2025年度　西大和学園高校・県外過去問【数学】大問１解説

問題ＰＤＦ
（１）
－ｘ²＋ｙ²－２ｘ＋６ｙ＋８ を因数分解せよ。

（２）
２桁の正の整数Ｎの十の位の数をａ、一の位の数をｂとする。
－２ａ＋ａｂ－７ｂ＋14が素数となるＮは全部で（　　）個ある。
ただし、素数とは２以上の整数で、１とそれ自身以外に正の約数をもたない数のことである。

（３）
正四面体の形をした箱があり、面がそれぞれ赤色、青色、黄色、緑色で塗られている。
箱を４回、転がして、底になった面に順に１、２、３、４を記入していく。
例えば、底の面の色が順に赤色、青色、赤色、黄色であった場合には、
赤色の面に１、３、青色の面に２、黄色の面に４が記入され、緑色の面には何も記入されないことになる。
このとき、次の確率を求めよ。

（あ）赤色の面に１、青色の面に２、黄色の面に３、緑色の面に４が記入される確率。
（い）数が記入されている面が１面だけである確率。
（う）すべての面に数が記入される確率。
（え）赤色の面と黄色の面の、ちょうど２面のみに数が記入される確率。

（２）

桁の数だから、１≦ａ≦９、０≦ｂ≦９
整数問題は、とりあえず因数分解を試みる。
－２ａ＋ａｂ－７ｂ＋14　←７・14は７でくくりそう
＝－２ａ＋ａｂ－７（ｂ－２）　
＝ａ（ｂ－２）－７（ｂ－２）
＝（ａ－７）（ｂ－２）＝素数

一方が１、他方が素数であればいい。
●（ａ－７）＝１、（ｂ－２）＝素数
ａ＝８、ｂ＝４・５・７・９
●（ａ－７）＝素数、（ｂ－２）＝１
ａ＝９、ｂ＝３
一方が－１、他方が－素数も積が素数になる！
●（ａ－７）＝－１、（ｂ－２）＝－素数
ａ＝６、ｂ＝０
●（ａ－７）＝－素数、（ｂ－２）＝－１
ａ＝５・４・２、ｂ＝１
計９個

（３）あ

１～４の順番は固定。順番の中に色を入れていく。
それぞれに赤・青・黄・緑が入るので、全体は４^４＝256通り
【赤１・青２・黄３・緑４】は１通りしかないから、確率は１/256

い
数が１面だけしか記入されない→１～４すべてに同色が記入される。
赤・青・黄・緑の４通りだから、４/256＝１/64
（*正四面体は底面から他３面に転がせる。
赤→赤の場合、いったん赤を地面から離したあとで、また赤に戻る。
果たしてそれは転がったというのか…）

う

【赤・青・黄・緑】を１つずつ順番に埋めていく。
_４Ｐ_４＝４×３×２×１＝24通り
確率は24/256＝３/32

え
【赤・赤・赤・黄】→４通り
【赤・赤・黄・黄】→_４Ｃ_２＝６通り
【黄・黄・黄・赤】→４通り
計14通り、確率は14/256＝７/128