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2020年度 和歌山県公立高校入試問題【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①
-8+5=-3


1+3×(-2/7)
=1-6/7=1/7


2(a+4b)+3(a-2b)
=2a+8b+3a-6b
=5a+2b


√27-6/√3
=3√3-2√3
=√3


(x+1)2+(x-4)(x+2)
=x2+2x+1+x2-2x-8
=2x2-7

(2)
9x2-4x2
=(3x+2y)(3x-2y)

(3)
10-nが平方数となれば根号が外れる。
nが自然数なので、√(10-n)は√1、√4、√9しかない
10-n=1 ➡ n=9
10-n=4 ➡ n=6
10-n=9 ➡ n=1
n=1、6、9

(4)

折り返しで∠ACB=20°
錯角で∠FCB=∠CFD=40°
x=180-40=140°

(5)
花子が和夫より3大きい目を出す
(和、花)=(1、4~6)(2、5~6)(3、6)
計6通り
6/36=1/6

大問2(小問集合2)

(1)
底面の円の半径は3cm
高さは立面図の半分で三平方→√(62-32)=3√3cm
3×3×π×3√3÷3=9√3πcm3

(2)

↑この範囲にあればAB上を通る。
1/4≦a≦3
ア…1/4、イ…3

(3)①
ア:階級の幅は共に2。〇
イ:最頻値(モード)は4月が3冊、5月が7冊。×
ウ:30人の中央値(メジアン)は15番目と16番目の平均。4月が3冊、5月が7冊。〇
エ:4月は8/30(≒0.27)、5月は7/30(≒0.23)。×
オ:4月は25人、5月は13人。×6冊以上を数えても良い。
ア・ウ


階級値で計算する。
(1×3+3×3+5×7+7×10+9×7)÷30
=180÷30=6冊

(4)
連立の題材がおもしろい(*‘ω‘ *)
答案では過程も記述する。

先月の公園清掃ボランティアをx、先月の駅前清掃ボランティアをyとする。
右側の文章から、y-x=30…①
左側の割合を使う。50%増→1.5倍に変換。
1.5x+1.2y=1.3(x+y)…②

②を10倍して整理すると、、
15x+12y=13x+13y
2x=y…③

これを①のyに放り込み。
2x-x=30
x=30
③に放り込んで、y=30×2=60
先月の公園清掃ボランティアは30人、先月の駅前清掃ボランティアは60人。


大問3(規則)

(1)①

↑右側からみるとこんな感じ。
左上だけが3面。左上以外の一番上の辺と一番左の辺が2面。
右下の正方形が1面。
ア…(5-1)×2=8
イ…62=36


(8-1)2=49個



1辺がnの正方形に1を足す。
2n+1個

(2)①
3番目の3×3の正方形では、1+2=3個移動。
4番目の4×4の正方形では、1+2+3=6個移動。
6番目の6×6の正方形では、1~5の総和で15個。


答案では過程も記述する。
x番目の箱の個数は、1辺がx個の正方形だからx2個。
表2より、見えない箱はx-1個。
(箱の個数)-(見えない箱)=(見えている箱)
2-(x-1)=111
2-x-110
=(x-11)(x+10)=0
x>0なので、x=11

大問4(関数)

(1)
変域問題。原点0を通過する点に注意!。
x=-6のとき、最小値y=-9
x=0のとき、最大値y=0
-9≦y≦0

(2)
見落としやすい(´Д`||)

1つはPA=PB。
もう1つはAP=ABとBP=BAだが、こちらは2通りずつある。
計5個。

(3)
y=-1/4x2にx=-2を
放り込んで、C(-2、-1)
CとA(4、-4)を通る直線の式を考える。
C→Aに移動すると右に6、下に3だから、傾きは-3/6=-1/2
Cから左に2、上に1移動してP(-4、0)

(4)

座標を確認。y=ax2にx=-3を代入してD(-3、9a)
四角形PABDをADで分割
△ADPの面積…4×7÷2=14
△ABDの面積…50-14=36


△ABDの高さ…36×2÷6=12
Dのy座標(9a)…12-4=8
9a=8
a=8/9


大問5(平面図形)

(1)

PQ//ABから2つの錯角+3cmの等辺=一辺両端角相等→△PQR≡BOR
OR=QR
QR=3÷2=3/2cm

(2)
円周角定理で、∠BOQ=36×2=72°
3×3×π×72/360=9/5πcm2

(3)①
△RQS∽△RPQの証明。
辺の情報が乏しいので角度攻め。
共通角があるので、もう1つはどちらの角度か。

弧BQの円周角で、∠RPQ()=∠OAQ(
半径から△OAQが二等辺
その底角で∠OAQ()=∠RQS(
2角が等しく∽。



SO//QBで2角が等しい→△ASO∽△AQB
AS:SQ=AO:OB=1:1
相似比(もしくは中点連結定理)からSO:QB=

同様に、平行線から△OSR∽△QBRで、
辺の比からOR:RQ=
OR=3×/=1cm
△ORBで三平方→BR=√10cm

大問1
(4)このレベルの角度は小学校の算数でもでるよ!
(5)花子がどんな目を出せば和夫より上に行けるか。
大問2
(4)変化球のある出題で戸惑いがち。正答率は高くなさげ。
大問3
規則はそんなに複雑ではなかった。
大問4
(2)3個見つけて安心する人が多そう。
(4)BA⊥APでBAとAPの長さが分かってるので、四角形をDAで分割。
大問5
(3)②最後のわりには素直であった。
BRを1辺とする直角三角形は△ORB。
OB=3がわかっているからORを知りたい。
ORを1辺とする三角形は…とゴールから逆算して解法を編み出す。
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2020年度 豊島岡女子学園高校入試問題【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
50分100点満点

大問1(計算)

(1)
(-2/3x2y)3×3x2y÷(-1/3xy22
=-8/27x63×3x2y×9/x24
=-8x6

(2)

*後ろは有理化ではなく、根号で約分しました。

(3)
ax2-3axy-4ay2
=a(x2-3xy-4y2
=a(x+y)(x-4y)

(4)
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
y=1/2x2に代入。
x=1/2のとき、y=1/8
x=3のとき、y=9/2
(9/2-1/8)÷(3-1/2)…①

y= a/xに代入。
x=1/2のときy=2a、x=3のときy=a/3
(a/3-2a)÷(3-1/2)…②

①と②の値(変化の割合)が等しい。
(9/2-1/8)÷(3-1/2)=(a/3-2a)÷(3-1/2)
9/2-1/8=a/3-2a
-5/3a=35/8
a=-21/8

大問2(小問集合)

(1)
2-5x-3=0に解の公式を適用。
x=(5±√37)/2
まず、√37の整数部分を考える。
√36<√37<√49だから、√37の整数部分は6。
5より√37の方が大きいので、『正の解』は(5+√37)/2。
(5+37)/2の整数部分は、(5+6…)÷2=11…÷2=5…
小数部分a=正の解-整数部分=(5+√37)/2-5

a(a+5)
={(5+√37)/2-5}{(5+√37)/2-5+5

={(√37-5)/2}{(√37+5
)/2}
={(√37)2-52}/4=12/4=3

(2)
2m-1≦√n≦2m ←すべて2乗
(2m-1)2≦n≦(2m)2
2m-1と2mは連続する整数
連続する2つの整数の平方数のあいだにある数を考えればいい。
留意すべきは、不等号≦にイコールがあること
つまり、(2m-1)2もnに含まれる
たとえば、4と9の差は9-4=5個だが、4を含めると5+1=6個となる。
n=2020は(2m-1)2を含む個数なので、(2m)2と(2m-1)2の差は2019

(2m)2-(2m-1)2=2019
4m2-4m2+4m-1=2019
4m=2020
m=505

(3)
7の倍数の判定法は使えにくい(;´Д`)
地道に代入して調べていくが、余りに注目しよう。
11=7+4(余り4
8=7+1(余り1
余りの合計が7の倍数であれば全体で7の倍数
たとえば、a=
1のとき、
余り4×1+余り1×3=7だから、b=3となる。
a=2のとき、4×2+1×6=14→b=6
a=3のとき、4×3+1×2=14→b=2
a=4のとき、4×4+1×5=21→b=5
a=5のとき、4×5+1×1=21→b=1
a=6のとき、4×6+1×4=28→b=4
以上、6通り→6/36=1/6

(4)

平行四辺形は対辺の長さが等しく、辺を内分する比が同じ。
AF//HCED//BG
△AEP∽△ABQより、AP:PQ=AE:EB=2:3

△ADP∽△HDSに注目。
HS=×2/5=〇4/5
図形全体が点対称なので、対称的に考えてQF=〇4/5
分数がでてきたので、いったん比を整数に変換。
AP:PQ:QF=〇4/5

平行四辺形ABCDの面積を1として、上底+下底の和から面積比を計算する。
【平行四辺形ABCD→平行四辺形AFCH→四角形PQRS】
1×6/10×30/58=
9/29
9/29倍


大問3(関数)

(1)
Bはy=x2とy=x+2の交点。
2=x+2
2-x-2
=(x+1)(x-2)=0
Bのx座標は正しいだから、B(2、4)
*Aの座標は(-1、1)

(2)

y=1は横線。
B(2、4)を対称移動させてC(2、-2)
②と平行なので傾きは1。
Cから切片へ移動。下に2、左に2で(0、4)
y=x-4

(3)
面積が等しい。等積変形→平行線。
②y=x+2から前問のy=x-4との距離が等しく、
②の上側にあるグラフに注目する。

ポイントはy軸上で考えること!
y=x-4の切片は-4
y=2x+2の切片は2
距離が6離れるので、Pが通る直線の切片は8
y=x2とy=x+8の交点座標が答え。
2=x+8
2-x-8=0
因数分解ができないので、解の公式。
x=(1±√33)/2

大問4(方程式)

(1)
表を書いて整理!

豊島岡レベルを狙うならサクッと処理したい。
xがy%減少→xに(1-y/100)倍
40%増→140/100=7/5倍
2019年の女子は、7/5x(1-y/100)

(2)
yしかない男に着目。

これを、前問の解答に代入。
7/5x(1-25/100)=63
7/5x×3/4=63
21/20x=63
x=60


大問5(平面図形)

(1)

情報の多い△ADGに着目。
辺の比が2:1で、あいだの角が60°…どこかで見たことのある三角形( ^ω^)・・
同じものを2つくっつけると正三角形なので、
△ADGは1:2:√3の直角三角形→∠AGD=90°

∠CGE=180-90-60=30°
△GCEで外角定理→∠GEB=30+60=90°
合同より、∠DEG=∠DEBだから、∠DEG=90÷2=45°

(2)
△ADGは1:2:√3の直角三角形→DG=√3
合同で、DB=√3
正三角形ABCの1辺ABが2+√3だから、
FG=2+√3-1-1=√3

(3)
難問(;´・ω・)
3点を通る円の半径を求めたい場合、まず円の直径を探る。
直径に対する円周角は90°だから、どこかに直角があるはずだが、
△EFGの内角を調べると∠EFG=90°が導けない…(´゚д゚`)
直径はEGではないのでは?
そこで、別の直角を探す

大問3もそうだったが、前問の解答がきちんと誘導になっている
DG=√3、GF=√3、∠DGF=90°より、△DGFは直角二等辺三角形
∠DGFを使いたい…。残るEをどうするか?(‘Д’)

直角二等辺だから、∠DFG=45°
(1)より、∠DEG=45°(‘ω‘ )!!
点E、Fが直線DGにおいて同じ側にあり、∠DEG=∠DFGが成り立つ
円周角定理の逆から、4点D、E、F、Gは同一円周上にある
この円の半径を求めればいい。
直径DFは1:1:√2より、√3×√2=√6
半径は√6÷2=√6/2

大問6(空間図形)

(1)

小球の中心Oは球の半径から面AEHD(左)、面AEFB(前)、面EFGH(底面)から等距離で、
3つの面から等距離にある点の集合は
立方体の対角線ECである
(Cも3つの面から等距離にある。CD=CB=CG)
EOとEPを伸ばすとCとGにあたる。
△EOP∽△ACG
EP/OP=EG/CG
EGは正方形の対角線で6√2だから、
EP/OP=6√2/6=√2

(2)
大球と小球が接するQは、どの直線上にあるのだろう?(´-`).。oO


大球の中心をO’、Qから垂線をおろして足をRとする。
大球は立方体に接するので、O’はどの側面の正方形からみても中心。
すなわち、O’は立方体の中心にあり、立方体の対角線EC上にある
小球と大球はQで接するのでO-Q-O’は一直線、
かつ、QはEC上にあるOとO’の間にあるから、QもEC上にある

