問題ＰＤＦ
（１）
を計算せよ。

（２）
２次方程式
を解け。

（３）
１から６までの目の出る大小１つずつのさいころを同時に１回投げる。
大きいさいころの出た目の数をａ、小さいさいころの出た目の数をｂとするとき、
ａ√ｂ＜４となる確率を求めよ。
ただし、大小２つのさいころはともに、１から６までのどの目が出ることも
同様に確からしいものとする。

（４）
下の表は、ある中学校の生徒40人が行ったゲームの得点をまとめたものである。
得点の中央値が12.5点であるとき、ｘ、ｙの値を求めよ。

（５）
下の図のように、円Ｐと円Ｑは互いに交点をもたず、円Ｐの周上に点Ａがある。
点Ａにおいて円Ｐに接し、かつ円Ｑにも接するような円の中心のうち、
円Ｐおよび円Ｑの外部にある円の中心Ｏを、定規とコンパスを用いて作図によって求め、
中心Ｏの位置を示す文字Ｏを書け。ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

＠解説＠
（１）

分母の（６－２√５）を２でくくると（３－√５）が現れて約分ができる。
３√２/４

（２）

初手は両辺を６倍。
＋２（３－２ｘ）の符号をいじると、－２（２ｘ－３）に変わる。
（カッコ外の２にマイナスをかけると、カッコ内の項が入れ替わる）
Ｘ＝２ｘ－３に置き換えて因数分解。最後は共通因数２でくくる。
ｘ＝４/３、２

（３）
√ｂの最小値√１＝１
ａ√ｂ＜４が成り立つａは４未満に限られる。（４×１＝４は×）
●ａ＝１
√ｂの最大値√６、２＜√６＜３
√６の整数部分は２なので、ｂ＝６でも１×√６＜４が成り立つ。
ｂ＝１～６の６通り。
●ａ＝２
√ｂ＜２＝√４であればいい。
ｂ＝１～３の３通り。
●ａ＝３
ｂ＝１→３×１＝３ ＯＫ！
ｂ＝２→√２＝1.41421356…（一夜一夜に人見ごろ）
３×1.41＝4.23でＮＧ！
１通り

計10通り。
全体は６×６＝36通りだから、確率は10/36＝５/18

（４）

40人の中央値は20番目と21番目の平均。
得点が５点刻みで平均が12.5点ということは、
上から20番目は15点、21番目は10点である。
（５と20の平均も12.5だが、10点がいるのであり得ない）
15点以上が20人なので、ｙ＝20－11＝９
ｘ＝40－（２＋３＋９＋11）＝15
ｘ＝15、ｙ＝９

（５）
西の作図は難しい(´ｴ`;)

『点Ａにおいて円Ｐと接する』
半径と接線は直交する。
ＰＡとＡＯは一直線になる→円の中心Ｏは半直線ＰＡ上にある。

大問題は『円Ｑに接する』をどう対処すべきか…。

結果から方針を立ててみる。
仮に円QがＢで接すると、半径からＡＯ＝ＢＯ
Ｂは所在不明ゆえ頼れないが、ＢはＱＯ上にある。

ＱＯの距離を半直線ＰＡ上に移した交点をＱ’とする。
同様に半径からＱ’Ｏ＝ＱＯ
ＡＯ、ＢＯの長さはわからないが、円Ｑの半径をＡからとればＱ’の位置がわかる。
あとは２点Ｑ、Ｑ’を通る円の作図の問題で、ＱＱ’の垂直二等分線上にＯがある。

①半直線ＰＡをひく。
②Ａから円Ｑの半径をとる。
③上の交点とＱの垂直二等分線をひく。
①と③の交点がＯとなる。
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問題ＰＤＦ
三角形と四角形を組み合わせて作られた立体があり、【図１】はその見取図である。
【図２】から【図５】は、この立体を真上、真下、真正面、右側から見たときの図である。


【図２】では四角形ＡＢＦＥ、ＤＡＥＩ、ＨＣＡＤ、ＣＧＢＡ、【図３】では四角形ＦＧＨＩ、【図４】では四角形ＨＣＡＤ、【図５】では四角形ＩＤＡＥは正方形である。また【図４】では△ＡＩＧ、【図５】では△ＡＦＨは直角二等辺三角形である。辺ＡＢの実際の長さが３ｃｍであるとき、次の問いに答えなさい。

（１）
この立体の表面積を求めなさい。

（２）
この立体の体積を求めなさい。

（３）
この立体を３点Ｃ、Ｈ、Ｉをふくむ平面で２つに分ける。
面ＦＧＨＩをふくむ側の立体の体積を求めなさい。

＠解説＠
（１）
ここからキツイんですけど(;`ω´)
ＡＢ＝３ｃｍしか情報が与えられてないので、他の辺を調べますよ(;`ω´)

回転対称（回したら元の図形とピッタリ重なる）からＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝ＡＥ＝３ｃｍ
真上の図で４つの四角形は正方形→ＣはＧＨの中点。
真上の〇と真正面の●は同じ長さか不明でも、図を重ね合わせると真正面のＣはＡＧの中点にくる。
ＡＣ＝３ｃｍだから、ＣＧ＝３ｃｍ
回転対称からＣＨ、ＤＨ、ＤＩなども３ｃｍ。
→四角形ＡＣＨＤは１辺３ｃｍの菱形で、他３つも合同の菱形である。

