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大問１（計算）

（１）
18－（－４）²÷８
＝18－16÷８
＝18－２
＝16

（２）
２（５ａ－ｂ）－３（ａ＋６ｂ）
＝10ａ－２ｂ－３ａ－18ｂ
＝７ａ－20ｂ

（３）
14ａｂ÷７ａ²×ａｂ
＝２ｂ²

（４）
（ｘ＋１）（ｘ－１）－（ｘ＋３）（ｘ－８）
＝ｘ²－１－（ｘ²－５ｘ－24）
＝ｘ²－１－ｘ²＋５ｘ＋24
＝５ｘ＋23

（５）
（√６－√２）²＋√27
＝６－２√12＋２＋３√３
＝８－４√３＋３√３
＝８－√３

大問２（小問集合）

（１）ｂ＝（５ａ＋４）/７　…両辺×７
７ｂ＝５ａ＋４　…移項
５ａ＝７ｂ－４　…両辺÷５
ａ＝（７ｂ－４）/５

（２）
２ｘ²－３ｘ－１＝０
解の公式を適用して、
ｘ＝（３±√17）/４

（３）
平均値ａ…（２×１＋３×４＋４×３＋５×２＋６×１＋12×１）÷12＝54÷12＝4.5冊
最頻値ｂ…最もあらわれている値で３冊。
中央値ｃ…12人のメジアンは６番目と７番目の平均で４冊。
ｂ＜ｃ＜ａ
エ

（４）
２枚の取り出し方→３×４＝12通り
20の約数は【１・２・４・５・10・20】
◆１→ない
◆２→（１、１）
◆４→（１、３）（３、１）
◆５→（２、３）
◆10→（３、７）
◆20→ない
計５通りで、確率は５/12。

（５）
最も小さい整数をｎとすると、連続する３つの整数はｎ、ｎ＋１、ｎ＋２。
ｎ＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋２）
＝３ｎ＋３＝2022
ｎ＝673

（６）

孤ＢＣに対する中心角より、∠ＢＯＣ＝２ａ
△ＯＣＤで外角定理→∠ＣＤＯ＝２ａ－ｂ°

（７）
４＜√ｎ＜５　←すべて２乗して根号を外す
16＜ｎ＜25　…①

√（６ｎ）が自然数→６ｎが平方数で根号が外れる。
ｎは〔６×平方数〕である。
ｎ＝１→６×１²＝６
ｎ＝２→６×２²＝24
①の範囲にあるのはｎ＝24

（８）
答案では途中式を含めた求め方も書く。
手順どおりに機械的に処理していく。

ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝３を代入、Ａ（３、９/２）
ＣＢ＝９/２だから、Ｃのｘ座標は３－９/２＝－３/２

ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝－３/２を代入、Ｄ（－３/２、９/８）
ｙ＝ａｘ²にｘ＝－３/２を放り込んで、Ｅ（－３/２、９/４ａ）
ＤＥ＝２だから、９/８－９/４ａ＝２　←８倍
９－18ａ＝16
ａ＝－７/18
（*ａ＜０の条件に適合する）

大問３（関数）

（１）①
15が足される回数はあいだの数、つまり、（ｘ－１）回である。
ｘ＝４のとき、ｙ＝320＋15×（４－１）＝365
ｘ＝８のとき、ｙ＝320＋15×（８－１）＝425
ア…365、イ…425

②
規則を一般化する。
ｙ＝320＋15（ｘ－１）
ｙ＝15ｘ＋305

③
先ほどの式にｙ＝620を代入する。
620＝15ｘ＋305
ｘ＝21

（２）
コーンＡ；ｙ＝15ｓ＋305
コーンＢ；ｙ＝150＋10（ｔ－１）＝10ｔ＋140

コーンＡとコーンＢの合計が39個だから、ｓ＋ｔ＝39　…①
高さが同じ⇒ｙの値が等しいので、15ｓ＋305＝10ｔ＋140　…②

①、②の連立を解けばよいが、処理が面倒くさい(´д`)
②を整理すると、10ｔ－15ｓ＝165　…③
①×10－③でｓ＝９
①に代入してｔ＝30
ｓの値…９、ｔの値…30

＠別解＠
こういう面倒な方程式をみると、どうにか回避できないものかという衝動に駆られる…。
増加分はコーンの個数のあいだの数なので、あらかじめＡとＢを１個ずつ置いておく。
残りは合計37個。
ＡとＢの差は、320－150＝170ｃｍ
高さを同じくするため、170÷10＝17個のＢを積む。

積み上げる高さが等しくなるように、残り20個を配分する。
増加する長さの比はＡ：Ｂ＝15：10＝３：２
積むべきコーンの個数は逆比でＡ：Ｂ＝②：③
Ａは20×②/⑤＝８個積む。
最初の１個と合わせて、Ａは９個。
Ｂの個数は、39－９＝30個

大問４（図形）

（１）
△ＢＣＥ∽△ＤＦＨの証明。

仮定より、∠ＣＥＢ＝∠ＦＨＤ＝90°
平行四辺形ＡＢＣＤの対角と対頂角より、∠ＥＢＣ＝∠ＨＤＦ
２角相等で∽。

（２）①
前問の相似を利用する。
ＦＤ：ＤＨ＝ＣＢ：ＢＥ
５：２＝６：ＢＥ
ＢＥ＝２×６/５＝12/５ｃｍ

②
 
△ＦＧＤの底辺をＧＤとすると高さはＦＨ。
△ＦＤＨで三平方→√21ｃｍ

ＧＤの長さを知りたい。
△ＦＧＤと相似にあたるのは△ＥＧＡ。

先ほどのＢＥを手がかりに、ＡＥ＝７－12/５＝23/５ｃｍ
△ＥＧＡ∽△ＦＧＤより、相似比はＡＥ：ＤＦ＝23/５：５＝㉓：㉕＝ＡＧ：ＧＤ
ＧＤ＝６×㉕/㊽＝25/８ｃｍ
よって、△ＦＧＤの面積は、25/８×√21÷２＝25√21/16ｃｍ²

（３）

ネジレ⇒平行ではない、かつ延長しても交わらない。
辺ＡＤとネジレにあるのは辺ＥＦと辺ＦＢ。
ウ・エ

（４）①

ＡＤ//ＩＪ//ＢＣ。
Ａを通るＤＣに平行な線をひき、ＩＪ、ＢＣとの交点とＫ、Ｌとする。
平行四辺形は対辺が等しいから、ＡＤ＝ＫＪ＝ＬＣ＝３ｃｍ
ＢＪ＝７－３＝４ｃｍ
△ＡＩＫ∽△ＡＢＬより、ＩＫ＝４×２/６＝４/３ｃｍ
ＩＪ＝４/３＋３＝13/３ｃｍ

②

立体は四角柱⇒面ＡＢＣＤ⊥面ＦＢＣＧ。
面ＡＢＣＤ上にある△ＩＢＪを底面とすると、高さはＦＢ＝９ｃｍ
△ＩＢＪの面積さえわかればいい。

△ＩＢＪの高さが知りたい。
ＡＢ＝ＤＣ＝６ｃｍの台形ＡＢＣＤは左右対称な等脚台形である。
ＡＤ、ＩＪの延長線にＢから垂線をひき、交点をＭ、Ｎとする。
ＭＡ＝（７－３）÷２＝２ｃｍ
△ＭＡＢで三平方→ＭＢ＝４√２ｃｍ
△ＭＡＢ∽△ＮＩＢより、ＮＢ＝４√２×４/６＝８√２/３ｃｍ
求積すべき立体の体積は、13/３×８√２/３÷２×９÷３＝52√２/３ｃｍ³
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大問１（計算）

（１）
－２－（－12）
＝－２＋12
＝10

（２）
27×（－５/９）
＝－15

（３）
40－７²
＝40－49
＝－９

（４）
ｘ－３＋６（ｘ＋１）
＝ｘ－３＋６ｘ＋６
＝７ｘ＋３

（５）
48ｘ³÷８ｘ
＝６ｘ²

（６）
√12＋９√３
＝２√３＋９√３
＝11√３

大問２（小問集合）

（１）
－２ａ＋14
＝－２×（－６）＋14
＝12＋14
＝26

（２）
Ａ市の最低気温－Ｂ市の最低気温
＝5.3－（－0.4）
＝5.3＋0.4
＝5.7℃

（３）
１袋にａ個のミカン。これが３袋だから、ミカンの合計は３ａ個。
これが20個より多いので、３ａ＞20
イ

（４）
７ｘ＋ｙ＝19　…①
５ｘ＋ｙ＝11　…②
①－②で、２ｘ＝８
ｘ＝４
②に代入して、５×４＋ｙ＝11
ｙ＝－９
ｘ＝４、ｙ＝－９

（５）
ｘ²－８ｘ＋15
＝（ｘ－３）（ｘ－５）＝０
ｘ＝３、５

（６）
７人の中央値（ﾒｼﾞｱﾝ）は、（７＋１）÷２＝４番目の値。
28回

（７）
２枚のカードを取り出す→３×３＝９通り
積が16の組み合わせは、（２、８）（４、４）の２通り。
確率は２/９。

（８）

右下のグラフなので、傾きａは負。
切片ｂはｙ＞０だから正。
ウ

（９）
ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（－６、７）を代入して、
７＝36ａ
ａ＝７/36

（10）①

ＡＣ//ＤＦ
エ

②
柱の体積は【底面積×高さ】。
三角柱ＡＢＣ—ＤＥＦの体積は、４×９÷２×ａ＝18ａｃｍ³

大問３（関数）

三角コーンが積まれている様子に興味もつのか？(´ω`).。0
（１）①

ｙの値は15ずつ増える。
15が増える回数はあいだの数、すなわち、（ｘ－１）回である。
ｘ＝４のとき、320＋15×（４－１）＝365
ｘ＝７のとき、320＋15×（８－１）＝425
ア…365、イ…425

②
規則を一般化する。
ｙの値は、320に（ｘ－１）回分の15を足す。
ｙ＝320＋15（ｘ－１）＝15ｘ＋305
ｙ＝15ｘ＋305

（２）
ｙ＝15ｔ＋305にｙ＝620を代入する。
620＝15ｔ＋305
ｔ＝21

大問４（平面図形）

（１）

△ＡＢＥの内角で、∠ＢＥＡ＝ａ°、∠ＡＢＥ＝90°だから、
∠ＢＡＥ＝180－（ａ＋90）＝90－ａ°

（２）
△ＨＤＦは正方形の半分→直角二等辺三角形。
辺の比は１：１：√２だから、ＦＤ＝５√２ｃｍ

（３）
△ＤＥＣ∽△ＩＤＧの証明。

長方形ＡＢＣＤの内角より、∠ＤＣＥ＝90°
正方形ＦＧＤＨの内角より、∠ＩＧＤ＝90°
（アルファベットは対応する順に書こう！）
ＡＤ//ＢＣの錯角で、∠ＤＥＣ＝∠ＩＤＧ
２角が等しいから∽。
ａ…ＩＧＤ、ｂ…ＩＤＧ、ｃ…ウ

（４）
答案では途中式を含めた求め方も書く。

ＨＩのようなナナメ線を求めるには、それを斜辺とする直角三角形で三平方を疑う。
直角三角形ＨＩＦに着目する。
正方形の１辺からＦＨ＝５ｃｍなので、ＦＩの長さが知りたい。
ＦＩを求めるには、ＩＧがわかればいい。

ＩＧは△ＩＤＧの辺。
ここで前問の△ＤＥＣ∽△ＩＤＧを用いる。
ＥＣ：ＤＧ＝ＤＣ：ＩＧ＝２：１
ＩＧ＝６÷２＝３ｃｍ

ＦＩ＝５－３＝２ｃｍ
△ＨＩＦで三平方→ＨＩ＝√29ｃｍ
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大問１（小問集合）

