問題ＰＤＦ
次の例のように、整数を３で割り、その商を３で割り、さらにその商を３で割り、…
という操作を繰り返し、商が０になったら操作を終了します。
例：この操作を20から始めると
「20→６→２→０」となり、３回で終了します。
（１）
操作を100から始めたときの結果を、上の例の「 」内のように書きなさい。
（２）
ちょうど４回で操作を終了するような整数の中で最も大きいものは何ですか。
また、このような整数は全部で何個ありますか。
（３）
操作の途中で４が現れるような500以下の整数で最も大きいものは何ですか。
（４）
操作の途中で４が現れるような整数（４を含む）で1000以下の整数は全部で何個ありますか。
＠解説＠
（１）
余りを無視して、ひらすら商を３で割る。
最後は１ではなく、０でフィニッシュ！
「100→33→11→３→１→０」
（２）
ゴールの０から考える。
どんどん３倍していくと…「０→１→３→９→27→81…」
81から０にするまで、５回の操作を要する。
よって、その手前の80が答え。
「80→26→８→２→０」
80～27までが操作４回。（26～９は操作３回）
個数は27～80の数字⇒54個。
（３）
４から考える。
４を３倍すると12…だが、13と14も３で割ると商が４になる。
つまり、余り１（４×３＋１＝13）と余り２（４×３＋２＝14）の場合も同一の商になるので、
最大数は〔３倍＋２〕となる。
４
→４×３＋２＝14
→14×３＋２＝44
→44×３＋２＝134
→134×３＋２＝404
→404×３…500オーバー！
よって、404。
（４）
前問の考えを用いる。
４を３倍、３倍＋１、３倍＋２して12～14。
次は、最小値12を３倍、最大値14を３倍＋２して36～44。
（試しに、36～44の数値を操作してみよう！商が12～14に収まる）
次は、最小値36を３倍、最大値44を３倍＋２して108～134。
（試しに操作すると36～44の範囲に商が収まる）
…この作業を10000まで継続すると、、
４ ⇒１個
12～14 ⇒３個
36～44 ⇒９個
108～134 ⇒27個（３のベキ乗が続いている！）
324～404 ⇒81個
972～1214 ⇒243個
2916～3645 ⇒729個
8748～10000 ⇒10000－8748＋１＝1253個
*最後は10000で打ち切ること。
１＋３＋９＋27＋81＋243＋729＋1253＝2346個
難関中（算数科）解説ページに戻る
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д｀)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい！
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ！
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
ＱＵＩＺ…☆４以上はムズいよ！
ｎｏｔｅも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのｎｏｔｅ
サボのツイッターはコチラ→
コメント