国私立高校入試」カテゴリーアーカイブ

2021年度 都立西高校過去問【数学】大問4解説

先生が数学の授業で次の【課題】を出した。この【課題】について考えている【太郎さんと花子さんの会話】を読んで、あとの各問いに答えよ。

【課題】
3以上の自然数Nを、2つの自然数x、yの和で、N=x+yと表す。ただし、x>yとする。
さらに、xとyの積xyを考える。
このとき、積xyが2つの自然数m、nの平方の差で、xy=m2-n2と表すことができるのは
Nがどのような場合か考えよ。

【太郎さんと花子さんの会話】
太郎:まずはNに具体的な数を当てはめて考えてみよう。N=8としたらどうかな。
花子:8は7+1か6+2か5+3だから、N=8のときxとyの積xyは3組あるね。
太郎:7×1=42-32、6×2=42-22、5×3=42-12だから、
 N=8とすると積xyは、必ず自然数の平方の差で表すことができるね。
 N=7とするとどうかな。
花子:(1)積xyは、必ずしも自然数の平方の差で表せるとは限らないね
太郎:Nとしてもっと大きな数でいくつか考えてみようか。
 N=2020やN=2021の場合はどうかな。
花子:大きな数だからすぐには分からないけど、積xyを自然数の平方の差で必ず表すためには
 Nに何か条件が必要だと思う。
太郎:そうか、分かった。
 (2)Nが偶数のときには、積xyは必ず自然数の平方の差で表すことができるよ
花子:N=x+yだから、2つの数x、yがともに偶数ならNは偶数だね。
太郎:そうだね。ちなみに、2つの数x、yについて【表】で示される関係があるよ。
 ア~オには偶数か奇数のどちらかが必ず入るよ。

花子:なるほどね。じゃあ、N=2021の場合は、
 積xyは自然数の平方の差で必ずしも表せるとは限らないということかな。
太郎:そうだね。たとえば、2021=x+yとして、x=2019、y=2のときは、
 積xyは自然数の平方の差で表せないけど、(3)x=1984、y=37のときは
 積xyは自然数の平方の差で表すことができるよ

問1
(1)積xyは、必ずしも自然数の平方の差で表せるとは限らないね。とあるが、
N=7の場合、自然数の平方の差で表すことができる(x、y)の組は1組である。
このときxとyの積xyを求めよ。

問2
(2)Nが偶数のときには、積xyは必ず自然数の平方の差で表すことができるよ
が正しい理由を文字N、x、y、m、nを用いて説明せよ。
ただし、【表】のア~オに偶数か奇数を当てはめた結果については証明せずに用いてよい。

問3
(3)x=1984、y=37のときは、積xyは自然数の平方の差で表すことができるよ。とあるが、
1984×37=m2-n2を満たす自然数(m、n)の組は何組あるか。


@解説@
問1
実際に試してみる。
7=6+1=5+2=4+3
6×1=6、5×2=10、4×3=12

平方数を並べる。
【1、4、9、16、25、36…】
16-4=12なので、積xyは12。

問2
N=x+y(x>y)
xy=m2-n2(m+n)(m-n)

条件整理。
x、y、m、nは自然数。xy>0、m+n>0
xy=(m+n)(m-n)
だから、m-nも正の数(m-n>0)。
m+n>m-n、x>yなので、xが(m+n)、yが(m-n)に相当する

x=m+n…①、y=m-n…②の連立方程式を解く。
①+②
 x=m+n
+)y=m-n
x+y=2m
m=(x+y
)/2

①-②→n=(x-y)/2

mとnは自然数だから、分子の(x+y)と(x-y)は偶数でなくてはならない。
x+yとx-yがともに偶数となるには、xとyがどちらも偶数か奇数でなくてはならない
偶数+偶数=偶数、奇数+奇数=偶数なので、N=x+yにおいてNは偶数となる。

問3
1984を素因数分解すると、1984=26×31
【xy=1984×37=26×31×37=(m+n)(m-n)】
前問よりxとyはいずれも偶数か奇数でなければならない。
xyは素因数2を含むので偶数
偶×偶=偶、奇×奇=奇だから、xとyはともに偶数で
(偶数)×(偶数)の形しかない

