問題ＰＤＦ
次の各問いに答えなさい。
ただし、角すいの体積は、（底面積）×（高さ）÷３で求められるものとします。
（１）
【図１】のように、立方体の展開図に点線をひきます。もとの折り目に加え、点線部分も折り目とし、すべての折り目が立体の辺になるようにして、この展開図を組み立てると、【図２】のような立体ができました。この立体の体積は何ｃｍ3ですか。
（２）
【図３】のように、正方形ＢＥＣＤの対角線を一辺とする正三角形ＡＢＣを考えます。【図４】の展開図において、（あ）～（え）は合同な二等辺三角形で、（お）～（く）は【図３】の正三角形ＡＢＣと合同です。この展開図に組み立てて立体を作ると、二種類の立体が作れます。そのうち、体積が大きい方の立体を立体Ａ、立体が小さい方の立体を立体Ｂとします。立体Ａの体積は、立体Ｂの体積より何ｃｍ3大きいですか。
（３）
【図５】の展開図におい、（ア）～（エ）は合同な台形で、（オ）～（ク）は合同な正三角形です。この展開図を組み立てて立体を作ると、二種類の立体が作れます。そのうち、体積が大きい方の立体を立体Ｃ、体積が小さい方の立体を立体Ｄとします。２つの立体Ｃ、Ｄの体積の比（立体Ｃの体積）：（立体Ｄの体積）を、最も簡単な整数の比で答えなさい。
＠解説＠
（１）
展開図で考えると三角錐のように思えるが…
もし三角錐だと頂点の切り落としのように断面が平面（斜線）になるはずなのに、
実際は凹んでいる！
等辺３ｃｍの直角三角形の頂点３つが１点に交わるように凹ませるには、
斜線の平面からさらに織り込み、ふたたび同じ三角錐を内部につくる。
つまり、凹みの部分は合同な三角錐２つ分である。
６×６×６－３×３÷２×３÷３×２
＝216－９＝207ｃｍ3
（２）
組み立てるとアイスクリームみたいな形になる。
もう１種類の立体は、アイスの部分を（１）のように凹ませる。
この２つの立体の差を求める。
斜線の上と下の正四角錘は合同なので、上の正四角錘を出してから２倍する。
正三角形ＡＢＣの各辺を〇とする。
△ＣＢＥは等辺４ｃｍ、斜辺〇の直角二等辺三角形で、
これを１辺〇の正方形に４つあてはめると、対角線の長さは８ｃｍとわかる。
斜辺〇、底辺４ｃｍ、90°より、★の直角二等辺三角形は合同→正四角錘の高さは４ｃｍ。
（底面の直角二等辺を立たせるイメージ）
体積の差は、８×８÷２×４÷３×２＝256/３ｃｍ3
（３）
台形を凹ませると紙ぺらになりそうなので、凹れるポイントはサイドの正三角形。
体積ではなく体積比を求めるので、互いの上半分だけを考える。
辺の比は、12：18＝２：３
断頭三角柱の考えを用いて、切断面が同じ正三角形だから３辺の高さの平均が体積比になる。
Ｃ：Ｄ＝（２＋３＋３）/３：（３＋２＋２）/３
＝８：７
難関中（算数科）解説ページに戻る
コメント