公立高校入試」カテゴリーアーカイブ

2020年度 山形県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)① 91.4%
6-9-(-2)
=-3+2=-1

② 77.3%
(-2/5+4/3)÷4/5
=-2/5÷4/5+4/3÷4/5 ←先に展開してみた。
=-1/2+5/3
=7/6

③ 64.7%
(-3a)2÷6ab×(-16ab2
=-24a2

④ 76.6%
(√3+1)(√3+5)-√48
=8+6√3-4√3
=8+2√3

(2) 79.5%
答案では解き方も記述する。
(2x-1)(x-4)=-4x+2
2x2-9x+4=-4x+2
2x2-5x+2
=(2x-1)(x-2)=0
x=1/2、2

(3) 51.4%
すべての場合は、2×3×3=18通り
『少なくとも1個は白』=すべて-全部白
全部白の場合は、1×1×2=2通り
『少なくとも1個は白』…18-2=16通り

確率は、16/18=8/9

(4) 46.8%
円錐の側面積となる扇形の中心角は【×半径/母線】で処理。
360×5/10=180°
半円であるウ。

(5) 48.2%
ア:最頻値は1組…7.75時間、2組…7.75時間で同じ。×
イ:1組…32人の中央値は16番目と17番目の平均で7.25時間。
 2組…33人の中央値は17番目で7.75時間。2組の方が大きい。×
ウ:1組…7人、2組…11人で2組のほうが多い。×
エ:1組…21/32、2組…21/33
分子が同じ。分母が小さい1組の方が値が大きい。〇

大問2(小問集合2)

(1)① 52.9%
反比例の変化の割合。
x=1のとき、y=12
x=4のとき、y=3
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
=(3-12)/(4-1)=-3

② 46.8%
y=12/xにx=3を代入して、A(3、4)。
これをy=ax2に代入してaを求める。
4=9a
a=4/9
y=4/9x2にx=-6を代入して、B(-6、16)。

直角三角形をつくると、辺の比が3:4:5!
AB=15

(2)得点率100%-19.8%!、50~99%-14.7%、1~49%-14.4%
整数の証明問題。
4けたの自然数は、1000a+100b+10a+bと表すことができる。
1000a+100b+10a+b
=1010a+101b=101(10a+b)
10a+bが整数だから、101(10a+b)は101の倍数である。

(3)① 64.0%
観戦者の人数をxとおく。最初に持っていた金額で等式を立てる。
3300x-4400=2700x+400
*過不足の扱いに注意しよう!
連立の場合は、最初に持っていた金額をy円とし、
y=3300x-4400
y=2700x+400

② 55.4%
うえの一次方程式を解く。
600x=4800
x=8
最初に持っていた金額は、2700×8+400=22000円

(4) 57.9%

①『点Aで直線ℓと接する円』→中心から伸びる半径と接線は直交する→Aを通る直線ℓの垂線。
②『2点B、Cを通る円』→BCの垂直二等分線
これらの交点が2つの円の中心P。


大問3(数量変化)

(1)① 76.3%
動く距離が4cmになるまで、重なる部分は正方形。
y=3×3=9

②ア;74.8%、イ;57.9%、ウ;45.3%、グラフ;76.6%

0≦x≦4のとき、1辺がxの正方形。y=x2
x=4のとき、1辺4cmの正方形(y=16)がスポっと入る。
正方形が長方形PQRSから出る直前は辺ADが辺PSに接したとき
それまで重なる部分は16で一定。
4≦x≦6のとき、y=16

6≦x≦10のときの式を求める。
x=6のとき、y=16
x=10のとき、y=0
(6、16)(10、0)の2点を通る式
傾きは、(0-16)÷(10-6)=-4
0=-4×10=b
b=40
y=-4x+40
ア…6、イ…
2ウ…4x+40

最初はy=x2なので、(1、1)(2、4)(3、9)の格子点を通過するように描く!

(2) 9.4%!
重なっている部分yと△APQの面積が等しくなる瞬間はどこか?|д・)
x=4のとき、y=16
試しに、このときの△APQの面積を求めると、
PQ×QO÷2=6×(10-4)÷2=18
ということは、0≦x≦4では等しくならない。

今度は次の転換点であるx=6のときを計算すると、
△APQの面積は、4×(10-6)÷2=8
4≦x≦6のとき、重なっている部分yは16で一定なので、この変域のどこか。

6×(10-x)÷2=16
30-3x=16
x=14/3


大問4(平面図形)

(1)100%—14.4%!、50~99%—13.7%,1~49%—50.0%
△ACG≡△ADEの証明。

仮定から、AC=AD。この両端角に狙いを定める。
共通角で∠CAG=∠DAE
弧AFの円周角→AB=ADより△ABDは二等辺三角形→∠ACG=∠ADE
1辺と両端角相等で合同。
*平行線は使わなかった。

(2)① 49.6%

△ADE∽△CBE
AE:CE=AD:CB=6:3=2:1
AC=6cmなので、AE=6×2/3=
4cm

@別解@

二等辺三角形ABDの底角と、平行線→錯角で∠ABE=∠EBC
角の二等分線の定理より、BA:BC=AE:EC=6:3=2:1
AE=6×2/3=4cm

② 2.2%!!

△ABEと△CEFは対頂角と円周角で2角が等しく相似。
辺の比さえわかれば、隣辺比の積から面積比が出せる。
FC:FE=AB:AE=6:4=③:②
BEの値が出せないものか(´ω`).。0

等角のに注目して共通角と合わせると、△BCF∽△CEF
BC:BF=CE:CF
3:BF=2:③
BF=③×3/2=〇4.5
BE=〇4.5-②=〇2.5

隣辺比から面積比。
△ABE:△CEF
AE×BE:FE×CE
=4×〇2.5:②×2
=10:4
=5:2

@別解@

(1)の△ACG≡△ADEから、AG=AE=4cm、GD=6-4=2cm
2つの合同図形から斜線部分を除くと、余りの△CEFと△DGFも合同
DF=③
△BCF∽△DGFより、BF=③×3/2=〇4.5
BE=〇4.5-②=〇2.5
あとは先ほどと同様に隣辺比で5:2。

大問が4つしかない(‘Д’)
大問1
(3)『少なくとも』ときたら余事象の確率。
(4)×半径/母線は他でもでるよ!取れないのはもったいない。
(5)機械的に調べるだけ。もう少し正答率を上げたい。
大問2
(1)①大阪Cでも反比例の変化の割合が出た。
(2)数を文字式で表す→101でまとめる→お決まりの常套句を披露。
大問3
(1)②グラフの方が正答率高いのは何故??
混乱したら絵を描いて整理。
(2)まず、どのxの変域に答えが含まれるか。
転換点ごとに△APQの面積を算出して絞る。
大問4
似たような図形を他でも見かけたような。
(2)②隣辺比の処理に慣れておきたい。
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2020年度 大分県公立高校入試過去問【数学】解説

平均31.9点(60点満点;前年比+7.2点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)① 98.4%
2-6=-4

② 87.9%
-3×(-22
=-3×(-4)
=12

③ 88.2%
(2a+b)/3+(a-b)/2
={2(2a+b)+3(a-b)}/6
=(7a-b)/6

④ 91.7%
xy2×x2÷xy
=x2

⑤ 79.2%
6/√3+√15×√5
=2√3+5√3
=7√3

(2) 79.6%
2+7x-18
=(x+9)(x-2)=0
x=-9、2

(3) 90.6%

典型問題。平行線をひき、同位角や錯角で集める。
x=70°

(4) 67.0%
2-6a+9
=(a-3)2 ←ここで代入。
=(√5+3-3)2
=5

(5) 44.2%
円錐の高さは、母線5cmを斜辺とする3:4:5の直角三角形→4cm
3×3×π×4÷3=12πcm3

(6)2点-53.8%、1点-22.9%

①∠Aの二等分線。BCとの交点がP。
②AとPが重なる折り目→APの垂直二等分線。
垂直二等分線は対称の軸でAとPが対応する関係になる。

大問2(小問集合2)

(1)① 70.9%
それぞれの硬貨の結果は表か裏かの2択。
2×2×2=8通り

② 43.0%
500以下より、500超の場合が少ない。
500超のパターンは、550・600・650の3通りしかない。
500以下は8-3=5通り
確率は5/8。

(2)① 64.6%
12~15冊は10人。
相対度数は小数で求めよう。
10÷40=0.25

② 36.8%
16冊は15冊以上18冊未満の階級に含まれる。
15冊以上借りた人は19人いるので、はなこは上位20人に入っているので正しくない。
*平均値と順位は話が異なる。


大問3(関数)

(1) 83.1%
y=ax2にA(3、3)を放り込む。
3=9a
a=1/3

(2) 42.8%
y=1/3x2に代入。
x=3のとき、y=3
x=5のとき、y=25/3
変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)
=(25/3-3)÷(5-3)=8/3

@別解@
y=ax2において、xの値がpからqまで増加するときの変化の割合はa(p+q)
1/3×(3+5)=8/3

(3) 18.8%!

