2022年度　大分県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均27.3点（前年比；－5.7点）

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大問１（小問集合）

（１）①　93.5％
－８－５
＝－13

②　83.8％
７＋３×（－２²）
＝７＋３×（－４）
＝７－12
＝－５

③　85.9％
（ｘ－ｙ）/４＋（ｘ＋２ｙ）/３
＝｛３（ｘ－ｙ）＋４（ｘ＋２ｙ）｝/12
＝（３ｘ－３ｙ＋４ｘ＋８ｙ）/12
＝（７ｘ＋５ｙ）/12

④　72.4％
４ｘ²÷６ｘｙ×（－９ｙ）
＝－６ｘ

⑤　78.3％
√24－２√３/√２
＝２√６－√６
＝√６

（２）　72.9％
ｘ²＋３ｘ－５＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（－３±√29）/２

（３）　64.1％
ｘ²－８ｘ＋12
＝（ｘ－２）（ｘ－６）　←ｘ＝√７＋４を代入
＝（√７＋２）（√７－２）
＝（√７）^２－２²
＝７－４＝３

（４）　59.9％
ｙ＝ｘ²は下に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝３のとき、最大値ｙ＝９
０≦ｙ≦９

（５）　48.2％

△ＡＣＤは二等辺。
∠ＣＡＤ＝180－68×２＝44°

ＡＤ//ＢＣの錯角で、∠ＡＣＢ＝44°
二等辺ＥＢＣの底角で、∠ＥＢＣ＝44°
平行四辺形の対角は等しいから、∠ＡＢＣ＝68°
よって、∠ＡＢＥ＝68－44＝24°

（６）２点―34.7％、１点―8.3％

ＡＣの中点をＦとする。ＢがＦにくる折り目の両端を作図する。
①ＡＣの垂直二等分線→ＡＣとの交点がＦ。
②ＢＦの垂直二等分線→これが折り目となり、ＡＢ、ＢＣとの交点がＤ、Ｅになる。

大問２（関数）

（１）　73.8％
ｙ＝ｘ＋５にｘ＝１を代入して、Ａ（１、６）
これをｙ＝ａ/ｘに放り込む。
ａ＝１×６＝６

（２）　44.7％

ｙ＝ｘ＋５にｙ＝０を代入して、Ｃ（－５、０）
傾きが－１/３ということは、右に③進むと、下に①さがる。
③＝５なので、切片はＯから５×①/③＝５/３下にある。
ｂ＝－５/３

（３）　6.0％!!

ＡとＤはｙ＝６/ｘ上の点である。
反比例はｘ座標とｙ座標の積が等しい→三角形の底辺×高さが等しい＝等積
Ａから垂線をおろし、ｘ軸との交点をＦとすると、△ＤＯＣと△ＡＯＦは面積が等しい。
（計算すると△ＤＯＣ…５×６/５＝６、△ＡＯＦ＝１×６＝６）
△ＤＯＣを△ＡＯＦに移動させると、四角形ＡＣＤＯは△ＡＣＦに変形できる。

△ＡＣＦと△ＡＣＥは等積だから、ＣＡ//ＥＦ。
ＥＦの傾きはＡＣと同じで１。ＥＦの切片はＦから左に１、下に１移動して－１。
ＥＦ；ｙ＝ｘ－１
ＢＣ；ｙ＝－１/３ｘ－５/３
これらの交点がＥである。
ｘ－１＝－１/３ｘ－５/３
ｘ＝－１/２

大問３（確率＆数量変化）

（１）①　58.9％
６つから２つを選んで花子か太郎を座らせる→順番を考慮するので順列。
₆Ｐ₂＝６×５＝30通り

②　48.1％

空席２つ以上を調べあげた方が早い。
１に一方を座らせる→他方は４・５・６の３通り
２に座らせる→５・６の２通り
３に座らせる→６の１通り
全部で６通り。逆に座らせる場合を含めると12通り。
確率は12/30＝２/５

（２）①２点―24.8％！、１点―13.3％

４秒後にＰはＤ、ＱはＢに着く。
０≦ｘ≦４では△ＡＱＰの底辺と高さが伸びるので、面積はｙ＝ａｘ²で増加する。

９秒後にＰはＣに着く。
４≦ｘ≦９では△ＡＱＰの面積が変わらない。
14秒後にＰはＢに着き、△ＡＱＰの面積が０になる。

グラフでまとめるとこのようになる。

②6.4％!!

