2026年度　海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問３解説

問題ＰＤＦ
「三角形において、２辺それぞれの長さとその間の角の大きさを決めると、
その三角形の形は１種類に決まります。」…①
この事実は中学校の数学で学びます。この事実は以下の問題で使ってもかまいません。

一方、①に書かれた条件以外では三角形の形が１種類に決まらないこともあります。
例えば、三角形ＡＢＣにおいてＡＢが５ｃｍ、ＢＣが４ｃｍ、その２辺の間の∠Ｂの大きさが45°であるとき、三角形の形は図Ⅰの１種類に決まりますが、ＡＢが５ｃｍ、ＢＣが４ｃｍ、∠Ａの大きさが45°のときは図Ⅱのように、形の違う２種類の三角形ができます。

（１）
三角形ＡＢＣにおいてＡＢが５ｃｍ、ＢＣが４ｃｍとします。∠Ａの大きさが45°のときは図Ⅱのように三角形の形は２種類できますが、∠Ａの大きさをある大きさに決めると三角形の形は１種類に決まります。そのときの∠Ｃの大きさを求めなさい。

（２）
三角形ＡＢＣにおいてＡＢが５ｃｍ、∠Ａの大きさが45°とします。ＢＣが４ｃｍのときは図Ⅱのように三角形の形は２種類できますが、ＢＣの長さを４ｃｍ以下のある長さに決めると三角形ＡＢＣの形は１種類に決まります。そのときの三角形ＡＢＣの面積を求めなさい。

（３）
三角形ＡＢＣにおいてＡＢが５ｃｍとします。ＢＣの長さをある条件を満たす長さに決めたとき、∠Ａの大きさを０°より大きく180°より小さいどのような角度に決めても、三角形ができる場合にはその形が１種類に決まります。そのようなＢＣの長さの条件について、「ＢＣの長さが〔　　　　　〕が条件」の空欄に入るもっとも適切な語句を答えなさい。

ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの長さがそれぞれ４ｃｍ、３ｃｍ、７ｃｍ、４ｃｍの四角形ＡＢＣＤにおいて、∠ＢＣＡと∠ＤＣＡの大きさが等しいとします。

（４）
このとき∠Ｂの大きさを求めなさい。また、求め方も書きなさい。

（５）
この四角形ＡＢＣＤの面積は、１辺の長さが１ｃｍである正六角形の面積の何倍か答えなさい。

＠解説＠
（１）

ＢとＣの距離が４ｃｍ
Ｂを中心に半径４ｃｍの円を描くと、直線ＡＣと円は２点で交わる。交点●がＣになる。
上図は正確ではないが、二等辺三角形を折り返すと●が重なって２種類の△ＡＢＣができる。
この状態から∠Ａを大きくして、Ａを中心に直線ＡＣを反時計回りに回転移動させると…

直線ＡＣと円は１点で交わり、折り返せなくなって△ＡＢＣが１つに決定する。
折り返せなくなるのはＡＣとＢＣが垂直で、折り目上に●がきて二等辺が無くなるから。
∠Ｃ＝90°

＠余談＠
ＡＣはＣを接点とする円の接線で、接線ＡＣと半径ＢＣは垂直に交わる。

（２）

ＡＢ＝５ｃｍ、∠Ａ＝45°（直線ＡＣ）は固定。
Ｃを直線上であげていくと、ＢＣは４ｃｍから短くなる。
Ｃが１ヵ所で確定するのは、ＢＣがＢとＡＣの最短距離の場合である。
最短距離の地点からＣが同じ距離で上下にズレると、Ｃの候補が２点に増える。
∠ＡＣＢ＝90°より、△ＡＢＣは斜辺５ｃｍの直角二等辺三角形。
△ＡＢＣの面積は、５×５÷２÷２＝6.25ｃｍ^２

（３）

今度はＡＢ＝５ｃｍが固定で、ＢＣの長さをある条件にすると、
∠Ａが０°より大きく180°より小さい範囲（０°＜∠Ａ＜180°）のどんな角でも、
三角形ができればその形が１つに決定できる場合を考える。
ＢＣはＢを中心に動かせる→円を作図して、円周上のどこかにＣがある。
Ａから伸びる直線上にもＣがあり、この直線が円と２点で交わるとＣの位置が決定できない。

●ＣがＡよりＢに近い場合（ＡＢ＞ＢＣ）
Ａから伸ばした直線を円に引くと、２点で交わる直線がある。
この２点がＣの候補となり、三角形の形が１つに決まらない。

●ＣがＡよりＢから遠い場合（ＡＢ＜ＢＣ）
Ａから伸ばした直線は円と１点しか交わらない。
Ｃの位置が確定なので、三角形が決定する。
●ＣとＡがＢから等距離にある場合（ＡＢ＝ＢＣ）
これも円と１点しか交わらないので、三角形が確定。
答えは、ＢＣの長さがＡＢの長さ以上（５ｃｍ以上）

（４）

∠ＢＣＡ＝∠ＤＣＡが特徴的なので、これを活用する。
ＣＤ上で、ＣＥ＝３ｃｍとなるようなＥを取る。
△ＡＢＣと△ＡＥＣは、ＢＣ＝ＥＣ、共通辺ＡＣ
あいだの角が∠ＢＣＡ＝∠ＥＣＡより、問題文の最初の事実①にあてはまる。
つまり、２つの三角形は合同である。

合同より、ＡＢ＝ＡＥ＝４ｃｍ
ＥＤ＝７－３＝４ｃｍ
△ＡＥＤは３辺が等しい正三角形→∠ＡＥＤ＝60°
∠ＡＥＣ＝180－60＝120°
合同の対応する角より、∠ＡＢＣ＝120°