国私立高校入試」カテゴリーアーカイブ

2020年度 渋谷教育学園幕張高校過去問【数学】大問4解説

下の図のように1辺の長さが1の正十二角形があり、
6つの頂点をA、B、C、D、E、Fとする。

正十二角形の内部に正三角形ADG、BEH、CFIをかき、IとGを結ぶ。
BHとIGの交点をJ、BHとFIの交点をK、EHとAGの交点をL、
EHとIGの交点をM、AGとFIの交点をNとする。

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
BEの長さを求めなさい。

(2)
LGの長さを求めない。

(3)
五角形JKNLMの面積を求めなさい。


@解説@
(1)
ここはおさえておきたい。

正十二角形の外角は、360÷12=30°
BE//CDの錯角と直角で、赤い三角形の内角が30°-60°-90°
→辺の比は1:2:√3
右側も左右対称で同様。BE=1×√3/2×2+1=√3+1

(2)
わちゃわちゃした図形で迷子になる:(っ`ω´c):

AD・BE・
CFに注目しよう!
正十二角形の周上で考えると、いずれも頂点2つ飛ばしで長さが等しい。
→AD=BE=CF(3つの正三角形は辺の長さが√3+1で等しい)

また、前問のような1:2:√3の直角三角形が他にもたくさん出てくる。

LGを1辺とする三角形に見当をつけよう。
HEとGDの交点をOとする△OGLからLGの長さを求めたい。

正十二角形の1つの内角は150°。∠GDE=150-90=60°
正三角形の内角から∠DGA=60°
錯角が等しく、AG//DE△ODE∽△OGL

∠OED=30+60=90°
△ODEも△OGLも辺の比が1:2:√3の直角三角形
OD=1×2=2
GO=GD-OD=(√3+1)-2=√3-1
LG=(√3-1)×1/2=(√3-1)/2

(3)
細々とした場所を粘りながら認定していく。
前問のLGを使う。

△MGLも1:2:√3の直角三角形
ML=(√3-1)/2×1/√3=(3-√3)/6


対称性から△MGL≡△JIK
△ING-(△MGL+△JIK)=五角形JKNLM
△INGの内角は30°-30°-120°の二等辺三角形で、
縦半分に割ると1:2:√3の直角三角形。
IG=1より、高さは1/2×1/√3=√3/6

1×√3/6÷2-(√3-1)/2×(3-√3)/6÷2×2
=√3/12-(3√3-3-3+√3)/12
=(6-3√3)/12
(2-√3)/4

1:2:√3を使う典型問題ですが…精神力と時間との戦いです(-_-;)
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2020年度 日本大学第三高校過去問【数学】大問6解説


上の図のように、正三角形の中に正方形Aと正方形Bが接している。
正方形Bの1辺の長さが√3cmのとき、次の問いに答えなさい。

(1)
正方形Aの1辺の長さを求めなさい。

(2)
正三角形の1辺の長さを求めなさい。

(3)
正三角形から正方形Aと正方形Bを抜いた部分の面積を求めなさい。


@解説@
(1)

正方形の対辺は平行。
赤い三角形の底辺は正三角形の底辺と平行→正三角形

Bの隣の三角形は内角が30°-60°-90°の直角三角形。
辺の比が1:2:√3で、√3の両隣は1cm。
正方形Aの1辺は、1+√3+1=2+√3cm

(2)

同様に、緑の三角形も正三角形で1辺は√3。
青い三角形も1:2:√3の直角三角形。
その斜辺は、(2+√3)×2/√3=2+4√3/3

大きい正三角形の1辺は、√3+2+(2+4√3/3)
=4+7√3/3cm

(3)
方針は立てやすい。
大きい正三角形から2つの正方形をひけばいい。
・・・計算が面倒くさいが(;´Д`)

少し趣向を変えます。
左右の直角三角形を合わせると正三角形になる。
真ん中の正三角形の面積は、2×√3÷2=√3

面積比は斜辺の2乗から算出。

 【12】が√3なので、、

49√3/12+4cm2
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2020年度 早稲田実業高等部過去問【数学】大問4解説

