国私立高校入試」カテゴリーアーカイブ

2021年度 中央大学附属高校過去問【数学】大問4解説

S=n4-5n3-10n2+35n+49について、
次の問いに答えなさい。

1)
を展開しなさい。

(2)
とするとき、 をtの式で求めなさい。

(3)
Sを因数分解しなさい。

(4)
S=-26のとき、nの値を求めなさい。
ただし、nは自然数とする。


@解説@
(1


2-14+49/n2

(2)
まずはS÷n2を算出。

ここで前問を活用する。
2=(n-7/n)2=n2-14-49/n2 
この形を作れないかを考える

*-10=-14+4にして-14を作る。
2の形で整理するとtも見える。するとnがなくなる。
S/n2=t2-5t+4

(3)
前問の利用。
S/n2=t2-5t+4=(t-1)(t-4)

2行目:n2=n×nに分解して、それぞれのカッコにnをかけあわせる。
すると、分母のnが払われる。
S=
(n2-n-7)(n2-4n-7)

(4)
前問利用。
S=
-26=-1×26=-26×1=-2×13=-13×2

nは自然数なので、(n2-7)-n>(n2-7)-4n
2-n-7>n2-4n-7
◆26×(-1)のとき(n2-n-7=26、n2-4n-7=-1)

しかし、n2-n-7にn=9を代入しても26にならない。
2-4n-7に代入しても-1にならない。×

◆1×(-26)のとき
同様にn=9で、代入すると×。

◆13×(-2)のとき

n=5を代入してみる。
2-n-7=52-5-7=13
2-4n-7=52-4×5―7=-2〇

◆2×(-13)
n=5だが、代入してもダメ×

したがって、n=5
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2021年度 岡山朝日高校過去問【数学】大問5解説

下の図のように、周の長さが20である平行四辺形ABCDがあり、AC=BC=6である。
Bから直線ACにひいた垂線と直線ACとの交点をHとし、直線BH上にBとは異なる点Eを、
AB=AEを満たすようにとる。


ABの長さを求めなさい


△ABC≡△AECであることを証明しなさい。


AHとDEの長さをそれぞれ求めなさい。


3点A、E、Dを通る半径を求めなさい。


@解説@
① 正答率97.6%
BC=6
平行四辺形の対辺は等しいから、
AB=(20-6×2)÷2=4

② 正答率45.6%(部分点50.9%)
△ABC≡△AECの証明。

AB=AE=4 …①
共通辺AC …②
2辺のあいだの角である∠BAC=∠EACを指摘したいが、
二等辺三角形や平行四辺形を手がかりにしても角の情報がなかなかでてこない(´~`)

そこで∠AHB=90°に着目する
△ABHと△AEHにおいて、∠AHB=∠AHE=90°
共通辺AH、AB=AEより、斜辺と他の1辺が等しい直角三角形。
△ABH≡△AEH

対応する角が等しく、∠BAC=∠EAC…③
①、②、③より、2辺とあいだの角度が等しく、△ABC≡△AEC

③ 正答率50.7%、14.2%!

↑これが見えたら、しめたもの。
AH=xとおくと、HC=6-x

左右の直角三角形で三平方の方程式。
2-x2=62-(6-x)2
16-x2=36-36+12x-x2
x=4/3
AH=4/3

このあとからキツくなってくる:;(∩´_`∩);:

二等辺三角形と合同から等角に印をつける。
さらに、AB//DCより、錯角で∠ACD=
平行四辺形の対角より、∠ADC=

ここでA・C・D・Eに注目する。
直線ACについて同じ側にある2点D、Eについて、
∠ADC=∠AECが成り立ち、4点A・C・D・Eは同一円周上にある。(円周角定理の逆

AE=CD→弧AE=弧CD
円周角定理より、∠ADE=∠CAD(×
錯角が等しいので、AC//EDとなる。
∠EAC=∠DCAとあわせると、四角形ACDEは等脚台形である。

