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2021年度 東京都立高校入試過去問・分割後期【数学】解説

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2021年度・都立(数学)の解説はコチラ
出題範囲の除外は三平方の定理と標本調査。

大問1(小問集合)

(1)
-3-1/2×6
=-3-3=-6

(2)
(a+7)/4+(a-9)/8
={2(a+7)+(a-9)}/8
=(3a+5)/8

(3)
(3√5+6)(3√5-6)
=(3√5)2-62
=45-36=9

(4)
2(x+8)=7-x
3x=-9
x=-3

(5)
5x-3y=9 …①
y=x+1 …②

代入法でやって欲しい形|д・)
②を①に代入。
5x-3(x+1)=9
x=6
②に代入。y=6+1=7
x=6、y=7

(6)
2-5x-4=0
解の公式です。
x=(5±√41)/2

(7)
33kg以上は18人。
18/40=45/100=45%
あ…4、い…5

(8)

弧CDの長さを求めるには、中心角CODが知りたい。
OC・ODに補助線をひく。

AB//CDから、全体が左右対称である
∠BAD=∠ABC=30°
中心角は円周角の2倍。∠AOC=∠ABC×2=60°
同様に、∠BOD=60°
∠COD=180-(60+60)=60°

よって、弧CDの長さは、8×2×π×1/6=8/3πcm

(9)
△ABCの外接円の中心を作図する。

辺AB・BC・CAの垂直二等分線のうち、2本の交点がOとなる。

大問2(式の証明)

(1)
2π(a+1)-2πa=2π

(2)

1つずつ面積を求めていく。
P=π(a+3)2-π(a+2)2=2πa+5π
Q=π(a+2)2-π(a+1)2=2πa+3π
R=π(a+1)2-πa2=2πa+π

P-Q=(2πa+5π)-(2πa+3π)=2π
Q-R=(2πa+3π)-(2πa+π)=2π
P-Q=Q-R=2πで、題意は示された。


大問3(関数)

(1)
y=1/4x2において、
x=0のとき、最小値y=0
x=-4のとき、最大値y=4
0≦b≦4
①…エ、②…キ

(2)
A(-4、0)→P(4、4)
右に8、上に4なので、傾きは1/2。
Aから右に4、上に2移動して、切片は2。
y=1/2x+2
①…ウ、②…ア

(3)

面積が等しい△ABRと△ABQの高さはともに4。
底辺のBRとAQが等しい

Pのx座標をtとする。P(t、1/4x2
AQ=BR=t+4
Pのy座標で等式を立てる
1/4t2=t+8
2=4t+32
2-4t-32
=(t-8)(t+4)=0
t>4より、t=8
Pのx座標は8。

大問4(平面図形)

(1)

AD//BCの錯角で130°を下におろす。
二等辺三角形BMPで外角定理→∠BMP=130÷2=65°
∠DMP=180-65-a=(115-a)°

(2)
△AMD∽△CQPの証明。


平行四辺形の対角は等しい。∠MAD=∠QCP
AB//DCの
錯角、DM//QPの同位角で∠AMD=∠CQP
2角が等しく∽。


PQは△CPQの1辺。MRは△AMDの1辺の一部。
そこで前問の△AMD∽△CQPが使えないか模索する。

BP:PC=
対辺AD=
△AMD∽△CQPより、AM:CQ=
DM:PQ=

MはABの中点なので、MB=
DQ=
△AMR∽△QDRより、MR:RD=3:5
MR=×3/8=〇9/8

PQ:MR=〇9/8=8:9
う…8、え…9


大問5(空間図形)

(1)

P・M・Qは各辺の中点。
△APMと△ACD、△DMQと△DABに中点連結定理を適用。
MP=MQ=6÷2=3cm

PQに補助線。△ACQをとらえる。
AQは正三角形ABDの高さ。1:2:√3の直角三角形からAQ=3√3cm
同様に、CQは正三角形BCDの高さ。CQ=3√3

△ACQはAQ=CQ=3√3の二等辺三角形
頂角Qから底辺ACの中点であるPを結ぶと、QP⊥ACとなる。
△APQで三平方→PQ=3√2cm

△MPQの各辺の比は。3:3:3√2=1:1:√2
△MPQは直角二等辺二等辺で、∠PMQはこの頂角だから90°。
お…9、か…0

@別解@

BCの中点をNとする。
中点連結定理でPN=NQ=3cm
四角形PNQMは4辺が等しい菱形である

ここから対角線PQ=MNがいえないか。。

MNは△BCMの高さ、QPは△ACQの高さである。
BC=AC=6cm
MBとMC、QAとQCは側面の正三角形の高さにあたり、すべて長さが等しい。
3辺が等しく、△BCM≡△ACQとなり、これらの高さにあたるMN=QPがいえる。
菱形PNQMの2本の対角線が等しいことから、四角形PNQMは正方形である。
∠PMQ=90°

(2)

三角錐M-BCDの底面を△BCD、三角錐M-APQの底面を△APQとすると、
MDとMAが同一直線上にあるので、高さの比はMD:MAとなる
AM=MDだから、高さが等しい!
ということは、三角錐M-BCDと三角錘M-APQの体積比は、
底面積である△BCD:△APQの面積比に相当する。

8秒後のPはCから4cm、QはBから4cmのところにあり、
CP:PB=BQ:QA=4:8=1:2

△BCDの面積を【1】とする。
【△ABC⇒△ABP⇒△APQ】
1×2/3×2/3=4/9

立体M-BCD:立体M-APQ=1:4/9=9:4
したがって、立体M-BCDは立体M-APQの9/4倍。
き…9、く…4
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2021年度 和歌山県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の削減はなし。