下の図のように、放物線y=3x2と直線y=mx(m<0)、
直線y=nx(n>0)との交点のうち、原点Oと異なる点をそれぞれP、Qとする。

このとき、次の各問いに答えよ。

(1)
直線PQの傾きm、nを用いて表せ。

(2)
点Pのx座標が-2、直線PQの傾き-1のとき、nの値を求めよ。

(3)
整数m、nを変化させたとき、傾きが10、切片が40以下の整数となるような
直線PQは何本かくことができるか。


@解説@
(1)
Pはy=3x2とy=mxの交点。
3x2=mx
x=m/3
これをy=3x2に代入→y=3×(m/3)2=m2/3
P(m/3、m2/3)

同様にQの座標を求めると、Q(n/3、n2/3)←文字が変わるだけ。
傾きは(yの増加量)/(xの増加量)

PQの傾きは、m+n。

(2)
Pのx座標は-2。
m/3=-2
m=-6

PQの傾きは-1。
→前問より、m+n=-1
-6+n=-1
n=5

(3)
初手がつかみにくい(;`ω´)
mとnを変化させたとき、条件をクリアするmとnの組み合わせを模索する。
ポイントは切片が40以下の整数』。

切片をm、nで表す。
PQの傾きはm+nなので、これをPQの式にあてはめると、
y=(m+n)x+b
これにP(m/3、m2/3)を代入。
2/3=m/3(m+n)+b
b=m2/3-m2/3-mn/3
b=-mn/3≦40
mn≧-120

一方で、PQの傾きは10なので、m+n=10でもある。

条件をまとめると…
mとnは整数、m<0、n>0、m+n=10
mn≧-120、切片の-mn/3は整数

mとnの組み合わせを絞っていく。
m=-1から当てはめ。
(m、n)=(-1、11)(-2、12)(-3、13)(-4、14)
(-5、15)(-6、16
)(-7、17)…
(-7、17)→-7×17=-119でギリギリmn≧-120だから、(-8、18)以降はなし!

さらに、切片-mn/3の値は整数でなければならないので、mかnのいずれかに3の倍数が必要
(m、n)=(-2、12)(-3、13)(-5、15)(-6、16)
したがって、4本。

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2020年度 渋谷教育学園幕張高校過去問【数学】大問5解説

1辺の長さがaである5つの立方体をすきまなく重ねて下の図のような立体を作る。立方体ABCD-EFGHは、線分EGが線分IK上にあり、線分EGの中点と線分IKの中点が一致する位置にある。この立体を3点D、M、Oを通る平面で切り、2つに分ける。
このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
切り口の面積を求めなさい。

(2)
2つに分けた立体のうち、体積の大きい方の立体の体積を求めなさい。


@解説@
(1)
まずは断面図の作成。

うえの立方体が奥ではなく、半歩手前にズレているのが厄介(;`ω´)
ポイントはMO//QR。断面図は平行関係を意識しよう。
もう1つはDとQRの中点、MOの中点は1直線上に並び、距離が1:1であること。

分割すると合同な二等辺三角形が8つできる。
二等辺の底辺は、1辺が1/2aである正方形の対角線で√2/2a。
高さは二等辺の底辺の半分である√2/4aと立方体の1辺aで三平方→3√2/4a。
(上図の緑の直角三角形
したがって、√2/2a×3√2/4a÷2×8=3a2

(2)

MOから出発すると切り口は後ろに向かっていくから、体積が大きいのはNを含む手前の立体。
うしろの立体が錘の計算をしやすいので、後ろを求めて全体から引く。
赤い三角錘の体積は、1/2a×1/2a÷2×a÷3=1/24a3


赤い三角錐の底辺の1辺を①とすると、PO=④、LR=③。
体積比は辺の比の3乗
赤い三角錐の体積を【1】とすると、三角錘S-PMOは④3=【64】。
三角錘S-LQRは③3=【27】。角錐台LQR-PMDは【64】-【27】=【37】。
小さいほうの立体の体積は、赤い三角錘+角錐台=1/24a3+1/24a3×37=38/24a3=19/12a3

