問題ＰＤＦ
縦３ｍ、横３ｍ、高さ１ｍの透明な直方体の箱（以下、これを３×３×１の箱と呼ぶことにします）が透明な壁によって、一辺が１ｍの立方体の９個のマスに区切られています。そこに直径１ｍの球を何個か入れて、「前から見ても、右から見てもすべてのマスに球が見える」という条件を満たすように配置します。図Ⅰおよび図Ⅱの異なる例はどちらも、この条件を満たす配置の例を上から見たもので、球がそれぞれ４個入っています。一方、図Ⅲも４個の球が入った例ですが、この配置では前から見るとすべてのマスに球が見えますが、右から見ると２番目のマスに球が見えないので、条件を満たしていません。
（１）
３×３×１の箱に、条件を満たすように３個の球を配置する方法は何通りありますか。
（２）
16個のマスに区切られた４×４×１の箱に、
条件を満たすように４個の球を配置する方法は何通りありますか。
（３）
３×３×１の箱に、条件を満たすように４個の球を配置する方法は何通りありますか。
27個のマスに区切られた３×３×３の箱に、
前、右、上のどの方向から見てもすべてのマスに球が見えるように何個かの球を配置します。
（４）
３×３×３の箱に、条件を満たすように９個の球を配置する方法は何通りありますか。
（５）
64個のマスに区切られた４×４×４の箱を考えます。前、右、上のどの方向から見ても、球が見えないマスがあるように球を配置するとき、最大で何個の球を配置することができますか。また、その最大個数の球を配置する方法は何通りありますか。
＠解説＠
（１）
前から見ると、〇〇〇
３つの〇の奥行き（手前から何番目か）を考える。
上図であれば、左の〇から２番目・３番目・１番目。
手前から（１～３番目の順列）を求めればいい。
３×２×１＝６通り
（２）
同様に、前から見た〇〇〇〇のそれぞれが手前から何番目かを考える。
１～４番目の順列で、４×３×２×１＝24通り
（３）
条件に合う３つの〇に、もう１つ足せばいい。
空きは６マスある。
（１）より３つの〇の並びは６通りだから、６×６＝36通り
もう１つは３つの〇では条件に合わず、４つ目の〇で条件が成立する場合がある。
前と重複しない形は、縦線と横線の２本でビンゴのダブルリーチになるとき。
★の候補は全部で９通りある。
36＋９＝45通り
（４）
↑上からみた図。
１段目に〇を並べると、△と×は２段目か３段目かの２通りしかない。
（１）より１段目の〇の並びは６通りあり、それぞれの２・３段目は２通りあるから、
２×６＝12通り
（５）
３方向から立方体を貫くと、３方向で球が見えないマスが出てくる。
球を多く配置するので、貫く立方体の個数を少なくする。
上図のような10個を取り除けばいい。
球の数は、64－10＝54個
＠＠
球が入っていない10個の並びを考える。
３直線が１点●で交わる場合がある。●の候補は64ヵ所あるから64通り。
立方体の辺と平行な直線上に、２つの交点●が並ぶ場合も該当する。
２つの●を通過する直線は確定。
１つの●を通過する残りの２本は、２通りの組み合わせが考えられる。
（左右方向の直線が確定すれば、上下・前後方向の直線の向きを入れ替える）
基準交点を設ける。
ある基準交点が通る３本の直線上で、もう１個の交点の候補は９通りある。
基準交点の候補は64通り。交点はペアで重複してカウントするから÷２で弾く。
９×64÷２×２＝９×64
全部で、64＋９×64＝10×64＝640通り
54個・640通り
＠＠
昨年は基準石で解きました。今年は立体になりました。
コメント
⑴ですが、４すみのうち、３つに○を配置した場合、前・右から２個ずつ見えるので、条件を満たすと思います。すると、解説の６通りの他に３通り増えた12通りになると思います。
私が勘違いしていることも大いにあります。
よろしければ、ご教示いただけると幸いです。
「すべてのマスに球が見える」という条件を見落としていました。
申し訳ありません。
コメントありがとうございます。
私も見落としますので、大丈夫です。