等脚台形は左右対称。
DE=6-4/3×2
10/3

④ 正答率2.4%!!
この手の問題は、直径に対する円周角が直角であることから、
①直角を探す⇒②直径の中点が円の中心、という流れが典型的だが、
本問では直径とおぼしき線分が見当たらない(´°ω°`;)

3点A・E・Dを通る円⇒等脚台形ACDEが接する円⇒△ACEが接する円
作図問題にでてくるとおり、外接円の中心は各辺の垂直二等分線の交点である。
ACの中点をP、AEの中点をQとし、これらを通る2本の垂線の交点が中心Oとなる。

また、△ACEは二等辺三角形だから、底辺の垂直二等分線QOはCを通る
△ACQで三平方→CQ=4√2

2角相等で△CAQ∽△COP
OC=6×3/4√2=9√2/4
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2021年度 立命館高校過去問【数学】大問5解説

正の数aに対して、ある操作を行って得られる値を記号《》を使って、《a》と表します。
この操作において、《a》=0となるのはa=1のときのみ、
《a》=1となるのはa=10のときのみと約束します。
また、この操作は2つの正の数a、bに対して
という性質があります。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
を用いて表しなさい。
ただし、x、yは正の数であると答えなさい。

(2)
《1000》の値を整数で答えなさい。

(3)
《72》を《2》と《3》を用いて表しなさい。

(4)
方程式

を満たす正の数xの値を求めなさい。


@解説@
(1)
以下、ペイントでは《》を<>で表しています

《y》-《x》

(2)
《a×b》=《a》+《b》
因数の和に変わって
いる。
ということは、素因数分解して素因数の和にすればいい

1000=103
《1000》
=《10×10×10》
=《10》+《10》+《10》 ←仮定より《10》=1
=1+1+1
=3

(3)
72=23×32
《72》
=《2×2×2×3×3》
=《2》+《2》+《2》+《3
》+《3》
=3《2》+2《3》
(*次の問題より、同じ《》はまとめている。
ex.(2)→《10》+《10》+《10》=3《10》=3×1=3)

(4)

分解して計算してみる。
ルートの部分がややこしいが、答えが出るということはなんとなく消えそう(´ω`).。0

*(1)のように、《分子×1/分母》の形にするとやりやすいと思う。

*(3)より、《9》=《3×3》=《3》+《3》=2《3》であった。この逆の流れをする。
2《√5ー√2》=《√5-√2》+《√5-√2》=《(√5-√2)2

《x》か《x/10》が0であれば、方程式が成り立つ。

《x》=0
仮定より、x=1

《x/10》=0
仮定より、10/x=1
x=10
したがって、x=1、10

@余談@

Pepper license.より、元ネタは数Ⅱで習う常用対数でした。
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2021年度 久留米大学附設高校過去問【数学】大問4解説

図のように、△ABCの内接円の中心をOとし、
円Oと辺AB、BC、CAとの接点をそれぞれD、E、Fとする。
3点E、O、Dを通る円をPとする。

(1)
円Pは点Bを通ることを証明せよ。

同様に、3点E、O、Fを通る円とQとすると、円Qは点Cを通る。
図のように、直線FDと円Pの交点をG、直線GEと円Qの交点をH、
直線HFと円Oの交点をIとする。

(2)
∠BEG=∠FIDを示し、△FDIは二等辺三角形であることを証明せよ。


@解説@
(1)
円Oと円Pだけを見る。Gの情報も不要。

↑内接円といえばこの形。
半径OD、OEはそれぞれ接線BA、BCに対して垂直に交わる。
∠ODB+∠OEB=180°だから、四角形BEODは円に内接するので、
4点B、E、O、Dは同一円周上にある。
したがって、円Pは点Bを通る。