△ECGで三平方→EC=6√3
△ECG∽△EQRで、EQ:QR=EC:CA=6√3:6=√3:1
 
立方体の中心にあるO’は対角線ECの中点
EO’=6√3÷2=3√3
O’Qは大球の半径3だから、EQ=3√3-3
QR=(3√3-3)×①/〇√3=3-√3

したがって、四角錘Q-EFGHの体積は、
6×6×(3-√3)÷3=
36-12√3

@データ@
受験者平均:63.01点
合格者平均:71.81点
やはりボーダーは高いですな|・ω・` )
簡単なところでの失点は痛いです。

豊島岡女子の算数も面白いので、ぜひトライしてみてね(*’ω’*)
とくに大問6の空間がヤバめ。
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2020年度 久留米大学附設高校入試問題【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
60分100点満点

大問1(小問集合)

(1)
(x+3y):(4x-2y)=3:5 …①
3x-5y=12 …②

①内項と外項の積より、
3(4x-2y)=5(x+3y

12x-6y=5x+15y
7x=21y
x=3y …③

②に代入。
3×3y-5y=12
4y=12
y=3
③に代入。x=3×3=9
x=9、y=3

(2)
高校レベルに突っ込んでる(;’∀’)
対称式を使います。
a+b=(√3+√15)+(√3-√15)=2√3
ab=(√3+√15)(√3-√15)=32-152=-12
式の変換ではa+bとabだけの形に持っていく。

*a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab

(3)

△AEOは半径より二等辺→∠EAO=(180-100)÷2=40°
O’Dに補助線
半径と接線は直交するので、∠ADO’=90°
△ADO’の外角定理から、∠DO’B=40+90=130°
△O’DBも半径より二等辺→∠DBO’=(180-130)÷2=25°
△ADBで外角定理→∠BDE=40+25=65°

(4)
(p、q)=(19、1)(18、2)(17、3)…(11、9)の9通り。

1辺が√pと√qの正方形があり、2つの面積の合計は20で一定。
このとき、√p+√qの長さがMaxになるのはどういうときだろう?(‘Д’)
…勘のイイ人はすぐ思いついてしまう(^^;

極端なケースを想定する。
条件はq>0だが、仮にq=0にしてpの面積を20とすると、√p=√20
p>qを無視して、仮にp=q=10とすると、√p+√q=√10+√10=2√10=√40
√20<√40だから、pとqの面積が等しい場合に近いほど、長さの和が長くなるはず
ということは、√p+√qにおいて最も値が大きいのは√11+√9、
2番目は√12+√8、3番目は√13+√7となる。
(p、q)=(13、7)

(5)
難しい(´゚ω゚`;)
4m3+n2=2020
2=2020-4m3
2=4(505-m3
左辺のn2が平方数。
4も平方数なので、505-m3も平方数になるはず。
3乗が曲者だが…8×8×8=512なのでmは7以下
m=1⇒505-1=504×
m=2⇒505-8=497×
m=3⇒505-27=478×
m=4⇒505-64=441=21×21〇
m=5⇒505-125=380×
m=6⇒505-216=289=17×17〇
m=7⇒505-343=162×
*20までの平方数は暗記しておくのがベター。
m、nは2組しかないとあるので、もう1個がでれば終了。

nの値は素因数に注目。(4=2×2の2だけを抜き出す)
m=4のとき、n=2×21=42
m=6のとき、n=2×17=34
(m、n)=(4、42)(6、34)
他に良い解法を編み出した方は、ぜひお問い合わせかコメント欄でお知らせ願いますm(_)m

大問2(関数)

(1)
Aはy=ax2とy=a/xの交点。
ax2=a/x ←両辺をx倍
ax3=a ←両辺を÷a
3=1
高2で虚数iを用いて三乗根ω(オメガ)を習いますが、
中学の範囲では□×□×□=1にあてはまる数は1しかないと感覚で答えるしかないと思う。
x=1
y=ax2に代入して、
A(1、a)

(2)
直線PQの式をy=ax+bとする。
PとQはy=ax2とy=ax+bの交点。
ax2=ax+b
ax2-ax-b=0
ここで解の公式を適用。

 求めたいのはp+qの値。pは負、qは正だから…

(3)
pとqの座標の距離はq-p
Rのx座標はpとqの中点だから、
pから(q-p)/2を足せばいい。
p+(q-p)/2
=(2p+q-p)/2
=(p+q)/2=1/2

これをy=a/xに代入。
Rのy座標は、y=a÷1/2=2a
R(1/2、2a)

(4)
bがわかる。

y=ax+bの傾きaは右に1いくと上にaあがる
Rから切片に移動すると、下に1/2a、左に1/2。
ここから切片は、2a-1/2a=3/2a

PとQはy=ax2とy=ax+3/2aの交点だから、
ax2=ax+3/2a
2-x-3/2=0
2x2-2x-3=0
解の公式を適用、b=2b’が使える。
x=(1±√7)/2
p<0、q>0だから、p=(1-√7)/2、q=(1+√7)/2

(5)

AP=AQなので、△APQは二等辺三角形。
頂角Aから底辺PQの中点にあるRを結ぶとAR⊥PQ
ARの傾きは、(a-2a)/(1-1/2)=-2a
2本の直線が直交するとき、傾きの積は-1
PQの傾き…-1÷-2a=1/(2a) ←aは分母にある
これがy=ax+3/2aの傾きaと同じ。
a=1/(2a) ←両辺を2a倍
2a2=1
2=1/2
a>0より、a=√2/2


大問3(確率)

(1)

aが3以上になって、切片bが1以上となる。切片bは6まで許容。
(a、b)=(3、1)(4、2)(5、3)(6、4)
4通り

(2)

直線PQではなく線分PQに注意!(`ω´)
y=2x2で線分Pに触れる。
ということは、これより開きが大きくなるy=x2では共有点なし。
c=2~6→
5通り

(3)

1≦b≦6より、
(a、b)=(1、6)(2、4)(3、2)で3通り。
放物線はy=2x2しかない→c=2で1通り。
全部で6×6×6通りなので、
(3×1)/(6×6×6)=
1/72

(4)
cに1~6を代入して、x=2のときのy座標で場合分け。
◆c=1、y=4
(a、b)=(1、2)の1通り。
◆c=2、y=8
前問から3通り。
◆c=3、y=12
(3、6)(4、4)(5、2)の3通り。
◆c=4、y=16
(5、6)(6、4)の2通り。
◆c=5、y=20
y=6x+6にしてx=2を代入すると18。
yの最大値は18なので無い。
◆c=6、y=24
同様に無い。
計9通り。
9/(6×6×6)=
1/24

(5)

y=ax+bは右上に伸びるので、x<0の格子点に注目する。
(-1、1)か(-2、4)しかない
なぜなら、切片bは1~6の範囲で、(-3、9)だと6を超えてしまうから。
まず、(-1、1)を基準に検証。
◆傾き1
(a、b)=(1、2)
傾き1は45度線で格子点を通る。〇
◆傾き2
(a、b)=(2、3)
y=x2とy=2x+3の交点を求める。
2=2x+3
2-2x-3=(x+1)(x-3)=0
x=-1、3でOK。〇
◆傾き3
(a、b)=(3、4)
2-3x-4=(x+1)(x-4)=0OK
◆傾き4
(a、b)=(4、5)
2-4x-5=(x+1)(x-5)=0OK
◆傾き5
2-5x-6(x+1)(x-6)=0OK

次に、(-2、4)を基準とする。
傾き1で(1、6)しかない。
y=x2とy=x+6の交点座標は…
2-x-6=(x+2)(x-3)=0OK
6通り

大問4(平面図形)

(1)

↑PAが直径のとき。Mが中心O。
直径に対する円周角は直角なので、∠ABP=90°
△PMN∽△PABより、MN=4÷2=2

(2)

直径に対する円周角で∠PAB=90°
△PBAは3:4:5の直角三角形。
面積は3×4÷2=6
MP=3÷2=3/2

△PBAと△PMNの面積比を求める。
面背比は辺の比の2乗。
2:(3/2)2
=25:9/4=100:9
よって、
△PMNの面積は、6×9/100=27/50

(3)
エエエ:(っ`ω´c):

適当に調べてみると左のところに集まっている・・。
AとCのあいだっぽい。

BCは直径。これに対する円周角である∠BPC=90°
同位角が等しく、CP//MN
MNとACの交点をQとする。
CP//MNから2角が等しく、△ACP∽△AQM
AQ:QC=AM:MP=1:1
定点QはACの中点にある。

(1)(2)の図から直線MNを描いてQの位置を探るのが良かったかな?


大問5(空間図形)

(1
問題文に数字が2つしかない。。
球の半径が1なので、球と正四角錘が接するポイントを探す。

ABの中点をEとする。Eが接点
△OHEで三平方。
HE2=12-(√2/4)2
1-1/8=7/8
HE>0より、HE=√14/4

△HEAは直角二等辺だから。AH=
√14/4×√2=√7/2

(2)
OH=√2/4、AH=√7/2
△OAHで三平方。
OA2=(√2/4)2+(√7/2)2=15/8
OA>0で、OA=√30/4

前問のEを使う。
球面SとPAの接点がQ。
Eも球面上にあるABとの接点。
△APBで球面SはAP上でQと、AB上でEと接する。
そして、円外の点から接点までの接線の長さは等しい
QA=EA=√14/4

(3)
(2)と同じ、2本の線分の長さを求めるが、
わざわざx、yに置き換えているということは連立を組めということ。
POとPQを1辺とする三角形で相似関係を見つける。

ズバリ、△PAH∽△POQ
PO:OQ=PA:AHから、
√7/
2x=y+√14/4 …①
PQ:QO=PH:HAから、
√7/2y=x+√2/4 …②

これを解けばいいが、計算処理がツライ(;´Д`)
以下、代入法。

(*‘ω‘ *)キッツー
x=3√2/2、y=√14/2

(4)
PA=PQ+QA=√14/2+√14/4=3√14/4

球面Sの中心をRとする。
△APEで三平方→PE=√7
△APE∽△RPQよりQRの長さは、

r=√7/4

@データ@
英国数理社各100点の500点満点
合格最高点348点、合格最低点257点
総合平均点(合格者)293点(受験者)239点
6割↑は欲しい。
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2020年度 京都府公立高校入試問題・中期【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
2020年度京都前期(数学)の解説はコチラから。

大問1(小問集合)

(1)
5+4×(-32
=5+4×(-9)
=5-36=-31

(2)
4(3x+y)-6(5/6x-4/3y)
=12x+4y-5x+8y
=7x+12y

(3)
√3×√32+3√6
=√3×4√2+3√6
=4√6+3√6=7√6

(4)
2x+5y=-7…①
3x+7y=-9…②

①×3-②×2
 6x+15y=-21
-)6x+14y=-18
     y=-3

①に代入。
2x+5×(-3)=-7
2x
=8
x=4
x=4、y=-3

(5)
y=-4/5x+4のグラフを書く。

切片は(0、4)
傾きは負なので右下に向かう。
下に4、右に5で(5、0)と結ぶ。

(6)
5<√n<6
√25<√n<√36
n=26~35なので、10個。

(7)

ACとBDの交点をEとする。
円周角の定理で、∠BDC=54°
△CDEで外角定理→∠DCE=73-54=19°
直径に対する円周角は直角なので、∠BCD=90°
x=90-19=71°

(8)
無作為に抽出した300個のうち、不良品は7個。
よって、7×10000/300=700/3=233…≒230個

大問2(確率)

ジェンガ問題(‘ω’)
(1)
1回目は何かを出す。その何かが一番上にきて、Gは下から6番目になる。
2回目でGのある6を出せばいい→1/6

(2)
初期状態ではEは下から5番目。
Eを1段下げればいい
■1回目でEが下がる
1回目→1~4を出す。4通り
2回目→Eは4段目にいるので5か6を出す。2通り
4×2=8通り
■2回目でEが下がる
1回目→6を出す。1通り
2回目→Eは5段目にいるので1~4を出す。4通り
1×4=4通り

8+4=12通り
12/36=1/3

大問3(関数)

(1)
y=1/4x2に、x=2を代入。
y=1/4×22=1
1m

後半は、y=9を代入。
1/4x2=9
2=36
x>0より、x=6
6秒

(2)
普通は求めたいAの長さを文字に置き換えたいところだが…
長さはy=1/4x2のyにあたる。
長さを文字に置き換えると、往復の時間で等式をつくることになるが、
往復の時間xの次数が2なので計算が厳しく、かつ比しかわかっていない(´゚д゚`)

