問題ＰＤＦ
（１）
１周2.4ｋｍの池の周りのＡ地点から、兄は歩いて、弟は走ってそれぞれ一定の速さで時計回りに進みました。兄は分速60ｍで進み、弟は兄より８分遅れて出発したところ、兄が１周する前に弟は兄に追いつきました。弟は兄に追いつくとすぐに逆方向に進み、Ａ地点に戻ってきたときに兄と出会いました。弟の速さは分速何ｍでしたか。
（２）
同じ濃度の食塩水が容器Ａに100ｇ、容器Ｂに200ｇ入っています。それぞれの容器の食塩水から同じ量の水を蒸発させたところ、容器Ａの食塩水の濃度は容器Ｂの食塩水の濃度の1.5倍になりました。容器Ａから何ｇの水を蒸発させましたか。
（３）
ある時刻に、長針と短針がぴったりと重なっていました。この時刻から100時間後までに、長針と短針がぴったり重なることは何回ありますか。ただし、初めにぴったりと重なっているときは、数えないものとします。
（４）
上の図のように、同じ大きさの正方形が縦に３個、横に５個ぴったりとくっついて並んでいます。２つの点ＡとＣ、ＢとＤを結んだとき、図の角アの大きさは何度ですか。
＠解説＠
（１）
簡単なダイヤグラムを描く。
周回なので上下のボーダーラインはＡ地点で同じ。
兄は、2400÷60＝40分でＡ地点に着く。（弟も同時刻にＡに着く）
速度は一定なので、弟の赤線は二等辺三角形。
弟が出発してから、（40－８）÷２＝16分後に兄に追いついた。
この距離を兄は24分で歩いたので、時間の比は兄：弟＝24：16＝３：２
速さは逆比で兄：弟＝②：③
弟の速さは、60×③/②＝毎分90ｍ
（２）
濃度の比は、Ａ：Ｂ＝1.5：１＝③：②
△は塩、□は蒸発させた水。
はじめのＡとＢの濃度は等しかったので、△/100＝（２×△）/200である。
各々の食塩水から□ｇの水を蒸発させたときの濃度は上図の等式になる。
ＡとＢの分子を△に統一すべく、Ｂの両辺を÷２して右辺を①にする。
分子が同じだと分母の比は逆比。
すなわち、100－□：200－□＝①：③
差の100が②にあたるので、①＝50ｇ
100－□＝50
したがって、□＝50ｇ。
（３）
【１日のうち長針と短針が重なるのは22回】というのを聞いたことがあるはず。
スタートの０時00分の重なりを除外すると、最初の０時台は重なりがない。
１時台に１回、２時台に１回…11時台は次の12時00分に重なる。
12時間で11回の重なりだから、24時間では22回重なる。
48時間では44回、72時間では66回、96時間では88回重なる。
96時間後ちょうどにピッタリ重なるので、96時台は新たな重なりはなし。
97～99時台に１回ずつ重なる。（計３回）
99時台の重なりから100時間後までは１時間もないので重なりなし。
88＋３＝91回
（４）
もはや中学受験の世界では定番問題で、豊島岡志望であれば刹那で解ける。
下にもう１行マスを追加する。
ＡＣは、縦１横４の長方形の対角線。
同じ対角線をＢからひき、終点をＥとする。
ＡＣとＢＥは平行。同位角で∠アを∠ＤＢＥに移す。
つづいて、ＤＥに補助線。
ＤＥは縦４横１の長方形の対角線で、ＢＥ＝ＤＥ。
合同である青線の直角三角形で角度を調査。
●＋×＝90°より∠ＢＥＤ＝90°
△ＢＤＥは直角二等辺三角形だから、∠ア＝45°
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