国私立高校入試」カテゴリーアーカイブ

2022年度 国立高等専門学校(高専)過去問【数学】大問4解説

図1は、2つの入力a、bと2つの出力x、yを備えた計算装置(ユニット)で、
入力a、bの値に対し、出力x、yの値はそれぞれa+b、abとなる。

図2のように、前のユニットの出力x、yが次のユニットのそれぞれ入力a、bとなるように
3つのユニットを連結して、計算プログラムAを作った。

また、図3のように、前のユニットの出力xが次のa、bとなるように
3つのユニットを連結して、計算プログラムBを作った。
なお、プログラムA、Bともに、ユニット1の入力a、bの値は、整数に限るものとする。

図4、図5は、プログラムA、Bのそれぞれについて、
ユニット1の入力がa=1、b=1の場合の各ユニットの状態を表したものである。

このとき、以下の空欄を埋めなさい。
(1)
プログラムAにおいて、ユニット1の入力がa=1、b=3のとき、
ユニット3の出力はx=〔  〕、y=〔  〕である。

(2)
プログラムAにおいて、ユニット1の出力xの値が1で、ユニット3の出力がx=-3、
y=2のとき、ユニット1の入力で、a<bであるものは、a=〔  〕、b=〔  〕である。

(3)
プログラムBにおいて、ユニット1の入力がa=1で、ユニット3の出力yの値が64のとき、
ユニット1の入力bの値は〔  〕または〔  〕である。

(4)
プログラムBにおいて、ユニット1の入力がa=1、b=2のとき、
ユニット2、3のどちらにおいても出力x、yについて、y=〔  〕/〔  〕x2が成り立つ。


@解説@
(1)

上が和、下が積。
ユニット3では、x=19、y=84

(2)

ユニット1の出力x=1としてマスを埋めていく。
a+b=1 …①
2ab+1=-3
ab=-2 …②

①と②で連立。
あてはめてしまった方が早いが…ちゃんと計算すると、
①より、a=1-b
これを②に代入して、
b(1-b)=-2
2-b-2
=(b-2)(b+1)=0
b=-1、2
①の式に照らして、
b=-1のとき、a=2
b=2のとき、a=-1
a<bから、a=-1、
b=2

@@
aとbは整数だから、ab=1×(-2)=(-1)×2=-2
a<bからa=-1、b=2

(3)

64からさかのぼる。
yは積。ユニット3では□×□=64だから、□=8
xは和。ユニット2では□+□=8だから、□=4
ユニット1では、1+b=4
b=3

もう1つは、bは『整数』なので、-8×(-8)=64もありえる
1+b=-4
b=-5
したがって、b=
3、-5

(4)

マスを埋めていく。
y=ax2に(x、y)=(6、9)を放り込むと、
9=36a
a=1/4

@余談@

図形で描くとこうなります。
xを正方形1辺の長さとすると、x2は正方形の面積で、
正方形4つ分がyの値だから、y=1/4x2になる。
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2022年度 都立西高校過去問【数学】大問4解説

A組、B組、C組、D組、E組、F組、G組、H組の8クラスが、
種目1、種目2、種目3の3種目でクラス対抗戦を行う。
全クラスが、3種目全てに参加し、3種目それぞれで優勝クラスを決める。
各生徒は、3種目のうちいずれか1種目に出場することができる。

(1)
種目1、種目2は、8クラスが抽選で下の図1の①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧のいずれかの箇所に入り、①と②、③と④、⑤と⑥、⑦と⑧の4試合を1回戦、1回戦で勝った4クラスが行う2試合を準決勝、準決勝で勝った2クラスが行う1試合を決勝とし、決勝で勝ったクラスが優勝となる勝ち残り式トーナメントで試合を行い、優勝を決める。


①下の図2は、図1において、A組が①、B組が④、C組が⑤、D組が⑧の箇所に入った場合を表している。図2において、1回戦の試合の組み合わせは全部で何通りあるか。

②種目1、種目2の試合は、それぞれ1会場で1試合ずつ行い、最初の試合は同時に始めるものとする。種目1、種目2の試合が、次の【条件】を満たすとき、種目1の1試合の試合時間は何分か。ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

【条件】
〔1〕(種目1の1試合の試合時間):(種目2の1試合の試合時間)=2:3である。
〔2〕種目1、種目2とも、試合と試合の間を5分あけ、最初の試合が始まってから
 決勝までの全ての試合を続けて行う。
〔3〕種目2の5試合目が終了するとき、同時に種目1の決勝が終了する。