そこで、往復の時間xを文字に置き換える
Aの往復の時間をt秒とする。
Bの往復の時間は4/5t秒。

Aの長さは、y=1/4x2にx=tを代入→1/4t2
Bの長さは、x=4/5tを代入→4/25t2
『Aの長さはBより1/4m長い』から、長さで等式。
1/4t2=4/25t2+1/4
9/100t2=1/4
2=100/36=25/9
t>0より、t=5/3
Aの1往復の時間は5/3秒。
これをy=1/4x2に代入。
y=1/4×(5/3)2=25/36m
*振り子の周期は、おもりの重さではなく、振れ幅でもなく、
振り子の長さ(支点~おもりの重心までの長さ)に依存することを等時性という。

大問4(空間図形)

(1)
△ABCで三平方。
AC2=(2√7)2+62=64
AC>0から、AC=8cm
8÷1=8秒

(2)

二等辺三角形BCDの縦に真っ二つ。
CDとの交点をEとして、△BCEで三平方→高さBE=√35cm
2×√35÷2=√35cm2

錐の体積は底面積×高さ÷3。
√35
×2√7÷3=√5×√7×2√7÷3
=14√5/3cm3

(3)

PDは面ACD上の線分。QDは面ABD上の線分。
BC//QPを維持してQPを下に平行移動させる。
PがCに着くとPD=CD、QがBに着くとQD=BD。
つまり、最後は三角錘A-BCDになる。

△AQPを底面としたとき、△AQPと△ABCの底面積の比は
三角錘D-AQPと三角錘D-ABCの体積比に等しい

三角錘D-AQP:三角錘D-ABC
=24√5/7:14√5/3
=72:98
=36:49

△AQP:△ABC=36:49
ちょうど値が平方数(゚∀゚)!!
面積比の平方根が辺の比
AQ:AB=⑥:⑦
(1)より、Pが8秒でCに着く=Qは8秒でBに着くので、
8×⑥/⑦=48/7秒後


大問5(平面図形)

(1)

AB=6cm、AC=8cmから、直角三角形ABCの辺の比は3:4:5。
AからBCに向けて垂線、足をHとする。
×=90°で2角が等しく、△ABC∽△HBAから辺の比は3:4:5。
AHがAとBCの距離にあたる。
AH=6×4/5=24/5cm

Dから垂線をひく。足をIとする。
DIは台形ABCDの高さでAHと同じ。
CD=6cmより、斜辺と他の1辺が等しい直角三角形で△ABH≡△DCI
(ここから台形ABCDは左右対称の等脚台形となる)
BH=CI=6×3/5=18/5
AD=HI=10—18/5×2=
14/5cm

(2)

BC=10cmをBF:FC=3:2で按分。
BF=6cm、FC=4cm
HF=6-18/5=12/5cm
△ACH∽△GCFで、AG:GC=HF:FC
=12/5:4=12:20=
3:5

(3)
今までに出てきた数値を使う。

AH=24/5cm、AD=14/5cm
ここから△ACDの面積がでる。
さらに、AG:GC=3:5から、△ADGと△GDCの面積比は3:5
△GDCの面積が求められる。

台形ABCDは等脚台形で、対角線ACとBDの交点Eからおろした垂線の足をJとすると、
JはBCの中点である!(左右対称だから)
JC=10÷2=5cm
JF=5-4=1cm
△ECJ∽△GCFより、EG:GC=JF:FC=1:4
△EDGの面積を【1】とすると、△GDCの面積は【4】。
以上をつなげる。△ACD⇒△GDC⇒△EDG
14/5×24/5×1/2×5/8×1/4=
21/20cm2

大問6(規則)

(1)

奇数に注目すると、タイルの枚数がちょうど平方数。
7番目は4×4=16枚
1枚のタイルは1cm2なので
16cm2
*1は1番目の奇数だから1×1枚。
3は2番目(=(3+1)÷2)の奇数だから、2×2枚。
5は3番目(=(5+1)÷2)の奇数だから、3×3枚。
7は4番目(=(7+1)÷2)の奇数だから、4×4枚。

偶数は長方形で考える。

2は1番目(=2÷2)の偶数だから1枚。
4は2番目(=4÷2)の偶数だから1+2=3枚。
6は3番目(=6÷2)の偶数だから1+2+3=6枚。
16は16÷2=8番目の偶数だから、1~8の総和。
これは長方形の数なので、タイルの枚数は2倍すること
(1+8)÷2×8×2=72cm2

@別解@
先ほどの奇数から解くこともできる。
15は(15+1)÷2=8番目の奇数なので、8×8=64枚。
奇数から偶数の変換をみると、
1番目→2番目;1+1=2枚
3番目→4番目;4+2=6枚
5番目→6番目;9+3=12枚…
奇数の〇番目を足す
15は8番目の奇数だから、64+8=72枚(72cm2

(2)
今までのおさらいだが、頭がこんがらがる(´・д・`)
nは偶数なので偶数のルールを適用。
nはn÷2=n/2番目の偶数。
1~n/2までの総和を求める。(あくまで長方形の数なので最後は2倍!)
(1+n/2)×n/2÷2×2=n2/4+n
/2…n番目のタイルの枚数

nが偶数なので2n+1は奇数。奇数のルールを適用。
2n+1は(2n+1+1)÷2=n+1番目の奇数。
(n+1)2=n2+2n+1…2n+1番目のタイルの枚数

差の331で等式。
2+2n+1-331=n2/4+n/2 ←両辺を×4
4n2+8n-1320=n2+2n
3n2+6n-1320=0 ←両辺を÷3
2+2n-440=0
(n+22)(n-20)=0
n>0より、n=20

@別解@
〇番目の奇数さえわかれば〇の平方数でタイルの枚数がでるので、
奇数ルールでゴリ押しすることもできる。

全体は2n+1番目でこれはn+1番目の奇数だから、(n+1)2枚とすぐでる。
問題はnが偶数で、こちらは直角三角形ではなく階段状であること・・。
nの1個手前のn-1が奇数。
n-1は(n-1+1)÷2=n/2番目の奇数だから、(n/2)2=n2/4枚。
奇数→偶数の変換では〇番目の奇数の〇を足すので、
2/4+n/2と(n+1)2の差が331となる。
(n+1)2-(n2/4+n/2)=331
これを解くと、n=20になる。

大問1
(6)数え間違いに気をつけよう。35-26+1=10個
大問3
(2)求めたい長さを文字に置き換えると頭が混乱する。
うまくいかない場合は別のものを置き換えよう。
大問4
(3)最後は三角錐A-BCDにおさまることから、底面積で比を捉える。
平方数がでてきてありがたい。
大問5
(3)等脚台形の対称性→Eは真ん中。
大問6
(2)奇数の〇番目、偶数の〇番目の処理は丁寧に!
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2020年度 埼玉県公立高校入試問題【英語】解説

平均51.2点(前年比;+4.1点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(リスニング)

(1)D 96.0%
A:春子、君が見たかった映画のDVDを買ったよ。今日、うちに見に来ない?
B:ごめんなさい。数学の宿題がたくさんあるのよ。。今日しなきゃならないの。
A:あぁ、そうか。明日はどう?
B:それは良いわ。ありがとう。
問題—春子は今日、何をしなければならない?
*『How about  (名詞・動名詞) -?』=~はどう
ですか?

(2)C 83.3%
A:お父さん、動物の本どこ?
B:あそこだと思うよ。僕は料理の本を探すよ。
A:OK。ここでどのくらいの本を借りられるの?
B:2週間で10冊さ。
問題—彼らはどこで話してる?
*『over there』=あそこ、向こう

(3)A 47.4%
A:あ、向こうに私のクラスメートがいる。
B:エリ、どれ?男の子と話している女の子がそう?
A:いえ、彼女じゃないわ。本を持っている男の子の隣に立っている女の子よ。
B:あぁ、なるほど。
問題—エリのクラスメートはどれ?
*『next to~』=~の隣

(4)B 63.8%
リサは買い物に行き、新しいTシャツが欲しかった。
彼女は店で欲しかったTシャツを見つけた。
試着をしたが、彼女には小さすぎた。
問題—リサは店で働いている人に何という?
A:他の色ありますか? B:大きいのありますか?
C:別のを持ってきましょうか? D:何色が好きですか?
*『try O on』=Oを試着する 『Shall I -?』=私が~しましょうか?
代名詞『one』は前にでた不特定の名詞をさす。本問の場合はa T-shirt。

(5)C 61.4%
トムがクラスへ歩いていたとき、グリーン先生に会った。
彼女は教室に入ろうとしていたが、大量のノートを運んでいたのでドアを開けられなかった。
トムは彼女を助けたかった。
問題—トムはグリーン先生に何と声をかける?
A:あなたの後を追い
ます。 B:ドアを閉められますよ。
C:あなたのためにドアを開けます。 D:これらのノートを運ぶべきです。
*誤答のセリフが酷い(;´∀`)

(6)
イングリッシュサマースクールの教師であるスミス先生の話を聞いて。
彼は学校初日の計画について話しています。
@@
イングリッシュサマースクールへようこそ。あなたたちはきっと楽しんで英語を学ぶことでしょう。まず、今日の計画について話しましょう。今朝は3つの授業があります。どの授業も50分です。最初の授業は9時30分に始まります。そのときに、私があなたたちに学校を案内しますよ。2つ目の授業ではゲームをしたり、歌を歌ったりと2~3個の課外活動をします。他の生徒と話すときは、英語で話してください。2つ目の授業は8番の教室で行います。建物1の3階にあります。あなたたちは今、建物3にいますので、建物1に行かなければなりません。3つ目の授業では英語のリスニングテストをします。その後、12時30分から1時20分までランチです。食堂で昼食を食べますよ。この建物の1階にあります。昼食のあとは科学博物館に行きます。1時35分までに停留所にいてください。停留所は体育館の近くにあります。明日の授業では、博物館であなたたちが気に入ったものについて話してもらいます。最後に、友人と英語でたくさん話すようにしてください。英語を学ぶうえで素晴らしい方法です。

①B 53.8%
問題1—午前中の各授業は何時間?
A:今朝の3つの授業 B:50分 C:9時30分に D:12時30分から1時20分まで
*『How long-?』=時間を尋ねる。

②A 37.7%
問題2—食堂はどこ?
A:建物3 B:8番教室 C:体育館 D:科学博物館
*生徒達がいるのは建物3。8番教室は建物1の3階。
食堂は建物3の1階。

@1階@

AssitMicroより。英語は大別してアメリカ式とイギリス式があるが、
なんと1階の呼称が違うらしい( ゚Д゚)ハァ?
イギリス式では1階がground floorで、2階がfirst floor(#^ω^)・・・
受験英語は基本アメリカ英語なので出てこないが、誤って伝えてしまうおそれがある。

③D 67.2%
問題3—明日の授業で生徒たちは何をする?
A:彼らは英語のリスニングテストをする。
B:彼らはゲームをして、歌を歌う。
C:彼らは昼食について話す。
D:彼らは博物館で気に入ったものについて話す。
*選択肢がありがたい。最後のほうに出てくる。

(7)
トムと彼の友人である恵の話を聞き、問題文を読んで。
@@
トム:やぁ、恵。日曜ヒマ?ショッピングに行きたいんだけど、一緒に来てくれる?
恵:Oh…午前中にお姉ちゃんの文化祭に行くつもりなの。
 トムもいかが?文化祭のあとでもショッピングに行けるわ。
トム:それは良いね。日本の文化祭は1度も行ったことないよ。
恵:きっと気に入ってもらえるわ。ところで、何を買うつもりなの?
トム:ロンドンにいる祖母にプレゼントを買うんだ。彼女の誕生日が来月でね。
 去年は花をいっぱいあげたよ。祖母は日本文化が好きだから、日本で
良いものを探しているんだ。
恵:うーん、風呂敷はどう?服とか他のものを運ぶのにとても役に立つの。
 いろんな色がたくさんあるから、おばあちゃんが好きな色を見つけられるわよ。
トム:完璧だね!
恵:日曜の9時40分までに駅に着かなきゃいけないから、その10分前にあなたの家に行くわね。
トム:OK。またね。

①He will ( go shopping ) to buy a present. 17.9%!(一部正答8.8%、無答16.7%)
問題—トムは日曜の文化祭のあとで何をする?
*プレゼントを買うために、ショッピングに行く、

②He gave her a lot of ( flowers ). 38.9%(一部正答10.3%、無答21.9%)
問題—トムは去年、祖母への誕生日プレゼントで何
をあげた?
*可算名詞なので複数形のsを忘れずに。

③They have to arrive at ( the station ). 9.4%!!(一部正答19.1%、無答28.9%)
問題—トムと恵は日曜の9時40分までに、どこへ到着しなければならなかったか?