大問1(小問集合)

(1)①
3-7=-4


-1+4÷2/3
=-1+6=5


3(2a+5b)-(a+2b)
=6a+15b-a-2b
=5a+13b


10/√2-√8
=5√2-2√2
=3√2


(x-2)(x+2)+(x-1
)(x+4)
=x2-4+x2+3x-4
=2x2+3x-8

(2)
2+5x+3=0
解の公式を適用して、
x=(-5±√13)/2

(3)
4x+3y-8=0
3y=-4x+8
y=-4/3x+8/3

(4)
小数第1位が5になると、四捨五入で1つ上の整数になる。
13.5から14になり、14.5から15になる。
13.5≦a<14.5

(5)
10人の中央値(メジアン)は5番目と6番目の平均→21m
最頻値(モード)は最もあらわれている値で17m。

大問2(小問集合2)

(1)

①辺ABと垂直な面
面AEHDか面BFGC。

②辺ADとネジレの辺
ネジレ→延長しても交わらない、かつ平行ではない。
辺BF・CG・EF・HGの4本。

③直線GHと点Aとの距離
AHを求めればいい
△ADHは等辺が5cmの直角二等辺三角形。
1:1:√2より、AH=5√2cm

(2)

↑細かいところはいい加減です。
x>0の範囲で、xが増加するとyが減少するのは、
y=-x-2とy=-x2
ウ・エ

(3)①
1か4を出せばいい。
2/4=1/2



反時計回りに進めて1個先が2通り、それ以外が1通りずつある。
〔B⇒C〕は2×2=4通り
〔C⇒C〕は1×1=1通り
〔A⇒C〕は2回目にBを出せばCに移るので、1×2=2通り
合計7通りで確率は7/16。

(4)
答案では求める過程も記述する。
学校~家までの徒歩が分速80m、家~図書館の自転車が分速240m。
距離の合計は2000mで、時間の合計は18-5=13分

徒歩の時間をx分とすると、自転車は13-x分。
80x+240(13-x)=2000
160x=1120
x=7

午後4時7分に家に到着した。
家を出発した時刻はその5分後の午後4時12分。


大問3(規則)

(1)

白は+2、+3…で増えていく。
黒は白よりワンテンポ遅れ、白の枚数-〇番目=黒の枚数。
合計は平方数。

ア:15+6=21枚
イ:白の7番目と同じ。21+7=28枚
ア…21、イ…28

(2)
ややこしく考えない
n番目の白をx枚とおく。
黒は問題文に書かれており、x-n枚。
合計はn番目の平方数でn2枚。

白+黒=合計
x+(x-n)=n2
2x=n2+n
x=(n2+n)/2
n番目の白の枚数は、(n2+n)/2枚

2018年度 埼玉県公立高校入試【数学】解説

2018年埼玉大問3で、ほぼ同じ問題がでている。

(2)①
4、10、16…と公差が6の等差数列。
a+6=b



縦の長さはn番目のnと一緒。
横の長さは1、3、5…と奇数で増えていくので、n番目は2n-1。

50番目は縦50cm、横99cmの長方形になる。
(50+99)×2=298cm

2019年度 岐阜県公立高校過去問【数学】解説

2019年岐阜大問6で、似たような形の応用問題が出題されている。

大問4(数量変化)

(1)
P;18÷3=6秒後
Q;6÷1=6秒後
P…6、Q…6

(2)
1秒後はP(0、3)Q(1、0)
右に1、下に3さがるので傾きは-3。
切片はPのy座標で3。
y=-3x+3

(3)

PがCに着く2秒後ではPO<PQだが、
PがBに着く4秒後ではPO>PQと逆転する。
ということは、PがCB上を移動しているときにPO=PQとなる

OQ=xとする。
△OPQは二等辺三角形で、頂角からおろした垂線は底辺を2等分する。
CP=x/2

Pの移動距離…6+x/2、Qの移動距離…x
PとQの速さの比は3:1。距離で等式を立てる。
6+x/2=3x
5/2x=6
x=12/5
12/5秒後

(4)

△OPQと△OPDの面積が等しいということは、
等積変形の要領でOP//QD

OQ=Qの移動距離=5
PD=(OC+CB+BA)-Pの移動距離=6×3-3×5=3
OPの傾きは3/6=1/2
Qから右に1、上に1/2だから、Dのy座標は1/2。
D(6、1/2)


大問5(平面図形)

(1)

BCに補助線。
△BCDは二等辺ゆえ、∠DBC=(180-70)÷2=55°
弧CDに対する円周角で移す。∠CAD=55°

(2)

半径から△OCDは二等辺で、∠COD=120°
二等辺OCDを縦に割ると、辺の比が1:2:√3の直角三角形が見つかる。
△OCDの底辺CDは2√3cm、高さは1cm。
2×2×π×1/3-2√3×1÷2=4/3π-√3cm2

(3)
AF=CDの証明。

これらを1辺とする三角形に着目する。
直径と円周角が使える△ACFと△CADが合同である点を指摘すればいい。

共通辺である直径AC。
直径に対する円周角から、∠AFC=∠CDA=90°
弧CFに対する円周角と錯角で∠CAF=∠ACD
斜辺と1つの鋭角が等しい直角三角形で△ACF≡△CAD
対応する辺が等しく、AF=CDとなる。

(4)

△ABEと△CGEは2角が等しく相似
辺の比さえわかれば面積比がでる。

△ADEで三平方→AE=2cm

直径に対する円周角で∠ADC=90°
直角三角形ACD・ADE・DCE内で×=90°の角度を調査すると
3つの直角三角形はすべて相似図形である
AE:ED=DE:EC
2:√5=√5:EC
EC=√5×√5/2=5/2cm

