難関中算数科」カテゴリーアーカイブ

2022年度 海城中学2回目過去問【算数】大問6解説

問題PDF
K中学校の冬期講習は、1日6時間で、国語、数学、英語、

各2時間の授業があります。次の問いに答えなさい。

(1)
時間割の作り方は全部で何通りありますか。

(2)
同じ科目の授業は2時間連続しないことにすると、時間割の作り方は全部で何通りありますか。

(3)
講習の希望者が多くなり、クラスをA組とB組の2つに分けて授業を行うことになりました。
A組とB組で同じ時間に同じ科目の授業は行われません。
このとき、時間割の作り方は全部で何通りありますか。
ただし、同じ科目の授業が2時間連続してもよいことにします。
 


@解説@
(1)
国語、数学、英語をA、B、Cに置きかえると、
AABBCCの並び替えの問題に帰結する。
6×5×4×3×2×1÷(2×1)÷(2×1)÷(2×1)
90通り

(2)
AABBCCが隣り合わない場合の数を求める。
先にAABBの並び方は、4×3×2×1÷(2×1)÷(2×1)=6通り
6通りに
場合分けして、残りのCの位置を決めていく。

・【ABAB】と【BABA】

あいだのに2つのCを挿入する。
5×2=20通り

・【AABB】【BBAA】

Cの位置が確定する。合計2通り。

・【ABBA】【BAAB】

1つのCは確定。もう1つのCを4つのから選ぶ。
41×2=8通り
したがって、20+2+8=30通り

(3)

A組だけだと、(1)より90通り。
A組が【AABBCC】のとき、B組は何通りあるか。
1時間目と2時間目の組み合わせで場合分けする。

A・B・Cの並びには対称性があり、文字の場所を入れ替えても全体の様子が変わらない。
【BB】1通りとわかれば、【CC】も1通り、
【BC】4通りとわかれば、【CB】も4通りである。
合計10通り。
全部で、90×10=
900通り
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2022年度 海城中学2回目過去問【算数】大問5解説

問題PDF
図1のような1辺が6cmの立方体ABCD―EFGHがあり、P、Q、R、S、M、Nは辺の真ん中の点です。いくつかの点を結んでできる、図2のような三角柱ア(PEFーRHG)、イ(MBA―NCD)、ウ(QFG―SEH)を考えます。次の問いに答えなさい。ただし、角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求められるものとします。

(1)
アとイの共通部分(どちらの三角柱にもふくまれている部分)の体積を求めなさい。

(2)
アとウの共通部分(どちらの三角柱にもふくまれている部分)の体積を求めなさい。

(3)
イとウの共通部分(どちらの三角柱にもふくまれている部分)の体積を求めなさい。


@解説@
(1)

底面が菱形(対角線が3cmと6cm)で高さ6cmの四角柱。
3×6÷2×6=54cm3

(2)

PR、SQの中点をOとする。
QGを正面(面BFGC)から見て、奥にある面PFGRに押し込むとOGになる
QFを面PFGRに押し込むとOFになる。
同様に、SHを面PEHRに押し込むとOHに、SEはOEになる。
E・F・G・Hから伸びる4つの線分がOに集まり、求積すべき立体は正四角錘OーEFGH
6×6×6÷3=
72cm3

(3)
 
これも押し込んで考える。
面SEFQにAMを押し込むとSMに、BMを押し込むとQMにプリントアウトされる。
同様に、面SHGQにCNはQNに、DNはSHにプリントアウトされる。
求積すべき立体は四面体MNQS

S、Qを真下に下ろした交点をそれぞれS’、Q’とする。
面OMNに平行となるように四面体MNQSを等積変形すると、正四角錘OーMQ’NS’になる。
(2)の正四角錘OーEFGHと高さが同じで底面積が半分だから体積は半分。
72÷2=36cm3
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2022年度 海城中学2回目過去問【算数】大問4解説

問題PDF
下の図のように、半径4cmの円があり、その周上に8つの点

A、B、C、D、E、F、G、Hが時計回りに等間隔に並んでいます。
次の問いに答えなさい。

(1)
三角形DEGの面積を求めなさい。

(2)
三角形BDGと三角形ABCの面積の差を求めなさい。


@解説@
(1)