赤い直角三角形は合同。
AとBの座標の差から、横は2、縦は16/3。
Cはy軸上の点なのでx座標は0。Dのx座標は0-2=-2
Dのy座標は、1/3×(-2)2=4/3
Cのy座標は、4/3+16/3=20/3

大問4(数量変化)

(1) 72.8%
Aの方法は、お湯を使うまでの時間と保温時間が一緒。
表2は使わない。表1の『1時間あたり0.9円』から、
y=0.9x

(2)3点-13.6%!、2点-28.3%

x=1のとき、3分間沸かすから、y=0.4×3=1.2
以降、1時間ごとに湯を沸かす時間は1分間伸びるので、電気代は0.4円ずつ増加する。
グラフは(1、1.2)を通る傾き0.4の一次関数。
縦軸の1目盛りは0.2なので、1時間に2目盛りずつ増える。

(3) 18.1%!

先ほどのグラフを左に延長して、切片は0.8。
y=0.9xとy=0.4x+0.8の交点を求める。
0.9x=0.4x+0.8
x=8/5
1・3/5時間=1時間36分

大問5(空間図形)

(1)① 64.4%

2角が等しく、△PSQ∽△TSR
PS:TS=PQ:TR=
QR:RS=PT:TS=
QR=3mなので、RS=3×1/3=1m

② 3.6%!!
前問のQR:RS=3:1は、本問も維持される

RS=a×1/3=a/3m
△QBA∽△QEF
辺の比は高さの比と等しく、BA:EF=QR:QS=
EF=2×3/4=8/3m

台形ABEFの面積は、(2+8/3)×a/3÷2=7/9am2

(2) 4.0%!!

△PFQ∽△DFAより、PF:DF=
△PCD∽PEF
より、CD:EF=
EF=2×4/3=8/3m

大問6(平面図形)

(1)3点-41.4%、2点-5.6%、1点-15.5%
△ADF∽△BCFの証明。基本レベル。

1つは対頂角。もう1つは円周角。
2角相等で∽。

(2)① 30.6%!

先ほどの相似で、対応する角に注目する。
これと∠Eもしくは直角から、2角相等で△ACE∽△BDE
求めたいCEをxとおいて、
AE:EC=BE:ED
8:x=x+2:3
内項と外項の積で、x(x+2)=24
2+2x-24
=(x+6)(x-4)=0
x>0より、x=4
4cm

② 0.4%!!!
ムズいべ(゚∀゚)
EGが中途半端な位置にある。
ひとまず直角三角形の斜辺にあたるEFが求まりそう。

直角三角形ACEの辺の比に注目すると、AE:EC=8:4=2:1
直角三角形BDEの辺の比も、BE:ED=6:3=2:1
ここから、△ACEと△BDEは1:2:√3の直角三角形であり、
これらと相似関係にある△ADFと△BCFの辺の比も1:2:√3である。
FC=2×1/√3=2√3/3cm
面倒だが…△CEFで三平方。
EF2=42+(2√3/3)2=156/9
EF=2√39/3cm

ここからどうやってEG:GFを出すべきか(-_-;)
四角形CEDFは対角の和が180°で内接四角形。
4辺の長さはでるので、対角線DCとEFで分けられた4つの三角形の相似比を
統一してもできそうだが、しち面倒くさい(;´Д`)
そこで、直角三角形の辺の比1:2:√3を活用する

CからDEに向けて垂線。EF、EDとの交点をそれぞれH、Iとする。
△CEIも1:2:√3の直角三角形。EI=4÷2=2cm、ID=3-2=1cm
同位角が等しく、IC//DF。
△EIH∽△EDFより、IH=とすると、DF=となる。
また、△ADF∽△AICより、IC=×6/5=〇18/5
HC=〇18/5〇8/5

△CHG∽DFGより、HG:GF=CH:DF=8/5:3=
再び△EIH∽△EDFに戻り、EH:HF=2:1だから、EH=
×2=
したがって、EH=2√39/3×〇54/〇69=12√39/23cm

大問1
全問とるべき。
(5)よくあるパターンなので、もう少し正解したい。
大問2
(1)②確率は基本レベル。
(2)②16冊がどの階級に属するか。上から数えて少なくとも何番目か。
大問3
(3)2020年富山大問2にも似たような問題が。
大問4
問題文が長いが、必要な情報は少ない。
(3)題意をくみとれれば計算はしやすかった。
大問5
(1)②前問はQR=3mでこちらはQR=amだから、
別問だと判断した生徒は少なくないかもしれない…。
混乱を誘発しやすい設問だったと思う(´・_・`)
大問6
(2)ここまで解ければ十分。
(3)難問:;(∩´_`∩);:
もっとうまいやり方があるかも。。できなくても問題無い。
1:2:√3を使うしかないと思うが、なぜCからDEに向けて垂線を引こうとしたのか、
と尋ねられるとサボもうまく答えられない。やってみたら運良くできました。。
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2020年度 富山県公立高校入試過去問【数学】解説

平均47.1点(前年比;-14.2点)
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大問1(小問集合)

(1)
5+(-3)×2
=5-6=-1

(2)
3xy2÷(-2x2y)×4y
=-6y2/x

(3)
√45+√5-√20
=3√5+√5-2√5
=2√5

(4)
a(a+2)-2(a+2) ←共通因数a+2
=(a-2)(a+2)
=a2-4 ←ここで代入
=(√6)2-4
=6-4=2

(5)
3x+2y=7
2x+y=6
加減法がやりやすいかな?
これを解いて、x=5、y=-4

(6)
2+6x-16
=(x+8)(x-2)=0
x=-8、2

7)
1500円のa割→1500×a/10=150a円。
定価-a割
=1500-150a円

(8)
∠PAB=∠PBAをどう使うか。

線対称で対応する角は等しい。
ABの垂直二等分線をひき、ACとの交点がPとなる。

(9)

△ABDは二等辺→∠DBA=x
△ABDで外角定理→∠BDC=x+x=2x
△BCDは二等辺→∠BCD=2x
△ABCの内角より、x+2x+90°=180°
x=30°

(10)
最頻値(モード)…最もあらわれているい値。
階級値で答えること!
7.0と7.5の平均である7.25秒。

大問2(関数)

(1)
x=0のとき、最小値y=0
x=3のとき、最大値y=9
0≦y≦9

(2)
グラフの式に代入して、座標を確認。
A(1、1)⇒B(3、9)
右に2、上に8だから、傾きは4。
Aから左に1、下に4移動して、切片は1-4=-3
y=4x-3

(3)
問題文の正確な読解を(‘Д’)

線分ABを平行移動して線分CDに移す。
AがC、BがDに移動する。(Dは必ずしもグラフ上の点ではない
四角形ABCDは平行四辺形である。

Bから下に8、左に2移動してA。
Dから下に8、左に2移動してC。
Dのx座標が-1だから、Cのx座標は-3となる。
y=1/3x2に代入。
Cのy座標は、1/3×(-3)2=3
Dのy座標は、3+8=11


大問3(確率)

(1)
OB上にくるということは、大・小の目が同じ
6通りだから、6/36=
1/6

(2)

意外と少ないです(・ω・)
OAの長さは6で固定なので、AO=APからP(6、6)
0は出せないのでこれしかない。
また、OAを斜辺としてP(3、3)
OAを直径とする半円を描くと、直径に対する円周角で格子点を通るのはこれだけ。
以上、2通り。
2/36=1/18

(3)

Oから半径の長さが4となる円を描く。
気を付けるべき点は、(3、3)は含まない!
Oから(3、3)までの距離は3√2。
(3√2)2>42だから、3√2>4となる。
格子点の数は8個。
8/36=2/9

大問4(規則)

(1)

三角形の数に注目。
1番目…1個、2番目…3個、3番目…6個、4番目…10個
6番目の三角形の数は1~6の和。1+2+3+4+5+6=21個
棒の本数は、3×21=63本

(2)

1辺2の正三角形の個数を各段で数えてみると、
2段目1個、3段目2個、4段目3個…10段目9個。
1~9の和を求める。
(1+9)×9÷2=45個

(3)
(1)と同じ考え。
234÷3=78個の正三角形ができるのは何番目か。
数字が小さいので足していった方が早い(´-`).。oO
1~10までの和が55だから、
55+11=66
66+12=78!
したがって、12番目。

大問5(空間図形)

(1)
△OABは1辺4cmの正三角形。
斜辺を4cmとする1:2:√3の直角三角形より、高さは4×√3/2=2√3cm
4×2√3÷2=4√3cm2

(2)
最短距離なので展開図を作成。

四角形ABCOは1辺4cmの菱形。
△ABP∽△QOPより、OP:PB=OQ:AB=1:2
OB=4cmだから、OP=4×1/3=4/3cm

(3)

A、C、Pで切断したとき、底面は△ABCになる
→ポイントは【三角錐O-ABC⇒三角錐P-ABC
OB:PBがこれらの高さの比にあたる。
PB=4-4/3=8/3cm
OB:PB=4:8/3=

Oの真下をHとする。三角錐O-ABCの高さOHを求める。
△ABCは直角二等辺で辺の比は1:1:√2→AC=4√2
△OACの辺の比を調べると、4:4:4√2=1:1:√2
△OACも直角二等辺である。
それを二等分した△OAHも同様に直角二等辺。OH=4×1/√2=2√2cm

求積すべき体積は、4×4÷2×2√2÷3×2/3=32√2/9cm3

大問6(数量変化)