残りの辺がとても厄介。。
斜めの３ｃｍしかわかっていないので、これを斜辺とする直角三角形を作成する。

他に使えそうな情報は、真正面の図で△ＡＧＩが直角二等辺であること。
Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅで横に切り取ると、切断面は正方形。
Ａから垂線を下ろし、正方形ＢＣＤＥとの交点をＭとする。
Ｍを通るＣＤに平行な線をひき、ＢＣ、ＥＤとの交点をそれぞれＪ・Ｋとする。

△ＡＪＫ∽△ＡＧＩより、△ＡＪＫは直角二等辺三角形。
ＭはＪＫの中点だから、右半分の△ＡＭＫも直角二等辺。
ＡＭ＝①とするとＭＫ＝①（真正面の図でみるとＭＤ＝①）
真上の図で△ＡＫＥも直角二等辺で、ＡＥ＝〇√２
立体図から△ＡＭＥで三平方→ＡＫ＝〇√３＝３ｃｍ

ＡＭ①＝３×①/〇√３ｃｍ＝√３ｃｍ
ＣＥ＝〇２√２で、これが底面の四角形の１辺であるＨＩの長さにあたる。
√３×〇２√２＝２√６ｃｍ
底面の四角形ＦＧＨＩは１辺２√６ｃｍの正方形である。

Ｍの真下で底面の正方形との交点をＮとする。
ＭＮ＝ＡＭ＝①だから√３ｃｍ（１階部分と２階部分の高さは共に√３ｃｍ）
ＤＥ＝②、√３×②＝２√３ｃｍ
ＡＫ＝〇√２→ＡＩ＝〇２√２、√３×〇２√２＝２√６ｃｍ
ようやく必要な情報がすべてそろった(;´･ω･)

立体の表面積は、２√６×２√６＋２√３×２√６÷２×４＋２√６×√３×４÷２
＝24＋24√２＋12√２
＝24＋36√２ｃｍ²

＠余談＠

このアングルでは見にくいですけど、△ＡＧＩと△ＡＨＦは合同の直角二等辺で、
四角錘ＡーＦＧＨＩは１辺がすべて２√６の正四角錘である。
・・ＡＨ＝２√６なのだから、菱形を縦に割った△ＡＣＨは△ＤＨＩと合同で、
正方形ＦＧＨＩ＋△ＤＨＩ×12
＝（２√６）²＋２√６×√３÷２×12
＝24＋36√２ｃｍ²でもいけた。

（２）

２階部分の正四角錘ＡーＢＣＤＥを十字に４分割する。
その４分の１である三角錐Ａ―ＭＤＥをひっくり返して下の部分にあてはめる。
これをもう３箇所行うと、求積すべき立体は直方体になる！
先ほど底面積は24ｃｍ³と出したので、24×√３＝24√３ｃｍ³

（３）

Ｃ・Ｈ・Ｉを含む切断面とＡＢとの交点をＯとする。
切断面の真横から見た図形は五角形であり、縦２√３ｃｍ、横２√６ｃｍの長方形を４分割すると、
Ｏの位置がＡＢの中点にあると見えやすい。

面ＡＣＥで分割する。
立体ＡＣＥ―ＤＨＩは斜めに傾いているが、底面△ＤＨＩ、高さ√６ｃｍの柱体とみなせる。
また、三角錘ＯーＡＣＥにおいて、底面の△ＡＣＥは△ＤＨＩと等しく、高さは√６/２ｃｍ。
２√６×√３÷２×√６＋２√６×√３÷２×√６/２÷３
＝７√３ｃｍ³
求めたい立体は反対側なので、24√３－７√３＝17√３ｃｍ³
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問題ＰＤＦ
【図１】のように、正十二角形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪＫＬがあり、
対角線ＡＧの中点をＯとするとき、ＯＡ＝１ｃｍである。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
△ＯＡＢの面積を求めなさい。

（２）
【図２】は、【図１】の正十二角形に点Ａを中心として線分ＡＤの長さを半径とする円を
かき加えたものである。影をつけた部分の面積を求めなさい。

（３）
【図３】は、【図１】の正十二角形に点Ａを中心として、線分ＡＣ、ＡＤ、ＡＥの長さを半径とする３つの円をかき加えたものである。影をつけた部分の面積の和を求めなさい。

＠解説＠
（１）

∠ＢＯＡ＝360÷12＝30°
Ｂから垂線をひくと、辺の比が１：２：√３の直角三角形があらわれる。
△ＯＡＢの底辺をＯＡとしたときの高さは、１÷２＝１/２ｃｍ
△ＯＡＢの面積は、１×１/２÷２＝１/４ｃｍ²

（２）

曲線ＤＪを弧とする扇形をつくる。
Ａ・Ｄ・Ｇ・Ｊは正十二角形の頂点２個飛ばし。
回転対称から四角形ＡＤＧＪは正方形→∠ＤＡＪ＝90°
Ｏを復元すると、直角三角形ＯＡＤの辺の比１：１：√２から半径ＡＤ＝√２ｃｍ
扇形ＡＤＪの面積は、√２×√２×π×１/４＝π/２ｃｍ²

