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2023年度 神奈川県公立高校入試・追検査過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(ア)
-11+(-5)
=-11-5
=-16 【1】

(イ)
1/5-9/10
=-7/10 【2】

(ウ)
(5x-y)/6-(3x-4y)/8
={4(5x-y)-3(3x-4y)}/24
=(20x-4y-9x+12y)/24
=(11x+8y)/24 【4】

(エ)
25/√10-√40+√5/√2
=5√10/2-2√10+√10/2
=√10 【2】

(オ)
(x+9)(x-6)-(x-4)2
=x2+3x-54-x2+8x-16
=11x-70 【3】

大問2(小問集合)

(ア)
5x+8y=-2 …①
1/3x+3/4y=-1 ←12倍
4x+9y=-12 …②

数字の並びが(;´・ω・)
②×5-①×4をすると、
13y=-52
y=-4
①に代入、5x-8×(-4)=-2
5x=30
x=6
x=6、y=-4 
【4】

(イ)
2x2-8x+1=0
解の公式を適用して、x=(4±√14)/2 
【4】

(ウ)
y=ax2において、xの値がp→qに増加したときに変化の割合はa(p+q)
一次関数の変化の割合は傾きで表される。
a(1+3)=-6
4a=-6
a=-3/2 【1】

(エ)
加えた食塩水をxgとする。
食塩の量で等式を立てる
350×0.05
+0.15x=(350+x)×0.08 ←100倍
1750+15x=2800+8x
7x=1050
x=150→150g 
【2】

@別解@
中学受験では天秤法というテクニックがあります。

混ぜた後の濃度8%を支点にする。
支点からの距離は3:7。
天秤が釣り合うには、重さを逆比にして⑦:③
350×③/⑦=150g

(オ)

整数になる→根号が外れる→根号の中身は平方数。
61までの平方数は、【1、4、9、16、25、36、49】の7個。
4の倍数+1から4の倍数を引いた数は、4の倍数+1である
条件に合う平方数は、【1、9、25、49】の4個。 
【3】
(具体的にいうと、n=3
、9、13、15)


大問3(小問集合2)

(ア)ⅰ
△AEF≡△BDEの証明。

仮定より、∠EAF=∠DBE(
AB=ACでDとEは各々の中点だから、DB=AE
△ADEは二等辺三角形で底角が等しいので、∠ADE=∠AED(×
△ADEに外角定理を適用、∠AEF=∠ADE(×)+∠DAE(
∠BDE=∠AED(×)+∠DAE(
∠AEF=∠BDE
(もしくは、180-×で等角と指摘してもよい)
以上より、1辺と両端角が等しいので合同。
a…【3】、b…【1】



GE:EHを求めたい。
GとHが垂線上にあるので、直角をどこかで使わなくてはならない
△ABCは二等辺三角形。二等辺で直角といえば底辺の垂直二等分線
底辺BCの垂直二等分線をひき、DF、BF、BCとの交点をそれぞれI、J、Kとする。

△GHF∽△AJFに着目してIFを境に上下を観察すると、GE:EH=AI:IJである。
(△GEF:△AIF=△HEF:△JIF)
AI:IJを求めれば良い。

何ら長さの情報が与えられていない。そこで等辺から見当をつける。
DI=IE=とする。
△ADE∽△ABC、KはBCの中点だから、BK=KC=●●
前問の合同より、DE=EF=●●
△BKJ∽△FIJの相似比で、IJ:JK=

△ADE∽△ABC→AI=IK=
AI:IJ=GE:EF=5:3 【3】

(イ)
クセがある。

AD//FOより、同位角で∠OFC=∠DAF
∠DAFを求めれば良い
直径ABと接線BGは直交するから、∠ABG=90°
CBに補助線をひく
弧BDに対する円周角より、∠BCD=34°

直径ABに対する円周角から∠ACB=90°
∠ACE=90-34=56°
△ACEで外角定理→∠CAE=82-56=26°
∠DAF(∠OFC)=26+34=
60°

(ウ)

Ⅰ:12ヶ月の第1四分位数は下から3番目と4番目の平均。
 地点Aの第1四分位数が20℃超え→少なくとも9ヶ月は20℃以上。〇
Ⅱ:地点BとCの30~35℃を見ると、Cは中央値から最大値までスッポリ含まれる
 Cの半分(6ヶ月)は少なくとも30~35℃の範囲に入る。BよりCの方
が多い。〇
Ⅲ:四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数。箱の横の長さでEよりDの方が大きい。×
Ⅳ:最大値が30℃以上なので正しい。〇
Ⅴ:地点Eは中央値が25℃を下回る。25℃以上は最大でも6か月。×
確実に読み取れるのはⅠ、Ⅱ、Ⅳ。 【5】

(エ)

直径に対する円周角→∠ACB=90°
5:12:13の直角三角形は覚えておこう。AC=5cm
AE:EC=2:3より、AE=2cm
直径AB=13cmから半径DO=13/2cm

OFを延長、CBとの交点をHとする。
AC//OHから、AO:OB=CH:HB=1:1
HはCBの中点でCH=6cm
また、△ABE∽△OBFの相似比は2:1→OF=1cm

四角形ADFEは台形
△ADE:△ADF=AE:DF=2:15/2=

王道の解き方ではないかもしれぬが(;`ω´)、ここで面積の変化率を使います。
EからFに点が動くとする。
スタートのEでは④(△ADE)、ゴールのFでは⑮(△ADF)。
底辺をADとすると高さの比は一定の割合で上昇するので、面積の変化率も一定
GはEFの中点だから△ADGの面積は△ADEと△ADFの平均→()÷2=〇19/2
△ADEの面積は2×6÷2=6cm2なので、△ADG=6×(〇19/2)/=57/4cm2

大問4(関数)

(ア)
y=ax2上にあるA座標に着目する。
y=-x+2にx=-6を代入する。A(-6、8)
これをy=ax2に代入。
8=36a
a=2/9 【2】

(イ)

y=8/xにx=2を代入→E(2、4)
Fは原点OについてEと対称→F(-2、-4)
CO:OD=3:4より、Dのx座標は8。
Fから右に10、上に4でDだから、傾きmは4/10=2/5
切片nはFから右に⑤(=2)、上に②進んで、n=-4+2×②/⑤=-16/5
ⅰ…【2】、ⅱ…【1】

(ウ)
イカニモ神奈川(´Д`||)

各頂点の座標を記しておく。
Gはy=-x+2とy=2xの交点。
-x+2=2x
x=2/3→G(2/3、4/3)
EG:GF=4/3:8/3=1:2

AGとFDの交点を求めてみると、x=26/7と容赦ない数字が現れる(;°;ω;°;)
四角形ABFGと△DEGは離れており、形も美しくない…。
なるべく点座標や直線の式が整数であるところを利用したい。
Dを通るEFに平行な線をひき、AGとの交点をHとする
DHの傾きは2。(8、0)を通るのでy=2x-16
Hのx座標は、-x+2=2x-16
x=6→H(6、-4)
FHはx軸と平行である。
等積変形で、△DGF=△HGF、△DEG=△HEG

△AGF:△HGF=AG:GH=20/3:16/3=
EG:GF=1:2から、△HEG=
残りは△ABF…。

ここまでくれば地道に面積を求めてもよいのですが、面積比を続けます。
ABとHFを延長、交点をIとする。
IF:FH=4:8=
AB:BI=28/3:8/3=
△AFH=なので、△ABF=×/×/〇3.5
四角形ABFG:△DEG(△HEG)=〇8.5=17:4

良い解法を編み出した方は下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願いますm(_)m
ちなみに、BFとEDは平行ですが、いまいち活用法を見出せませんでした。


大問5(確率)

(ア)
●条件整理●
操作1:P→Q(=PからQに移す)
操作2:P≧QのときはP→Q、P<QのときはQ→P

操作1でPを6個以下にしないと、操作2でPを0個にできない。
また、操作2でP→QとなるギリギリのラインはP=Q
玉は合計12個だから(P、Q)=(6、6)である。
ということは、操作1終了後のPは6個しかない
操作1で(P、Q)=(6、6)、操作2で(0、12)
全体は6×6=36通り、場合の数は1通りだから確率は1/36。

(イ)
操作2において、P→QかQ→Pで場合分けする。
最終的にP>Qなので、Pは7個以上、Qは5個以下になる
◆P→Q
初期状態は(P、Q)=(9、3)
操作1で1個移して(8、4)、操作2で1個移して(7、5)
この1通りしかない。

◆Q→P
操作1終了後はP<Q、(P、Q)=(5、7)(4、8)(3、6)の3通り。
操作2終了後のPは7個以上だから、(5、7)はPの個数が+2~6の5通り。
(4、8)はPが+3~6の4通り、(3、6)はPが+4~6の3通り。
合計すると13通りで、確率は13/36。

大問6(空間図形)

(ア)
底面は1辺6cmの正方形。
4つの側面を伸ばすと、縦5cm、横6×4=24cmの長方形。
表面積は、6×6×2+24×5=192cm2 
【4】

(イ)

展開図をつくる。
求めたいICを斜辺とする直角三角形で三平方の定理を使いたい。
そこで、IからHCに垂線をひいて交点をKとし、△KICをつくる

△HIK∽△HFGより、HK:KG=1:2→KG=6×2/3=4cm
KI:GF=1:3→KI=6×1/3=2cm
(△HIKは直角二等辺三角形である)
△KICで三平方→IC=√85cm 【3】

(ウ)

 線分FJを含む面HDBFで切り取る
△EFHは直角二等辺三角形→HF=6√2cm
HI:IF=より、HI=2√2cm、IF=4√2cm
正方形の対角線ACとBDの交点Oはおのおのの中点なので、DO=OB=3√2cm

IからDBに垂線をひき、足をPとする
PO=3√2-2√2=√2cm
HF//DBより錯角で∠IOP=∠FIJ()、2角相等で△IPO∽△FJI
△IPOで三平方→IO=3√3cm
IP:IO=FJ:FIなので、
FJ=4√2×5/3√3=20√6/9cm
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2023年度 和歌山県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①
2-6
=-4