@4点が同一円周上にある証明@
①円周角定理の逆
公立高校入試でも頻出。
同じ円であれば、同じ弧に対する円周角が等しい。
⇒同じ弧に対する円周角が等しければ、同じ円。
『直線〇〇に対して同じ側にある2点〇、〇について、
∠〇〇〇=∠〇〇〇が成り立つとき、4点〇〇〇〇は同一円周上にある』
この言い回しは証明で書けるようにしておきたい。

②内接四角形の性質
・対角の和が180°である。
・外角はそれと隣り合う内角の対角に等しい。
どちらかを指摘すれbば、同一円周上の点にあるといえる。

③方べきの定理の逆

受験の月より。
方べきの定理から、PA・PB=PC・PDが成り立つ。
逆にPA・PB=PC・PDが成り立てば、4点は同一円周上にある。

(2)

Iが厄介な位置にある。
弧DF、弧FIの円周角が使えにくい。
円OはDでABと接している接弦定理に思考を変える。
∠BEGから出発して時計回りに移動していくと、、
∠BEG⇒弧BGに対する円周角⇒対頂角⇒接弦定理⇒∠FID
∠BEG=∠FID …①

後半も同様。円OはFでACと接している
今度は反時計回りに進んで、、
∠BEG⇒対頂角⇒弧HCに対する円周角⇒接弦定理⇒∠FDI
∠BEG=∠FDI …②

①、②より∠FID=∠FDI
△FDIは2つの底角が等しく、二等辺三角形である。
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2021年度 和洋国府台女子高校過去問【数学】大問7解説

下の図のような正六角形ABCDEFがある。
大小2つのサイコロを同時に1回投げて、次のようなルールで点P、Qが
正六角形の頂点Aから移動するものとする。

<ルール>
・点Pは大きいサイコロの出た目の数だけ、正六角形の頂点を左回りに移動する。
・点Qは小さいサイコロの出た目の数の2倍だけ、正六角形の頂点を右回りに移動する。

(1)
点P、Qが同じ頂点の位置で止まる確率を求めよ。

(2)
△APQが直角三角形となる確率を求めよ。


@解説@
(1)
Qは出た目の数の2倍⇒Qは偶数番目しか止まらない

QはA、C、Eしか止まらない
おのおので2通りずつある。

PがA、C、Eに止まる→3通り
PとQが重なるのは、2×3=6通り
全体で6×6=36通りだから、確率は6/36=1/6

(2)

A・P・Qが別々の点にいなければ三角形がつくれない。
ということは、QはCかEのどちらかしかない

◆QがCにある
正六角形は円に内接する。
直径に対する円周角は90°であることを想起。

AQは円の直径になりえない。
PがAかQの反対側にくれば、AP、PQが直径となり、
円周角で直角ができる→△APQは直角三角形。

Pが2通り、Qが2通りで、2×2=4通り。

◆QがEにある
同様に、PがAとQの反対側にくればいい。
2×2=4通り

合計8通り
確率は、8/36=2/9
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2021年度 豊島岡女子学園高校過去問【数学】大問6解説


上の図のように、直方体ABCD―EFGHがあり、AB=3、AD=6、AE=2です。
点Gからこの直方体の対角線CEに垂線を引き、その交点をPとします。
このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
線分GPの長さを求めなさい。

(2)
三角錐P―GEFの体積を求めなさい。

(3)
辺ADの中点をQとし、辺FG上にFR=2となる点Rをとります。
3点B、Q、Rを通る平面と線分EGの交点をSとするとき、
三角錐P―GSRの体積を求めなさい。


@解説@
(1)
点Pを含むECは面AEGC上にある。

三平方の定理を用いて、EG=√(62+32)=3√5
EC=√(62+32+22)=7

2角相等で△CGP∽△CEG
CG:CE=GP:EG
GP=3√5×2/7=6√5/7

(2)
底面の△GEFは、6×3÷2=9
あとは錘の高ささえわかればお終い。

直角三角形の∽。△CGP∽△GEP
CP:PG=GP:PE=2:3√5

〇3√5=【2】
EPを〇に統一すると、〇3√5×【3√5】/【2】=〇45/2
EP:PC=〇45/2:②=
錘の高さは、2の45/49倍
三角錐P―GEFの体積は、9×(2×/)×1/3=270/49