(1)
6秒後の様子を描く。

折り返したRは台形ABPQと面積が等しい
y=(6+2)×4÷2=16

(2)
転換点に注意する。

Rは折り返された部分と合同。
0≦x≦4では、△APQの底辺と高さがともに伸びる。
面積はy=ax2で増加し、x=4のとき、y=4×4÷2=8

4≦x≦8では、台形ABPQは上底と下底が伸びる。
面積は一次関数で増加し、x=8のとき、y=(8+4)×4÷2=24

8≦x≦10では、△DPQの部分が底辺のみ伸びる。
面積は一次関数で増加し、x=10のとき、y=24+2×4÷2=28

↑まとめるとこうなる。

(3)
ここも転換点に気を付けながら調べる(;´・ω・)

0≦x≦4はSとRは同じ。
4≦x≦8はSは等積のまま右に移動する。
8≦x≦10は高さが小さくなるので、Sの値も小さくなる。

(4)

先ほどのグラフにRを描く。
Sの面積が8cm2のときが長いので、このときのRを計算すると、
R=8×5/2=20cm2
グラフより、7秒後。

大問7(平面図形)

(1)
△ABD∽△O’BPの証明。

1つは共通角。
半径OPと接線DBは垂直だから、∠O’PB=90°
直径ABに対する円周角である∠ADB=90°
2角が等しいので∽。

(2)①
こっから難しくなります(;´Д`)
PEが変な位置にあるので、図形の特徴をつかむために少し調べる。

O’P=2cm、O’B=4cm、∠O’PB=90°から、
△O’BP
の辺の比が1:2:√3である直角三角形であることに勘づきたい。
∠PBO’=30°

前問で△ABD∽△O’BPだから、△ABDの辺の比も1:2:√3。
AB=6cmより、BD=6×√3/2=3√3cm
BDとBEは円O’の接線であり、PとQはそれぞれの接点である。
円外の点から接線までの距離は等しいので、BQ=BP=2√3cm
その延長線でBから円Oとの交点までの距離も等しく、BE=BD=3√3cm
ようするに、直径ABを対称の軸としてこれらが上下で線対称の関係にある!(ノ)`ω´(ヾ)
∠O’BQ=30°

ごちゃごちゃして申し訳ない(;`ω´)
PからBEに向けて垂線、その足をRとする。
△BPRの内角も30°-60°-90°で1:2:√3から、PR=3cm、BR=√3cm。
(△O’CPは正三角形で∠BPC=30°。すなわち、CはPR上にある
ER=3√3-√3=2√3cm
△PREで三平方→PE=√21cm
*ちなみに、△BPQは正三角形になる。図に描いたけど別にいらんかった(;^ω^)



△BCRも1:2:√3→CR=1cm
PC=3-1=2cm
△CPEは底辺PCで高さERだから、2×2√3÷2=2√3cm2

大問1
ここはミスを最小限におさえたい。
大問ごとの後ろの小問がやりにくいので重要な得点源。
大問2
(3)Dは必ずしもグラフ上の点とは限らない。
ここを踏まえないとおかしくなる。
大問3
(2)いろいろありそうだが2通りしかない。
OAが斜辺かそうでないかで場合分けが良いかも。
(3)(3、3)は含まない!
大問4
(2)ここも問題文の条件を的確に。段ごとで調べると規則がある。
大問5
(3)断面APCを作図⇒底面は四角形ABCDではなく△ABC!
前問から高さの比。正四角錘の高さも素早く求めたい。
大問6
(2)(3)時間が足りないので、要領良く調べ上げたい。
大問7
(2)①PEを1辺とする直角三角形が見当たらないので作る。
辺の比に注意して1:2:√3を早々に気がつきたい。
問題文に角度の情報がないので見つけにくいが、図形問題でつまったら角度の調査!
円の中心OとO’が直径AB上にあり、2本の接線から上下で線対称。
処理自体は多くはないが、図形の特徴を正確にひもとくのが大変な問題であった。
30°か60°がでたら垂線をひくと便利な直角三角形がつくれる。ぜひ応用してみよう。
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2020年度 新潟県公立高校入試過去問【数学】解説

平均45.3点(前年比;+8.8点)

説明問題が多いです。以下、解答に説明が求められる設問に★をつけています。
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合1)-75.4%

(1) 97.2%
7×2-9
=14-9=5

(2) 92.6%
3(5a+b)+(7a-4b)
=15a+3b+7a-4b
=22a-b

(3) 92.0%
6a2b×ab÷2b2
=3a3

(4) 87.0%
x-4y=9
2x-y=4
連立を解く。
x=1、y=-2

(5) 89.4%
√24÷√3-√2
=√8-√2
=2√2-√2
=√2

(6) 76.2%
2+3x-1=0
因数分解ができないので解の公式を適用。
x=(-3±√13)/2

(7) 68.9%
x=1のとき、y=3
x=6のとき、y=1/2
1/2≦y≦3

(8) 23.9%!

△ADE∽△CBEより、DE:EB=②:⑤
△DEF∽△DBCで、EF:BC=DE:DB=②:⑦
EF=5×2/7=10/7cm

(9) 47.9%

∠BACは∠BOCの円周角→72÷2=36°
円周角は弧の長さの比例する。
x=36×4/3=48°

(10) 79.0%
無作為に取り出した40個のうち、青は7個。
480×7/40=84個

大問2(小問集合2)-54.2%

(1)★ 45.7%
2つのパターンを鉛筆の本数yで等式。
y=4x-8

y=3x+12
過不足の処理に気を付けよう!
4x-8=3x+12
x=20
y=4×20-8=72
x=20、y=7

(2)★ 56.5%
5×5=25なので、26以上の方が少ない
積が26以上は(5、6)(6、5)(6、6)の3通りだけ。
積が25以下は、6×6-3=33通り。
確率は33/36=11/12

(3)① 56.1%
y=x2に代入→A(-3、9)
A(-3、9)を通る、傾きが-1の直線の式を求める。
Aから右に3、下に3移動すると切片。9-3=6
y=-x+6

②★ 52.6%

典型問題ゆえミスしたくはない。
辺OBを底辺として、6×3÷2=9
説明問題でなくて良かったと思うが(;´・ω・)

(4) 60.0%
『2つの点A,Bを通る円の中心P』→PはABの垂直二等分線上にある。
これと直線ℓとの交点がPとなる。


大問3(平面図形)-45.0%

★△AEF≡△CEGの証明1題。

対頂角。AD//BCから錯角。
平行四辺形の対角線は各々の中点で交わる→AE=CE
以上、1辺と両端角相等で合同。

大問4(数量変化)-26.4%

(1) 41.1%

Pは反時計回りに秒速1cm、Qは時計回りに秒速3cm。
PQが円Oの直径、すなわち反対側にくるとき、PとQの移動距離の和は半周12cm
1秒間にPとQは4cmずつ離れていくから、12÷4=3秒後

その後、PとQは近づいていき、両者が重なる。
そこから1秒あたり4cmずつ
離れていき、再びPとQが反対側にくるのは、
PとQの移動距離の和が1周半である36cmのとき。
36÷4=9秒後
x=3、9

(2)① 53.3%
PとQが重なるのは、前問の3秒後と9秒後のあいだである6秒後。
計算式でかくと、PとQの移動距離の和が1周24cmだから、24÷4=6秒後。

x=6

② 11.1%!
x=3のとき、PQは半周でy=12
x=6のとき、PとQは重なっているのでy=0
(3、12)と(6、0)を通る直線の式を求める。
 12=3a+b
-)0=6a+b
 12=-3a
a=-4
b=24
y=-4x+24

(3)★ 13.3%!
ここも説明いるのか(;`ω´)

グラフを描写。
y≧10を考えよう。
赤い三角形の∽から、y≧10のときは1+1=2秒間。
y≦10は、10-2=8秒間


大問5(規則)-26.9%

(1)① 41.1%
初問で規則を見つけておきたい。

外側に白い辺ができる。四隅(角)は2辺が白なので除く。
a={(4-2)+(5-2)}×2=10

② 53.3%
同様。
a={(12-2)+(18-2)}×2=52

(2)★ 11.1%!

外側から中に1つ進むとb。
bの縦はx-2、横はy-2。
b=(x-2)(y-2)
=xy-2x-2y+4

(3)★ 13.3%!
前図より、a={(x-2)+(y-2)}×2=2x+2y-8
b-a=20
b-a
=xy-2x-2y+4-(2x+2y-8)
=xy-4x-4y+12=20
xy-4x-4y-8=0
y=x+5を代入。
x(x+5)-4x-4(x+5)-8
=x2-3x-28=(x+4)(x-7)=0
題意よりx≧3なので、x=7
y=7+5=12

x=7、y=12

@別解@

xの両端を除き、x-2=とします。bの縦は
yはxより5を大きい⇒y-2はx-2より5大きい。bの横は+5。
a=4×+10
b=×+5×
b-a=2+5-(4+10)=20
2-30
=(+6)(-5)=0
>0より、=5
x=+2=5+2=7
y=7+5=12

大問6(空間図形)-18.1%

(1)① 40.4%

△ABCは1辺6cmの正三角形。
△BCPで三平方→辺の比は1:2:√3だから、BP=3√3cm

② 45.0%
6×3√3÷2=9√3cm2

(2)★ 13.4%!