（１）
７＋６×（－２/３）
＝７－４
＝３

（２）
（９ａ－１）/８－（ａ－５）/４
＝｛（９ａ－１）－２（ａ－５）｝/８
＝（９ａ－１－２ａ＋10）/８
＝（７ａ＋９）/８

（３）
（√６－３）（√６＋２）
＝６＋２√６－３√６－６
＝－√６

（４）
８ｘ－７＝４ｘ＋１
４ｘ＝８
ｘ＝２

（５）
２ｘ＋ｙ＝９　…①
ｘ＋３ｙ＝７　…②
サボは②×２－①をしました。
ｘ＝４、ｙ＝１

（６）
ｘ²＋14ｘ＋45
＝（ｘ＋９）（ｘ＋５）＝０
ｘ＝－９、－５

（７）
ｙ＝－１/３ｘ²は上に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
ｘ＝－３のとき、最小値ｙ＝－３
－３≦ｙ≦０
①…ア、②…エ

（８）
５枚から２枚取る組み合わせ→₅Ｃ₂＝10通り
大きい数と小さい数が３以上離れる組み合わせは、
（５、１）（５、２）（４、１）の３通り。
確率は３/10。
あ…３、い…１、う…０

（９）

①ＡＢとＢＣまでの距離が等しい→∠ＡＢＣの二等分線
②ＢＣ＝ＢＰ

大問２（式の証明）

（１）

１辺ａの正方形から直径ａの円をひく。
ａ²－π（ａ/２）²
＝ａ²－πａ²/４
＝ａ²（１－π/４）
ア

（２）

各々の表面積を算出。
Ｐ＝ａ²×２＋ａｈ×４
＝２ａ²＋４ａｈ
πＰ/４＝π（２ａ²＋４ａｈ）÷４
＝π（１/２ａ²＋ａｈ）　…①

Ｑ＝π×（１/２ａ）²×２＋πａｈ
＝１/２πａ²＋πａｈ
＝π（１/２ａ²＋ａｈ）　…②
①、②より、Ｑ＝πＰ/４

大問３（関数）

（１）
Ｐは直線ℓ上の点。
ｙ＝ｘ＋２にｘ＝－５を代入して、
ｙ＝－５＋２＝－３
ウ

（２）①

Ｑのｘ座標が－３でＰＣ＝ＣＱだから、Ｐのｘ座標は３。
ｙ＝ｘ＋２にｘ＝３を代入して、Ｐ（３、５）

Ａ（０、－１）⇒Ｐ（３、５）
右に３、上に６だから、傾きは６/３＝２
イ

②

Ｐのｘ座標をｔとおく。
（以下、三角形の面積は÷２を省いている）
△ＡＰＣ＝３ｔ

Ｒのｘ座標は－ｔ。
ＲＯの距離がｔだから、ＲＢ＝ｔ－２
ｙ＝ｘ＋２の傾きは１（45°線）なので、△ＢＲＱは直角二等辺三角形。
ＲＱ＝ｔ－２
△ＢＲＱ＝（ｔ－２）²

△ＡＰＣ÷３＝△ＢＲＱ
３ｔ÷３＝（ｔ－２）²
ｔ²－５ｔ＋４
＝（ｔ－４）（ｔ－１）＝０
ｔ＞２ゆえ、ｔ＝４
Ｐのｘ座標は４。

大問４（平面図形）

（１）

円Ｄの半径からＤＯ＝ＤＱ、△ＤＯＱは二等辺三角形。
∠ＤＱＯ＝∠ＤＯＱ＝ａ
この外角定理で、∠ＰＤＱ＝２ａ

ＰＯは円Ｏの半径で５ｃｍ。
ＰＱ＝５×π×２ａ/360＝πａ/36ｃｍ
エ

（２）①
△ＡＢＰ∽△ＡＰＱの証明。

共通角で、∠ＢＡＰ＝∠ＰＡＱ
直径ＡＢに対する円周角で∠ＡＰＢ＝90°
直径ＯＰに対する円周角で∠ＯＱＰ＝90°
→∠ＡＱＰ＝180－90°＝90°
２角が等しいから∽。

②

前問で△ＡＢＰと△ＡＰＱが相似関係にある直角三角形とわかった。
●＋×＝90°の角度調査でさらに展開すると、△ＡＰＱ∽△ＰＢＱ（∽△ＡＢＰ）。
ＡＱ：ＱＰ＝ＰＱ：ＱＢ
ＱＢ＝②×２＝④

ＡＢ＝⑤＝10ｃｍ
①＝２ｃｍ

弧ＡＣ＝弧ＣＢより、Ｃは半円の弧の中点、つまりＯの真上にある。
∠ＣＯＢ＝90°

△ＰＢＱの面積は、８×４÷２＝16ｃｍ²
△ＰＢＱ∽△ＲＢＯより、ＲＯ＝４×５/８＝５/２ｃｍ
台形ＯＲＰＱの面積は、（４＋５/２）×３÷２＝39/４ｃｍ²
え…３、お…９、か…４

大問５（空間図形）

（１）

ＡＱ＝ＡＤ＝ＣＱ＝ＣＤ＝８ｃｍ、共通辺ＱＤ
３辺の長さが等しいので、△ＡＱＤ≡△ＣＱＤ。
∠ＱＡＤ＝∠ＱＣＤ＝90°（△ＡＱＤは直角二等辺三角形）
△ＡＱＰで三平方→ＰＱ＝４√５ｃｍ
き…４、く…５

（２）

はじめに正四角錘Ａ－ＢＣＤＥの高さを出しておく。
正方形ＢＣＤＥの対角線の交点をＯとすると、高さはＡＯにあたる。
前問より△ＡＢＤは直角二等辺三角形→△ＡＢＯも直角二等辺。
辺の比は１：１：√２で、ＡＯ＝８×１/√２＝４√２ｃｍ

三角錐Ａ—ＱＤＥの体積は正四角錘の半分である。
なぜなら、高さが等しく、底面の△ＱＤＥは等積変形すると正方形ＢＣＤＥの半分だから。

ＡＰ：ＰＤ＝６：２＝③：①
三角錐Ａ—ＱＤＥの体積を④とすると、高さの比から三角錐Ｐ―ＱＤＥは①。
ということは、求積すべき立体Ｑ—ＡＥＰの体積は③となる。
８×８÷２×４√２÷３×③/④＝32√２ｃｍ³
け…３、こ…２、さ…２
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大問１（小問集合）

（１）
８×（－７）
＝－56

（２）
４/５ｘ－２/３ｘ
＝２/15ｘ

（３）
15ｘｙ÷５ｘ
＝３ｙ

（４）
５（２ａ＋ｂ）－２（３ａ＋４ｂ）
＝10ａ＋５ｂ－６ａ－８ｂ
＝４ａ－３ｂ

（５）
（√３＋２√７）（２√３－√７）
＝６－√21＋４√21－14
＝－８＋３√21

（６）
ａ＝ｘｙ＝－２×８＝－16
ｙ＝－16/ｘ

（７）
２ｘ²＋５ｘ－２＝０
解の公式を適用して、
ｘ＝（－５±√41）/４

（８）
累積相対度数は、その階級以下の度数の合計の割合。
0.80－0.65＝0.15
０≦ウ≦0.15
ウ＝0.15のとき、20人×0.15＝３人
０≦ア≦３
ア＝０、１、２、３

大問２（小問集合２）

（１）①
18人の中央値（第２四分位数；Ｑ2）は９番目と10番目の平均。
19ｍ

②

第１四分位数は下位９個の中央値（下から５番目）で15ｍ。
第３四分位数は上位９個の中央値（上から５番目）で23ｍ。
最小値は８ｍ、最大値は35ｍ。

③ⅰ
第１四分位数はＡが14ｍ、Ｂが15ｍ。
イ

ⅱ
図１からＢの27ｍ以上は３人とわかるが、
Ａの27ｍは第３四分位数と最大値のあいだで詳細不明。
具体的にいうと、Ａの上から５番目は23ｍで１番目は38ｍ。
２～４番目はわからず、Ａの27ｍ以上は１～４人のいずれか。
ウ

（２）①
●まどか●
ｘ＋ｙ＝1200
1200ｍは家から駅までの道のりだから、ｘは歩いた道のり、ｙは走った道のり。
２つ目は時間で等式を立てる。
ｘ/50＋ｙ/90＝20

●かずと●
まどかがアだから、かずとはイ。
ｘは歩いた時間、ｙは走った時間。
１つ目は時間で等式→ｘ＋ｙ＝20
２つ目は道のりで等式→50ｘ＋90ｙ＝1200
Ａ…ア、Ｂ…ケ、Ｃ…イ、Ｄ…ウ

②
前問の連立を解く。
●まどか●
ｘ＋ｙ＝1200　…①
ｘ/50＋ｙ/90＝20　←これを450倍
９ｘ＋５ｙ＝9000　…②
①、②を解くと、ｘ＝750、ｙ＝450

●かずと●
ｘ＋ｙ＝20　…①
50ｘ＋90ｙ＝1200　…②
①、②を解くと、ｘ＝15、ｙ＝５
これは時間なので、速さをかけて道のりにする。
50×15＝750ｍ、90×５＝450ｍ
歩いた道のり…750ｍ　走った道のり…450ｍ

（３）①
ａが平方数であれば、√ａが整数になる。
ａ＝１、４、９の３通り
確率は３/10。

②
独特な雰囲気がする。
12/ａが自然数になる→ａは12の約数。
【ａ＝１、２、３、４、６、12】の６個。

確率を１/２にするにはｎまでの自然数のうち、
半分は12の約数で、残りの半分は12の約数ではない。

分子の約数の個数に注目する。
約数の個数を２倍したｎまでに、該当する約数の個数が維持できればいい。

約数１個の場合、ｎ＝１×２＝２
２までの約数は１、２で２個だから×。
約数２個の場合、ｎ＝２×２＝４
４までの約数は１、２、３、４の４個だから×。
約数３個の場合、ｎ＝３×２＝６
約数は１、２、３、４、６の５個だから×。
約数４個の場合、ｎ＝４×２＝８
約数は５個だから×。

約数が５個の場合、ｎ＝５×２＝10
約数は５個のままだから確率は１/２。
約数が６個の場合、ｎ＝６×２＝12
約数は１、２、３、４、６、12の６個のままだから確率は１/２。
したがって、ｎ＝10、12

大問３（関数）

（１）
ｙ＝１/４ｘ²にｘ＝－２を代入。
ｙ＝１/４×（－２）²＝１
Ａ（－２、１）

（２）
Ａ（－２、１）⇒Ｂ（４、４）
右に６、上に３だから、傾きは３/６＝１/２
Ａから右に２、上に１移動して、切片は１＋１＝２
ｙ＝１/２ｘ＋２

（３）①
等積変形を用いる。

△ＯＡＢ：△ＡＢＣ＝１：３
底辺ＡＢが共通なので、高さの比が１：３になる。
ＡＢからの距離がＯまでの距離の３倍で、かつＡＢと平行な直線を描きたい。

ｙ軸上に注目しよう。
ＡＢの切片が２。
ということは、切片が－４である傾き１/２の直線をひけばいい。
（０、－４）から上に４、右に８移動してＣ（８、０）。

②

ＡとＢから垂線をおろし、ｘ軸との交点をそれぞれＥ・Ｆとする。
●＋×＝90°で角度を調査。２角相等により、△ＡＥＤ∽△ＤＦＢ。
Ｄのｘ座標をｔとする。
ＡＥ：ＥＤ＝ＤＦ：ＦＢ
１：ｔ＋２＝４－ｔ：４
内項と外項の積で、（ｔ＋２）（４－ｔ）＝４
ｔ²－２ｔ－４＝０
解の公式を適用。
ｔ＞０より、ｔ＝１＋√５
Ｄ（１＋√５、０）