残りの部分は正十二角形から正方形ＡＤＧＪをひいて★×４、これを÷２をすると★×２になる。
正十二角形の面積は、（１）の△ＯＡＢ12個分で１/４×12＝３ｃｍ²
★×２＝｛３－（√２）²｝÷２＝１/２ｃｍ²
したがって、求積すべき図形の面積は、π/２＋１/２＝（π＋１）/２ｃｍ²

（３）

なんかもうヤバイし、ずっと見てると気分悪くなってくる(´Д`|||)
正解者はほとんどいないと思うので本番では捨てましょう。
曲線は扇形の弧にしないと求まらないので、扇形ＡＥＩを作図する。

正六角形ＡＣＥＧＩＫを６分割した正三角形を描いてみた。
左が曲者なので、△ＥＦＧと△ＧＨＩを△ＡＢＣと△ＫＬＡへお引越し。
それぞれ正十二角形の１辺を等辺とする合同な二等辺三角形である。

★２つに狙いを定める。
小さい正三角形の１辺は１ｃｍ。その高さは√３/２ｃｍで、ＡＥ＝√３/２×２＝√３ｃｍ
△ＡＥＩは正十二角形の頂点３個飛ばしだから正三角形。∠ＥＡＩ＝60°、ＥＩ＝√３ｃｍ
ＡＧ＝２ｃｍで、ＡＧとＥＩは直交する。
★×２＝四角形ＡＥＧＩ－扇形ＡＥＩ
＝２×√３÷２－√３×√３×π×１/６
＝√３－π/２ｃｍ²

★は先ほど求めたところ。
残りの部分は（２）で求めた図形から扇形ＡＣＫを引けばいい。
（π＋１）/２－１×１×π×１/３
＝（π＋３）/６

したがって、求積すべき図形の面積は、
√３－π/２＋（π＋３）/６
＝１/２＋√３－π/３ｃｍ²
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問題ＰＤＦ
　ある製品を作るとき、30000円の固定費と１個あたり180円の原材料費の合計が経費としてかかる。また、この製品を１個360円で販売すると300個売れるが、価格を360円からｘ円下げると販売個数は300個から５ｘ個増える。この製品をすべて販売したとき、経費は

　（経費）＝（固定費）＋（１個あたりの原材料費）×（販売個数）

であり、利益は

　（利益）＝（価格）×（販売個数）－（経費）

と表される。消費税は考えないものとして、次の問いに答えよ。

（１）
価格をｘ円下げたときの経費は（　ア　）ｘ＋（　イ　）円になる。
ア、イにあてはまる値をそれぞれ求めなさい。

（２）
価格を100円下げたときの利益を求めなさい。

（３）
利益が10000円であったとき、価格を何円下げたかを求めなさい。

＠解説＠
（１）
（経費）＝（固定費）＋（１個あたりの原材料費）×（販売個数）
固定費…３万円
１個あたりの原材料費…180円
販売個数…300＋５ｘ個
経費＝30000＋180（300＋５ｘ）＝900ｘ＋84000　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ア…900、イ…84000

（２）
（利益）＝（価格）×（販売個数）－（経費）
価格…360－ｘ円
販売個数…300＋５ｘ個
経費…900ｘ＋84000
ｘ＝100を代入すると、
（360－100）×（300＋５×100）－（900×100＋84000）
＝260×800－174000
＝208000－174000
＝34000円

（３）
（価格）×（販売個数）－（経費）＝（利益）
（360－ｘ）（300＋５ｘ）－（900ｘ＋84000）＝10000
桁が大きいけどやるしかない(;`ω´)
108000＋1800ｘ－300ｘ－５ｘ²－900ｘ－84000＝10000
５ｘ²－600ｘ－14000＝０
ｘ²－120ｘ－2800
＝（ｘ＋20）（ｘ－140）＝０
ｘ＞０より、ｘ＝140
140円
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図１は、２つの入力ａ、ｂと２つの出力ｘ、ｙを備えた計算装置（ユニット）で、
入力ａ、ｂの値に対し、出力ｘ、ｙの値はそれぞれａ＋ｂ、ａｂとなる。

図２のように、前のユニットの出力ｘ、ｙが次のユニットのそれぞれ入力ａ、ｂとなるように
３つのユニットを連結して、計算プログラムＡを作った。

また、図３のように、前のユニットの出力ｘが次のａ、ｂとなるように
３つのユニットを連結して、計算プログラムＢを作った。
なお、プログラムＡ、Ｂともに、ユニット１の入力ａ、ｂの値は、整数に限るものとする。

図４、図５は、プログラムＡ、Ｂのそれぞれについて、
ユニット１の入力がａ＝１、ｂ＝１の場合の各ユニットの状態を表したものである。

このとき、以下の空欄を埋めなさい。
（１）
プログラムＡにおいて、ユニット１の入力がａ＝１、ｂ＝３のとき、
ユニット３の出力はｘ＝〔　　〕、ｙ＝〔　　〕である。

（２）
プログラムＡにおいて、ユニット１の出力ｘの値が１で、ユニット３の出力がｘ＝－３、
ｙ＝２のとき、ユニット１の入力で、ａ＜ｂであるものは、ａ＝〔　　〕、ｂ＝〔　　〕である。

