問題ＰＤＦ
次のように、規則にしたがって表をかいていきます。
たとえば、１番目の表に現れている数すべての和は１＋２＋２＋４＝９です。
（１）
６番目の表に現れている数すべての和を求めなさい。
それぞれの表に対して、記号＜Ｘ＞、｛Ｙ｝を次のように定めます。
＜Ｘ＞：Ｘ番目の表の対角線の数の和
（図１の塗りつぶされた部分の和が＜５＞を表します。）
｛Ｙ｝：Ｙ番目の表の対角線より右上にある数の和
（図２の塗りつぶされた部分の和が｛５｝を表します。）
たとえば、
＜３＞＝１＋４＋９＋16＝30
｛３｝＝１＋２＋３＋４＋４＋６＋８＋９＋12＋16＝65
となるので、３番目に現れている数すべての和は（ ① ）と表すことができます。
（２）
空らん①にあてはまる、記号＜ ＞と｛ ｝を用いた式として正しいものを選びなさい。
ア：｛３｝＋＜３＞ イ：２×｛３｝＋＜３＞ ウ：｛３｝－＜３＞ エ：２×｛３｝－＜３＞
１からＡまでの数がかかれた玉①、②、…
が１つずつあり、このＡ個の玉を横一列に並べます。
また、左から２番目以降に並んでいる玉について、次の【性質】を考えます。
【性質】
自分より大きな数がかかれた玉が、自分より左側に少なくとも１個ある。
たとえば、Ａ＝10のとき、10個の玉が
② ① ③ ⑦ ⑤ ④ ⑧ ⑨ ⑩ ⑥
と並んだ場合、【性質】を満たす玉は①、④、⑤、⑥の４個になります。
このとき、次の問いに答えなさい。
（３）
Ａ＝10のとき、【性質】を満たす玉がちょうど１個だけになるような並べ方は何通りありますか。
（４）
Ａ＝10のとき、【性質】を満たす玉が③と④だけになるような並べ方は何通りありますか。
（５）
Ａ＝７のとき、【性質】を満たす玉がちょうど２個だけになるような並べ方は何通りありますか。
（６）
Ａ＝12のとき、【性質】を満たす玉がちょうど２個だけになるような並べ方は何通りありますか。
＠解説＠
（１）
３番目の１列目は１～４、４番目は１～５⇒６番目は１～７が並ぶ。
１列目の和…（１＋７）×７÷２＝28
２列目は１列目を２倍した数列→１列目の２個分
３列目は１列目の３個分…７列目は７個分なので、全部で１列目の28個分。
28×28＝784
（２）
階段を反転させて足し合わせ、重複部分の対角線を引くと、すべての和が求まる。
エ
（３）
問題のテイストが変わる。
【①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩】
１個だけ動かす。
①は②～⑩の右側に９通り、②は③～⑩の右側に８通り…⑨は⑩の右側に１通り。
→１～９の和を求めればいい。
（１＋９）×９÷２＝45通り
（４）
まず、④を⑤～⑩の右側にいれると６通り。
③を右にある７個の玉の右側にいれると７通り。
６×７＝42通り
（５）
【①②③④⑤⑥⑦】
①が６通り、②が５通り、③が４通り、④が３通り、⑤が２通り、⑥が１通り。
ここから動かす玉を２個選ぶ。
（①、②～⑥）→６×（１＋２＋３＋４＋５）＝90通り
（②、③～⑥）→５×（１＋２＋３＋４）＝50通り
（③、④～⑥）→４×（１＋２＋３）＝24通り
（④、⑤～⑥）→３×（１＋２）＝９通り
（⑤、⑥）＝２×１＝２通り
90＋50＋24＋９＋２＝175通り
（６）
先ほどの計算過程をみると、連続する整数和にかける数も連続している。
…どこかで見覚えがある。
↑この部分です。
Ａ＝７の場合は５番目の右上部分を合計すると175になる。
Ａ＝12の場合は10番目の表。（１列目に１～11が並ぶ）
（１）の解き方より、10番目の表の合計を求める。
（１＋11）×11÷２＝66
66×66＝4356
対角線は１～11までの平方数。
１＋４＋９＋16＋25＋36＋49＋64＋81＋100＋121＝506
（4356－506）÷２＝1925通り
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