2017年度 早稲田中学入試問題2回目【算数】大問2解説

(1)
図の四角形ABCDは正方形です。
アの角の大きさは何度ですか。

(2)
図の四角形ABCDは平行四辺形です。
影がついた部分ア、イ、ウの面積は、順に35cm2、99cm2、15cm2です。
斜線部分の面積は何cm2ですか。

(3)
図の三角すいはすべての面が正三角形で、1つの面の面積は18cm2です。
点P、Q,Rはそれぞれ辺AB、AC、CD上の点で、点Rは辺CDの真ん中の点です。
3つの辺DP、PQ、QRの長さの和が最も短くなるとき、
三角形APQの面積は何cm2ですか。


@解説@
(1)
もはや頻出の知識問題。

角度を調査すると、上の直角三角形と左の直角三角形の残りの角が25°と20°。
和が45°からあいだの角も45°となり、2つの直角三角形を内側に折るとピッタリ重なる

なぜそうなるのか・・。

△ADEを時計回りに90度回転させ、ADとABが接着するように回転移動する。
正方形の1辺よりAD=AB、∠ABF=90°だからFCは一直線。
∠EAD=∠FAB=25°
1辺と両端角が等しいので、△ADEと△ABFは合同
AE=AF

続いて、△AFGと△AEGに着目する。
∠FAG=∠EAG=45°、AF=AE、AG=AG(共通辺)
2辺と間の角度が等しいので、△AFGと△AEGは合同
(△AED+△AGB=△AFB+△AGB=△AFG
→AGを対称の軸として△AFGを対称移動→△AEG
だから、先のように2つの直角三角形を内側へ折ると△AEGとピッタリ重なる)
∠AGE=70°より、ア=180-70×2=40°
*入試では知識としてすぐ使えるように準備しておく。

(2)
悩みまくりました(;`ω´)
共通部分を足して面積比かな?と思ったのですが、全体を俯瞰した方が良いです。

まず、おさえておきたいのは、△ABE△BFCは平行四辺形の半分ずつであること
Dへ等積変形すると各々平行四辺形の半分に相当し、合計すると平行四辺形の面積になる。

白い部分をA~Dとする。
(A+99+D)+(B+99+C)=平行四辺形の面積
平行四辺形から斜線部分以外を引けば斜線部分がでる

(A+99+D)+(B+99+C)-(A+B+C+D+35+99+15)
=99-35-15=49cm2

(3)
最短距離の問題なので展開図を作成。

△DAP∽△DD’R
DA=AD’より、AP=①とすると、D’R=②
RはD’Cの中点なので、正三角形の1辺は④となる。
PB=④-①=③

△APQ∽△RCQ
AQ:CQ=AP:CR=1:2

△APQ=18×(1×1)/(4×3)=3/2cm2
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