252通りから、少なくとも1つのを通過する左上ルートを引けば、
カタラン数42がでてくるはず。

のラインを対称の軸として線対称のルートを作成。
SとS’は対応するので、までの場合の数がすべて等しい!
S’⇒Gは必ず1つのを通り、6つの→、4つの↑だから、104=210通り
階段上のS⇒Gは、252-210=42通り

以上をまとめると、5番目のカタラン数は
105104=42で求められた。
カタラン数C2n2nn-1となり、
これを高校数学でチャッチャカチャーと処理すると、、

となります。
6番目のカタラン数は、
6126/=132

(2)についてカタラン数で解けた方は、
ぜひ下のコメント欄かお問い合わせより教えてくださいませm(_)m
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2021年度 学習院中等科過去問【算数】大問6解説

1から4までの数字が書かれた4枚のカードをA、B、C、Dの4人に1枚ずつ配りました。
配られたカードの数字を自分以外の3人にだけ見えるように持ったところ、
A、B、Cの3人がそれぞれ次のように言いました。

A「僕から見える3枚のうち、奇数のカードは1枚だけだ」
B「僕から見える3枚のうち、Cのカードが1番大きい」
C「僕から見える3枚のうち、Dのカードが1番大きい」

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
A、B、Cの3人が本当のことを言っているとき、4人のカードの数を答えなさい。

(2)
D「僕から見える3枚のうち、Bのカードの数が1番小さい」
今、Dは本当のことを言っています。
また、A、B、Cのうち、2人がうそをついていて、1人だけが本当のことを言っています。
A、B、Cのうち、本当のことを言っているのは誰か答えなさい。
さらに、このときの4人のカードの数も答えなさい。


@解説@
(1)
A「僕から見える3枚のうち、奇数のカードは1枚だけだ」
⇒Aは奇数の1か3。

B「僕から見える3枚のうち、Cのカードが1番大きい」
⇒AD<C

C「僕から見える3枚のうち、Dのカードが1番大きい」
⇒AB<D
Bの発言(D<C)と合わせるとCが最も大きい4。Dは次に大きい3。
Aは奇数の1で、Bが残りの2。
A1、B2、C4、D3

(2)
D「僕から見える3枚のうち、Bのカードの数が1番小さい」
⇒B<AC
Bは1か2のどちらか

ABCのうち、1人は本当で2人はウソ。
誰が本当のことを言っているかで場合分けする。

@条件再掲@
A;A=1か3
B;AD<C
C;AB<D
D;B<AC

■Aが本当
・B=1のとき
Aは本当だからA=3
CはウソだからD=2
C=4となるがBが本当になってしまう!×

・B=2のとき
Dは本当だからD=1、Cはウソになる。
Aが本当だからA=3
C=4となるが、Bが本当になってしまう!×

■Bが本当
・B=1のとき
Bは本当だからC=4
AはウソだからA=2
D=3となるが、Cが本当になってしまう!×

・B=2のとき
Dは本当だからD=1、Cはウソになる。
AはウソだからA=4
C=3となるが、Bがウソになってしまう…×

■Cが本当
・B=1のとき
Aはウソだから2か4だが、
Cは本当なのでAは4ではない→
A=2
Bはウソだから、C=3、D=4
矛盾なし!〇

・B=2のとき
Dは本当だからD=1でCはウソになる。×

本当のことを言っている人―C
A2、B1、C3、D4

@@@@@

Q14・正解

誰が本当で誰がウソツキであるかを仮定して、
矛盾を突き詰めていく背理法は推論問題でよくでてきます。
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2021年度 麗澤中学過去問【算数】大問3解説

ある場所で、春分の日の影のでき方について調べました。
図1は点Oから見た太陽の動きを表しています。

図2のように、地表から高さ60cmの位置に直方体ABCDEFGHの底面EFGHを固定し、AB=AD=30cm、AE=20cmとなっていて、図4のように太陽の光は平行に降り注ぐことがわかっています。図5は図4を真上から見た図です。10:00には図2のように点Cの影が点Pに落ち、15:25には図3のように点Cの影が点Qに落ちるとするとき、次の問いに答えなさい。