大問４（空間図形&作図）

（１）①

直方体全体の体積を１とする。
三角柱ＡＢＤ—ＥＦＨの体積は１/２。
三角錐Ｄ—ＥＦＨの体積は÷３して１/６。
三角錐Ｄ—ＥＦＨと三角錐Ｉ—ＥＦＨの体積比は、１/６：１/９＝③：②
体積が２/３倍だから、高さも２/３倍。
６×２/３＝４ｃｍ

②

ＥＩを対角線とする直方体を作成。
１辺がａ、ｂ、ｃの直方体の対角線→√（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）

前問より三角錐の高さは直方体の２/３倍だったので、ＤＩ：ＩＦ＝①：②
これを活用して２ｃｍと３ｃｍをだす。
ＥＩ＝√（２²＋３²＋４²）＝√29ｃｍ

（２）

①∠ＯＢＤ＝90°だから、Ｂを通る垂線。
②∠ＣＡＯが弧ＢＣに対する円周角であることに気がつきたい。
この中心角にあたる∠ＣＯＢは２倍の大きさで、
∠ＣＯＢを２等分すると∠ＤＯＢ＝∠ＣＡＯとなる。

大問５（平面図形）

（１）
△ＡＩＨ∽△ＨＩＧの証明。

誘導に従えばいい。
∠ＡＩＨ＝∠ＨＩＧが共通角（アルファベットは対応する順に並べる）。
弧ＡＥに対する円周角とＦＨ//ＥＣの錯角より、∠ＡＨＩ＝∠ＡＣＥ＝∠ＨＧＩ
２角が等しいので∽。
ア…∠ＡＩＨ＝∠ＨＩＧ、イ…∠ＡＣＥ、ウ…２組の角

（２）
△ＡＦＧ≡△ＣＥＤの証明。

仮定より、ＡＦ＝ＣＥ
等辺の情報はこれしかないから、この両端角に目をつける。
ＦＨ//ＥＣの同位角で、∠ＡＦＧ＝∠ＣＥＤ（×）
仮定の二等分線と弧ＢＥに対する円周角より、∠ＦＡＧ＝∠ＥＣＤ（●）
１辺と両端角が等しいので合同。

（３）①

△ＡＦＧ∽△ＡＥＣより、ＦＥ＝６×４/２＝12ｃｍ

②

ＦＧ：ＧＨ＝２：５
△ＡＦＧの面積を②とすると、△ＡＧＨは⑤。

先ほどＦＥの長さを求めたので、これを有効利用できないか。
ＧＥに補助線。△ＦＥＧ＝②×12/６＝④

台形ＦＥＣＧの上底と下底から、△ＧＥＣ＝④×６/２＝⑫

△ＩＨＧ∽△ＩＥＣで、ＧＩ：ＩＣ＝５：６
△ＩＥＣ＝⑫×６/11＝〇72/11
△ＩＥＣ：△ＡＧＨ＝〇72/11：⑤＝72：55
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大問１（小問集合）

（１）
－３²－６×５
＝－９－30
＝－39

（２）
（８ａ＋９）/４－（６ａ＋４）/３
＝｛３（８ａ＋９）－４（６ａ＋４）｝/12
＝（24ａ＋27－24ａ－16）/12
＝11/12

（３）
（√２＋√５）²
＝７＋２√10

（４）
0.16ｘ－0.08＝0.4　←×100
16ｘ－８＝40　←÷８
２ｘ－１＝５
ｘ＝３

（５）
７ｘ－３ｙ＝11　…①
３ｘ－２ｙ＝－１　…②
①×２－②×３がやりやすいかな？
ｘ＝５、ｙ＝８

（６）
ｙ＝１/４ｘ²は下に凸のグラフ。
ｘ＝３のとき、ｙ＝１/４×３²＝９/４で最大値９にならない！
ということは、ｘ＝ａのとき、最大値ｙ＝９。
最大値をつくるには原点から大きく離す。
ａは原点０から３より離れる負の数⇒ａ＜－３
９＝１/４ａ²
ａ²＝36
ａ＜－３より、ａ＝－６
また、ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ａ＝－６、ｂ＝０

（７）

△ＡＣＥで外角定理→∠ＣＡＥ＝92－57＝35°

弧ＢＣの円周角より、∠ＣＢＤ＝35°
△ＢＣＦで外角定理→ｘ＝35＋92＝127°

（８）
無作為に抽出した40個において、黒：白＝３：37
黒は全部で50個だから、白の数は50×37/３＝616.6…≒620個

大問２（確率）

（１）
全体は、６×６＝36通り
ａ/ｂ＝２となるのは、（ａ、ｂ）＝（６、３）（４、２）（２、１）の３通り。
確率は３/36＝１/12

（２）
出し方が曲がっている。
循環小数とは数字の並びに周期性がある無限小数。

ｂから考える。
ｂ＝１のとき、ａ/ｂはすべて整数になるのでない。
ｂ＝２は整数か、小数第１位が５の有限小数。
ｂ＝３のとき、÷３すると0.333…か0.666…となる１/３、２/３、４/３、５/３。
ｂ＝４は整数か有限小数。１÷４＝0.25ゆえ小数第２位で終わる。
ｂ＝５は整数か小数題１位までの有限小数。
ｂ＝６のとき、１/６＝1.666…で循環小数。
これ倍にした２/６、４/６、５/６も同様に循環小数。
計８通り。
確率は８/36＝２/９

大問３（空間図形）

（１）

点Ｂ⊥面ＡＤＦＣの距離は、ＢからＡＣにひいた垂線の長さ。
オ

（２）

四角形ＨＤＩＣは１組の対辺が等しく、かつ平行だから平行四辺形。
これを底面としたとき、（１）のＢＧが四角錘Ｂ―ＨＤＩＣの高さにあたる。
△ＡＢＣで三平方→ＡＣ＝ＡＤ＝４√５ｃｍ

△ＡＢＣの面積を２通りで表すと、
４×８÷２＝４√５×ＢＧ÷２
ＢＧ＝４×８÷４√５＝８/√５ｃｍ
四角錘Ｂ―ＨＤＩＣの体積は、９/２×４√５×８/√５÷３＝48ｃｍ³

大問４（数量変化）

（１）

大輝が１周を走る時間は、（36－18）÷２＝９分
1800ｍを９分で走る⇒18分間休憩⇒９分間走る

（２）

グラフを追記。大輝が休憩後、ひなたに追いつく●の時間が答え。

赤線の三角形の相似比は４：１。
⑤＝９分だから、①＝９×①/⑤＝９/５分＝１分48秒
大輝の休憩が終わる９時27分の１分48秒後⇒午前９時28分48秒

（３）
なんかイヤなんですけど(´ﾟдﾟ｀)

京平は２人と反対の向きで走る。
グラフの上半分（1800～3600ｍ）に京平を追記すると、
大輝とひなたとの交点のｙ座標の差が答えになる。

３人の速さを出しておく。
京平；1800÷12＝分速150ｍ
大輝；1800÷９＝分速200ｍ
ひなた；1800÷24＝分速75ｍ

京平が出発する29分後の京平と大輝の状態。
大輝は27分にＡ地点を出発しているので、200×２＝400ｍ進んでいる。
残りの1400ｍを両者は１分あたり150＋200＝350ｍずつ距離を縮めるから、
1400÷350＝４分後に出会う。

29分後の京平とひなたの状態。
ひなたは24分にＡ地点を出発しているので、75×５＝375ｍ進んでいる。
残りは1425ｍで１分あたり150＋75＝225ｍ縮むから、
1425÷225＝19/３分後

京平が大輝とすれ違ってから、ひなたに会うまでの時間は19/３－４＝７/３分
その間の移動距離は、150×７/３＝350ｍ

大問５（平面図形）

（１）

△ＡＥＦ∽△ＡＢＣより、ＥＦ＝７×６/９＝14/３ｃｍ

（２）
ここで等角の情報を使う。

ＥＦ//ＢＣの錯角。
△ＥＢＤと△ＦＤＣは底角が等しいから二等辺三角形。
ＥＤ＝ＥＢ＝３ｃｍ
（１）よりＥＦ＝14/３ｃｍなので、ＦＤ＝ＦＣ＝14/３－３＝５/３ｃｍ
ＡＥ：ＥＢ＝ＡＦ：ＦＣ＝２：１
ＡＦ＝５/３×２＝10/３ｃｍ

（３）

わかりやすいように△ＤＢＣを等積変形で左に寄せ、△ＥＢＣにしておく。
ＥＤ：ＤＦ＝３：５/３＝⑨：⑤
△ＣＦＤの面積を５とすると、△ＣＤＥは９。
ＡＣ：ＦＣ＝③：①より、△ＡＥＣ＝△ＦＥＣ（14）×３＝42
（*細かく区切ると上図のようになる）

ＡＥ：ＡＢ＝②：③より、△ＡＢＣ＝△ＡＥＣ（42）×３/２＝63
△ＣＦＤ：△ＡＢＣ＝５：63

大問６（規則）

（１）

平方数が特徴なので、これに着目する。
左端は〇番目の平方数。
７番目の左端は、７²＝49

右端は〇番目の１個手前の平方数に＋１した数。
７番目の右端は、６²＋１＝37
左端…37、右端…49

（２）
前問ができれば、ここも取りやすい。
ｎ段目の左端はｎ²、右端は（ｎ－１）²＋１。
ｎ²＋｛（ｎ－１）²＋１｝＝1986
２ｎ²－２ｎ－1984＝０
ｎ²－ｎ－992＝０
*30×30＝900。１の位の２は１×２⇒31×32ではないかと予想する。
（ｎ＋31）（ｎ－32）＝０
ｎ＞０より、ｎ＝32
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大問１（小問集合）

（１）①
－９＋４
＝－５

②
10/３＋２÷（－３/４）
＝10/３－８/３
＝２/３

③
（３ａ＋５ｂ）＋２（２ａ－ｂ）
＝３ａ＋５ｂ＋４ａ－２ｂ
＝７ａ＋３ｂ

④
√48－√３＋√12
＝４√３－√３＋２√３
＝５√３

⑤
（ａ＋３）²－（ａ＋４）（ａ－４）
＝ａ²＋６ａ＋９－ａ²＋16
＝６ａ＋25

（２）
ｘ²＋５ｘ－14
＝（ｘ＋７）（ｘ－２）＝０
ｘ＝－７、２

（３）
根号の中の数とｎが同じであれば、約分して自然数になる。
√20＝２√５

この２通りしかない。
ｎ＝５、20

（４）
反比例の比例定数ａはｘとｙの積である20。
ｙ＝20/ｘ
これにｘ＝－10を代入して、ｙ＝－２

（５）

ＢＤに補助線。
孤ＣＤに対する円周角で、∠ＣＢＤ＝35°
直径ＡＤに対する円周角で、∠ＡＢＤ＝90°
ｘ＝35＋90＝125°

（６）
半径４ｃｍの半球。
【球の体積Ｖ＝４/３πｒ³】
４/３π×４³÷２＝128/３πｃｍ³

大問２（小問集合２）

（１）
玉を取り出す作業だが、ようはＡ～Ｄの４人の走る順番を考えればいい。
全体の場合の数は、₄Ｐ₄＝24通り
Ａが１番で、Ｄが４番→【ＡＢＣＤ】か【ＡＣＢＤ】しかない。
確率は、２/24＝１/12

（２）①
オリンピック問題。

１ループはどこからどこまでか⇒１～10番目。
27÷10＝２…７
余り７は黄色。

②
124÷10＝12…４
12ループと余り４。
１ループに黒は２つ、余り４に１つ。
２×12＋１＝25個

（３）
答案では過程も記述する。
唐揚げ弁当１個の定価をｘ円、エビフライ弁当１個の定価をｙ円とする。
ｘ＋50＝ｙ　…①

唐揚げ弁当は10個はｘ円、残りの10個は0.5ｘ円で販売。
エビフライ弁当は20個すべてｙ円で販売した。
10ｘ＋0.5ｘ×10＋20ｙ＝15000
15ｘ＋20ｙ＝15000　…②