△APQの内角は30°-60°-90°で辺の比は1:2:√3
AQ=3÷2=3/2cm

(3)①★ 1.9%!!

ポイントは△ABD△ACE
BDとCEは底辺の正方形の対角線なので、2つの三角形はAFで直交している
BDとCEの交点をFとする。△ABF△ACE
∠BFA=90°
△APEは△ACE上にある。辺AB上の点Qからひいた垂線もAFと交わる。∠QHA=90°
同位角が等しく、QH//BF
△AQHと△ABFは相似である。

前問より、AQ=3/2cm
AQ:AB=QH:BF=3/2:6=1:4
QH=3√2×1/4=3√2/4cm

②★ 0.7%!!!
高さQHが出たので、底面である△APEの面積さえわかればいい。

ここも△ACEで考える。
直角二等辺三角形CDE→辺の比が1:1:√2より、CE=6√2cm
△ACEの3辺の比は、6:6:6√2=1:1:√2!
すなわち、△ACE直角二等辺三角形であり、∠PAE=90°
(正四角錘を対角線で切った断面は直角二等辺三角形)
よって、四面体APEQの体積は、
3×6÷2×3√2/4÷3=9√2/4cm3

大問1
全体的に正答率が高い。
(8)相似を器用に扱う。EFを1辺とする△DEFと∽関係な三角形はどれか。
(9)弧の比が提供されたら円周角の比。
大問2
処理がしやすい設問が多い。
(1)yがでてくるが、実質的には一次方程式。
大問3
ここも典型問題であった。
大問4
算数の旅人算で解いちゃった(´゚ω゚`;)
大問5
(2)より(3)の方が正答率が高いのは部分点か??
大問6
(2)までは取りたい。1:2:√3で決着がつく。
(3)どの面に着目すべきか、空間認識が鋭く問われた。
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2020年度 山梨県公立高校入試過去問【数学】解説

平均53.9点(前年比;-1.7点、最高97点最低0点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1) 97%
10-(-4)
=10+4=14

(2) 84%
7/15×(-3)+4/5
=-7/5+4/5
=-3/5

(3) 98%
(-3)2+7
=9+7=16

(4) 95%
√24+8√6
=2√6+8√6
=10√6

(5) 89%
27xy×x2÷(-9x2y)
=-3x

(6) 87%
3(x+6y)-2(x+8y)
=3x+18y-2x-16y
=x+2y

大問2(小問集合)

(1) 75%
2x2-7x+4=0
因数分解ができそうでできないので、素直に解の公式。
x=(7±√17)/4

(2) 47%
『AB、ACまでの距離が等しい点』
→∠BACの二等分線
これとBCとの交点に●をかく。

(3) 79%
比例;y=ax
(x、y)=(-3、36)を代入。
36=-3a
a=-12
y=-12x

(4) 41%
4本中3本が当たりだから、Aが当たる確率は3/4。
Aがひいたくじは戻すので、Bが当たる確率は3/4で同じ。
2人とも当たる確率は、3/4×3/4=9/16

(5)① 86%

対応する角に気をつけよう。
∠ECD=∠CAB=180-(115+40)=25°

② 45%

ここで130°を用いる。
Aの回転先はC。∠AOC=130°
この円周角である∠AEC=130÷2=65°
∠CED=∠ACB=40°なので、∠AED=65+40=105°


大問3(資料問題)

(1)① 88%
最頻値(モード)…最もあらわれている値。
2.0g

② 61%
424個の中央値(メジアン)は212番目と213番目の平均→2.2g

(2)①記号―88%、説明―58%(部分正答11%)
イ;キャップと回収箱の合計の重さから空の回収箱の重さを引き、
その差をキャップ1個あたりの重さで割る。
*キャップの個数を求める方法を説明する。
(合計の重さ-回収箱の重さ)÷キャップ1個の重さ=キャップの個数

② 14%!
標本調査。
無作為に取り出した50個のうち、印付きは4個。
印付きは全部で100個だから、50×100/4=1250個

大問4(整数)

(1) 43%
aやbの中身は考えない。問題文から等式を立てる。
a-b=-18
b=a+18

(2) 37%
18の倍数にならない反例を挙げる。
aとbの差が18未満だと18の倍数にならない
12と21の差は9で×。(ア:21、イ:9)
34と43もダメ。(ア:43、イ:9)
xとyの値が1違いだと差が9になるからである。

後ろの設問でやるが、x-yが奇数だとダメ。
aが10、30、50もダメ。14、18、27、38どれも差が奇数でダメ。
位の数の差が奇数ということは、aが奇数であればbは偶数となり、
aが偶数であればbは奇数となる。(27は奇数だが72は偶数のように)
奇数-偶数も偶数-奇数も奇数だから、aとbの差が偶数の18の倍数にはならない。

(3)① 27%!
情報整理が問われる。
問題文より、a-b=9(x-y)
この値が54であり、x=8を代入してyを求める。
9(8-y)=54
y=2
(x、y)=(8、2)
xはaの十の位、yはaの一の位なので、a=82
bはそれを逆にした数だから、
b=28

②条件―14%!(部分正答1%)、最大値―13%!
9(x-y)のx-yが整数だから、9(x-y)は9の倍数。
さらに、9(x-y)が18の倍数といえるには、x-yが2の倍数(偶数)のとき。
9の倍数×2の倍数=18の倍数
xとyは位の数なので0≦<x,y≦9。
偶数の最大値は8(9-1=8、8-0=8)
(xーyが)2の倍数である、最大値:x-y=8

大問5(関数)

(1) 78%
y=ax2にA(-2、2)を代入。
2=(-2)2
a=1/2

(2) 17%!

4つの座標を確認。AとDのy座標が等しい
四角形ACDBをADで分割して△ABD
と△ACDに分ける
AD=4
2つの三角形の高さはのところ。その合計はBGにあたる。
BG=9/2-1/2=4
四角形ACDBの面積は、4×4÷2=8

(3)① 38%
EとFの座標を確認。
E(-3、9/2)
F(4、8)
E→Fは右に7、上に8-9/2=7/2移動する。
傾き(変化の割合)はyの増加量÷xの増加量→7/2÷7=1/2
Fから左に4移動すると、傾きは1/2だから下に2移動する。
切片は8-2=6
y=1/2x+6

② 2%!!

なんとなくEFとCDが平行にみえる(*´~`*)
幾何ではこういう発想は大事です。
試しにCDの傾きを調べてみる。
C→Dは右に3、上に2-1/2=3/2
傾き(変化の割合)は、3÷3/2=1/2
前問でEFの傾きは1/2だったから、やはりEF//CD

四角形AECDは1組の対辺が平行な台形となる。
台形を対角線で分割した2つの三角形の面積比は上底:下底の比
すなわち、△FEC:△FCDの面積比はEF:CDに相当する

EFとCDを斜辺とする、2つの直角三角形は相似。
各々の辺の比はx座標の差から7:3。
EF:CD=7:3
△FEC:△FCDの面積比は7:3。


大問6(平面図形)

(1) 24%!(部分正答55%)
△ABH∽△AODの証明。

共通角
接点Dから接線ABと半径ODは直交する→∠ODA=90°
2角相等で∽。

(2)① 81%
△ABHで三平方。
AH=√(6-42)=2√5cm

② 6%!!
円Oの面積を求めるには、半径ODが知りたい。
ODは△AODの1辺。
そこで、(1)の△ABH∽△AODを用いる。
AH:BH=AD:OD
ADの長さが不明。

BOに補助線。
共通辺OB、半径OD=OH、垂直
→斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で△BOD≡△BOH
(内接円の問題でよくでてくる)
BD=BH=4cm
AD=6-4=2cm

AH:BH=AD:OD
2√5:4=2:OD
OD=4×2/2√5=4√5/5
円Oの面積は、(4√5/5)2π=16/5πcm2

(3)① 4%!!
△ABCは1辺6cmの正三角形。

△BOD≡△BOHから∠OBD=30°(内接円の中心(内心O)は∠ABCの二等分線にある)
同様に∠OCB=30°、直線ℓ//BCより、錯角で∠OFE=30°
接線と半径は垂直に交わるので、∠ODB=OEF=90°
△ODBと△OEFの内角はともに30°-60°-90°で、
半径OD=OEを加味すると、1辺と両端角が等しく合同

CDは△ABCを2等分する→BD=3cm
△ODBの辺の比は1:2:√3だから、
DO=√3cm、BO=2√3cm

図形Tの周の長さ=△ODB+△OEF-OD×2
△ODBの周の長さを2倍して、重複するDOを2倍した長さを引く。
(3+√3+2√3)×2-√3×2
=4√3+6cm

② 1%!!!
( ゚A゚)y-~

↑こんな感じの立体の体積を求めます(´゚д゚`)
どういう切り口で挑めばよいのやら・・。

思うに、△OEFと△OHBは合同なので、
回転させたときの円錐の体積も同じである。


というわけで、△OEFを△OHBに引越しさせて回転させる
正面からみると台形DBCD’の回転体(円錐台)から、
二等辺三角形DOD’の回転体(円錐)を引くイメージ。