(1)
10:00時点の直方体の影の面積を求めなさい。

(2)
10:00時点の直方体の影の輪郭は、6つの辺BC、CD、DH、EH、EF、BFの影です。
15:25時点の直方体の影の輪郭は、どの辺の影であるか6つ選んで解答用紙の□に印をつけなさい。

(3)
10:00から15:25の間に直方体の影が通った部分の面積を求めなさい。


(1)

図2=図4=図5。図5の面積を求めればいい。
2つの直角二等辺三角形を合わせると8マス分。
15×15×8=1800cm2

(2)

10:00を確認するとこうなる。
太陽に照らされた辺のうち、6辺が
うしろの影へ移動する。

15:25ではこうなる。
本問は影を正確に描写できなくても正解できる。

(3)
AとBの位置はわかりやすい。
光は平行に差すので、AB=BC=30cmはそのまま平行移動するから、
Q⇒B⇒Aは2マス分ずつ離れる。

問題はGがどこにくるか。

高さに注目する。三角形の相似を描くと、地面~G:GC=60:20=③:①
これを平面図でとらえると、CQは横4マス、縦8マスの長方形の対角線だから、
CG’から横3マス、縦6マスの長方形の対角線に相当する

平行を頼りに残りを描写すると、15:25の影はうえのようになる。
CPとCQの長さが違う。
・・半径が変動したら算数の範囲で求められなくね?(‘ω’)

ここで理科の知識です。
『春分の日の影』はまっすぐに進むから、求積すべき範囲は青線のエリアになる。
3×14マスの長方形から2つの三角形を取り除くと40.5マス分。
15×15×40.5=5=9112.5cm2

@日影曲線@
影の先端の軌跡を日影曲線という。

京都市青少年科学センターより、3地点の日影曲線。
上から夏至→春分・秋分→冬至。理科で狙われるので、しっかりおさえておこう。

では、なぜ春分・秋分の日影曲線はまっすぐになるのか?
この説明がかなりキツイ(;´・ω・)

春分・秋分の太陽は真東からのぼり、真西に沈む。
太陽の南北方向と東西方向にかかる移動の比率で影の先端がまっすぐになるんだと思う…。
考えれば考えるほどよくわからん。

赤道の影がまっすぐになるのはわかりやすいので、そこが突破口だと思われる。
春分・秋分の日は赤道に対して太陽光が垂直に入る(南中高度が90°)。
23.4°の地軸の傾きを無視し、地球を球体として回転させると、
赤道からの距離(北緯)に応じて各棒の影が北へ平行移動して日影曲線がまっすぐになりそう。
うまい説明を考案した方は、下のコメント欄かお問い合わせより是非お知らせ願います。
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2021年度 西大和学園中学・県外過去問【算数】大問3解説

大和君は、誕生日にロボットをプレゼントされました。
ロボットは下のような形をしていて、数字を表示する液晶盤A、Bがついています。また、斜線の部分(以降「くちばし」と呼ぶことにします)がロボットの進む方向になっていて、ロボットは正方形のマスをつないだ板の上を動きます。

0から9までの数字のボタンやA、Bの2つのボタン、プログラム(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)を選択できるボタンなどがついたコントローラーがあり、それを使ってロボットを動かすことができます。

A、Bのボタンは直前までに押されたボタンの数字を液晶盤に表示するためのもので、リセットボタンはロボットのくちばしを北の方向に戻す役割を持っています。消去ボタンは液晶盤に表示されている数を消す役割を持ち、実行ボタンはプログラムに従ってロボットを動かす役割を持っています。また、ロボットは正方形の板の端まで進んだ場合、それ以上前へ進むことができず止まります。3つのプログラムは、表のような内容のものになっています。

ロボットを下の図の●の位置に、くちばしが北を向くように置くことを
「はじめの状態」とします。

ロボットを「はじめの状態」にし、
(例1)のように矢印の順でコントローラーのボタンを押しました。

すると、ロボットは次のような動き方をしました。

液晶盤Aに18と表示され、液晶盤Bに7が表示され、
くちばしが東の方向に向くように向きを変え、3マス分進み止まる。

また、ロボットを「はじめの状態」にし、(例2)のようにコントローラーのボタンを押しました。すると、ロボットは次のような動き方をしました。

液晶盤Aに35が表示され、液晶盤Bに8が表示され、くちばしが西の方向を向くように向きを変え2マス分進み、一度止まり、再び同じ方向に2マス分進み、くちばしが北の方向を向きとまる。
そして液晶盤A、Bに表示された数字が消える。
つまり、ロボットははじめの位置から西の方向へ4マス進み、くちばしが北の方向を向いた状態で止まる。

