2019年度 高知県公立高校入試問題A日程【数学】解説

平均18.5点(50点満点)

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大問1(計算)

(1)  91.8%
2-9-(-4)
=2-9+4=-3

(2)  64.9%
(7x+2)/3+x-3
=(7x+2+3x-9)/3
=(10x-7)/3
*誤答では、分母を含めて計算しなかった、10x-7が多い。
また、通分せずにそのまま計算している(8x-1)/3もあった。

(3)  73.5%
8a÷(-4a2b)×(ab2
=-2b

(4)  71.0%
4√3÷√2+√54
=2√6+3√6
=5√6

大問2(小問集合)

(1)  47.8%
a×b×1/2=15
ab/2=15
b=30/a
*誤答では15/a、15aが多い。

(2)  39.1%(部分点19.0%、無答15.9%)
解答用紙では過程も記述する。
x=2を代入。
2-2a-12=0
2a=-8
a=-4

これをもとの式のaに代入。
2-(-4)x-12
=x2+4x-12
=(x-2)(x+6)=0
もう1つの解は、x=-6
*誤答では、aに2を代入したり、計算ミスがあった。

(3)  36.1%
9/2<√n<5
根号が邪魔なので、すべてを2乗する。
81/4(20・1/4)<n<25
自然数nは、21・22・23・24→4個

(4)  66.0%
反比例:y=a/x
a=xy=-3×8=-24
y=-24/6=-4

(5)  37.2%
y=x2の傾きは正なので、下に凸のグラフ。
yの最小値0は、x=0のとき(原点)。
x=2のとき、y=4なので、
yの最大値9がx=aにあたる。(aは原点より左、つまり負)
9=a2
a=±3
aは負なので、a=-3
*誤答は、0や3が多かった。

(6)  41.9%
解答では途中式も要求される。
和と差の平方の形に持っていく。
1032-972
=(103+97)(103-97)
=200×6=1200

(7)  53.6%
円柱になります。
4×4×π×6=96πcm3

(8)  67.7%
中央値(メジアン)の意味さえわかれば、サッと選べる。
70人の中央値は35番目と36番目の平均値。

(9)  31.2%!(部分点0.2%、無答12.2%)
作図問題。
①BP=CP→BCの垂直二等分線
②∠BCP=∠ACP→∠ACBの二等分線
この交点が点Pとなる。


大問3(数量変化)

(1)  14.3%!
0≦x≦6→QがFに着くまで。
BP=x、CQ=2xで、四角形PBCQは台形。
(x+2x)×8÷2=12xcm2
*誤答には、xが含まれていない解答が多くみられた。

(2)  9.6%!!
PQが長方形BCFEを2等分する。
PBCQは台形なので、長方形との面積比は上底+下底の和で決まる。
長方形の対辺であるBE+CF=24だから、
BP+CQ=12のときに、PQが長方形を2等分する。

はじめは、QがPよりも上にあるとき。
x+2x=12
x=4

2つ目はQがFを折り返して、Pよりも下にあるとき。
CF間の往復距離は、12×2=24
CQ=24-2x
x+(24-2x)=12
x=12
したがって、x=4、12

(3)  0.9%!!!
QがFに着くまでの0≦x≦6では、DP=DQとはならない。
なぜなら、初期状態がDP(DB)>DQ(DC)で、
Qが先にDに近づくので、DP>DQの関係が継続する。
DP=DQとなるのは、QがFを折り返した後(6≦x≦12)のとき。

EP=12-x、FQ=2x-12(Qが進んだ2xから片道12を引く)
△DEPと△DFQに注目!<●><●>カッ!
DP=DQと三平方から等式を作成する。
2+(12-x)2=32+(2x-12)2
36+144-24x+x2=9+4x2-48x+144
3x2-24x-27
=x2-8x-9
=(x+1)(x-9)=0
x>0なので、x=9
BP=9。

FQ=2×9-12=6より、QC=6

QからPBに向けて垂線、その交点をRとする。
△PQRで三平方
PQ=√(82+32)=
√73cm

大問4(確率)

(1)①  31.6%!
【大】の出目の箱から1個取り出し、【小】の出目の箱に移動させる。
1回だけの操作で空になるには、【大】で1を出し、【小】で2~6を出す
すると、1の箱が空になる。

2つのサイコロの出目のパターンは、6×6=36通り
【小】の2~6→5通り。
5/36

②  29.5%!
どうすれば、『玉の数が同じ箱が3つできる』だろうか?
2を真ん中に、3→1に1個わたす。2個が3つできる。
3を真ん中に、4→2に1個わたす。3個が3つできる。
同様に4を真ん中、5を真ん中にして一方から他方に渡す。
計4通り。
4/36=
1/9

(2)  22.5%!
今度は【大】の箱をすべて【小
】の箱に移す。
大1のとき、小=2・3・4・5
大2のとき、小=1・3・4
大3のとき、小=1・2
大4のとき、小=1・2
大5のとき、小=1
大6のとき、なし。
計12通り。
12/36=1/3


大問5(関数)

(1)  56.9%
A(2、4)
菱形OACBより、Cのy座標はAのそれの2倍。
(0、8)

(2)  10.1%!
覚えておいて欲しいのは、
平行四辺形を2等分する直線は必ず対角線の交点(真ん中)を通る』こと。
菱形も長方形も正方形も特別な平行四辺形なので、同様のことが言える。

(0、4)→(3、0)
下に4、右に3なので、傾きは-3/4。
切片は4。
y=-4/3x+4

(3)  0.5%!!!
手順はつかみやすい方かな?
処理過程が煩雑系。

菱形OACBの面積=4×8÷2=16
面積比から、正方形の面積=16×25/64=25/4
正方形の1辺(OD)=√(25/4)=5/2

(2、0)をEとする。
△ODEで三平方→ED=3/2
D(2、-3/2)

これをy=ax2に放り込む。
-3/2=4a
a=
-3/8

大問6(平面図形)

(1) 5.9%!(部分点19.0%、無答26.9%)
△ABC∽△DAFの証明。

直径ABに対する円周角から、∠ACB=90°
内角を〇+×=90°として調べると、2角が等しい→∽

(2)  0.5%!!!
ADとCBが平行っぽい

∠DACと∠ACBは同位角の関係にはないが、
ともに90°なので延長線をひいて同位角を作れば、AD//CBとなる。
錯角や対頂角で、△AED∽△BEC
AE:BE=AD:BC=8:6=4:3
AB=10なので、AE=10×4/7=40/7cm

前問の△ABC∽△DAFを活用する。
△ABCの辺の比は5:4:3なので、
AF=8×3/5=24/5cm
よって、FE=40/7-24/5
32/35cm

平均3割7分という鬼畜っぷりだが、得点分布はM字カーブを描いており、
二極化がくっきりあらわれている。
大問3のラストは空間要素を含む難問。
5(3)は時間に余裕があれば、もっと正解者でたかな?(‘ω’)

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