8/5+7/15×(-3)
=8/5-7/5
=1/5


3(2a+b)-(a+5b)
=6a+3b-a-5b
5a-2b


9/√3-√75
=3√3-5√3
=-2√3


a(a+2)+(a+1)(a-3)
=a2+2a+a2-2a-3
=2a2-3

(2)
2-12x+36
=(x-6)2

(3)
絶対値…数直線上で原点0からの距離。
0、±1、±2、±3、±4の9個。

(4)ア
16/200=8/100=0.08


累積度数…その階級までの度数の合計。
24+56+64=
144

(5)
y=ax2に(x、y)=(3、-18)を代入する。
-18=9a
a=-2
y=-2x2

(6)

中心角は円周角の2倍、∠BOC=∠BDC×2
中心角は弧の長さに比例する。∠AOC(x)=∠BOC×4/3
x=39×2×4/3=104°

大問2(小問集合2)

(1)①

Aと重なるのはE。



体積比は相似比の3乗。
P:Q=①3:③3=1:27
Q:R=1:26

(2)①
【緑・赤・青】を1周期として並べるので、
13÷3=4…1
余り1は緑。


最後のn枚目が7cm。
n-1枚目までが2cm
2(n-1)+7
=2n+5

(3)
12の約数は【1・2・3・4・6・12】
積がこれらになる組み合わせを調べる。
1×1、1×2、1×3、1×4、2×2、1×6、2×3、2×6、3×4
1×1と2×2以外は逆もあるので16通り
全体は6×6=36通りだから、確率は16/36=4/9

(4)
答案では求める過程も記述する。
ドーナツをx個とすると、カップケーキは18-x個。

25x+15(18-x)=400 ←÷5
5x+3(18-x)=80
2x=26
x=13
カップケーキは18-13=5個
ドーナツ…13個、カップケーキ…5個
(*公式解答のように連立でもOK)

(5)
平均値より大きい太郎が8番以内に入らない理由を記述する。

15人のQ2(中央値;第2四分位数)は、(15+1)÷2=8番目の生徒の記録。
『箱ひげ図より、中央値にあたる8番目の生徒の記録が25mだから、
それより小さい記録である太郎は8番以内に入らない』

大問3(関数)

(1)
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
1次関数の変化の割合は傾きと同じである。
yの増加量÷4=1/2
yの増加量=1/2×4=2

(2)
A(2、4)→P(6、0)
右に4、下に4だから、傾きは-1。
切片はAから左に2、上に2移動して6。
y=-x+6

(3)

Aからx軸に垂線をおろし、足をHとする。
A座標より、OH=2、AH=4
△AHPは内角が30°―60°―90°、辺の比は1:2:√3だからHP=4√3
Pのx座標は、OH+HP=2+4√3

(4)

Pを通るABに平行な線をひくと、y軸との交点がQである。
なぜなら、等積変形より△ABP=△ABQだから。
平行からPQの傾きは1/2
OP=4なので、OQ=2
Q(0、-2)

BQ=3-(-2)=5
y軸上でBより上にQ’B=5となるようなQ’(0、8)をおく
BQ=BQ’で底辺共通→△ABQ=△ABQ’だから、△ABQ’も△ABPと等積である。
(0、-2)(0、8)

大問4(平面図形)

(1)

AB//DCの同位角で118°を移す。
∠ABE=180-118=62°
△ABEは二等辺三角形だから、∠BAE=180-62×2=56°

@別解@

平行四辺形の対辺と対角は等しい。
四角形AECDは等脚台形で=62°だから、
∠BAE=118-62=56°

(2)

DEを斜辺とする直角三角形を作成する。
Dから垂線を下ろし、BCの延長線との交点をPとする。
平行四辺形ABCDの対辺は等しい。AB=DC
平行四辺形の高さより、AE=DP
斜辺と他の1辺が等しい直角三角形から△ABE≡△DCP
 

対応する辺で、BE=CP(
BE()+EC(×)=CP()+EC(×)=EP=5cm
△DEPで三平方→DE=√34cm

(3)
四角形BEDFが平行四辺形である証明。

『対角線の交点をOとする』が新情報なので、これをうまく使う。
平行四辺形の対角線はおのおのの中点で交わる。OB=OD
これらを1辺とする△OBEと△ODFに着目すると、
BE//FDの錯角から、∠OBE=∠ODF
対頂角で、∠BOE=∠DOF
1辺と両端角が等しいので、△OBE≡△ODF

対応する辺は等しく、OE=OD
四角形BEDFの対角線がおのおのの中点で交わるので、
四角形BEDFは平行四辺形である。

(4)

AH//BE→△GAH∽△GBEより、AH=3×2/6=1cm
 

上底+下底の和から面積比を算出する。
台形ABEH:平行四辺形ABCD
AH+BE:AD+BC
=2:5
台形ABEHの面積は平行四辺形ABCDの2/5倍。
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2023年度 青森県公立高校入試過去問【数学】解説

平均53.6点(前年比;+0.5点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)ア 98.2%
4-10
=-6

イ 89.9%
(-2)2×3+(-15)÷(-5)
=4×3+3
=15

ウ 66.0%
 6x2-x-5
-)2x2+x-6
 4x2-2x+1

エ 79.4%
(6x2y+4xy2)÷2xy
=6x2y÷2xy+4xy2÷2xy
=3x+2y

オ 48.4%
√(3/2)-√54/2
=√6/2-3√6/2
-√6

(2) 59.8%
縦がx、横がy。
2(x+y)は縦と横の長さを2倍した数→長方形の周の長さ

(3)
●相対度数● 72.9%
6÷20=6/20=30/100=
0.30
●累積相対度数● 60.9%
(4+6+1)÷20=0.55

(4) 55.1%
3x2-6x-45
=3(x2-2x-15)
=3(x+3)(x-5)

(5)a…53.7%、b…47.4%
『xが2増加するとyが4増加』→変化の割合(傾きa)=4/2=2
y=2x+bに(1、-3)を代入。
-3=2+b
b=-5
a…2、b…-5

(6) 76.1%

外角定理を用いて
、28+80=108°
同位角で108°をあげる。
x=180-(25+108)=47°

(7) 45.0%

BDで分割すると有名三角形が現れる。
△ABDは直角二等辺。辺の比は1:1:√2だから、BD=4√2×√2=8cm
△BCDは辺の比が1:2:√3の直角三角形。BC=8×√3/2=4√3cm

(8) 35.5%
ア:第2四分位数は中央値(メジアン)のこと。〇
イ:四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数。
 中央に集まる約50%のデータで、極端にかけ離れた外れ値の影響を受けにくい。〇
ウ:箱の横の長さは四分位範囲を表す。×
 範囲(レンジ)=最大値-最小値、ひげ~ひげまでの長さ。 
エ:四分位範囲は中央値から±25%、全体の約50%のデータ。〇


大問2(作図&確率)

(1) 51.6%

『時計回りに90°』だから、Aの右側にBがある。
AOを延長、Oを通る垂線をひく。
半径OAの長さをとって垂線に移す。交点がB。

(2)ア あ…71.8%、い…56.5%、う・え…79.4%、X…83.8%
3桁の整数は、5×4×3=60通り(あ)
最も大きい百の位で場合分けをする。(X=百)
もしくは、うしろのレンのセリフでXの位は3、(う)、(え)の3パターンしかない点から、
Xは百の位と確定することができる。

百の位が3のとき、350位以上の整数だから十の位は5で確定。
一の位は残りの1、2、4→3通り
(い)
百の位は3の他に4(う)か5(え
)。
あ…60、い…3、う…4、え…5、X…百

イ 54.1%
●百の位が3●
前問より3通り。

残りの枚数から、おのおの4×3=12通り
350以上の整数は、3+12+12=27通り
確率は27/60=
9/20

大問3(平面図形)

(1)ア 66.0%

△ABEで三平方。
AB:BE=②:①なので、辺の比で三平方を使うとAE=〇√5
AE=4√5cm

イ(ア) 19.7%!

直角を意識して組み立てると、B、C、Dが一致し、
底面は直角二等辺三角形、高さ8cmの三角錐になる。
体積は、4×4÷2×8÷3=64/3cm3

(イ) 6.4%!!
展開図より△AEFの面積は、8×8-(4×8÷2×2+4×4÷2)=24cm3
これを底面とした高さは、64/3×3÷24=
8/3cm

(2)ア あ…67.9%、い…64.5%、う…70.5%
△DFB≡△DHEの証明。

誘導に従う。
△DBEは直角二等辺三角形。DB=DE
四角形DFGHは正方形だから、DF=DH
リード文より、斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で△DAF≡△DCH(★)
対応する角は等しく、∠ADF=∠CDH(×

∠BDF=45-∠ADF(×)、∠EDH=45-∠CDH(×)なので、
∠BDF=∠EDH(
2辺とあいだの角が等しいから△DFB≡△DHE
あ…DF=DH い…∠BDF=∠EDH う…2辺とあいだの角

イ 12.4%!

正方形の1辺から、AB=AD=5cm
前述の証明にあった△DAF≡△DCHより、対応する辺でAF=CH=2cm
×=90°で等角を調べると、2角相等で△DAF∽△FBI
BI=2×3/5=6/5cm
△FBIの面積は、6/5×3÷2=9/5cm2

大問4(関数)

(1)ア 81.6%
y=1/2x2にx=2を代入する。
y=1/2×22=2

イ 60.9%
『A、Bの距離が6cm』→Aのy座標は6
y=ax2は(2、6)を通過する。
6=4a
a=3/2

(2)ア 32.6%!