次の問いに答えなさい。
(1)
大和君が「はじめの状態」にロボットをおき、以下のようなコントローラーのボタンを押してロボットを操作しました。ロボットが動いた後の状態を説明した文章の〔  〕に入る適切な数字や語句を答えなさい。

【コントローラーの操作①】

ロボットの動いた後の状態
はじめの位置から〔 あ 〕の方向へ〔 い 〕マス進み、
くちばしが〔 う 〕の方向を向いた状態で止まる。

(2)
大和君が「はじめの状態」にロボットをおき、コントローラーのボタンを押してロボットを操作したところ、ロボットは以下のように動きました。ロボットを動かしたときに押したボタンは以下の通りです。〔  〕にあてはまると考えられる数字のボタンを答えなさい。

ロボットが動いた後の状態
はじめの位置から西の方向へ2マス、南の方向へ2マス進んだところで、
くちばしが北の方向を向いた状態で止まる。
【コントローラーの操作②】

(3)
大和君が「はじめの状態」にロボットをおき、コントローラーのボタンを押してロボットを操作したところ、ロボットは以下のように動きました。ロボットを動かしたときに押したボタンは以下の通りです。〔  〕にあてはまると考えられる数字のボタンを答えなさい。

ロボットが動いた後の状態
はじめの位置から東の方向へ3マス、北の方向へ1マス進んだところで、
くちばしが東の方向を向いた状態で止まる。
【コントローラーの操作③】

(4)
下の図の斜線部分に障害物をおき、ロボットが通れないようにしました。大和君は、図の■印の位置でくちばしが西を向いた状態で止まっているロボットを、△印のところまでロボットを動かすためにコントローラーのボタンを押してロボットを操作しました。次の条件を満たすコントローラーのボタンの押し方を、例1や例2、コントローラーの操作①~③にならって答えなさい。ただし、ロボットは障害物にぶつかった場合は動かなくなるものとします。

(条件)実行ボタンは3回だけ押す。


@解説@
問題文なっがいね!< `∀´ >
(1)

↑条件整理。
Ⅰは方向。東西南北ではなく、進行方向に対して回転する角度である点に注意!
Ⅱは進むマス。リセットでくちばしを北に戻す。板の端までいったら進めない。

Bに540が表示される。
Ⅱより、540の約数は10個以上(24個)あるので1マス進む。
Aに7が表示される。
7÷4の余りは3だから西。

ロボットは西の方向へ1マス進む。
リセットは押さないので、くちばしは西を向いたまま止まる。
あ…西、い…1、う…西

(2)

Aに【7□】が表示される。
西に進んだということは、7□÷4の余りは3である。
70~79のうち、4の倍数+3は71か75か79

Ⅲより、Bに【7□÷4の商】が表示される。
各々の商は、71÷4⇒17、75÷4⇒18、79÷4⇒19。
2マス進んだから、約数が3~9個なので75と確定。
え…5
*2回目は西から反時計回りに90°回るので南へ進む。

(3)

空欄のない後半から考える。
Aに【10】。
リセットでくちばしは北を向いているので、10÷4の余りは2だから東。
Bに【7】。
素数で約数は2個しかないから3マス進んだ。
ということは、『東へ3マス』は後半のプログラムであり。
前半のプログラムは『北へ1マス』

Aに【1□□】。
北にいくので4の倍数+1
Bに【1□□÷4の商】。
1マス進んだから約数は10個以上

100~199を÷4すると、該当する商は25~49の範囲にある
約数を多くするので、最小の素数2のベキ乗を考えてみよう。
次に小さい3を1個付け足すと…

48=2×2×2×2×3(=24×3)
48の約数の個数は1(=20・30)を含めて、
5(0・21・22・23・24)×2(0・31)=10個

Aに入力された数は、48×4+1=193
お…9、か…3

(4)

行き方は2通りしかない。
青ルート;北1→西2→南3
赤ルート;南1→西2→南1
初期状態はくちばしが西を向いていることに注意!

