2015年度 千葉県公立高校入試【前期】数学解説

平均46.9点
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)-81.6%

(1)  96.6%
(-7)-(-4)
=-7+4  ←符号かわるよ。
=-3

(2)  93.1%
(-4)2+8÷(-2)
=16-4
=12

(3)  74.6%
1/2(3a-2b)-(2a-b)
=3/2a-b-2a +b     ←bが消える。
=-1/2a

(4)  65.0%
2a-3b=1を、bについて解く。→ 「b=~」の形にする。
3b=2a-1 ←-3bと1を移項して、左右反転
b=(2a-1)/3

(5)  84.4%
√32-2√18+5√2
=4√2-6√2+5√2 ←ルート2に揃える。
=3√2

(6)  75.9%
2-2x=3(x-1)を解く。
2-2x=3x-3
2-5x+3=0  ←因数分解できないので、解の公式
x=(5±√13)/2

*1問5点。ここだけで合計30点はゲットできるので、全問正解必須。
逆にここで1問でも落とすと痛いので、最低2回くらいはササっと見直ししたいところ。

大問2(小問集合)-41.8%

(1) 77.4%
例年通りの記号問題。正解がわかれば、他は特に検討しなくてもOK。
解説なので1個ずつ検証。
ア:レンジ(range;範囲)は0~5冊。×
イ:モードは一番多いものなので3冊。×
ウ:メジアンは真ん中の値。20人の場合は10人目と11人目の平均値。
下から数えていくと、ありがたいことに10人目と11人目がともに3冊。○
エ・・(0×2+1×3+2×4+3×7+4×1+5×3)÷20=2.55冊。×

(2) 43.2%
√の中が平方数になれば、√が外れて整数となる。
nの最小値は3。(ルートの中が3×3=9で平方数となるから)
〔3×平方数〕も整数となる。n≦50に留意してnの値を求める。
3×12=3
3×22=12
3×32=27
3×42=48
n=3、12、27、48なので4個

(3) 65.6%
底面が半径4cmの円。
高さは3:4:5の直角三角形なので3cm
4×4×π×3×1/3=16πcm3

(4) 21.1%!
ユニークな確率問題。初見は少し戸惑う・・。
Pは点Aから反時計回り。Qは点Eから時計回り。
直線CGと”ねじれの位置”にある直線と問われたら、通常はAD・EH・AB・EFが思い浮かぶが、どの辺もPの通り道か、Qの通り道なので、直線PQにならない
かといって無いわけでもなく、例えばAFのような正方形の対角線や、BHのように立方体の対角線でも直線CGとの”ねじれ”が起きる。
直線CGと同一の平面にこない直線を1個ずつ調べる。

@Pが点Aにある@
PがAにくるのは大4。

QがFかHのときにネジレ →AFは小3、AHは小1or5がでたときなので3通り

@Pが点Bにある@
PがBにくるのは大1か5の2通り。
QがEかHのときにネジレ →BEは小4、BHは小1or5がでたとき。3×2=6通り

@Pが点Cにある@
直線CGと交わるので無し。

@Pが点Dにある@
PがDにくるのは大3。

QがEかFのときにネジレ →DEが小4、DFは小3がでたときなので2通り。

ネジレのパターンは、3+6+2=11通り
大小サイコロの目の出方は6×6=36通り
よって、確率は11/36。

(5) 1.9%!!:;(∩´﹏`∩);:
難しい。
毎度、千葉の作図は、まだやるかっ!というくらい問題作成者が新しいパターンを発掘してくるので、一体誰がこんな問題を気合いれて作っているのか。感嘆を禁じえません。
前問のザワザワ感から、本問で意気消沈した方もいるのでは・・・。

大きい正方形の一辺をa、小さい正方形の一辺をbとします。
作図したい正方形の面積はa2-b2
その一辺は、根号をつける。
じゃあ、一体√(a2-b2)という複雑な長さはどうしたら描けるのか??

ヒントは三平方の定理。

フォーカス機能がバカでボケてしまいました。
√( )2-( )2  ←この形は三平方の定理でお馴染みですよね。
よって、長い辺を斜辺とした直角三角形を想起。

じゃあこのような直角三角形はどうすればいいのか?

