2025年度　早稲田大学本庄高等学院過去問【数学】大問２解説

問題ＰＤＦ
１つのさいころを３回投げ、出た目を順にａ、ｂ、ｃとする。
Ｏを原点とする座標平面上において、関数ｙ＝ｘ^２のグラフ上にｘ座標が
それぞれａ、－ｂ、－ｃである３点Ａ、Ｂ、Ｃをとる。次の各問に答えよ。

（１）
直線ＯＢと直線ＡＣが平行になる確率を求めよ。

（２）
直線ＯＢと直線ＡＣが平行で、四角形ＯＡＣＢの面積が70以上になる確率を求めよ。

（３）
直線ＯＢと直線ＡＣが平行で、直線ＡＢと直線ＯＣの交点のｘ座標とｙ座標の和が
整数になる確率を求めよ。

＠解説＠
（１）

ｙ＝ａｘ^２において、ｘの値がｐ→ｑに増加したときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
平行ゆえＣＡとＢＯの変化の割合は等しいから、
１（－ｃ＋ａ）＝１（－ｂ＋０）
ｂ＝ｃ－ａ

以上、15通り
全体は６³だから、15/６³＝５/72

（２）
１個ずつ面積を調べるのは困難なので、台形の面積を文字で表す。

*｜は絶対値を示します。
三角形の頂点の１つが原点にある場合、残りの２つの頂点のｘ・ｙ座標をクロスにかけた積のうち、
大きい方から小さい方を引いた差を÷２すると三角形の面積が求まるテクニックを使います。

ａｂ²＞－ａ²ｂ
△ＡＢＯの面積は、１/２｛（ａｂ²－（－ａ²ｂ）｝＝１/２ａｂ（ａ＋ｂ）
上底ＢＯ：下底ＣＡ＝ｂ：（ａ＋ｃ）より、
台形ＣＢＯＡの面積は、１/２ａｂ（ａ＋ｂ）×（ａ＋ｂ＋ｃ）/ｂ
＝１/２ａ（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ＋ｃ）　←前問のｂ＝ｃ－ａを代入
＝１/２ａ・ｃ・２ｃ
＝ａｃ^２≧70

計６通り
確率は、６/６³＝１/36

（３）

ＡＢとＣＯの交点をＤとして、Ｄ座標を求める。
△ＡＣＤ∽△ＢＯＤより、ＣＤ：ＤＯ＝ＡＣ：ＢＯ＝（ａ＋ｃ）：ｂ

 高校数学の美しい物語より。ここで内分点の公式を使う。
ＡＢでも解けるが、原点Ｏを含むＣＯに適用すると計算が楽になる。
ＤはＣＯを（ａ+ｃ）：ｂに内分する点だから、

ＣＯ；ｙ＝－ｃｘだから、ｙ＝（－ｃ）×（－ｂ/２）＝ｂｃ/２
Ｄのｘ座標とｙ座標の和は、－ｂ/２＋ｂｃ/２＝ｂ（ｃ－１）/２

ｃは２以上。ｂが偶数なら分母の２が払われる。
ｂが奇数の場合はｃが奇数のときに該当する。
計９通り
確率は、９/６^３＝１/24