■解答例1

↑学校発表の解答例。

最初と曲がり角のたびにリセットでくちばしを北に戻す。
Ⅰの方向はA=1~4で決めたほうがやりやすい。
1マス移動したい場合は前問の48を利用。

1回の命令文は、〔数字→A→Ⅰ→数字→B→Ⅱ→実行〕
*〔数字→A→数字→B→Ⅱ→Ⅰ〕でも良い。
次の命令文の前にリセットと消去(順序逆でもOK)をはさんでクリアーな状態にする。
本番ではⅢは使わない方が無難。

■解答例2

くちばしの向きに気をつければ、リセット無しでも行ける。

@余談@
『ロボットは障害物にぶつかった場合は動かなくなる』とありますが、
『ロボットは正方形の板の端まで進んだ場合、それ以上前へ進むことができず止まる』
ということは、後者の場合は次のプログラムを記述して実行すれば進めるはず?

実行ボタンを4回使うのでダメなんですけど
①最初にA=4としてⅠだけ実行。くちばしを東に向ける。
②(A、B)=(3、6)とすると端で止まる。
③続けて同じ命令で実行ボタンを押すと進む(はず)。
④最後に(A、B)=(3、2)3マス進むにはBに素数を入れる。

【4・A・Ⅰ・実行・消去・3・A・Ⅰ・6・B・Ⅱ・実行・Ⅰ・Ⅱ・実行・消去・3・A・Ⅰ・2・B・Ⅱ・実行】でも行けそうかな?(・Д・)

最後に、2021年・高校生クイズ優勝おめでとうございます(*’ω’*)
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2021年度 穎明館中学過去問【算数】大問4解説

円柱形の水そうの中に、円柱のコンクリートブロックが下の図1のように円の面を下にして置かれています。ブロックの底面の半径と高さは、水そうの底面の半径の1/2です。この水そうに一定の割合で水を注ぎます。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
水を注ぐ時間と水面の高さの関係を表すグラフとして、正しいものはどれでしょうか。

(2)
水を入れ始めてから水そうがいっぱいになるまでに、
水面の高さがブロックと同じになるまでの時間の3倍かかりました。
このとき、ブロックの高さと水そうの深さの比を、最も簡単な整数の比で答えなさい。

(3)
ブロックを下の図2のように置いたとき、
水を注ぐ時間と水面の高さの関係を表すグラフとして、正しいものはどれでしょうか。
(1)の選択肢のなかから答えなさい。


@解説@
(1)(2)

(*以下、水面がブロックの高さになるまでを前半、それ以降を後半と記述します)
前半は底面積が小さく、後半は大きくなる。
→水面の高さの変化は前半が急で、後半は緩やか
水面の高さの変化は1回だけでグラフは湾曲しない。
(1)…ア

ブロックの半径:水槽の半径=1:2
円の面積比は半径×半径だから、ブロックの底面積を①とすると、
水槽(後半)の底面積は④、前半の底面積は③。

『水を入れ始めてから水槽がいっぱいになるまでに、
水面の高さがブロックと同じになるまでの時間の3倍かかった』
水を入れる割合は一定だから、水を入れた時間=体積比になる

水面の高さがブロックと同じになる前半の体積を【1】とすると、
水槽の体積は【3】、後半の体積は【2】。
高さ=体積÷底面積

    前半:後半
体積  【1】:【2】
底面積   ③:④       
高さ  1/3:1/2
=2:3
前半の高さと水槽全体の高さの比は2:5。
(2)…2:5

(3)

底面積の変化をみると、最初は徐々に小さくなっていき、
ブロックの半分を過ぎると再び大きくなっていく。
水面の高さの変化は次第に傾きが急になり、
ある時間から再び緩やかになって、ブロックを過ぎると緩やかな直線となる。

円柱を縦に割ったときの断面積の大きさは常に変化する。
⇒水面がブロックに触れているあいだ、水面の高さの変化率は常に変動する
グラフは緩やかなS字を描く。オ
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2021年度 お茶の水女子大学附属中学過去問【算数】大問4解説