（３）
プログラムＢにおいて、ユニット１の入力がａ＝１で、ユニット３の出力ｙの値が64のとき、
ユニット１の入力ｂの値は〔　　〕または〔　　〕である。

（４）
プログラムＢにおいて、ユニット１の入力がａ＝１、ｂ＝２のとき、
ユニット２、３のどちらにおいても出力ｘ、ｙについて、ｙ＝〔　　〕/〔　　〕ｘ²が成り立つ。

＠解説＠
（１）

上が和、下が積。
ユニット３では、ｘ＝19、ｙ＝84

（２）

ユニット１の出力ｘ＝１としてマスを埋めていく。
ａ＋ｂ＝１　…①
２ａｂ＋１＝－３
ａｂ＝－２　…②

①と②で連立。
あてはめてしまった方が早いが…ちゃんと計算すると、
①より、ａ＝１－ｂ
これを②に代入して、
ｂ（１－ｂ）＝－２
ｂ²－ｂ－２
＝（ｂ－２）（ｂ＋１）＝０
ｂ＝－１、２
①の式に照らして、
ｂ＝－１のとき、ａ＝２
ｂ＝２のとき、ａ＝－１
ａ＜ｂから、ａ＝－１、ｂ＝２

＠＠
ａとｂは整数だから、ａｂ＝１×（－２）＝（－１）×２＝－２
ａ＜ｂからａ＝－１、ｂ＝２

（３）

64からさかのぼる。
ｙは積。ユニット３では□×□＝64だから、□＝８
ｘは和。ユニット２では□＋□＝８だから、□＝４
ユニット１では、１＋ｂ＝４
ｂ＝３

もう１つは、ｂは『整数』なので、－８×（－８）＝64もありえる！
１＋ｂ＝－４
ｂ＝－５
したがって、ｂ＝３、－５

（４）

マスを埋めていく。
ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（６、９）を放り込むと、
９＝36ａ
ａ＝１/４

＠余談＠

図形で描くとこうなります。
ｘを正方形１辺の長さとすると、ｘ²は正方形の面積で、
正方形４つ分がｙの値だから、ｙ＝１/４ｘ²になる。
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Ａ組、Ｂ組、Ｃ組、Ｄ組、Ｅ組、Ｆ組、Ｇ組、Ｈ組の８クラスが、
種目１、種目２、種目３の３種目でクラス対抗戦を行う。
全クラスが、３種目全てに参加し、３種目それぞれで優勝クラスを決める。
各生徒は、３種目のうちいずれか１種目に出場することができる。

（１）
種目１、種目２は、８クラスが抽選で下の図１の①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧のいずれかの箇所に入り、①と②、③と④、⑤と⑥、⑦と⑧の４試合を１回戦、１回戦で勝った４クラスが行う２試合を準決勝、準決勝で勝った２クラスが行う１試合を決勝とし、決勝で勝ったクラスが優勝となる勝ち残り式トーナメントで試合を行い、優勝を決める。

①下の図２は、図１において、Ａ組が①、Ｂ組が④、Ｃ組が⑤、Ｄ組が⑧の箇所に入った場合を表している。図２において、１回戦の試合の組み合わせは全部で何通りあるか。

②種目１、種目２の試合は、それぞれ１会場で１試合ずつ行い、最初の試合は同時に始めるものとする。種目１、種目２の試合が、次の【条件】を満たすとき、種目１の１試合の試合時間は何分か。ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

【条件】
〔１〕（種目１の１試合の試合時間）：（種目２の１試合の試合時間）＝２：３である。
〔２〕種目１、種目２とも、試合と試合の間を５分あけ、最初の試合が始まってから
　決勝までの全ての試合を続けて行う。
〔３〕種目２の５試合目が終了するとき、同時に種目１の決勝が終了する。

 

（２）
種目３では、各クラス４人が１周200ｍのトラックを、走る順番ごとに決められた周回数を走り、次の人にタスキを渡す駅伝を行い、優勝を決める。

上の表１は、第１走者、第２走者、第３走者が走る周回数を表している。

Ｂ組が、種目３に出場する各クラスの選手の速さや走る順番を分析したところ、
Ａ組が優勝候補であった。

上の表２は、Ｂ組がＡ組に勝つ方法を考えるために、Ａ組、Ｂ組の第１走者、第２走者、第３走者の速さをまとめたもので、ａには、Ｂ組の第２走者の速さがあてはまる。

Ａ組、Ｂ組の第４走者の速さを調べると、Ｂ組の第４走者が不調のときでも、第３走者から第４走者に【時間差１】でタスキを渡せば、Ｂ組は逃げ切ってＡ組に勝て、Ｂ組の第４走者が好調なときは、第３走者から第４走者に【時間差２】でタスキを渡せば、Ｂ組は逆転でＡ組に勝てる。
Ｂ組の第３走者が、【時間差１】から【時間差２】までの時間差で第４走者にタスキを渡すためのＢ組の第２走者の速さａの値の範囲を、不等号を使って〔　　〕≦ａ≦〔　　〕で表せ。

