問題ＰＤＦ
下の図１のような２ｎ個のマスのそれぞれに○、×のいずれかの記号を入れる入れ方を考える。ただし、180°回転して同じになるものは１通りと数えることにする。たとえば n = 1 のとき、記号の入れ方は図２のように３通りある。
（１）
ｎ＝２のとき、記号の入れ方は何通りありますか。
（２）
ｎ＝３のとき、記号の入れ方は何通りありますか。
（３）
ｎが自然数のとき、２ｎ個のマスに記号を入れる入れ方はｎを用いて何通りありますか。
＠解説＠
（１）
〇の数で場合分けする。〇４個は１通り
〇３個は２通り。
左右対称は弾くので、左２マスだけを見るといい。
左２マスで場合分けする。〇２個は４通り
〇１個は〇３個と同じ２通り
〇０個は〇４個と同じ１通り
（〇が×に変わっただけ）
計10通り
（２）
〇６個…１通り
〇５個…前半３マスのどこに×を置くかで３通り
調査が厳しい。ここらで方針を立てる。
『左右反転で重複するものを１通りと数える』のが本問のポイントなので、
左右反転しても１つしかない（重複しない）対称パターンと、
左右反転で二重カウントしてしまう（重複する）非対称パターンに分ける。
〇４個の対称パターンは３つある。（数が少ない×の位置で決めると良い）
〇４個の並び替えは、６Ｃ４＝６Ｃ２＝15通り
全体－対称＝非対称から÷２をして重複を弾く。
非対称パターン…（15－３）÷２＝６通り
全部で、３＋６＝９通り
〇３個は奇数だから、必ず非対称になる。
全体は６Ｃ３＝20通り
非対称…20÷２＝10通り
〇２個は〇４個と同じ９通り
〇１個は〇５個の３通り、〇０個は〇６個の１通りと同じ。
（１＋３＋９）×２＋10＝36通り
（３）
おさらいすると、入れ方の合計は〔対称＋非対称〕
非対称＝（全体－対称）÷２
今までは〇の数で場合分けをしたが、今回はｎの値が決まっていない。
そこで、〇の数で場合分けせず、まとめて処理できる計算方法を考える。
全体…マスごとに〇・×の２通り。２ｎマスあるから２２ｎ通り
対称…２ｎマスの半分であるｎマスだけを考えればいい。２ｎ通り
（左半分を決め、それを反転させて右半分にくっつける）
非対称…（全体－対称）÷２＝（２２ｎ－２ｎ）/２通り
対称＋非対称＝２ｎ＋（２２ｎ－２ｎ）/２
＝｛２×２ｎ＋（２２ｎ－２ｎ）｝/２
＝（２ｎ+１＋２２ｎ－２ｎ）/２ ←２ｎ＋１－２ｎ＝２ｎ
＝（２２ｎ＋２ｎ）/２通り
＠余談＠
回転させて同じパターンを同一とみなす条件に関連して、バーンサイドの補題という公式があるようです。
こちらのサイトに説明があります→同じものを含む円順列の裏技公式（高校数学の美しい物語）
しかし、公式の読解が難しいので中学生には厳しいです…。
公式の核心は『各対称操作で変わらない配置の個数を均す』
本問のような180°回転の場合、対称操作の個数は①何もしない（０°回転）、②180°回転の２通り。
（１）４マスの場合
全体は２４＝16通り
対称操作をしても不変（対称パターン）は２２＝４通り
（全体＋不変）/（対称操作の個数）＝（16＋４）/２＝10通り
（２）６マスの場合
全体は２６＝64通り
対称操作をしても不変（対称パターン）は２３＝８通り
（64＋８）/２＝36通り
（３）２ｎマスの場合
全体は２２ｎ通り、不変（対称パターン）は２ｎ通り
（２２ｎ＋２ｎ）/２通り
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