EGとDHは平行
DHは正八角形の対角線で、この中心をOとする。
△DEGを△OEGに等積変形すると、△OEGは直角二等辺三角形
4×4÷2=8cm2

@@@

正八角形は等積変形をよく使うので、この平行線はおさえておこう。

(2)

△ABCと△BCDは合同な二等辺三角形。
図形がかぶらない方が見やすいので、△BDGと△BCDの差を考える。

先ほどの△DEG=8cm2が使えないか。
DGとEFが平行で、△DFGに等積変形してみる。

DFとFGそれぞれに平行な線をひき、交点をQとする
四角形GFDQは2組の対辺が平行だから平行四辺形であり、GDは対角線。
△GQDは△DFGと合同で8cm2

上も同じことをする。△GQB=8cm2


平行四辺形の対辺の長さは等しいので、はすべて長さが等しい。
BDは共通辺。3辺が等しいから、△BCDと△BQDは合同
△BDGと△BCDの差は、△GQD+△GQB=8+8=16cm2


@別解@
スチールさんから素晴らしい別解を頂きました。

GCとBDの交点をI、GCの中点(円の中心)をOとします。
まずは上半分の△BOG()+△BIO()と△BCI()の差を調べます。

GO=OCより、△BOGと△BCO()は等積です。
が2枚分、すなわち、△OBI2つ分です

上下をあわせると、求めたい差は直角二等辺三角形OBD2つ分です。
これは1辺が4cmの正方形なので、4×4=16cm2となります。

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2022年度 海城中学2回目過去問【算数】大問3解説

問題PDF
整数AをB個かけ合わせた数をA^Bで表すことにします。

例えば、7^2=7×7=49、7^4=7×7×7×7=2401です。
次の問いに答えなさい。

(1)
7^8の千の位、百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ求めなさい。

(2)
7^20の千の位、百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ求めなさい

(3)
7^100の千の位、百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ求めなさい。


@解説@
(1)
以下、指数を使います。
7^2=72(7の2乗)=7×7=49
7^4=74(7の4乗)=7×7×7×7=2401
右上の小さな数字を指数という。

8=(7×7×7×7)×(7×7×7×7)=74×74
7を8回かけた数=7を4回かけた数を2回かけた数
問題文より、7=2401だから、

下4桁のみを計算すると4801。
千の位…4、百の位…8、十の位…0、一の位…1

(2)
前問の〔4801〕の数字の並びをみると、下2桁が〔01〕なので計算がしやすい。
8=74×7→ 8=4+4
指数の和が20になれば720になるはず
20=78×78×74(20=8+8+4)

下4桁だけを計算すると2001。
千の位…2、百の位…0、十の位…0、一の位…1

(3)

80=8001、7100は繰り上がりが起きて〔0001〕。
千の位…0、百の位…0、十の位…0、一の位…1


@指数法則@
中学で習う指数法則。
×a=am+n(かけ算は和になる)
÷a=am-n(割り算は差になる)
(a=am×n(aをm回かけた数をさらにn回かけた数)
e.g.)264÷260=264-60=24=16
e.g.)264=22×32=(2232=432=42×16=(4216=1616

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2022年度 海城中学過去問【算数】大問3解説

問題PDF
K鉄道のある区間には2つのトンネルA、Bがあり、

A、Bの順に列車が一定の速さで通過します。次の問いに答えなさい。

(1)
長さが160mの列車が2つのトンネルを通過します。
グラフは列車の先頭がトンネルAに入る時を0秒として、
時間とトンネルの中にある列車の長さの関係を表しています。
トンネルBの長さは何mですか。

(2)
長さが200mの列車が時速72kmで2つのトンネルを通過します。
時間とトンネルの中にある列車の長さの関係を表すグラフをかきなさい。
ただし、グラフは列車の先頭がトンネルAに入る時を0秒として、
最後尾がトンネルBを出る時までとします。


@解説@
(1)

列車の先頭だけを追っかける。0秒後に先頭がAに入る。
列車の長さが160mで、トンネルに160m入ったのと同時にグラフが減るということは、
トンネルAの長さはちょうど160mである

