問題ＰＤＦ
次の文章を読んで以下の問いに答えなさい。
なお、この問題においては、１億円を10000万円と表すことにする。
スーマー工場では、製品をつくるために、ある原料を発注および保管している。
ある１年間において、スーマー工場の原料の発注と保管にかかる総費用を考えてみよう。
この〈条件〉のもと、太郎くんと花子さんが会話をしている。
太郎：まずは、この原料100ｔを１年間使わずに保管し続ける場合を考えてみよう。
必要な費用は、１回目の発注費用と１年間の保管費用だけだから、総費用は（ ア ）万円だね。
花子：そうだね。でも実際には、原料は常に使われていくから、保管する量も次第に
減っていくことになるよね。その場合の保管費用はどのように考えたらいいんだろう。
太郎：こんな資料を見つけたんだ。次の資料①と資料②を見て。
太郎：100ｔを 1 年間で使い切るときと、50ｔを１年間使わずに保管し続けるときの
保管量の変化を表したものになっているよ。
花子：なるほど。こうして資料①と資料②を比べて変化を見てみると、
100ｔを１年間で使い切るときと50ｔを１年間使わずに保管し続けるときで、
１年間の保管する量が同じになることがわかるね。
太郎：そうだね。資料①と資料②で、１年間の保管費用は同じになるね。
花子：ということは、１回目に100ｔを発注し、その100ｔを１年間で使い切る
ときの総費用は（ イ ）万円とわかるね。
太郎：そうだね。同じように考えれば、保管する量が次第に減っていくときでも、
保管費用を求めることができそうだね。
花子：ほかの資料はなにかないの？
太郎：こんな資料③も見つけたよ。
花子：100ｔを２回にわけて、50ｔずつ発注しているときの資料だね。
太郎：発注が２回行われているから、発注費用が多くなっちゃうね。
花子：でも、保管する量が少ない分、保管費用はおさえられているね。
（１）
太郎くんと花子さんの会話中にある空欄（ ア ）,（ イ ）に入る数値を答えなさい。
資料③のように、100ｔの発注は必ずしも１回で行う必要はなく、50ｔずつ２回
にわけて発注したり、25ｔずつ４回にわけて発注したりしてもよい。
発注は必ず同じ量ずつ行われ、原料の在庫が無くなると即座に発注する。
また、発注から納品までにかかる時間は考えないものとする。
（２）
会話を参考にして、１/２年ごとに50ｔずつ発注するとき、
発注と保管にかかる総費用（万円）を求めなさい。
（３）
１/４年ごとに25ｔずつ発注するとき、発注と保管にかかる総費用（万円）を求めなさい。
（４）
ｎを１以上の整数とする。
１/ｎ年ごとに100/ｎｔずつ発注するとき、発注と保管にかかる総費用（万円）をｎの式で表しなさい。
また、総費用が最小となるときのｎの値とそのときの最小値（万円）を求めなさい。
ただし、つぎの（参考）を使ってもよいものとする。
＠解説＠
（１）
『１ｔ・１年』の保管費用は400万
『100ｔ・１年』の保管費用は40000万
１回の発注費用が50万だから、総費用は40050万（ア）
＠＠
実際は保管中の原料量が減っていく。
資料①と資料②の斜線の面積は等しい→半分の量で均して考える。
『100ｔ・１年』→『50ｔ・１年』で捉えると、保管費用は半額の20000万
発注費用50万を足して、総費用は20050万（イ）
ア…40050、イ…20050
（２）
25ｔに均す。
『25ｔ・１年』の保管費用はさらに半額の10000万
発注は２回なので、発注費用は50万×２＝100万
総費用は、10100万円
（３）
同様に考える。
25ｔの半分の12.5ｔで均すと、保管費用は半額の5000万
発注は４回なので、総費用は5000万＋50万×４＝5200万円
（４）
１/ｎ年ごとに発注するので、１年間の発注回数はｎ回（１÷１/ｎ＝ｎ）
『１ｔ・１年』の保管費用が400万
均して考えると、『50/ｎｔ・１年』は、400万×50/ｎ＝20000万/ｎ
発注費用は50万がｎ回なので、50ｎ万
総費用は、50ｎ万＋20000万/ｎ
単位は万円なので、50ｎ＋20000/ｎ
この式を《参考》の流れに乗せる。
①共通因数50でくくり、分母ｎでまとめる。
②ｎ２と＋400から（ｎ－20）２を利用する。
③－40ｎを相殺するために＋40ｎを追加する。
40ｎを分母４ｎから外すと、＋40ｎ÷ｎ×50＝＋2000
50×（ｎ－20）２/ｎ＋2000は、ｎ＝20を代入すると、最小値2000になる。
総費用の式…50ｎ＋20000/ｎ
ｎ＝20のとき、最小値2000万円
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