BDは正方形ABCDの対角線→△BCDは直角二等辺
BDの傾きは1
切片はBから左に2、下に2だから-2。
y=x-2

イ 2.1%!!

y=ax2にそれぞれのx座標を代入。
A(2、4a)E(-1、a)
正方形ABCDの1辺で、
BC=4acm

Eを通るBDに平行な線をひき、BAの延長との交点をFとする
等積変形で、△BDE=△BDF=80cm2

EからFBに向けて垂線をおろし、足をGとする。
EFの傾きはBDと同じ1
→∠FEG=45°、∠EGF=90°から、△EGFは直角二等辺
EG=FG=3cm
FB=GB+FG=a+3cm

△BDFの面積で等式を立てる。
(a+3)×4a÷2=80
2a2+6a-80=0 ←÷2
2+3a-40
=(a+8)(a-5)=0
a>0だから、a=5

大問5(方程式)

(1)あ 66.0%
一次方程式。
りんごa個。なしは残りの50-a個。 

い 55.6%
連立方程式。
全体の個数で等式。
a+b=50
値段で等式。

120a+150b+40=6700

(2)ア 21.9%!
りんご120円が(x+18)個、なし150円が(y+18)個。
これに箱代40円を足す。

う:120(x+18)+150(y+18)+40

イ え…26.0%!、お…8.7%!!
4x+5y=60
yについて解くと…
5y=-4x+60
y=-4/5x+12
分母が5なので、yが整数になるのはx=5のときy=8

傾きは-4/5だから、右に5いくと下に4移動する。
(5、8)から格子点を調べると、他は(0、12)(10、4)(15、0)
え:(0、12)(5、8)(10、4)(15、0)

ここで一次不等式を使います。。
りんごを(x+18)個、なしを(y+18)個とおいたので、
条件Bより、(x+18)+(y+18)>50
x+y>14
4組のうち、x+yが15以上は(15、0)のみ
りんご…15+18=33個
なし…0+18=18個
お:(15、0)、りんご…33個、なし…18個

@別解@
4x+5y=60
60は4の倍数だから、(x、y)=(15、0)が決まる。
係数の4と5は互いに素→最小公倍数20(4×5=5×4)で交換できる
つまり、xを5減らしてyを4増やせば帳尻が合う。
(15、0)(10、4)(5、8)(0、12)


大問1
ここだけで配点が43点もある。
(5)変化の割合から傾きを出せるか。
(7)頂角が90°の二等辺は直角二等辺。
(8)統計の問題も平易であった。

大問2
(1)まずは問題文からBのおおよその位置に目星をつけておく。
(2)Xがすぐ決まらず戸惑う。
丁寧な誘導になっているが、誘導なしでも解けるようにしておきたい。
大問3
(1)どこが底面でどこが高さになるか、直角がポイントである。
(2)ア:途中で直角三角形の合同をはさむが、穴埋めなのでやりやすい。
イ:平面のラストとしては取りやすいレベル。
この相似形は公立高校入試の世界でよく見かける。
大問4
(2)イ:前問のBDの式を利用したい。
Eを右上45°に移動させると直角二等辺が使える。
大問5
(2)今年度は不定方程式の問題が散見された。
青森は誘導付きで取り組みやすい方であった。
x、yはともに整数なので、グラフでは格子点を通過する座標である。
*公式より、『最後は(10、4)の誤答が多く、ホワイトボードで示した条件と
プリントで示した二つの条件を混同したと思われる。』

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2023年度 山形県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①
1-(2-5)
=1-(-3)
=1+3
=4


3/5×(1/2-2/3)
=3/5×(-1/6)
=-1/10


-12ab×(-3a)2÷6a2
=-12ab×9a2
÷6a2
=-18a


(√7-2)(√7+3)-√28
=7+3√7-2√7-6-2√7
=1-√7

(2)
答案では解き方も書く。
(x-7)(x+2)=-9x-13
2-5x-14=-9x-13
2+4x-1=0
解の公式を適用して、x=-2±√5

(3)
2-2x
y+y2
=(x-y)2  ←ここで代入
=(23-18)2
=25

(4)
①中央値は箱の中の線。山形市の方が大きい。〇
②四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数。箱の横の長さで山形市が最も大きい×
③酒田市だけ第3四分位数が21℃を下回る。×
30日の第3四分位数は上位15日の真ん中、上から8番目の値。
酒田市の21℃以上は多くても7日だが、他は少なくても8日ある。×

5)

立面図は正面から見た図。
イだけ3ヵ所。

大問2(小問集合2)

(1)①
Aのy座標はBと同じ2→A(3、2)
これをy=a/xに代入する。
a=xy=3×2=6



D(3、6)
y=bxが正方形ABCDの辺と重なるのは、頂点D~Bに触れる範囲
頂点D→y=2/7x
頂点B→y=2x
2/7≦b≦2

(2)
答案では、確率を使って理由を説明する。
白玉を2個出す確率をそれぞれ求める。
…2/3×1/3=2/9
友子…1/2×2/4=1/4
2/9>1/4なので、純の方が起こりやすい。

(3)①
商品Cは10箱とわかっている。
商品Aをx箱、商品Bをy箱とする
箱の数で等式。
A+B+10=40 …①

ドーナツとクッキーの個数で等式。
ドーナツは、8x+12×10個
クッキーは、12y+15×10個
ドーナツが50個少ないので、
8x+120=12y+150-50 …②


前の式を整理すると、
x+y=30 …③

8x-12y=-20 …④
③×8+④をすると、20y=260
y=13
③に代入して、x=17
ドーナツの個数は、8x+120
=8×17+120=256個

(4)

①∠BCDの二等分線。『直線BCの上側』なのでCの左上方向。
②∠BPD=1/2∠BAD→弧BDに対する円周角と中心角の関係にあたる。
中心をAとした円Aの円周上にPがある。
AB=ADから半径はAB(AD)。
ABをグルっと1周させて円Aを描き、①との交点がP。


大問3(数量変化)

(1)①

2秒後はBR=2cm
重なっている部分は底辺2、高さ1の直角二等辺三角形
y=2×1÷2=1



台形の裾の三角形は45°―45°―90°の直角二等辺三角形。
等辺の長さは、(9-5)÷2=2cm
台形の高さは2cmである。

(1)の通り、最初の重なりは直角二等辺。
BRの距離がx
、高さは1/2x。
y=x×1/2x÷2=1/4x2
BR=4cmまで重なりは直角二等辺。0≦x≦4

重なり部分が台形になる。
yの値が増加し、台形ABCDと台形PQRSが一致するx=9のときに最大になる。
4≦x≦9

式は表2でy=2x-4と提示されている。
台形を直角二等辺と平行四辺形に分けると、平行四辺形の底辺はx-4cm。
これが台形の上底ASの長さだから、y=(x-4+x)×2÷2=2x-4

表1より、PがDと重なるのはx=14
(右図の状態でBR=14cm)
式の出し方はいろいろある。
●方法1●
愚直に長さを求めると左図のようになる。
BR=xだから、CR=DS=x-9
PD=5-(x-9)=-x+14
QC=9-(x-9)=-x+18
y=(-x+14-x+18)×2÷2=-2x+32
●方法2●
台形PQRSの面積は、(5+9)×2÷2=14
ここから減少分の平行四辺形DCRSの面積をひく。
y=14-2(x-9)=-2x+32
●方法3●(推奨
表1を活用する。
4≦x≦9のとき、y=2x-4
直角二等辺に平行四辺形が追加された台形で、面積の変化の割合は2で増加した。
9≦x≦14では同じような平行四辺形で面積が減少するから変化の割合は-2
表1よりx=14のときy=4なので、これをy=-2x+bに代入する
4=-2×14+b
b=32
y=-2x+32

まとめると、
0≦x≦4、y=1/4x2
4≦x≦9、y=2x-4
9≦x≦14、y=-2x+32
グラフは(4、4)(9、14)(14、4)を通過するように描く。
ア…y=1/4x2、イ…9、ウ…y=-2x+32

(2)

台形ABRS:平行四辺形SRCD=②:①
上底と下底の和の比も同様だから、AS+BRSD+RC=2:1

AD+BC=5+9=14cm
SD+RC=14×1/3=14/3cm
平行四辺形の対辺は等しいからSD=RC
RC=14/3÷2=7/3cm
BR=9-7/3=20/3cm
xが最も小さい値
→PがDを通過する前なので、x=20/3


大問4(平面図形)

(1)
△AGC≡△CEDの証明。

仮定より、AC=CD
AC//EDの同位角から∠ACG=∠EDB=90°→∠ACG=∠CDE
△AFCは直角三角形だから、∠CAG(×)=90-∠ACF(●)
∠DCE=90-●=×
1辺と両端角が等しいから合同。

(2)①

前の合同から、AC=DC=10cm
BD=15-10=5cm
△EBD∽△ABCより、ED=10×5/15=10/3cm



FからACに垂線、足をHとする。
FHが回転体の半径にあたる。

×=90°で角度を調べると、△CFG∽△AFC∽△ACG
辺の比は、GC:AC=10/3:10=1:3
FG=とするとFC=AF=×3=
→AF:FG=
△AFH∽△AGCより、FH=10/3×/=3cm
回転体の体積は、3×3×π×10÷3=30πcm3

@別解@

あまり変わりませんが、△FCHも同じ相似なので、
HC=①とすると、FH=③、AH=⑨となります
FH=10×③/⑩=3cm


大問1
配点32点。
(4)箱ひげ図は判断しやすかった。
(5)いつもは面や線の空間把握だったが、今年は立面図であった。
円柱も円の直径と高さが等しければ正方形に見える。
大問2
(1)②最も傾くとD、最も緩やかだとBに触れる。
(2)各々の確率を比較して結論を述べる記述。他県でも見かける。
(3)標準レベルの方程式。
(4)∠=1/2∠
BとDが両端にある→弧BDの円周角と中心角に気がつきたい。
円の中心はAB=AD(半径)からAとわかる。
大問3
(1)②差が出るところ。
重なる部分の図形がどこで変形するのか。
アは前問と同じ直角二等辺三角形。ウはグラフから先に描くのも良い。
(2)台形の面積比=上底+下底の和の比
大問4
例年より、やや取りやすい感じがする。
(2)②右側で直角三角形の相似を使うのが良いかなと。
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2023年度 奈良県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)①
7-(-6)
=7+6
=13


15+(-4)2÷(-2)
=15+16÷(-2)
=15-8
=7


(x+2)(x-5)-2(x-1)
=x2-3x-10-2x+2
2-5x-8


√2×√6-√27
=2√3-3√3
=-√3

(2)
x+4y=5 …①
4x+7y=-16 …②

①×4-②をすると、9y=36
y=4
①に代入、x+16=5
x=-11
x=-11、y=4

(3)
2+5x+1=0
解の公式を適用して、x=(-5±√21)/2

(4)
a<0、b<0
引き算と掛け算、割り算はマイナスとマイナスがプラスに変わる
足し算(a+b)が最も小さい値になる。

@@
適当な値を代入してもOK。
a=-1、b=-2とすると、 
a+b=-1+(-2)=-3
a-b=-1-(-2)=1
ab=-1×(-2)=2
a/b=-1÷(-2)=1/2