また、m=(x+y)/2、n=(x-y)/2から、
xとyの値がわかれば、自動的にm、nの値も判明する。

x、yがともに偶数となるように素因数2を分配する
5×31、2×37
4×31、22×37
3×31、23×37

2×31、24×37
2×31、25×37
5、2×31×37
4、22×31×37
3、23×31×37
2、24×31×37
2、25×31×37
以上、10組。
*【25×31、2×37】であれば、x>yからx=25×31=992、y=2×37=74
m+n=992、m-n=74の連立をとくと、m=533、n=459となる。
本問はm、nの組み合わせの個数を求めるので、mとnの値はいちいち出さなくていい。
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2021年度 都立日比谷高校過去問【数学】大問4解説

下の図1において、立体ABCD-EFGHはAE=10cmの直方体である。
辺FGをGの方向に延ばした直線上にある点をI、辺EHをHの方向に延ばした直線上にある点をJとし、点Iと点Jを結んだ線分IJは辺GHに平行である。次の各問いに答えよ。

問1
下の図2は、図1において、頂点Aと点Jを結んだ線分AJと辺DHとの交点をK、辺CG上にある点をLとし、頂点Aと点L、点Jと点L、頂点Eと点Iをそれぞれ結んだ場合を表している。
AB=10cm、EI=16cm、CL=DKのとき、△AJLの面積は何cm2か。

問2
下の図3は、図1において、辺FBをBの方向に延ばした直線上にある点をMとし、
点Jと点Mを結んだ直線JMが辺CDと交わる場合を表している。
AB=10cm、EH=5cm、GI=15cmのとき、線分FMの長さは何cmか。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程がわかるように、途中の式や計算なども書け。


下の図4は、図1において、辺IJ上にある点をPとし、頂点Aと頂点C、頂点Aと点P、頂点Cと点P、頂点Eと頂点G、頂点Eと点P、頂点Gと点Pをそれぞれ結んだ場合を表している。
∠EGF=∠GPI=60°、BC=IP=5cmのとき、立体P-ACGEの体積は何cm3か。


@解説@
問1

CL=DKより、LとKは同じ高さにある。
CD//LK、LK=10cm
面AEHD⊥面CGHD
AKは面AEHD上、LKは面CGHD上の線分だからAK⊥LK

△AJLの高さはLK=10cmなので、底辺AJの長さが知りたい。

△AEJと△IJEに着目。
∠AEJ=∠IJE=90°、AE=IJ=10cm、共通辺EJ。
2辺と間の角が等しく、△AEJ≡△IJE
AJ=IE=16cm
したがって、△AJLの面積は、16×10÷2=80cm2

問2

MJはCDが交わるので、この交点をNとする
FJとGHの交点をOとおいて、図形全体を上から眺めると
MJとFJは重なり、面CGHD⊥面EFIJだからNの真下にOがある

ここで、△OFG∽△JFIより、FO:OJ=FG:GI=①:③
四角形BFONは2組の対辺が平行な平行四辺形(正確には長方形)で、BN=FO=①
△MBN∽△MFJより、MB:MF=BN:FJ=1:4
MF=10×4/3=40/3cm

@@
大雑把な流れだけ書きましたが、本問は説明問題なので、
直線や平面の位置関係を丁寧に記述すると骨が折れます(;´Д`)
以下、公式解答を引用。

直方体の2つの側面が平行で、それを横切る平面との交線は平行になる。

問3

△EFGの内角は30°-60°-90°で辺の比は1:2:√3。
EG=5×2=10cm

底面AEGCの面積は10×10=100cm3
立体P-AEGCの高さが知りたい。

△GIPも1:2:√3の直角三角形で∠PGI=30°
PG=5×2=10cm
∠EGI=180-(60+30)=90°
立体P-AEGCの高さはPGである。

したがって、体積は100×10÷3=1000/3cm3
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2020年度 渋谷教育学園幕張高校過去問【数学】大問4解説

下の図のように1辺の長さが1の正十二角形があり、
6つの頂点をA、B、C、D、E、Fとする。

正十二角形の内部に正三角形ADG、BEH、CFIをかき、IとGを結ぶ。
BHとIGの交点をJ、BHとFIの交点をK、EHとAGの交点をL、
EHとIGの交点をM、AGとFIの交点をNとする。

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
BEの長さを求めなさい。

(2)
LGの長さを求めない。

(3)
五角形JKNLMの面積を求めなさい。


@解説@
(1)
ここはおさえておきたい。

正十二角形の外角は、360÷12=30°
BE//CDの錯角と直角で、赤い三角形の内角が30°-60°-90°
→辺の比は1:2:√3
右側も左右対称で同様。BE=1×√3/2×2+1=√3+1