先頭がAから出て長さが短くなり、80mのところでグラフが水平になる。
これはトンネルAの出口から80m先にトンネルBがあるから
うえのような延長線をひき、トンネルBに入った時間は10と20の中間の15秒後。

列車の先頭の出入りを見ると、Aでは10秒間、Bでは15秒間トンネル内にいた。
速さが一定だと、時間の比は距離の比。
トンネルBの長さは、160×15/10=
240m

(2)
時速72kmを秒速mに変換する。
時速×10/36=秒速m
72×10/36=秒速20m

転換点ごとの時間をみていく。
先端は8秒後にAを出て、12秒後にBに入り、24秒後にBを出る。
最後尾は10秒後にAに入り、18秒後にAを出て、22秒後にBに入り、34秒後にBを出る。

0~8秒後⇒0mからトンネルAの160mまで増加。
8~10秒後⇒先頭と最後尾は外にいる。トンネルA160mのまま。
10~12秒後⇒最後尾がAに入り、長さは減少していく。減少分はA―B間の80m。
12~18秒後⇒先頭がBに入る。あいだの80m部分だけが外。
      先頭の増加と最後尾の減少が同じだから増減は一定。
18~22秒後⇒最後尾がAを出る。Bに入る長さが増え、増加に転じる。
22~24秒後⇒列車200mすべてがトンネルBの中。
24~34秒後⇒24秒後に先頭がBを出て減少へ。34秒後に最後尾が出る。

グラフにまとめると、このようになる。
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2022年度 早稲田中学2回目過去問【算数】大問5解説

問題PDF
 あるスポーツの複合競技を5人の選手で競います。まず、3つの基本種目A、B、Cを順に行います。それぞれの基本種目では、2人以上が同じ順位になることはありません。次に、基本種目A、B、Cの順位の数字をすべてかけ合わせた数を得点にします。さらに、得点の低い選手が上位となるように、総合順位を決めます。
 例えば、基本種目Aで3位、Bで2位、Cで3位となった選手の得点は18点です。また、得点が18点の選手は、20点の選手よりも総合順位は上位となります。

(1)
得点としてありえない整数のうち、最も小さいものはいくつですか。
ただし、0は考えないものとします。

(2)
基本種目AもBも1位であった選手がいましたが、総合順位が1位となったのは別の選手でした。
総合順位が1位となった選手の得点は何点ですか。

(3)
5人の選手の得点に同じものはなく、また、総合順位が4位、5位の選手の得点は、
それぞれ16点、80点でした。総合順位が1位、2位、3位となった選手の得点はそれぞれ何点ですか。

(4)
基本種目AとBの順位の数字をかけ合わせた数は、3人だけが同じでした。
総合順位が1位となった選手の得点が12点であるとき、選手全員の得点の平均は何点ですか。


@解説@
それとは書いてないですが、スポーツクライミングの得点方式です。
(1)
□×□×□の積でありえない数のうち、最小数を求める。
各基本種目では同順位がいないので1~5位が必ずでる。
□は1~5の範囲

1×1×(1~5)=1~5
1×2×3=6
7は素数で無理。よって、7。

(2)

AとBで1位だった者が総合で2位になったとする。
総合1位の得点は積を小さくするので、AとBの順位を2位にしておく。

Cの得点はこの組み合わせしかない。
総合1位の得点は4点。

(3)
総合5位の80点は【4】×【4】×【5】しかない。
総合4位の16点は【1】×【4】×【4】か【2】×【2】×【4】だが、
前者だと2種目が4位となり、総合5位も2種目で4位だから
4位が同種目で重複することになる。よって、総合4位は【2】×【2】×【4】。

AとBには残り1・3・5が入る。
4位が16点であることに注目
5を含む16未満は【5】×【1】×【1】、【5】×【2】×【1】、【5】×【3】×【1】

【5】×【1】×【1】を採用すると、うまくいかない…。
【1】を分けて、【5】×【2】×【1】と【5】×【3】×【1】にすると…

うまくいく。
1位…
9点、2位…10点、3位…15点

(4)
□×□の積が3人だけ同じになった。
□に3や5をいれた場合、【1】×【3】、【3】×【1】といったように、
順番をひっくり返して2個は作れるが3個目が作れない…。
【1】×【4】=【4】×【1】=【2】×【2】しかない