(5)
体積比は相似比の3乗
A:B=23:33=8:27
Bの体積は、24×27/8=81cm3

(6)
全体は、23=8通り
3回目で原点Oに戻るには、+1+1-2=0
表を2回、裏を1回出せば良い
3回のうち裏をどの回で出すか→3通り。
確率は3/8

(7)

△PABはABを底辺とする二等辺三角形。
PはAとBから等距離にあるので(PA=PB)、PはABの垂直二等分線上にある
また、AB//PCから同位角で90°が等しく、Cを通る垂線との交点がPとなる。
公式解答より。

(8)

ア:中央値は累積相対度数が0.50のときの値
 1年生(▲)が3年生(●)より左にある→1年生の方が中央値は小さい。×
イ:20分未満の累積相対度数はいずれも0.50を超えているので、半分以上いる。〇
ウ:累積相対度数はあくまでも割合。1年生は75人、3年生は90人。
 全体の人数が違えば、それぞれの76%の人数も異なる。×
エ:25分以上30分未満の相対度数=30分の累積相対度数-25分の累積相対度数
 1年生の度数…75×4%、3年生の度数…90×14%だから、3年生の方が多い。〇
オ:累積相対度数が0.76で逆転するが、それまでは▲が左側に寄っている
 およそ3/4の割合で1年生の方が通学時間が短い。〇
イ・エ・オ


大問2(平面図形)

(1)①

半径と接線は直交する。OP⊥XY、OQ⊥XZ
四角形XPOQの内角から、∠POQ=360-(90+90+45)=
135°


△XPOと△XQOに着目すると、
∠OPX=∠OQX、OP=OQ(半径)、共通辺OXより、
斜辺と他の1辺が等しいから合同
∠OXP=∠OXQだから、XRは∠YXZの二等分線である
「辺」と「距離」の用いてXR上にある点を説明するので、
答えは『2辺XY、XZから距離が等しい点』。



XPとQOの延長との交点をSとする。
△XSQの内角は45°―45°―90°だから直角二等辺三角形→∠PSO=45°
△PSOも同様に直角二等辺で辺の比は1:1:√2→SO=2√2cm
SQ=2+2√2cm
XQ=SQ=2+2√2cm
さらに、△XPO≡△XQOより、XP=XQ=2+2√2cm

(2)①

∠BAD=90°と∠BXD=45°を弧BDの中心角と円周角の関係で捉えると、
X・B・DはAを中心とする円Aの円周上にある
半径より、XA=AB=AD
すなわち、AXは正方形ABCDの1辺の長さに相当する。



大事な情報はココ↓
『2点B、Dの位置が変わっても、2点X、Aの間の距離について同じことがいえる
『同じこと』は前文の太郎のセリフ。
つまり、XAの長さはBとDが移動しても正方形ABCDの1辺の長さで変わらない
正方形が通過できない端の部分は半径3cm、中心角45°の扇形となる
Y側も同様で、通過できない部分を合わせると半径3cmの4分の1円なので、
通過できる部分の面積は、10×10÷2-3×3×π÷4
=50-9/4πcm2

大問3(関数)

(1)
y=-1/2x2について、
x=0のとき、最大値y=0
x=-4のとき、最小値y=-8
-8≦y≦0

(2)
y=-1/2x2にそれぞれのx座標を代入する。
C(-4、-8)→D(2、-2)
右に6、上に6だから傾きは1。
Cから右に4、上に4移動して、切片は-8+4=-4
y=x-4

(3)

実際に描いてみる。
aを大きくすると、放物線の開きは小さくなる
ア:ABの傾きは急になる→一次関数の傾きは小さくなる。〇
逆に、aを小さくするとABの傾きは緩やかになる。こちらの方が判断しやすいかもしれない。
イ:傾きが急→ABがより斜めになるので、ABは長くなる。×
ウ:Eの位置が上にあがるから、△OABの面積は増加する。×
エ:AE:EB=4:2=2:1で一定。×
x=-4、0、2の平行線に注目し、平行線と線分の比を使うと見えやすい

(4)

A(-4、16a)B(2、4a)
DOを延長、ACとの交点をFとする
FDが四角形ACDBの二等分線になる。
Dから左に2、上に2でOだから、さらにOから左に4、上に4でF(-4、4)

FC=4-(-8)=12
AF=16a-4、BD=4a-(-2)=4a+2
四角形ACDBは台形なので、上底と下底の和が等しいと面積が等しくなる
すなわち、AF+BD=FC
(16a-4)+(4a+2)=12
20a=14
a=7/10


大問4(平面図形2)

(1)
△AEF∽△BCEの証明。

仮定から∠AFE=∠BEC=90°
弧DCの円周角で、∠EAF=∠CBE(
2角が等しいから∽。

(2)

弧CDの円周角より、∠EBG=a
∠AEF=bとする
△AEFの内角から、a+b=180-90=90°
∠AED=90°なので、∠FED=90-b=a
対頂角で、∠BEG=a
△BGEの内角で、∠BGE=180-2a°

(3)①

DE=3cm、AE=4cmから、△AEDは3:4:5の直角三角形
対頂角や円周角から2角相等で△AED∽△BEC
△BECの辺の比も3:4:5→EC=6cm

前問のa=、b=×
×=90°として角度を調べると、
∠GEB=、∠GEC=×
△GEBと△CEGは底角が等しい二等辺三角形
BG=EG=CGより、GはBCの中点である。
△CEGは△BCEの半分だから、8×6÷2÷2=12cm2



唐突に半径を求めさせられる(;´・ω・)
どの線分も中心Oを通らないので、半径を斜辺とする直角三角形で三平方を用いる
半径OB=OC、△OBCは二等辺三角形
頂角Oから底辺BCの中点Gに直線をひくと直交する。OG⊥BC

これだけでは情報が足りないので、広い視点でみてみる。
AC=BC=10cmに着目してABに補助線を描く。
ABの中点をHとすると、△ABCは二等辺三角形だから先と同様にCH⊥AB

また、中心OはABの垂直二等分線であるCH上にある
(中心点の作図方法を思い出そう。OはAとBから等距離にある)
逆に言えば、COを延長するとHを通過することになる。


∠OCG=×、∠COG=×=90°で等角を記していく。
△BCHの内角で、∠HBC=
二等辺ABCの底角で、∠CAB=
∠AEB=90°だから、△AEBの内角は×―90°
2角相等より△OGC∽△AEB

AE:BE=4:8=①:②
△AEBの辺の比で三平方→AB=〇√5
AB:EB=OC:GC=〇√5:②
半径OC=5×〇√5/②=5√5/2cm

@余談@
思いっきり高校分野に入るので参考程度に載せておきます。

△ABCは円Oに内接している。
数Ⅰで習う正弦定理を使うと、外接円の半径Rを求めることができる。
正弦定理;【c/sinC=2R

△AEBで三平方→AB=4√5cm
余弦定理からcosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(100+100-80)/(2・10・10)=3/5
sin2C+cos2C=1より、sin2C=1-(3/5)2=16/25
sinC=4/5
正弦定理から外接円の半径R=c/(2sinC)=4√5/(2×4/5)=5√5/2cm


大問1
(4)マイナスが変わらない選択肢を選ぶ。
(6)表と裏を何回出せば原点Oに戻るか。
(7)②がつまづきやすいか。90°の同位角がポイントになる。
(8)奈良以外の中学生も挑戦しておきたい問題。
社会科の資料問題みたいにいろんな角度からグラフを見る必要がある。
大問2
(1)②角の二等分線上の点はどのような点の集まりか。
具体的な辺を指摘して説明する。
③直角二等辺の辺の長さがわかっていない。
相似に頼れないので、等角をもとに図形の特徴を探し出す。
(2)①円周角が出てくるので、とりあえず円を描いてみる。
②『2点XAの距離について同じことがいえる』
問題文のヒントを取りこぼさないこと!
XAが変わらない→XAを半径とする扇形の弧上をAが動く。
大問3
(3)すべて選べではないのが幸い。
開きが小さくなるほど、A、E、Bが上にあがっていく。
エが判断しづらいかもしれない。平行線に注目する。
(4)台形の面積比は上底+下底の和の比。他県でもよく見かける。
ODを延長してACとの交点座標を調べる。
大問4
(2)都立でも似たような問題が出てくる。
a+b=90°、円周角、対頂角。いろいろ駆使してaを見つける。
(3)②前問のaをヒントに等角をさらに調べていく。
すると、△BCEの中に2つの二等辺三角形があり、GがBCの中点とわかる。
②難所でした(;`ω´)
正弦定理を封じると三平方しかない。まずはOG⊥BCに気づく。
COの延長がABの中点を通るか。この理由も説明できるようにしたい。
等角を記して相似を用いる。
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2023年度 福島県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(計算)

(1)①
(-21)÷7
=-3


-3/4+5/6
=1/12


(-3a)×(-2b)3
=-3a×(-8b3
=24ab3


√8-√18
=2√2-3√2
=-√2

(2)
【球の体積V=4/3πr3
半径rの3乗が
でてくる→球の体積比は半径の比の3乗
半径を2倍すると、体積は23=8倍になる。

大問2(小問集合)

(1)
31%⇒31/100
31/100amL

(2)
3x+2y-4=0
2y=-3x+4
y=-3/2x+2

(3)

『辺AB、BCまでの距離が等しい』→∠ABCの二等分線を作図する。
ACとの交点がP。

(4)
y=ax2において、xの値がp→qに増加したときの変化の割合はa(p+q)
1×(1+4)=5

(5)
最小値は2~4回→ア×
30人の中央値は15番目と16番目の平均で8~10回→イ×
第1四分位数は下位15人の真ん中、下から8番目6~8回→ウ×


大問3(確率&整数)