(3)
(2
)の三角錐P―GEFと三角錘P―GSRの体積比は、
底面積である△GEFと△GSRの面積比に等しい。
△GEF:△GSRを算出する。

断面図は平行線を意識する
断面とEHの交点をTとすると、BQ//RTBR//QT
△BFRは等辺2の直角二等辺三角形。Qから下に2、右に2移動してT。
ET=5

△GSR∽△ESTより、GS:ES=RG:TE=⑤:④
FR:RG=2:4=【1】:【2】

面積比は隣辺比で対処。
△GEF…⑨×【3】=27
△GSR…④×【2】=8
三角錐P―GSRの体積は、270/49×8/27=80/49
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2021年度 豊島岡女子学園高校過去問【数学】大問2解説

(1)
xについての2次方程式
2+(2a2-a-1)x-4a-9=0がx=3を解にもつとき、
定数aの値をすべて求めなさい。

(2)
1次関数y=ax+1について、xの変域が-1≦x≦2のとき、yの変域はa≦y≦bです。
このとき、定数aの値をすべて求めなさい。

(3)
a、b、cは、1<c<b<a<20を満たす整数とします。
170a+169b+168cの値が13の倍数となるとき、
考えられるa、b、cの組は全部で何組ありますか。

(4)

上の図のように、円と半円があり、
円は半円の弧ABと直径ABにそれぞれ点Pと点Qで接しています。
半円の中心をOとし、∠PBQ=58°であるとき、∠OPQの大きさを求めなさい。


@解説@
(1)
x=3を代入。
2+3(2a2-a-1)-4a-9
=6a2-7a-3
=(3a+1)(2a-3)=0
a=-1/3、3/2

(2)
yの最小値aのx座標が-1or
2かは、傾きaが正or負かによる。
傾きaの正負で場合分け
◆a>0のとき
直線は右上に傾く。x=-1のとき、y=a
-1、a)をy=ax+1に代入。
a=-a+1
a=1/2
これはa>0を満たす(←この条件はきちんと確認すること!

◆a<0のとき
直線は右下。x=2のとき、y=a
2、a)をy=ax+1に代入。
a=2a+1
a=-1
これはa<0を満たす(←確認を怠らない!
よって、
a=-1、1/2

(3)
169は13の平方数
また、この手のタイプは真ん中の数で揃えると上手くいく場合がある。

170a+169b+168c
(169+1)a+169b+(169-1)c
=169(a+b+c)+a-c

最後のa-cが13の倍数であれば、全体が13の倍数となる。
1<c<a<20の範囲で、a-cの差が13の倍数となるのは13のみ。
(a、c)=(19、6)(18、5)(17、4)(16、3)(15、2)
5通り

c<b<a→bはaとcのあいだの数。
aとcの差は13で一定だから、bは12通りずつある。
*(a、c)=(19、6)であれば、bは7~18の12個。
12×5=60組

(4)

半径OP=OBより、△OPBは二等辺。
∠POB=180-58×2=64°

ここで接点P、Qを用いる。
接線と半径は接点で垂直に交わる
Pは円と半円の接点なので、半円の半径OPも接線に対して垂直である
→円の直径はOP上にある。
Qから接線OBに垂直な線をひき、OPとの交点をO’とすると、
O’はO’P、O’Qを半径とする円の中心である。

△OO’Qの内角から、∠OO’Q=180-(64+90)=26°
∠OPQは26°を中心角とする弧に対する円周角であるから、
∠OPQ=26÷2=
13°
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2021年度 久留米大学附設高校過去問【数学】大問1解説

