2026年度　渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問１解説

問題ＰＤＦ
２から100までの数字が書かれた箱がそれぞれ１個ずつ、全部で99個あります。
また、１から100までの数字が書かれたカードがたくさんあります。
今後、
・２が書かれた箱を　箱
・１が書かれたカードを　カード１
のように表すこととします。
次のルールにしたがって、カードは箱に入っています。

ルール
２つの整数の積がＡであるとき、カードＡは、その２つの整数の和が書かれた箱に入っています。

たとえば、カード９は、
９＝１×９、１+９＝10
９＝３×３、３＋３＝６
なので、箱と箱の２個の箱に入っています。

次の各問いに答えなさい。

（１）
次のカードは何個の箱に入っていますか。
①カード32　　②カード56

（２）
箱と箱のどちらにも入っているカードに書かれた数は何ですか。

（３）
ちょうど５個の箱に入っているカードに書かれた数をすべて答えなさい。

②
１×56（箱57）２×28（箱30）４×14（箱18）７×８（箱15）
４個

（２）
箱は和13の組み合わせ。
和→積
（１、12）→12
（２、11）→22
（３、10）→30
（４、９）→36
（５、８）→40
（６、７）→42
箱 は和14の組み合わせ。
（１、13）→13
（２、12）→24
（３、11）→33
（４、10）→40　発見！
（５、９）→45　もう無い
40

（３）
問題文を言い換えると、〇×〇＝Ａの組み合わせが５組あるＡを調べる。
Ａの約数の個数を調べればいい。
留意点はＡが平方数かそうでないかで約数の個数が違うこと！
Ａが平方数でない場合、ペアの５組で約数は10個。
Ａが平方数の場合、ペア４組と平方数で約数は９個。
以下、指数を使います。
２^５（２の５乗、５が指数）…２を５回かける数で32

＠約数の個数＠
Ａを素因数分解して、素数ｐをａ回、素数ｑをｂ回かける数ｐ^ａ×ｑ^ｂに分解したとき、
Ａの約数はｐを０～ａ個、ｑを０～ｂ個つかう数なので、
（ａ＋１）×（ｂ＋１）の値がＡの約数の個数にあたる。
例：54＝２×３^３→２を０～１個、３を０～３個使う→２×４＝８個

10＝１×10、２×５
●１×10
０乗は１
Ａ＝ｐ^０×ｑ^９＝１×ｑ^９
最小の素数２で試す。２^９は100を超えるから無い。
●２×５
Ａ＝ｐ^１×ｑ^４
値の大きいｑ^４で調べる。
２^４×３＝48
２^４×５＝80
２^４×７は100over、３^４×５もoverで無い。

９＝１×９、３×３
●１×９
Ａ＝ｐ^０×ｑ^８＝１×ｑ^８
２^８が100を超える×
●３×３
Ａ＝ｐ^２×ｑ^２
小さい素数から順番に入れる。
２^２×３^２＝36
２^２×５^２＝100
しかし、Ａ＝100の場合、２×50（箱52）４×25（箱29）５×20（箱25）10×10（箱20）はあるが、
１×100→箱101がない。不適
３^２×５^２は100over×
答えは36、48、80