(1)①
全体の取り出し方は、3×3=9通り
A>Bとなるのは、(2、1
)(3、1)(3、2)の3通り。
確率は3/9=1/3

@別解@
ルール(ア)はAの玉を戻すから、数が等しい”あいこ”が起こる。
じゃんけんと同様で、勝ちか負けかあいこが同じ確率で起こる→1/3


前問より、ルール(ア)でAが景品をもらえない確率は1-1/3=2/3
ルール(イ)でAが景品をもらえない確率を計算する。

全体は、3×2=6通り
A<Bとなるのは、(1、2)(1、3)(2、3)の3通り。
確率は3/6=1/2
2/3>1/2だから、ルール(ア)の方がAが景品をもらえない確率が大きい。
ルール…ア、確率…2/3

@余談@
ルール(イ)はあいこが起こらないので、結果は勝ちか負けの1/2。
あいこでは景品をもらえないため、あいこの可能性を含むルール(ア)の方がもらえにくい。

(2)①
「常に同じになる」とあるので、左上の4マスで試せば良い。
a=1、b=2、c=8、d=9
ad-bc
=1×9-2×8
=-7


答案では理由も説明する。
nは1段に並べる整数の個数→1個下の数は+nになる

b、c、dをa、nで表すと、
b=a+1、c=a+n、d=a+n+1
ad-bc
=a(a+n+1)-(a+1)(a+n)
=a2+an+a-a2-an-a-n
=-n

大問4(方程式)

4人グループをx組、5人グループをy組とする。
生徒の合計で等式。
4x+5y=200 …①

配ったゴミ袋の数で等式。
生徒1人に1枚ずつ配るので200枚は必ず配る。
これにグループごとの予備の枚数を加える。
200+2x+3y=314
2x+3y=114 …②
①、②の連立を解くと、x=15、y=28
4人グループ…15組、5人グループ…28組

大問5(平面図形)

(1)
△EDO∽△EBDの証明。

共通角(×)、AC//DOの錯角と弧ADに対する円周角(
2角相等で∽。

(2)

△EDO∽△ECAの相似比は9:7。
△EDO∽△EBDの相似比を求めるには対応する辺の比が欲しいが、
なかなか出てこない…(´д`)
面積比から攻めてみる

B側の情報を得るために、円の半径を使う
OB=OA=16
△EDO:△EBD=EO:EB
:(16)=⑨:㉕
よって、相似比は△EDO:△EBD=3:5


大問6(関数)

(1)
y=1/x、y=xにx=2を代入すると、
Bのy座標は1/2、Cのy座標は2。
BC=2-1/2=
3/2

(2)

四角形ADBCが平行四辺形になるとき、対辺が等しくなる
AD=CB=6
BとCのy座標をaで表すと上図になる。
CB=2a-a/2=3/2a=6
a=4

(3)

a=1のときの四角形ADBCの面積を求める。
(1)よりBC=3/2、Aのx座標は1/6なので、
(6+3/2)×(2-1/6)÷2=55/8

計算がやや面倒だが(´Д`)、四角形ADBCの面積をaで表す。
BC=3/2a、高さは2-a/6、面積は55/8になるから、
1/2(6+3/2a)(2-a/6)
=1/2(12-a+3a-a2/4)
-a2/8+a+6=55/8 ←両辺を8倍して整理

2-8a+7
=(a-1)(a-7)=0
0<a<12なので、a=7

@余談@
a=4のとき、四角形ADBCは平行四辺形であった。
-a2/8+a+6にa=4を代入すると面積は8である。

他のaを計算してみると、
a=3、5は63/8で等積。
a=2、6は15/2で等積。
a=1、7は55/8で等積であった・・。
0<a<12でa=0だとグラフが無くなってしまうが、
a=0、8では値が6で等しくなり、
a=-1、9では値が39/8で等しくなる…。
すなわち、平均が4(和が8)となる組み合わせで等積になる

試しに、-a2/8+a+6のaを(8-a)に置き換えてみると、
-(8-a)2/8+(8-a)+6
=-a2/8+a+6…と同じ値が出てくる|-`)。oO(ホワーイ?)

この理由なのですが、高校で習う2次関数を使います。
先ほどのaを変数xに置き換え、四角形ADBCの面積をyとし、
xの値を変えていくと、四角形ADBCの面積がどのように変化するかをグラフで表します。

y=-1/8x2+x+6
=-1/8(x2-8x-48)
=-1/8(x+4)(x-12)=0
x=-4、12のとき、面積yが0になる。
グラフはx軸と(-4、0)(12、0)で交わる
問題文で『0<a<12』とあるのは、a=12で面積が0になるからです。

放物線は左右対称で、対称軸をといいます。
a<0から上に凸のグラフ、軸の方程式は-4と12の真ん中のx=4
代入するとy=8だから、
頂点の座標は(4、8)
つまり、x=4のとき、四角形ADBCの面積は8で最大になります
そして、対称性から頂点から等距離にあるx座標の組み合わせは、
yの値が等しいので面積が等しいことになります。
(たとえば、x=3.9と4.1をあてはめると、いずれも面積は7.99875で等積になる)

ちなみに、頂点の座標は平方完成でも求めることができます。
y=a(x-p)2+qの標準形に変形すると、頂点の座標は(p、q)
y=-1/8x2+x+6
=-1/8(x2-8x)+6
=-1/8(x-4)2+8 →頂点(4、8)

大問7(空間図形)

(1)

正面からみると、円錐は二等辺三角形
三平方の定理より、円錐の母線は4cm。

(2)

最短距離なので、展開図を作成する。
側面の扇形の中心角は、360×半径/母線=360×1/4=90°
ヒモを展開図に描くと上図のII’になる。
△OII’は直角二等辺三角形で辺の比は1:1:√2だから、
II’=4√2cm

(3)

四角錘P―ABCDの高さが知りたい。まずはPの位置を確認する。
四角錘P―ABCDの体積が最小となる⇒Pは面ABCDに最も近い場所
前問の展開図がヒントになる
立体図でPは面EFGH上にあるIから最も遠くにあり、展開図でいえばPはII’の中点である
直角三角形QIPより、QP=4×1/√2=2√2cm

Pから面ABCDに垂線をひき、足をRとする。
PRが求めるべき四角錘の高さにあたる。
正面から見た図で△QPR∽△QGCより、RP=√15×2√2/4=√30/2cm
よって、四角錘P―ABCDの体積は、2×2×√30/2÷3=
2√30/3cm3


6(3)と7(3)は時間を要する。
高得点を狙うには時間配分に注意されたい。
大問1
ここだけで全体の5分の1にあたる配点。オール死守。
大問2
(5)箱ひげ図も判断しやすかった。
ここもすべて取っておきたい。
大問3
(1)じゃんけんに置き換えると捉えやすかった。
(2)①で試行して②で証明する。
nをどう使うか。4つの整数の下段でnを用いる。
大問4
練習問題に良さげ。
袋の枚数は6x+8y=314でも解けるが、
〔1人ずつに配る200枚〕と〔グループごとの予備の袋〕に分けると少し楽。
大問5
(2)円が出てきたら半径を見る癖をつけたい。
大問6
(2)AD=6は固定。CBの長さをaで表す。
(3)やり方は文字に置き換えて方程式を立てるという高校受験の王道だが、
処理がやや複雑で時間を要する。後回しでも良い。
大問7
(2)円錐の側面積である扇形の中心角や面積はすばやく出せるようにしたい。
(3)まずはPの位置をおさえること!
立体図からIから最も遠い場所→扇形の展開図でIから遠いのはQの真下。
立体の立面図から相似で高さを算出する。
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2023年度 長崎県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
3+2×(-3)2
=3+2×9
=21

(2)
2(x+3y)-(x-2y)
=2x+6y-x+2y
=x+8y

(3)
(√2+1)/3-1/√2
=(√2+1)/3-√2/2
={2(√2+1)-3√2}/6
=(2-√2)/6

(4)
2+5x-6
=(x+6)(x-1)

(5)
2x2+3x-4=0
解の公式を適用して、x=(-3±√41)/4

(6)
y=-2x+1について、
x=-1のとき、最大値y=3
x=2のとき、最小値y=-3
-3≦y≦3

(7)
2023=7×17×17と素因数分解が提供されている。
2023を割り切れる自然数⇒2023の約数
素因数から2023の約数は【1、7、17、7×17、17×17、7×17×17】
2023の次に大きいのは、17×17=
289

(8)

直径に対する円周角→∠DCB=90°
弧BCの円周角→∠BDC=47°
△BCDの内角で、x=180-(47+90)=43°

(9)
回転体は半径3cmの半球。
【円の体積V=4/3πr3
4/3π×33÷2=18πcm3

(10)

3点を通る円の中心Oの作図。
AB、BC、CA、いずれか2本の垂直二等分線の交点がO。

大問2(小問集合2)

問1(1)
12個の中央値は6番目と7番目の平均。
14と14の平均→14冊

(2)
①第1四分位数は下位6個の真ん中、下から3番目と4番目の平均で11.5冊。×
②最頻値(モード)は最もあらわれている値で14冊と17冊。×
③四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数=17-11.5=5.5冊〇 
④(9+10+11+12+13+14+14+16+17+17+20+21)÷12
=174÷12=14.5冊×

(3)
最大値21冊→①×
中央値14冊→②×
第1四分位数11.5冊→③×

問2(1)
4個中1個だから、確率は1/4。

(2)
1回目で4以外を出す→確率は3/4
2回目で残った3個から4を出す→確率は1/3
3/4×1/3=1/4

(3)
ルールを確認する。
①1回目<2回目→2回目を4にする。
②1回目>2回目→3回目を4にする。

1回目と2回目の取り出し方のみ考える
全体は4×4=16通り
①(1回目、2回目)=(1、4)(2、4)(3、4)
最初の2回は4を出さない。3回目で4を出す予定にする
(1回目、2回目)=(2、1)(3、1)(3、2)
合計6通り。
確率は6/16=3/8

問3
「nを整数とし、2つの続いた偶数のうち、小さいほうの偶数を2nとすると、」
大きいほうの偶数は2n+2となる。
2n(2n+1)+1
=4n2+2n+1
=(2n+1)2
nは整数だから、2n+1は奇数。
よって、題意は示された。


大問3(関数)

問1
y=1/4x2にx=-4を代入。
y=1/4×(-4)2=4

問2
同様にB座標を出すと(2、1)
A(-4、4)→B(2、1)
右に6、下に3だから、傾きは-3/6=-1/2

問3(1)