あきこさんは、神奈川県の箱根町に住む祖母から「寄木細工」の工作キットを送ってもらい、お母さんといっしょに作ることにしました。この工作キットには、図1、図2、図3の3種類のひし形の部品がたくさん入っていました。それぞれの部品は大きさが等しく、内側の角度が60°と120°になっています。

あきこさんのお母さんは、図1の部品を3枚、図2の部品を3枚、図3の部品を6枚の合計12枚を使って、図4のコースターを作りました。図4のコースターの各部品に、図5のとおりアからシまでの記号をつけて、あきこさんとお母さんが【会話】をしています。

【会話】
お母さん:私が作ったコースター、きれいなデザインでしょ。
あきこさん:そうね。あれ、ちょっと待って。規則的になっていないところがあるよ。
お母さん:あ、本当だ。でも、まだ接着剤を付けていないから直せるよ。どう直そうかしら。
あきこさん:直す方法にはいろいろあるね。
 例えば、お母さんが作ったコースターは、キの部分を1回だけ動かせば
 対称の軸で折ると色や模様がぴったり重なる線対称な図形に変えられるよ。
お母さん:ありがとう。風車のように見えるわ。
あきこさん:風車といえば回転するよね。色や模様がぴったり重なる点対称な図形もできるかな。

注 コースター:コップなどの下にしく平たい物。
このとき、次の各問に答えなさい。

問1
下線部①について、どのように動かすと下線部②の線対称な図形になるか、
次の【条件】にしたがって動かし方を説明しなさい。

問2
下線部②について、お母さんが作った図4のコースターを、下線部①の動かし方をして
下線部②の線対称な図形に変えたとき、その図形の対称の軸の本数を答えなさい。

問3
下線部③について、お母さんが使った12枚の部品をすべて使って、
下線部③の点対称な図形を作ることはできるでしょうか。
「できる」ならば、できあがった点対称な図形をかきなさい。
「できない」ならば、その理由を説明しなさい。


@解説@
(1)

しま模様を横向きにしたい。
しかし、回転させても横向きではフィットしない。

しま模様は辺AD、辺BCに対して平行である。
頂点AとCをひっくり返すようにうら返すと、辺AD、辺BCが横向きになり、
しま模様も横向きになる。

(2)

正六角形の対称の軸は6本。
このうち、黒と白の部品が対称関係になるのは3本。

(3)
できない。

点対称は回転の中心に対し、各パーツが対称的な位置関係や向きでペアにあらねばならない。
黒と白のパーツはおのおの3個。奇数個だと基本的に対称的な位置関係に置けない

奇数個でもうえのように中央のパーツが点対称の位置にあれば良いが、
本問は真ん中に置けないので点対称は無理。
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2021年度 渋谷教育学園渋谷中学過去問【算数】大問4解説

 図1のような空の水槽に、高さ36cmの仕切りが立ててあります。仕切りの左側に給水管A、右側に給水管Bがあり一定の割合で水を注ぎます。仕切りの左側の底には、排水管Cがあり一定の割合で水を出します。仕切りの左右で入っている水の高さを測ります。

 水槽は最初、空の状態で全ての管が閉じてあります。まずAとBを開き給水します。給水を始めてから20分までは、仕切りの右側の水の高さの方が高くなりました。給水してから初めて仕切りの左右に入っている水の高さの差が0cmになったとき、Aだけを閉じCを開きました。50分後に全ての管を閉めました。図2は、給水してからの時間と仕切りの左右に入っている水の高さの差の関係をグラフに表したものです。

 次の問いに答えなさい。また、答えを求めるのに必要な式、考え方なども順序よくかきなさい。
(1)
Cは1分間あたり何L排水しますか。


 50分後に全ての管を閉めたのと同時に、水の高さの差が0cmになるように仕切りを左に動かしました。仕切りを動かしたとき、仕切りの左から右への水の移動はありませんでした。また、仕切りを動かす時間は考えないものとし、仕切りを動かしたあともAとCは仕切りの左側で給水または排水します。仕切りを動かした後すぐに、全ての管を開きました。
 仕切りを動かしてからのグラフの続きをかいたところ、図3のようになりました。