5つの立方体の体積は5a3
大きいほうの立体の体積は、5a3-19/12a3=41/12a3

2020年度・高校生クイズ優勝おめでとうございます★.:゚+。☆(*’ω’*)☆.:゚+。★
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2020年度 土浦日本大学高校過去問【数学】大問4解説


図において、①はy=ax2のグラフである。
2点A(4、8)、B(2、b)は①上の点で、点C(0、c
)はy軸上の点である。
また、∠ACBの二等分線と①の交点のうち、x座標が正である点をDとする。
このとき、次の(  )をうめなさい。

(1)
a=(ア)/(イ)、b=(ウ)である。

(2)
c=11/2のとき、△ACBの面積は(エオ)/(カ)である。

(3)
AC+CBが最小になるとき、c=(キ)であり、CD=(ク)√(ケ)である。


@解説@
(1)
y=ax2にA(4、8)を代入。
8=16a
a=1/2

y=1/2x2にx=2を代入。
b=1/2×22=2
ア…1、イ…2、ウ…2

(2)

ABの式を求める。
B(2、2)→A(4、8)
右に2、上に6移動するので、傾きは6/2=3
B(2、2)から左に2、下に6移動して切片は-4。
AB;y=3x-4

ABとy軸の交点をEとする。
CE=11/2+4=19/2

AとBのx座標からBはAEの中点である
AB、BEを底辺とすると、△ACBと△BCEの高さは等しい。
△ACBと△BCEの面積は等しく、△ACBは△ACEの面積の半分
19/2×4÷2÷2=19/2
エ…1、オ…9、カ…2

(3)

AC+CBが最小→線対称。
y軸についてBを対称移動させた点をB’とする。
B’(-2、2)

B’Aに注目。
B’→Aの移動は右に6、上に6なので傾きは1。
切片はB’から右に2、上に2で4。
C(0、4)
c=4

B’Aの傾きは1で45度
線対称からCBの傾きも45度で、∠B’CB=90°
△BCB’は直角二等辺三角形で、∠CBB’=45°

∠BCA=90°、二等分線から∠DCB=45°
∠DCB=∠CBB’=45°で錯角が等しく、B’B//CD
Dのy座標はCと同じ4。これをy=1/2x2に代入。
4=1/2x2
8x2=0
x>0から、x=2√2
CDの長さはDのx座標と等しいので2√2。
キ…4、ク…2、ケ…2
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2020年度 慶應義塾女子高校過去問【数学】大問3解説

図のように点Tで直線TEに接する円がある。

4点A、B、C、Dは円周上の点で、∠ATDは弦BT、CTにより3等分されている。
線分ACとBTの交点をFとし、AF=2、∠TAB=75°、∠TCD=45°として、
次の問いに答えなさい。
(1)
∠DTE、∠ATDの大きさを求めなさい。

(2)
AT:CTを求めなさい。

(3)
FCの長さを求めなさい。

(4)
円の半径rの長さを求めなさい。


@解説@
(1)

↑使うべき情報だけを記入。
弧DTに対する円周角で∠DAT=45°
接弦定理より、∠DTE=45°

なんとなくATが円の直径に見えるが
(;^ω^)
同様に弦BTで接弦定理→∠BTE=75°
∠BTD(●●)=75-45=30°
∠ATD(●●●)=30×3/2=45°

(2)

AT:CTを求めたいので、それらを1辺とする△ACTに着目。
∠ATC(●●)=30°

前問で∠DTE=∠ATD=45°と求めたので、∠ATE=90°となり、
ATは接線TEに対して垂直→ATは円の直径
直径に対する円周角で、∠ACT=90°

△ACTの内角は30°-60°-90°で、辺の比が1:2:√3の直角三角形。
AT:CT=2:√3

(3)
長さを求めるので、AF=2をここで利用する。

ズバリ、角の二等分線の定理。
TA:TC=AF:FC=2:√3
FC=2×√3/2=√3

(4)
AC=2+√3
△ACTの辺の比でAC:AT=1:2から、
ACを2倍して直径AT、それを÷2して半径rがでる。
r=(2+√3)×2÷2=2+√3
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2020年度 早稲田実業高等部過去問【数学】大問3解説