 

(2)
種目3では、各クラス4人が1周200mのトラックを、走る順番ごとに決められた周回数を走り、次の人にタスキを渡す駅伝を行い、優勝を決める。

上の表1は、第1走者、第2走者、第3走者が走る周回数を表している。

B組が、種目3に出場する各クラスの選手の速さや走る順番を分析したところ、
A組が優勝候補であった。

上の表2は、B組がA組に勝つ方法を考えるために、A組、B組の第1走者、第2走者、第3走者の速さをまとめたもので、aには、B組の第2走者の速さがあてはまる。

A組、B組の第4走者の速さを調べると、B組の第4走者が不調のときでも、第3走者から第4走者に【時間差1】でタスキを渡せば、B組は逃げ切ってA組に勝て、B組の第4走者が好調なときは、第3走者から第4走者に【時間差2】でタスキを渡せば、B組は逆転でA組に勝てる。
B組の第3走者が、【時間差1】から【時間差2】までの時間差で第4走者にタスキを渡すためのB組の第2走者の速さaの値の範囲を、不等号を使って〔  〕≦a≦〔  〕で表せ。

時間差1】
A組が第3走者から第4走者にタスキを渡すより12秒早く
B組が第3走者から第4走者にタスキを渡す。

時間差2
A組が第3走者から第4走者にタスキを渡すより18秒遅く
B組が第3走者から第4走者にタスキを渡す。


@解説@
(1)①
残りの4チームが空いている場所に入る。
4つの順列で、44=24通り


求めたいものを文字に置き換え、方程式を立てる。
短時間で条件を整理して解答するのは厳しいか。

種目1の試合時間をx分、種目2の試合時間をy分とする
〔1〕より、x:y=2:3
外項と内項の積で、3x=2y
y=3/2x …①

もう1つは、〔3〕種目1の決勝終了時間=種目2の5試合目終了時間
インターバルの数は【試合数-1】で、種目1の試合数は7試合。
種目1の決勝終了時間は、7x+5×(7-1)=7x+30分後
種目2の5試合目終了時間は、5y+5×(5-1)=5y+20分後
7x+30=5y+20
7x+10=5y ←2倍してみる
14x+20=10y …②

①を②に代入すると、
14x+20=10×(3/2x)
14x+20=15x
x=20
種目1の試合時間は20分。

(2)
最後の最後で条件文が長くて複雑(´°ω°`;)


走者ごとで周回数が違うので気をつけましょう
(*’ω’*)💢

これを異なる速さでひたすら割って時間を出す…。
第1走者:A…2000÷250=8分、B…2000÷240=25/3分=8分20秒
第2走者:A…1200÷240=5分
第3走者:A…1800÷250=36/5分=7分12秒、B…1800÷240=15/2分=7分30秒

A組の合計タイムは、8:00+5:00+7:12=20分12秒
ここで【時間差】を考慮する。
これより12秒早く18秒遅いから、B組の合計タイムは20分~20分30秒の範囲
B組の第1走者と第3走者の合計は、8:20+7:30=15分50秒だから、
B組の第2走者は、20:00-15:50=4分10秒(25/6分)より遅く、
4:10+0:30=4分40秒(14/3分)より早い。

速さaの範囲は、
1200÷14/3=分速1800/7m以上、1200÷25/6=分速288m以下。
1800/7≦a≦288

@@@@
問題の長文化&処理の複雑化は共通テストを意識しているのだと思うけど、
内容は専ら算数で解けるもので何より面倒臭さが際立ち、いまいち出題意図が不明…(´~`)
何かご意見がある方は、下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせください。

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2022年度 都立国立高校過去問【数学】大問4解説


上の図1に示した立体ABCD―EFGHは、1辺の長さが8cmの立方体である。
辺EFおよび線分EFをFの方向に延ばした直線上にある点をPとする。

(1)
 
上の図2は、図1において、点Pと頂点B、頂点Bと頂点G、
頂点Gと点Pをそれぞれ結んだ場合を表している。

①点Pが辺EF上にあり、立体P―BFGの体積が立体ABCD―EFGHの体積の1/10倍になるとき、EPの長さは何cmか。



上の図3は、図2において、EP=4cmのとき、線分BG上にあり、頂点B、頂点Gのいずれにも一致しない点をQとし、点Pと点Q、頂点Cと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。
PQ+QCの長さが最も短くなるとき、△PQGと△BQCの面積の和は何cm2か。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、図や途中の式などもかけ。

