問題ＰＤＦ
下の＜図１＞のように、１辺の長さが10ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。
辺ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの真ん中の点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎとするとき、次の各問いに答えなさい。
（１）
４点Ｌ、Ｎ、Ｈ、Ｇを通る平面で立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨを切り、２つの立体に分けます。
＜図２＞は２つの立体のうち頂点Ｅを含む立体です。
その中に、はみ出ないようにできるだけ大きい立方体を、１つの頂点が点Ｅと重なるように置きます。
このとき、その立方体の１辺の長さを求めなさい。
（２）
３点Ｌ、Ｍ、Ｇを通る平面で立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨを切り、２つの立体に分けます。
＜図３＞は２つの立体のうち頂点Ｅを含む立体です。
その中に、はみ出ないようにできるだけ大きい立方体を、１つの頂点が点Ｅと重なるように置きます。
このとき、その立方体の１辺の長さを求めなさい。
（３）
下の＜図４＞のように、辺ＡＤ、ＢＣ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑを、ＤＰとＣＱの長さが等しくなるようにとります。
３点Ｑ，Ｍ、Ｇを通る平面と３点Ｐ、Ｍ、Ｈを通る平面で立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨを切り、３つの立体に分けます。
その中に、はみ出ないようにできるだけ大きい立方体を、１つの辺が辺ＥＦと重なるように置きます。
その立方体の１辺の長さが８ｃｍであったとき、元の立方体のＤＰの長さを求めなさい。
＠解説＠
切断した立方体のなかに入る、最大の立方体の１辺を求める難問。
（１）
奥行きはフルで10ｃｍなので、配慮すべきは縦と横の辺。
正面の台形ＢＦＧＬからみて、その内部にできる正方形を考える。
直角三角形ＣＧＬの辺の比は、ＬＣ：ＣＧ＝１：２
うえのような補助線をひき、直角三角形ＬＰＱは、ＬＰ：ＰＱ＝②：①
正方形の１辺ＯＱ＝①＋５となる。
今度は縦方向で考えて、ＢＦ＝ＢＯ＋ＯＦ＝②＋（①＋５）＝③＋５＝10
①＝５/３
正方形の１辺ＯＱ＝５＋①＝５＋５/３＝20/３ｃｍ
（２）
赤い頂点は△ＬＭＧのどこで接するか？
上からながめるとＬＭの外側に赤い頂点がくるが、
△ＬＣＭが直角二等辺三角形であることから、ＬＭに平行な線分の中点を想像する。
ＬＭの中点をＯとすると、Ｏ－赤い頂点－Ｃのラインは正方形の対角線ＡＣ上にある。
前問のように、正面から考える。
ＬＯ＝ＯＭより、ＯＭ＝５÷２＝2.5
ＢＯ＝10－2.5＝7.5
直角三角形ＯＭＧの辺の比ＯＭ：ＭＧ＝2.5：10＝１：４
△ＯＰＱにおいて、ＰＱ：ＯＰ＝①：④
正方形の１辺ＲＱ＝7.5＋①だから、
ＢＦ＝④＋（7.5＋①）＝⑤＋7.5＝10
①＝0.5
ＲＱ＝7.5＋0.5＝８ｃｍ
（３）
今度は正方形の１辺が８ｃｍとわかっており、切断された辺の長さを求める。
△ＭＱＧと接する立方体の赤い頂点とＧを通る直線をひく。
これとＱＭとの交点をＯとして正面から見ると、先ほどと同じ構図になる。
辺の比が１：４の直角三角形→ＯＭ＝2.5ｃｍ
今度は側面（右）からみる。
左右対称なので、底辺ＧＨは１：８：１の長さに分かれる。
直角三角形ＱＭＧの辺の比がＱＭ：ＱＧ＝１：２なので、
ここから他の直角三角形の長さを算出すると上図になる。
立方体の赤い頂点をＴとし、Ｔを通るＱＭに平行な線をひき、ＱＧ、ＭＧとの交点をＳ、Ｒとする。
注目すべきは、ＳＴ：ＴＲ＝１：３
このＳ－Ｔ－Ｒラインを、立体図および上から見た図で示すとこうなる。
上からみた図で、Ｏを通るＱＣに平行な線をひき、ＭＣとの交点をＵとする。
はじめに正面からみた図でＯＭ＝2.5ｃｍと出したのは、立体的に捉えなおすとＯＵにあたる。
△ＭＯＵ∽△ＭＱＣより、ＱＣ＝2.5×４/３＝10/３
ＱＣ＝ＤＰより、ＤＰ＝10/３ｃｍ
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