(1)
連立方程式

の解をx=m、y=nとするとき、2m-n=1が成り立つ。
このとき、aの値を求めよ。

(2)
2次方程式x2+x-1=0の大きい方の解をa、小さい方の解をbとする。
このとき、の値を求めよ。

(3)
2つの文字a、bを左から何文字か並べる。
ただし、同じ文字を何回使ってもよいが、aの次は必ずbを並べ、
bの次はどちらの文字を並べてもよいものとする。
例えば、3文字を並べるとき、aba、abb、bab、bba、bbb
の5通りの並べ方がある。
5文字を並べるとき、何通りの並べ方があるか。

(4)
1つのさいころを3回投げるとき、
出た目の最大値が3で最小値が1になる確率を求めよ。

(5)

図のように、1辺の長さが4の正三角形ABCがあり、辺BCの中点をMとする。
辺AB上を動く点をPとし、Bから直線PMに垂線BQを引く。
ただし、点PがBと一致するときは点QがBと一致することにする。
PがAからBまで動くとき、線分BQが通過した部分で、
正三角形ABCDの内部にある部分の面積を求めよ。


@解説@
(1)

『この解をx=m、y=nとするとき、2m-n=1が成り立つ』。
xをm、yをnに変換する。

8m-n=5 …①
am+5n=7 …②
2m-n=1 …③

①と③で連立を組む。
m=2/3、n=1/3

②に放り込む。
2/3a+5/3=7
a=8

(2)
2+x-1=0
解の公式を適用して、a=(-1+√5)/2、b=(-1-√5)/2

この手の問題は、解の和と積の形にしてから代入を試みる
a+b=(-1+√5-1-√5)/2=-1

↑マイナスでくくって和と差の積にしている。

これをどうにかしてa+b、abの形にしたいが難しい(;´・ω・)

2+x-1=0
これを(a+1)2や(b+1)2のように(x+1)2=〇に変えられないものか??

2+x-1=0
2=-x+1

(x+1)2
=x2+2x+1 ←先のx2=-x+1を代入
=(-x+1)+2x+1
x+2

xの解であるa、bにも同じ形を適用。
(a+1)2=a+2
(b+1)2=b+2

(3)
条件のないbの数で場合分けする。
◆bが0個
例題ではbbbもカウントしている。1通り。

◆bが1個
例題にbbaがあるので、aは右端でもOK。
bはどこでも良いから5通り。

◆bが2個

aの次にaを置かない。6通り

◆bが3個

これしかない1通り。
合計して13通り。

@別解@
某フォロワーさんより、算数によくある漸化式という気になるワードを耳にし、
あれこれ考えてみました。
◆1文字の場合
a、bの2通り
◆2文字の場合
ab、ba、bbの3通り
◆3文字
問題文より5通り・・

【2、3、5…】とくればフィボナッチじゃありませんか!⊂( ・∀・) 彡 =͟͟͞͞(✹)`Д´)
4文字なら3+5=8通り
5文字なら5+8=13通り
6文字なら8+13=21通りです。

なぜ、フィボナッチになるのか?という点ですが、

左端がbの場合、1個前のaとbの合計と同じになる。
たとえば、4文字のbだと右側の【〇〇〇】は3文字の5通りである。
また、左端がaの場合、1個前のbと同じになる
たとえば、4文字のaだと右側は【b〇〇】の並びとなり、
3文字の【b〇〇】の3通りと等しく、これは2文字の3通りである。
このように、1個前の項(左端b)と2個前の項(左端a)の和が連なる数列となる。

(4)
『最小値1、最大値3』ということは、1と3は必ず出す
残り1つは1~3のどれか。
(1、1、3)⇒3通り
(1、2、3)⇒6通り
(1、3、3)⇒3通り
合計12通り。
確率は、12÷(6×6×6)=1/18

