2019年度　洛星中学過去問【算数】大問６解説

問題ＰＤＦ
次の例のように、整数を３で割り、その商を３で割り、さらにその商を３で割り、…
という操作を繰り返し、商が０になったら操作を終了します。

例：この操作を20から始めると
「20→６→２→０」となり、３回で終了します。

（１）
操作を100から始めたときの結果を、上の例の「　」内のように書きなさい。

（２）
ちょうど４回で操作を終了するような整数の中で最も大きいものは何ですか。
また、このような整数は全部で何個ありますか。

（３）
操作の途中で４が現れるような500以下の整数で最も大きいものは何ですか。

（４）
操作の途中で４が現れるような整数（４を含む）で1000以下の整数は全部で何個ありますか。

（２）
ゴールの０から考える。
どんどん３倍していくと、「０→１→３→９→27→81…」
81から０にするまで５回の操作を要する。
よって、その手前の80が答え。
「80→26→８→２→０」

80～27までが操作４回。（26～９は操作３回）
個数は27～80の数字⇒80－27＋１＝54個

（３）
４から考える。
４を３倍すると12…だが、13と14も３で割ると商が４になる。
つまり、余り１（４×３＋１＝13）と余り２（４×３＋２＝14）の場合も同一の商になるので、
最大数は〔３倍＋２〕となる。
４
→４×３＋２＝14
→14×３＋２＝44
→44×３＋２＝134
→134×３＋２＝404
→404×３…500オーバー！
よって、404

（４）
前問の考えを用いる。
４を３倍、３倍＋１、３倍＋２して12～14。

次は最小値12を３倍、最大値14を３倍＋２して36～44。
（試しに、36～44の数値を操作してみよう！商が12～14に収まる）

次は最小値36を３倍、最大値44を３倍＋２して108～134。
（試しに操作すると36～44の範囲に商が収まる）

この作業を10000まで継続すると、
４　⇒１個
12～14　⇒３個
36～44　⇒９個
108～134　⇒27個（３のベキ乗が続いている！）
324～404　⇒81個
972～1214　⇒243個
2916～3645　⇒729個
8748～10000　⇒10000－8748＋１＝1253個
*最後は10000で打ち切ること。

１＋３＋９＋27＋81＋243＋729＋1253＝2346個
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