(2)
わちゃわちゃした図形で迷子になる:(っ`ω´c):

AD・BE・
CFに注目しよう!
正十二角形の周上で考えると、いずれも頂点2つ飛ばしで長さが等しい。
→AD=BE=CF(3つの正三角形は辺の長さが√3+1で等しい)

また、前問のような1:2:√3の直角三角形が他にもたくさん出てくる。

LGを1辺とする三角形に見当をつけよう。
HEとGDの交点をOとする△OGLからLGの長さを求めたい。

正十二角形の1つの内角は150°。∠GDE=150-90=60°
正三角形の内角から∠DGA=60°
錯角が等しく、AG//DE△ODE∽△OGL

∠OED=30+60=90°
△ODEも△OGLも辺の比が1:2:√3の直角三角形
OD=1×2=2
GO=GD-OD=(√3+1)-2=√3-1
LG=(√3-1)×1/2=(√3-1)/2

(3)
細々とした場所を粘りながら認定していく。
前問のLGを使う。

△MGLも1:2:√3の直角三角形
ML=(√3-1)/2×1/√3=(3-√3)/6


対称性から△MGL≡△JIK
△ING-(△MGL+△JIK)=五角形JKNLM
△INGの内角は30°-30°-120°の二等辺三角形で、
縦半分に割ると1:2:√3の直角三角形。
IG=1より、高さは1/2×1/√3=√3/6

1×√3/6÷2-(√3-1)/2×(3-√3)/6÷2×2
=√3/12-(3√3-3-3+√3)/12
=(6-3√3)/12
(2-√3)/4

1:2:√3を使う典型問題ですが…精神力と時間との戦いです(-_-;)
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2020年度 日本大学第三高校過去問【数学】大問6解説


上の図のように、正三角形の中に正方形Aと正方形Bが接している。
正方形Bの1辺の長さが√3cmのとき、次の問いに答えなさい。

(1)
正方形Aの1辺の長さを求めなさい。

(2)
正三角形の1辺の長さを求めなさい。

(3)
正三角形から正方形Aと正方形Bを抜いた部分の面積を求めなさい。


@解説@
(1)

正方形の対辺は平行。
赤い三角形の底辺は正三角形の底辺と平行→正三角形

Bの隣の三角形は内角が30°-60°-90°の直角三角形。
辺の比が1:2:√3で、√3の両隣は1cm。
正方形Aの1辺は、1+√3+1=2+√3cm

(2)

同様に、緑の三角形も正三角形で1辺は√3。
青い三角形も1:2:√3の直角三角形。
その斜辺は、(2+√3)×2/√3=2+4√3/3

大きい正三角形の1辺は、√3+2+(2+4√3/3)
=4+7√3/3cm

(3)
方針は立てやすい。
大きい正三角形から2つの正方形をひけばいい。
・・・計算が面倒くさいが(;´Д`)

少し趣向を変えます。
左右の直角三角形を合わせると正三角形になる。
真ん中の正三角形の面積は、2×√3÷2=√3

面積比は斜辺の2乗から算出。

 【12】が√3なので、、

49√3/12+4cm2
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2020年度 早稲田実業高等部過去問【数学】大問4解説

下の図のように、放物線y=3x2と直線y=mx(m<0)、
直線y=nx(n>0)との交点のうち、原点Oと異なる点をそれぞれP、Qとする。

このとき、次の各問いに答えよ。

(1)
直線PQの傾きm、nを用いて表せ。

(2)
点Pのx座標が-2、直線PQの傾き-1のとき、nの値を求めよ。

(3)
整数m、nを変化させたとき、傾きが10、切片が40以下の整数となるような
直線PQは何本かくことができるか。


@解説@
(1)
Pはy=3x2とy=mxの交点。
3x2=mx
x=m/3
これをy=3x2に代入→y=3×(m/3)2=m2/3
P(m/3、m2/3)

同様にQの座標を求めると、Q(n/3、n2/3)←文字が変わるだけ。
傾きは(yの増加量)/(xの増加量)

PQの傾きは、m+n。

(2)
Pのx座標は-2。
m/3=-2
m=-6

PQの傾きは-1。
→前問より、m+n=-1
-6+n=-1
n=5

(3)
初手がつかみにくい(;`ω´)
mとnを変化させたとき、条件をクリアするmとnの組み合わせを模索する。
ポイントは切片が40以下の整数』。

切片をm、nで表す。
PQの傾きはm+nなので、これをPQの式にあてはめると、
y=(m+n)x+b
これにP(m/3、m2/3)を代入。
2/3=m/3(m+n)+b
b=m2/3-m2/3-mn/3
b=-mn/3≦40
mn≧-120