【時間差１】
Ａ組が第３走者から第４走者にタスキを渡すより12秒早く
Ｂ組が第３走者から第４走者にタスキを渡す。

【時間差２】
Ａ組が第３走者から第４走者にタスキを渡すより18秒遅く
Ｂ組が第３走者から第４走者にタスキを渡す。

＠解説＠
（１）①
残りの４チームが空いている場所に入る。
４つの順列で、₄Ｐ₄＝24通り

②
求めたいものを文字に置き換え、方程式を立てる。
短時間で条件を整理して解答するのは厳しいか。

種目１の試合時間をｘ分、種目２の試合時間をｙ分とする。
〔１〕より、ｘ：ｙ＝２：３
外項と内項の積で、３ｘ＝２ｙ
ｙ＝３/２ｘ　…①

もう１つは、〔３〕種目１の決勝終了時間＝種目２の５試合目終了時間。
インターバルの数は【試合数－１】で、種目１の試合数は７試合。
種目１の決勝終了時間は、７ｘ＋５×（７－１）＝７ｘ＋30分後
種目２の５試合目終了時間は、５ｙ＋５×（５－１）＝５ｙ＋20分後
７ｘ＋30＝５ｙ＋20
７ｘ＋10＝５ｙ　←２倍してみる
14ｘ＋20＝10ｙ　…②

①を②に代入すると、
14ｘ＋20＝10×（３/２ｘ）
14ｘ＋20＝15ｘ
ｘ＝20
種目１の試合時間は20分。

（２）
最後の最後で条件文が長くて複雑(´°ω°`;)

走者ごとで周回数が違うので気をつけましょう(*’ω’*)💢

これを異なる速さでひたすら割って時間を出す…。
第１走者：Ａ…2000÷250＝８分、Ｂ…2000÷240＝25/３分＝８分20秒
第２走者：Ａ…1200÷240＝５分
第３走者：Ａ…1800÷250＝36/５分＝７分12秒、Ｂ…1800÷240＝15/２分＝７分30秒

Ａ組の合計タイムは、８：00＋５：00＋７:12＝20分12秒
ここで【時間差】を考慮する。
これより12秒早く18秒遅いから、Ｂ組の合計タイムは20分～20分30秒の範囲。
Ｂ組の第１走者と第３走者の合計は、８：20＋７：30＝15分50秒だから、
Ｂ組の第２走者は、20：00－15：50＝４分10秒（25/６分）より遅く、
４：10＋０：30＝４分40秒（14/３分）より早い。

速さａの範囲は、
1200÷14/３＝分速1800/７ｍ以上、1200÷25/６＝分速288ｍ以下。
1800/７≦ａ≦288

＠＠＠＠
問題の長文化&処理の複雑化は共通テストを意識しているのだと思うけど、
内容は専ら算数で解けるもので何より面倒臭さが際立ち、いまいち出題意図が不明…(´～`)
何かご意見がある方は、下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせください。
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上の図１に示した立体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨは、１辺の長さが８ｃｍの立方体である。
辺ＥＦおよび線分ＥＦをＦの方向に延ばした直線上にある点をＰとする。

（１）
 
上の図２は、図１において、点Ｐと頂点Ｂ、頂点Ｂと頂点Ｇ、
頂点Ｇと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を表している。

①点Ｐが辺ＥＦ上にあり、立体Ｐ―ＢＦＧの体積が立体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨの体積の１/10倍になるとき、ＥＰの長さは何ｃｍか。

②

上の図３は、図２において、ＥＰ＝４ｃｍのとき、線分ＢＧ上にあり、頂点Ｂ、頂点Ｇのいずれにも一致しない点をＱとし、点Ｐと点Ｑ、頂点Ｃと点Ｑをそれぞれ結んだ場合を表している。
ＰＱ＋ＱＣの長さが最も短くなるとき、△ＰＱＧと△ＢＱＣの面積の和は何ｃｍ²か。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、図や途中の式などもかけ。

（２）

上の図４は、図１において、ＥＰ＝24ｃｍのとき、辺ＣＤ、辺ＡＥ、辺ＦＧの中点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎとし、辺ＣＧ上にあり、頂点Ｃ、頂点Ｇのいずれにも一致しない点をＩとし、点Ｍと点Ｎ、点Ｎと点Ｐ、点Ｐと点Ｍ、点Ｌと点Ｍ、点Ｌと点Ｎ、点Ｌと点Ｐ、点Ｉと点Ｍ、点Ｉと点Ｌ，点Ｉと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を表している。
立体Ｎ―ＬＭＰと立体Ｉ―ＬＭＰの体積が等しいとき、ＩＧの長さは何ｃｍか。

＠解説＠
（１）①

立方体の体積を１とすると、三角柱ＡＢＣ―ＥＦＧは１/２。
三角錐Ｂ―ＥＦＧは、１/２×１/３＝１/６
三角錘Ｂ―ＰＦＧは１/10で、これは三角錘Ｂ―ＥＦＧの１/10÷１/６＝３/５倍。

２つの三角錘は高さＢＦと奥行きＦＧが共通なので、
体積比は横の長さであるＥＦ：ＰＦに相当する。
つまり、ＥＦ＝⑤とするとＰＦ＝③で、ＥＰ＝②となる。
ＥＰ＝８×②/⑤＝16/５ｃｍ