(1)
x、yについての連立方程式
y=ax+2
y=bx-3
が解をもたないための条件を、定数a、bを用いて表せ。

(2)
A、B、C、D、Eを定数とする。
x、yについての4つの方程式
Ax+By=-12 …(ア)
Bx-Ay=16 …(イ)
6x-8y=C …(ウ)
Dx-6y=E …(エ)
は、以下の条件をすべて満たすとする。
条件Ⅰ:(ア
)と(ウ)を連立方程式として解いても、解はない。
条件Ⅱ:(ア)と(エ)を連立方程式として解くと、解はx=8、y=9である。
条件Ⅲ:(ウ)と(エ)を連立方程式として解いた解は、
(ア)と(イ)を連立方程式として解いた解より、xの値は6大きく、yの値は2大きい。
このとき、次の①、②に答えよ。
①A、Bの値をそれぞれ求めよ。
②C、Eの値をそれぞれ求めよ。


@解説@
(1)
2つの式が解を持たない場合とはどういうときか。

グラフに置き換えてみよう。
2つの式が解を持つとき、グラフ上では直線の交点が解となる
解がないということは交わらない。すなわち、2本のグラフは平行
→傾きであるaとbが等しい。
a=b

@留意点@

傾きが同じでも、切片が等しければ
2本の直線が重なってしまう
xにどんな値をいれても式が成立することになる。
解が無数にある方程式を不定といい、解なしの方程式を不能という。

(2)①
Ax+By=-12 …(ア)
6x-8y=C …(ウ)
これらを連立で解くと解がない。

ア)をyについて解くと、
y=-A/Bx-12/B
(ウ)をyについて解くと、
y=3/4x-C/8

解がない→傾きが等しいから、-A/B=3/4→A/B=-3/4
AとBは約分されて-3/4になるかもしれないので、比例定数k(k>0)を用いて、
(A、B)=(-3k、4k)もしくは(3k、-4k)

ここで条件Ⅱより、(ア)はx=8、y=9の解を持つときがある。
8A+9B=-12
これに(A、B)=(-3k、4k)を代入すると、
-24k+36k=12k=-12となり、kが負の数で不適。
よって、(A、B)=(3k、-4k)

8A+9B=24k-36k=-12k=-12
k=1
A=3k=3
B=-4k=-4
A=3、B=-4


(ア)(イ)に前問のA=3、B=-4を代入。
3x-4y=-12
-4x-3y=16
これを解くと、x=-4、y=0

条件Ⅲより、(ウ)(エ)で解いた解は、
x=-4+6=2、y=0+2=2

(ウ)に放り込む。
C=6×2-8×2=-4

今度は、(エ)に放り込む。
2D-12=E…①
条件Ⅱより、(エ)にx=8、y=9を放り込む。
8D-54=E…②

①、②から、2D-12=8D-54
D=7
最後に①に代入。
E=2×7-12=2
C=-4、E=2
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2020年度 慶應義塾高校過去問【数学】大問7解説

座標平面上を3つの動点P、Q、Rが原点Oを同時に出発し、
以下のような経路で毎秒1の速さで動く。ただし、点と点の間は最短経路を進むものとする。

動点P:原点O→点(0、4)→点(2、4)→点(2、6)→点(0、6)
動点Q:原点O→点(-2、0)→点(-2、2)→点(0、2)→点(0、4)→点(2、4)
動点R:原点O→点(6、0)→点(2、0)
原点を出発してからt秒後の△PQRの面積をyとするとき、次の問いに答えよ。
(1)
0<t≦2のとき、yをtの式で表せ。