四角形ABCDは平行四辺形。
x座標だけを考える。
Aから右に4でD。同様にBから右に4でC
Cのx座標は2+4=6

(2)

y=1/4x2にx=6を代入→C(6、9)
y座標だけを考える。
Bから3上がってA。Cから3上がってD。
Dのy座標は、9+3=12

(3)

△ADE=△BCE
平行四辺形の対辺は等しいので、AD=BC
面積が等しく、底辺も等しい→高さも等しい

Eを通るADに平行な線をひき、ABとの交点をFとすると、
2つの三角形は高さが等しいから、3直線は等間隔に並ぶ→
FはABの中点

F座標はA座標とB座標の平均で、F(-1、5/2)
A(-4、4)→D(0、12)
右に4、上に8だから、ADの傾きは2。
平行からFEの傾きも2。
Fから右に1、上に2移動して、Eのy座標は5/2+2=9/2

大問4(空間図形)

問1
2×2÷2×4÷3=8/3cm3

問2

△EPQで三平方→直角二等辺の1:1:√2より、PQ=2√2cm
△BPFで三平方→BP=2√5cm
PQ=2√2cm BP=2√5cm

問3(1)

四角形BDQPは等脚台形で左右対称。
RS=PQ=2√2cm
BR=(4√2-2√2)÷2=√2cm

(2)
△BRPで三平方→台形の高さRP=3√2cm
(4√2+2√2)×3√2÷2=18cm2

(3)

AE、BP、DQを延長した交点をIとする。
三角錐I―EPQ∽三角錐I―ABDの相似比は、EP:AB=1:2
体積比は相似比の3乗、三角錐I―EPQ:三角錐I―ABD=①:⑧
求めるべき角錘台の体積は⑦に相当する

よくみると、三角錐I―EPQ(①)は問1で求めた三角錘A―EPQと合同なので、
8/3×⑦=56/3cm3

問4

先ほどの立体の体積⑦から三角錘A―EPQ(①)を引くと、
四角錘A―BDQPの体積は⑥である
体積は、8/3×⑥=16cm3
底面積の四角形BDQPは問3(2)より18cm2
高さATの長さは、16×3÷18=8/3cm


大問5(平面図形)

問1
長方形の対辺は等しい。EC=3cm
BE=6-3=3cm

△ABEの面積は、3×4÷2=6cm2

問2
△DAF≡△BEFの証明。

DA=BE=3cm

AD//BCの錯角で、∠ADF=∠EBF(
∠DAF=∠BEF=90°
1辺と両端角が等しいから合同。

ア…錯角、イ…1辺と両端角

問3(1)

PQを折り目(対称の軸)としてBとDは対応する点。
BD⊥PQだから∠PFB=90°
△PBFの内角より∠BPF<90°なので、∠APF>90°
△FPAは直角三角形ではなく、△DAFと相似ではない。

∠ADF=、∠DFA=×とする。
∠DFQ=90°、
×=90°から∠EFQ=
2角相等で△DAF∽△FEQ


前問の△DAF≡△BEFより、AF=FE=4÷2=2cm
BE:EA=3:4、FA:AD=2:3
2辺の比が異なるので、△AEBと△DAFは相似ではない。

また、線対称から∠PBF=∠PDF<∠FDA
△DAFと△BFPは2角が異なり、相似ではない。

(2)

△DAF∽△FEQより、DA:AF=FE:EQ=3:2
EQ=2×2/3=4/3cm

(3)

問2の△DAF≡△BEFから、AF=EF
DAとQPを延長、交点をRとする。
1辺と両端角が等しく△ARF≡△EQF→AR=EQ=4/3cm

△ARP∽△BQPより、AP:PB=AR:BQ=4/3:13/4=
4:13

大問6(規則)

問1
【1、4、8、12、16…】
2番目以降は4個ずつ増えているので、6段目は20個(ア)

@余談@

なぜ4個ずつ増えるのか、魔方陣で考えるといい。
1つの固まりが1個ずつ増えるので、計4個ずつ増えていく。

6段目までの和は、1+4+8+12+16+20=61個(イ)

1つ前の奇数段目を正方形の中にいれると、ちょうど正方形が埋まる。
1段目までの和―1個
3段目までの和―3×3=9個
5段目までの和―5×5=25個
39段目までの和は39の平方数(ウ)

偶数段目も同様にできるという。
試しに計算してみると、
2段目までの和―2×2=4個
4段目までの和―4×4=16個(=4+12)
6段目までの和―6×6=36個(=4+12+20)
40段目までの総和
39段目までの奇数段目の和+40段目までの偶数段目の和
=39×39+40×40=3121個(エ)
ア…20、イ…61、ウ…39、エ…3121

問2

真ん中の穴を埋められる組み合わせを見つける。
オ…1段目と4段目、カ…2段目と5段目、キ…3段目と6段目

問3

正三角形の1辺は7個。図は7段目までを示している。
同じ正三角形を点対称に並べて平行四辺形をつくる。
これを÷2にすればいい。
7×(7+1)÷2
ク…7、ケ…2

問4

問4で3組に分けると、それぞれの正三角形が埋まった。
40を3で割ったときの余りでグループ分けする。
終わり数は余り+1のグループが40、余り+2のグループが38、余り0のグループが39。
1辺が38、39、40である3つの正三角形の合計が答えになる。
求め方は問3の解法に倣う。
38×39÷2+39×40÷2+40×41÷2
=(38×39+39×40+40×41)÷2
={1482+(39+41)×40}÷2
=(1482+3200)÷2
=2341個
コ…2341

@別解@
【1、3、6、9、12…】
最初が1で、2番目から3の倍数が続く。
最後の数は39番目の3の倍数である。
1+3×(1+2+3…+39)
=1+3×{(1+39)×39÷2}
=2341個


小問数が多く、前半は手堅く稼いでおきたい。
後半の誘導にもなっているので
大問1
(6)右下の一次関数だから、x=-1がyの最大値。
(7)2023の約数のうち、2023の1つ下が答えになる。
(8)直径BDに対する円周角を見る。
大問2
問1:データの活用は基礎レベルで判断しやすかった。
問2(3)まずルールを把握する。
3回取り出すが、1回目と2回目の取り出し方で決着できる。
「3回目で4を出す」は「1回目と2回目で4を出さない」でクリア。
大問3
問3(1)(2)この操作は公立入試の世界で見かける。
(3)ADとBCの真ん中の直線上にEがあると見抜けるか。
大問4
問4:ここも前の小問が誘導になっている。
体積は体積比から計算すると求めやすい。
大問5
問3(1)なぜ他の三角形は△DAFと相似ではないのか、確認しておきたい。
(2)問2の合同からFはAEの中点。
(3)平面のラス問では取りやすい部類にはいる。
AP、PBを1辺とする三角形の相似を見つける。
大問6
まとまった問題文ゆえ、時間配分をミスると完走が難しくなる。
問1ウエ:図をよく観察すること。
問2:図3の並びがありがたい。
問3:クは正三角形の1辺の個数。
等差数列の和の公式は小学生でも理解できるものだが、
公立高校入試では禁忌なのか、小問として出題された。
問4:誘導にのらない方が早い(;^ω^)
記述問題ではないので良いかと。
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2023年度 三重県公立高校入試過去問・後期選抜【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
4-(-3)
=4+3
=7

(2)
6(2x-5y)
12x-30y

(3)
5/√5+√20
=√5+2√5
=3√5

(4)
2-5x+4
=(x-1)(x-4)

(5)
3x2-7x+1=0
解の公式を用いて、x=(7±√37)/6

(6)

√(40n)=2√(10n)
√(10n)の根号を外すには、nに
√10を含ませる。
また、分母の3を約分する必要があるので、かけあわせるべき最小数は3√10=√90。
n=90

(7)
y=axに(x、y)=(10、-2)を代入。
-2=10a
a=-1/5

y=-1/5xにy=2/3を代入。
2/3=-1/5x
x=-10/3

(8)

平行線をひき、錯角を連鎖していく。
131-93=38°
110-38=72°
x=180-72=108°

(9)

ネジレの位置→延長しても交わらない、かつ平行でもない。
BCとCA、AD、BEは、AかBを含むのでABと交わる。×
DEはABと平行。
残りのCF、EF、FDがネジレ。
オ・キ・ク

(10)
最頻値(モード)…最もあらわれている値。
4~6秒の階級値である5秒。

(11)

①『直線ℓと点Aで接する円』→Aを通る直線ℓに対する垂線。
②『2点B、Cから等距離にある円』→BCの垂直二等分線。
③うえの交点を中心とする円。半径は中心とAとの長さ。

大問2(データの活用)

(1)
第1四分位数は箱の左端。
6点

(2)
Bの最小値3、第1四分位数13、中央値16、第3四分位数17、最大値19。
最小値がまだ登場していないので、m=3
昇順に並べ替えると、【3、12、14、15、17、17、19】と未知数n。
8人の第1四分位数は下から2番目と3番目の平均13。
中央値は4番目と5番目の平均16。
第3四分位数は上から2番目と3番目の平均17。
・・どれも合っている(‘Д’)
下の方にnを
いれると1個ずつズレてしまうので上の方に入れる
n=17であれば、第3四分位数も崩れない。
m=3、n=17

(3)

10人の第1四分位数は3番目、中央値は5番目と6番目の平均、第3四分位数は8番目。
5番目の6番目の平均が6となる組み合わせは、(6、6)(5、7)(4、8)。
しかし、(3、9)だと5番目の値が4未満となり、3番目の第1四分位数と合わなくなる。
よって、6番目の値は6か7か8。

(4)①
範囲=最大値-最小値
Aは18-2=16点、Bは19-3=16点で同じ。〇


Cの上から3番目は14点であるが、AとBは不明。
(Aの第3四分位数14点は上から2番目と3番目の平均)


大問3(方程式)

(1)
120人は小中学生の合計。
x+y=120
30人は100m走の参加者の合計。
35/100x+20/100y=30
①…x+y、
②…35/100x+20/100y

(2)
先の連立を解く。
x+y=120 …①
35/100x+20/100y=30 ←100倍
35x+20y=3000 ←÷5
7x+4y=600 …②

②-①×4で、3x=120
x=40
①に代入、y=80
小学生…40人、中学生…80人

大問4(確率)