△ABE∽△CGEにおいて、AEとCEが対応する辺。
AE:CE=2:5/2=4:5
面積比は辺の比の2乗。△ABE:△CGE=16:25
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2021年度 愛知県公立高校入試過去問Bグループ【数学】解説

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Aグループの解説はコチラ
出題範囲の削減はないが、基礎的・基本的な事項をより重視して出題。

大問1(小問集合)

(1)
3-7×(5-8)
=3-7×(-3)
=3+21=24

(2)
27x2y÷(-9xy)×(-3x)
=9x2

(3)
√48-3√6÷√2
=4√3-3√3
=√3

(4)
(x+1)(x-8)+5x
=x2-7x-8+5x
=x2-2x-8
=(x-4)(x+2)

(5)
(x+2)2=7
x+2=±√7
x=-2±√7

(6)
配ったアメ…10b個、余ったアメ…c個
a=10b+c

(7)
ア:(53+45+51+57+49+42+50+45)÷8 ←順番を入れ替えて足し算
=(50+90+100+110+42)÷8=392÷8=49回〇
仮の平均でもOK。50を仮の平均にすると、、
+3-5+1+7-1-8+0-5=-8
50+(-8)÷8=49回

イ:8人の中央値(メジアン)は4番目と5番目の平均で49.5回。×
ウ:最頻値(モード)は45回。×
エ:範囲(レンジ)=最大値-最小値=57-42=15回〇
ア・エ

(8)
(大、小)
(1、2~6)5通り
(2、4~6)3通り
(3、
6)1通り
合計9通り
確率は、9/36=1/4

(9)
一次関数y=6x+5の変化の割合は傾き6で一定

y=ax2において、x=1のとき、y=a。
x=4のとき、y=16a
変化の割合…(yの増加量)÷(xの増加量)
=(16a-a)÷(4-1)=5a

5a=6
a=6/5

@別解@
y=ax2において、xの値がp→qまで増加するときの変化の割合はa(p+q)
a(1+4)=6
a=6/5

(10)

対応する辺がごちゃごちゃになったら、三角形を描いてみよう。
AB:AC=AC:AD
AD=5×5/6=
25/6cm

大問2(小問集合2)

(1)

反比例はxとyの積が比例定数aで一定である。
△AOCと△BODに注目すると、底辺がx座標で高さがy座標にあたり
底辺×高さ÷2の値(面積)が等しい
面積が等しい△AOCと△BODから共通部分である△EOCを除くと、
残りの△AOEと四角形ECDBの面積が等しいことになる。
四角形ECDBを△AOEに移す。

つまるところ、△AOE:△AOBの面積比を求めればいい
EとBのx座標から、△AOE:△AOB=1:3
四角形ECBDの面積は△AOBの面積の1/3倍。

(2)
1~2⇒(6+7+8+9)/5=30/5=6
2~3⇒(11+12+13+14)/5=50/5=10
3~4⇒(16+17+18+19)/5=70/5=14
4~5⇒(21+22+23+24)/5=90/5=18

【6、10、14、18…】
初項6で公差4の等差数列。
n~n+1⇒6+4(n-1)=4n+2
Ⅰ…10、Ⅱ…14、Ⅲ…18、Ⅳ…4n+2

(3)①

はじめは25%。
最初の20分は4分あたり+1%増加するので、20分後は+5%増加。
1本目の動画の視聴を終えた50分後にちょうど0%になる。


先ほどのグラフで、充電を止めると30分間で30%消費する。
1分あたり-1%

1分あたり充電中は+0.25%、充電を止めると-1%。
0.25:1=
時間は逆比で
必要な充電時間は、50分×/=40分以上

@別解@

前問のグラフを活用する。
0分から始まり、50分で終わるので、Oから充電中の傾きに平行な線をひいて40分となる。


大問3(図形)

(1)

接線があるので、これを使うと予想する。
OCに補助線。接線と半径は垂直ゆえ、∠OCE=90°
△OCEで外角定理→∠AOC=90+42=132°
この円周角が∠CDAだから、132÷2=66°

(2)①

・・なんとなくAEとGCが平行っぽい。
だが、●+×=90°で調査をしても、なかなか錯角や同位角が等しい点が指摘しにくい。
せっかくこれほど中点が与えられているので、
中点連結定理を適用してAE//GCがいえないか。


●▲×だけでなく、正方形の1辺8cmをうまく使う。
AEとBCの延長をHとする。
△ADEと△HCEはDE=CE、直角と対頂角で1辺と両端角が等しく合同
CH=8cm

△BCGと△BHFに刮目<●><●>カッ!!
GはBFの中点で、CもBHの中点。
中点連結定理からGC//FHとなり、やはり平行であった。

CGを延長、ABとの交点をIとする。
平行関係からIはABの中点。IG=とおく。
△IBGと△ABFの中点連結定理でAF=
FE=
四角形AICEは2組の対辺が平行だから平行四辺形
対辺は等しいので、IC=AE=
GC=

△IBCで三平方→IC=4√5cm
GC=4√5×/
3√5cm



平行四辺形AICEは、4×8=32cm2
あとは上底と下底の比の和で対処する。
平行四辺形AICEの上底+下底=
四角形FGCEの上底+下底=
32×/=20cm2

(3)①

△OABは等辺が6cmの二等辺三角形。
△BADは等辺が4cmの二等辺三角形。
底角の片方が共通角なので、底角が等しいとわかる。
2角が等しく、△OAB∽△BAD
AB:AD=OA:BA=6:4=3:2
AD=4×2/3=8/3cm