A×Bの積は『3人だけが同じ』⇒残りの2人は【3】×【3】、【5】×【5】

1位の選手の12点は、【1】×【3】×【4】か【2】×【2】×【3】のどちらか。

もし、1位が【2】×【2】×【3】の場合。
A×B=12である残り2人のCは、12点を超すように【4】か【5】でなくてはならないが、
4位が重複してしまうので不適!×

1位が【1】×【4】×【3】だと、うまい具合にいける。
5人の平均点は、(16+12+20+18+25)÷5=
18.2点
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2022年度 早稲田中学2回目過去問【算数】大問2解説

問題PDF
(1)

辺ABと辺CDの長さが等しい台形の紙を図のように折りました。
角アの大きさは何度ですか。

(2)
図の3つの点線PAとPBとPCの長さの和は何cmですか。

(3)
底面の半径が8cmで高さが40cmの円柱の容器と、
底面の半径が5cmで高さが40cmの円すいの形をしたおもりがあります。
図のように、円柱の容器におもりを置いて、深さ24cmまで水を入れました。
おもりを取り出すと水の深さは何cmになりますか


@解説@
(1)

AB=CDである台形→四角形ABCDは等脚台形(跳び箱)。
∠C=66°

赤線の四角形に注目する。
180-24=156°
折り返しと錯角で、内角の2つが∠ア。
ア=(360-66-156)÷2
=69°

(2)
ややトリッキーな形です(-_-;)

2つの直角から同位角が等しい⇒平行
2つの三角形は相似で、相似比は3:4:5。
内角が×—90°であれば、相似比は3:4:5である

全体は等辺5cmの二等辺三角形
底角が×だから真っ二つに割ると、内角が×―90°の直角三角形があらわれる。
斜辺が5cmなので底辺は6cm、高さは4cm。
二等辺の面積は、6×4÷2=12cm2

では、どうやってPA+PB+PCを求めるべきか。。
こういうのは個別の長さがわからなくても和は求まる問題なので、
PA+PB+PCを何かに置き換えられないか、という発想に持っていく。

青線に囲まれた3つの三角形(斜線部分以外)に注目する。
いずれも底辺が5cmで、高さの合計はPA+PB+PCにあたる
3つの三角形の面積の和がわかれば、(面積)×2÷(底辺5)=(高さの合計)
斜線部分の三角形が邪魔である。

×—90°の相似を直角三角形のなかにつくる。
△PAEの内角より相似比は3:4:5→PA=3×④/⑤=12/5cm
△PDEの面積は、1×12/5÷2=6/5cm2

3つの三角形の和が、12-6/5=54/5cm2
PA+PB+PC=54/5×2÷5=108/25cm

(3)

水の体積は、底面が半径8cm、高さ24cmの円柱から、
半径5cm、高さ40cmの円錐の下24cmにあたる円錐台を引いたもの。

体積比なので、高さは16:24=②:③で計算する。
円柱…8×8×3.14×③=192×3.14
円錐台…円錐の体積比を5×5×5=【125】とすると、上の小さい円錐は2×2×2=【8】
円錐台の体積比は、【125】-【8】=【117】
5×5×3.14×⑤÷3×【117】/【125】=39×3.14

円柱の体積比は〔192〕、円錐台は〔39〕、水の体積は差の〔153〕
おもりを出す前:出した後=192:153=64:51
底面積は半径8cmの円で等しいので、高さの比は体積比にあたる。
24×51/64=
153/8cm
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2022年度 本郷中学過去問【算数】大問4解説

問題PDF
〔例〕のような4×4のマス目があり、それぞれのマス目に数字を入れていきます。
入れる数字は、1、2、3、4のいずれか1つですが、次のようなルールがあります。

①縦、横とも、同じ列には、すべて異なる数字が入ります。
②例のように、2×2マスに分けられている4つのブロックに入る数字もすべて異なります。

以下は、X君とY君の会話です。

X:こんな表をもらったんだけど、ルール通りに数字を入れるとすると、
 何通りの数字の入れ方があるんだろう。

Y:難しいね。どこか数字が決まるところはないのかな。
X:3が3か所に入っているから、あと1つどこかに入るはずだよね。
 あっ、わかった。Aのところに入る数字は3じゃない?

