2020年度 東京都市大学付属中学入試問題【算数】大問4解説

下の図のように、角Aと角Cが直角で、AB=ADである四角形ABCDがあります。
辺ABのちょうど真ん中の点をEとして、Eを通りBCに平行な直線はちょうどDを通ります。
また、Fは辺BCのちょうど真ん中の点で、ADとBCをそれぞれのばし、
交わった点をGとします。あとの問いに答えなさい。

問1
(三角形ABGの面積):(三角形DCGの面積)を最も簡単な整数の比で表しなさい。

問2
(三角形AFDの面積):(四角形ABCDの面積)を最も簡単な整数の比で表しなさい。


@解説@
問1
問題文に数字が一切書かれておらず…(;´Д`)

Fは関係ないので、AFとDFを消してみた。
AE=EB=とする。
AB=ADから、AD=〇〇
ED//BGより、△AED∽△ABG
AE:EB=1:1から、AD:DG=1:1(DはAGの中点)
DG=〇〇
△ABGと△DCGは、直角と共通角で2角が等しく相似。
ここからどうやって面積比を算出すべきか。。(‘Д’)
 
直角三角形ABGの辺の比で、AB:AG=1:2
これと相似にある△DCGの辺でDC=①、CG=②とおく。

AからBGに向けて垂線、その足をHとし、AHとEDの交点をIとする。
△AIDと△DCGは1辺と両端角が等しく合同→AI=①、ID=②


△BAHも△AIDと2角が等しく合同で、BH:HA=①:②となる。
四角形IHCDは①×②の長方形。
うえのように△ABGを分割すると、△ABG:△DCG=5:1

問2
△AFDを調べるので、Fに注目する

前図でBC=③だったので、BF=FC=〇1.5
△DCGの面積を②×①÷2=【1】とすると、
問1の答えから△ABGの面積は【5】、四角形ABCDの面積は【4】となる。

△ABF…〇1.5×②÷2=【3/2】
△DFC…〇1.5×①÷2=【3/4】
△AFD…【4】-【3/2】-【3/4
】=【7/4】
△AFD:四角形ABCD=7/4:4=7:16
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