2020年度 浦和明の星女子中学入試問題【算数】大問4解説

1から300の数を1枚に1つずつ書いた、同じ大きさの正方形のカードがあります。
これら300枚のカードを、1のカードの右に2のカード、その下に3のカード、というように、
時計の針が進む方向にうずをまくようにして小さい順に並べていきます。
下の図は、カードを11枚並べ終えたときの様子を表したものです。

(1)
カードを25枚並べ終えたとき、25のカードと同じ縦の列および横の列に並んでいるカードは、
25のカードを含めてそれぞれ何枚ありますか。

(2)
カードを順に並べていくとき、100のカードのまわりはどのようなカードになりますか。
下の図のア、イ、ウに当てはまる数を答えなさい。

(3)
300枚のすべてのカードを並べ終えたとき、
300のカードと同じ縦の列および横の列に並んでいるカードについて、
それぞれ最も小さい数を答えなさい。


@解説@
(1)
はじめは取っ掛かりをつかむためにも、手を動かしてみる。

縦の列…5枚、横の列…5枚

(2)
偶数の平方数に着目する。

↑100はココ。

偶数の平方数の左隣をコーナーとして、数字が上にあがっていく。
ウは12×12=144
ア…64、イ…101、ウ…144

(3)
300に近い平方数を考える。
17×17=289、18×18=326
300に近く、奇数の平方数はちょうど角にくるので、289から攻める。

1を起点(1列目)とすると、289は1から右9列目、上9列目。
計算で出すと、(17-1)÷2+1=9

290は289の右隣にくる
300まで降下すると、縦の列は290~300しかない。
縦の列の最小値→290

横は列の最小値→うえの図の通り、13。

グルグル数列は他の学校でも出題されています。

平方数の並びがポイントですな(σ’д’)σ
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