大問2(単語)

A:run 42.6%(一部正答10.6%)
B:December 64.7%(一部正答5.8%)
C:rains 7.6%!!(一部正答30.1%)
D:Wednesday 61.4%(一部正答8.2%)
*月と曜日が出題された。
1年生で習う単語だが、きちんと書けたかな?( ˘ω˘ )
日付の書き方だが、アメリカ式では〔曜日→月→日→年〕、
イギリス式では〔曜日→日→月→年〕という順になる。
Cの三単現のsに注意!
時や条件を表す副詞節は現在形
未来形を使わないこと


大問3(長文読解)

 昨年の5月、私は友人のキャロルと一緒に祖父の家に行った。そこで、祖父はお米の育て方を私たちに教えた。キャロルと祖父と私は午前中に田んぼに出かけた。小さな田んぼには水しかなかった。祖父は言った。「今日は稲の苗を植えるよ。キャロル、一緒にやってくれないか?」キャロルは驚いた。「うーん、、私には難しいかも。。」彼女は言った。「簡単さ。教えるよ」と祖父は答える。キャロルが言う。「OK、頑張ります!」私たちは田植えを始めた。キャロルには厳しいと思ったので、彼女に尋ねてみた。「大丈夫?休憩したい?」キャロルは言う。「ちょっと疲れたけど大丈夫よ。稲作って大変な作業ね!」
 正午あたりに田んぼのそばでランチをした。祖父は昼食にオニギリを作ってくれた。(C)そのお米はいつも食べていたお米よりもおいしかった。田んぼでの作業はとても大変であることを知ったけど、私たちはとても良い時間を過ごした。
 秋のと
ある日、祖父が私に1俵の米俵を送ってくれた。受け取ってからすぐに祖父へ電話を掛けた。彼は言った。「ありがとう。キャロルと米を分けてくれよ」と。
 翌日、キャロルにお米のいくつかを持っていった。彼女は言った。「これは私たちがあなたの祖父と植えたお米なの?わぉ!来年にまた、あなたと一緒に行きたいわ!」

問題文が短い…(‘ω‘ )
(1)There, my grandfather 〔 showed us how to grow 〕 rice. 43.2%(一部正答2.1%)
*動詞が2つ見えるので、片方はhow to節に押し込む→お米の育て方
主節の動詞は過去形のshowed。showは第四文型をとる

(2)C 66.3%
*『The rice was better than the rice I usually ate!』
主語のthe rice=そのお米とは、どんなお米かを考える。
そのお米はいつもの(usually)より良かった。
農作業のあとに食べた、祖父が握ってくれたオニギリのお米🍙

(3)ア 76.3%
*「ちょっと〇〇だけど、OK(大丈夫)よ」
逆接の手前はOKではない状況→tired(疲れた)

(4)helping 20.1%!(一部正答1.8%)
*『Thank you for~

for以下に名詞か動名詞の形が入り、感謝すべき理由を示す。

(5)He asked her ( to share the rice with Carol ). 10.9%!(一部正答10.3%、無答27.4%)
*問題―ミキコの祖父は電話でミキコに何を頼んだか?
ask O to ~
』=Oに~を頼む
ミキコに送ったお米をキャロルと分けること。
『share O with 人
』=人と~を共有する、分ける

(6)ウ 61.7%
*ア:ミキコの祖父は、稲の苗を植えるためにミキコとキャロルのもとを訪れた。
イ:ミキコの祖父はミキコとキャロルに会いにきて、彼女たちに1俵の米俵をあげた。
ウ:ミキコとキャロルは祖父のつくったオニギリを食べた。
エ:ミキコとキャロルは稲作が容易であることを知った。

大問4(対話文)

【1】<ミクとジョゼフが話している>
ミク:はぃ、ジョゼフ。今日はどう?
ジョゼフ:元気だよ。ありがとう、ミク。どこにいくの?
ミク:子育て支援センターよ。
ジョゼフ:なにそれ?
ミク:小さな子供やその両親のための場所よ。
 子供たちが一緒に遊べるし、親も子育てのアドバイスをもらえるのよ。
ジョゼフ:おぉ、なるほど。でも、なんでそこに行くの?兄や姉がそこにいるの?
ミク:いいえ。兄も姉もいないわ。
 そのセンターは小さな子供の面倒をみるボランティアを求めていたから、
 私がそこで子供たちの助けをするボランティアを始めることにしたのよ。
 あと、保育園の先生になりたいから、とても良い経験だわ。
ジョゼフ:わぉ。いいね!実は、僕もそういった仕事に興味があるんだ。そこで何をするの?
ミク:いつもは子供たちを遊んでるわ。一緒にランチ食べたり、本を読んであげたり。
ジョゼフ:面白そうだなぁ。機会があったら行きたいな。僕もそこでボランティアできるかな?
ミク:大丈夫だと思うわ。センターはボランティアを必要としているから、
 私がセンターの職員に聞いてみて、今夜メールを送るわね。
ジョゼフ:ありがとう。

(1)エ 65.7%
*『How about you?』…ではなかった(*’ω’*)w
つぎのセリフにミクが向かう場所が書かれている。

(2)イ 80.5%
*ミクは子育て支援センターに行く。なぜなら…
ア:そこに姉がいるから。
イ:そこでボランティアとして子供たちの世話をするから。
ウ:そこで1週間に1回、子供について学ぶ授業を受けるから。
エ:メールを送りたいから。
『take a class』=授業を受ける

 

【2】<その夜、ミクはジョゼフにメールを送る>
はぃ、ジョゼフ。センターの職員にあなたのことを話したわよ。彼女は、あなたがボランティアになりたいと
聞いてとても喜んだわ。まず最初に申込用紙に記入して、センターに送るのよ。あとで申込用紙をあげるわね。あなたの名前や電話番号、メールアドレスなどを書いてね。来月にボランティアを始めたいのなら、その前に研修会を受ける必要があるわ。センターは駅からそれほど遠くないよ。駅に着いたら、郵便局の方へまっすぐ向かって。そこから歩き続けて、筑紫川を渡ったら左に曲がるの。そして、川沿いを歩くと、センターは右側に見えるわ。センターは公園の隣よ。あなたなら見失うことはないわ。ボランティアの初日は、センターで着替える必要はないけれど、子供たちと食べるランチを持ってくることを忘れないでね。そこではお金を使わなくてもいいので、必要のないお金は家に置いおくべきよ。幸運を!

(3)ウ 61.7%
*ヒントがたくさんあるのでわかりやすい。

(4)ア 59.0%
*ボランティアの初日に、ジョゼフは〇〇を持ってこなければならない。
ア:ランチ イ:申込用紙 ウ:研修会のお金 エ:着替えの服

 

【3】
<翌月、ジョゼフは研修会のあとにセンターへ行き、職員の相田さんに会う>
ジョゼフ:僕は将来、子供たちに携わる仕事に興味があります
ので、
 ここでボランティアの仕事をやってみたいと思いました。
相田:ここには大勢の子供たちがいますから、とても良い経験になるでしょう。
 子供たちのなかには幼い子もいますので、注意してくださいね。
ジョゼフ:わかりました。気をつけます。
相田:いいね!では、ここに英語で書かれた、人気にある日本の話があります。
 ですが、私たちは1度も子供たちに読んだことがありません。
 これらの英語の絵本を読んでみてはどうですか?
ジョゼフ:はい、了解しました。英語で
話を聞くことを気に入ってくれたらなと思います。
相田:これらの話はとても人気があるので、子供たちは気に入ると思いますよ。
 絵本はゆっくり読んでください。
ジョゼフ:かしこまりました。そうします。今、このなかから選んでもいいですか?
相田:どうぞ。準備ができたら始めてください。
ジョゼフ:OK!

(5)But we ( have never read them to the children ). 19.5%!(一部正答1.2%)
*うしろの文。『Why don’t you-?』=~したらどうですか?
英語で書かれた絵本の読み聞かせをしたらどうですか?と外国人のジョゼフに提案する。
→センターの職員は1度も英語の絵本を子供たちに読んだことがなかった。
現在完了の経験用法。
themの中身は『some popular Japanese stories written in English』。
『read O(人) O(物)』(第四文型)→『read O(物) to O(人)』(第三文型)

(6)絵本をゆっくり読むこと。 57.1%(一部正答16.7%、無答10.6%)
*直前の内容を書くだけ。

 

【4】
<その夜、ジョゼフはミクにメールを送る>
やぁ、ミク!今日、子育て支援センターに行って、たくさんの子供たちを会ったよ。小さな子供たちは僕が英語で呼んだ絵本を楽しく聞いてて、素晴らしい時間を過ごした。何人かの子供が泣いたけど、相田さんにたくさん助けてもらったよ。そこで働くことが本当に気に入ったし、また行きたいなぁ。子供たちの世話はとてもやりがいのある仕事!だけど、子供たちと一緒に時間を過ごすことが何よりも大事なんだなって思う。
 今度はセンターで別のことをやりたいな。何か良いアイデアはあるかい、ミク?またね。

(7)I’d like to play Atsumori with children.
It has a lot of cute characters, so I’m sure they’ll like it. 25.8%!(一部正答42.2%、無答21.6%)
『子供たちと、あつ森をしたいです。
かわいいキャラがたくさんいるから、子供たちに気に入ってもらえるはず』
*プチ英作文。
あつ森は、あつまれ動物の森。
やったことないけど売れてるらしいね(‘ω’)
後半は問題文にでてきた表現のパクりです。
『something else』=他の何か
『Is there anything else?』で、他に何かございませんか?という意味。

(8)( When will you go ) to the center again? 17.6%!(一部正答10.0%、無答26.7%)
*ジョセフ:子供たちの多くが絵本をとても気に入ってくれたから、
 彼らのために自分自身の絵本を作ろうと考えているんだ。
ミク:面白そう!いつ、また
センターいくの
ジョゼフ:今月末だよ。その前に絵本を作りたいな。
ミク:そっか。終わったら私に見せてくれる?
ジョゼフ:もちろん!
『At the end of this month』と時間の情報が答えにある。
未来形にする。

大問5(英作文)

 先週、メールありがとう。お元気ですか?
 前の土曜日、家族と出かけてイースター用の新しい服を買いました。イースターをご存知ですか?イースターはアメリカの重要な休日で、その日付は毎日変わります。2019年は4月の第3日曜日でした。
 イースターでは多くの家族が新しい服を着て、イースターエッグを買います。イースターエッグはイースターのシンボルです。アメリカの多くの家族がイースターエッグを準備して、家族が隠したイースターエッグを探すのが大好きな子供たちが大勢います。私には妹がいて、今週、彼女のためにイースターエッグを準備するつもりです。去年は庭にイースターエッグを隠しましたが、今年は家のなかに隠す予定です。
隠すのにうってつけな場所がたくさんあります。たとえば、テーブルの下、イスの上、ドアの後ろに隠すことができます。私の妹はイースターエッグ探しが大好きです。私はイースターのある春が一番好きです。
 アメリカに来るのに良い季節は春だと思います。日本はどうですか?もし、私が日本を訪れるならば、どの季節に行くべきですか?もうすぐあなたに会えますように。

↑イースターエッグ。
日本でもイースターを流行らせようとした一派がいたけど、案の定失敗(´・∀・`)

(1)21日 62.3%
*『the third Sunday of April』→4月の第3日曜日。

(2)エ 69.3%
*ここは選択肢が日本語文。
きちんと訳せれば難しくはない。

(3)You should visit Japan in fall.
I recommend Iroha Pass in Tochigi.
You can enjoy seeing lots of red and yellow leaves there.
It’s so beautiful!
『栃木のイロハ坂をおすすめします。
多くの赤や黄色の葉(紅葉)を見て楽しめますよ。とても美しいです

11.6%!(一部正答60.2%、無答13.7%)
*日本を訪れるならどの季節がよいか、3文以上の英文で紹介する。
一番思いつきやすいのはspringのお花見じゃないかな?(‘Д’)
季節のイベントの他、公式解答の富士山のように固有名詞をもってきて説明するのもいい。

