2022年度　西大和学園中学県外過去問【算数】大問１解説

問題ＰＤＦ
以下の〔　　〕にあてはまる数を求めなさい。

（１）
容器Ａには食塩水が160ｇ、容器Ｂには５％の濃度の食塩水が180ｇ入っています。
２つの容器に入っているものと食塩10ｇを混ぜ合わせたところ、
容器Ａにもともと入っていた食塩水の濃度と同じ〔　　〕％の濃度の食塩水ができました。

（２）
下の図のような、ＡＢとＢＣの長さが等しく、ＡＢとＣＤが平行である平行四辺形ＡＢＣＤがあります。図のようにＡＨと直線ＢＣが垂直になるように、直線ＢＣ上に点Ｈをとると、ＣＤの長さがＢＨの長さの２倍になりました。アの角の大きさは〔　　〕度です。

（３）
下の図のように四角形ＡＢＣＤは正方形であり、
（ＡＤの長さ）：（ＣＥの長さ）＝12：５
となるように辺ＢＣの上に点Ｅをとります。
図の〇のついた角の大きさが同じになるようにＤＥ上に点Ｆをとったところ、
ＤＦの長さが５ｃｍになりました。四角形ＡＢＥＦの面積は〔　　〕ｃｍ²です。
　

この濃度がＡと同じ濃度だから、
〇÷160×100＝（19＋〇）÷350×100
〇/160＝（19＋〇）/350
350×〇＝160×（19＋〇）
190×〇＝160×19＝16×190
〇＝16
Ａの濃度は、16÷160×100＝10％

（２）

関西の学校って感じの図形です(;´Д｀)
「ＣＤがＢＨの２倍」が特徴的なので、これをうまく使えないか。

ＡＢとＤＣが平行だから、同位角で∠ＤＣＢ＝∠ＡＢＨ（×）
…なんとなくＨＢがＣＤのところに埋められそう。

ＢからＣＤに向けて垂線、交点をＥとする。
ＡＢ＝ＢＣ、ＨＢ＝ＥＣ、∠ＡＢＨ＝∠ＢＣＥで、
２辺とあいだの角度が等しいから△ＡＢＨと△ＢＣＥは合同。
さらに、ＢＥが共通辺、ＣＥ＝ＤＥ、∠ＢＥＣ＝∠ＢＥＤ＝90°で、
同様に△ＢＣＥと△ＢＤＥが合同！

ＢＣ＝ＢＤより△ＢＣＤは二等辺で、∠ＢＤＣ＝∠ＢＣＤ＝×

ＢＡ＝ＢＤより△ＢＡＤも二等辺。
∠ＢＤＡ＝∠ＢＡＤ＝●とする。
∠ＡＤＣ＝●＋×＝122°だから、四角形ＡＢＣＤの内角から、
ア＝360－（●＋×）×２＝360－122×２＝116°

（３）

〇＋×＝90°の調査で、２角が等しいので△ＡＤＦと△ＤＥＣが相似。
ＡＦ：ＦＤ＝ＤＣ：ＣＥ＝12：５
ＡＦ＝12ｃｍ
問題はここからどうするか…。

△ＡＤＦの面積は、５×12÷２＝30ｃｍ²
これを起点に面積比を使って展開していく。
直角三角形の斜辺以外の２辺が５：12。これを使うしかない。
そして、情報が右側に偏っている。

ＡＦを延長、ＤＣとの交点をＧとする。
△ＤＧＦも内角が〇―×―90°だから、５：12の直角三角形。
ＦＧ＝５×５/12＝25/12ｃｍ
△ＡＤＦ：△ＤＧＦ＝ＡＦ：ＦＧ＝12：25/12＝144：25

△ＡＧＤと△ＤＥＣは、正方形の１辺からＡＤ＝ＤＣ、
その両端角が〇と90°で等しく合同。
ＤＧ＝ＣＥ＝⑤
おのおのの三角形から共通部分である△ＤＧＦをひいた、
残りの△ＡＤＦと四角形ＥＣＧＦが等積。
四角形ＥＣＦＧ＝144（30ｃｍ²）

先に正方形全体の面積を求めてみる。
〔△ＡＤＦ→△ＡＧＤ→△ＡＣＤ→正方形ＡＢＣＤ〕
30×169/144×⑫/⑤×２＝169ｃｍ²
これから、△ＡＤＦと△ＤＧＦと四角形ＥＣＦＧをひく。
169－（30＋30＋30×25/144）
＝109－125/24
＝（2616－125）/24
＝2491/24ｃｍ²

＠余談＠
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『算数で三平方・・？(`д´)ﾒｯ』という人もいますけど、
西大和志願者であればどこかで５：12：13を知っていると思うので、
それを使っちゃった方が１辺13ｃｍがすぐ出てくるし、圧倒的に早い。。
ＥＣ＝13×⑤/⑫＝65/12ｃｍ
13×13－５×12÷２－65/12×13÷２
＝139－845/24＝2491/24ｃｍ²

普段の練習はひとまず三平方を使わないで解くとして、
試験本番は受験戦略上、躊躇せずに使いましょう。
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