(2)

上の図4は、図1において、EP=24cmのとき、辺CD、辺AE、辺FGの中点をそれぞれL、M、Nとし、辺CG上にあり、頂点C、頂点Gのいずれにも一致しない点をIとし、点Mと点N、点Nと点P、点Pと点M、点Lと点M、点Lと点N、点Lと点P、点Iと点M、点Iと点L,点Iと点Pをそれぞれ結んだ場合を表している。
立体N―LMPと立体I―LMPの体積が等しいとき、IGの長さは何cmか。


@解説@
(1)①

立方体の体積を1とすると、三角柱ABC―EFGは1/2。
三角錐B―EFGは、1/2×1/3=1/6
三角錘B―PFGは1/10で、これは三角錘B―EFGの1/10÷1/6=3/5倍

2つの三角錘は高さBFと奥行きFGが共通なので、
体積比は横の長さであるEF:PFに相当する。
つまり、EF=⑤とするとPF=③で、EP=②となる。
EP=8×②/⑤=16/5cm



最短距離だが、面BCGと面BPGが変に曲がっておる(;`ω´)
△BCGは正方形BFGCの半分だから直角二等辺三角形。
△BPGはどうか。
ここで△BPFと△GPFに着目すると、
∠BFP=∠GFP=90°、BF=GF=8cm、共通辺PFより、
2辺とあいだの角が等しいので△BPF≡△GPF
BP=GPだから、△BPGは二等辺三角形である。
△BPFで三平方→BP=GP=4√5cm

四角形BPGCは、2つの二等辺三角形を合わせた図形。
CPを対称の軸とすると左右対称であり、BG⊥CP、BQ=GQ
△CQGは辺の比が1:1:√2の直角三角形だから、CQ=GQ=4√2cm
△PQGで三平方→QP=4√3cm

△PQG+△BQCは四角形BPGCの半分である。
対角線が直交するので菱形の面積に倣って、
8√2×(4√2+4√3)÷2÷2
=16+8√6cm2

(2)
これは難しいよ!< `∀´ >

三角錘N―LMPと三角錘I―LMP。
底面は△LMPで共通。
2つの三角錘の体積が等しいから、等積変形でIとNは面LMPからの距離がそれぞれ等しい
IN//面LMPがいえる。まずはこれを見抜けるか。

求めたいのはIG。
△INGの各辺と平行な3直線からなる三角形は、△INGと相似にあたる
相似図形をどこにつくるべきか。斜辺INをポイントにすると‥

Lを通るINに平行な線をひき、MPとの交点をR
IG//LS、NG//RSとなるようなSをつくる

IN//面LMPだから、面LMP上にあり、かつINと平行であるLRはMPと交わる。
また、Lは
DCの中点と位置がはっきりしており、
RS=8cmから、△LRSと△INGの相似比はRS:NG=8:4=2:1が利用できる。

LSの長ささえわかれば、それに対応するIGがわかる。

今度は手前で相似図形をつくる。
Rから垂線をひき、EPとの交点をTとする。
LがDCの中点⇒TはEFの中点。
△MPE∽△RPTより、RT=4×20/24=10/3cm
LS=8-10/3=14/3cm
相似比は2:1だから、IG=14/3÷2=7/3cm
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2022年度 都立西高校過去問【数学】大問3解説


上の図1で、△ABCは、AB=ACの二等辺三角形である。
点Dは、線分BCをCの方向に延ばした直線上にある点である。
頂点A、頂点B、点Dを通る円を円Oとする。
点Eは、円Oの内部または円周上の点で、直線BCについて頂点Aと同じ側にあり、
2点C、Dからの距離が等しい点である。
点Aと点D、点Cと点E、点Dと点Eをそれぞれ結ぶ。

(1)

上の図2は、図1において、点Eが円Oの内部にあり、
頂点Cが点Oに一致するとき、線分CEをEの方向に延ばした直線と円Oとの交点をFとし、
頂点Bと点Fを結んだ場合を表している。
AC:CE=√2:1のとき、∠ABFの大きさは何度か。

(2)