(5)
図形の移動は附設で狙われている。(2020年度久留米大学付設高校大問4

PがAにあるとき、AM⊥BCよりQはMと重なる
3つのをQは通過する。

いっぱい増やしてみました。なんとなく半円に見える

∠BQM=90°が維持されることから、円周角の定理を想起する。
∠BQMは直径BMに対する円周角、
すなわち、点Qの軌跡は直径をBMとする円の円周(半円)である。

QがAB上にくる状態を描いて、求積すべき範囲を確定する。

半円の中心をOとしてOQを結ぶ。
半径1cm・中心角120°の扇形と、1辺1cmの正三角形を足せばいい
1×1×π×1/3+1×√3/2×1/2
=π/3+√3/4cm2
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2021年度 都立青山高校過去問【数学】大問3解説

 下の図1において、△ABCは鋭角三角形であり、点Oは△ABCの3つの頂点A、B、Cを通る円の中心である。∠Aの二等分線と円Oとの交点のうち、頂点Aと異なる点をPとする。

〔問1〕
下の図2は、図1において、線分APと線分BCとの交点をDとし、頂点Bと点Pを結んだ場合を表している。AB=6cm、AC=8cm、BD=3cm、BP=4cmであるとき、線分DPの長さは何cmか。

〔問2〕
下の図3は、図1において、∠Bの二等分線と円Oとの交点のうち、頂点Bと異なる点をQとした場合を表している。ただし、∠Aの二等分線と∠Bの二等分線は、円の中心Oでは交わらないものとする。

(1)
図3において、頂点Aを含む弧BQに対する円周角の大きさと、頂点Bを含む弧APに対する円周角の大きさが等しくなるとき、△ABCはどのような三角形になるか答えよ。ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

(2)
図3において、頂点Aを含む弧BQに対する円周角の大きさと、頂点Cを含む弧APに対する円周角の大きさが等しくなるとき、∠ACBの大きさは何度か。


@解説@
〔問1〕

角の二等分線の定理より、AB:AC=BD:DC=3:4
DC=3×4/3=4cm

弧ABに対する円周角より、∠ACB=∠APB
弧PCに対する円周角より、∠PAC=∠PBC
△ACD∽△BPDで、AC:DC=BP:DP=2:1
DP=4÷2=2cm

〔問2〕(1)

円周角が等しい⇒弧BQ()と弧AP()の長さが等しい。
共通部分である弧ABをひくと、弧AQ=弧BPが導ける

弧の長さが等しいので、∠ABQ=∠BAP(前図の×が等しい)
∠CAB=∠CBA(●●
△ABCは2つの底角が等しいから、CA=CBの二等辺三角形となる。

(2)
弧APが前問と異なる点に注意!

円周角が等しい→弧BQ=弧AP
共通部分の弧AQをひくと、弧AB=弧PQ

ここで、弧PQを弧PCと弧CQに分けて考える
弧PCに対する円周角→∠PAC=●
弧CPに対する円周角→∠CBQ=×
弧PQに対する円周角は●+×となる

弧AB=弧PQより、弧ABに対する円周角である∠ACB=●+×
△ABCの内角に注目すると、(●+×)
×3=180°だから、
∠ACB=●+×=180÷3=
60°
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2021年度 都立西高校過去問【数学】大問4解説

先生が数学の授業で次の【課題】を出した。この【課題】について考えている【太郎さんと花子さんの会話】を読んで、あとの各問いに答えよ。

【課題】
3以上の自然数Nを、2つの自然数x、yの和で、N=x+yと表す。ただし、x>yとする。
さらに、xとyの積xyを考える。
このとき、積xyが2つの自然数m、nの平方の差で、xy=m2-n2と表すことができるのは
Nがどのような場合か考えよ。