②

最短距離だが、面ＢＣＧと面ＢＰＧが変に曲がっておる(;`ω´)
△ＢＣＧは正方形ＢＦＧＣの半分だから直角二等辺三角形。
△ＢＰＧはどうか。
ここで△ＢＰＦと△ＧＰＦに着目すると、
∠ＢＦＰ＝∠ＧＦＰ＝90°、ＢＦ＝ＧＦ＝８ｃｍ、共通辺ＰＦより、
２辺とあいだの角が等しいので△ＢＰＦ≡△ＧＰＦ。
ＢＰ＝ＧＰだから、△ＢＰＧは二等辺三角形である。
△ＢＰＦで三平方→ＢＰ＝ＧＰ＝４√５ｃｍ

四角形ＢＰＧＣは、２つの二等辺三角形を合わせた図形。
ＣＰを対称の軸とすると左右対称であり、ＢＧ⊥ＣＰ、ＢＱ＝ＧＱ
△ＣＱＧは辺の比が１：１：√２の直角三角形だから、ＣＱ＝ＧＱ＝４√２ｃｍ
△ＰＱＧで三平方→ＱＰ＝４√３ｃｍ

△ＰＱＧ＋△ＢＱＣは四角形ＢＰＧＣの半分である。
対角線が直交するので菱形の面積に倣って、
８√２×（４√２＋４√３）÷２÷２
＝16＋８√６ｃｍ²

（２）
これは難しいよ!< `∀´ >

三角錘Ｎ―ＬＭＰと三角錘Ｉ―ＬＭＰ。
底面は△ＬＭＰで共通。
２つの三角錘の体積が等しいから、等積変形でＩとＮは面ＬＭＰからの距離がそれぞれ等しい。
⇒ＩＮ//面ＬＭＰがいえる。まずはこれを見抜けるか。

求めたいのはＩＧ。
△ＩＮＧの各辺と平行な３直線からなる三角形は、△ＩＮＧと相似にあたる。
相似図形をどこにつくるべきか。斜辺ＩＮをポイントにすると‥

Ｌを通るＩＮに平行な線をひき、ＭＰとの交点をＲ、
ＩＧ//ＬＳ、ＮＧ//ＲＳとなるようなＳをつくる。

ＩＮ//面ＬＭＰだから、面ＬＭＰ上にあり、かつＩＮと平行であるＬＲはＭＰと交わる。
また、ＬはＤＣの中点と位置がはっきりしており、
ＲＳ＝８ｃｍから、△ＬＲＳと△ＩＮＧの相似比はＲＳ：ＮＧ＝８：４＝２：１が利用できる。
ＬＳの長ささえわかれば、それに対応するＩＧがわかる。

今度は手前で相似図形をつくる。
Ｒから垂線をひき、ＥＰとの交点をＴとする。
ＬがＤＣの中点⇒ＴはＥＦの中点。
△ＭＰＥ∽△ＲＰＴより、ＲＴ＝４×20/24＝10/３ｃｍ
ＬＳ＝８－10/３＝14/３ｃｍ
相似比は２：１だから、ＩＧ＝14/３÷２＝７/３ｃｍ
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上の図１で、△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形である。
点Ｄは、線分ＢＣをＣの方向に延ばした直線上にある点である。
頂点Ａ、頂点Ｂ、点Ｄを通る円を円Ｏとする。
点Ｅは、円Ｏの内部または円周上の点で、直線ＢＣについて頂点Ａと同じ側にあり、
２点Ｃ、Ｄからの距離が等しい点である。
点Ａと点Ｄ、点Ｃと点Ｅ、点Ｄと点Ｅをそれぞれ結ぶ。

（１）

上の図２は、図１において、点Ｅが円Ｏの内部にあり、
頂点Ｃが点Ｏに一致するとき、線分ＣＥをＥの方向に延ばした直線と円Ｏとの交点をＦとし、
頂点Ｂと点Ｆを結んだ場合を表している。
ＡＣ：ＣＥ＝√２：１のとき、∠ＡＢＦの大きさは何度か。

（２）

上の図３は、図１において、点Ｅが円Ｏの内部にあり、ＢＣ：ＣＤ＝２：１、
∠ＢＡＣ＝∠ＣＥＤとなるとき、線分ＡＤと線分ＣＥとの交点をＧ、
線分ＤＥをＥの方向に延ばした直線と円Ｏとの交点をＨとし、
頂点Ａと点Ｈを結んだ場合を表している。
四角形ＡＢＤＨと△ＧＣＤの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。

（３）

上の図４は、図１において、ＢＣ＝ＣＤ、∠ＢＡＣ＝∠ＣＥＤとなる場合を表している。
点Ｅは、円Ｏの周上にあることを証明せよ。

＠解説＠
（１）
角の情報が見当たらない。

ＡＢ＝ＡＣ、円の半径から△ＡＢＣは正三角形→∠ＡＢＣ＝60°
ＡＣ：ＣＥ＝√２：１
√２と１といえば、どこかに直角二等辺三角形があると予想する。
半径でＣＤ＝√２、△ＣＤＥの辺は１：１：√２で直角二等辺三角形→∠ＥＣＤ＝45°
△ＢＣＦは二等辺三角形。
外角定理を適用して、∠ＦＢＣ＝45÷２＝22.5°
∠ＡＢＦ＝60－22.5＝37.5°

