問題ＰＤＦ
（１）
３ｘ2＋12ｙ2＋12ｘｙ＋２ｘ＋４ｙ－８を因数分解せよ。
（２）
のとき、ａをｂの式で表せ。
ただし、０＜ｂ＜ａ＜２とする。
（３）
下図のように、１辺の長さが４の正三角形ＡＢＣと半径２の円Ｏがあり、
線分ＡＢと円Ｏの交点をＤとする。線分ＢＣと線分ＯＤは垂直であり、
ＯＢ＝ＢＤであるとき、三角形ＡＢＣと円Ｏの重なった斜線部分の面積Ｓを求めよ。
ただし、円周率はπを用いよ。
（４）
次の２つの等式を同時に満たす整数の組（ｍ、ｎ）をすべて求めよ。
（ｍ－２ｎ＋20）（ｍ＋ｎ）＝－12
（３ｎ－25）（ｍ＋ｎ）＝６
＠解説＠
（１）
数Ⅰでは長い式の因数分解は『最も次数の低い文字について整理するのがポイント』と習うが、
12ｘｙの処置が難しい…。前半の３つの項でなんとかすると、
３ｘ2＋12ｙ2＋12ｘｙ＋２ｘ＋４ｙ－８
＝３（ｘ2＋４ｘｙ＋４ｙ2）＋２ｘ＋４ｙ－８
＝３（ｘ＋２ｙ）2＋２ｘ＋４ｙ－８
＝３（ｘ＋２ｙ）２＋２（ｘ＋２ｙ）－８ ←ｘ＋２ｙ＝Ａとする
＝３Ａ２＋２Ａ－８
＝（３Ａ－４）（Ａ＋２） ←戻す
＝（３ｘ＋６ｙ－４）（ｘ＋２ｙ＋２）
（２）
重い…。適当にやると混乱する。
ｘ＝√(ａ＋ｂ)、ｙ＝√(ａ－ｂ)とすると、
０＜ｂ＜ａから両者は実数なので、
ｘ２＝ａ＋ｂ、ｙ２＝ａ－ｂ
ｘ＋ｙ＝２ …①
ｘ２、ｙ２を意識する。①を２乗して、
（ｘ＋ｙ）２
＝ｘ2＋ｙ2＋２ｘｙ
＝（ａ＋ｂ）＋（ａ－ｂ）＋２ｘｙ
＝２ａ＋２ｘｙ＝４ ←÷２
ａ＋ｘｙ＝２
ｘｙ＝２－ａ
（ｘｙ）2＝（２－ａ）２＝４－４ａ＋ａ２ …②
（ｘｙ）2＝ｘ2ｙ2＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ2 …③
②＝③より、４－４ａ＋ａ２＝ａ2－ｂ２
４ａ＝ｂ２＋４
ａ＝ｂ2/４＋１
（３）
ＢＣとＯＤ、円Ｏとの交点をそれぞれＥ、Ｆとする。
△ＢＯＤは二等辺、ＢＥ⊥ＯＤ→ＯＥ＝ＥＤ＝１ｃｍ
ＯＦに補助線。
弧ＤＦに付き合わなければならないので、中心角ＤＯＦが知りたい。
正三角形ＡＢＣの内角から、∠ＡＢＣ＝60°
△ＢＤＥは１：２：√３の直角三角形→ＢＥ＝√３/３ｃｍ
ＯＥ：ＯＦ＝１：２に着目して、△ＯＥＦは１：２：√３の直角三角形。
ＥＦ＝√３ｃｍ、∠ＥＯＦ＝60°
△ＯＢＥ：△ＯＥＦ＝ＢＥ：ＥＣ＝√３/３/√３：√３＝①：③
対称性から、△ＢＤＥ＝△ＢＯＥ＝①
求積すべき図形は、半径２ｃｍ中心角60°の扇形から－③＋①＝－②の面積を引く。
Ｓ＝２×２×π×１/６－１×√３/３÷２×②＝２/３π－√３/３ｃｍ２
＠余談＠
∠ＯＢＣ＝∠ＡＣＢで錯角が等しいから、ＢＯ//ＡＣ
Ｄの真下にＦがある。
（４）
共通する（ｍ＋ｎ）を無視すると、下の式を－２倍すれば上の式になるから、
－２（３ｎ－25）
＝－６ｎ＋50＝ｍ－２ｎ＋20
ｍ＝－４ｎ＋30
これをｍが１つしかない下の式に代入する。
（３ｎ－25）（ｍ＋ｎ）
＝（３ｎ－25）（30－３ｎ）＝６
正負の組み合わせは、正×正か負×負。
●正×正
３ｎが２回登場する。
（３ｎ－25）と（30－３ｎ）が共に正となるのは、25＜３ｎ＜30
ｎは整数なので、３ｎ＝27しかない。
ｎ＝９
●負×負
先ほどの数直線でいうと、３ｎ－25が負となるのは３ｎが25未満、
30－３ｎが負となるのは３ｎが30を超えるが、そのような３ｎは存在しない。
数学的に記述すると、連立不等式を用いる。
３ｎ－25＜０
ｎ＜25/３ …①
30－３ｎ＜０
ｎ＞10 …②
①と②は共通部分がないので解なし。
ｎ＝９
ｍ＝－４ｎ＋30＝－６
（ｍ、ｎ）＝（－６、９）
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