OD=6-8/3=10/3cm
OD:DA=10/3:8/3=5:4
三角錐A-BCDと三角錘O-BCDは底面が△BCDで共通
高さの比はAD:ODで、これが体積比に相当する。
三角錘A-BCD:三角錘O-BCD=④:⑤
したがって、三角錘O-BCDの体積は三角錘O-ABC(全体)の5/9倍。
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2021年度 兵庫県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
-7-(-2)
=-7+2=-5

(2)
-6x2y÷2xy
=-3x

(3)
4√5-√20
=4√5-2√5
=2√5

(4)
2-4y2
=(x+2y)(x-2y)

(5)
2-3x-5=0
解の公式を適用して、x=(3+±√29)/2

(6)
球の表面積S=4πr2
4π×22=16πcm2

(7)

錯角で58°を下ろす。
180-110=70°
最後に外角定理で、x=70+58=128°

(8)
25人の中央値(メジアン)は、(25+1)÷2=13番目
表から13番目は400~500gの階級。
3/25=12/100=0.12

大問2(数量変化)

(1)
BはAと同時に出発して、Aより5分早く着くから30分間走り続ける
2700÷30=分速90分

(2)
自転車の時間をa分、歩いた時間をb分とする。
時間の合計で等式⇒a+b=35 …①
距離の合計で等式⇒160a+60b=2700 …②

うえの連立を解く。②-①×60が良いかな?
a=6、b=29
自転車の時間は6分で、歩いた時間は29分。
ア…160a+60b、イ…6、ウ…29

(3)

Bをグラフに載せる。
交差するポイントがBがAに追いついた地点。
ゴール付近をピックアップする。

Bが到着した5分後にAが到着する。
B到着時に、Aは60×5=300m後方にいた

両者の差は1分あたり、90-60=30mずつ拡大していく
AとBが同じ場所にいた地点から300mの差が開くのは、
300÷30=10分後
?の距離は、90×10=900m
よって、駅からBがAに追いついた地点までの距離は、
2700-900=1800m


大問3(図形)

(1)
△ABE∽△BDEの証明。

共通角で∠AEB=∠BED
仮定より、∠BAE=∠CAE
弧CEに対する円周角で、∠CAE=∠DBE
∠BAE=∠DBEとなり、2角が等しく∽。
ⅰ…ウ、ⅱ…カ

(2)
前問の相似を利用する。

対応する辺がごちゃごちゃになったら、三角形を描いてみよう。
DE=7×7/8=49/8cm

(3)

ポイントは60°。
円周角定理で60°を移動すると、△BCEの内角はすべて60°で正三角形
1辺7cmの正三角形の面積を求めればいい。

縦に割ると1:2:√3の直角三角形。
高さは7×√3/2=7√3/2cm
7×7√3/2÷2=
49√3/4cm2

(4)

四角錘の体積=底面の四角形ABEC×高さPO÷3
高さPOは球Oの半径=円Oの半径に相当する

前問の解答をフル活用できる。
△ABCと△BCEは底辺がBCで共通するので、高さの比がAD:DE
ここから四角形ABEC:△BCE=AE:DE=8:49/8=64:49
四角形ABECの面積は、49√3/4×64/49=16√3cm2

円の半径も正三角形BCEを使う。
うえのように分割すると合同な二等辺三角形が3つできる。
それを二等分した△OFEは1:2:√3の直角三角形
FE=7÷2=7/2cm
半径OE=7/2×2/√3=7/√3cm
角錘P―ABECの体積は、16√3×7/√3÷3=112/3cm3

大問4(関数)

(1)
y=8/xにx=4を代入。A(4、2)
ABの中点が原点Oということは、Bは原点OについてAと対称。
B(-4、-2)

(2)
A(4、2)をy=ax2に代入。
2=42
a=1/8

(3)①

CAとy軸との交点をPとする。
△APOと△BDOにおいて、仮定よりAO=BO
CA//BDから錯角で∠PAO=∠DBO、対頂角で∠POA=∠DOB
1辺と両端角が等しく、△APO≡△BDO
△BDOの面積を①とすると、△APO=①、△CPO=②
合同でOP=ODだから、△CPOの高さは△BDOの高さの2倍
Bのx座標が-4なので、Cのx座標は-8。

y=1/8x2において、ー8≦x≦4のとき、
x=0のとき、最小値y=0
x=-8のとき、最大値y=8
0≦y≦8
ア…-8、イ…0、ウ…8



△ACEの3辺の和を最小にする。
辺ACの長さは固定なので、辺AE+辺ECの長さを最小にすればいい
Cをx軸について対称移動させたC’(-8、-8)とA(4、2)を結ぶ。

C’⇒Aは右に12、上に10移動するので、傾きは10/12=5/6
C’から右に⑥、上に⑤移動してE座標。
⑤が8だから、Eのx座標は-8+8×⑥/⑤=
8/5


大問5(確率)

(1)
6枚の中から表が出た2枚を選ぶ。
62=15通り

(2)
表0枚⇒1通り
表1枚⇒61=6通り
表2枚⇒前問の15通り
表3枚⇒63=20通り
表4枚⇒裏となる2枚を選ぶので表2枚と同じ15通り
表5枚⇒裏となる1枚を選ぶから6通り
表6枚⇒1通り
(1+6+15)×2+20=64通り

(3)①
aが平方数になれば、ルートが外れて整数になる。
■表が1枚
1、4、9
■表が2枚
1×4、1×9、2×8、4×9
以上、7通り。


すんごく大変です(-_-;)
あてずっぽうでは困難なので、まずは素因数分解。
1=1
2=2
4=2×2
6=2×3
8=2×2×2
9=3×3

平方数にするためには、素因数2か3を偶数個にする
3の素因数は9が2つだが、6は1つしかないので奇数個になってしまう。
→6は絶対使えない

■表が3枚
1×2×8、1×4×9(表2枚の2×8と4×9の組み合わせに×1を追加)
2×4×8、2×8×9
■表が4枚
1×2×4×8、1×2×8×9
2×4×8×9
■表が5枚
1×2×4×8×9