辺の比が1:2:√3の直角三角形より、AO=2√3cm、OH=√3cm
DはABの中点なので、Dから回転の軸までの距離は3÷2=3/2cm

体積の算出は底辺の半径3cm、高さ3√3cmの円錐から、
上部にある底辺の半径3/2cm、高さの合計2√3cmの円錐を引くと計算しやすい。
3×3×π×3√3÷3-3/2×3/2×π×2√3÷3
=9√3π-3√3/2π
=15√3/2πcm3

大問1
正答率が高い!ここでミスしたくない。
大問2
(2)作図。正答率が50%未満だけど難しくないヨ。
(5)②回転問題に対処できていた。
大問3
(2)②標本調査が悪い(゚Д゚)中身は小問に出てくるタイプと一緒。
大問4
a・b・x・yがそれぞれ何を指しているか、しっかりおさえる。
(1)見慣れない形式で戸惑ったか。等式の整理で終了。
(2)答えはたくさんあるので、適当な代入でも正答できる。
大問5
(2)ADがx座標に平行な場合はそこで分割。等積変形しない。
(3)②なんとなくそう見えるという発想は大事。そのあとの検証も大事。
大問6
(2)②内接円と相似。今年の沖縄大問9に類題あり。
(3)①角度認定。有名な直角三角形で辺の長さを洗い出し、重複部分を控除する。
②ここはとくにムズかしかった(( ;゚д゚))
分割で足してもできるが、計算量が多くなると時間とミスがこわい。
平面で合同図形を移転させ、回転体を柔軟に変形させる。
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2020年度 鳥取県公立高校入試過去問【数学】解説

平均25.7点(50点満点;前年比-1.6点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)① 95.1%
2-(-5)
=2+5=7

② 94.0%
2/3÷(-2/15)
=-5

③ 90.8%
6√3-√27-√12
=6√3-3√3-2√3
=√3

④ 87.0%
3(2x-y)-2(x+y)
=6x-3y-2x-2y
=4x-5y

⑤ 88.0%
3a2b×4ab2÷2ab
=6a22

(2) 73.9%
(2a-3)2
=4a2-12a+9

(3) 73.4%
-a2-2a-1
=-(a2+2a+1)
=-(a+1)2 ←ここで代入。
=-(-2+1)2
=-(-1)2=-1

(4) 83.7%
2-3x-10
=(x+2)(x-5)
*因数分解で終わり。xについて解かない。

(5)式-68.5%、ア-77.2%
反比例はxとyの積が一定。
式;y=12/x
ア;12÷2=6

(6) 75.5%
2-3x-1=0
因数分解ができないの素直に解の公式を適用。
x=(3±√13)/2

(7) 34.8%
側面積は半径6cmの扇形。中心角は〔×半径/母線〕で対処しよう。
6×6×π×3/6=18πcm2

(8) 66.3%
48匹のうち、印付きは6匹。
印付きは全部で50匹だから、総数は48×50/6=400匹

(9) 57.6%
3点を通る円の中心Oの作図。
ABの垂直二等分線、BCの垂直二等分線、CAの垂直二等分線。
これら3本のうち2本を作図し、交点がOとなる。

(10) 43.5%
△AEF≡△DECの証明。

合同の証明では最低でも1組の等辺が必要なので、
AE=DEからどこの等角を指摘すべきかを
捉える。
対頂角と平行線+錯角で、1辺と両端角相等→合同。

(11) 56.0%
平均値はともに5.9点。
最頻値(モード)は最もあらわれている値。
10回の中央値(メジアン)は5番目と6番目の平均値。
そらの最頻値は7点、中央値は6点。
あずまの最頻値は9点、中央値は5.5点。
あずまを代表に選ぶので、最頻値を比較してあずまが大きい点を理由に挙げる。

大問2(確率)

(1) 58.7%
最も出にくい和は2。
(1、1)の1通りしかない。確率は1/36。
ア…2
イ…1/36

(2) 42.4%
6が最も出やすそうだが違うという(‘Д’)
〔1・2・2・3・3・3〕
〔1・2・2・3・3・3〕
和を6にするには3を2回出すので、3×3=9通り
確率は9/36=1/4

数字の並びをながめると、2+3=5の組み合わせが多そう。
和が5となる(2、3)は2×3=6通り。
(3、2)も6通りだから、合計で12通りもある。
確率は12/36=
1/3
1/3>1/4だから、出た目の数の和が5になる確率のほうが大きい。

(3) 21.7%!
y=ax2に(m、n)を代入すると、
n=am2
a=n/m2
n/m2の値が整数になる場合を考える。
〔1・2・2・3・3・3〕
分母mに2や3を入れてしまうとn/m2は整数にならない。
m=1で確定
分母が1だから、分子nは何でも良い→6通り。
6/36=
1/6


大問3(方程式)

(1) 58.7%
15分=1/4時間
時速6km×1/4時間=
3/2km

(2)①82.1% ②81.0%
何をx、yに置いたかを問う。

よくあるパターン。
距離の合計が1周10km。
道のり÷速さ=時間で、時間の合計が6/5時間。

今度はx+y=6/5となっているので、xとyは時間。
1つ目は速さ×時間=道のりで距離の等式を立てている。
①イ、②エ

(2) 38.6%
前問のどちらかの連立を解く。
1つ目の連立を解くとx=3、y=7
走った距離は7km。走った時間は7km÷時速10km=7/10時間。

2つ目の連立を解くとx=1/2、y=7/10
走った時間は7/10時間。走った距離は時速10km×7/10時間=7km
7km、7/10時間

(3)① 13.0%!

道のりの関係を表すので、〔速さ×時間〕を両辺に設置して道のりで等式を立てる。
こういちは父より先にt時間走っている点に注意!
父…時速40km×a時間=40akm
こういち…時速10km×(t+a)時間=10(t+a)km
10(t+a)=40a

② 2.2%!!

父が出発するt時間後は、2人の距離は10tkm離れている。
tの値が小さければ2人の距離は接近しており、
父が反対の向きより同じ向きで出発して、こういちを追いかけた方が早く会える。
そのときのtの最大値を求める。

が反対の向きで出発すると、両者は時速50kmで近づくので、
(10-10t)km÷時速50km=(10-10t)/50=(1-t)/5時間で出会う。
父が同じ向きで出発すると、両者は時速30kmで近づくので、
10tkm÷時速30km=10t/30=1/3t時間で追いつく。

(1-t)/5=1/3t
-3t=5t
t=3/8
3/8時間後まで

大問4(数量変化)

(1) 66.3%、51.1%
■プラン1
2500+25×(220-100)
=2500+25×120=2500+25×4×30
=2500+3000=5500円

■プラン2
1000+20×(200-50)+35×(220-200)
=1000+3000+700=4700円
プラン1…5500円 プラン2…4700円

(2) 32.1%!

50kWhまでは基本料金の1000円。
50~200kWhまでは傾きが20円。50kWhで1000円増加する。
200kwh以降は傾きが35円。100kWhで3500円増加する。

(3) 26.1%!
先ほどのグラフにプラン1を書き込む。

プラン1は100kWhまで2500円、そこから傾き25円で上昇。
(200、5000)(300、7500)の格子点を通る。
300kWhでプラン1とプラン2の料金が7500円で等しくなるので、
300kWh未満まではプラン2の方が安い。

300kWh未満のとき

(4) 3.8%!!
(1)より、プラン2の料金は4700円。

プラン3の料金を考える。
基本料金500円。
平日昼の電気使用量がakWhだから、平日昼分は35a円。
平日昼以外と土日祝日は1kWhあたり15円で同じ→まとめて処理
2つの電気使用量は(220-a)kWhなので、料金は15(220-a)円。
これらの合計がプラン2の4700円より安い。

500+35a+15(220-a)<4700
*ちなみに、この一次不等式を解くとa<45。
平日昼の電気使用量を45kWhより小さく抑えればプラン3の方が安くなる。


大問5(図形)

(1) 63.6%

∠BCD=90°に刮目<●><●>カッ!
直径に対する円周角は90°。
BDが円の直径。
△BCDは直角二等辺三角形で辺の比は1:1:√2。
BD=2×√2=2√2cm

(2) 35.3%

1つは対頂角で∠CBF。
もう1つは内接四角形の内角は、その対角の外角に等しい→∠EDC

ウ・オ

(3) 1.6%!!

結論からいうと、△ABE∽△CDE
前問の∠ABE=∠CDE()。共通角∠AEB=∠CED(×
2角相等で∽。

△CDEでDC:EC=2:6=①:③
辺の比で三平方→DE=〇√10
△ABEでAB:BE=①:〇√10なので、
AB=4×①/〇√10=
2√10/5cm

(4) 12.0%!

半径√2cmの球のなかに、底辺の半径が√2cm、高さの合計が2√2cmの円錐が入る。
斜線部分は〔球-円錐〕。
4/3π×(√2)3-√2×√2×π×2√2÷3
=8√2/3π-4√2/3π
4√2/3πcm3

(5) 2.2%!!