上の図3は、図1において、点Eが円Oの内部にあり、BC:CD=2:1、
∠BAC=∠CEDとなるとき、線分ADと線分CEとの交点をG、
線分DEをEの方向に延ばした直線と円Oとの交点をHとし、
頂点Aと点Hを結んだ場合を表している。
四角形ABDHと△GCDの面積の比を最も簡単な整数の比で表せ。

(3)

上の図4は、図1において、BC=CD、∠BAC=∠CEDとなる場合を表している。
点Eは、円Oの周上にあることを証明せよ。


@解説@
(1)
角の情報が見当たらない。

AB=AC、円の半径から△ABCは正三角形→∠ABC=60°
AC:CE=√2:1
√2と1といえば、どこかに直角二等辺三角形があると予想する。
半径でCD=√2、△CDEの辺は
1:1:√2で直角二等辺三角形→∠ECD=45°
△BCFは二等辺三角形。
外角定理を適用して、∠FBC=45÷2=22.5°
∠ABF=60-22.5=37.5°

(2)

△ABCと△ECDは二等辺三角形。
おのおのの頂角が等しいので、底角()も等しい
2角が等しく、△ABC∽△ECD。
AC:ED=②:①
また、∠ACB=∠EDCの同位角が等しいからAC//HD

・・なんとなく、AHとBDも平行っぽい・・。
これをどうやって説明すべきか。

ここで円に注目する。
四角形ABDHは円に内接しており、内接四角形の内角はその対角の外角に等しい
∠ABD()を上図のように移動させ、等しい錯角からAH//BD
2組の対辺が平行ゆえ、四角形ACDHは平行四辺形である。

△ACG∽△DEGより、AG:GD=2:1

△GCDの面積をとすると、△ACG=
ADは平行四辺形ACDHの対角線で、△ACD=△DHA=
BC:CD=△ABC:△ACD=2:1から、△ABC=
したがって、四角形ABDH:△GCD=12:1

(3)

△ABCと△ECDは頂角が等しい二等辺三角形。
→おのおのの底角()が等しい。
BC=CDと合わせ、一辺と両端角が等しいので合同

AB=AC=EC=ED
AEを結ぶ。
四角形ABDEが円に内接すると指摘できれば、
点Eは円Oの周上にあるといえる。

∠ABC=∠ECDより、同位角が等しいのでAB//EC。
錯角で∠BAC=∠ECA(
2辺とあいだの角が等しいから、△ABC≡△CAE(≡△ECD)

対応する角で、∠CEA=
△ABCの内角から、=180°
∠ABD+∠DEA=+()=180°
対角の和が180°だから四角形ABDEは円Oに内接するので、
点Eは円Oの周上にある。

@別解@

公式解答では、△ABC≡△ECDを指摘したあとでBEを結び、
2辺とあいだの角から△ABD≡△EDB
対応する角で∠BAD=∠DEB
AとEは直線BDについて同じ側にあることから、
円周角定理の逆を使ってEが同一円周上にあると証明しています。

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2022年度 都立西高校過去問【数学】大問1解説

問1
を計算せよ。

問2
2次方程式
を解け。

問3

上の図1のように、0、2、4、6、7、8の数が1つずつ書かれた6個のボールが入っている袋Aと、1、2、3、5、7、9の数が1つずつ書かれた6個のボールが入っている袋Bがある。2つの袋A、Bから同時にそれぞれ1個のボールを取り出す。袋Aから取り出されたボールに書かれた数をa、袋Bから取り出されたボールに書かれた数をbとするとき、が有理数となる確率を求めよ。ただし、2つの袋A、Bそれぞれについて、どのボールが取り出されることも同様に確からしいものとする。

問4
aを整数とする。
次のaを含む8個の整数の中央値をMとする。
 
a、25、26、27、30、31、32、35
このとき、Mの取り得る値は何通りあるか。

問5

上の図2は、線分AB上の点をPとし、線分ABを直径とする半円を、折り返した弧と線分ABが点Pで接するように1回だけ折り、できた折り目を線分QRとしたものである。
解答欄に示した図をもとにして、線分QRを定規とコンパスを用いて作図せよ。ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。


@解説@
問1

初iPadで書いてみたのですが慣れない|-`)…
3√3で通分。分数をつなげるときは符号に注意!
-2√6/9

問2

最初は小数で統一しました。
解の公式はb=2b’を使って、x=(1±√19)/2

問3
ボールの取り出し方は6×6=36通り
が有理数となる組み合わせを探していくが、骨の折れる作業(;`ω´)
地道にあてはめていくのが確実だが、36個もパターンがあるので時間との闘いになる。