地球の歩き方より、イロハ坂の紅葉。
南関東から行きやすい(´ー`)
紅葉は英語で『fall leaves』や『fall foliage』というらしいが、
わからなかったら”多くの赤や黄色の葉”に変えてしまう。
ちなみに、fallはアメリカ英語でautumnはイギリス英語だがどちらでも通じそう。

@@
フェリス女学院中学の理科でイースター問題がでました。

『春分の日の直後の満月の日の次にくる最初の日曜日』がイースターの日になるようです。
最も早い日と最も遅い日では1ヶ月以上の差がでるんですな(゚Д゚)ホゥ

以下、公式の検査結果を参照。
大問1
リスニングの配点は28点。
大問2
A:誤答はrunningが多かった。
B:Desember、Decenber、Desenberの誤答。
C:rainy、rainが多かった。
D:Wensday、Wendeday、Wedenesdayの誤答。
もう少し頑張りたい|д゚)
大問3
問題文が短かった(*‘ω‘ *)イイネ
(1)how to showed us grow、showed how to grow us、how to grow us showedの誤答。
 how to+動詞の原形。過去形であるshowが主節の動詞で第四文型にする。
(4)helped、helpの誤答。『Thank you for v-ing』は今まで読んできた英文にあったはず。
(5)文法知識もいるが、ほぼ抜き出し問題。
大問4
ここが長い(;´∀`)
(7)誤答は文の構造が不完全で、want to+動名詞や、want toをwent toやwon’tとする誤り。
一部正答を含めると正答率は68%!
(8)誤答はWhat、Where、How longといった誤った疑問詞、
When are you go、When will you workなどがあった。
大問5
(3)誤答は前置詞や冠詞の用い方の誤り、文の構造が不完全なものがみられた。
つづりに関するものでは、よく用いる基本動詞や名詞に多くの誤りが見られた。
また、複数形や大文字・小文字の使い方にも誤りがみられた。
一部正答が6割もいた◎。無答はもったいない。
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2020年度 東京都立高校入試問題【理科】解説

平均53.4点(前年比;-13.7点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)-56.2%

(1)イ 68.9%
*受精により染色体の数は変わらない。
減数分裂で染色体の数が半分になった2個が合体する。ヒトの場合は23対46本。
〔受精⇒受精卵⇒胚〕
受精卵が体細胞分裂を繰り返し、成長していく過程を発生という。
受精体が体細胞分裂を始めてから、自分で食べ物をとり始めるまでの間の個体が
胎生する哺乳類では、ある程度発生の進んだ胚を胎児という。

@染色体の数@
ヒトの染色体は23対46本。
ヒキガエルは22本。バッタ24本。ハト80本。ウマ64本。ハツカネズミ40本。
イチョウ24本、サンショウ70本、シダの仲間には1000を超すのもいるんだとか…。
染色体の数が多ければ、複雑で高等な生物というわけではない。

(2)ウ 61.7%
*塩酸の電気分解。
電離式;HCl(塩化水素)→H+(水素イオン)+Cl(塩化物イオン)
化学反応式;2HCl→H2(水素)+Cl2(塩素)
陰極のAは水素、陽極のBは塩素。
反応式では水素と塩素の係数が1なので体積は1:1になるはずだが、
塩素は水に溶けやすいので、集まった体積は水素より減ってしまう。

(3)ア 45.5%
*仕事率P(W)=仕事W(J)÷時間(s;秒)
仕事W(J)=力の大きさ(N)×距離(m)
100gが1Nなので、150gは
1.5N。
1.5N×1.6m÷2秒=1.2W

(4)エ 53.8%
*受験生泣かせの火成岩の分類(´・_・`)

Hi-HOより。マグマが冷えてできた岩石を火成岩という。
地表付近で急激に冷えた火山岩は、結晶がまばらな斑状組織。
地表深くでゆっくり冷えた深成岩は、結晶が成長した等粒状組織。
図2は結晶の大きさがバラバラなので火山岩となる→玄武岩
岩石を構成する鉱物は、石英と長石が無色鉱物。
それ以外の黒雲母、角セン石、輝石、カンラン石は有色鉱物
玄武岩もハンレイ岩も有色鉱物の割合が高い。

(5)イ 51.3%
*酸化銀の熱分解。
2Ag2O(酸化銀)→4Ag(銀)+O2(酸素)
うえの化学反応式で銀原子を●、酸素原子〇とすれば、
●〇● ●〇●→● ● ● ●+〇〇

大問2(総合問題)-67.1%

〔水に関する事物や現象のリード文〕
(1)ウ 63.7%
*水は空気に溶ける。
1m3あたりに溶け込める最大の量を飽和水蒸気量(g/m3)といい、
温度が高くなると飽和水蒸気量は大きくなる。
温度を下げて露点に達すると、含み切れなくなった水蒸気が水(霧)として現れる。
室温は24℃、飽和水蒸気量は21.8g/cm3
露点は14℃だったので、12.1g/cm3の水蒸気が空気中に溶けている。
これを百分率に変換。12.1÷21.8×100=55.50…≒55.5%

(2)イ 68.7%
*塩化カルシウムを入れない試験管Aを使った理由。
塩化カルシウムを入れると水の融点が下がるということだが、
そもそも水の融点がわからないと”融点が下がった”とは言えない。
言わずもがな0℃であるが、水に不純物が混じっているかもしれないので一応確かめておく。

融点(凝固点)が下がると、氷点下でも水の状態でいられるので凍結の防止につながる。
氷から水に状態変化するときに周りから熱を奪い(融解熱)、温度が下がっている。

(3)ア 62.6%
*光の反射。

水面を対称の軸としたとき、像であるサクラの木を上下対称にする。

(4)エ 73.6%
*外套(とう)膜といえば…

イカだろう
🦑イカは軟体動物
ちなみに、外套は英語でコート(coat)。
節足動物は昆虫類・甲殻類(エビ、カニ、ミジンコなど)・クモ類・ムカデ類に分かれる。

水質階級の判定がキツイ(;´・ω・)
聞いたことのない生物のカタカナに悩まされる。。
2点シマトビケラ…Ⅱ
2点シマイシビル…Ⅲ
1点カワニナ…Ⅱ
1点カワゲラ…Ⅰ
1点ヒラタカゲロウ…Ⅰ
合計点数が最も高い階級は3点のⅡ。

科学技術振興機構より、
オオシマトビケラ。
シマイシビルはヒルの一種。写真は貼らないよ( ˘ω˘ )

@BOD(生物化学的酸素要求量)@
有機物を含む汚水の流入で川や湖が汚れても、水による希釈や水底への沈殿、
砂礫などへの吸着、微生物の分解などにより、一定の範囲であれば自然浄化で元に戻る。
しかし、自然浄化の範囲を超える汚水を垂れ流すと生態系に悪影響を及ぼす。

高校生物をまとめてみるより、汚水が流入したときの状況の変化。
上が生物の個体数で、下が物質量について。
汚水が流れると有機物を分解する細菌類が増加。
つづいて、細菌類を捕食するゾウリムシなどの原生動物が増加。
これらの増殖で水中に溶けている酸素の濃度(溶存酸素)が低下する。
微生物が有機物を分解するときに使われる酸素量をBOD(生物化学的酸素要求量)といい、
BODの値が高いとそれほど有機物を多分に含むので汚染度の高い水といえる。

原生生物の増加で細菌類が減少。捕食者である原生生物も減少。
細菌類が有機物を分解したときに無機塩類のアンモニウムイオン(NH4)が作られ、
これを肥料に藻類が増加。光合成による酸素の生成によりBODは減っていく。
汚染が浄化されると、問題文のⅠにあるサワガニやカゲロウといった
清水性動物が現れる。


大問3(太陽高度)-39.5%

(1)ウ 75.6%
*天球の方位を定める。

Aが南、Cが北なので、Bが西。つまり、Gが日の入りとなる。
15時~Gまでは9.6cm。1時間で2.4時間だから、9.6÷2.4=4時間
よって、日の入り時刻は15時の4時間後である19時。

(2)エ 32.0%!
*南緯35.6°における太陽の動きが問われた(;´・ω・)

実は、問題の天球の裏側が南緯35.6°の軌道に相当する。
南半球なので北側に南中(正中)する

夏至の東京では北寄りの東から日が出て、北寄りの西に日が沈むことで日照時間が長くなる。
逆に、南半球では北寄りの東から北寄りの西に沈むことで日照時間が短くなる

(3)太陽光が地表に対して垂直に差し込むほど、
単位面積あたりに受ける光の量が多くなるから。 41.6%(部分正答含む)
*経験則上、太陽の光が垂直に差し込むほど暑くなるものだが、
知識を整理していないと答案が作りにくい。

2018年度・渋谷教育学園幕張中学の解説より。
平行な太陽光線を等間隔に図示。
黒い板をア~カの角度に傾け、最も温度が高い角度と低い角度を求める問題。
最も温度が高いのは、板に10本の太陽光線があたるウ。
最も温度が低いのは、板に5本の太陽光線があたるカ。
板の面積はどちらも同じだが、一定の面積が受ける太陽光線の量が異なる。

山口大学情報基盤センターより。
いずれも板の面積は同じ。
赤道にある板が太陽光を受ける面積を②とすると、
北緯30°では〇√3、北緯60°では①となる。
『太陽高度(h)における単位面積当たりの入射量はsinhに比例する』

(4)①ア②ウ 8.9%!!
*完全解答。
①類題の経験はあると思うが、丁寧な理解を要する。

水温が最も高くなる→装置を太陽光に対して垂直にあてる
模式図で太陽光は真横なので、装置は縦方向に描く。
〔c+d=90°〕を頼りに装置と地平面の角度を調べると、右図のように∠cとなる。
②cの角度を求める。

太陽光と公転面は平行。同位角でcを下すと、c=e+f
eは赤道と地点Xとのあいだの角、すなわち、Xの緯度35.6°。
fは公転面とそれに対する垂線を合わせた十字を回転させ、
赤道と地軸の十字に傾けた角度、すなわち、公転面の垂線に対して地軸が傾く23.4°。
c=35.6+23.4=59.0°

@緯度と南中高度@
春分・秋分→90°-緯度
夏至→90°-緯度+23.4°
冬至→90°-緯度-23.4°

求め方は先と同じ。
ちなみに、北半球の夏至に太陽が真上を通る北緯23度26分は北回帰線
反対に、北半球の冬至に太陽が真上を通る南緯23度26分は南回帰線とよばれる。

大問4(消化)-42.3%

(1)①ア②ウ③ウ 59.2%
*完全解答。
①②デンプンが別の物質に変わったことがわかる容器を選ぶ。
デンプンがあるとヨウ素液が茶褐色から青紫色に変わる。
水のAではヨウ素反応が見られたが、唾液のCでは見られなくなった。
→デンプンがなくなって別の物質に変わった。
③デンプンが分解されると糖に変わる。
糖があるとベネジクト液が青色から赤褐色に変わる。
Bの水ではベネジクト反応が見られなかったが、唾液のDでは見られた。
水と比較するのがポイント。

(2)エ 18.5%!
*アミラーゼはデンブンを糖に分解する。
<結果1>のFはヨウ素反応が見られ、ベネジクト反応が見られない→デンプンのまま。
<結果2>のHはXの溶液を染み込ませたろ紙の部分でタンパク質のゼラチンが溶けた。
→消化酵素Xはタンパク質を分解するペプシン

(3)①イ②ア③エ④イ 25.9%!
*完全解答。
デンプンは唾液や膵液(すいえき)に含まれるアミラーゼにより麦芽糖へ、
膵液や小腸の消化液に含まれるマルターゼによりブドウ糖に分解される。
タンパク質は胃液に含まれる
ペプシンや膵液に含まれるトリプシン、
ペプチダーゼにより
アミノ酸に分解される。

胆嚢(胆のう)は肝臓で分泌された胆汁を蓄え、濃縮する。
胆汁は脂肪の消化を助け、十二指腸に排出される

未来へひろがるサイエンスより。
脂肪は1つのグリセリンに3つの脂肪酸がくっついたトリグリセリド。
従来はリパーゼなどの働きで3つの脂肪酸の結合が解かれると考えられていたが、
実は1つの脂肪酸はくっついたままのモノグリセリドであることが判明した。

(4)柔毛により小腸の内壁の表面積が大きくなるので、
栄養を効率よく吸収することができる。 65.5%(部分正答を含む)
*微小の突起は『柔毛』。
記述の内容は頻出。表面積の拡大で効率の良く栄養素を吸収する。