（２）

△ＡＢＣと△ＥＣＤは二等辺三角形。
おのおのの頂角が等しいので、底角（●）も等しい。
２角が等しく、△ＡＢＣ∽△ＥＣＤ。
ＡＣ：ＥＤ＝②：①
また、∠ＡＣＢ＝∠ＥＤＣの同位角が等しいからＡＣ//ＨＤ。

・・なんとなく、ＡＨとＢＤも平行っぽい・・。
これをどうやって説明すべきか。

ここで円に注目する。
四角形ＡＢＤＨは円に内接しており、内接四角形の内角はその対角の外角に等しい。
∠ＡＢＤ（●）を上図のように移動させ、等しい錯角からＡＨ//ＢＤ。
２組の対辺が平行ゆえ、四角形ＡＣＤＨは平行四辺形である。

△ＡＣＧ∽△ＤＥＧより、ＡＧ：ＧＤ＝２：１
△ＧＣＤの面積を１とすると、△ＡＣＧ＝２
ＡＤは平行四辺形ＡＣＤＨの対角線で、△ＡＣＤ＝△ＤＨＡ＝３
ＢＣ：ＣＤ＝△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝２：１から、△ＡＢＣ＝６
したがって、四角形ＡＢＤＨ：△ＧＣＤ＝12：１

（３）

△ＡＢＣと△ＥＣＤは頂角が等しい二等辺三角形。
→おのおのの底角（●）が等しい。
ＢＣ＝ＣＤと合わせ、一辺と両端角が等しいので合同。

ＡＢ＝ＡＣ＝ＥＣ＝ＥＤ
ＡＥを結ぶ。
四角形ＡＢＤＥが円に内接すると指摘できれば、
点Ｅは円Ｏの周上にあるといえる。

∠ＡＢＣ＝∠ＥＣＤより、同位角が等しいのでＡＢ//ＥＣ。
錯角で∠ＢＡＣ＝∠ＥＣＡ（▲）
２辺とあいだの角が等しいから、△ＡＢＣ≡△ＣＡＥ（≡△ＥＣＤ）。

対応する角で、∠ＣＥＡ＝●
△ＡＢＣの内角から、●＋●＋▲＝180°
∠ＡＢＤ＋∠ＤＥＡ＝●＋（●＋▲）＝180°
対角の和が180°だから四角形ＡＢＤＥは円Ｏに内接するので、
点Ｅは円Ｏの周上にある。

＠別解＠

公式解答では、△ＡＢＣ≡△ＥＣＤを指摘したあとでＢＥを結び、
２辺とあいだの角から△ＡＢＤ≡△ＥＤＢ
対応する角で∠ＢＡＤ＝∠ＤＥＢ
ＡとＥは直線ＢＤについて同じ側にあることから、
円周角定理の逆を使ってＥが同一円周上にあると証明しています。
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問１
を計算せよ。

問２
２次方程式を解け。

問３

上の図１のように、０、２、４、６、７、８の数が１つずつ書かれた６個のボールが入っている袋Ａと、１、２、３、５、７、９の数が１つずつ書かれた６個のボールが入っている袋Ｂがある。２つの袋Ａ、Ｂから同時にそれぞれ１個のボールを取り出す。袋Ａから取り出されたボールに書かれた数をａ、袋Ｂから取り出されたボールに書かれた数をｂとするとき、が有理数となる確率を求めよ。ただし、２つの袋Ａ、Ｂそれぞれについて、どのボールが取り出されることも同様に確からしいものとする。

問４
ａを整数とする。
次のａを含む８個の整数の中央値をＭとする。
　ａ、25、26、27、30、31、32、35
このとき、Ｍの取り得る値は何通りあるか。

問５

上の図２は、線分ＡＢ上の点をＰとし、線分ＡＢを直径とする半円を、折り返した弧と線分ＡＢが点Ｐで接するように１回だけ折り、できた折り目を線分ＱＲとしたものである。
解答欄に示した図をもとにして、線分ＱＲを定規とコンパスを用いて作図せよ。ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。

＠解説＠
問１

初iPadで書いてみたのですが慣れない|-`)…
３√３で通分。分数をつなげるときは符号に注意！
－２√６/９

問２

最初は小数で統一しました。
解の公式はｂ＝２ｂ’を使って、ｘ＝（１±√19）/２

問３
ボールの取り出し方は６×６＝36通り
が有理数となる組み合わせを探していくが、骨の折れる作業(;`ω´)
地道にあてはめていくのが確実だが、36個もパターンがあるので時間との闘いになる。

有理数→根号を外す。
●ａ＝０
ａが０だと、√ｂ/√ｂ＝１で有理数。
袋Ｂは何でもよいので６通り。
●ａとｂが同数
同数の場合、√ｂ/２√ｂ＝１/２で有理数。
（ａ、ｂ）＝（２、２）（７、７）
●０以外の平方数
平方数であれば根号が外れて有理数になる。
ａ＝４しかない。ｂ＝１、９
●〇√〇に変換して根号の中が同数
もう１つが曲者。
√８＝２√２と変換すれば、根号の中が全て２となり、
同数のパターンと同様に有理数になる。
*√２/（２√２＋√２）＝１/３
（ａ、ｂ）＝（８、２）
以上、11通り。
確率は11/36。

