2020年度 渋谷教育学園幕張高校過去問【数学】大問5解説

1辺の長さがaである5つの立方体をすきまなく重ねて下の図のような立体を作る。立方体ABCD-EFGHは、線分EGが線分IK上にあり、線分EGの中点と線分IKの中点が一致する位置にある。この立体を3点D、M、Oを通る平面で切り、2つに分ける。
このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
切り口の面積を求めなさい。

(2)
2つに分けた立体のうち、体積の大きい方の立体の体積を求めなさい。


@解説@
(1)
まずは断面図の作成。

うえの立方体が奥ではなく、半歩手前にズレているのが厄介(;`ω´)
ポイントはMO//QR。断面図は平行関係を意識しよう。
もう1つはDとQRの中点、MOの中点は1直線上に並び、距離が1:1であること。

分割すると合同な二等辺三角形が8つできる。
二等辺の底辺は、1辺が1/2aである正方形の対角線で√2/2a。
高さは二等辺の底辺の半分である√2/4aと立方体の1辺aで三平方→3√2/4a。
(上図の緑の直角三角形
したがって、√2/2a×3√2/4a÷2×8=3a2

(2)

MOから出発すると切り口は後ろに向かっていくから、体積が大きいのはNを含む手前の立体。
うしろの立体が錘の計算をしやすいので、後ろを求めて全体から引く。
赤い三角錘の体積は、1/2a×1/2a÷2×a÷3=1/24a3


赤い三角錐の底辺の1辺を①とすると、PO=④、LR=③。
体積比は辺の比の3乗
赤い三角錐の体積を【1】とすると、三角錘S-PMOは④3=【64】。
三角錘S-LQRは③3=【27】。角錐台LQR-PMDは【64】-【27】=【37】。
小さいほうの立体の体積は、赤い三角錘+角錐台=1/24a3+1/24a3×37=38/24a3=19/12a3

5つの立方体の体積は5a3
大きいほうの立体の体積は、5a3-19/12a3=41/12a3

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