直径探し。どう見てもECは直径ではなさげ(;`ω´)
こういう場合は他の点も通るだろうと予測しよう。Fが怪しいね(σ’д’)σ

前問を手がかりに、∠EAF=∠ECF=90°
『2点A、Cが直線EFについて同じ側にあって、∠EAF=∠ECFが成り立つから、
4点A、E、F,Cは同一円周上にある!』(円周角定理の逆
等角が90°なので、円Pの直径はEFとなる

EFは△CEFの三平方で求まるので、CFが知りたい。
2角相等→△ABE∽△CBF
(3)の辺の比から、△ABEでAB:AE=①:③
CB:CF=①:③ゆえ、CF=2×3=6cm
△CEFで三平方→1:1:√2の直角三角形からCF=
6√2cm

2020年度 豊島岡女子学園高校過去問【数学】大問5解説

類題を置いておきます。

大問1
計算問題の正答率が高め◎
(7)中心角は×半径/母線!なぜそうなるのか。わからなかったら先生に聞いてみよう。
(10)合同の証明は素直であった。
大問2
普通のサイコロではないが、正答率はまずまずであった。
大問3
(2)等式から文字の中身を推測する設問。8割以上が正解◎
(3)処理は少ないが、問題文を読解して式を立てるのが大変。図を描いて情報整理!
大問4
(4)ここも不等式を立てるのに読解力と整理力が要求された。
大問5
(2)内接四角形の性質はちゃんと使えるかな?|-`)。oO
(3)ABを1辺とする三角形と∽関係にある三角形に着目する。
(5)円周を通るもう1つの点の存在に素早く気づくこと。
直径の捜索は90°を手がかりに。前問の解答をうまく活用する良問であった。
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2020年度 宮崎県公立高校入試過去問【数学】解説

合格者平均53.9点(前年比;+3.4点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)-82.2%

(1) 97.9%
-9+(-8)
=-17

(2) 91.3%
3/4÷(-5/6)
=-9/10

(3) 90.0%
2(a+4b)-(-3a+7b)
=2a+8b+3a-7b
=5a+b

(4) 83.4%
√12×√2÷√6 ←根号のまま約分。
=2

(5) 84.8%
2x+3y=20 …①
4y=x+1 …②

②より、x=4y-1
①に代入。2(4y-1)+3y=20
11y=22
y=2

②に代入して、4×2=x+1
x=7
x=7、y=2

(6) 71.7%
3x2-x-1=0
因数分解ができないので解の公式。
x=(1±√13)/6

(7) 66.3%
和が8にならないよりなる場合のほうが少ない。
和が8→(2、6)(3、5)(4、4)(5、3)(6、2)
以上、5通り。
全体が6×6=36通りで、和が8にならないのは36-5=31通り
確率は、31/36。

(8) 72.0%
基本レベル。

①∠AOBに二等分線
②OBの垂直二等分線
これらの交点がPとなる。

大問2(資料問題&規則)-58.4%

(1)① 98.4%
40-(4+7+11+6+2)
=10

② 48.1%
完全解答。
ア:16冊以上はともに
8人で等しい。〇
イ:最頻値(モード)は1年が14冊、2年が14冊で等しい。×
ウ:最大値の含まれる階級は20~24冊で等しい。〇
エ:30人の中央値(メジアン)は15番目と16番目の平均で14冊。
40人の中央値は20番目と21番目の平均で10冊。1年の方が大きい×
ア・ウ

③ 57.6%
答案では説明を記述する。
相対度数を算出して比較すればいい。
1年生…10÷30=0.333…≒0.33
2年生…11÷40=0.275≒0.28
0.33>0.28だから、12冊以上16冊未満の生徒の割合が大きいのは1年生。

(2)① 56.7%

1行目の〔1、2、5、10、17、26…〕は
最初の1を除き、n
列目の〔n-1の平方数+1〕。
1行目6列目は5×5+1=26
3行目6列目は26+2=28
1―28
*(3、6)と(6、3)を取り違えないように!(‘Д’)
横行→縦列の順です。

右列は平方数が並ぶ。
31行目1列目は、31×31=961
2—961

② 32.9%!

これも平方数から攻めた方がやりやすいと思う。
2-0=1
2-1=3
2-2=7
2-3=13
…n2-(n-1)
=n2-n+1


大問3(数量変化)-46.7%

(1) 72.4%
△PBQは等辺が1cmの直角三角形。
y=1×1÷2=
1/2

(2) 49.8%
4秒後までは底辺BQと高さPBが1cmずつ長くなる。
底辺と高さがともに伸びるので、y=ax2で増えていく
x=2のとき、y=2×2÷2=2

(3) 43.5%
転換点はどこか(‘Д’)

4秒後~6秒後は高さPBが伸びる。
y=4×x÷2=2x
①…6、②…2x

6秒後から12秒後までは等積変形で面積が一定。
y=4×6÷2=12
③…12、④…12

12秒後~18秒後の高さは、BからCまでの距離18cmから
Pの移動距離xcmを引いて18-xcm。
y=4×(18-x)÷2=-2x+36
⑤…-2x+36

(4) 21.9%!
y=6×6÷8=9/2となるxの値を求める。
x=4のとき、y=4×4÷2=8だから、1つは0≦x≦4。

y=ax2に(x、y)=(4、8)を代入してa=1/2
y=1/2x2
y=9/2を代入。
1/2x29/2
x>0、x=3

x=12のときy=12だから、もう1つは12≦y≦18。
y=-2x+36にy=9/2を代入して、x=63/4
x=3、63/4

大問4(平面図形)-38.0%

(1) 62.9%

直径ACに対する円周角で、∠ABC=90°
∠EBC=90-24=66°
△BCEで外角定理→∠ACB=100-66=34°

(2) 51.4%
△FBD∽△FCAの証明。

共通角で∠BFD=∠CFA
弧ADに対する円周角で∠FBD=∠FCA
2角が等しく∽。

(3) 33.2%!
前問の相似を用いる。

対応する辺がごっちゃになったら、三角形を描いて整理してみよう。
FD:FB=FA:FC
5:x+4=x:12
内項と外項の積より、x(x+4)=60
2+4x-60
=(x+10)(x-6)=0
x>0、x=6
AFの長さは6cm。

(4) 1.1%!!

内接四角形の内角は、その対角の外角に等しい
∠FAD=∠FCB、∠FDA=∠FBC
2角相等で△FAD∽△FCB
AD:CB=FA:FC=6:12=

対頂角と円周角で△ABE∽△DCE
対応する辺を誤らないように!
AE:DE=AB:DC=

同様に、△ADE∽BCE
△ADEと△BCEの辺の比は、AD:BC=
ということは、EC=ED×2=

AD:DC=5:7
△ADFの面積を【5】とおくと、△ADCの面積は【7】。
AE:EC==2:7より、△ADEの面積は【7】×2/9=【14/9】
△ADE:△ADF=【5】:【14/9】=45:14
△ADEは△ADFの14/45倍。


大問5(空間図形)-30.1%

(1) 85.2%
ネジレ→交わらない、かつ平行でない。
辺ADとネジレにある辺は、辺BF、辺CG、辺EF、辺GH。
イ・ウ・オ。

(2) 30.5%!

AI//DJから立体①は三角柱。
△AEIで三平方→EI=3√3cm
側面積は展開図をイメージし、3つの長方形を合わせて計算する。
3√3×3÷2×2+(3+6+3√3)×4
36+21√3cm2

(3) 4.3%!!
最短距離は展開図。

面JIADを左側へ折りかえす。
△JCF∽△PBFより、PB=14×3/7=6cm

AP=8-6=2cm
△AQP∽△FBPより、AQ:AP=BF:BP=1:2でAQ=1cm。
△APQで三平方→PQ=√5cm

(4) 0.5%!!!
面の軌跡。経験の差と時間をどれだけ残せたかで決着がつく。
奥行きは4cmで一定なので、正面からみたときの辺AEの軌跡から考える。

↑こんな感じになる。
とりあえず、中心角が欲しい。
直角三角形AEIの辺の比は、3:6:3√3=1:2:√3なので、
内角は30°-60°-90°。

移植
外径は6cm、内径は3√3cm、中心角は150°。
求めたいのは体積なので、最後に奥行き4cmをかけるのを忘れないように!
6×6×π×150/360-3√3×3√3×π×150/360)×4
=(9π×5/12)×4
=15/4π×4=15πcm3

大問1
(8)和が8になる方が少ないと直感でわかる。
(9)基本的な作図なのでもっと正解したい。
大問2
(2)①逆L字で数字が並ぶので、上から攻めた方が良いと思う。
②斜めにどんな数字が並んでいるか。平方数との差がポイント。
大問3
Qが中途半端なところで止まる|・ω・` )
それを除けば典型問題。
大問4
(2)正答率は約半数だが、方針が立てやすく記述もしやすい。
(3)対応する辺が混乱しやすい。2つの三角形をわきに描いて整理!
(4)内接四角形の対角線が何対何で内分されているのか。
相似図形を器用に扱わないと探し出せない。
大問5
(3)最短経路の直線がUターンしている。やや難。
(4)手法は典型。移植して細いドーナッツを求める。
上の学校を目指すのであれば、本番までにどこかで経験しておきたい。
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2020年度 石川県公立高校入試過去問【数学】解説

平均40.0点(前年比;-9.6点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)ア
-3-6
=-9


7+(-23)×4
=7-8×4
=-25


(-3ab)2÷6/5a2
=9a22×5/(6a2b) ←カッコ内は分母にあります。
=15/2b


(x+3y)/4-(2x-y)/3
=(3x+9y-8x+4y)/12
=(-5x+13y)/12


√60×1/√3-√45 ←前半は根号同士で約分
=2√5-3√5
=-√5

(2)
2+5x-3=0
因数分解ができないので素直に解の公式を適用。
x=(-5±√37)/2

(3)
『20枚以上余った』→配り終わって余ったa-5b枚が20以上。
a-5b≧20

(4)
2-y2
=(x+y)(x-y) ←ここで代入。
=(√7+√2+√7-√2)(√7+√2-√7+√2)
=2√7×2√2=4√14

(5)
4冊の度数は、1-(0.15+0.15+0.3+0.25)=0.15
各々の度数と相対度数から平均値を算出。
0×0.15+1×0.15+2×0.30+3×0.25+4×0.15
=2.1冊

大問2(確率)

(1)
4枚残る→2枚とる。
約数が2個ということは素数
2、3、5
*1は素数ではない!