(1)
【のぞみ】グ、グ、チョ、パ
【けいた】グ、チョ、チョ、パ
全体の取り出し方は、4×4=16通り
けいたが勝つパターンは、グが1通り、チョが1×2=2通り、パが2通り。
計5通りだから、確率は5/16。

(2)
【のぞみ】グ、グ、チョ、パ
【けんた】グ、チョ、チョ、チョ
のぞみが勝つパターンは、グが3×2=6通り、チョが0通り、パーが1通り、計7通り。
けんたが勝つパターンは、グが1通り、チョが1×3=3通り、計4通り。
のぞみの勝ちがけんたより3通り多い。

けんたにパを1枚追加するたびに、勝つパターンはのぞみが+1通り、けんたが+2通り
→けんたの勝ちがのぞみより1通り多くなる。
3÷1=3枚のパーを追加すると勝ちパターンが同じ⇒勝つ確率が等しくなる。
a=3

大問5(関数)

(1)
y=1/4x2にx=2を代入→y=1
B(2、1)

(2)
同様にA座標を求めると、A(-6、9)
A(-6,9)→B(2、1)
右に8、下に8だから、傾きは-1。
Bから左に2、上に2移動して、切片は1+2=3
y=-x+3
a=-1、b=3

(3)

y=1/4x2にx=4を代入→C(4、4)だからD(0、4)
ABの切片が3なので、△ABDは底辺が1、高さの合計が8の三角形
1×8÷2=4cm2

(4)

CD=CE=4
Cから4離れる直線上のEは2ヶ所ある。
グラフ上の点座標を求める問題は、2つのグラフの交点から方程式を立てるのが定石だが、
Eは放物線上の点ではない(´・_・`)
C座標から青い四角形は1辺4の正方形である。これをうまく使えないか。

対角線OCに補助線。
OC(y=x)とy=-x+3は傾きの積が-1だから直交する
交点をFとすると
Fのx座標は、
x=-x+3
x=3/2

OCは正方形の対角線で4√2。
C、Fの真下の点をそれぞれG、Hとする。
△FOH∽△COGから、OF:OC=3/2:4=③:⑧
FC=4√2×⑤/⑧=5√2/2

△CEFで三平方→EF=√14/2
傾き-1から1/√2倍すると、EとFのx座標の差は√7/2である。
△CEE’は二等辺三角形でCFを対称の軸として線対称。
EF=E’Fより、EとE’のx座標はFから±√7/2なので、
x=(3±√7)/2

@別解@

E、E’はCを中心とする半径4の円周上にある。

高校数学の基本問題より。
高校2年生で扱う内容ですが、円の方程式というものがあります。
原点を中心とする半径rの円を式で表すと、x2+y2=r2
中心が(a、b)にあると、(x-a)2+(y-b)2=r2が成り立ちます。

中心C(4、4)、半径r=4の円の方程式は、
(x-4)2+(y-4)2=42
円と直線との共有点は、2直線の交点が方程式の解で求まるのと同じです。
y=-x+3を代入して、
(x-4)2+(-x+3-4)2=16
(x-4)2+(-x-1)2=16 ←(-x-1)2=-(x+1)・-(x+1)=(x+1)2
(x-4)2
+(x+1)2-16=0
2x2-6x+1=0
解の公式を適用して、x=(3±√7)/2


大問6(平面図形)

(1)
△ABD∽△DAFの証明。


AB//FGの錯角(×)。
仮定の角の二等分線と弧CEに対する円周角()。
2角相等で∽。

(2)①

先の∽を用いる。
△ABD∽△DAFより、AB:AD=DA:DF=2:1
AB=6×2=12cm



角の二等分線の定理から、BA:BC=AD:DC=6:5
AD=6cmなので、DC=5cm

△ABC∽△DGCより、AB:DG=AC:DC=⑪:⑤
DG=12×⑤/⑪=
60/11cm

大問7(空間図形)

(1)
円錐の高さは、三平方を用いて√(122-42)=8√2cm
体積は、4×4×π×8√2÷3=128√2/3πcm3

(2)

最短距離の問題なので展開図を作成。
側面積の扇形の中心角は、360×半径/母線=360×4/12=120°

BAの延長とMを通る垂線の交点をHとする。
△AMHは有名三角形で辺の比は1:2:√3→AH=3cm、MH=3√3cm
△BMHで三平方→BM=6√7cm


大問が5個から7個に増加した。
大問1
(6)√40=2√10に変換。√10を整数にする+分母3の約分から3√10=√90をかける。
nは根号の中の値だから90となる。
(9)8択もあるのはAB以外のすべての直線。素直にネジレを選べないい。
大問2
(2)(4)より難しい。まず、mを素早く確定したい。
7個の段階で値が整っているので、影響しないような場所にnを挿入する。
(3)中央値に近い第1四分位数に配慮する。
大問3
ここは取ろう。
大問4
(2)今年の他県でも類題がいくつか出ていた。
大問5
(4)おそらく最も正答率が悪そうな問題。
Cから半径4の円を想像すると、直線との交点は2点ある。
CEを斜辺とする三平方。解説では対称性を利用した。
大問6
(2)②三重は角の二等分線の定理を知っておいた方が良いかも。
大問7
(2)わりとよくみかける形式である

図形分野は比較的易しかった。
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2023年度 京都府公立高校入試過去問・中期【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
-62+4÷(-2/3)
=-36-6
=-42

(2)
4ab2÷6a2b×3ab
=2b2

(3)
√48-3√2×√24
=√48-3√48
=-2√48
-8√3

(4)
4x+3y=-7 …①
3x+4y=-14 …②

係数が…(;`ω´)
①+②をすると、7x+7y=-21
x+y=-3 …③
①-②で、x-y=7 …④
③と④を解くと、x=2、y=-5

(5)
xy=(√5+3)(√5-3)=(√5)2-32=-4
y-x=(√5-3)-(√5+3)=-6

xy2-x2
=xy(y-x)
=-4×(-6)
=24

(6)
y=16/x
→xy=16
16の約数は5個。
反比例は双曲線、xは負の数を含むから10個。
*原点Oは通らない。

(7)

同色の部分が平行。
四角形DBCGと四角形FBCEは2組の対辺が平行だから平行四辺形
BC=DG=FE=10cm
△AFG∽△ABCの辺の比は②:⑤なので、FG=10×②/⑤=4cm
DE=10+10-4=16cm

@別解@

DBとECを延長した交点をHとする。
平行四辺形FBCEの対辺で、EC=③
平行四辺形ABHCの対辺で、CH=⑤
△BHC∽△DHEより、DE=10×⑧/⑤=16cm

(8)
3年生の箱ひげ図を描く。
データを昇順にすると、【24、28、28、31、33、35、39、40】

最小値は24回、最大値は31回。
8人の中央値(第2四分位数)は4番目と5番目の平均で32回。
第1四分位数は下位4つのうち、下から2番目と3番目の平均で28回。
第3四分位数は上位4つのうち、上から2番目と3番目の平均で37回。

大問2(空間図形)

(1)
円柱+円錐
=5×5×π×3+4×4×π×3÷3
=91πcm3

(2)

円錐を抜かした円柱だけの表面積は、
5×5×π×2+5×2×π×3=80πcm2
円錐をくっつけると赤い部分(半径4cmの円)が減り、青い部分(円錐の側面積)が増加する
円錐の母線は3:4:5の直角三角形から5cm。
円錐の側面積は【母線×半径×π】で計算する。
80π-4×4×π+5×4×π=84πcm2

大問3(確率)

(1)
全体の取り出し方は、3×3=9通り
X>Yとなる組み合わせを調べる。
X=9のときは2通り、X=12のときは3通りで合計5通り。
確率は5/9。

(2)

Yの1枚がわからない状態でX>Yとなる組み合わせは、
(X、Y)=(4、3)(9、3~6)(12、3~11)の6通り。
2枚の取り出し方は4×4=16通りだから、
X>Yとなる組み合わせが、16÷2=8通りあればいい
あと2通り必要だから、X=9、12の?は〇でなければならない。
(X=4の?は×)
Yの残りの1枚は4~9のあいだであるイ・ウ・エ。

大問4(数量変化)

(1)

x=1のとき、PとQは毎秒1cmだから、AP=DQ=1cm
y=1×1÷2=1/2

0≦x≦6では、△AQPの底辺AP、高さDQがともに伸びるので、
△AQPの面積はy=ax2で増加する。
6≦x≦12では面積が変わらない。12≦x≦18では高さDQの減少で面積は一次関数で減少。
x=18でy=0となる。
y=1/2、ウ

(2)

△RQDの面積の変化を追う。

0≦x≦6、底辺DQが増加するので面積は比例で増加。x=6のとき、y=6×3÷2=9
6≦x≦12、底辺RDは一定で高さが減少。面積は一次関数で減少。x=12のとき、y=0
12≦x≦18、高さが増加⇒面積は一次関数で増加。x=18のとき、y=9

グラフに載せる。
(交点のx座標が答えだが、y座標の高さがズレてしまった・・)

前問で放物線はx=1のときy=1/2だった→y=1/2x2
(6、9)を通る比例→y=3/2x
1/2x2=3/2x
2=3x
2-3x
=x(x-3)=0
0<x≦18だから、x=3

後半は紫の三角形で相似を用いる。
相似比は2:1で、x座標の差の6がにあたるから、
交点のx座標は、12+6×/=16
x=3、16


大問5(平面図形)

(1)

直径BEに対する円周角から、∠BAE=90°
△ABEは1:2:√3の直角三角形→直径BE=8cm

(2)

直径ACに対する円周角より、∠ADC=90°
△ACDは直角二等辺三角形で、∠CAD=45°

半径OA=OBから△ABOは二等辺→∠BAO=30°
△BFAに着目すると、残りの角である∠BFA=180-(30+30+45)=75°
∠BAF=∠BFAより、△BFAは底角が等しいから二等辺三角形
BA=BF=4√3cm
EF=BE-BF=8-4√3cm

(3)

△OBGは半径BO=4cm、∠BOG=30+30=60°
弧ADの円周角から、∠ABD=∠ACD=45°なので、
∠OBG=45-30=15°…
直接、面積を出そうとしても求めづらい(*_*)

