2022年度 東京工業大学附属科学技術高校過去問【数学】大問5解説

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【図1】のように、正十二角形ABCDEFGHIJKLがあり、
対角線AGの中点をOとするとき、OA=1cmである。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
△OABの面積を求めなさい。

(2)
【図2】は、【図1】の正十二角形に点Aを中心として線分ADの長さを半径とする円を
かき加えたものである。影をつけた部分の面積を求めなさい。

(3)
【図3】は、【図1】の正十二角形に点Aを中心として、線分AC、AD、AEの長さを半径とする3つの円をかき加えたものである。影をつけた部分の面積の和を求めなさい。


@解説@
(1)

∠BOA=360÷12=30°
Bから垂線をひくと、辺の比が1:2:√3の直角三角形があらわれる
△OABの底辺をOAとしたときの高さは、1÷2=1/2
cm
△OABの面積は、1×1/2
÷2=1/4cm2

(2)

曲線DJを弧とする扇形をつくる
A・D・G・Jは正十二角形の頂点2個飛ばし。
回転対称から四角形ADGJは正方形→∠DAJ=90°
Oを復元すると、直角三角形OADの辺の比1:1:√2
から半径AD=√2cm
扇形ADJの面積は、√2×√2×π×1/4=π/2cm2

残りの部分は正十二角形から正方形ADGJをひいて×4、これを÷2をすると×2になる
正十二角形の面積は、(1)の△OAB12個分で1/4×12=3cm2
×2={3-(√2)2}÷2=1/2cm2
したがって、求積すべき図形の面積は、π/2+1/2=
(π+1)/2cm2

(3)

なんかもうヤバイし、ずっと見てると気分悪くなってくる(´Д`|||)
正解者はほとんどいないと思うので本番では捨てましょう。
曲線は扇形の弧にしないと求まらないので、扇形AEIを作図する

正六角形ACEGIKを6分割した正三角形を描いてみた
左が曲者なので、△EFGと△GHIを△ABCと△KLAへお引越し
それぞれ正十二角形の1辺を等辺とする合同な二等辺三角形である。

2つに狙いを定める。
小さい正三角形の1辺は1cm。その高さは√3/2cmで、AE=√3/2×2=√3cm
△AEIは正十二角形の頂点3個飛ばしだから正三角形。∠EAI=60°、EI=√3cm
AG=2cmで、AGとEIは直交する。
×2=四角形AEGI-扇形AEI
=2×√3÷2-√3×√3×π×1/6
=√3-π/2cm2

は先ほど求めたところ。
残りの部分は(2)で求めた図形から扇形ACKを引けばいい

(π+1)/2-1×1×π×1/3
=(π+3)/6

したがって、求積すべき図形の面積は、
√3-π/2+(π+3)/6
=1/2+√3-π/3cm2
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