忘れてはならないのが、すべて裏の場合はa=0となり、√0=0で整数である
全部で、7+4+3+1+1=16通り
確率は、16/64=1/4

大問6(規則)

(1)

実際に2つ目とばしで書いてみるとイしかない。
ア・ウは点が偶数個なので、正多角形になってしまう。

(2)

2xは360°を7等分したうちの3個分。
3:7=2x:360
内項と外項の積で、
7×2x=3×360 ←両辺を÷2
7x=540
①…
3、②…540

(3)

前問の7個の場合を考えてみよう。
円を7等分した場合、左が4個分で右側が3個分であった。
円をn等分した場合、4個分とn-4個分に分かれる
先ほどの比例式のように計算すると、
【n-4:n=2x:360】
n×2x=(n-4)×360
nx=180(n-4)
先端部分のn個の角の和は、180(n-4)°となる。

@余談@
m点ごとに結んだ星形n角形の先端部分の角の和は、180(nー2m)°になる。

(4)

星形多角形はどんなときに作られるか。
1つ目ごと、2つ目ごと…で整理すると以下のようになる。

◆5等分
1つ目ずつ(隣同士を結ぶ)では正五角形になるので1は×。
4つ目ずつはスタートの点の隣になってしまうので、〇等分-1も×
(1つ目ずつを反時計回りで結んだら、4つ目ずつは時計回りに1つ目ずつ結ぶのと同じ)
2つ目ずつと3つ目ずつはOK。両者は同じ星形。
◆6等分
先の同じ理由で1と5は×。
2と3は6の約数なので1周するとすべての点を通過せず、正多角形になってしまう×。
4つ目ずつで試してみると、4→2(8)→6(12)で正三角形になってしまう。
4がダメなのは、6と同じ共通の約数(公約数)2を含んでいるからである。
公約数があるとすべての点を通過しない。(公約数2であれば偶数番目の点だけ)
◆7等分
1と6は×!
2・3・4・5と7は互いに素で公約数を持たない。どれでもOK!
また、真ん中を縦線で仕切ると、線対称で同種の星形がペアにあらわれる

8等分と9等分はこのような感じになる。
つまるところ、半分だけを調べればいい

1~12までのうち、1と12は×。
24と公約数をもつ数を消していくと5・7・11しかない。
よって、星形正二十四角形は3種類ある。

@@@@@@
では、先端部分の角が最も小さくなるときはどういう星形か?

角度が尖がる星型は、先端の角を円周角としたとき、それに対する弧が短い。
弧が短くなるのは、対称の軸である真ん中のラインに近いものである。
24等分であれば、11(と13)のペア。


24番目から反時計回りに進むとする。11個目ずつに結ぶと…
11→22→9(=22+11-24)
弧は9番目と11番目、すなわち、弧2個分である。

中心角は360×2/24で、この円周角だから半分にする。
先端部分の角は、360×2/24÷2=15°

2020年度 浅野中学過去問【算数】大問5解説

浅野中学でも星形多角形が出題されました。
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2021年度 滋賀県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
2×(-3)+1
=-6+1=-5

(2)
5/3a-3/4a
=11/12a

(3)
x-3y=6
2x+y=5
これを解いて、x=3、y=-1

(4)
6/√2+√8
=3√2+2√2
=5√2

(5)
2+x=6
2+x-6
=(x+3)(x-2)=0
x=-3、2

(6)
15a32÷5/2ab2
=6a2

(7)
y=ax2に(x、y)=(4、6)を代入。
6=42
a=3/8

y=3/8x2にx=-6を代入。
b=3/8×62
=27/2

(8)
1~6の数字を用いる2桁の素数をピックアップ。
11、13、23、31、41、43、53、61(2以外の素数は奇数)
確率は、8/36=2/9

(9)

それぞれの階級値は5分、15分、25分、35分。
平均値との差は-15分、-5分、+5分、+15分。
これらに各度数をかけ合わせ、すべてを均すと20分になる
-75-50=-125
平均未満が-125だから平均超は+125
5×(ア)+60=125
ア…(125-60)÷5=13人
イ…5+10+13+4=32人
最頻値(モード)は最もあらわれている値。
13人いる20~30分の階級で、この階級値である25分である。
ア…13、イ…32、最頻値…25分

大問2(空間図形)

(1)

青線の長さが等しい。
円周の長さは直径×π、扇形の弧の長さは直径×π×中心角/360°
⇒【扇形の直径:円の直径=360:60
(*扇形の直径と円の直径は中心角の比の逆比
扇形の直径は、60×2=120cm
直径BC…120×60/360=20cm

(2)

問題文の図から方針を確認。
D~Fは円の半周なので、展開図では弧DD’の中点がFである。
Fの真下にPとCがくる。
EはBDの中点、PはFCの中点


①∠DAD’の二等分線。
②FCの垂直二等分線。
交点がPである。

(3)

D’はDと同じ点。ED’が求めるべき長さ。
弧DD’とED’はD’で交わる。D’を接点としてED’は弧DD’の接線である。
半径と接線の関係は垂直だから、∠AD’E=90°
△AD’Eで三平方(1:2:√3)→D’E=20√3cm

(4)
2周巻きます(;´・ω・)