一方で、PQの傾きは10なので、m+n=10でもある。

条件をまとめると…
mとnは整数、m<0、n>0、m+n=10
mn≧-120、切片の-mn/3は整数

mとnの組み合わせを絞っていく。
m=-1から当てはめ。
(m、n)=(-1、11)(-2、12)(-3、13)(-4、14)
(-5、15)(-6、16
)(-7、17)…
(-7、17)→-7×17=-119でギリギリmn≧-120だから、(-8、18)以降はなし!

さらに、切片-mn/3の値は整数でなければならないので、mかnのいずれかに3の倍数が必要
(m、n)=(-2、12)(-3、13)(-5、15)(-6、16)
したがって、4本。

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2020年度 渋谷教育学園幕張高校過去問【数学】大問5解説

1辺の長さがaである5つの立方体をすきまなく重ねて下の図のような立体を作る。立方体ABCD-EFGHは、線分EGが線分IK上にあり、線分EGの中点と線分IKの中点が一致する位置にある。この立体を3点D、M、Oを通る平面で切り、2つに分ける。
このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
切り口の面積を求めなさい。

(2)
2つに分けた立体のうち、体積の大きい方の立体の体積を求めなさい。


@解説@
(1)
まずは断面図の作成。

うえの立方体が奥ではなく、半歩手前にズレているのが厄介(;`ω´)
ポイントはMO//QR。断面図は平行関係を意識しよう。
もう1つはDとQRの中点、MOの中点は1直線上に並び、距離が1:1であること。

分割すると合同な二等辺三角形が8つできる。
二等辺の底辺は、1辺が1/2aである正方形の対角線で√2/2a。
高さは二等辺の底辺の半分である√2/4aと立方体の1辺aで三平方→3√2/4a。
(上図の緑の直角三角形
したがって、√2/2a×3√2/4a÷2×8=3a2

(2)

MOから出発すると切り口は後ろに向かっていくから、体積が大きいのはNを含む手前の立体。
うしろの立体が錘の計算をしやすいので、後ろを求めて全体から引く。
赤い三角錘の体積は、1/2a×1/2a÷2×a÷3=1/24a3


赤い三角錐の底辺の1辺を①とすると、PO=④、LR=③。
体積比は辺の比の3乗
赤い三角錐の体積を【1】とすると、三角錘S-PMOは④3=【64】。
三角錘S-LQRは③3=【27】。角錐台LQR-PMDは【64】-【27】=【37】。
小さいほうの立体の体積は、赤い三角錘+角錐台=1/24a3+1/24a3×37=38/24a3=19/12a3

5つの立方体の体積は5a3
大きいほうの立体の体積は、5a3-19/12a3=41/12a3

2020年度・高校生クイズ優勝おめでとうございます★.:゚+。☆(*’ω’*)☆.:゚+。★
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2020年度 土浦日本大学高校過去問【数学】大問4解説


図において、①はy=ax2のグラフである。
2点A(4、8)、B(2、b)は①上の点で、点C(0、c
)はy軸上の点である。
また、∠ACBの二等分線と①の交点のうち、x座標が正である点をDとする。
このとき、次の(  )をうめなさい。

(1)
a=(ア)/(イ)、b=(ウ)である。

(2)
c=11/2のとき、△ACBの面積は(エオ)/(カ)である。

(3)
AC+CBが最小になるとき、c=(キ)であり、CD=(ク)√(ケ)である。


@解説@
(1)
y=ax2にA(4、8)を代入。
8=16a
a=1/2

y=1/2x2にx=2を代入。
b=1/2×22=2
ア…1、イ…2、ウ…2

(2)

ABの式を求める。
B(2、2)→A(4、8)
右に2、上に6移動するので、傾きは6/2=3
B(2、2)から左に2、下に6移動して切片は-4。
AB;y=3x-4

ABとy軸の交点をEとする。
CE=11/2+4=19/2

AとBのx座標からBはAEの中点である
AB、BEを底辺とすると、△ACBと△BCEの高さは等しい。
△ACBと△BCEの面積は等しく、△ACBは△ACEの面積の半分
19/2×4÷2÷2=19/2
エ…1、オ…9、カ…2

(3)

AC+CBが最小→線対称。
y軸についてBを対称移動させた点をB’とする。
B’(-2、2)