Y:本当だ。どの列にも同じ数字は1個しか入れないから、Aが3だよね。

X:ほかに、数字が決まるところはないかな?
Y:うーん、ないみたいだね。だったら、いくつか数字を当てはめて考えてみようよ。

X:じゃあ、表のCなんだけど、1、2、4のどれかが入るんだよね。
 例えば2が入るとしてみたらどうなるかな。
Y:そのときは、BとDに入る数字が決まるよね。
X:あっ、だったらEに入る数字も決まるよ。

(1) 483名中431名正解
D、Eに入る数字を答えなさい。



Y:残ったマスもすべて数字が決まるよね。
X:本当だね。今度はCが1のときを試してみようかな。
 そうすると、表のFに入る数字も決まるよ。

(2) 483名中385名正解
Fに入る数字を答えなさい。


X:へぇ、可能性のある数字を順番に当てはめていけば、きちんと数えることができるんだね。
 あとはCが4のときだけど、これはちょっと大変かな。
Y:大丈夫だよ、ていねいにやれば数え上げられるさ。
X:そうだね。何とかできそうだ。
 わかった、最初の表では、全部で ア 通りの数字の入れ方があるんだ!

(3) 483名中142名正解
 ア に当てはまる数字を答えなさい。


@解説@
(1)

B=1が確定。次にD=4確定。

右半分が埋まる。

横の行を見て
Eの下が4、その左下が2。
赤線のラインに2がこないので、左上の2×2マスからE=2が確定。
D=4、E=2

(2)

2が確定。

2の左が4、下が1。
縦と横からみてF=2。

(3)

×が対応する。

2つの●が確定。

残りの4マスは▲と■が対応する。
●と×に入る数は、1か2の2通り。
▲と■に入る数は、3か●でない数の2通り。
2×2=4通り。

(1)C=2、(2)C=1が各1通りずつだったので、
合計して6通り。
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2022年度 洗足学園中学3回目過去問【算数】大問4解説

問題PDF
表のように、あるきまりにしたがって整数が1から順に並んでいます。

上からx番目、左からy番目の位置にある数を(x、y)と表すことにします。
例えば、(2、3)=8です。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 得点率63.1%
次の〔 ア 〕、〔 イ 〕にあてはまる数を答えなさい。
(10、9)=〔 ア 〕
(7、7)+(7、8)=〔 イ 〕

(2) 得点率30.1%
次の〔 ウ 〕、〔 エ 〕に入る数は、どのような数ですか。
①~⑥のうち、正しい組み合わせを選びなさい。
(2022、10)+(2022、11)+(2022、12)=〔 ウ 〕
(2022、2021)+(2022、2022)+(2022、2023)=〔 エ 〕

(3) 得点率6.0%
表の太枠にある3つの数3、8、15の和は26です。
このように横に並んでいる3つの数の和が404となるとき、3つの数をすべて答えなさい。
なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。


@解説@
(1)
xとyを取り違えないこと!
上からx番目、左からy番目なので、xが横の行、yが縦の列

平方数が1行目に並ぶ。(1、9)が81
次の(10、1)が82。(10、9)は横に8だから、ア=82+8=90
*あいだの数なので+8である。+9しないこと!

(1、7)が49、(1、8)が64。
7行目だからこれらの6個下。
イ=(49-6)+(64-6)=101
ア…90、イ…101

(2)

連続する3つの整数の和である。
最初の数を●とすると、●+(●+1)+(●+2)=●×3+3=3×(●+1)
3の倍数だから3で割り切れる数。

最初の2つは連続する整数なので和は奇数。
問題は右の数だけ正方形から外れる(;´Д`)

表を観察すると、正方形の右下の数(赤線)の1個右の数をみると、
4・8・14・22・32…といずれも偶数である!
したがって、奇数と偶数の和で答えは奇数となる。

@余談@
なぜ右端が偶数となったのか、これも平方数が出発点である。
偶数列目…偶数×偶数-偶数=偶数-偶数=偶数
e.g.)4×4-2=14
奇数列目…奇数×奇数-奇数=奇数-奇数=偶数
e.g)5×5-3=22

(3)
横に並ぶ3つの数字には3パターンある。

まず、同じ正方形に横並びするパターン。
連続する3つの整数だから、前問より和が3の倍数になる。
404は3の倍数ではないから×!