最初にｙ＝４となるのは、グラフからｘ＝２。
ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（４、16）を代入すると、ａ＝１
ｙ＝ｘ²にｙ＝４を代入して、ｘ＞０から、ｘ＝２となる。

後半は相似を用いる。
？＝５×４/16＝５/４分＝１分15秒
赤線の時間は、14分－（２分＋１分15秒）＝10分45秒

大問４（方程式）

（１）　64.3％
総和÷個数で平均が求まるが、少しでも時間をかけずに処理したい。

そこで、部分的に均してみる。
3.4と3.6の平均は3.5だから、各々の１人ずつを3.5に集める。
同様に、3.9と4.1の５人ずつを4.0に集めると、4.0ｋｍは16人になる。
3.5と4.5の２人ずつを4.0に集めると、ちょうど20人全員を4.0ｋｍに集めることができた。
したがって、平均は4.0ｋｍ。

（２）①　15.6％！
通勤距離は（１）の平均値を用いるので、（１）を間違えたら希望はない。
20人全員が車に乗った場合のＣＯ₂排出量は、130ｇ×20人×４ｋｍ
これに削減達成率の36.5％をかければ削減量が出る。
130×20×４×36.5％＝3796ｇ

②ア…11.3％！、イ…13.1％！、ウ…13.3％
路線バスをｘ人、自家用車をｙ人とする。
人数で等式。
ｘ＋ｙ＝20　…①

ＣＯ₂排出量で等式。
１ｋｍあたり路線バスが57ｘｇ、自動車が130ｙｇで、４ｋｍだから４倍する。
全体のＣＯ₂排出量は前問の式より130×20×４ｇで、これに63.5％をかける。
57ｘ×４＋130ｙ×４＝130×20×４×63.5％　←先に÷４をして×４を削除するといい。
57ｘ＋130ｙ＝1651　…②

②－①×57をすると、73ｙ＝511
ｙ＝７
①に代入して、ｘ＝13
ｘ＝13、ｙ＝７
バスに変更した人数は13人。
ア…（例）57ｘ×４＋130ｙ×４＝130×20×４×63.5％、イ…13、ウ…７

＠余談＠
本問は連立方程式の強制で使えないが、値だけを求めるのであれば方程式を使わない方が楽。
全員車の状態からある人数までバスに切り替えると、①より3796ｇのＣＯ₂が削減できた。
４ｋｍ計算なので、１ｋｍあたりになおすと3796÷４＝949ｇ
１人が車からバスに変えると、１人あたりのＣＯ₂削減量は130－57＝73ｇ
合計の削減量が949ｇだから、949÷73＝13人が車からバスに切り替えた。

大問５（空間図形）

（１）　67.3％
△ＡＢＣで三平方→ＡＣ＝２√５ｃｍ

（２）　26.1％！

ＡＢ//ＦＥとなるように、△ＡＢＰを奥へ折り返して△ＦＥＰと同一平面上にもってくる。
△ＡＢＰ∽△ＦＥＰより、相似比はＢＰ：ＰＥ＝４：６＝②：③
ＢＰ＝５×②/⑤＝２ｃｍ
△ＡＢＰで三平方→ＡＰ＝２√５ｃｍ

（３）①　2.5％!!
△ＡＦＰの特徴をとらえる。

先ほどの△ＡＢＰ∽△ＦＥＰを用いる。
ＡＰ：ＦＰ＝②：③だから、ＦＰ＝２√５×③/②＝３√５ｃｍ
△ＡＣＦで三平方→ＦＡ＝３√５ｃｍ

△ＡＦＰは二等辺三角形。その高さは三平方で２√10ｃｍ。
２√５×２√10÷２＝10√２ｃｍ²

②　0.4％!!!

左の底面を△ＡＰＣとしたときの高さａと、右の底面を△ＡＦＰとしたときの高さｂを比較する。
ひとまず問題はおいといて、２つの三角錐の底面を△ＡＤＰで捉えると、
左の三角錐Ｃ―ＡＤＰのＣをＦにスライドすれば右の三角錐Ｆ―ＡＤＰになる。
つまり、等積変形から２つの三角錐の体積は等しい。
同体積の場合、高さの比は底面積の逆比である。
前問で△ＡＦＰの面積が10√２ｃｍ²とわかっているので、△ＡＣＰの面積がわかればいい。

△ＢＣＰで三平方→√40ｃｍ
２√５＝√20に直してみると、△ＡＣＰの辺の比は１：１：√２で直角二等辺三角形！
２√５×２√５÷２＝10ｃｍ²
高さの比は逆比だから、ａ：ｂ＝10√２：10＝√２：１
ａ/ｂ＝√２

大問６（平面図形）

（１）３点―35.1％、２点―3.7％、１点―16.9％、無記入―23.0％

対頂角と弧ＡＢに対する円周角で２角が等しい→∽

（２）①　33.4％

ＯＢに補助線。
半径と接線は直交するから、∠ＯＢＦ＝90°
△ＯＢＦの内角で、∠ＢＯＦ＝180－（90＋30）＝60°

半径より、ＯＢ＝ＯＣ
二等辺三角形ＯＢＣの頂角が60°→△ＯＢＣは正三角形。
ＯＣ＝ＢＣ＝２ｃｍ

②　0.1％!!!

直径に対する円周角は90°だから、∠ＡＤＣ＝90°
ＤＡ＝ＤＣから△ＡＣＤは直角二等辺三角形。
△ＯＣＤも同様で、辺の比は１：１：√２なのでＣＤ＝２√２ｃｍ

弧ＢＣに対する円周角で、∠ＢＤＣ＝60÷２＝30°

△ＣＤＥをピックアップ。
Ｅから垂線を引くと、お馴染みの直角三角形が現れる。
左の直角二等辺三角形の等辺を①とおくと、ＥＤ＝②、ＣＤ＝〇√３＋①である。

ＥＤ＝２√６－２√２ｃｍ