(2)
答案では過程も記述する。
右端は偶数の6なので、右端が奇数になるには6と奇数のどれかを交換するしかない。
(1、6)(3、6)(5、6)これらの逆を含めて6通り。
全体は6×6=36通り。偶数になる場合は、36-6=30通り
確率は30/36=
5/6


大問3(関数)

(1)
x=0のとき、最小値y=0
x=-3のとき、最大値y=9
0≦y≦9

(2)

↑このようなドーナッツ型になる。
外径はQ座標から、√(92+32)=√90
内径はOA・OPでないことに注意!
Oを中心にAPを回転させると、APとOの距離にあたる1が内径
(√90)2π-12π=89π

(3)
答案では過程も記述する。

おなじみの等積変形。
Rのx座標が負なので、上図のようにQを直線OA上に持ってくる。
A(-1、1)→P(3、9

右に4、上に8だからAPの傾きは2。

RQの式を求める。
傾きは2、Q(4、16)を通るので、
16=2×4+b
b=8
y=2x+8

Rはy=2x+8とy=-xの交点。
2x+8=-x
x=-8/3
したがって、R(-8/3、8/3)

大問4(方程式)

答案では過程も記述する。
求めたいものを文字に置く。
2008年度、2018年度の3種類のゴミの排出量の合計をそれぞれx、yとする。
排出量の合計の比較から、x-y=225…①
燃えないゴミの排出量の比較から、
0.08x:0.04y=10:4(←6割減は4割)
内項と外項の積で0.32x=0.4y
4x=5y…②

①×4
4x-4y=900
②より、4xに5yを代入。
5y-4y=y=900
②に代入。4x=5×900
x=1125

2008年度の3種類のゴミの排出量の合計…1125g
2018年度の3種類のゴミの排出量の合計…900g

大問5(作図)


①∠ABP=∠CBP→∠ABCの二等分線
∠ABP=∠PBCに置き換えると少しわかりやすくなるかも。
②∠ADC=∠APC→弧ACに対する円周角で等しくなる→A・D・Cを通る円の作成
ADとCDの垂直二等分線を描き、その交点が円の中心となる。
③二等分線と円周の交点がP。


大問6(平面図形)

(1)

半径で△OACは二等辺。
△OACで外角定理→x=70+70=140°

(2)
答案では過程も記述する。

与えられた60°から有名三角形に気づきやすい。
△AOCは正三角形。

∠BOE=60°
直径ABと接線ℓは垂直。
△OBEは30°-60°-90°で辺の比が1:2:√3
△OBEから扇形OBDを引く。
4√3×4÷2-4×4×π×60/360
8√3-8/3πcm2

(3)
△CPE∽△QDEの証明。
辺の情報が乏しいので角度攻め。

共通角から∠CEP=∠QED(
直径ABと垂線ℓは垂直、直径CDに対する円周角CAD=90°
直角三角形ABPとCADをうまく利用する
△ABPで∠APB=
PAB=×とおく。
×=90°から、∠OAD=90-×
また、半径から△OADは二等辺で∠ODC=
対頂角でQDE=
2角相等で∽。

大問7(空間図形)

(1)
ネジレ→交わらない、かつ平行でもない。
辺AC

(2)
答案では過程も記述する。

△ABDで三平方→AD=3√3cm
△ABCと△OBCは合同な正三角形で、
底辺をBCとすると、高さはAD=ODで等しい!
ということで、△OADは二等辺三角形
DからAOに向けて垂線、交点EはAOの中点だからAE=3cm
△AEDで三平方→DE=3√2cm
△OADの面積は、6×3√2÷2=9√2cm2

(3)
ここも過程を記述するのね( ;∀;)

△OACを底面に捉えよう。
三角錐B-OEFと四角錘B-EACFの体積比が1:2。
これらは高さが等しいので、底面の△OEFと四角形EACFの面積比が1:2
△OEFの面積を【1】とすると、△OACの面積は【3】

隣辺比から、△OEF=①×②=〔2〕=【1】
(辺の比が〇。辺の比の2乗の面積が〔 〕。これを【 】と比較)
△OACの面積は【3】だから〔6〕。
△OACは二等辺なので、OA×OC=〔6〕
OA=OC=〇√6

OA=8cmだから、
OE=8×①/〇√6
=4√6/3cm

大問1
(6)平均値は階級値と相対度数から直接出せる。
大問2
気づいてしまえば短時間で処理できた。
大問3
(2)内径に注意!線分APと中心Oの距離が内径。
(3)こちらの方が典型問題。
大問4
後半の比例式が厄介。式の整理が問われる。
大問5
条件整理!2角が等しくなる理由から作図方法を模索する。
大問6
(3)●+×=90°で等角を認定していく。捉えるのが難しかったと思われる。
大問7
(3)隣辺比を使うと式がスッキリするが、面積比の変換が求められる。
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2020年度 徳島県公立高校入試過去問【数学】解説

平均46.0点(前年比;-0.1点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
3×(-5)
=-15

(2)
2(3a-2b)-3(a-2b)
=6a-4b-3a+6b
=3a+2b

(3)
2-3x-4
=(x+1)(x-4)=0
x=-1、4

(4)
ネジレ→交わらない、かつ平行でもない。
辺CG、辺DH、辺EH、辺FG

(5)
x-y=-x+4y=3
x-y=3…①
-x+4y=3…②
これを解いて、x=5、y=2

(6)

四捨五入で整数→小数第1位の5に注目
不等号に気をつけよう!10.5を四捨五入で整数に丸めると11になる。
9.5≦a<10.5

(7)
2+2xy+y2
=(x+y)2 ←ここで代入。
=(√2+1+√2-1)2
=(2√2)2=8

(8)
何をx、yに置いたのか注意しよう!
xは往復の時間、yはふりこの長さ。
yに長さを代入する。

■y=1のとき
1=1/4x2
2=4
x>0より、x=2

■y=9のとき
9=1/4x2
2=36
x>0より、x=6

往復時間は1mの振り子が2秒、9mの振り子が6秒。
6÷2=3往復
*ふりこの周期はおもりの重さや振れ幅ではなく、
ふりこの長さに依存する。これを振り子の等時性という。

(9)
2x-y=5
yで場合分け。
◆y=1
2x=6、x=3
◆y=3
2x=8、x=4
◆y=5
2x=10、x=5
*2xは偶数、5は奇数なので、等式が成り立つにはyが奇数でなければならない
→つまり、y=1、3、5
以上、3通り。

全体は6×6=36通りだから、確率は3/36=1/12。

(10)

弧の長さは中心角の大きさに比例する。
弧AP:弧PB=3:1とするには、その中心角を3:1にすればいい。
∠AOBを二等分、さらに二等分したB側がPとなる。

大問2(規則)

(1)

なかの白は正方形。
5番目の白の数は、5×5=25個
ア…25

5番目の全体の正方形は1辺が7個。
全体から白をひいて黒の数が求まる。
7×7-25=24
イ…24

全体の正方形の1辺は、
1番目→3個、2番目→4個、3番目→5個…
n番目はn+2個
タイルの総数は(n+2)2個。
白の1辺n個だから、白の数はn2個。
よって、黒の数は、
(n+2)2-n2
=4n+4

@別解@

魔方陣でよくある手口。
黒の数は、(n+1)×4=4n+4個

(2)
白…n2個、黒…4n+4個
2-4n-4=92
2-4n-96
=(n-12)(n+8)=0
n>0より、n=12
12番目


大問3(小問集合)

(1)
問題文から文字式をつくれるか|-`)。oO
料金の合計は2000a+1200b+500×40円。
これを40で割ればいい。
(2000a+1200b+500×40)÷40
=50a+30b+500円

(2)
1人の面積は等辺が5/2mの二等辺三角形。

二等辺の頂角は、360÷8=45°
うえのように垂線をひくと内角が45°-45°-90°の直角二等辺が見つかる。
辺の比は1:1:√2で斜辺が5/2mだから、
高さは5/2×1/√2=5√2/4m
面積は、5/2×5√2/4÷2=25√2/16m2

(3)

