2024年度 渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問5解説

問題PDF
次の各問いに答えなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められるものとします。

(1)
【図1】のように、立方体の展開図に点線をひきます。もとの折り目に加え、点線部分も折り目とし、すべての折り目が立体の辺になるようにして、この展開図を組み立てると、【図2】のような立体ができました。この立体の体積は何cm3ですか。

(2)
【図3】のように、正方形BECDの対角線を一辺とする正三角形ABCを考えます。【図4】の展開図において、(あ)~(え)は合同な二等辺三角形で、(お)~(く)は【図3】の正三角形ABCと合同です。この展開図に組み立てて立体を作ると、二種類の立体が作れます。そのうち、体積が大きい方の立体を立体A、立体が小さい方の立体を立体Bとします。立体Aの体積は、立体Bの体積より何cm3大きいですか。

(3)
【図5】の展開図におい、(ア)~(エ)は合同な台形で、(オ)~(ク)は合同な正三角形です。この展開図を組み立てて立体を作ると、二種類の立体が作れます。そのうち、体積が大きい方の立体を立体C、体積が小さい方の立体を立体Dとします。2つの立体C、Dの体積の比(立体Cの体積):(立体Dの体積)を、最も簡単な整数の比で答えなさい。



@解説@
(1)

展開図で考えると三角錐のように思えるが…
もし三角錐だと頂点の切り落としのように断面が平面(斜線)になるはずなのに、
実際は凹んでいる!
等辺3cmの直角三角形の頂点3つが1点に交わるように凹ませるには、
斜線の平面からさらに織り込み、ふたたび同じ三角錐を内部につくる
つまり、凹みの部分は合同な三角錐2つ分である。
6×6×6-3×3÷2×3÷3×2
=216-9=207cm3

(2)

組み立てるとアイスクリームみたいな形になる。
もう1種類の立体は、アイスの部分を(1)のように凹ませる
この2つの立体の差を求める。
 
斜線の上と下の正四角錘は合同なので、上の正四角錘を出してから2倍する。
正三角形ABCの各辺をとする。
△CBEは等辺4cm、斜辺の直角二等辺三角形で、
これを1辺の正方形に4つあてはめると、対角線の長さは8cmとわかる。

斜辺、底辺4cm、90°より、の直角二等辺三角形は合同→正四角錘の高さは4cm。
(底面の直角二等辺を立たせるイメージ)
体積の差は、8×8÷2×4÷3×2=256/3cm3

(3)

台形を凹ませると紙ぺらになりそうなので、凹れるポイントはサイドの正三角形。

体積ではなく体積比を求めるので、互いの上半分だけを考える
辺の比は、12:18=
断頭三角柱の考えを用いて、切断面が同じ正三角形だから3辺の高さの平均が体積比になる。
C:D=()/3:()/3
=8:7

難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

タイトルとURLをコピーしました