AE=4cmから△EAFと△OBGの関係性に着目すると、
AE=BO=4cm、弧DEの円周角より∠EAF=∠OBG、
∠AEF=∠BOG=60°から、1辺両端角相等で△EAF≡△OBG
△EAFの面積を求めればいい

前問でEFを出しているので、高さがわかればいい。
対頂角で∠AOE=60°
残りの角も60°なので、△EAOは1辺4cmの正三角形
三平方より高さは2√3cm。
△EAF(△OBG)の面積は、(8-4√3)×2√3÷2=8√3-12cm2

大問6(規則)

(1)
タイルAは平方数で増えていく。
5番目は、5×5=25枚

(2)

タイルBは格子状に並ぶので、格子で捉える。
1番目は1枚の縦横が2本ずつ、1×(2×2)=4枚
2番目は2枚の縦横が3本ずつ、2×(3×2)=12枚
3番目は3枚
の縦横が4本ずつ、3×(4×2)=24枚
12番目は12本の縦横が13本ずつ、12×(13×2)=312枚

(3)
n番目のタイルAはn2枚。
タイルBはn×(n+1)×2=2n2+2n枚

(2n2+2n)-n2
=n2+2n=360
2+2n-360  
(-360だから+と-の組み合わせ。和が2と少ない。
360の約数のうち、積が360となり差が最も少ない2数を探す)
=(n+20)(n-18)=0
n>0だから、n=18


大問1
(3)48はあとで処理すると良いかも。
(4)係数の差が1で、xとyの和差が出せる。
もちろん、最小公倍数12で統一しても良い。
(6)負の数を含む、積が16となる組み合わせ。
(7)難しくはないが、個人的に好きな問題でした。
大問2
(2)最初は円柱だけを考え、下に円錐をつけたときの表面積の増減を調べる。
大問3
(2)4枚ずつだから全体は16通り→8通りずつに分ければ勝率が同じ。
残り1枚が不明の状態でX>Yとなる場合を数える。
2個不足→9と12は勝たせる→4と9のあいだ。
大問4
(2)△RQDの変化を調べなければならず、時間がとられる。
大問5
(2)有名三角形が2種類でてくるので、角度を調査する。
△ABFは頂角30°の二等辺三角形。(1)の直径が使える。
(3)ここも前問の利用に思いを寄せたい。
大問6
等差数列の和の出題では
なかった。
(2)縦横で考えるのが良い。
(3)前問ができれば取りやすい。
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2023年度 山梨県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)
6-(-7)
=6+7
=13

(2)
14÷(-7/2)
=14×(-2/7)
=-4

(3)
-22+(-5)2
=-4+25
=21

(4)
√8-3√6×√3
=2√2-9√2
-7√2

(5)
9x2y×4x÷(-8xy)
=-
9/2x2

(6)
x(3x+4)-3(x2+9)
=3x2+4x-3x2-27
=4x-27

大問2(小問集合)

(1)
2-9x-36
=(x+3)(x-12
)=0
x=-3、12

(2)

xは弧CDに対する円周角。
BDに補助線、∠CBDを求めればいい
直径に対する円周角から∠ACB=90
∠CBA=180-(90+57)=33°
弧AC=弧ADより、∠CBA=∠DBA(
x=33×2=66°

(3)
反比例の比例定数はxとyの積。
4×(-5)=-20

(4)

直線ℓに最も近い、円Oの円周上にある点の作図。
Oを通る直線ℓの垂線を作図し、直線ℓ側の円周との交点が答え。

(5)①
四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数
130-80=50冊


箱ひげ図を描く。

最小値20冊、最大値180冊。
15人の中央値(第2四分位数)は8番目の130冊。
第1四分位数は下位7人の真ん中、下から4番目の100冊。
第3四分位数は上位7人の真ん中、上から4番目の160冊。


大問3(方程式&確率)

(1)①
イスがx個。
通路沿いの両端にイスがあり、(x-1)はイスとイスの間の個数


答案では説明も記述する。
0.5x+1.5(x-1)+2yにx=12、y=3.5を代入する。
0.5×12+1.5(12-1)+2×3.5
=6+16.5+7
=29.5>29
29mを超えるので、できない。

(2)①
6人から2人選ぶ→62=15通り


Aが選ばれない確率は6人中4人。
続けて、Bが選ばれない確率は残りの5人中3人。
4/6×3/5=2/5

大問4(数量変化)

(1)
5分後の姉と弟の道のりの差を説明する。
x=5のときの姉(グラフ①)と弟(グラフ②)のy座標の差を求める。

(2)
②の0≦x≦10は(10、800)を通る比例。
y=80x

(3)

姉は自宅から花屋までの片道2400mを10分で移動している。
もし、花屋からとんぼ返りしたら往復で20分
実際に自宅へ到着したのは35分後だから、2つの店で合計15分間滞在していた

花屋~ケーキ屋の移動時間は、10×960/2400=4分
花屋の出発時刻は10:26の4分前である10:22。
花屋の滞在時間は、10:22-10:10=12分間
ケーキ屋の滞在時間は、15-12=3分間
花屋…12分間、ケーキ屋…3分間

(4)
中学受験の戦法を使います。

最初の10分で姉は弟の3倍の距離を移動している
速さの比は、姉:弟=3:1
距離一定の場合、時間の比は逆比で姉:弟=

ラスト5分を拾い上げる。
姉が弟に追いついた地点から自宅まで、姉はの時間、弟はの時間がかかる
=5分だから、弟の時間は5×/=15/2分
弟の速さは分速80mなので、80×15/2=600m


大問5(関数&平面図形)

(1)①
y=1/4x2にそれぞれのx座標を代入。
A(-6、9)→B(4、4)
右に10、下に5だから、傾きは-5/10=-1/2
Bから右に4、上に2移動して、切片は4+2=6
y=-1/2x+6



各座標をaで表すと、A(-6、36a)B(4、16a)
ABの切片をCとする。
x座標の差より、AC:CB=6:4=
Cのy座標は、16a+(36a-16a)×②/⑤=24a
(内分点の公式を知っている人は、(36a×+16a×)/()=24a)
△OABは底辺10、高さ24aの三角形だから、
10×24a÷2=20
a=1/6

(2)①
△ABD∽△BCDの証明。

∠ADB=∠BDC=90°
∠ABD()=90°-∠DBC(×
△BDCの内角で、∠BCD=180-(90+×)=90-×=
2角相等で∽。



∠ABE()+∠EBC(×)=90°
仮定より、∠EBC=∠DBE(×
直角三角形DBEの内角より、∠DEB+∠DBE(×)=90°だから、
∠DEB(∠AEB)=
△ABEは2つの角が等しい→二等辺三角形
AB=AE
X…エ、Y…カ



AB:BC=3:4から、△ABCの辺の比は3:4:5
△ABC∽△ADBより、△ADBも同様に3:4:5。
AD=3×/=9/5cm
BD=3×/=12/5cm

前問より、AE=AB=3cmだから、DE=3-9/5=6/5cm
△BEDで三平方。BD:DE=なので、BE=〇√5
BE=6/5×〇√5
6√5/5cm


大問6(空間図形)

(1)
△ABCは辺の比が1:1:√2の直角二等辺三角形。
対角線AC=8√2cm

(2)①

ACで区切る。
△DAC:△QAC=DM:QM=
対称性から、△BAC:△PAC=で、
全体で合わせると、四角形APCQは正方形ABCDの1/4
 
は同じ面積。
四角形LIJKは正方形EFGHの1/2
正方形ABCDと正方形EFGHは同じ面積だから、
四角形APCQ:四角形LIJK=1/4:1/2=1:2



ABの中点をNとする。
△ANMは辺の比が1:1:√2の直角二等辺→AM=4√2cm
△AINで三平方→辺の比は1:2:√5で、
AI=4√5cm
また、△AINと△MINは共通辺NI、AN=MN、∠ANI=∠MNI=90°より、
2辺とあいだの角が等しく合同
AI=MIで、△AIMは二等辺三角形。高さを三平方でだすと6√2cm。
△AIMの面積は、4√2×6√2÷2=24cm2

@別解@

三角錘I―ANMはAN:MN:NI=1:1:2、∠ANM=∠ANI=∠MNI=90°
中学受験にでてくる有名錘で、これを展開すると正方形になる
△AIMの面積は、8×8-(4×4÷2+8×4÷2×2)=24cm2



あれこれ試行錯誤してみたのですが、そのまま断頭三角柱で求積するのが良いと思いました。
LIとKJの中点をそれぞれR、Sとする。
四角錘A―PQLI…底面積は△ARM、高さはA、IL、PQの平均。
四角錘C―PQKJ…対称性から、四角錘A―PQLIと等積。
立体PQ―LIJK…底面積は△MRS、高さはPQ、IL、JKの平均。

AM=AC÷2=8√2÷2=4√2cm
PQ=BD÷4=8√2÷4=2√2cm
四角錘A―PQLI×2+立体PQ―LIJK
=4√2×8÷2×(0+4√2+2√2)/3×2+4√2×8÷2×(2√2+4√2+4√2)/3
=128+320/3
704/3cm3


大問1
配点18点。死守
大問2
ここも基本なので取りたい。
(2)先にxを∠CBDに移してしまう。
大問3
(1)①通路をのぞいたら、イスが両端にあることを確認。
-1といえば間の数。
②数値を代入すると、29をオーバーする点を指摘する。
(2)②選ばれない人を選ぶ。
大問4
(3)時間を使い過ぎないようにしたい。
到着時刻から移動時間をさかのぼれば出発時刻がでる。
移動時間の合計から滞在時間の合計が先にでる。
(4)高校受験の王道ではないが…時間の比が速さの逆比を利用する。
大問5
(1)関数は平易だった。
(2)①直角三角形の頻出の∽。
③3:4:5をおさえる。②の利用。
大問6
(2)①このあたりから差がつく。
合同な2つの正方形の中にある四角形の面積比を比較する。
②△AIMがどのような三角形か調べる。3辺の長さを求めてみよう。
③インパクトはあるが、素直に断頭三角柱を使う。
この考えは公立高校入試の世界で見かける。難関校を狙うには知っておきたい。
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