問題ＰＤＦ
２桁以上の整数に対して、次の操作を繰り返し行います。
＜操作＞
十の位の数を２回かけ合わせた数、百の位の数を３回かけ合わせた数、
千の位の数を４回かけ合わせた数、…と一の位の数をすべて足し合わせる。
操作後の数が１桁の整数になったら、操作を終了します。
＜例＞
243に対して、（２×２×２）＋（４×４）＋３より、操作後の数は27
27に対して、（２×２）＋７より、操作後の数は11
11に対して、（１×１）＋１より、操作後の数は２となり、操作を終える。
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）
10から99に対して１回操作を行うとき、現れない数の中で最も小さい数を求めなさい。
（２）
300以上の数に対してこの操作を行うとき、
２回操作を行って１となる数の中で最も小さい数を求めなさい。
（３）
2026以上の数に対してこの操作を行うとき、３回操作を行って１となる数の中で、
２番目に小さい数と、４番目に小さい数を求めなさい。
＠解説＠
（１）
一の位をａ、十の位をｂとすると、操作後はｂ×ｂ＋ａ
ａは０～９なので、一の位はどうにでもなる。
平方数であるｂ×ｂがポイント。
平方数を基準に＋９までは作れるが、＋10は作れない。
【１・４・９・16・25・36…】
16と25の差は９だから、25までは作れる。
25＋９＝34が限界。
作れない数の最小値は35
（２）
操作をして１になる数を考える。
和が１ということは、１、１＋０、１＋０＋０…
300以上の数だから百の位ｃは３以上。最小数を求めたいのでｃ＝３
３×３×３＝27→27を超える最小の値100が操作前の数になる。
ｂ×ｂ＋ａ＝100－27＝73
73未満の最大の平方数64に目星をつけて、ｂ＝８、ａ＝９
389
（３）
小さい数にしたいので、１の操作前を10とする。
操作して10になる数を考える。
１×１＋９→19
２×２＋６→26
３×３＋１→31
ｄ＝２として、ｄ×ｄ×ｄ×ｄ＝16
●ｃ＝０
それぞれから16を引くと、
ｂ×ｂ＋ａ＝３・10・15
桁の数だから、ａ,ｂは０～９の値。
３→０×０＋３…2003、１×１＋２…2012（いずれも2026未満×）
10→１×１＋９…2019×、２×２＋６…2026〇、３×３＋１…2031〇
15→３×３＋６…2036〇
●ｃ＝１
ｂ×ｂ＋ａ＝19－（16＋１）＝２
０×０＋２…2102〇
２番目…2031、４番目…2102
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