ヒモを1直線にするために、線対称の要領で扇形をもう1つ追加する
うえのようにすると、FCを2回横切ってEに着く。

∠BAB’=120°
外側に直角三角形AGEを作る
内角が30°-60°-90°だから、辺の比は1:2:√3。
AG=20cm、GE=20√3cm
△BEGで三平方
BE2=802+(20√3)2=7600
BE=√7600=10√76=
20√19cm

2021年度 神奈川県公立高校入試過去問【数学】解説

今年度の神奈川のラストで、別々のヒモで2度巻きつける問題がでました。


大問3(平面図形)

(1)

初問から少々やりにくい(;´Д`)
Cを中心とする円周上にA、B、P、Qがある。
AB、PQは円の直径となる。


直径に対する円周角は90°だから、4角がすべて90°となる。
直径AB=PQから対角線の長さも等しく四角形AQBPは正方形である。

△ACPは直角二等辺三角形。辺の比は1:1:√2より、AP=4√2cm
AP=4√2cm、∠APB=90°

(2)
何をどのような手順で記述すべきか。
証明の方針を立てる必要があり、一筋縄ではいかない。

最終的に証明したいのはAB⊥PQ。
∠ACP=90°を示したい。
∠ACP=∠BCPがわかれば、各々が90°となる。
∠ACP=∠BCPを言うために、△APC≡△BPCを証明する。
この証明には問題文の『対角線PQが∠APBを二等分する』点が必要である。
角の二等分を指摘するために、△APQ≡△BPQを先に証明する。

これらを逆から順に述べていく。

左図。
円の半径(仮定)よりAP=BP、AQ=BQ。共通辺PQ。
3辺が等しく、△APQ≡△BPQ

合同図形の対応する角から∠APQ=∠BPQ
よって、PQは∠APBの二等分線である

右図。
半径と共通辺と等角より、2辺の間の角が等しく、△APC≡△BPC
対応する角の大きさは等しいから、∠ACP=∠BCP
∠ACP+∠BCP=2∠ACP=180°
∠ACP=90°より、AB⊥PQとなる。
大変(-_-;)

(3)

仮定と半径でAP=PQ=AQ。
△APQは3辺が等しく正三角形

同様に、△BPQも正三角形で∠BPQ=60°。
∠BPD=180-(60+60)=60°

△BDPは、半径でBD=BPで二等辺三角形。
さらに∠BPD=60°を頼りに残りの角を調べると全て60°。
△BDPは正三角形となり、PD=5cm


大問4(平面図形)

(1)

『はがし終えるまで』だから、Pは赤線のルートをたどる。
Pは16cm移動する。
0≦x≦16

(2)

はじめは縦:横が3:4を維持しながら、直角三角形の底辺と高さがともに伸びる。
→y=ax2で増加する。
AQ=6cmのときに形が変わる転換点。
このとき、AP=8cm、y=8×6÷2=24cm2

x=8のとき、y=24だから、24=82
a=3/8
0≦x≦8では、y=3/8x2のグラフとなる。

8≦x≦10では増加する部分は平行四辺形。高さは固定で底辺だけ伸びる→一次関数。
x=10のとき、y=24+2×6=36

通過すべき格子点を意識するとこのような感じ。

(3)

長方形の面積の5/8…6×10×5/8=37.5cm2
先ほどx=10のときに36cm2だったので、+1.5cm2すればいい。

辺DC上でCから8cm離れた点をGとする。
△CPQの面積は、24-1.5=22.5cm2
△CPQ∽△CBGの面積比から、CP:CBの辺の比を求める

△CPQ:△CBG=22.5:24=15:16
辺の比はCP:CB=√15:√16=√15:4

CP=6×√15/4=3√15/2cm
A~B~Cまでの距離が16cmなので、Pが動いた距離は、
x=16-3√15/2cm

(4)
むっずかしいどす(*´д`*)
仕上げるのに時間がかかりました。

折り返しは折り目を対称の軸とすると左右対称である
CがA’B’上にくるということは、Cを対称移動させたC’はAB上にある


斜辺にあたるPQは平行移動するので、直角三角形の縦:横=3:4
まだ剥がされていない△PCQの辺の比は③:④:⑤で、対称図形の△PC’Qも③:④:⑤。

しかし、③:④:⑤の相似ばかりに目がいくと、なかなか新しい数値が判明しない
そこで、QからABに垂線をひき、足をHとして、別の相似を作成する。
×=90°の角度の調査で、2角が等しく△QHC’∽△C’BP
QH:C’B=QC’:C’P=④:③
C’B=6×3/4=9/2cm

ABとA’B’を延長した交点をIとする。
さらに右側へ角度の調査を進めると、∠BCI=×
△QHC’と△CBIは1辺と両端角が等しいので合同

対称の軸であるQPの延長もIを通過する。
△QHIの縦:横も3:4だから、HI=8cm

合同でHC’=BI
BI=(8ー9/2)÷2=7/4cm
△PBIの縦横も3:4だから、PB=7/4×3/4=21/16cm
したがって、Pが動いた距離は、x=10+21/16=181/16

@別解@
YAさん(@r21h238ya)から素晴らしい解法を頂きました(*´д`艸)

QからA’B’に垂線、足をGとします。
△QCG∽△CPB’から、CB’=9/2cm

ここでPB’=aとします。
折り返しでPB=a
CP=6-a

△CPB’で三平方。
2+(9/2)2=(6-a)2
12a=63/4
a=21/16
したがって、x=10+21/16=181/16

おそらく、こちらの解法が作問者の想定解だと思われます。
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2021年度 神奈川県公立高校入試過去問【社会】解説

平均72.6点(前年比;14.4点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(世界地理)

(ア)3 95.0%
*問題では著作権の都合により詩の部分が省略されていますが、
以下、著作権法32条に基づき、解説という創作活動に必要かつ適法な範囲内で引用します。