B’Aに注目。
B’→Aの移動は右に6、上に6なので傾きは1。
切片はB’から右に2、上に2で4。
C(0、4)
c=4

B’Aの傾きは1で45度
線対称からCBの傾きも45度で、∠B’CB=90°
△BCB’は直角二等辺三角形で、∠CBB’=45°

∠BCA=90°、二等分線から∠DCB=45°
∠DCB=∠CBB’=45°で錯角が等しく、B’B//CD
Dのy座標はCと同じ4。これをy=1/2x2に代入。
4=1/2x2
8x2=0
x>0から、x=2√2
CDの長さはDのx座標と等しいので2√2。
キ…4、ク…2、ケ…2
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2020年度 慶應義塾女子高校過去問【数学】大問3解説

図のように点Tで直線TEに接する円がある。

4点A、B、C、Dは円周上の点で、∠ATDは弦BT、CTにより3等分されている。
線分ACとBTの交点をFとし、AF=2、∠TAB=75°、∠TCD=45°として、
次の問いに答えなさい。
(1)
∠DTE、∠ATDの大きさを求めなさい。

(2)
AT:CTを求めなさい。

(3)
FCの長さを求めなさい。

(4)
円の半径rの長さを求めなさい。


@解説@
(1)

↑使うべき情報だけを記入。
弧DTに対する円周角で∠DAT=45°
接弦定理より、∠DTE=45°

なんとなくATが円の直径に見えるが
(;^ω^)
同様に弦BTで接弦定理→∠BTE=75°
∠BTD(●●)=75-45=30°
∠ATD(●●●)=30×3/2=45°

(2)

AT:CTを求めたいので、それらを1辺とする△ACTに着目。
∠ATC(●●)=30°

前問で∠DTE=∠ATD=45°と求めたので、∠ATE=90°となり、
ATは接線TEに対して垂直→ATは円の直径
直径に対する円周角で、∠ACT=90°

△ACTの内角は30°-60°-90°で、辺の比が1:2:√3の直角三角形。
AT:CT=2:√3

(3)
長さを求めるので、AF=2をここで利用する。

ズバリ、角の二等分線の定理。
TA:TC=AF:FC=2:√3
FC=2×√3/2=√3

(4)
AC=2+√3
△ACTの辺の比でAC:AT=1:2から、
ACを2倍して直径AT、それを÷2して半径rがでる。
r=(2+√3)×2÷2=2+√3
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2020年度 早稲田実業高等部過去問【数学】大問3解説

(1)
x、yについての連立方程式
y=ax+2
y=bx-3
が解をもたないための条件を、定数a、bを用いて表せ。

(2)
A、B、C、D、Eを定数とする。
x、yについての4つの方程式
Ax+By=-12 …(ア)
Bx-Ay=16 …(イ)
6x-8y=C …(ウ)
Dx-6y=E …(エ)
は、以下の条件をすべて満たすとする。
条件Ⅰ:(ア
)と(ウ)を連立方程式として解いても、解はない。
条件Ⅱ:(ア)と(エ)を連立方程式として解くと、解はx=8、y=9である。
条件Ⅲ:(ウ)と(エ)を連立方程式として解いた解は、
(ア)と(イ)を連立方程式として解いた解より、xの値は6大きく、yの値は2大きい。
このとき、次の①、②に答えよ。
①A、Bの値をそれぞれ求めよ。
②C、Eの値をそれぞれ求めよ。


@解説@
(1)
2つの式が解を持たない場合とはどういうときか。

グラフに置き換えてみよう。
2つの式が解を持つとき、グラフ上では直線の交点が解となる
解がないということは交わらない。すなわち、2本のグラフは平行
→傾きであるaとbが等しい。
a=b

@留意点@

傾きが同じでも、切片が等しければ
2本の直線が重なってしまう
xにどんな値をいれても式が成立することになる。
解が無数にある方程式を不定といい、解なしの方程式を不能という。

(2)①
Ax+By=-12 …(ア)
6x-8y=C …(ウ)
これらを連立で解くと解がない。

ア)をyについて解くと、
y=-A/Bx-12/B
(ウ)をyについて解くと、
y=3/4x-C/8

解がない→傾きが等しいから、-A/B=3/4→A/B=-3/4
AとBは約分されて-3/4になるかもしれないので、比例定数k(k>0)を用いて、
(A、B)=(-3k、4k)もしくは(3k、-4k)