(2)
0<t≦8のとき、yとtの関係を表すグラフを下の図にかけ。

(3)
8≦t≦10のとき、t=aで3つの動点P、Q、Rが一直線上に並ぶ。
aの値を求めよ。


@解説@
(1)

↑2秒後まではこのように広がっていく。
底面と高さがともに増えていくので、△PQRの面積はy=ax2の形で増加する。
y=2t×t÷2=t2

(2)
2秒ごとに向きが変わるので地道に調べていくしかない(´・ω・`)

↑移動先をP’、Q’、R’とすると4秒後はこうなる。
PQとP’Q’は平行で長さが等しい
底辺をP’Q’とすると高さはR’方面となり、
底辺の長さは変わらず、Rが右に離れることで高さだけが長くなる。
ここから△PQRの面積は比例で増えていくと考えられる。

P’Q’とP’R’の傾きは45度である点に注目すると、2つの直角二等辺三角形が見つかる。
P’Q’=2√2、P’R’=4√2、∠R’P’Q’=90°
y=2√2×4√2÷2=8

△PQRが平行移動して△P’Q’R’となる。面積は一定。
y=8

↑8秒後の様子。
PQ//P’Q’、PQ=P’Q’
底辺をPQとすると、高さはR方向でR→R’の移動から高さの成分が減る。
PQ→P’Q’で底辺がR’から離れるので、高さの成分が増える。
高さの減少と増加が同時に起こる。ここから面積は一定になるのではないかと推測する。

長方形をつくり、周りの3つの三角形を控除する。
y=4×6-2×2÷2-4×4÷2-2×6÷2=8

↑解答。途中の変化も問われるので難しい。
迷ったら時間はかかるが、3秒後、5秒後など奇数秒後を確かめるのもOK。

(3)

8~10秒後に3点がどう移動するか、正確に描写する。


PRに直線を引く。
PとRは同じ速さで同じ方向に移動するので、直線PRは平行移動する。
ということは、Qが直線PR上にくるときを考えればいい。

直線PRがQのゴール(2、4)と交わるまでの移動距離を計算する。
青い2つの直角三角形の相似から、2×2/6=2/3
直線PRが(2、4)と交わるとき、同じ速さで動くQも2/3移動している。
残りの距離は、2-2/3=4/3
ここからQと直線PRは1の速さで近づいていく。
出会う時間は、4/3÷2=2/3秒後
したがって、0秒後から計算すると、a=8+2/3+2/3=28/3

@別解@

10秒後の様子を考える。
y=4×2÷2=4

ここで前問のグラフの続きを記入する。
どこかで3点が一直線になると△PQRの面積は0となり、10秒後に4となる。
求めたいのは0となる時間…。

線対称の考えで4を下に移動。
2つの直角三角形の相似を利用。辺の比は、8:4=②:①
a=8+2×②/③=28/3
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2020年度 慶應義塾女子高校過去問【数学】大問2解説

次の(あ)~(す)に当てはまる数を答えなさい。
(く)、(こ)、(し)にあてはまる数は小さい方から順に答えること。

数字が書かれたカードが入っている箱から1枚以上のカードを選ぶ。1枚だけを選んだ場合はそのカードに書かれた数字を、複数枚を選んだ場合はそれらのカードに書かれた数字の合計をSとする。最初に箱の中には1と書かれたカード【1】が2枚だけ入っている。
このとき、カードの選び方は次の2通りで、Sの値は、
【1】が1枚でS=1
【1】と【1】の2枚でS=1+1=2
となる。Sの値として作れるのは1、2だけであるが、数字の書かれたカードを箱に追加すればSの値として3以上の数を作ることができる。そこで、カードを次の規則に従って箱に追加する。
<規則>
(a)カード2枚に同じ自然数を記入して追加する。
(b)それまでにSの値として箱の中のカードで作ることのできた数字を追加のカードに記入してはいけない。
(c)Sの値が1、2、3…と連続して作れるようにする。
2はすでにSの値として作ることができたから、規則(b)より追加するカードに2は記入できない。次に追加するカードは規則(c)よりカード【3】が2枚である。箱の中はカード【1】と【3】がそれぞれ2枚ずつになる。Sの値はカード【1】が2枚だけの場合に加えて、
【3】が1枚でS=3
【1】と【3】の2枚でS=1+3=4
【1】と【1】と【3】の3枚でS=1+1+3=5
(あ)と書かれたカード(い)枚でS=6…のようにして、Sの値を1から連続して(う)まで作ることができる。さらにカードを追加する場合、次のカード2枚には(え)と記入することになる。このようにSの値を調べてカードに追加することを続けると、数字が(え)のカードの次に追加するカード2枚に記入する数字は(お)で、Sの値として(か)個の数字を新しく作ることができる。Sの値として162個の数字を新しく作ることができるのは(き)と記入したカード2枚を追加したときである。また、S=172となる場合のカードは、数字が(く)のカード(け)枚、(こ)のカード(さ)枚、(し)のカード(す)枚を箱から選んだときである。