①を②に代入すると、
15ｘ＋20（ｘ＋50）＝15000
35ｘ＝14000
ｘ＝400
①に代入して、ｙ＝450
唐揚げ弁当…400円、エビフライ弁当…450円

（４）①

Ⅰ：四分位範囲＝第３四分位数（Ｑ3）－第１四分位数（Ｑ1）でＣが最も大きい。×
Ⅱ：第２四分位数（Ｑ2；中央値）をみるとＢだけ20冊以下。Ｂの過半数が20冊以下。〇
Ⅲ：Ａの最大値は30～35冊である。
ＣのＱ3は上位17人の中央値、すなわち、上から９番目の生徒が30～35冊である。
しかし、Ｂはわからない。△
Ⅰ…イ、Ⅱ…ア、Ⅲ…ウ

②
わかりやすいところから除外していく。
エは最小値と最大値が違う。
Ｃ組34人のＱ2は17番目と18番目の平均で、Ｑ1は下から９番目、Ｑ3は上から９番目。
イはＱ1とＱ3が違う。
アのＱ2は15～20冊の階級にあって違う。
ウ

③
無作為に抽出した標本といえないから。
*３年生の生徒だけから抽出したら、あくまで３年生の結果になる。
これでは１～３年生までの全校生徒を調べたことにはならない。
標本（サンプル）は学年や性別といった属性に偏ることなく、無作為に抽出する。

大問３（関数）

（１）
ｙ＝ａｘ²において、ｘの値がｐ→ｑまで増加するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）。
１/４×｛（－２）＋０｝＝－１/２

（２）
ｙ＝１/４ｘ²は下に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
最大値ｙ＝９、１/４ｘ²＝９
ｘ＝±６
ｘ≧－２だから、ｘ＝６
ア…６、イ…０

（３）

二等辺三角形ＯＰＢの等辺は４パターンある。
このうち、ｘ座標が最も小さいのはＢ1で、最も大きいのはＢ4。

Ｐから垂線をおろして〇＝４。Ｂ1のｘ座標は－８。

三平方でＰＯ＝４√２
Ｂ4のｘ座標は４√２。
最も大きい…Ｂ（４√２、０）、最も小さい…Ｂ（－８、０）

（４）

△ＯＰＤ：△ＯＤＣ＝３：２から、ＰＤ：ＤＣ＝③：②
Ｐ・Ｄ・Ｃのｘ座標の差より、Ｐのｘ座標は－６。
これをｙ＝１/４ｘ²に代入して、Ｐ（－６、９）

なんとなくＰＣとＡＯが平行っぽく見える・・。
Ｐ⇒Ｃは右に10、下に５で傾き－１/２。
Ａ⇒Ｏは右に２、下に１で傾き－１/２。
ＰＣ//ＡＯより、四角形ＯＡＰＣは台形である。

各々の点のｘ座標の差から、ＡＯ＝②、ＰＣ＝⑩とすると、
上底と下底の和である⑫を⑥ずつに分ける直線を考えればいい。

ちょうどＤを通過する。
ＰとＣのｙ座標の差である５を３：２に内分してＤ（０、６）。
Ａ⇒Ｄは右に２、上に５だから傾きは５/２。
ｙ＝５/２ｘ＋６

大問４（平面図形）

（１）①

三角形の内角より∠ＢＡＰ＝30°、∠ＤＡＱ＝20°
∠ＰＡＱ＝90－（30＋20）＝40°

②
△ＡＢＰの内角は30°―60°―90°で辺の比は１：２：√３。
ＢＰ＝６×１/√３＝２√３ｃｍ
△ＡＢＰの面積は、２√３×６÷２＝６√３ｃｍ²

（２）
定番の形である。

仮定よりＢＰ＝ＣＱ
正方形ＡＢＣＤよりＡＢ＝ＢＣ、∠ＡＢＰ＝∠ＢＣＱ
２辺とあいだの角が等しいから、△ＡＢＰ≡△ＢＣＱ

∠ＰＡＢ＝●、∠ＡＰＢ＝×として、△ＡＢＰの内角から●＋×＝90°
対応する角で∠ＱＢＣ＝∠ＰＡＢ＝●
△ＢＰＥで外角定理→∠ＡＥＢ＝●＋×＝90°

（３）
前問と少しかぶっている。

∠ＢＡＰ＝∠ＣＰＱ＝●とする。
∠ＡＢＰ＝∠ＰＣＱ＝90°とあわせて２角相等→△ＡＢＰ∽△ＰＣＱ
ＡＢ：ＢＰ＝ＰＣ：ＣＱ＝２：１
ＣＱ＝３÷２＝1.5ｃｍ

円の直径は直角探し。
∠ＡＰＢ＝×として、△ＡＢＰの内角より●＋×＝90°
∠ＡＰＱ＝180－（●＋×）＝90°
３点Ａ、Ｐ、Ｑを通る円の直径はＡＱである。
（∠ＡＤＱ＝90°からＤも同一円周上にある）

ＤＱ＝６－1.5＝4.5ｃｍ
△ＡＤＱに着目すると、ＡＤ：ＤＱ＝６：4.5＝④：③
△ＡＤＱは辺の比が３：４：５の直角三角形。
ＡＱ＝６×⑤/④＝15/２ｃｍ
したがって、円の半径は15/４ｃｍ。
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大問１（小問集合）

*15問の中から指示された８問を解答する。
（１）
－３×（５－８）
＝－３×（－３）
＝９

（２）
ａ²×ａｂ²÷ａ³ｂ
＝ｂ

（３）
√80×√５
＝√400＝20

（４）
無理数は分数で表せない数。
√９＝３＝３/１
－0.6＝－３/５
無理数は√２、π。
*円周率πは循環しない無限小数ゆえ分数で表せない。

（５）
ｘ＋ｙ＝９ …①
0.5ｘ－１/４ｙ＝３
これを４倍すると、２ｘ－ｙ＝12　…②
①＋②をしてｘ＝７
①に代入してｙ＝２
ｘ＝７、ｙ＝２

（６）
ｘ²＋３ｘ＋２
＝（ｘ＋２）（ｘ＋１）＝０
ｘ＝－２、－１

（７）
反比例の比例定数ａはｘとｙの積で８。
ｙ＝８/ｘ

（８）
白は60個中18個の割合。
500×18/60＝150個

（９）
25ｘ²－ｙ²
＝（５ｘ＋ｙ）（５ｘ－ｙ）　←ここで代入
＝（５×11＋54）（５×11－54）
＝109×１＝109

（10）
中学受験によくでてくるスタイル。
148÷ｎ＝〇…４
245÷ｎ＝△…５
ｎ×〇＝148－４＝144
ｎ×△＝245－５＝240
144と240はともにｎの倍数である。

144と240の公倍数を調べる。
最大公約数は48。
２つの公倍数は48の約数である。
【１・２・３・４・６・８・12・16・24・48】
このうち、割る数は余りの５より大きくなくてはならないから、
【６～48】の６個。

（11）

平行線と線分の比。
18：12＝15：ｘ
ｘ＝12×15/18＝10

（12）

ブーメランの３つの角の和は股の角。
外角定理を上下に適用して、
ｘ＝39＋41＋35＝115°

（13）

赤線が答え。
Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄの頂点はわかりやすい。
ＤＨを共有する面は面ＡＤＨＥと面ＣＤＨＧ。
ここからＨとＧの位置がわかる。
４つの側面はＤ→Ｈ→Ｇ→Ｃ→Ｄ、Ａ→Ｅ→Ｆ→Ｂ→Ａが一列で並ぶ。

（14）
円錐の中心角は半径/母線。
円錐の側面積は、母線×母線×π×半径/母線＝母線×半径×π

母線×３×π＝24
母線＝８ｃｍ
三平方の定理より、円錐の高さは、√（８²－３²）＝√55ｃｍ
よって、円錐の体積は３×３×π×√55÷３＝３√55πｃｍ³

（15）
大問１だが難しい(;^ω^)

ＨＦ、ＥＧの交点をＯとし、Ｏの真上にあるＭＧとの交点をＮとする。
面ＮＢＤがＡＭとＣＧと平行である点に注目してＭ⇒Ａ、Ｇ⇒Ｃに移動させると、
等積変形により四面体ＢＤＧＭは正四角錘Ｎ—ＡＢＣＤに変形できる。

△ＭＧＥ∽△ＮＧＯより、ＮＯ＝６÷２＝３ｃｍ
正四角錘の高さは12－３＝９ｃｍ
したがって、体積は６×６×９÷３＝108ｃｍ³

大問２（小問集合２）

（１）①
２ｘ＋３ｙ＝－６
ｙ＝－２/３ｘ－２

切片は（０、－２）。
右に３、下に２の傾きで格子点を通過するように描く。

②
右上なので傾きａ＞０
切片ｂ＜０
イ

（２）①
ｙ＝ｘ²とｙ＝－１/２ｘ²にｘ＝２を代入。
Ｂのｙ座標は４、Ｃのｙ座標は－２。
ＢＣ＝４－（－２）＝６ｃｍ

②

Ｂのｘ座標をｔとする。
Ｂ（ｔ、ｔ²）Ｃ（ｔ、－１/２ｔ²）
ＢＣ＝ｔ²－（－１/２ｔ²）＝３/２ｔ²

もう１つは二等辺三角形の性質を利用する。
頂角Ａから底辺ＢＣに向けて垂線をひくと、交点は底辺の中点を通る。
ＢＣ＝（ｔ²－３）×２＝２ｔ²－６

ＢＣの長さで等式。
３/２ｔ²＝２ｔ²－６
３ｔ²＝４ｔ²－12
ｔ²＝12
ｔ＞０より、ｔ＝２√３

（３）

ＤとＥが対応する点となるような対称の軸が折り目になる。
⇒ＤとＥの垂直二等分線
折り目なので長方形ＡＢＣＤの端から端まで描く。

（４）

高さは４ｃｍのままなので一次関数で増減する。
０≦ｘ≦４では上底と下底がともに伸びる。
ｘ＝４のとき、ｙ＝24

４≦ｘ≦８では上底の増加より下底の減少が上回るので、面積は減少する。
ｘ＝８のとき、ｙ＝16
エ

大問３（規則）

（１）①

Ａは１、３、６、10…（＋２、＋３、＋４…）と三角数が連なる。
ＢはＡの１個手前がつづく。
ア…28、イ…21
*ちなみに、ＡとＢの和は平方数である。

②

Ａの数と〇番目の関係を整理する。
＋２して２番目、＋３して３番目だから、＋16したｍ＋１は16番目。
ｍ＝15

③

１段目は左の三角形が１個で、右の三角形がｍ個だから和はｍ＋１個。
２段目は左が２個で、右がｍ－１個だから和はｍ＋１個。
以降、各段のＡはｍ＋１個
全体のＡは、ｍ（ｍ＋１）個。

左と右の三角形は合同なので、半分にすればもとの図形のＡの数がでる。
｛ｍ（ｍ＋１）｝/２個
ウ…ｍ（ｍ＋１）、エ…｛ｍ（ｍ＋１）｝/２
*ようは、等差数列の和の公式である。
１からｎまでの自然数の和→１/２ｎ（ｎ＋１）

（２）
今までと違った視点でみないと見えてこない(´°ω°`;)
正六角形をどううまく切り分けるか。

このような回転対称（回転させたら元と同じになる図形）で分けると計算がしやすい。
１つの固まりにおいて、Ａの数が〇番目の平方数になっている。
ｎ番目であれば、ｎ²×３＝３ｎ²個