有理数→根号を外す
●a=0
aが0だと、√b/√b=1で有理数。
袋Bは何でもよいので6通り。
●aとbが同数
同数の場合、√b/2√b=1/2で有理数。
(a、b)=(2、2)(7、7)
●0以外の平方数
平方数であれば根号が外れて有理数になる。
a=4しかない。b=1、9
●〇√〇に変換して根号の中が同数
もう1つが曲者。
8=2√2と変換すれば、根号の中が全て2となり、
同数のパターンと同様に有理数になる。
*√2/(2√2+√2)=1/3
(a、b)=(8、2)
以上、11通り。
確率は11/36。

問4

8個の中央値Mは4
番目と5番目の平均値。
aが4番目になるのは27から。(25・26・27・27
aが5番目になるのは31まで。(25・26・27・30・31・31)
27~31の5通り。

問5
この作図はなかなかの難度だと思う。

折り返しなのでQRを対称の軸とすると、Pに対応するP’は弧AB上のどこかにある。
PP’の垂直二等分線がQRなので、P’を作ろうとしたいが・・

解答用紙の図ではP’の位置が特定できない!<# `Д´>
QRのためにP’を探りたいが、P’を特定にするにはQRが必要という板バサミ。

そこで別の方向から攻めてみる。
半円を円にしてみよう。
P以外で折り返せるものといえば
QRを対称の軸として左上に円を作成する。
赤い円(弧QR)⇒弦QRの順に描いていく


青い円の中心OはABの垂直二等分線で決まる。
赤い円の中心O’はどうするか?
『折り返した弧と線分ABが点Pで接する
円O’は接線ABと接点Pで接している
半径と接線の関係は垂直だからO’P⊥AB

①ABの垂直二等分線。中心Oがでる。
②Pを通る垂線。垂線上にO’がある。
③2つの円の半径は同じ。半径AOの長さをとってPから長さを移す。中心O’がでる。
④弧ABと2点が交わるように、O’からグルっと弧を描く。
⑤2つの交点QRを結ぶ。
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2022年度 都立日比谷高校過去問【数学】大問4解説

下の図1に示した立体A—BCDEは、底面BCDEがひし形で、AC=AE=BC=8cm、AB=ADの四角すいである。四角形BCDEの対角線BD、CEを引き、交点をOとし、頂点Aと点Oを結んだとき、∠AOB=90°である。四角形BCDEの面積をScm2とする。

問1
下の図2は、図1において、頂点Eから辺ACに垂線を引き、
辺ACとの交点をHとした場合を表している。
線分EHの長さは何cmか。Sを用いた式で表せ。

問2
下の図3は、図1において、辺AB上の点をPとし、点Pと頂点C、
点Pと頂点D、点Pと頂点Eをそれぞれ結んだ場合を表している。

(1)AP:PB=1:2、BD=12cmのとき、立体P―BCDEの体積は何cm3か。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

(2)AP:PB=1:1のとき、△CEPの面積は何cm2か。
Sを用いた式で表せ。


@解説@
問1
ここで間違えると差が開いてしまう。

底面BCDE=Scm2と奇妙なところに文字がつけられている。
△ACEにおいて底辺をACとすると高さはEH。△ACEの面積が知りたい

3辺の長さが等しく、△BCE≡△ACE
△BCEは菱形BCDEの半分で1/2S。

△ACE=8×EH÷2=1/2S
EH=1/2S×2÷8=1/8S

問2(1)

菱形の対角線は各々を垂直に2等分する。
BO=12÷2=6cm
△BCOで三平方→CO=2√7cm
EC=2√7×2=4√7cm
菱形BCDEの面積は、12×4√7÷2=24√7cm2

前問の合同から、AO=BO=6cm
四角錘P―BCDEの高さは、6×②/③=4cm
体積は、24√7×4÷3=32√7cm3

(2)

斜めに傾いている△CEPの面積と底面の菱形BCDEを結び付けたい。
△CEB=1/2S
△CEBと△CEPはCEで底辺共通なので、高さのBO:POが面積比にあたる

BOとPOが同一平面にくる場所を探す⇒△ABOに着目する。
本問も問1がカギになる。
△CEB≡△CEA
よりBO=AOゆえ、△ABOは直角二等辺三角形
PはABの中点だから、△PBOも直角二等辺。
BO:PO=√2:1
したがって、△CEPの面積は、1/2S×1/√2=√2/4Scm2
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2022年度 都立日比谷高校過去問【数学】大問3解説

