2022年度 西大和学園中学県外過去問【算数】大問1解説

以下の〔  〕にあてはまる数を求めなさい。

(1)
容器Aには食塩水が160g、容器Bには5%の濃度の食塩水が180g入っています。
2つの容器に入っているものと食塩10gを混ぜ合わせたところ、
容器Aにもともと入っていた食塩水の濃度と同じ〔  〕%の濃度の食塩水ができました。

(2)
下の図のような、ABとBCの長さが等しく、ABとCDが平行である平行四辺形ABCDがあります。図のようにAHと直線BCが垂直になるように、直線BC上に点Hをとると、CDの長さがBHの長さの2倍になりました。アの角の大きさは〔  〕度です。

(3)
下の図のように四角形ABCDは正方形であり、
(ADの長さ)
:(CEの長さ)=12:5
となるように辺BCの上に点Eをとります。
図の〇のついた角の大きさが同じになるようにDE上に点Fをとったところ、
DFの長さが5cmになりました。四角形ABEFの面積は〔  〕cm2です。
 


@解説@
(1)
Aの食塩水160g、食塩は〇gとする。
Bの食塩水180g、食塩は180×5%=9g
これに食塩10gを足すと、食塩水350gで食塩は19+〇g

この濃度がAと同じ濃度だから、
〇÷160×100=(19+〇)÷350×100
〇/160=(19+〇)/350
350×〇=160×(19+〇)
190×〇=160×19=16×190
〇=16
Aの濃度は、16÷160×100=10%

(2)

関西の学校って感じの図形です(;´Д`)
CDがBHの2倍」が特徴的なので、これをうまく使えないか。

ABとDCが平行だから、同位角で∠DCB=∠ABH(×
…なんとなくHBがCDのところに埋められそう


BからCDに向けて垂線、交点をEとする。
AB=BC、HB=EC、∠ABH=∠BCEで、
2辺とあいだの角度が等しいから△ABHと△BCEは合同
さらに、BEが共通辺、CE=DE、∠BEC=∠BED=90°で、
同様に△BCEと△BDEが合同

BC=BDより△BCDは二等辺で、∠BDC=∠BCD=×

BA=BDより△BADも二等辺。

∠BDA=∠BAD=とする。
∠ADC=
×=122°だから、四角形ABCDの内角から、
ア=360-(×)×2=360-122×2=116°

(3)

×=90°の調査で、2角が等しいので△ADFと△DECが相似
AF:FD=DC:CE=12:5
AF=12cm
問題はここからどうするか…。

△ADFの面積は、5×12÷2=30cm2
これを起点に面積比を使って展開していく。
直角三角形の斜辺以外の2辺が5:12。これを使うしかない。
そして、情報が右側に偏っている。

AFを延長、DCとの交点をGとする。
△DGFも内角が×―90°だから、5:12の直角三角形。
FG=5×5/12=25/12cm
△ADF:△DGF=AF:FG=12:25/12=14425


△AGDと△DECは、正方形の1辺からAD=DC、
その両端角がと90°で等しく合同
DG=CE=⑤
おのおのの三角形から共通部分である△DGFをひいた、
残りの△ADFと四角形ECGFが等積
四角形ECFG=144
(30cm2

先に正方形全体の面積を求めてみる。
〔△ADF→△AGD→△ACD→正方形ABCD〕
30×169/144×⑫/⑤×2=169cm2
これから、△ADFと△DGFと四角形ECFGをひく。
169-(30+30+30×25/144)
=109-125/24
=(2616-125)/24
2491/24cm2

@余談@
0
『算数で三平方・・?(`д´)メッ』という人もいますけど、
西大和志願者であればどこかで5:12:13を知っていると思うので、
それを使っちゃった方が1辺13cmがすぐ出てくるし、圧倒的に早い。。
EC=13×⑤/⑫=65/12cm
13×13-5×12÷2-65/12×13÷2
=139-845/24=2491/24cm2

普段の練習はひとまず三平方を使わないで解くとして、
試験本番は受験戦略上、躊躇せずに使いましょう。
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