↑「直角三角形の斜辺を直径とする半円は、その円周上に直角と接する」と書かれてあります。

変な日本語ですみません。
ようは、斜辺の中点を中心にクルっと円を描くと、直角の部分が円周上にくるわけです。
これは受験生必須の知識として覚えておきましょう。
そして、直径に対する円周角は90°で直角三角形になりますよね。まとめると…

①斜辺(=大きい正方形の1辺)の中心を発見(垂直二等分線の利用)
②中心から半円を描く(円周角の定理を利用するため)
③小さい正方形の1辺を、半円の端に接するようにもってくる。

こうすれば、”長い辺を斜辺とした直角三角形”を描けます。
三平方からの円周角という、2段階発想が辛い。

作図開始。

初期状態。

長い方の一辺を垂直二等分線。

中心から半円をクル。

短い辺を回転移動。
直角三角形の出来上がり。
カメラ撮ったあとにaとbが逆になったことに気づく。。
求めたい正方形の1辺が現れる。

右の辺の長さをとって、a方向(左)に移す。
なぜか画像が赤く染まって病的に・・。

長さを維持したまま、2点からヒョコヒョコ。
4つの点が定まり、正方形が出来上がる。

@別解@

①小さい正方形の1辺を適当に延長
②大きい正方形の1辺を回転移動させて接着させる。
③④(b2-a2)が作成できるので、これを1辺とする正方形を作成
これが最短ルートかな?



大問3(関数)-28.5%

(1) 68.6%
大問3は関数のグラフ。3つの線が交錯する。

複雑なグラフだが、ありがたいことに4つの交点のx座標が全てわかっている。
ABCDどれからいってもOK。

わかりやすいのはD座標かな?
D(4、8)なので、これをy=ax2に代入。
8=16a  a=1/2

(2)【1】  16.6%!
直線ℓが追加。しかし、【1】は簡単。
ようはEに直線ℓがきたとき、EがQ、Eの真下とy=ax2との交点がRとなる。

Eの交点は2直線の交点。
x+4=-1/2x+3
x=-2/3
これをy=x+4に代入して、y=10/3
E(-2/3、10/3)

真下をFとする。EFの距離が答え。
Fのy座標は、y=1/2×(-2/3)2=2/9
したがって、EF(問題文のGR)は、10/3-2/9=28/9cm

【2】 0.4%!!!
グラフが錯綜として、いろんなものがごちゃごちゃと混乱しやすい。
整理すると以下の感じ。

-3≦x≦4ということは、点A~点Dの間。
青の斜線の範囲内で、縦にスパンと割ったときに高さが3となるx座標が答え。

いびつな形だし、この際全ての点座標を求めてしまおう。 
変化するところに注意しながら求める。
数は多いが、多くは暗算で、しかも整数値になる。
青い数字をみると、直線ℓがDのときの高さは7cm、Cで狭まるが4cm、原点も4cm。
Eは前問から3と1/9cm。どれも3cmを超えている。
しかし、Bで2cmと狭まり、Aで3と1/2cm。
ということは、A~B間、B~E間が怪しい
余分なところをカット。
x座標でいえば、A:-3≦x<-2と、B:-2≦x<-2/3

A:-3≦x<-2
高さが3となるx座標をpをおく。
上がy=-1/2x+3で、下がy=x+4。この差が3となれば良いから、
-1/2p+3-(p+4)=3
p=-8/3

B:-2≦x<-2/3
同様に、高さ3のときのx座標をqとおく。
上がy=-1/2x+3で、下がy=1/2x2。この差が3。
-1/2q+3-1/2q2=3 ←3を消去。両辺に-1/2をかける。
2+q=0
q(q+1)=0
q=-1、0
-2≦q<-2/3だから、q=-1

よって、答えは-8/3と-1。
細かい認定に骨が折れる。
問題文を整理したら、求めることができる点座標を片っ端から求める。ペンを走らす。
ターゲットを絞って、グラフの左側に全神経を集中させて計算。

@別解@

y=-1/2x+3を、y軸方向に-3平行移動。すると原点を通る。
y=-1/2x+3とy=-1/2xの距離は、ちょうど3。
【1】y=-1/2xとy=x+4
【2】y=-1/2xとy=-1/2x2の交点座標を求めて終了。
上のやり方は何だったのか思えるくらい、おそらくこれが最速のルート。



大問4(平面図形)-45.0%

(1)とりあえず誘導に従う。
△CFBと△ACBを凝視。これらの2角が等しくて相似らしい。
その2角がどこの角度であるのかを見極める。
本来、選択肢でなくても構わない問題に選択肢を用意してくれているので簡単。

(a)  87.9%
共通角だから∠Bのこと。(この時点でエ確定だが)
これを∠CBEに対応するようにいえば∠ABC。エ。
(b)  87.5%
円周角定理。直径に対する円周角は直角。∠ACB。イ。
これらはサービス問題。