＠別解＠

正六角形というと、この区切り方が想像されやすいと思う。
しかし、３ピースの頂点はＡから始まるが、残りの３ピースはＢから始まっている。

ＢはＡよりワンテンポ遅れる。ＡとＢの位置関係が逆になると、
前問の｛ｎ（ｎ＋１）｝/２のｎをｎ－１に変えて、｛ｎ（ｎ－１）｝/２になる。

分配法則を利用しましょう。

＠追記＠

もしくはＡとＢを一体して見るのも良い。
１ピースあたりの和はｎ番目の平方数だから３²＝９個
これが６ピースあるので６×９＝54個
全体を一体してみると、ＡとＢの数は同じである。
54÷２＝27個
ｎでやると、ｎ²×６÷２＝３ｎ²個

大問４（確率&資料問題）

（１）①
２か４が出す。
２/４＝１/２

②
答案では根拠となる数値を示して理由を説明する。
【Ａ】取り出した１枚を戻さずにもう１枚取る。
⇒一度に２枚取るのと同じ。
すべての取り方は、₄Ｃ₂＝６通り
和が５以上の組み合わせは、（４、１～３）（３、２）の４通り
確率は４/６＝２/３

【Ｂ】取り出した１枚を戻し、再び１枚取る。
全体は４×４＝16通り
一度４を出すと５以上が確定なので、余事象から攻めた方が良い。
５未満の組み合わせは、（１、１～３）（２、１～２）（３、１）の６通り。
５以上は、16－６＝10通り
確率は10/16＝５/８
２/３＞５/８なので、Ａの方が起こりやすい。

（２）
ア：10個ずつなので、度数の大きいＱの方が相対度数は大きい。×
イ：Ｐ３個、Ｑ４個。×
ウ：最頻値（モード）は最もあらわれている値。Ｐ57ｇ、Ｑ55ｇ。×
エ：10個の中央値（メジアン）は５番目と６番目の平均。Ｐ57ｇ、Ｑ55ｇ。〇
エ

大問５—Ⅰ（平面図形）

（１）
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤの証明。基本

共通角＋仮定の90°→２角相等で∽。

（２）①
弧ＡＥに対する円周角より、∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＥ
ウ

②

●＋×＝90°で角度を調査。
∠ＡＣＤ＝×とすると、∠ＢＣＤ＝90－×＝●
２角相等で△ＡＢＣ∽△ＣＢＤ。

また、孤ＢＣの円周角で、∠ＢＥＣ＝∠ＢＡＣ＝●
△ＢＣＤは底角が等しく、二等辺三角形。
ＢＣ＝ＢＥ＝６ｃｍ
△ＡＢＣで三平方→辺の比は３：４：５でＡＢ＝10ｃｍ
△ＡＢＣ：△ＣＢＤの相似比は、ＡＢ：ＣＢ＝10：６＝５：３
面積比は相似比の２乗、25：９
△ＢＣＤは△ＡＢＣの９/25倍。

大問５—Ⅱ（平面図形）

（１）
△ＡＢＣ∽△ＡＤＢの証明。

直径に対する円周角で、∠ＡＣＢ＝90°
接線と半径は直交するので、∠ＡＢＤ＝90°
これと共通角●をあわせ、２角相等で∽。

（２）①

●＋×＝90°で角度調査。
∠ＡＢＣ＝×とすると、∠ＣＢＤ＝90－×＝●
∠ＢＡＤ＝∠ＣＢＤ
イ
*接弦定理でも指摘できる。

②
シンプルな構図だが出しにくいよ(´°ω°`;)

ＯＢ＝③、ＡＤ＝⑧とする。
半径でＡＯ＝③だから、ＡＢ＝⑥となる。
ここで（１）の相似△ＡＢＣ∽△ＡＤＢを使う。
ＡＢ：ＡＣ＝ＡＤ：ＡＢ
ＡＣ＝⑥×６/８＝〇９/２
ＣＤ＝⑧－〇９/２＝〇７/２

ＡＣ：ＣＤ＝９/２：７/２＝⑨：⑦
△ＡＢＣ：△ＣＢＤの面積比も９：７。
ＡＯ＝ＯＢから△ＡＯＣと△ＯＢＣの面積は等しい。
面積比を整数にするため、△ＡＢＣ：△ＣＢＤ＝⑨：⑦＝⑱：⑭として
面積比を配分すると上図のようになる。

ここで△ＯＢＣと△ＣＢＤに注目する。
底辺ＣＢを共通とするので、高さの比にあたるＯＥ：ＥＤが面積比にあたる。
すなわち、ＯＥ：ＥＤ＝９：14

今度は視点を変えて、△ＯＢＥ＝⑨、△ＥＢＤ＝⑭で捉えなおす。
ＡＯ＝ＯＢより、△ＡＯＤ＝△ＯＢＤ＝㉓
△ＡＢＤ：△ＯＢＥ＝㊻：⑨
したがって、△ＯＢＥは△ＡＢＤの９/46倍。

大問１
（10）算数の問題だが、中学受験っぽいものは往々にして正答率が良くないので注意。
（14）円錐の側面積の公式を覚えておこう。
（15）他県でも正答率が悪かった。無理そうならば後回し。
大問２
（２）②求めたいＢのｘ座標を文字に置き換え、等式を立てる。
等式を立てるには、どこかを２通りであらわす。
二等辺三角形ＡＢＣの底辺ＢＣに注目する。
（３）折り目の設定に注意。
大問３
（１）①この規則は他県でも見かける。
②〇番目と三角形Ａの個数の関係性をとらえる。
（２）正三角形で区切るとＡとＢが反転する。
〇番目の平方数になる区切り方だと処理しやすい。
大問４
（１）②他県の公式解答は確率を提示して比較で終わりだったが、
秋田の記述は各々の確率をどう出したか、簡単に述べる必要があるっぽい。
（２）資料問題は簡単だった。来年は箱ひげ図と四分位数がでると思う。
大問５Ⅰ
（２）②相似とわかれば、対応する辺の比で決着がつく。
ポイントは二等辺三角形。等角に印をつけていく。
大問５Ⅱ
②できそうでできなくてもどかしい。
△ＯＥＢと相似にあたる図形が見当たらない。
Ｅの位置が曲者。ＣＥ：ＥＢかＯＥ：ＥＤが必要。
解説ではＯＥ：ＥＤから別の面積比に乗り換えた。
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問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（１）ア
６＋８×（－３）
＝６－24
＝－18

イ
（８ａ²ｂ＋36ａｂ²）÷４ａｂ　←分配法則
＝８ａ²ｂ÷４ａｂ＋36ａｂ²÷４ａｂ
＝２ａ＋９ｂ

ウ
（４ｘ＋ｙ）/５－（ｘ－ｙ）/２
＝｛２（４ｘ＋ｙ）－５（ｘ－ｙ）｝/10
＝（８ｘ＋２ｙ－５ｘ＋５ｙ）/10
＝（３ｘ＋７ｙ）/10

エ
√７（９－√21）－√27　←√21＝√７×√３
＝９√７－√７×（√７×√３）－３√３
＝９√７－７√３－３√３
＝９√７－10√３

（２）
（ａ－５）（ａ－６）－ａ（ａ＋３）
＝ａ²－11ａ＋30－ａ²－３ａ
＝－14ａ＋30　←ここで代入。
＝－14×２/７＋30
＝－４＋30＝26

（３）
（ｘ－２）²＝16
ｘ－２＝±４
ｘ＝２±４
ｘ＝－２、６

大問２（小問集合）

（１）

①『２点Ａ、Ｂから等距離にある』→ＡＢの垂直二等分線
②Ａを通る垂線
これらの交点がＰ。

（２）
４Ｌ＝4000ｍＬに変換しておく。
ｘが『水がなくなるまでの時間』で、ｙは『１時間当たりの水の減る量』。
１時間あたりｙｍＬずつ減り、ｘ時間後に4000ｍＬ減る。
ということは、ｘｙ＝4000（反比例）
ｙ＝4000/ｘ

（３）
６個から２個取り出す→₆Ｃ₂＝15通り
正の数に０は含まれない点に注意！
－３と－２が出たら×。
（－１、２）（０、１）（０、２）（１、２）の４通り。
確率は４/15。

大問３（資料問題）

（１）
範囲（レンジ）＝最大値－最小値
12－１＝11

（２）
10個の中央値（メジアン）は５番目と６番目の平均。
2010-19年の中央値は４日と６日の平均→５日。
これが2011-20年は６日と７日の平均→6.5日になった。
ということは、2010年は４日以下で、2020年は７日以上である。

平均値は＋0.3日。データは10個だから総和は0.3×10＝３日増えた。
１～４日のうち＋３して７日以上となるのは、４＋３＝７しかない。
したがって、2010年は４日、2020年は７日。

大問４（方程式）

答案では計算の過程も記述する。
Ａのメダカをｘ匹、Ｂのメダカをｙ匹とする。
メダカは全部で86匹だから、
ｘ＋ｙ＝86　…①

もう１つはＣのメダカの数で等式を立てる。
Ａから１/５ｘ匹、Ｂから１/３ｙ匹をＣに移動する。
これがＡの残り４/５ｘ匹より４匹少ない。
１/５ｘ＋１/３ｙ＝４/５ｘ－４
これを整理すると、９ｘ－５ｙ＝60　…②
これを解くと、ｘ＝35、ｙ＝51
Ｃに移したメダカは、35×１/５＋51×１/３＝24匹

＠余談＠
本問は方程式強制ですが、
こういうのを意地でも算数で解きたくなる性分(;^ω^)

最初のＡを⑤、Ｂを【３】として、
Ｃに①、【１】を譲渡したあとの様子。
③＝【１】＋４に注目する。
【１】＝③－４
【３】＝⑨－12
Ｃに譲渡する前のＡとＢの合計が86匹だから、
⑤＋【３】
＝⑤＋（⑨－12）
＝⑭－12＝86
①＝７匹
【１】＝③－４＝21－４＝17匹
よって、７＋17＝24匹

大問５（空間図形）

（１）
△ＡＤＰの底辺をＡＤとすると、高さＰＤは６×２÷３＝４ｃｍ
ＰはＥＤ上にあるので、ＰＥ＝12－４＝８ｃｍ
Ｐは毎秒１ｃｍだから８秒後。

（２）
Ｐは14ｃｍ移動する→ＰはＡＤ上のＤから２ｃｍ先。

回転体の底面は半径12ｃｍの円で、高さ３ｃｍの円錐から高さ２ｃｍの円錐をひく。
⇒高さは１ｃｍで計算する。
12×12×π×１÷３＝48πｃｍ³

（３）
最短距離なので展開図を作成。

ＣからＤＥに垂線をひき、ＡＢ・ＤＥとの交点をＱ・Ｒとする。
△ＡＢＣは直角二等辺三角形で、ＱとＲはＡＢとＤＥの中点にある。
ＤＲ＝12÷２＝６ｃｍ
また、△ＡＣＱも直角二等辺でＣＱ＝ＡＱ＝６ｃｍ
△ＤＣＲ∽△ＰＣＱより、ＰＱ＝６×６/９＝４ｃｍ

ちょっと図がおかしいですが…求めたいＰＦを対角線とする直方体をつくる。
１辺がａ、ｂ、ｃの直方体の対角線の長さ→√（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）
ＰＦ＝√（４²＋６²＋３²）
＝√61ｃｍ

大問６（関数）

（１）
ｙ＝ａｘ²（ａ＞０）は下に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝－３のとき、最大値ｙ＝９ａ
０≦ｙ≦９ａ

（２）
平行なので傾きは－３。
Ｃ（－２、－３）から右に２、下に６移動して、切片は－３－６＝－９
ｙ＝－３ｘ－９

（３）
答案では求める過程も記述する。
やることが多くて大変(;`ω´)

ｙ＝ａｘ²のａを求めたい。
このグラフ上にある点の座標をａで表してみる。
Ａ（－２、４ａ）Ｂ（４、16ａ）
三角形と四角形の面積を求めるうえで、切片のＤがポイントになる。
ｘ座標の差より、ＡＤ：ＤＢ＝２：４＝①：②
切片Ｄのｙ座標は、４ａ＋12ａ×①/③＝８ａ
（*内分点の公式を知っている人は、（４ａ×２＋16ａ×１）/（１＋２）＝24ａ/３＝８ａ）