カムチャッカの若者が
きりんの夢を見ているとき
メキシコの娘は
朝もやの中でバスを待っている
ニューヨークの少女が
ほほえみながら寝がえりをうつとき
ローマの少年は柱頭を染める朝陽にウインクする
この地球では
いつもどこかで朝がはじまっている

世界中の人が同じ時間を共有していても、おのおので時計の針が異なるのは、
標準時子午線の経度が異なることで時差が生ずるから。

太陽の運行は地球の自転による。子午線はもともと天文学用語で、理科で習う天球を構成する大円のこと。地理ではある地点を通る経線をその地域の子午線と言う。1884年、ワシントンで開かれた国際子午線会議でイギリスのグリニッジ天文台を通る子午線を本初子午線とし、これを境に地球を東経・西経に分かつ。本初子午線を基準とする時刻は世界標準時(GMT)といい、各地で採用される標準時は、本初子午線と標準時子午線の経度15度差ごとに世界標準時と1時間の時差が生ずる。日本は東経135度(兵庫県明石市)が標準時子午線でイギリスとの時差は135÷15=9時間となる。

1:海洋に囲まれている国→海洋国、全く海に面していない国→内陸国
2:環太平洋造山帯やアルプス・ヒマラヤ造山帯といった新期造山帯付近では、
地殻変動が活発で地震が起こやすいが、油田が形成されるところもある。
4:ケッペンの気候区分は気温と降水量の組み合わせで世界の気候帯を区分する。

高校地理をわかりやすく,そして楽しく!より。
高校で地理選択すると数値も覚えさせられます(*´д`*)
ケッペンの気候区分は植生(植物の集団)に着目したもので、
森林が形成されるか否かでA・C・DとB・Eの気候帯に大きく分かれる。

(イ)2 76.6%
*【ロシア…ロシア正教会、メキシコ…カトリック
アメリカ…プロテスタント、イタリア…カトリック】
南ヨーロッパはカトリック教国が多い。ローマ市内にあるバチカン市国はカトリックの総本山。
スペインやポルトガルの植民地支配を受けたラテンアメリカやフィリピンもカトリック教国
イギリス、ドイツといった北西ヨーロッパはプロテスタントが多い
信仰の自由を求めたピルグリム・ファーザーズ(ピューリタン)が新大陸へ渡ったように、
アングロアメリカ(アメリカ・カナダ)にも多く、同性婚や人工妊娠中絶に反対する人は少なくない。
ロシアや東ヨーロッパでは東方正教会が主に
信仰されている
8世紀の聖像崇拝問題で西方のローマ=カトリック教から分離した東ローマ帝国内のキリスト教で、首都のコンスタンティノープルを中心にギリシア正教として栄えたが、東ローマ帝国滅亡後にロシア正教やルーマニア正教といった各種の正教会がつくられるようになった。

b:もともと安息日は土曜だったようだが、現在は日曜に教会で礼拝をする。
a:コーランはイスラム教徒の聖典。最近では、アラビア語風にクルアーンとカッコ書きされる。

(ウ)1 83.8%
*ロシアに関する正誤判定。
a:国土面積は1700万km2で世界1位。陸地面積の11%を超える。〇
b:人口の順位は1位ー中国、2位ーインド、3位ーアメリカ、4位ーインドネシア。×
ロシアの人口は約1.45億人で日本よりも多いが、人口密度はかなり小さい。
c:原油生産量・輸出額2位、天然ガス輸出額1位。BRICSロシアは資源大国

帝国書院『新詳高等地図』より。
ロシアの主要油田は左からヴォルガ・ウラル油田、チュメニ油田、オハ油田。
イスラム教徒の割合が高いチェチェン共和国には重要なパイプラインが通っているため、
ロシアはチェチェンの独立運動を警戒している。
他にも石炭、金、ダイヤモンド、レアメタルといった鉱産資源に恵まれている
d:コンピューターの生産は中国やアメリカが強い。×

(エ)大西洋 66.0%
*北米大陸とユーラシア大陸に挟まれた大洋→太西洋
中央部に大西洋中央海嶺という海底山脈が走っており、そのうえにアイスランド島がある。

MyLastAdventureより。大地の巨大な裂け目・ギャオ。
アイスランドは「火と氷の国」の異名を持つ火山大国。
今でもこのギャオは毎年2cmずつ広がっているらしいよ((( ;゚д゚))

(オ)4 59.3%
*表問題。易。

X:割合なので、2008年を分母、2018年を分子にした分数を比べる。
 アメリカが最も割合が低い。×
Y:9月にトウモロコシの収穫が盛んなのは、常識で考えて夏が終わった北半球。×

大問2(日本地理)

(ア)3 71.0%
*泥炭(でいたん)とは、植物が分解されずに泥状になった炭。
亜寒帯に属する石狩平野では有機物の分解速度が落ちることで、
分解されずに堆積した植物の遺骸が泥炭となり、農耕に適さない土地であった。
明治政府は北海道開拓のために開拓使(官庁)をつくり、
屯田兵をつかって大規模な土地改良事業を始め、他の場所から土壌をもってくる客土が行われた。
(当初の屯田兵は主に士族出身で、開拓だけでなく対ロシアの北方警備も兼ねている)
お雇い外国人の1人であるクラーク博士を札幌農業学校(現在の北海道大学)の教頭に招いて、
開拓に必要な人材の育成や技術の向上を目指した。

シラス台地…火山灰が積もった鹿児島の大地。
防人(さきもり)…白村江の戦い(663)敗北後、大陸からの追撃に備えるために、
九州北部に集められた兵。水城(みずき)や土塁が築かれる。

