2019年度 洛星中学入試問題【算数】大問6解説

次の例のように、整数を3で割り、その商を3で割り、さらにその商を3で割り、…
という操作を繰り返し、商が0になったら操作を終了します。

例:この操作を20から始めると
「20→6→2→0」となり、3回で終了します。

(1)
操作を100から始めたときの結果を、上の例の「 」内のように書きなさい。

(2)
ちょうど4回で操作を終了するような整数の中で最も大きいものは何ですか。
また、このような整数は全部で何個ありますか。

(3)
操作の途中で4が現れるような500以下の整数で最も大きいものは何ですか。

(4)
操作の途中で4が現れるような整数(4を含む)で1000以下の整数は全部で何個ありますか。


@解説@
(1)
余りを無視して、ひらすら商を3で割る。
最後は1ではなく、0でフィニッシュ!
「100→33→11→3→1→0」

(2)
ゴールの0から考える。
どんどん3倍していくと…「0→1→3→9→27→81…」
81から0にするまで、5回の操作を要する。
よって、その手前の80が答え。
「80→26→8→2→0」

80~27までが操作4回。(26~9は操作3回)
個数は27~80の数字⇒54個。

(3)
4から考える。
4を3倍すると12…だが、13と14も3で割ると商が4になる。
つまり、余り1(4×3+1=13)と余り2(4×3+2=14)の場合も同一の商になるので、
最大数は〔3倍+2〕となる。

→4×3+2=14
→14×3+2=44
→44×3+2=134
→134×3+2=404
→404×3…500オーバー!
よって、404。

(4)
前問の考えを用いる。
4を3倍、3倍+1、3倍+2して12~14。

次は、最小値12を3倍、最大値14を3倍+2して36~44。
(試しに、36~44の数値を操作してみよう!商が12~14に収まる

次は、最小値36を3倍、最大値44を3倍+2して108~134。
(試しに操作すると36~44の範囲に商が収まる)

…この作業を10000まで継続すると、、
4 ⇒1個
12~14 ⇒3個
36~44 ⇒9個
108~134 ⇒27個(3のベキ乗が続いている!)
324~404 ⇒81個
972~1214 ⇒243個
2916~3645 ⇒729個
8748~10000 ⇒10000-8748+1=1253個
*最後は10000で打ち切ること。

1+3+9+27+81+243+729+1253=2346個
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