下に延長して円錐を作成。
直角三角形の相似から、下の円錐の高さは27cm。
4×4×π×36÷3-3×3×π×27÷3
=192π-81π=111πcm3

大問4(関数)

(1)
y=3/xにx=-1を代入して、y=-3

(2)
y=-3x2に代入。
x=-2のとき、最小値y=-12
x=0のとき、最大値y=0
-12≦y≦0

(3)
(1)よりA(-1、-3)
Bは原点に関してAに対称なので、B(1、3)
PはOBの中点だから、P(1÷2、3÷2)=P(1/2、3/2)

C(0、4)→P(1/2、3/2)
右に1/2、下に4-3/2=5/2移動する。
→2倍すると右に1、下に5移動する→傾きは-5
切片はCのy座標だから、y=-5x+4

(4)

関数で角度の活用がキタ(‘Д’)
∠OCP=①とすると∠BPC=②
ここからなんとかならないものか…(´~`)

Pを通るy軸に平行な線をひく
錯角で∠BPCの左側が①。
右側は①になり、同位角で∠COP=①
△OCPは底角が①で等しく、二等辺三角形になる
Pからy軸に向けて垂線。その交点はOCの中点でy=2
Pのy座標が2。これをy=3xに代入。
P(2/3、2)

@別解@

y軸との平行線は∠BPCの二等分線であり、
これを対称の軸とすると、Pを通る2本の直線は線対称の関係
傾きは3⇒-3。切片は4だから、y=-3x+4
Pはy=3xとy=-3x+4の交点となり、
3x=-3x+4
x=2/3
これをy=3xに代入してP(2/3、2)


大問5(平面図形)

(1)(a)

CDに補助線。
仮定より、∠CAD=80÷2=40°
△ACDは二等辺ゆえ、∠ACD=(180-40)÷2=70°
弧ADに対する円周角で、∠ABD=70°

(b)

半径はわかっているので中心角さえわかればいい。
∠BACの中心角BOC=40×2=80°
15×15×π×80/360=50πcm2

(2)
△ABC≡△AEDの証明。

証明問題としてはイージーです。
仮定から∠BAC=∠EAD
同じく仮定から、AC=AD
弧ABに対する円周角で、∠ACB=∠ADE
1辺と両端角相等で合同。

(3)

円周角が等しい=弧の長さが等しい。
下の弧BC=弧CD=とする。
弦AC=弦ADから、赤線の弧の部分が等しい
弧AC=弧AD=8π+
円周は15×2×π=30cm
8π++(8π+)=30
×3=14π
=14/3πcm
弧AD=8π+14/3=38/3πcm

大問1
(6)概数は中学受験でもっと難しいのが出るよ!解けるようにしておきたい。
(8)xではなくyに代入する。
大問2
そんなに難しくはない。計算も複雑ではなかった。
大問3

数学の活用。要点をうまくつかもう。
大問4
(3)までは確実にとりたい。
(4)∠OCPと∠BPCの位置関係から平行線を描きたい。
大問5
(3)円周に着目した設問であった。
どこの弧が等しくなるか、印をつけよう。
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2020年度 愛媛県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)
-5+2=-3

(2)
3(4a-3b)-6(a-1/3b)
=12a-9b-6a+2b
=6a-7b

(3)
4x2y×3y÷6x2
=2y2

(4)
(2√5+1)(2√5-1)+√12/√3 ←うしろの項は根号の中を約分
=(2√5)2-12+√4
=20-1+2=21

(5)
(x-4)(x-3)-(x+2)2
=x2-7x+12-x2-4x-4
=-11x+8

大問2(小問集合)

(1)
-12/a-b2
=-12/2-(-3)2
=-6-9
=-15

(2)
2+2x-35
=(x+7)(x-5)=0
x=-7、5

(3)
反比例はy=a/x
比例定数a=-6を代入。
式;y=-6/x

反比例なので双曲線を描く。
xとyの積は-6で一定
a<0だから、第2象限と第4象限となる。

(4)①
愛媛だからミカン🍊の糖度が題材に。
ア=40-(2+13+12+9)=4


糖度11~13度は40個中25個の割合。
8000×25/40=5000個

(5)
6枚から2枚を選ぶ→62=15通り

負の数の-3か-2をとると、和が正にならない可能性がでてくる。
そこで、和が負か0になる場合を求めて全体から引く。
-3をひく
もう1枚は何をとっても負か0になる→5通り。
◆-2をひく
もう1枚は0~2→3通り。(-3は先ほどカウント済み)
以上8通り。

和が正になる場合は15-8=7通り
確率は7/15。

(6)

『2点A、Bから等しい距離にある』→ABの垂直二等分線
『Cから最も近いP』→Cを通る垂線、交点がPとなる。

(7)
解答では過程も記述する。

まずは邪魔な赤ピーマンを除外
大根とレタスの重さの合計は、175-50=125g

カロリーは1gあたりに直すこと!
赤ピーマンは1gあたり0.3kcalなので、
大根とレタスの熱量の合計は、33-0.3×50=18kcal

大根をxg、レタスをygとすると、
x+y=125
0.18x+0.12y=18
これを解いて、x=50、y=75
大根…50g、レタス…75g


大問3(文字式)

(1)
扇形は円の一部。中心角の処理は時間で考えよう!
円を1周するのに16分。4分間乗るので、
20×2×π×4/16=
10πm

(2)①
今度はゴンドラの台数で考える。
1周24台で16分かかる。
8台では、16分×8/24=16/3分後



24台のうちの8台だから、太郎と花子は円の1/3離れている。中心角は120度
この位置関係で時計回りに回ると、右図で高さが等しくなる。

円の中心を通る、地面に平行な直線を引く。
左右対称の図形だから、(180-120)÷2=30°
内角が30°-60°-90°の直角三角形は辺の比が1:2:√3
→直角三角形の高さは10m。
10+20+5=35m

(3)
発想力がとわれる( ˘ω˘ )
これもゴンドラの台数で考える。

太郎とまことのあいだがn台。
観覧車1周は16分で24台まわる。
t分後のゴンドラの台数は、24台×t/16=3/2t台
この3/2t台は、まことと太郎が同じ高さになったときのP~太郎までの台数

対称性から、反時計回りにPからまことまでの台数も3/2t台
3/2t+3/2t-n=24
3t=n+24
t=1/3t+8

大問4(数量変化)

(1)

図に書き込んでみよう。
■x=1のとき
y=2×1÷2=1

■x=4のとき
y=6×4÷2=12

(2)
正方形ABCDの周の長さは24cm。
言い換えれば、PとQは24cm離れた状態から毎秒3cmずつ近づいていく。
24÷3=8秒後

(3)
変化するポイントごとに調べる。

0~3秒は底辺と高さがともに伸びる。△APQは放物線で増加。
3~6秒はAQを底辺とすると底辺のみ毎秒1cmずつ伸びる。
高さは6cmで変化なし。面積は比例で増加。
6~8秒はPQを底辺とすると底辺が毎秒3cmずつ縮む。
高さは6cmで変化なし。面積は比例で減少(3~6秒の傾きの-3倍)。

(4)

3秒後の△APQの面積は6×3÷2=9cm3だから、3秒より前に1つある。
AQ=xとすると、AP=2x。
2x×x÷2=6
2x2=12
x>0より、x=√6

QP=2cmになれば、△APQの面積は6cm2となる。
PとQの速さの比から、DQ:PC=①:②
DQ=(6-2)×①/③=4/3cm
Qの移動距離は、6+4/3=22/3cm
Qは毎秒1cmなので、22/3秒後。
x=√6、22/3


大問5(平面図形)

(1)①
『△AFCと△BEC』とあるので、もしこれらが合同であった場合、
AFに対応する辺を選べばいい。
BE
*うしろの証明を終わった後に戻ってきても可。


△AFC≡△BECの証明。

仮定からAC=BC
弧CDに対する円周角で∠CAF=∠CBE
直径に対する円周角から∠ACF=90°
反対側の角度である∠BCE=180-90=90°
以上から、1辺と両端角が等しく合同。

(2)

△ABE=40cm2、△ABF=20cm2
前問より△AFC≡△BECだから、おのおの10cm2

面積しかわかっていないので、どこかの長さを確定したい。
△ABCが直角三角形であることを利用しよう
AC×AC÷2=30
AC2=60
AC=2√15cm

CF:FBは△ACFと△AFBの面積比に等しい
CF:FB=10:20=①:②
AC=BC=③

△ACFで三平方。
AF2=①2+③2=⑩2
AF=〇√10

したがって、AFの長さは、
2√15×√10/3
=10√6/3cm

大問1
全問死守!
死守!死守!
大問2
基本問題が多い。
(7)類題が去年のどっかの公立高校にあった。
大問3
愛媛はここで変なことをする(‘Д’)
時間と台数の割合計算は正確に!
(2)②図を描くべし。1/3円→有名直角三角形の活用。
(3)解きにくい。ここも図を描いてとっかかりを掴む。
他にもやり方ありそう。
大問4
よくある数量変化の問題。
(3)コーナーを曲がると変化する。
(4)解説は算数で書きました( ˘ω˘ )
大問5
この形もどこかの公立高校で見かけた。
(2)面積しかわかっていないので、確定できる長さに狙いを絞る。
直角が大きなヒント。
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