2025年度　海城中学２回目過去問【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
素数とは、１とその数自身以外に約数をもたない２以上の整数のことです。
いま、１からある数まで、整数が並んでいます。
この整数を次の【規則】にしたがって１つずつ順に消していきます。

【規則】
①　最初に１を消します。
②　素数である２を残して、以降の２の倍数を小さい順に消していきます。
③　残った数について、素数である３を残して、
 　以降の３の倍数を小さい順に消していきます。
④　残った数について、素数の小さい順に同様の操作（その素数を残して、
 　以降のその数の倍数を小さい順に消していく）を行い、消せる整数がなくなるまで続けます。

例えば、１から25までの整数が並んでいるときは、最初に１を消し、
次に４、６、８、…、24をこの順に消し、次に９、15、21をこの順に消し，最後に25を消します。

（１）
１から50までの整数が並んでいるとき、最後に消す整数を求めなさい。

（２）
１から150までの整数が並んでいるとき、最後に消す整数を求めなさい。
また、その整数は最初から何番目に消しますか。

（３）
最後に消す整数が2021となるのは、１から【　　】までの整数が並んでいるときです。
【　　】にあてはまる最も大きい整数を求めなさい。ただし、2021＝43×47です。

（２）
ある素数の倍数から順に消すとき、最初に消えるのは、ある素数の平方数であった。
150以下の最大の平方数は12×12＝144
つまり、12以下の最大素数である11の倍数を最後に消していく。
11×121、11×13＝143
最後に消す整数は143

何番目に消すかは、小さい数から数えていく。
最初に１を消す。忘れない。１個
●２の倍数
２×２、２×３…２×75
２×１は残すから、75－１＝74個消える。
●３の倍数
３×３、３×５…３×49
【３×１…３×50】から奇数だけを抜き出して３×１は残すから、
50÷２－１＝24個
●５の倍数
５×５、５×７、５×11、５×13、５×17、５×19、５×23、５×25、５×29
計９個
（*基本的には５以上の素数が連なるが、５の平方数25に注意！）
●７の倍数
７×７、７×11、７×13、７×17、７×19の５個
●11の倍数
11×11、11×13の２個
１＋74＋24＋９＋５＋２＝115番目
143・115番目

（３）
2021＝43×47ということは、2021は43の段で消える。
●43の段
43×43、43×47（2021）
次の43×53＝2279以上だと、最後に消す整数が2279になるので不適。
→2278以下である。
●47の段
43の次の素数は47
47×47＝2209以上だと、最後に消す整数が2209になるので不適。
→2208以下
条件に合う最大の整数は2208

＠エラトステネスの篩ふるい＠
本問は、素数の発見法であるエラトステネスの篩を題材にする。
ある整数までの整数のうち、１を除いて小さい素数の倍数から順に消していくと、
残った数がある整数までの素数になる。
人間の手では難しいが処理手順がシンプルなので、コンピュータで最適化した処理をすれば、
膨大な数でない限り、素数を素早く抽出することができる。
エラトステネスはヘレニズム時代（古代ギリシャ～ローマ帝国時代のはざま）の数学者・天文学者。
今から2000年以上前に考案された方法を用いて、10億までの素数であれば数秒で抜き出せる。

（２）150までの素数は35個。
残った数が35個だから消した数は、150－35＝115個
最後の143は115番目に消す。