下の図1で、点Oは線分ABを直径とする半円の中心である。
点Cは弧AB上にある点で、点A、点Bのいずれにも一致しない。
点Dは弧AC上にある点で、弧AD=弧DCである。
点Aと点C、点Dと点O、点Cと点Oをそれぞれ結ぶ。
線分ACと線分DOとの交点をE、点Dから線分COに垂線を引き、
線分COとの交点をF、線分DFと線分ACとの交点をGとする。

問1
点Bと点Dを結んだ場合を考える。
∠AOC=88°のとき、∠ODBの大きさは何度か。

問2
下の図2は、図1において、点Bと点Cを結んだ場合を表している。
△ABC∽△DGEであることを証明せよ。

問3
AO=6cm、DE=4cmのとき、線分DGの長さと線分GFの長さの比
DG:GFを最も簡単な整数の比で表せ。


@解説@
問1

弧AD=弧DCより、∠AOD=∠COD
∠AOD=88÷2=44°
∠OBDは∠AODの円周角だから、44÷2=22°
半径でOB=OD、二等辺三角形OBDの底角で∠ODB=22°

問2
△ABC∽△DGEの証明。

孤AD=孤DCより∠AOD=∠COD
半径でOA=OC、OEは二等辺三角形AOCの頂角を二等分する線分で、
底辺ACを垂直に2等分する。
∠DEG=90°

∠ABCは∠AOCの円周角だから、∠ABC

∠CAB=×とする。
△ABCの内角より×=90°
△DOFの内角で、∠ODF(∠EDG)=180-(90+)=×
∠CAB=∠EDG
2角が等しいから∽。

問3

Cを右側に持ってきても角度の情報は一緒である。
 
1辺両端角相等で△AOE≡△COE≡△DOF
FO=EO=2cm、CF=6-2=4cm

同様に1辺両端角で△DGE≡△CGF
2角相等で△DGE∽△DOFだから、DG:GE=DO:OF=6:2=③:①
対応する辺で、GF=GE=①
したがって、DG:GF=3:1
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2021年度 中央大学附属高校過去問【数学】大問4解説

S=n4-5n3-10n2+35n+49について、
次の問いに答えなさい。

1)
を展開しなさい。

(2)
とするとき、 をtの式で求めなさい。

(3)
Sを因数分解しなさい。

(4)
S=-26のとき、nの値を求めなさい。
ただし、nは自然数とする。


@解説@
(1


2-14+49/n2

(2)
まずはS÷n2を算出。

ここで前問を活用する。
2=(n-7/n)2=n2-14-49/n2 
この形を作れないかを考える

*-10=-14+4にして-14を作る。
2の形で整理するとtも見える。するとnがなくなる。
S/n2=t2-5t+4

(3)
前問の利用。
S/n2=t2-5t+4=(t-1)(t-4)

2行目:n2=n×nに分解して、それぞれのカッコにnをかけあわせる。
すると、分母のnが払われる。
S=
(n2-n-7)(n2-4n-7)

(4)
前問利用。
S=
-26=-1×26=-26×1=-2×13=-13×2

nは自然数なので、(n2-7)-n>(n2-7)-4n
2-n-7>n2-4n-7
◆26×(-1)のとき(n2-n-7=26、n2-4n-7=-1)

しかし、n2-n-7にn=9を代入しても26にならない。
2-4n-7に代入しても-1にならない。×

◆1×(-26)のとき
同様にn=9で、代入すると×。

◆13×(-2)のとき

n=5を代入してみる。
2-n-7=52-5-7=13
2-4n-7=52-4×5―7=-2〇

◆2×(-13)
n=5だが、代入してもダメ×

したがって、n=5
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2021年度 岡山朝日高校過去問【数学】大問5解説

下の図のように、周の長さが20である平行四辺形ABCDがあり、AC=BC=6である。
Bから直線ACにひいた垂線と直線ACとの交点をHとし、直線BH上にBとは異なる点Eを、
AB=AEを満たすようにとる。