@解説@
問題文がNAGEE(゚言゚)フーフー
難問ではないので落ち着いて対処したい。

S=6→3+3=6
【3】のカードを2枚使う。
(あ)3(い)2

【1】と【3】が2枚ずつ。
1+1+3+3=8まで全て作ることができる。
(う)8

次に追加すべきカードは8の次の9。
(え)9


【9】のカードを2枚追加。
あいだの数は【1】と【3】のカードを組み合わせればすべて作れる。
作ることのできる最大の数は、(1+3+9)×2=26なので、
次に追加すべきカードは27。
(お)27

【27】のカードを追加して作れる最大数は、(1+3+9+27)×2=80
新しく作ることができたSの値の個数は、80-26=54
(か)54

カードの種類は【1】、【3】、【9】、【27】…と3のベキ乗。
次に追加するカードは【81】。
そして、Sの値の個数は次に追加すべきカードの1つ手前の数でもある。
【1】ならば、3-1=2個
【1】【3】ならば、9-1=8個
【1】~【9】ならば、27-1=26個
【1】~【27】ならば、81-1=80個
【1】~【81】ならば、243-1=242個…
【81】の追加で新しく作れるSの値の個数は242-80=162個。
(き)81

S=172を作れるのは【81】のカードが追加されたとき。
大きい3のベキ乗から引き算をしていく。
172-81-81=10
10-9=1
【81】2枚、【9】1枚、【1】1枚。
問題文を読み落とさないように!
『(く)、(こ)、(し)にあてはまる数は小さい方から順に答えること』
(く)1(け)1(こ)9(さ)1(し)81(す)2

【解答】(あ)3(い)2(う)8(え)9(お)27
(か)54(き)81(く)1(け)1(こ)9(さ)1(し)81(す)2

@余談@
ちなみに、同じ数字のカードを3枚ずつにした場合、
追加すべきカードは【4】【16】【64】…と4のベキ乗になる。
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2020年度 慶應義塾志木高校過去問【数学】大問3解説

ある洋菓子店では、シュークリームとプリンを売っている。今日は両方とも先月より多く売れた。今日は先月に対して、シュークリームは10%、プリンは15%、売り上げ個数がそれぞれ増加し、プリンの増加個数はシュークリームの増加個数の2倍となった。また、今月のシュークリームとプリンの売り上げ個数は合計で3239個であった。先月のシュークリームとプリンの売り上げ個数をそれぞれ求めよ。


@解説@
表で情報整理!算数でいきます。

先月のシュークリームを(100)とすると、今月は(110)。
先月のプリンを【100】とすると、今月は【115】。
プリンの増加数はシュークリームのそれの2倍だから、(10)×2=【15】

ここまでくればあと少し。
(20)=【15】
(4)=【3】
シュークリームを【 】に統一。
(100)×3/4=【75】
(110)×3/4=【82.5】
【82.5】+【115】=【197.5】=3239個
先月のシュークリームは、3239×75/197.5=1230個 ←3239は79の倍数
先月のプリンは、1230×100/75=1640個
1230個・1640個
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