右1つだけが違う正方形にあるパターン。
前問より奇数になるので404は×!

となると、これしかない。
すなわち、3つの数がそれぞれ別の正方形にある。

本問の特徴的な数は平方数なので、平方数から活路を見出す。
404÷3=134…2
【…100・121・144・169…】と平方数を並べてみると、
100+121+144=365
121+144+169=434
↑これが404より大きい数のうち、最も404に近い。

差は434-404=30
それぞれを-10する。答えは
111と134と159。
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2022年度 洗足学園中学2回目過去問【算数】大問5解説

問題PDF
体育館で学年集会を行うことになりました。9人がけの長いすを使って、全員が前から順に着席していきます。ただし、人と人の間隔を1メートル以上空ける必要があるため、9人がけの長いすには1つおきにしか座れません。図1のように5人ずつ座ると長いすの数が少なくてすみますが、図2のように前から5人、4人、5人、・・・と交互に座ると長いすと長いすの間隔をせまくできます。
このとき、次の問いにこたえなさい。

(1) 得点率69.6%
学年の生徒数が240人のとき、図2のように座ると、
図1のときに比べて長いすは何脚多く必要ですか。

(2) 得点率28.9%
学年の生徒数が〔  〕人のとき、図1のときと図2のときの長いすの数の差が3脚で、
どちらも最後列の長いすに座る人数が4人でした。
〔  〕に入る数として考えられるものをすべて答えなさい。
なお、この問題は解答までの考え方を表す式や文章・図などを書きなさい。

(3) 得点率1.4%
図1のときと図2のときの長いすの数の差が4脚のとき、
考えられる生徒数として最も少ないのは何人ですか。


@解説@
差集め算。
(1)

図1は、240÷5=48脚
図2は2脚で1セット(9人)ととらえる
240÷9=26セット…6人
6人の配分は5人+1人で2脚
26×2+2=54脚
差は、54-48=6脚

@別解@
2脚1セットで1人の差が生まれる
図1で48脚だから、48÷2=24人の差が生まれる。
この24人を図2のやり方で座らせると、24÷9=2セット…6人
差は、2×2+2=6脚

(2)

最後列は4人。
図1より生徒数は〔5の倍数+4〕人である。
図1の脚数が偶数個の場合、図2の最後の3脚には5人―4人―4人が座ることになる。

もう1人いると図1の長方形がすべて埋まるのでやりやすくなる
そこで、生徒数が1人多い場合を想定する。
図2の最後列は5人席だから、1人増えても脚数に変動はない。

同じ脚数における差の合計は、5+4+4+1=14人
2脚1セットで1人の差が生まれるので、図1は1×2×14=28脚
実際の人数は1人少ないから、5×28-1=139人

もう1つのシナリオは、図1の脚数が奇数個の場合。
図2の最後の3脚は4―5―4人が座ることになる。
⇒先ほどの5―4―4人と差の合計が変わっていない。
図1の4人は最後列だが、順番を入れ替えて1個手前の列を4人にすると、
上の部分も先ほどと
変わらない
図1と図2に1列5人を足しても変化しない。139+5=144人

144+5=149人にすると差が1人増えるので、もう1脚足さなければならなくなる。
よって、答えは139人と144人。

(3)

生徒数を少なくするので、図1の脚数□をできるだけ少なくする
脚数を少なくするということは、図1と同じ脚数における生徒数の差を減らす

図1は多めにして最後列を5人フルで座らせる。
図2のラスト4列に座る生徒数を少なくするために最後列は1人にする。
手前の3列は5―4―5より4―5―4の方が人数が少ない。
差の合計は4+5+4+1=14人
2列1セットで1人の差を生むから、セットの部分は1×2×14=28列
図2の最後から5列目は5人なので、全体は奇数列だからもう1列ある
□=28+1
図1より、生徒数は5×29=
145人

@余談@

前問の144人の図から答えがすぐでてしまう(*´д`*)
上の図1の□(空席)に1人追加すると、
図2はもう1脚必要になって差が4脚になる。
144+1=145人
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