日本人(大人)の小腸の長さは5~7m。
表面積はおよそ200m2で、テニスコート1面分に匹敵するらしい。。
 
ちなみに、大人の血管をすべてつなぎあわせると10万km(地球2周半!!)。
にわかに信じがたいが(;`ω´)毛細血管がすごいんだと思う。


大問5(物質の性質)-30.0%

(1)イ 21.3%!
*加熱で焦げるのは、炭素元素Cをもつ有機物
(ただし、炭素や一酸化炭素、二酸化炭素は無機物に分類される
燃焼で二酸化炭素と水が発生し、砂糖のように炭化して炭になるものもある。
反対に、無機物は加熱しても焦げない。

ロウは有機物。問題は活性炭(´゚ω゚`;)
活性炭の主成分は炭素で無機物
ロウが燃焼で激しい熱や光を伴うので、ロウ→有機物から解答する。

Metacより。炭と活性炭はどちらも炭素だが、違いは孔(こう;穴)。
活性炭の孔は数が多く、小さい。
ナノレベルの孔に物質が入り込み、物質を閉じ込めることができる(吸着)。
活性炭は臭いの成分や有害物質の除去に用いられる。

(2)①ウ②ア 30.1%!
*完全解答。
まずは物質名をあてる。
加熱して焦げたDはショ糖。糖は不完全燃焼で炭化する。
Aが悩みやすい( ̄~ ̄)
加熱で溶ける物質はミョウバン。
正八面体の結晶で有名なミョウバンは、後ろにある溶解度の問題にもでてくる。
水温の上昇で溶解度がグンと上がるので、熱に溶けやすいのでは?と想像するしかないような。。
もしくは、
加熱後に白い物質が残るB・Cが塩化ナトリウムか炭酸水素ナトリウムなので、
ここから消去法でA=ミョウバンと絞る。

炭酸水素ナトリウムの熱分解
2NaHCO3(炭酸水素ナトリウム)
→Na2CO3(炭酸ナトリウム)+H2O(水)+CO2(二酸化炭素)
二酸化炭素が発生するので、Bが炭酸水素ナトリウム
①二酸化炭素は酸性で、少し水に溶ける。
ア:酸素の助燃性 イ:水素の可燃性
②二酸化炭素の生成方法。石灰石+塩酸→二酸化炭素
イ:二酸化マンガン+過酸化水素水→酸素
ウ:亜鉛+塩酸→水素
エ:塩化アンモニウム+水酸化カルシウム→アンモニア

塩化ナトリウムは加熱しても変化なし。(C)

砂糖を熱すると焦げるが、塩は焦げずにそのまま。
が、むっちゃ加熱(800℃ほど)すると塩が液体になる!

(3)NaCl→Na+Cl- 44.9%(部分正答を含む)
*物質Cは塩化ナトリウム(NaCl)。
陽イオンのナトリウムイオン(Na)と陰イオンの塩化物イオン(Cl)に電離する。

(4)ミョウバン 36.9%、8.6g 16.7%!
*電流が流れなかったDはショ糖が非電解質なため。
砂糖水やアルコールは電離しないので電流が流れない。
塩化ナトリウムCは、20℃の溶解度が35.8gで全て溶けた。

AのミョウバンかBの炭酸水素ナトリウム。
水溶液Pは40℃で20gすべて溶けた。
答えは40℃の溶解度が23.8gであるミョウバンとなる。
20℃に冷やして析出される結晶は、20-11.4=8.6g

大問6(電流)-55.0%

(1)グラフ 70.2%(部分正答を含む)、1.5A 58.3%

*公式解答より。
1.0V-0.17A、2.0V-0.33A、3.0V-0.50A、4.0V-0.67A、5.0V-0.83A
原点からこれらの近似値を直線で結ぶ。
折れ線にしないこと!測定値には誤差がつきもの。

格子点にある〔3.0V-0.50A〕を基準に考えよう。
0.50A×9.0V/3.0V=1.5A

(2)イ 37.5%
*0.5:2.1=5:21…ではない!!(`ω´)
これは回路上の点aから点bまで(AとB)にかかった電圧の大きさ。
問われているのは、電熱線Bに流れる電流の大きさ。

電熱線(抵抗)を直列につないだ場合、電流の大きさがA・B同じ。
電熱線Bに流れる電流は、<結果2>の直列より0.5A。
電熱線を並列につないだ場合、電圧の大きさがA・B同じ。
電熱線Bにかかる電圧は5.0V。
<結果1>より電熱線Bは5.0Vのとき、1.25Aの電流が流れる。
直列:並列=0.5A:1.25A=2:5

(3)エ 36.6%
*発熱量の計算。
発熱量Q(J)=電圧E(V)×電流I(A)×時間t(秒;s)
5.0V×2.1A×300秒=3150J

4)ア 72.3%
*電熱線は抵抗。
オームの法則から電流と抵抗は反比例。
→抵抗値が大きくなると、電流は流れにくくなる。
電流が流れるとジュール熱が発生する。(電気エネルギー→熱エネルギー)

@ジュール熱@

わかりやすい高校物理の部屋より。
原子は+の原子核の周りを-の電子がまわっているが、
金属元素の電子は原子核の束縛を
受けず、電子が自由に動き回ることができる
このような電子を自由電子という。
電圧をかけると自由電子が動き、電流がながれる。
このとき、自由電子が他の原子につぎつぎと衝突して振動させる。
この振動(熱運動)によってジュール熱が生じる。

 
難化したが、得点分布はきれいな山なりで実力差がついた。
全体的に問題文が長く、読解が苦しい:( ´ω` ):
必要な情報をササっと拾える力が試される。
配点がほぼ4点なので、1問あたりの重みがある。
大問1
(2)7割目指そう。
(3)仕事率。計算が苦手な人でも、公式の暗記だけで得点ゲット。
(4)火成岩は知識の整理がわずらわしいが、半数以上が正解!
大問2
(4)正答率は低いかと思いきや、7割を超していた(・Д・)
(3)の方が簡単だと思うのだが・・。
大問3
(2)東京以外の太陽の動きまで把握していたか。
北半球と南半球では南北と季節が逆であることからも想像できる。
(3)(4)シブマクの問題のように、
これらはセットで攻略しておきたい。
(4)平行線と同位角がポイント。図からどの同位角を使うか判断する。
大問4
完全解答が2題出題。
(2)消化酵素Xは結果2から分かる。
大問5
(1)おそらくロウか活性炭で迷ったと思われる。
(2)ミョウバンが曲者だった。白い物質と気体発生から炭酸水素ナトリウムと決める。
(4)そんなに難しくはない。
大問6
(2)情報の整理が問われた。結果1の表も使う。

@2020年度(都立)@
数学…平均61.1点 数学(分割後期) 社会…平均57.0点 英語…平均54.7点
その他は下記リンクの目次からどうぞです。
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2020年度 岡山県公立高校入試問題【数学】解説

平均56.6点(前年比;-4.1点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)


4+(-8)
=4-8=-4


(-18)÷(-3)
=6


4(2a-b)-(-3a+b)
=8a-4b+3a-b
=11a-5b


6ab×(-3/2a)
=-9a2


(1-√5)2
=1-2√5+5
=6-2√5


2-x-3=0
因数分解ができないので解の公式。
x=(1±√13)/2



円周角定理より、∠ACB=70÷2=35°
△BCPで外角定理→∠APB=35+65=100°


3枚の硬貨を投げて表・裏がでる結果→23=8通り
すべて裏がでる→1通り
少なくとも1枚は表→8-1=7通り
7/8


円柱の体積…r×r×π×2r=2πr3
球の体積…4/3πr3
2πr3÷4/3πr3=3/2倍

*本問は選択肢問題なのでありがたいが、分母分子を逆にしないように!
球の何倍かだから、球の体積が分母(割る数)にくる。

⑩(1)
相対度数は小数で求める。
3÷15=0.20
*公式解答では0.20とあるが、0.2でも間違いにはならないと思う。

(2)
階級値×度数を足して総和を求め、それを15で割る。
(10×0+30×1+50×6+70×4+90×3+110×1)÷15
=990÷15=66点

大問2(標本調査&方程式)


無作為に取り出した25個のうち、模様入り:単色=6:19
全体は500個なので、6×500/25=120


②(1)
個数と値段で連立。
x+y=500 …①
7x+3y=2000 …②

(2)
うえの連立を解く。
②-①×3
 7x+3y=2000
-)3x+3y=1500
 4x   =500
x=125
①に代入、y=500-125=375
模様入り…125個、単色…375個


大問3(関数)


ア:a>0の比例。右上のグラフで、xが増加すればyも増加する。〇
イ:a<0の一次関数。右下のグラフで、xが増加すればyは減少。×
ウ:a>0の反比例。双曲線を描き、xが増加すればyは減少。×
エ:a<0の放物線。上に凸のグラフで、x=-3のときy=-9、
x=1のとき、y=-1で、yの値は増加する。〇

ア・エ

②(1)
変化の割合からaを求める。
y=ax2より、x=-2のとき、y=4a
x=4のとき、y=16a
16a

(2)
続き。
答案では過程も記述する。
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
(16a-4a)/{4-(-2)}
=12a/6=2a=1
a=1/2


y=1/2x2にx=-2を代入。
A(-2、2)
変化の割合は1ということは斜め45度

直角二等辺三角形を作成。
Aから下に2、左に2で、C(-4、0)
-4

④(1)

OHを回転の軸として台形OHACをグルっと回すと円錐台になる。
△IAH∽△ICOで、ともに直角三角形。IO=4cm
大きい円錐から上の小さい円錐を引く。
辺の比1:2→体積比1:8
小さい円錐の体積を【1】とすると、円錐台の体積は【7】。
4×4×π×4÷3×7/8=56/3πcm3

(2)
今度は表面積を求める。
上と下は円。2×2×π+4×4×π=20πcm2
問題は側面積。
△ICOは1:1:√2の直角三角形→IC=4√2

中心角は〔=×半径/母線〕で処理。
辺の比1:2→面積比1:4から、求積すべき範囲は【3】。
4√2×4√2×π×4/4√2×3/4=12√2πcm2
したがって、20π+12√2π=
(20+12√2)πcm2

大問4(文章題)


垂線の作図。
教科書通りの作図なので必答。
1:Aに針を合わせて弧を描く。
2:ℓとの交点から弧を2つ描く。
3:その交点とAを結ぶ。


OA:AB=4:5だから、
AB=12×5/4=15m

③(1)
OC:CD=2:3
ODは右に2、上に3なので、傾きは3/2。
OD;y=3/2x
3/2x

(2)

y=3/2xにx=15を代入し、Dのy座標を求める。
y=3/2×15=45/2

(3)
点Eのx座標を求める過程を書く。
Eのy座標が45/2なので、これをy=5/4xに代入。
45/2=5/4x
x=18
点Eのx座標は18。


『図3をもとに図4を作成』とあるので、数値は先ほどの図を用いる。

FPとx軸との交点をQとする。
四角形FQODは2組の対辺が平行な平行四辺形。
QO=FD=3m
QFの傾きはODと同じ3/2だから、QO:OP=2:3
OP=3×3/2=9/2m

@日照権@
太陽の光を享受する権利を日照権という。日照権を明文化した法律はないが、建築基準法では本問のような斜線制限や日影規制の定めにより、最低限度の採光を確保する仕組みはとられている。
また、
建築制限に違反していなくても、社会通念上受任すべき限度を超えた場合(受忍限度論)も損害賠償請求や建築差止め請求ができる可能性がある。よほど酷い場合でないと無理っぽいが。。


大問5(平面図形)


平行四辺形になる条件
1;2組の対辺が平行である。
2;2組の対辺の長さが等しい。(エ)
3;2組の対角の大きさが等しい。
4;対角線が各々の中点で交わる。(イ)
5;1組の対辺が平行で、かつ長さが等しい。(ア)

対角線の長さが等しく、垂直に交じっても平行四辺形とは限らない。

②(1)
△AFE∽△BFGの証明。

AE//BGから、同位角で∠EAF=GBF
共通角より、∠AFE=∠BFG
2角が等しいので∽。
*書きやすいので証明が苦手な人も正解したい。

(2)
BがAFの中点→△AFEと△BFGの辺の比は1:2。
BG=1/2AE
1/2
*AE=②とすると、BG=ED=①となり、BG=EDとなる。

③(1)
DE=15×1/3=5cm
△DEHの底辺DE、高さがHPなので、△DEHの面積が知りたい。

前問でBG=EDであった。
AD//BCの錯角から、1辺と両端角相等より△BGH≡△DEH
DH=EH=BH=GH
 
Hを通るADに平行な線を引き、ABとの交点をIとする。
Hは対角線BDの中点。△ABD∽△IBHよりAI:IB=1:1
△BGHを△BGIに等積変形。
△BGIと△BGFの面積比→IB:BF=1:2
指針;【△BGF⇒△BGI=△BGH=△DEH
△BGI(△DEH)の面積は、20√6×1/2=10√6cm2
よって、PHは、10√6×2÷5=4√6cm

