問題ＰＤＦ
１辺の長さがａである５つの立方体をすきまなく重ねて下の図のような立体を作る。立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨは、線分ＥＧが線分ＩＫ上にあり、線分ＥＧの中点と線分ＩＫの中点が一致する位置にある。この立体を３点Ｄ、Ｍ、Ｏを通る平面で切り、２つに分ける。
このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）
切り口の面積を求めなさい。
（２）
２つに分けた立体のうち、体積の大きい方の立体の体積を求めなさい。
＠解説＠
（１）
まずは断面図の作成。
うえの立方体が奥ではなく、半歩手前にズレているのが厄介(;`ω´)
ポイントはＭＯ//ＱＲ。断面図は平行関係を意識しよう。
もう１つはＤとＱＲの中点、ＭＯの中点は１直線上に並び、距離が１：１であること。
分割すると合同な二等辺三角形が８つできる。
二等辺の底辺は、１辺が１/２ａである正方形の対角線で√２/２ａ。
高さは二等辺の底辺の半分である√２/４ａと立方体の１辺ａで三平方→３√２/４ａ。
（上図の緑の直角三角形）
したがって、√２/２ａ×３√２/４ａ÷２×８＝３ａ2
（２）
ＭＯから出発すると切り口は後ろに向かっていくから、体積が大きいのはＮを含む手前の立体。
うしろの立体が錘の計算をしやすいので、後ろを求めて全体から引く。
赤い三角錘の体積は、１/２ａ×１/２ａ÷２×ａ÷３＝１/24ａ3
赤い三角錐の底辺の１辺を①とすると、ＰＯ＝④、ＬＲ＝③。
体積比は辺の比の３乗。
赤い三角錐の体積を【１】とすると、三角錘Ｓ－ＰＭＯは④3＝【64】。
三角錘Ｓ－ＬＱＲは③3＝【27】。角錐台ＬＱＲ－ＰＭＤは【64】－【27】＝【37】。
小さいほうの立体の体積は、赤い三角錘＋角錐台＝１/24ａ3＋１/24ａ3×37＝38/24ａ3＝19/12ａ3
５つの立方体の体積は５ａ3。
大きいほうの立体の体積は、５ａ3－19/12ａ3＝41/12ａ3
2020年度・高校生クイズ優勝おめでとうございます★.:ﾟ+｡☆(*’ω’*)☆.:ﾟ+｡★
国私立高校入試解説ページに戻る
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д｀)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい！
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ！
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
ＱＵＩＺ…☆４以上はムズいよ！
ｎｏｔｅも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのｎｏｔｅ
サボのツイッターはコチラ→
コメント