(2)
50分後に仕切りを左側に何cm動かしましたか。

(3)
図3の(ア)、(イ)、(ウ)にあてはまる数を求めなさい。


@解説@
(1)
はじめはB側の水面が高い。
18分後にB側からA側に水が流れ込み
20分後にA側とB側の水面の高さが仕切りの高さ36cmになって差が0cmとなる。

18分後の様子を作図する。A側の高さは36-6=30cm
B側の体積を18分で割れば、1分あたりのBの給水量が分かる。
Bの給水…20×40×36÷18=1600cm3=1.6L
念のため、Aの給水を求めておく。30×40×30÷18=2000cm3=2L
(AとBの体積比で考えても良い。
A:Bの底面積の比が3:2、高さの比が5:6だから、1.6L×3/2×5/6=2L)

Cが開くのは20~50分。
Aは閉じており、両者の差が広がるということはCの排水がBの給水を上回る

1分あたり、20cm÷30分=2/3cmずつ差が広がっている。
体積では、30×40×2/3=800cm3=0.8Lずつ減少する。
Bの給水が1.6Lだから、Cの排水は1.6+0.8=2.4L

(2)

50分後の様子を図示。20cm差だから、A側の高さは16cm。
仕切りを移動させるとA側とB側の水面が等しくなった。
→仕切りがない場合と同じ→2つの長方形の面積を均す
(30×16+20×36)
÷50=24cm

B側に注目。
高さの比は、移動前:移動後=36:24=3:2
面積は変わらないので横の長さは逆比。移動前:移動後=②:③
移動前の横の長さ20cmを②すると、
移動後の横の長さは③、仕切りを移動させた長さは①。
仕切りの移動距離は、20×①/②=
10cm

(3)

仕切りを移動して水面の高さを24cmにした後、
Cの排水によりA側が下がり、B側が上がる。
(イ)はB側の水がA側に流れ込み、A側の水面が再び上昇するとき
(ウ)で水面の高さが仕切りの高さ36cmに達して左右が等しくなる。

Bの給水は1分あたり1600cm3。B側の水面が36cmとなるのは、
30×40×12÷1600=9分後
(イ)=50+9=59分後

Aの給水は1分あたり2000cm3、Cの排水は2400cm3だから、400cm3ずつ減少する。
A側は9分後に、400×9÷(20×40)=4.5cm下がる。
B側は+12cmで高さが36cmだから、このときの両者の差は(ア)=12+4.5=16.5cm

A側の16.5cm分を埋める。
Bの給水が加わることで、400cm3の減少に1600cm3を加算して1200cm3ずつ増加する。
20×40×16.5÷1200=11分後
(ウ)=59+11=70分後
ア…16.5、イ…59、ウ…70
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2021年度 渋谷教育学園渋谷中学過去問【算数】大問3解説

下の図は立方体の展開図です。
この展開図を組み立ててできる立方体について、次の問いに答えなさい。

(1)
立方体の見取り図に向きを考えて数字をかき入れなさい。

(2)
同じ立方体になるように向きも考えて展開図に数字をかき入れなさい。

(3)
下の図のように、この立方体を正方形のマス目がかかれた紙の上に、2が上の状態で置きます。置いてある位置は、数字とアルファベットで表すと6—Fとなります。
下の図の状態から立方体の上の数字が、2、3、5、7、11、13の順になるように、正方形のマス目に合わせてすべらないように倒していきます。13が上の状態になったとき、置いてある位置を、数字とアルファベットで答えなさい。また、13が上の状態になったときの立方体を下の図と同じ方向から見た見取り図に向きも考えて数字をかき入れなさい。



@解説@
(1)

接する辺に注目して面を移動させる。
側面の2・3・5・11はループできる。2を11の右に移動。
7は右に90度回転させて11の下に移動。

(2)

先ほどの図を手がかりにする。
11と7は向かい合う。11の右側は2で同じ向き。

7の右は5。5は7のほうを向く。
3は5の左。5と同じ方向を向く。

(3)
側面の記入。

2・3・5は西に移動する。
5の次の7は南側の側面をまわる。

北に移動して、7を上に持ち上げる。
7と11は向き合うので、東側の側面に11がある。
西に移動すると、東側の側面に13があらわれる。
さらに西に移動して5―Bで止まる。

解答の書き込みも油断しないように!
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