(2)

PHを延長し、BCとの交点をQとする。
PHもHQは合同な二等辺三角形の高さ→PH=HQ
PQ=4√6×2=8√6cm

二等辺の頂角から底辺におろした垂線は底辺の中点を通る+合同な二等辺→PE=QB
つまり、PQを下方向に平行移動させるとBEになる
△ABEで三平方。
AB2=102+(8√6)2=100+384=484
AB=22cm

大問1
おそらく正解率は高いと思われるので、8~9割以上は確保しておきたい。
⑨円柱と球の体積を求めて割り算。選択でなくても解けるようにしておきたい。
大問2
ここも基本なので取りたい。
標本調査は取り出した25個のうち、模様入りは6個であるとわかれば、あとは割合計算。
大問3
オーソドックスな設問が多い。
④回転体の体積だけは何とか求めておきたい。
円錐台の体積は公立高校入試でもよくでてくる。
(2)表面積の計算は手際の良さが求められる。
中心角は×半径/母線は使えるようにしておくこと。そうなる理由も知っておきたい。
大問4
岡山名物。今年は日照に関する建築規制が出題された。
問題文が長いので、上位校狙いは大問3まではスピードを重視したい。
設問の中身はそれほど難解ではなく、計算処理も少ない。
図に数字を記入すること!
大問5
②(1)証明は平易であった。
③(1)Hが対角線BDの中点(平行四辺形の中心)にあることに気付きたい。
△DEHはどこと面積が等しいのか。離れている△BGFにつなげる。
(2)平行四辺形の高さではなく、ABを1辺とする直角三角形→三平方で攻める。
BEに補助線を描けたか否か。

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2020年度 大阪府立高校入試C問題【数学】解説

平均41.3点
問題はコチラ→PDFファイル
A問題B問題の解説はコチラ。

大問1(小問集合)

(1) 96.5%
3/8a2b÷9/4ab2×(-3b)2
=3/8a2b×4/9ab2×9b2
=3/2ab

(2) 87.1%
(6-√18)/√2+√2(1+√3)(1-√3)
(6√2-6)/2+√2{12-(√3)2
3√2-3-2√2
=√2-3

(3) 81.2%
(x-1)2-7(x-1)-8=0
(x-1)をXに置き換え。
2-7X-8
=(X+1)(X-8) ←Xをx-1に戻す。
=(x-1+1)(x-1-8)
=x(x-9)=0
x=0、9

(4) 54.1%
反比例で変化の割合が問われた(´゚д゚`)
x=3のとき、y=a/3
x=5のとき、y=a/5
変化の割合=yの増加量/xの増加量

a=-15

(5) 72.9%
まずは条件整理。

A8個、B10個、C4個。
P;A→Cに2個or3個or5個移動。
Q;B→Cに1個or3個or5個移動。
移動後の個数がA<B<Cとなる確率を求める。

◆A<B
Aが8個、Bが10個。差はB-A=2
QがPより2以上大きいと、A≧Bとなり不適
(P、Q
)=(2、1)(2、3)(3、1)(3、3)(4、1)(4、3)(4、5)

◆B<C
うえの7通りのうち、CがBより多くなるパターンを絞る。
たとえば、(P、Q)=(2、1)ならば、Cは4+2+1=7個となり、
Bは10-1=9個でB>Cとなるから不適。
(P、Q)=(2、3)(3、3)(4、3)(4、5)
以上4通り。
したがって、4/9

(6) 38.8%
算数でいきます(;`ω´)

 ↑8年分はあらかじめ均して長方形に整理。
長方形の上の辺が8年の平均値。

2.6℃と16.2℃を加えて、10年で均すと平均値は0.3℃下がる。
10年の平均値より上にある長方形の上部0.3×8=2.4℃と
16.2℃の上部が2.4℃を埋めることで10年の平均値になる
→長方形の上部2.4℃を右の2年に合算し、右の2年を均すと10年の平均値となる。
2.4+2.6+16.2=21.2℃
21.2÷2=10.6℃

@別解@
算数大好きさん(@kimagure_mana)より素敵な解法を頂きました(*´д`艸)

求めたい10年の平均値を支点に設定。
両サイドは2年の平均9.4℃、8年の平均□+0.3℃で、
支点からの距離は2:8=1:4の逆比。
①=0.3℃から計算すると10.6℃となります。
*天秤法は食塩水の濃度問題でメジャーですが、平均でも応用できるんですね(゚∀゚)
多少の慣れが求められますが、こういう問題は算数の方が処理が少ないのでオススメです。

(7) 21.8%!
シンプルだが…厳しい(´Д`||)
こういう整数論は文字を使って等式を立ててみる。
93の倍数⇒93k、素数⇒p
 2020-n=93k…①
+)n-780= p…②
   1240=93k+p

93をk倍して素数pを足すと2020になる。
試しに2020を93で割ってみる。
2020÷93=13…31
ちょうど余りの31が素数であり、k=13、p=31と出てしまう(;’∀’)
これを②に代入して、n-780=31
n=811
*運良く出てしまったが・・1240と93を観察するといずれも31の倍数なので、
1240=93k+p
p=1240-93k=31(40-3k)
31が素数なので、31(40-3k)を素数のままにするには、
40-3kが1のときしかない。(31×1=31)
40-3k=1
k=13
①に代入して、n=811となる。

(8) 48.7%
答案では過程も記述する。

A(4、16a)
B(-2、-2b+4)
AとBのy座標を手がかりに、16a=-2b+4…①

ℓ//nからnの傾きはb、切片は3だから、n;y=bx-3
D(4、4b-3)
正方形ABCDの1辺はAとBのx座標の差である6cm。
AD=16a-(4b-3)=6
16a-4b=3
…②

①と②で連立。代入法が使える。
②の16aに①の-2b+4を代入。
-2b+4-4b=3
b=1/6
①に代入。
16a=-2×1/6+4
a=11/48
a=11/48、b=1/6


大問2(平面図形)

(1) 30.1%!
四角形EACFが平行四辺形である証明。

AC//EFと1組の対辺の平行がわかっているので、
2組の対辺が平行であるか(AE//CF)、
1組の対辺が平行でかつ長さが等しいか(AC=EF)。
AE//CFは錯角や同位角を見つけにくいので、
合同図形や平行線を頼りにAC=EFの導出に的を絞る。

二等辺ABDの底角→∠ABD=∠ADB(×
AB//EDの同位角→∠ABD=∠EDF(×
AC//EFの同位角→∠ADB=∠EFD(×
△DEFにおいて2つの底角が等しい→二等辺三角形
EF=ED(★)
△DAE≡△ABCより、ED=CA(対応する辺に気を付けよう!)
以上より、EF=CAが導かれ、1組の対辺が平行かつ長さが等しく、
四角形EACFは平行四辺形となる。

(2)① 83.5%

△ACGで三平方→CG=4√2cm
△BCGで三平方→BC=4√3cm

② 20.0%!

CGとDEの交点をIとする。
EHを1辺とする三角形は△EHI。
BG//DEにより、△EHI∽△AHG
AE=BC=4√3cmであるから、AH:EHさえわかればいい。
AH:EH=AG:EI
前問の証明の通り、DE=AC=6cmなので、EIの長さを知りたい。

AG//DIより、△ACG∽DCI
△ABDは二等辺なので、AD=2cm、DC=4cm
DI=2×4/6=4/3cm
IE=6-4/3=14/3cm
AH:EH=AG:EI=2:14/3=3:7
EH=4√3×7/10=14√3/5cm

③ 8.2%!!

四角形EHCF=平行四辺形EACF-△ACH
前問でAH:HE=3:7をわかったので、
△ACHの面積を【3】とすると、△HCEの面積は【7】。
CEは平行四辺形の対角線で、△CEFの面積は△CEAと同じ【10】。
つまり、平行四辺形EACFの面積の17/20倍をすれば四角形EHCFとなる
平行四辺形EACFの面積が知りたい。

高さは直角のあるところに目をつける
∠BGC=90°
△ABC=2×4√2÷2=4√2cm2
合同より、△ADE=4√2cm2
AD:DC=2:4=1:2だから、
△ADEの面積を①とすると△DCEは②、△CEFは③。
平行四辺形EACFの面積は⑥となる→4√2×6/1=24√2cm2

したがって、四角形EHCFの面積は24√2×17/20=102√2/5cm2

大問3(空間図形)

(1)① 58.8%
EJ+JIが最小→直線
展開図を作成。

問題文にあるように、四角形EADHとHGCDは長方形。
△EJH∽IJDより、HJ:JD=EH:ID=4:3
HJ=8×4/7=32/7cm
△EJHの面積は、4×32/7÷2=64/7cm2

② 31.8%!
角度が同一平面上にない・゚・(゚`Д´゚)・゚・
そういうときは、同じ面に写してみよう


奥の四角形EFGHを手前の四角形ABCDに投影。
KD//BIより、同位角で∠ABI=b
四角形ABCDは等脚台形なので、∠ABC=∠DCB=a+b
△BCIで外角定理→∠BID=a+(a+b)=2a+b

③ 9.4%!
四角形EFGHだけだと情報が足りないので、先ほどの投影した図を用いる。

DKとCF(CB)を延長、交点をLとする。
△FCI∽LCDより、LC=8×5/2=20cm
LF=20-8=12cm
△AKD∽△FKLより、AK:KF=AD:FL=4:12=1:3
KF=5×3/4=15/4cm

(2)① 39.2%

DFを対角線とする直方体をみつける。
辺の長さがa、b、cの直方体の対角線→√(a2+b2+c2

直方体の高さを求める。
等脚台形は公立高校入試でよく出てくるよ!( ˘ω˘ )
AとDから垂線、足をN、Oとする。
等脚台形は左右対称。BN=(8-4)÷2=2cm
△ABNで三平方→AN=√21cm

↑上からみた図。
横は8cm、縦は先ほどの図で言えばBOで6cm。
対角線DF=√(82+62+√212
=√121=11cm

② 3.5%!!
Aと平面DFLの距離であるAMを求めるので、
まず、AMを高さとする立体を見極める。

三角錐F-ADLです。
前問で求めたDFも辺に含んでいる。
三角錐F-ADLの体積を求め、底辺である△DFLの面積から高さAMを算出する。

 長さを認定していく。
EF//AB//DLで、四角形ABLDは2組の対辺が平行である平行四辺形
BL=4cm、DL=5cm
△FBLで三平方→FL=4√5cm

等脚台形ABCDの高さは前問で√21cmと求めたので、
三角錐F-ADLの体積は、4×√21÷2×8÷3=16√21/3cm3

△DFLの3辺の長さがわかった。
LからDFに垂線、交点をPとおく。
DP=xとすると、FP=11-x
2つの三角形で三平方。
DL2-DP2=LP2=FL2-FP2
2-x2=(4√5)2-(11-x)2
25-x2=80-121+22x-x2
22x=66
x=3

△DLPは3:4:5の直角三角形→LP=4cm
△DFLの面積は、11×4÷2=22cm2

したがって、AMの長さは、16√21/3×3÷22=8√21/11cm

大問1
(4)あんまり反比例で変化の割合は考えないしね(´・∀・`)
(5)場合の数。よく調査できている◎
(6)平均。正攻法は方程式だと思うが、算数力が生かせる設問。
(7)整数。こういう形式を経験したか否かで差が大きくでる。
(8)処理系の記述問題。めんどい< `∀´ >
大問2
(2)②EHを知るにはどこを知るべきか。ゴールから逆算する。
③面積比の処理は手際良く!(ノ)`ω´(ヾ)
慣れれば1つの式で答えが求まる。
大問3
(1)②面が離れているのでウッとなるが、2つの面が平行⇒写す。
(2)②決着は立体を見つけられたか否か。
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2020年度 大阪府立高校入試B問題【数学】解説

平均49.5点
問題はコチラ→PDFファイル
A問題C問題の解説はコチラ。

大問1(小問集合)

(1) 93.5%
18÷(-6)+(-5)2
=-3+25=22

(2) 86.9%
(a-1)/2+(a+7)/4
={2(a-1)+(a+7)}/4
=(3a+5)/4

(3) 79.3%
2a2÷ab×(-5b2
=-10ab

(4) 84.3%
(x+2)2-x(x-3)
=x2+4x+4-x2+3x
=7x+4

(5) 50.3%
ア:-a⇒マイナスがつくので符号チェンジ。
イ:a+2⇒数直線を思い浮かべよう。
a=-2のとき、a+2は0となり、aと同じ負の符号にならない。
0は正でも負でもない
-2<a<0の範囲であれば
符号チェンジ。
ウ:a2⇒2乗なので常に正になる。aが負であれば符号チェンジ。
エ:a3指数が奇数なので符号が変わらない。〇
オ:1/a⇒aが分母にきただけで符号はaと変わらない。〇
エ・オ

(6) 57.3%
ルートが外れれば自然数になる。
→ルートの中の189nの値が平方数になればいい
189を素因数分解。
189=3×3×3×7
189n=(3×3)×(21×n)=63×63(←平方数)
最も小さいnは21。

(7) 24.5%!
3年生の平均値=3年生の総和÷3年生の人数(8人)
3年生の総和は、全学年の総和から1・2年生の総和を引けばいい
(3.5×40-3.6×20-4.0×12)÷8
=20÷8=2.5

(8) 78.1%
10a+bは2桁の整数。
2桁の8の倍数を考える。
【16・24・32・40・48・56・64・72…】
サイコロの出目は1~6なので、
【16・24・32・56・64】の5通りだけ。
5/36

(9) 23.0%!