(c)  6点―1.9%! 3点―0.9% 無答―72.2%!!
証明の続きを書く。

相似を利用するらしいので、対応する角に×を入れてみる。
線分CEが∠ACFを二等分することの証明→∠ECA=∠ECFの証明
等しいこと前提に○をつけてみる。


↑(ボヤっとなってすみません・・)
ここで、BC=BEで△BCEが二等辺三角形であることに気づけば、さらに記入。

つまり、○×は二等辺三角形の底角→∠CEB=○×
そして、∠CEBを△ACEにおいて外角定理を利用。○と×が別れてくれる。
すると∠ECA=○=∠ECFとなる。

以下、公表された模範解答。
~引用はじめ~
③より、∠BCF=∠BAC ・・・④
円の半径から、BC=BE ・・・⑤
⑤より、△BCEは、BC=BEの二等辺三角形なので、
∠BCE=∠BEC     ・・・⑥
△CAEにおいて、1つの外角は、これととなり合わない2つの内角の和に等しいので、
∠BEC=∠CAE+∠ACE
よって、∠ACE=∠BEC-∠CAE
=∠BEC-∠BAC ・・・⑦
また、∠ECF=∠BCE-∠BCF  ・・・⑧
④、⑥、⑦、⑧より、∠ACE=∠ECF
~引用おわり~

(*原理がわかっても、これを丁寧に記述するしんどさは残る)

(2)  2.6%!
例年通りの難易度。最初の切り口が見つからないと迷子。
半径が1cmなので、とりあえず記入。

半径なのでEBも1cm。
CEを求めたい。
△CEFは直角三角形→CFとEFの長さがわかれば三平方の定理が使えるかも。

△CFBと△ACBの面積比が1:16
わざわざ平方数を出してくるあたりから、辺の比が1:4であるのを利用すると察する

対応する辺に気をつけながら相似へ。
斜辺同士で、CB:AB=1:4でABが4cm。
AB:BC=CB:BF=4:1
よって、BF=1/4cm

余分なところをカッティング。
EF=1-1/4=3/4cm
右の直角三角形で三平方→CFの長さ→左の直角三角形で三平方。

CB2-FB2=CF2=CE2-FE2
1-1/16=CE2-9/16

CE2 =√3/√2=√6/2
*何をしていいのかわからない場合は、わかるところをとりあえず書いてみる。
求めたいものから逆算する。

大問5(規則)-31.0%

昨年と同様、ラストは規則性。
格子点の数を求めるものだが、現場で実験しながら規則を発見する思考力を問われるので難しめ。

(1)(ア)  45.9%
図1を利用して、実際にn=6のときの格子点の数を調べる。BC上にある点は3個。

(イ)  38.4%
図1の横が8マス用意されているので、1個ずつ調べてみる。
BC上の点は、2個、3個、5個いずれかで、3通り。

(ウ)  50.0%
上の写真から5個。

(エ)  43.4%
図1を利用して数えてもOK。
ただ、ここらへんで規則性を発見したい。
はるかが前半で述べているように、基本は長方形の半分の個数であるが、
BC上の点は隣の三角形と隣接するので、格子点の個数が重複する
つまり、N=(長方形の格子点+BC上の格子点の数)÷2
ただし、長方形の格子点は(n+1)×(4+1)に気をつける!
3cmの辺に格子点は両端にもあるので4個となる。
これらに気づけるか否かが成否の境目。
n=8はBC上に5個の点があるから、
{(8+1)×(4+1)+5}÷2=50÷2=25個

試しに、(n=1、N=6)(n=2、N=9)(n=3、N=11)(n=4、N=15)(n=5、N=16)(n=6、N=19)をBC上の格子点の数に注意しながら試してみよう。
規則通りになるはず。

(2)  6.0%!
先ほどの規則さえ発見できれば楽。最も多くなる場合は、BC上の格子点の数が5個のとき。
N={(n+1)(4+1)+5}÷2=(5n+10)/2

(3)  3.2%!!
最も少なくなる場合なので、BC上の格子点の数は2個。
N={(n+1)(4+1)+2}÷2=(5n+7)/2=186
n=73。

脳ミソが疲れきっているなかで、
見慣れない問題を前に足がすくんでしまった人がいるかもしれない。
ヒントは本文にあるので、慌てないようにしよう。
規則がわからなくても、(1)は努力でとれるのでカバーしよう。
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