また、ＣＯ；ｙ＝３/２ｘにｙ＝９を代入して、Ｆ（６、９）

ＥＤ＝ＤＯ＝８ａ
△ＤＣＦ＝８ａ×８÷２＝32ａ
四角形ＡＣＤＥ＝（８ａ＋４ａ＋３）×２÷２＝12ａ＋３

△ＤＣＦ＝四角形ＡＣＤＥ×２
32ａ＝２（12ａ＋３）
ａ＝３/４

＠別解＠

必要な数値がそろったら、面積比の方が処理しやすいかもしれない。
△ＤＣＯ＝①とする。
ｘ座標の差の比から△ＤＯＦ＝③
△ＤＣＦ＝④で、四角形ＡＣＤＥ＝②になる。

ＥＤ＝ＤＯより、△ＥＡＤ＝△ＤＣＯ＝①
△ＡＣＤ＝②－①＝①
△ＡＣＤ＝△ＤＣＯとなり、図はいい加減だが一応ＡＣ＝ＤＯになる。
４ａ＋３＝８ａ
ａ＝３/４

大問７（平面図形）

（１）
△ＡＧＤ∽△ＥＣＢの証明。

二等辺三角形ＡＤＦの底角→弧ＡＤに対する円周角→仮定とつなげて、
∠ＡＤＧ＝∠ＥＢＣ

もう１つの等角が難しい(;´Д｀)
いったん何かをはさんだ方が良いと思う。

孤ＡＢの円周角で∠ＢＣＥ＝∠ＢＤＡ
×と●の２角相等で△ＥＣＢ∽△ＡＤＢ。
対応する角は等しいから、∠ＢＥＣ＝∠ＢＡＤ
∠ＢＡＤ＝∠ＧＡＤなので、∠ＧＡＤ＝∠ＣＥＢ
２角相等で△ＡＧＤ∽△ＥＣＢ

（２）

最初は孤に注目する。
孤ＡＦ＝⑤、孤ＦＢ＝③とする。
ＡＦ＝ＡＤより、孤ＡＤ＝⑤
∠ＡＢＤ＝∠ＤＢＣで円周角が等しいから、孤ＤＣ＝⑤

次に△ＢＣＥの内角に注目する。
∠ＥＢＣ：∠ＥＣＢ＝孤ＤＣ：孤ＡＢ＝⑤：⑧
∠ＥＢＣ＝（180－76）×⑤/⑬＝40°
∠ＡＢＥ＝40°
最後に△ＡＢＥで外角定理を適用。
∠ＢＡＣ＝76－40＝36°

大問１
（１）エ√27＝√７×√３に分割すると計算しやすい。
大問２
（２）ｘとｙはどんな関係か。一次関数ではない。
大問３
（２）
他県でも見かける。中央値から攻める。
４日以下の値を７日以上に変える。
平均値の増加分の＋３から、４＋３＝７日しかない。
大問４
ＡからＣへ移したのが１/５ｘ、残りが４/５ｘ。
大問５
（３）展開図で必要な長さを求め、直方体の対角線を出す。
無理そうだったら後回し。
大問６
（３）面積の算出にはｘ座標とｙ座標の差が知りたい。
求めたいａでＡとＢの座標をあらわす。
四角形ＡＣＤＥと△ＤＣＦの各頂点の座標の情報をそろえる。
大問７
（１）公式解答では∠ＧＡＤを２つに分け、等角でつなげていき、
△ＡＢＥで外角定理を使っている。
（２）円周角は弧の長さに比例する。
しかし、孤ＢＣの情報がないので、それ以外の孤から何とかするしかない。
∠ＢＥＣを内角とする△ＢＣＥを見る。
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問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）
12－６÷（－３）
＝12＋２
＝14

（２）
１/２ａ－４/３ａ
＝－５/６ａ

（３）
－４Ａ＋３Ｂ＋２Ａ
＝－２Ａ＋３Ｂ　←ここで代入
＝－２（４ｘ－１）＋３（－２ｘ＋３）
＝－８ｘ＋２－６ｘ＋９
＝－14ｘ＋11

（４）
－15ａ²ｂ÷３ａｂ²×（－２ｂ）²
＝－15ａ²÷３ａｂ²×４ｂ²
＝－20ａｂ

（５）
（√２－√３）²＋√６
＝２－２√６＋３＋√６
＝５－√６

（６）
ｘ²＝ｘ＋12
ｘ²－ｘ－12
＝（ｘ＋３）（ｘ－４）＝０
ｘ＝－３、４

（７）
ｙ＝－３ｘ²は上に凸のグラフ。
ｘ＝－４のとき、最小値ｙ＝－48
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
－48≦ｙ≦０

（８）
５枚から２枚取る→₅Ｃ₂＝10通り
積が２の倍数でもない、かつ３の倍数でもないということは、
いずれの倍数でもない（５、７）のペアしかない。
確率は１/10。

（９）

10～20ｍの階級の相対度数が等しい。
⇒度数の合計に対する10～20ｍの度数の割合が等しい。
【66/220＝ア/60】
ア＝66×60/220＝18

大問２（関数）

（１）
直線が右下なので、傾きａは負の値。
問題は３ａ＋ｂ…(;´･ω･)

切片が０より上にあるのでｂは正の値。
ａ＞０、ｂ＜０とちぐはぐの条件で３ａ＋ｂの符号をどう求めればよいのか。。
なんとなく傾きが45°以上だからａ＜－１っぽく、ｂ＜２っぽいので、
負の値の気もしなくもないが・・(;´･ω･)

ａｘ＋ｂと３ａ＋ｂを並べてみる。

ｘ＝３のときのｙの値が３ａ＋ｂである。

ｘ＝３のときは負なので、３ａ＋ｂは負の値となる。
ａの値…負の値　３ａ＋ｂ…負の値

（２）

傾きは緩くなっている。
傾きを大きくすると直線は反時計回りにまわる。
切片ｂは下に移動しているので小さくなっている。
解答…ａの値は大きくする、ｂの値は小さくする

（３）

三角形となるＡの位置を定める。
ＣＢの延長線上にＡがあると、点ＢがＡＣ上にきて△ＡＣＤになる。
もう１つはＢＤ上にＡ’があると、△ＢＣＤになる。

Ｂ（１、２）⇒Ｃ（４、０）
右に３、下に２なので、傾きは－２/３。
ｙ＝－２/３ｘ＋ｂに（ｘ、ｙ）＝（４、０）を代入すると、
０＝－２/３×４＋ｂ
ｂ＝８/３

Ａはｙ＝－ｘとｙ＝－２/３ｘ＋８/３の交点。
－ｘ＝－２/３ｘ＋８/３
－３ｘ＝－２ｘ＋８
ｘ＝－８
Ａ（－８、８）

Ａ・Ｂ・Ｃのｘ座標の差から、
ＡＢ：ＢＣ＝９：３＝③：①
Ｓ（△ＢＣＤ）：Ｔ（△ＡＣＤ）
＝ＢＣ：ＡＣ
＝１：４

（４）
説明問題。

方針は立てやすい。
面積が等しいといえば等積変形！
傾きを調べてみると、ＡＣとＤＢの傾きはいずれも１でＡＣ//ＤＢ。
等積変形で△ＡＤＣ＝△ＡＢＣ。
これらから共通部分△ＡＲＣを控除すると△ＲＡＤ＝△ＲＢＣとなる。

大問３（方程式&空間）

（１）
友人の人数をｘ人として、ロールパンの数で等式を立てる。
余りは引き、不足分は足して帳尻を合わせる。
４ｘ－９＝６ｘ＋５
ｘ＝７
７人

（２）
答案では求める過程も記述する。
求めたい食パンをｘ斤、ロールパンをｙ個とする。
留意点はロールパンは６個分の分量なので、
これを１個あたりになおすと小麦粉150/６ｇ、バター10/６ｇになる(;´･ω･)
小麦粉で等式。
300ｘ＋150/６ｙ＝1500　…①
バターで等式。
10ｘ＋10/６ｙ＝80　…②

①を整理すると、12ｘ＋ｙ＝60　…③
②を整理すると、６ｘ＋ｙ＝48　…④
これを解くと、ｘ＝２、ｙ＝36
食パン…２斤、ロールパン…36個

＠余談＠

本問は記述式なので仕方ないですけど、方程式の計算が面倒臭い(;^ω^)
解答が答えのみだった場合、なんとか回避できないものか。。

食パン１斤の小麦粉が300ｇなので、最大で1500÷300＝５斤つくれる。
ということは、食パンは１～４斤のいずれかなので全部調べてしまうのも手。

小麦は±300ｇ、バターは±10ｇの増減。
ロールパンのなかで小麦：バター＝150：10＝15：１となる組み合わせは、
食パンが２斤のときである。

（３）

求めたいＦＨの対角線とする直方体を描く。
１辺がａ、ｂ、ｃの直方体の対角線→√（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）
直方体の奥行きは、ＤＨ－ＢＦ＝１ｃｍ
ＦＨ＝√（12²＋12²＋１²）
＝√289＝17ｃｍ

大問４（平面図形）

（１）
半径２ｍの半円。
２×２×π÷２＝２πｍ

（２）
ＣＰとＤＱを１辺とする三角形の合同、
すなわち、△ＡＰＣ≡△ＡＱＤを証明すればいい。

正三角形ＡＰＱの１辺より、ＡＰ＝ＡＱ
正三角形ＡＢＣの１辺と仮定より、ＡＣ＝ＢＣ＝ＡＤ
ＡＤ//ＢＣの錯角で∠ＢＣＡ＝∠ＤＡＣ＝60°
∠ＰＡＣ＝60－∠ＣＡＱ＝∠ＱＡＤ
２辺とあいだの角が等しいから△ＡＰＣ≡△ＡＱＤ
対応する辺の長さは等しいのでＣＰ＝ＤＱ

（３）

Ａは赤、Ｂは黒、Ｃは青を移動する。
ＢＰとＰＱとＱＤが一直線になれば、Ａ・Ｂ・Ｃが移動する距離の和が最も短くなる。
△ＡＰＱをもう少し時計回りにまわすとまっすぐになりそう。

ＡＤ//ＢＣ、ＡＤ＝ＢＣより、四角形ＡＢＣＤは１組の対辺が平行でかつ長さが等しい
⇒平行四辺形ＡＢＣＤ
さらに、正三角形ＡＢＣからＡＢ＝ＡＤで隣り合う辺が等しい
⇒菱形ＡＢＣＤ
ＢＤは菱形ＡＢＣＤの対角線である。

ＡＣとＢＤの交点をＯとする。
菱形の対角線は直交するので∠ＡＯＢ＝90°
△ＡＢＯは内角が30°—60°—90°で辺の比は１：２：√３。
ＢＤ＝２ＢＯ＝（４×√３/２）×２＝４√３ｍ

（４）
先生のアドバイスによると、∠ＡＰＢ＝∠ＢＰＣ＝∠ＣＰＡ＝120°のときに
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰが最短になるらしい(´ﾟдﾟ｀)
正三角形は特別な三角形なので、平凡な三角形でもう一度おさらいします。

△ＡＰＣを反時計回りに60°回転させて△ＡＰ’Ｃ’をつくる。
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰはＢＰ＋ＰＰ’＋Ｐ’Ｃとなり、
ＢＣ’が一直線になるとき、題意に適するＰが得られる。
△ＡＰＰ’は正三角形なので、∠ＡＰＢ＝∠ＡＰ’Ｃ’＝180－60＝120°
∠ＡＰＣ＝∠ＡＰ’Ｃ’＝120°で、残りの∠ＢＰＣ＝360－240＝120°となる。
ようするに、三角形の内部で120°をつくることがポイントとなる。