ここで条件Ⅱより、(ア)はx=8、y=9の解を持つときがある。
8A+9B=-12
これに(A、B)=(-3k、4k)を代入すると、
-24k+36k=12k=-12となり、kが負の数で不適。
よって、(A、B)=(3k、-4k)

8A+9B=24k-36k=-12k=-12
k=1
A=3k=3
B=-4k=-4
A=3、B=-4


(ア)(イ)に前問のA=3、B=-4を代入。
3x-4y=-12
-4x-3y=16
これを解くと、x=-4、y=0

条件Ⅲより、(ウ)(エ)で解いた解は、
x=-4+6=2、y=0+2=2

(ウ)に放り込む。
C=6×2-8×2=-4

今度は、(エ)に放り込む。
2D-12=E…①
条件Ⅱより、(エ)にx=8、y=9を放り込む。
8D-54=E…②

①、②から、2D-12=8D-54
D=7
最後に①に代入。
E=2×7-12=2
C=-4、E=2
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2020年度 慶應義塾高校過去問【数学】大問7解説

座標平面上を3つの動点P、Q、Rが原点Oを同時に出発し、
以下のような経路で毎秒1の速さで動く。ただし、点と点の間は最短経路を進むものとする。

動点P:原点O→点(0、4)→点(2、4)→点(2、6)→点(0、6)
動点Q:原点O→点(-2、0)→点(-2、2)→点(0、2)→点(0、4)→点(2、4)
動点R:原点O→点(6、0)→点(2、0)
原点を出発してからt秒後の△PQRの面積をyとするとき、次の問いに答えよ。
(1)
0<t≦2のとき、yをtの式で表せ。

(2)
0<t≦8のとき、yとtの関係を表すグラフを下の図にかけ。

(3)
8≦t≦10のとき、t=aで3つの動点P、Q、Rが一直線上に並ぶ。
aの値を求めよ。


@解説@
(1)

↑2秒後まではこのように広がっていく。
底面と高さがともに増えていくので、△PQRの面積はy=ax2の形で増加する。
y=2t×t÷2=t2

(2)
2秒ごとに向きが変わるので地道に調べていくしかない(´・ω・`)

↑移動先をP’、Q’、R’とすると4秒後はこうなる。
PQとP’Q’は平行で長さが等しい
底辺をP’Q’とすると高さはR’方面となり、
底辺の長さは変わらず、Rが右に離れることで高さだけが長くなる。
ここから△PQRの面積は比例で増えていくと考えられる。

P’Q’とP’R’の傾きは45度である点に注目すると、2つの直角二等辺三角形が見つかる。
P’Q’=2√2、P’R’=4√2、∠R’P’Q’=90°
y=2√2×4√2÷2=8

△PQRが平行移動して△P’Q’R’となる。面積は一定。
y=8

↑8秒後の様子。
PQ//P’Q’、PQ=P’Q’
底辺をPQとすると、高さはR方向でR→R’の移動から高さの成分が減る。
PQ→P’Q’で底辺がR’から離れるので、高さの成分が増える。
高さの減少と増加が同時に起こる。ここから面積は一定になるのではないかと推測する。

長方形をつくり、周りの3つの三角形を控除する。
y=4×6-2×2÷2-4×4÷2-2×6÷2=8

↑解答。途中の変化も問われるので難しい。
迷ったら時間はかかるが、3秒後、5秒後など奇数秒後を確かめるのもOK。

(3)

8~10秒後に3点がどう移動するか、正確に描写する。


PRに直線を引く。
PとRは同じ速さで同じ方向に移動するので、直線PRは平行移動する。
ということは、Qが直線PR上にくるときを考えればいい。

直線PRがQのゴール(2、4)と交わるまでの移動距離を計算する。
青い2つの直角三角形の相似から、2×2/6=2/3
直線PRが(2、4)と交わるとき、同じ速さで動くQも2/3移動している。
残りの距離は、2-2/3=4/3
ここからQと直線PRは1の速さで近づいていく。
出会う時間は、4/3÷2=2/3秒後
したがって、0秒後から計算すると、a=8+2/3+2/3=28/3

@別解@

10秒後の様子を考える。
y=4×2÷2=4

ここで前問のグラフの続きを記入する。
どこかで3点が一直線になると△PQRの面積は0となり、10秒後に4となる。
求めたいのは0となる時間…。

線対称の考えで4を下に移動。
2つの直角三角形の相似を利用。辺の比は、8:4=②:①
a=8+2×②/③=28/3
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