【太郎さんと花子さんの会話】
太郎:まずはNに具体的な数を当てはめて考えてみよう。N=8としたらどうかな。
花子:8は7+1か6+2か5+3だから、N=8のときxとyの積xyは3組あるね。
太郎:7×1=42-32、6×2=42-22、5×3=42-12だから、
 N=8とすると積xyは、必ず自然数の平方の差で表すことができるね。
 N=7とするとどうかな。
花子:(1)積xyは、必ずしも自然数の平方の差で表せるとは限らないね
太郎:Nとしてもっと大きな数でいくつか考えてみようか。
 N=2020やN=2021の場合はどうかな。
花子:大きな数だからすぐには分からないけど、積xyを自然数の平方の差で必ず表すためには
 Nに何か条件が必要だと思う。
太郎:そうか、分かった。
 (2)Nが偶数のときには、積xyは必ず自然数の平方の差で表すことができるよ
花子:N=x+yだから、2つの数x、yがともに偶数ならNは偶数だね。
太郎:そうだね。ちなみに、2つの数x、yについて【表】で示される関係があるよ。
 ア~オには偶数か奇数のどちらかが必ず入るよ。

花子:なるほどね。じゃあ、N=2021の場合は、
 積xyは自然数の平方の差で必ずしも表せるとは限らないということかな。
太郎:そうだね。たとえば、2021=x+yとして、x=2019、y=2のときは、
 積xyは自然数の平方の差で表せないけど、(3)x=1984、y=37のときは
 積xyは自然数の平方の差で表すことができるよ

問1
(1)積xyは、必ずしも自然数の平方の差で表せるとは限らないね。とあるが、
N=7の場合、自然数の平方の差で表すことができる(x、y)の組は1組である。
このときxとyの積xyを求めよ。

問2
(2)Nが偶数のときには、積xyは必ず自然数の平方の差で表すことができるよ
が正しい理由を文字N、x、y、m、nを用いて説明せよ。
ただし、【表】のア~オに偶数か奇数を当てはめた結果については証明せずに用いてよい。

問3
(3)x=1984、y=37のときは、積xyは自然数の平方の差で表すことができるよ。とあるが、
1984×37=m2-n2を満たす自然数(m、n)の組は何組あるか。


@解説@
問1
実際に試してみる。
7=6+1=5+2=4+3
6×1=6、5×2=10、4×3=12

平方数を並べる。
【1、4、9、16、25、36…】
16-4=12なので、積xyは12。

問2
N=x+y(x>y)
xy=m2-n2(m+n)(m-n)

条件整理。
x、y、m、nは自然数。xy>0、m+n>0
xy=(m+n)(m-n)
だから、m-nも正の数(m-n>0)。
m+n>m-n、x>yなので、xが(m+n)、yが(m-n)に相当する

x=m+n…①、y=m-n…②の連立方程式を解く。
①+②
 x=m+n
+)y=m-n
x+y=2m
m=(x+y
)/2

①-②→n=(x-y)/2

mとnは自然数だから、分子の(x+y)と(x-y)は偶数でなくてはならない。
x+yとx-yがともに偶数となるには、xとyがどちらも偶数か奇数でなくてはならない
偶数+偶数=偶数、奇数+奇数=偶数なので、N=x+yにおいてNは偶数となる。

問3
1984を素因数分解すると、1984=26×31
【xy=1984×37=26×31×37=(m+n)(m-n)】
前問よりxとyはいずれも偶数か奇数でなければならない。
xyは素因数2を含むので偶数
偶×偶=偶、奇×奇=奇だから、xとyはともに偶数で
(偶数)×(偶数)の形しかない

また、m=(x+y)/2、n=(x-y)/2から、
xとyの値がわかれば、自動的にm、nの値も判明する。

x、yがともに偶数となるように素因数2を分配する
5×31、2×37
4×31、22×37
3×31、23×37

2×31、24×37
2×31、25×37
5、2×31×37
4、22×31×37
3、23×31×37
2、24×31×37
2、25×31×37
以上、10組。
*【25×31、2×37】であれば、x>yからx=25×31=992、y=2×37=74
m+n=992、m-n=74の連立をとくと、m=533、n=459となる。
本問はm、nの組み合わせの個数を求めるので、mとnの値はいちいち出さなくていい。
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