問４

８個の中央値Ｍは４番目と５番目の平均値。
ａが４番目になるのは27から。（25・26・27・27）
ａが５番目になるのは31まで。（25・26・27・30・31・31）
27～31の５通り。

問５
この作図はなかなかの難度だと思う。

折り返しなのでＱＲを対称の軸とすると、Ｐに対応するＰ’は弧ＡＢ上のどこかにある。
ＰＰ’の垂直二等分線がＱＲなので、Ｐ’を作ろうとしたいが・・

解答用紙の図ではＰ’の位置が特定できない！<# `Д´>
ＱＲのためにＰ’を探りたいが、Ｐ’を特定にするにはＱＲが必要という板バサミ。

そこで別の方向から攻めてみる。
半円を円にしてみよう。
Ｐ以外で折り返せるものといえば円。
ＱＲを対称の軸として左上に円を作成する。
赤い円（弧ＱＲ）⇒弦ＱＲの順に描いていく。

青い円の中心ＯはＡＢの垂直二等分線で決まる。
赤い円の中心Ｏ’はどうするか？
『折り返した弧と線分ＡＢが点Ｐで接する』
円Ｏ’は接線ＡＢと接点Ｐで接している。
半径と接線の関係は垂直だからＯ’Ｐ⊥ＡＢ。

①ＡＢの垂直二等分線。中心Ｏがでる。
②Ｐを通る垂線。垂線上にＯ’がある。
③２つの円の半径は同じ。半径ＡＯの長さをとってＰから長さを移す。中心Ｏ’がでる。
④弧ＡＢと２点が交わるように、Ｏ’からグルっと弧を描く。
⑤２つの交点ＱＲを結ぶ。
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下の図１に示した立体Ａ—ＢＣＤＥは、底面ＢＣＤＥがひし形で、ＡＣ＝ＡＥ＝ＢＣ＝８ｃｍ、ＡＢ＝ＡＤの四角すいである。四角形ＢＣＤＥの対角線ＢＤ、ＣＥを引き、交点をＯとし、頂点Ａと点Ｏを結んだとき、∠ＡＯＢ＝90°である。四角形ＢＣＤＥの面積をＳｃｍ²とする。

問１
下の図２は、図１において、頂点Ｅから辺ＡＣに垂線を引き、
辺ＡＣとの交点をＨとした場合を表している。
線分ＥＨの長さは何ｃｍか。Ｓを用いた式で表せ。

問２
下の図３は、図１において、辺ＡＢ上の点をＰとし、点Ｐと頂点Ｃ、
点Ｐと頂点Ｄ、点Ｐと頂点Ｅをそれぞれ結んだ場合を表している。
（１）ＡＰ：ＰＢ＝１：２、ＢＤ＝12ｃｍのとき、立体Ｐ―ＢＣＤＥの体積は何ｃｍ³か。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

（２）ＡＰ：ＰＢ＝１：１のとき、△ＣＥＰの面積は何ｃｍ²か。
Ｓを用いた式で表せ。

＠解説＠
問１
ここで間違えると差が開いてしまう。

底面ＢＣＤＥ＝Ｓｃｍ²と奇妙なところに文字がつけられている。
△ＡＣＥにおいて底辺をＡＣとすると高さはＥＨ。△ＡＣＥの面積が知りたい。

３辺の長さが等しく、△ＢＣＥ≡△ＡＣＥ。
△ＢＣＥは菱形ＢＣＤＥの半分で１/２Ｓ。

△ＡＣＥ＝８×ＥＨ÷２＝１/２Ｓ
ＥＨ＝１/２Ｓ×２÷８＝１/８Ｓ

問２（１）

菱形の対角線は各々を垂直に２等分する。
ＢＯ＝12÷２＝６ｃｍ
△ＢＣＯで三平方→ＣＯ＝２√７ｃｍ
ＥＣ＝２√７×２＝４√７ｃｍ
菱形ＢＣＤＥの面積は、12×４√７÷２＝24√７ｃｍ²

前問の合同から、ＡＯ＝ＢＯ＝６ｃｍ
四角錘Ｐ―ＢＣＤＥの高さは、６×②/③＝４ｃｍ
体積は、24√７×４÷３＝32√７ｃｍ³

（２）

斜めに傾いている△ＣＥＰの面積と底面の菱形ＢＣＤＥを結び付けたい。
△ＣＥＢ＝１/２Ｓ
△ＣＥＢと△ＣＥＰはＣＥで底辺共通なので、高さのＢＯ：ＰＯが面積比にあたる。

ＢＯとＰＯが同一平面にくる場所を探す⇒△ＡＢＯに着目する。
本問も問１がカギになる。
△ＣＥＢ≡△ＣＥＡよりＢＯ＝ＡＯゆえ、△ＡＢＯは直角二等辺三角形。
ＰはＡＢの中点だから、△ＰＢＯも直角二等辺。
ＢＯ：ＰＯ＝√２：１
したがって、△ＣＥＰの面積は、１/２Ｓ×１/√２＝√２/４Ｓｃｍ²
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