2025年度　海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問１解説

問題ＰＤＦ
（１）
１×１から９×９までの計算結果が書かれている九九の表があります。
この表にあらわれる81個の数について、次の問いに答えなさい。

（あ）最も書かれる回数の多い数を全て答えなさい。
（い）81個の数の積の１の位の数字を答えなさい。
（う）81個の数の和を答えなさい。

（２）
11×11から19×19までの計算結果である81個の数が書かれている表の数の和を答えなさい。

（３）
１＋２＋３＋…＋100と順番に足していくはずが、間違えて途中で数が１回ずれてしまいました。
そのまま100まで足し続けた結果、合計が6117になりました。
このとき、次のア、イに入る数を答えなさい。
１から〔　ア　〕まで数えた後に、間違えて〔　イ　〕から100まで数えた。

（４）
下図は正方形ＡＢＣＤに二つの二等辺三角形ＡＢＥとＣＤＦが接している図形です。
このとき、次の角度を求めなさい。

（え）ｘ
（お）ｙ＋ｚ＝60°のとき、ｙ

＠解説＠
（１）あ
１～９の中で約数が多いのは６・８。
ある積が自身以下の約数の段で現れることが期待できる。
６の約数〔１・２・３・６〕→６の段で２・３の段を回収
８の約数〔１・２・４・８〕→８の段で２・４の段を回収

九九の表でイメージすると、斜線の平方数を軸として右上と左下にペアで現れる。
１桁×１桁なので、ペアはそれぞれ２組（計４つ）が限界だと察する。
●６の段
６＝１×６＝６×１＝２×３＝３×２
12＝２×６＝６×２＝３×４＝４×３
18＝３×６＝６×３＝２×９＝９×２
24＝４×６＝６×４＝３×８＝８×３
３の段のMax27を超えるので終了。
●８の段
８＝１×８＝８×１＝２×４＝４×２
16＝２×８＝８×２＝４×４（平方数は奇数個。１個少ない×）
24→重複
32＝４×８＝８×４しかない。×
４の段のMax36を

い
２×５＝10など10の倍数を含むので、積の１の位は０

う

一番上の行は１～９の和→45
その下の行は、２＋４＋…＋18＝２×（１＋２＋…＋９）→45が２本
その下は、３＋６＋…＋27＝３×（１＋２＋…＋９）→45が３本
すべてを合計すると、45が45本。
45×45＝2025
*年度問題でした。

（２）
前表の〔１～９〕が〔11～19〕に置き換わる。
11～19の和→135
135が135本→135×135＝18225

（３）
１～100の和→5050
6117－5050＝1067増えた。

１→△→〇と数え、△に戻って100まで数えた。
重複する△～〇の和が1067になる。

連続する整数和。
1067を素因数分解すると、1067＝11×97
（*奇数番目と偶数番目の位の和の差が11の倍数。（１＋６）－（０＋７）＝０）

長方形11×97を台形（△→〇の連続する整数；実際は階段状）にしたい。
連続する整数が偶数個の場合、台形は横を半分にした縦長の長方形に変形できる。
本問は逆のプロセスをとる。

横の長さは連続する個数。横97だと多過ぎて不適。×
【横11×縦97】
97を〇と△に分けて、長方形の上部を左下に移動させて台形にする。
〇＋△＝97
横は11×２＝22→△～〇の個数が22個だから、差〇－△＝21
和差算で〇＝59、△＝38
ア…59、イ…38

（４）え

指針としては、サイドの二等辺と正方形の辺が絡みあう△ＡＤＥを手がかりに左側の角を調べる。
∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ＝●
△ＡＤＥの内角より、●＋●＋90＋ｙ＝180　…①

△ＡＥＢの内角より、ｙ＋（ｘ＋●）＋（ｘ＋●）＝180　…②
①、②は180で値が同じだから、●＋●＋90＋ｙ＝ｙ＋（ｘ＋●）＋（ｘ＋●）
２ｘ＝90
ｘ＝45°

お

距離が離れているｙとｚの関係を探る。ここも二等辺の底角を手掛かりにする。
赤線の三角形の２角の和→対頂角で移動して、（●＋90）－16＝●＋74

△ＣＢＦの底角を▲とし、対称的に右側でも同じことをする。
（▲＋90）－８＝▲＋82
錯角より、●＋74＝▲＋82
●＝▲＋８

△ＡＥＤと△ＣＢＦの内角より、
ｙ＋90＋（▲＋８）＋（▲＋８）＝ｚ＋90＋▲＋▲
ｙ＋16＝ｚ
ｚ－ｙ＝16
ｚ＋ｙ＝60だから、和差算でｙ＝22°
難関中（算数科）解説ページに戻る