2026年度　豊島岡女子学園中学過去問【算数】大問６解説

問題ＰＤＦ
２以上のある整数に対して、次のような【操作】を行います。

【操作】
この整数を割り切る最も大きい素数から、
この整数を割り切る最も小さい素数を引いた数を求める。

例えば、30＝２×３×５なので、30にこの操作を行うと３になります。
また、９や11の場合はこれらを割り切る最も大きい素数と最も小さい素数が同じなので、
この操作を行うと０になります。このとき、次の各問いに答えなさい。
ただし、素数とは２以上の整数で、１とその数の他に約数がない数です。

（１）
２から50までの整数のうち、【操作】を行うと１になるものはいくつありますか。

（２）
２から300までの整数のうち、【操作】を行うと４になるものはいくつありますか。

（３）
ｘを２以上2000以下の整数とします。
ｘに【操作】を行うと０になり、ｘより２大きい数に【操作】を行うと17になります。
このとき、ｘはいくつですか。

＠解説＠
（１）
ある整数を素因数分解したときにあらわれる素数のうち、
最大素因数－最小素因数＝１になる。
差が１の素数の組み合わせは【２・３】しかない。
素因数の種類が２と３のみで構成される数が答えになる。

（２）
素数【２・３・５・７・11・13・17・23…】
17×23＝391は300を超える。
差が４の組み合わせは（３、７）（７、11）（13、17）

（３、７）は４個…と言いたくなるが、
最小素因数３と最大素因数７のあいだに５がある点に注意！
３×５×７＝105も該当する。最小素因数３をかけると315。もう無い→５個
（７、11）→７×11
（13、17）→13×17
計７個

（３）
ｘは０になる→素因数が１種類だけ。
ｘ+２が17になる→最大素因数－最小素因数＝17
ここで偶奇判定で絞りをかける。
２以外の素数は奇数だから、差は奇－奇＝偶になりそうだが、
差が奇数17ということは最小素因数が偶数２である。
最大素因数＝17＋２＝19
ｘ＋２は素因数に２と19を含むので、偶数かつ19の倍数（38の倍数）である。

ｘ＋２が偶数→ｘも偶数
そして、ｘは素因数が１種類しかないから２の累乗である。
〔2000以下の２の累乗＋２〕が19の倍数である数を調べればいい。
２～16→×
32→34×
64→66×
128→130×
256→258＝２×129×
512→514＝２×257×
1024→1026＝２×513＝２×19×27〇
ｘ＝1024