△ＡＢＣの外接円を描く。
∠ＢＰＣ＝240°だから、この円周角は120°である。
この円周上かつ△ＢＣＴの内部のどこかにＲがある。

ここで、△ＢＣＴが二等辺三角形であることに着目する。
△ＣＲＢと△ＣＲＴは左右対称で合同。
対応する角で∠ＢＣＲ＝∠ＴＣＲだから、Ｒは∠ＢＣＴの二等分線上にある。

まとめると・・
①中心Ｐから△ＡＢＣの外接円を描く。
②∠ＢＣＴの二等分線。
これらの交点がＲとなる。

＠余談＠

『３つの角の大きさがすべて120°未満の三角形のときに成り立つ』
どうしてかというと、Ａを下へひっぱると∠ＢＰＣは必ず∠Ａより大きくなるので、
仮に∠Ａ＝120°だと∠ＢＰＣ＞120°になってしまう。
つまり、∠ＢＰＣ＝120°となるＰは△ＡＢＣの内部には無い。

＠フェルマー点＠
どうやら数学の世界ではフェルマー点とよぶそうです。
フェルマー点Ｆはいくつかの性質をもっています。

目分量で適当にやったら予想外にうまく描けてびっくり(;^ω^)
まず、△ＡＢＣの各辺を１辺とする正三角形を追記。
この３つの正三角形の外接円はフェルマー点で交わる。
さらに、うえのようにＡＰ、ＢＱ、ＣＲを結ぶとフェルマー点で交わる。
中学生レベルの数学で証明できますので、一考してみてください。

本問ではＢＴを１辺とする正三角形ＢＴＳをつくり、ＡＴとＣＳの交点からもＲを作れる。
ちなみに、∠Ａ≧120°の場合は、頂点Ａがフェルマー点になるらしいです。

大問１
（８）該当する組み合わせは１つしかなかった。
（９）やや変わった出し方だが、分数に持ち込むと見えやすい。
大問２
（１）落とし穴だったと思う(*´д`*)
３ａ＋ｂの値はｙの値であることに気づけるか。
ここで下手に時間を使うと後半戦が危うくなる。
（３）四角形を三角形にする→１つの頂点がどこかの辺上にくる。
計算は手早く処理したい。
（４）２直線の平行→等積変形で２つの三角形が等しい。
これらから共通部分を引いたものも等しい。
大問３
（２）１個あたりに直すタイプは他県でも見かける。分数がやらしい。
（３）切り口や数値がやらしいが、答えは整数であった。
大問４
高度な思考力が問われた。要点を外さないこと！
（３）ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰの３つの線分はどこに移ったか。
これらが直線になったとき、どのような性質をもつ図形となるか。
正三角形の内角60°を手がかりにする。
（４）難問。
△ＢＣＴ内部に120°をつくることを的確におさえる。
これがわかっても難しい(;`ω´)
おもしろい問題だったので、どこかの問題集に載らないかな。
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問題はコチラ→ＰＤＦファイル
＊直訳にこだわっていません。

大問１（リスニング）

（１）Ｃ
女：前の日曜はどこに行ったの？
男：おばあちゃんの家に行ったよ。
女：あなたの家の近くに住んでるの？
*疑問文がdoesなので、受け答えもdoes。

（２）Ｄ
ﾎﾞﾌﾞ：どこだ？…あ、やあ、メアリー。
ﾒｱﾘｰ：はい、ボブ。何してるの？
ﾎﾞﾌﾞ：ノートを探してるんだけど、見つかんないんだ。
Ａ—もちろん。　Ｂ—それは私のよ。
Ｃ—私もそう思う。　Ｄ—それは机の上よ。
*『look for～』＝探す

（３）Ａ
少女：誰かが私のケーキ食べた！
少年：おぉ、僕じゃないよ。
少女：誰がキッチンにいたの？
Ａ—お父さんがいたよ。　Ｂ—オレンジがあったよ。
Ｃ—お母さんが大丈夫って言うよ。　Ｄ—うん、僕がクッキーを食べた。
*cookie（クッキー）はアメリカ英語で、biscuit（ビスケット）はイギリス英語。
アメリカでのbiscuitはケンタッキーのビスケットのようなスコーンを指すようです。

大問２（リスニング２）

（１）Ｂ
ミキ：チャーリー、何してるの？
ﾁｬｰﾘｰ：やあ、ミキ。壁にこれを貼りたいんだ。
ミキ：わぉ。修学旅行で撮った写真ね。
ﾁｬｰﾘｰ：そうさ。写真をクラスのみんなに見せるようにブラウンさんから頼まれたんだ。
　すべての写真をちょうどまとめ終えて、今度は壁に貼らなきゃいけないんだ。
ミキ：なるほど。これが必要ね。どうぞ。
ﾁｬｰﾘｰ：ありがとう。手伝ってくれないかな？
問題—チャーリーは何を必要としている？
*写真を壁に貼るための道具。pushpin、thumbtack（画びょう）
『put ~ on the wall』＝壁に～を貼る
『ask O to～』＝Ｏに～を頼む
『the class』は”クラスの生徒”と人物で訳した。
『put ～ together』＝部品を組み立てる、まとめる、編集する。
『school trip』＝修学旅行、遠足。『business trip』だと出張。

（２）Ｃ
授業を始めましょう。私たちはすでに43ページと44ページを読み終えました。昨日は次のページにある最初の３つの質問を答えました。残りの２つの質問に対する答えを確認してから、その後に46ページにいきましょう。では、問題に答える用意はできたかな？
問題―この授業では生徒たちは何ページから始める？
*『the first』と『the last』の対比に注目。
45ページの途中から始まる。具体的には５問中４問目から。
45ページ→『page 45』。数字の前にpageがくる。
『move on』＝先に進む、次の話題に進む
『be ready to～』＝～する準備ができている。

大問３（リスニング３）

（１）Ａ
ビクトリアショッピングセンターを訪れてくれてありがとう。当店は午前10時から午後８時まで営業しています。今日は父の日の前日で、午後９時まで営業します。１階ブルースカイエリアではサッカーのＴシャツや野球の帽子が買える特別セールを開催します。２階グリーンマウンテンエリアではアメリカのフードも提供します。買い物を楽しんで、すてきな日にしてください。ありがとう。
問題―どこでサッカーのＴシャツを買える？
*『thank you for～』…for以下は名詞（動名詞）で感謝の理由を述べる。

（２）Ｄ
メグ：はい、サム。この週末は何か予定でもあるの？
サム：やあ、先週末に海に行ったから、次の日曜は山に行くつもりだよ。
メグ：良いわね。だけど天気は大丈夫なの？
サム：えーと、あぁ…雨が降るね。
メグ：予定を変えなきゃね。私は映画を見にいくの。あなたも来る？
サム：良いね。山に行くのは今度にするよ。
問題―サムは今週末に何する？
* 『next time』＝今度
山に行くのは次の機会にするということ。
『Do you want to～？』＝～しませんか？（お誘い）～してくれませんか？（依頼）

＠侮れないwant＠
want＝したい、欲しい、で覚えていると意味がサッパリな表現・・。
『Do you want me to～？』＝（私が）～しましょうか？
『You (might) want to～.』＝～した方が良いよ。
ex.)You want to play this video game.「このゲームやった方が良いよ」

大問４（リスニング４）

（１）①welcome　②delicious
はい、ミナ。こちらはトム。僕のために歓迎会を開いてくれてとてもありがとう。君のお父さんとおじいちゃんが歌ってくれた日本語の歌を楽しんだよ。パーティで特に好きなところだったな。次は僕も一緒に歌ってみたいな。君の家族がつくった料理はすべておいしかった。ケーキが特に好きだった。素敵な時間だったよ。
*deliciousのスペルに注意！
『This is Tom』→通話で自分がトムだと伝える。 
『leave a message』＝伝言を残す。

（２）①famous　②Saturday
ディビッド・ロンソンはアメリカのミュージシャンだ。世界中の多くの人々が彼の音楽を愛しているので、彼はよく知られている。今週の金曜日にディビッドが来日して、土曜日にスターミュージックホールでコンサートを開催する。日本初の彼のライブになる。日本人の彼のファンはとても楽しみにしている。彼と一緒に素晴らしいひと時を過ごすだろう。
*よく知られている≒有名な
『hold a concert』＝コンサートを開く。
hold以外にはhaveやgiveも使える。

大問５（文法）

（１）useful
Ａ：あれはどんな本なの？
Ｂ：これは私の新しい辞書です。とても便利です。
*形容詞に直す。『useful』＝役に立つ、有益な。
対義語はuseless。
『what kind of～』＝どういう、どんな（kindは種類）

（２）bought
Ａ：あなたのカバン、素敵ね。
Ｂ：ありがとう！僕のお母さんが先週買ってくれたんだ。
*last weekから時制は過去。
第４文型「buy+人+物」は第３文型「buy+物+for 人」に置き換えられる。
多くの動詞では「to+人」だが、make、buy、getなどでは「for+人」。
相手が必要な動作がto、相手がいなくても成り立つ動作がforになる。

（３）オイウアエ
Ａ：あなたのお姉さんはいくつなの？
Ｂ：19歳だよ。僕より４歳年上。
*( How old is your sister )?
小学生レベル。
『How＋形容詞～？』で、どれくらい～なの？
何歳差かを言いたいときは、比較級olderの後ろにいれる。
もしくは文末に『by four years』でもＯＫ。

（４）アエオウイ
Ａ：来週、２人の新入生が来るって知ってた？
Ｂ：うん。その知らせを聞いてとても驚いたよ。
*Yes, I do. I ( was very surprised at the news ).
『be surprised at～』＝～に驚く。
surprisedは形容詞で、veryがこれを強調する。

（５）エオイウア
Ａ：彼らはどんな人が知ってる？
Ｂ：人気のダンサーだよ。
*Do ( you know who they are )?
頻出の間接疑問文。who節はＳ＋Ｖの順。

大問６（自由英作文）

ＡＢＣホテルへの行き方がわからないミホが通りかかかった２人の少女に道を尋ねる。
I’m a stranger here.  I want to go to the ABC Hotel, but I’m lost.
Could you please tell me the way to get there?（25語）
『私はここらへんの者ではないのです。
ＡＢＣホテルに行きたいのですが、道に迷ってしまいました。
そこに行く道を教えていただけませんか？』

＠＠
『strange』＝変な、よく知らない、未知の
『I’m a stranger here.』を直訳すると、私はここの見知らぬ人です。
→私はこの場所の者ではない。
道に迷ったは、『I’m lost.』『I got lost.』
『get there』＝そこに到着する
道を尋ねる表現としては、
『How do I get there?』
『Could you tell me how to get there?』

大問７（長文読解１）

（１）
　毎日どのくらい寝ていますか？皆さんほぼ同じ睡眠時間が必要なのを知っていますか？
スライド１をご覧下さい。

これはどのくらいの睡眠が必要かを表しています。毎日だいたい９時間寝ていますか？新生児は10時間を超えた睡眠が必要です。大人は１日の約30％を寝なくてはなりません。健康のために十分な睡眠をとりましょう。
　動物たちがどのくらい寝ているかご存知ですか？今度はスライド２を見てください。

これによると、コアラが最も長く寝ています。１日に22時間も寝ています！日中、コアラは木の上で寝ていて、夜に活動します。トラやライオンは１日の半分より長く寝ています。トラはライオンより少しだけ長いです。一方で、キリンはこのスライドの動物のなかでは最も短いです。

　なぜ違いがあるのでしょうか？２つの理由を挙げます。１つはキリンやゾウのような動物は草食動物です。彼らは食べ物を見つけるのに多くの時間を要し、腹を満たすためにたくさん食べなければなりません。２つ目は草食動物は長い時間眠ることができません。なぜなら、寝ている最中に他の動物が彼らを食べようとするかもしれないからです。それは草食動物にとって危険なことです。しかし、トラやライオンといった動物は強いため、キリンやゾウより長く寝ることができます。私は別の興味深い情報を見つけました。草食動物は動物園などの安全な場所にいると、より長く眠るという科学者がいるのです。
　コアラはどうでしょう？草食動物ですけど、長時間寝ています。１日のうちたった２時間しか活動しません。なんで？

