問題ＰＤＦ
図のように長さが４ｃｍである線分ＡＢを直径とし、点Ｏを中心とする円がある。
点Ｐ、Ｑはそれぞれ点Ａ、Ｂを同時に出発し、時計回りに円周上を一定の速さで移動している。
点Ｐは１周するのに36秒、点Ｑは１周するのに18秒かかる。
点Ｐが１周して点Ａにふたたび戻ってくるまでを考えることとする。
（１）
点Ｐが点Ａを出発してから12秒後の△ＯＰＱの面積を求めよ。
（２）
∠ＰＯＱが初めて90°となるのは、点Ｐが点Ａを出発してから何秒後か求めよ。
（３）
△ＯＰＱの面積が１となるのは、点Ｐが点Ａを出発してから何秒後か。
あてはまるものをすべて求めよ。
＠解説＠
（１）
Ｐは36秒で１周→12秒後は１/３周（120°）
Ｑは18秒で１周→Ｐの２倍動くから２/３周（240°）
∠ＰＯＱ＝60°
△ＯＰＱは１辺２ｃｍの正三角形だから、√３/４×２2＝√３ｃｍ2
（２）
角速度を求める。
Ｐは１秒あたり360÷36＝10°
Ｑの速さはＰの２倍だから、１秒あたり20°
初期状態では、Ｐの後方180°からＱが追いかける。
初めて∠ＰＯＱ＝90°となるのは、ＱとＰの差が180－90＝90°になるとき。
１秒あたり10°ずつ差が縮まるので、90÷10＝９秒後
（３）
横軸を時間、縦軸を面積としたグラフで整理する。
前問より、△ＯＰＱの面積は12秒が√３ｃｍ２、９秒が２×２÷２＝２ｃｍ２
Ｐ・Ｑの位置関係は０秒が反対側→18秒に一致→36秒に反対側で、いずれも０ｃｍ２
Ｐ・Ｑは一定の速さで動くので、一致する18秒から６秒後の24秒と、
18秒から６秒前に巻き戻した12秒は∠ＯＰＱの大きさが等しいから△ＯＰＱの面積も同じ。
18秒を起点に再生・逆再生で点を結ぶと、水色の対称的な放物線になるはず。
面積が１となる瞬間は０秒後・18秒前後、36秒前の４ヵ所で起こる。
いつ面積が１になるか。
ＯＰ＝ＯＱ＝２ｃｍは固定で、あいだの角ＰＯＱをいじる。
中学の範囲であれば有名角を疑おう。
無理数の比でない２：１を使うと、２×１÷２＝１ｃｍ２
∠ＰＯＱ＝30°→（２）の角速度の差から、30÷10＝３秒
対称性から０＋３秒後、18±３秒後、36－３秒後
３、15、21、33秒後
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