C座標から展開しよう。
Aのy座標が-6なので、これをy=-3/8x2に代入。
-3/8x2=-6
2=16
Aのx座標は負だからx>0より、x=-4
A(-4、-6)

A(-4、-6)→O(0、0)
右に4、上に6なので、AOの傾きは6/4=3/2
AO;y=3/2x

これにBのx座標であるx=7を代入。
y=3/2×7=21/2
B(7、21/2)

これをy=ax2に代入。
21/2=49a
a=3/14

大問2(一次関数)

(1)① ア…97.0%、イ…95.5%
A問題と同じ。体育祭だけを考える。
はじめにタイトルで4秒。写真1枚につき5秒追加される。
ア…4+5×4=24
イ…4+5×7=39

② 88.2%
y=5秒×(写真x枚)+(タイトル4秒)
y=5x+4

③ 88.6%
うえの式にy=84を代入。
5x+4=84
5x=80
x=16

(2) 61.6%
連立方程式。
答案では過程も記述する。
体育祭がs枚、文化祭がt枚。
写真の枚数の合計が50枚なので、
s+t=50…①

体育祭の時間が5s+4秒、文化祭の時間が8t+4秒だから、
(5s+4)+(8t+4)=300…②

①と②の連立方程式を解いて、s=36、t=14


大問3(平面図形)

(1)① 56.3%

△ABEの内角は30°-60°-90°で、1:2:√3の直角三角形。
BE=6×√3/2=3√3cm

② 26.5%!
ODに補助線。
△BDOは半径より二等辺。
∠BOD=180-30×2=120°
半径BOは、6÷2=3cm
弧BDの長さは、3×2×π×120/360=2πcm

(2)① 25.8%!
△ABC∽△BFGの証明。

弧BFに対する円周角より、∠ACB=∠BGF(
AB//CG→錯角、さらに弧BGに対する円周角につなげて、
∠ABC==∠BCG=∠BFG(×
2角が等しく∽。

②ア 15.3%!

直径に対する円周角は90°なので、∠BFC=90°
△BCFで三平方→BF=4√2cm
△ABCは二等辺三角形。
頂角Bから底辺ACにむけて垂線をおろし、その足がFなので、
FはACの中点にある(斜辺と1鋭角が等しい直角三角形で△ABF≡△CBF)。
AF=FC=2cm

①の二等辺三角形の相似(△ABC∽△BFG)を利用する。
BG:AC=BA:FB=6:4√2
BG=4×4√2/6=8√2/3cm

イ 0.4%!!!
難所です(´゚ω゚`;)

パッと見て直角に目がいくので、
①△BCFと△BCGを合算して四角形BGCFを求める。
②二等辺ABCの面積比から二等辺BFGの面積を求める。
③四角形BGCF-△BFG=△FGC
…となるが、処理手順が多い:;(∩´_`∩);:
そこで、△FGCの形をどうにか変形できないものか。。

FO
に補助線を描いてみた。
FはACの、OはBCの中点なので、
中点連結定理により、AB//FO(//CG)が成り立つ!

さらにFOを延長して、BGとの交点をHとおく。
AB//FH//CGだから平行線と線分の比より、AF:FC=BH:HG
すなわち、HはBGの中点にある!(ノ)`ω´(ヾ)
△FGCを等積変形。△HGCを求積すればいい
HG=8√2/3÷2=4√2/3cm
面倒くさいが…△BGCで三平方。
GC2=62-(8√2/3)2=36-128/9=196/9
GC>0だから、GC=14/3cm
したがって、△HGCの面積は、14/3×4√2/3÷2=28√2/9cm2

大問4(空間図形)

(1)① 93.1%

面IEFと面BCDが平行であると見抜ければ、
△IEFの1辺である線分FIと面BCDが
平行関係にあるとわかる。

② 1.2%!!

長方形EGHFの面積が16cm2
AB=10cmなので、長方形の縦にあたるFH=10-x

前問で面IEFと面BCDが平行。
三角錐A-IEFと三角錐A-BCDが全体で∽
EF:CD=AI:AB=〇x:⑩
EF=8×〇x/⑩=4/5x

長方形EGHFの横が4/5xcm、縦が10-xcm。
4/5x(10-x)
=8x-4/5x2=16
4/5x2-8x+16=0 ←両辺を5倍
4x2-40x+80=0 ←両辺を÷4
2-10x+20=0
なんと因数分解ができないので、仕方なく解の公式を適用。
xの係数が偶数なので、b=2b’が使える。
x=5±√(25-20)=5±√5
仮定より、0<x<5だから、x=5-√5cm

(2)① 14.8%!
底辺である△BCDの3辺の長さは判明している。

JD=xとすると、CJ=8-x
△BCJと△BDJで三平方。
BC2-CJ2=BJ2=BD2-JD2
2-(8-x)2=72-x2
81-64+16x-x2=49-x2
16x=32
x=2cm
△BDJで三平方→BJ=3√5cm

② 0.6%!!!

方針;【三角錐A-CDK⇒体積比で立体EFL-CDK】
前問のBJから底面の△CDBの面積が求まる。
三角錐A-CDBは底辺△CDB、高さ10cm。
三角錐K-CDBは底辺△CDB、高さ3cm。
ということは、三角錐A-CDKは底辺△CDB、高さ7cmの三角錐の体積に等しい
三角錐A-CDKの体積…8×3√5÷2×7÷3=28√5cm3

問題文の『三角錐A-EFL∽三角錐A-CDK』を使う。
EがACの中点にあることから、辺の比は1:2。
体積比は辺の比の3乗
三角錐A-EFLの体積を①とすると、三角錐A-CDKの体積は⑧、
立体EFL-CDKの体積は⑦となる。
28√5×7/8=49√5/2cm3

大問1
(5)すべて式だが手早く判定したい。
(6)根号が外れるときのnの値。よくある形式だが正答率は高くはない。
(7)
他の平均から3年生の平均を出さないように!
(9)わかる情報をグラフに書き込んで1個ずつ処理する。
大問2
正解率は高い◎
連立ももっと正解してほしい。
大問3
(1)②弧の長さ→半径の長さに集中する。
(2)イここはC問題並みにキツイかった(;∀;)
たまたま平行線を見つけられたが、そうじゃなかったら計算量が倍に増える。
大問4
(1)②長方形の縦と横の長さをxで表す。
解の公式→xの範囲から解を絞るまでコンプリートさせる。
(2)②三角錐の相似は見つけやすいと思う。
あとは時間を残せたか否か。
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2020年度 大阪府立高校入試A問題【数学】解説

平均点61.4点
問題はコチラ→PDFファイル
B問題C問題の解説はコチラ。

大問1(計算)

(1) 84.0%
-7-10
=-17

(2) 76.7%
8/7÷(-4)
=-2/7

(3) 90.7%
3×(-2)2
=3×4=12

(4) 69.3%
x+4+5(x-3)
=x+4+5x-15
=6x-11

(5) 91.8%
xy×2y
=2xy2

(6) 79.3%
√45+5√5
=3√5+5√5
=8√5

大問2(小問集合)

(1) 71.3%
2a+7
=2×(-8)+7
=-16+7=-9

(2) 69.3%
4.6-(-1.3)
=4.6+1.3=5.9℃

(3) 39.3%
ア:y=6x+30…一次関数×
イ:y=500/x…反比例×
ウ:y=-x+140…一次関数×
エ:y=25x…比例〇

(4) 65.8%
 5x+y=22…①
+)x-y=-4…②
 6x  =18
x=3
②に代入。y=3+4=7
x=3、y=7

(5) 47.6%
2+3x-10
=(x+5)(x-2)=0
x=-5、2

(6) 50.0%
和が8となる場合は、
(2、6)(3、5)(4、4)(5、3)(6、2)の5通り。
5/36

(7) 42.0%
ア:シュート9本は1年生で1人、2年生で0人×
イ:範囲(レンジ)=最大値-最小値
 1年生は9-6=3本、2年生は10-5=5本で異なる×
ウ:1年生9人の中央値(メジアン)は5番目→7本
 2年生11人の中央値は6番目→7本〇
エ:1年生の最頻値(モード)は7本、2年生は8本×

(8)① 54.9%
y=1/2x2にx=-4を代入。
y=1/2×(-4)2=8

② 18.9%!
a>0なので、下に凸のグラフとなる。
x=0のとき、最小値y=0
x=3のとき、最大値y=9/2
0≦y≦9/2
ア…0、イ…9/2

(9)① 96.7%
(え)を床にすると、(い)と(か)が左右の壁になる。

② 45.8%
(か)を底辺とすると、1辺acmの正方形で高さが5cmの直方体。
a×a×5=5a2cm3

大問3(一次関数)

(1)ア…90.7%、イ…86.0%
はじめに4秒。写真の枚数×5秒が加算される。
(ア)=4+5×4=24
(イ)=4+5×7=39

(2) 46.7%
y=5秒×写真x枚+タイトル4秒
y=5x+4

(3) 74.0%
上の式にy=84を代入。
5x+4=84
5x=80
x=16

大問4(平面図形)

(1) 41.6%
ACは1辺9cmの正方形の対角線。
1:1:√2より、AC=9√2cm

(2) 17.3%!
半径9cm、中心角90°の扇形の面積。
9×9×π×1/4=81π/4cm2

(3)a…44.7%、b…71.3%、c…38.0%
△CHB≡△EFCの証明。

半径より、BC=CE
∠CHB=∠EFC=90°
△CHB∽△EHGより、∠BCH=∠CEF
以上より、直角三角形の斜辺と1鋭角が等しいので合同。
a…CE、b…CEF、c…イ
*別の表現でも辺や角が特定できれば〇がもらえるが、
なるべく対応する順に記号を書こう。
問題文では△CHB∽△EHGが与えられていたが、
これは∠DFE=∠FCB=90°で同位角が等しく、
EF//BC→錯角が等しいことから2角相等より導ける。

(4) 4.3%!!
答案では過程も記述する。

△CHB≡△EFCより、CH=7cm
EH=9-7=2cm

ここで△CHB∽△EHGを使う。
EG:CB=EH:CH=2:7
EG=9×2/7=18/7cm
GF=7-18/7=31/7cm

@別解@

△CHB∽△EHGで、EH:EG=CH:CB=7:9でもOK。
EG=2×9/7=18/7cm
GF=7-18/7=31/7cm

大問1
数学が苦手な人も計算だけはしっかりやっておきたい。
大問2
(3)式で表す。比例に切片bがついたら一次関数。
(8)②変域問題はどこの都道府県でも出してくる。
迷ったらグラフを描いてみよう。
大問3
一応(2)が前提なのだが、(3)の方が正答率がいい・・(゚∀゚)
大問4
(3)までは粘りたい。
(2)の正答率が2割を切っていたが、単純に扇形の面積を求めるだけ。
扇形のなかにある線分は関係無い。見た目に騙されてはダメ(ヾノ・ω・`)
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