ABの長さを求めなさい


△ABC≡△AECであることを証明しなさい。


AHとDEの長さをそれぞれ求めなさい。


3点A、E、Dを通る半径を求めなさい。


@解説@
① 正答率97.6%
BC=6
平行四辺形の対辺は等しいから、
AB=(20-6×2)÷2=4

② 正答率45.6%(部分点50.9%)
△ABC≡△AECの証明。

AB=AE=4 …①
共通辺AC …②
2辺のあいだの角である∠BAC=∠EACを指摘したいが、
二等辺三角形や平行四辺形を手がかりにしても角の情報がなかなかでてこない(´~`)

そこで∠AHB=90°に着目する
△ABHと△AEHにおいて、∠AHB=∠AHE=90°
共通辺AH、AB=AEより、斜辺と他の1辺が等しい直角三角形。
△ABH≡△AEH

対応する角が等しく、∠BAC=∠EAC…③
①、②、③より、2辺とあいだの角度が等しく、△ABC≡△AEC

③ 正答率50.7%、14.2%!

↑これが見えたら、しめたもの。
AH=xとおくと、HC=6-x

左右の直角三角形で三平方の方程式。
2-x2=62-(6-x)2
16-x2=36-36+12x-x2
x=4/3
AH=4/3

このあとからキツくなってくる:;(∩´_`∩);:

二等辺三角形と合同から等角に印をつける。
さらに、AB//DCより、錯角で∠ACD=
平行四辺形の対角より、∠ADC=

ここでA・C・D・Eに注目する。
直線ACについて同じ側にある2点D、Eについて、
∠ADC=∠AECが成り立ち、4点A・C・D・Eは同一円周上にある。(円周角定理の逆

AE=CD→弧AE=弧CD
円周角定理より、∠ADE=∠CAD(×
錯角が等しいので、AC//EDとなる。
∠EAC=∠DCAとあわせると、四角形ACDEは等脚台形である。

等脚台形は左右対称。
DE=6-4/3×2
10/3

④ 正答率2.4%!!
この手の問題は、直径に対する円周角が直角であることから、
①直角を探す⇒②直径の中点が円の中心、という流れが典型的だが、
本問では直径とおぼしき線分が見当たらない(´°ω°`;)

3点A・E・Dを通る円⇒等脚台形ACDEが接する円⇒△ACEが接する円
作図問題にでてくるとおり、外接円の中心は各辺の垂直二等分線の交点である。
ACの中点をP、AEの中点をQとし、これらを通る2本の垂線の交点が中心Oとなる。

また、△ACEは二等辺三角形だから、底辺の垂直二等分線QOはCを通る
△ACQで三平方→CQ=4√2

2角相等で△CAQ∽△COP
OC=6×3/4√2=9√2/4
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2021年度 立命館高校過去問【数学】大問5解説

正の数aに対して、ある操作を行って得られる値を記号《》を使って、《a》と表します。
この操作において、《a》=0となるのはa=1のときのみ、
《a》=1となるのはa=10のときのみと約束します。
また、この操作は2つの正の数a、bに対して
という性質があります。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
を用いて表しなさい。
ただし、x、yは正の数であると答えなさい。

(2)
《1000》の値を整数で答えなさい。

(3)
《72》を《2》と《3》を用いて表しなさい。

(4)
方程式

を満たす正の数xの値を求めなさい。


@解説@
(1)
以下、ペイントでは《》を<>で表しています

《y》-《x》

(2)
《a×b》=《a》+《b》
因数の和に変わって
いる。
ということは、素因数分解して素因数の和にすればいい

1000=103
《1000》
=《10×10×10》
=《10》+《10》+《10》 ←仮定より《10》=1
=1+1+1
=3

(3)
72=23×32
《72》
=《2×2×2×3×3》
=《2》+《2》+《2》+《3
》+《3》
=3《2》+2《3》
(*次の問題より、同じ《》はまとめている。
ex.(2)→《10》+《10》+《10》=3《10》=3×1=3)

(4)

分解して計算してみる。
ルートの部分がややこしいが、答えが出るということはなんとなく消えそう(´ω`).。0

*(1)のように、《分子×1/分母》の形にするとやりやすいと思う。

*(3)より、《9》=《3×3》=《3》+《3》=2《3》であった。この逆の流れをする。
2《√5ー√2》=《√5-√2》+《√5-√2》=《(√5-√2)2

《x》か《x/10》が0であれば、方程式が成り立つ。

《x》=0
仮定より、x=1

《x/10》=0
仮定より、10/x=1
x=10
したがって、x=1、10

@余談@

Pepper license.より、元ネタは数Ⅱで習う常用対数でした。
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