2025年度　早稲田大学高等学院過去問【数学】大問１解説

問題ＰＤＦ
（１）
√７×√17の整数部分をＡ、Ｂ＝28²－（35/３）²とするとき、次の問いに答えよ。
①Ａの値を求めよ。
②の値を求めよ。

（２）
下の図のように、正三角形ＡＢＣに対して、その外側の点Ｄと、
辺ＡＢ上の点Ｅを、次の条件を満たすようにとる。

• ＡＣ⊥ＤＥ
• ∠ＢＥＤの角の二等分線と辺ＢＣが交点をもつ。

∠ＢＥＤの角の二等分線と辺ＢＣの交点をＦとおく。
ＡＥ＝３、ＣＦ＝１、ＢＣ⊥ＤＦのとき、次の問いに答えよ。

①∠ＤＦＥの大きさを求めよ。
②ＤＥの長さを求めよ。

（３）
２次方程式ｘ²－６ｘ＋１＝０の２つの解のうち、大きい方をＸとする。
このとき、次の問いに答えよ。

①を満たす有理数ａ、ｂを求めよ。
②の値を求めよ。

＠解説＠
（１）①
√７×√17＝√119
√100＜√119＜√121より、整数部分Ａ＝10

②
むつかしい:;(∩´＿`∩);:

与式をながめると、７/３が目立つ。
12Ａ×７/３＝28Ａでないのには何か意味があるはず。
この手の問題は、代入するＢをうまく加工する。

35/３＝５×７/３に分解する。
７/３をｘに置き換えて整理すると、（28＋５ｘ）（28－５ｘ）
しかし、これを与式のＢに代入しても28²が邪魔してうまくいかない…。
28が７の倍数であることに着目すると、28÷７/３＝12
すなわち、12×７/３＝28

すると、整数値できれいに処理できる（前問の119が登場する）
ｘ＝７/３として、与式のＢに119ｘ²を代入。

12でまとめた後にＡ＝10を代入→120でまとめる。
120＝２√30
因数分解後にｘ＝７/３を代入する。
20√３/３

（２）①

ＡＣとＤＥ、ＤＦとの交点をそれぞれＧ、Ｈとする。
△ＡＥＧの内角より、∠ＡＥＧ＝30°
∠ＤＥＦ＝（180－30）÷２＝75°

△ＣＨＦの内角より、∠ＣＨＦ＝30°
対頂角で、∠ＤＨＧ＝30°
△ＤＨＧの内角より、∠ＧＤＨ＝60°
△ＤＥＦより、∠ＤＦＥ＝180－（60＋75）＝45°

②

∠ＢＥＦ＝∠ＤＥＦ、∠ＢＦＥ＝∠ＤＦＥ＝45°、共通辺ＥＦ
１辺両端角相等で△ＢＥＦ≡△ＤＥＦ
ＤＥ＝ＢＥより、ＢＥを求めればいい。

△ＢＥＦの内角は30°―75°―45°
Ｅから垂線をおろし、ＢＣとの交点をＩとする。
△ＢＥＩと△ＥＩＦは有名三角形。
ＢＩ＝ｘとおくと、ＢＥ＝２ｘ、ＥＩ＝ＩＦ＝√３ｘ
正三角形ＡＢＣより、ＡＢ＝ＢＣだから、
２ｘ＋３＝（１＋√３）ｘ＋１
（√３－１）ｘ＝２
ｘ＝２/（√３－１）＝√３＋１
ＢＥ＝２ｘ＝２√３＋２ｃｍ