①ウ
*『Adults need to sleep about 30% of the day.』
１日の約30％→７～８時間

②イ
*肉食動物のトラとライオンはよく寝て、トラの方がライオンよりも少し長く寝ている。
→１位がトラ、２位がライオン。
キリンが最も寝ないので４位。残りのゾウが３位。

③ア
*草食動物がよく眠る理由の１つは食事に要する時間の長さ。
「…and they have to eat a lot to be full.」
『full』＝いっぱいの、満たされている、お腹がいっぱいの
ex.)I’m full.＝満腹です。
下線部を直訳すると、草食動物はお腹を満たすためにたくさん食べなければならない。
イ：tired…疲れた
ウ：hungry…空腹の
エ：sleepy…眠い

④dangerous
*草食動物は寝ている間に肉食動物に食われるリスクがある。
それは草食動物にとってどういうことか。
スペルミスに注意！
他にはrisky（危険な）unsafe（安全ではない）などがある。

＠なんでコアラは草食動物なのに寝てばかりなのか＠
気になったのは調べてみました。
＞知ってる？コアラがユーカリを好きな理由（LOVEGREENより）
上のサイトによりますと、ユーカリの毒素を分解するのに多大なエネルギーを消費し、
体調を整えるために長時間の睡眠が必要なんだそうです。

（２）
◆中学生向けのイングリッシュサマーレッスン（夏期英語講座）◆
他の町からやって来た５名のＡＬＴがあなたの先生になります！
１～３日目は何名かの大学生も手伝います。

日付と場所：８月５日～８日　９時～12時　市の文化センター
参加方法：私たちのウェブサイトにアクセスして、受けたい授業日をメールで知らせて。
生徒の数：いずれの授業も15名

♥英語で課外活動をやってみよう！♥
１日目：ゲーム　２日目：ダンス　３日目：読書会　４日目：発表
１～３日目：先生は日替わりです
４日目：全員の先生がいます！

♣先生たちからのメッセージ♣
グレッグ：楽しんで！ゲームしましょう。
ケイト：お気に入りの音楽を教えてね。一緒に踊って楽しみましょ。
パティ：絵本の世界を知りましょう。
ジェーン：私と一緒にプレゼンを通じて英語の練習をしてみない？

スティーブン：僕はたくさんの国々に行きました。
びっくりするような世界旅行の話をします。

①experiences
*なかなか難しい(´Д｀)
「いくつかの授業を受けると、英語の活動を通じて多くの（　　）ができる」
experienceを経験より体験で訳すと出てきやすい。
『have an experience』＝経験（体験）する
experienceが可算名詞か不可算名詞か。
本問のアクティビティのように個別具体的な経験の場合は可算名詞。
「人は経験を積むことで強くなれる」みたいに抽象的な概念で用いると不可算名詞になる。
『take a lesson』＝授業を受ける

②エ
*ア：大学生は３日目と４日目の授業に参加する→１～３日目×
イ：あなたが会いたいＡＬＴにメールを送らなければならない→授業日を指定のメアドに送る×
ウ：パティは８月５日に絵本を紹介するでしょう→Readingは３日目の８月７日×
エ：１日目か４日目に参加するとグレッグに会える→グレッグはゲーム担当。
４日目は全員の教師に会える。〇

大問８（長文読解２）

　私の故郷はオレゴン州のポートランドです。オレゴン州はアメリカ合衆国の北西部にあります。ポートランドは世界の中で最も住みごごちが良く、”環境に優しい都市”の１つです。約65万人の人々が暮らしています。世界の多くの人々がポートランドに興味を抱いています。
　50年ほど前は、都市の中央に川に沿って高速道路を建設する計画がありました。ア、当時の人々はたくさんの木を切り倒して、多くの都市で道路をつくっていたのです。ですが、ポートランドの人々はそのときにはすでに環境を考えていました。1974年、ポートランドの人々は美しい木や花が植えられた公園をつくり、高速道路はつくならないと決めました。彼らは美しい自然の中でより多くの時間を過ごしたかったのです。ポートランドの人々の意見のおかげで、環境に優しい都市になりました。50年ほど前の都市の地図には高速道路が描かれてありますが、実は建てられてはいないのです。現在、この都市には300を超える公園があります。多くの花や鳥や他の動物たちに会えます。散歩やランニング、息抜きだけでなく、お祭りも楽しめます。人気のあるお祭りはポートランドローズフェスティバルです。ポートランドはとても暖かいので、たくさんのバラが育てられているので、”バラの町”と呼ばれています。このお祭りは1907年から続いています。現在、ポートランドには長い歴史があります。
　都市には優れた公共交通機関もあります。多くの労働者が自転車か公共の交通機関を使って出勤しています。公共交通機関がますます良くなっているので、都市での車の使用は減り続けています。とりわけ、電車は便利です。都市の中心地では電車で簡単に移動することができます。たとえば、買い物をしてお店を出ると、駅が目と鼻の先にあります。階段の昇り降りをする必要がないのです。たくさんの荷物を持って空港から電車に乗るときは、都市の主要な場所に降りて、ホテルまで容易に歩いていけます。
　バスも都市を周るのに手軽な手段です。バスの路線がたくさんあるので、車を使わずに行きたい場所へ行くことができます。自分の自転車と一緒にバスに乗ることさえできるのです。バスに乗る前に、バスの前方に自転車を設置できます。降りるときに、自転車を降ろせます。つまり、駐輪場を探す手間がなく、自転車で都市のあらゆる場所に行くことができるのです。さらに、バスはバイオ燃料を使用しているので、環境に大きな影響を与えません。二酸化炭素をあまり排出しないのです。近い将来には、電気だけで走るバスが使用される予定です。都市では、二酸化炭素の排出を1990年の水準まで削減することを決めました。ポートランドの多くの人々がこの計画を知っています。
　大勢の人々にポートランドは素晴らしい都市だと知られています。世界中の人々が自分の都市をより良くするために何かしたいのであれば、ポートランドに好例がたくさんあります。ポートランドから良いアイデアを得てください。

（１）ア
*訳「当時、人々は多くの木を切り倒し、多くの都市で道路を建てていた」
『at that time』＝そのとき、当時
『cut down』＝切り落とす、伐採する、（費用を）削減する、（数や量を）減らす
最初の導入部分。
約50年前、多くの都市では道路をつくっていた。
しかし、ポートランドは環境に配慮して1974年に高速道路ではなく公園をつくる決定をした。

（２）They wanted to spend more time in beautiful nature.
*訳「なぜポートランドの人々は都市の中央に高速道路をつくる計画を止めて公園を作ったのか？」
stopとbuildがandで結ばれる。
イの前に書かれてある内容で、答えは次の文（イの後ろ）にある。
『However, people in Portland were already thinking about the environment then.』
↑アの後ろのこの文を書いた生徒もいたんじゃないかな？
ポートランドの人々の思いが直接描かれているのは、
“美しい自然の中でより多くの時間を過ごしたかったから”になるが、
離れている内容ではないのでバツにはならないと思われる。

（３）エ
*ポートランドのバスは、なんと自転車と一緒に乗ることができるという…。
『Before you get on the bus, you can put your bicycle on the front of the bus.』
『get on』＝乗り物に乗る
your bicycleをthe front of the bus（バスの前面）にput on（つける）ことができるらしい。。

the photographer (Steve Morgan)
マジでそのまんまだった(;`ω´)
そんなに台数は載せられないですけど、これでバスが走れるんですね。

（４）ウ
*ア：買い物を終えたら、ポートランドの駅に行くには昇り降りをしなくてはならない。
→お店と駅は階段無しでつながっている。×
『get to～』＝～に着く、到着する
イ：より多くのポートランドの人々はその公共交通機関が原因で自分の車を使っている。×
ウ：50年ほど前のポートランドの地図には高速道路がある。
→地図には描かれているが、実際には建てられていない。〇
エ：多くのポートランドの人々は、電気で動くバスの数を削減するプロジェクトを知っている。
→削減対象はＣＯ₂の排出量。×

＠＠
パークアンドライド…最寄の駅に駐車して、公共交通機関を使って都市に向かう。
モーダルシフト…自動車から船や鉄道への利用など、環境負荷の小さい交通手段に切り替える。
↑社会科で覚えたよね( ˘ω˘ )

旅先に媚びない紀行文より、ハンガリーの首都ブダペストにてＬＲＴ（ライトレール）。
ヨーロッパの都市ではＬＲＴという低床式の路面電車が走っているという。

大問９（対話文）

ｴｳﾞｧﾝｽﾞ：こんにちわ。
ミカ：こんにちわ。ミカです。昨日はケーキありがとうございました。とてもおいしかったです。
ｴｳﾞｧﾝｽﾞ：それは嬉しいわ。何か御用かしら？
ミカ：_（１）ナンシーと話せますか？
ｴｳﾞｧﾝｽﾞ：ごめんなさい、彼女は祖父の家に行ってるの。明日の午後に帰ってくるわ。
ミカ：わかりました。_（２）伝言をお願いできますか？
ｴｳﾞｧﾝｽﾞ：どうぞ。
ミカ：ありがとうございます。昨日、彼女の部屋で私のスケジュール帳をなくしたと思うのです。
　彼女に探してもらうように頼んでもらえませんか？
ｴｳﾞｧﾝｽﾞ：え、本当なの？私がナンシーの部屋にいって探してみるわね。
　ちょっとお待ちください。_（３）あとでかけなおします。
ミカ：とても感謝します！
（５分後）
ミカ：こんにちわ。こちらはミカです。
ｴｳﾞｧﾝｽﾞ：はい、ナンシーの母です。
ミカ：はい、エヴァンズさん。ナンシーの部屋に私のスケジュール帳はありましたか？
ｴｳﾞｧﾝｽﾞ：ありましたよ。机の下で見つけたわ。
ミカ：_（４）今日、取りに行ってもよろしいでしょうか？
ｴｳﾞｧﾝｽﾞ：もちろんよ。いつでも大丈夫よ。
ミカ：ありがとうございます。すぐにうかがいます。

（１）ウ
*ア：はい、ナンシーと一緒に作りました。　イ：いいえ、そう思いません。
ウ：ナンシーと話せますか？　エ：私は大丈夫です。あなたはどうですか？
ミカはナンシーに用がある。

（２）イ
*ア：手伝いましょうか？　イ：伝言を残せますか？
ウ：あなたと一緒に行っても良いですか？　エ：伝言を預かりましょうか？
『May I leave a message?』＝伝言を残せますか？
『Can I take a message?』＝伝言を預かりましょうか？
ナンシーが不在なので、ミカはエヴァンズさんに伝言を頼んだ。

（３）ア
*ア：あとで掛けなおします。　イ：彼女に探すように頼みます。
ウ：彼女の祖母に会います。　エ：ナンシーと一緒にあなたの家に行きます。
『call ～ back later』＝あとで～に電話を掛けなおす
エヴァンズさんがミカのスケジュール帳を探しにいく。
５分後に電話を掛けなおしている。

（４）例；Can I  go to your house and get it today?（10語）
*「今日、取りに行ってもよろしいですか？」
公式解答のようにandの部分はtoでもＯＫ。
最後は『right now』『right away』『immediately』＝すぐに、でもＯＫ。

実際の会話では『go get～』とandもtoも挿入されない。
ex.)I’ll go get a ticket for a concert.「私がコンサートのチケットを取りに行きます」
見に行く、遊びに行く、勉強しに行く…のように、
日本語でも「行く」は他の動詞とセットで出てきやすい。
文法的にはandかtoを挟むべきだが、頻繁に出てくる口語表現は省略されやすい。
同様の理由でcomeも省略される。『come see』＝会いに来る
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