(イ)2 87.6%
*X:橋が架けられ、交通が整備されている。〇
Y:蛇行が直線に変わっている。×
流域面積1位の石狩川は蛇行部分が多かったので、
河川改修により流路をストレートにして治水を図った。

(ウ)カルデラ 73.2%
*火山活動で陥没した大きなくぼ地。
阿蘇山のカルデラは世界一と習ったのですが、日本一は屈斜路カルデラらしい…(#-∀-)

(エ)1 89.2%
*雨温図ではなく降水量のみだが、小学生用の問題。

aのグラフでは6~9月の降水量がすべて150mmを超えています。
これは梅雨前線の発生や台風の襲来によるものです。よって、aが福岡です。
当たり前である( ‘д’⊂彡☆))Д´) パーン
全体的に降水量が低く、比較的冬に降水量が多いbは雪が降る札幌。

(オ)4 93.6%
*表問題。

1:北海道の地方別合計(7347)は、地方別合計の総額(32589)の5割を超えていません。×
2:鶏の品目別合計(8999)は、品目別合計の総額(32589)の5割を超えていません。×
3:北海道の豚(439)は、北海道のなかで最も産出額が大きくありません。×
4:九州の肉用牛(3348)は、他の肉用牛と比べると最も産出額が大きいです。◎
難しいところを探すのが難しい。


大問3(前近代史)

(ア)2 71.2%
*文化史。
あ:源氏物語-紫式部、枕草子-清少納言。平安を代表する女流作家。
い:東大寺の南大門に安置されている金剛力士像

奈良寺社ガイドより。運慶・快慶の共作。
左が阿形(アギョウ)、右が吽形(ウンギョウ)。高さは8mちょい。70日で作り上げたそうだ。
ちなみに、阿吽の呼吸は2人の息がピッタリという意味。

日本の美術より。
浄土信仰に厚かった藤原頼道が京都の宇治に造営した平等院鳳凰堂の阿弥陀如来像
入試にすごく出てくる。

(イ)3 74.0%
*後漢書東夷伝によると、漢委奴国王が後漢の光武帝から金印を授かったのは1世紀。
3:1世紀はムラがクニに統合されていく弥生時代に相当する。
 弥生時代は紀元前から始まっている。卑弥呼が親魏倭王の称号と金印を授かったのは3世紀。

1:旧石器時代。日本列島が大陸と陸続きであったときに北方からマンモスを、
南方からナウマンゾウを追ってやってきた人々が我々の祖先と言われる。
相沢忠洋が群馬の岩宿遺跡を発見したことで、日本に旧石器時代が存在することが判明した。
2:網目の文様がつけられた土器→縄文土器
稲作の伝来は縄文の終わり頃とされる。縄文と弥生の時代区分は土器に由来。
4:班田収授の法は飛鳥。改新の詔(646)から行われ、大宝律令(701)で本格的に始動する。

(ウ)1 74.3%
*家系図きた(*’ω’*)

X:=が夫婦。後一条天皇と威子は婚姻関係にある。〇
Y:後一条天皇と後朱雀天皇は傍系血族(兄弟)。×
a-藤原氏による摂関政治
自分の娘を天皇の后にして、自らは外戚(母方の親族)となり、
天皇が幼いときは摂政、成人に達したら関白として実権を握った。
b-摂関政治の後、白河上皇による院政(1086)。

@@
昨年の渋谷幕張中学で類題が出題されています。
 
シブマクでは系図と在職年表を頼りに摂関政治が途絶えた理由を問われました。
後冷泉天皇の次に即位した後三条天皇は母方の祖父が三条天皇であり、
摂関家を外戚とせず、藤原氏は衰退していきます。

(エ)6 49.0%
*Ⅲ:源頼朝の挙兵(1180)平安末期。
平治の乱で父・源義朝が殺され、頼朝は伊豆に流される

平家一門の独裁に後白河上皇らの反発が強まり、以仁王(もちひとおう;上皇の子)が挙兵。
源平合戦が幕を開け、これに触発された頼朝も打倒平氏を掲げて挙兵する。
石橋山の戦いで負けて千葉の安房へ逃亡するが、富士川の戦いで捲土重来。
Ⅱ:南北朝時代(1336-92)鎌倉~室町のはざま。2つの元号が重複する時代。
後醍醐天皇が始めた建武の新政は公家を重視する政策で武家との対立が深くなり、
京都から逃れた後醍醐天皇は吉野に南朝を、足利尊氏は光明天皇を擁立して京都に北朝を開いた。

2年前の神奈川で出題された、ニ条河原落書(にじょうがわらのらくしょ)。
動乱期の世相の乱れをあらわしている。
Ⅰ:応仁の乱(1467-77)
8代将軍・足利義政の跡継ぎ問題がいろいろと飛び火し、都は焼け野原に。。時代は戦国の世へ。
公家や僧が都の戦火から地方に逃れ、とくに山口は大内氏の庇護のもと西の京と呼ばれたそうな。

(オ)4 77.5%
*東海道五十三次を描いたのは歌川広重(化政文化)。
東海道が五街道の1つだから4とすぐわかってしまう(;’∀’)
なお、歌川の作品は海を越えたヨーロッパに影響を与えている。
 
↑左:歌川作、右:ゴッホ作。そっくり!

1:調庸→奈良時代の租税。運脚が都まで運んだ。
2:品川-横浜間の鉄道開業(1872)。ザンギリ頭~♪は7・7・7・5の都都逸(どどいつ)。
3:日明貿易は足利義満が永楽帝に朝貢する形で行われた。

大問4(近現代史)

(ア)1 77.2%
*伊藤博文…長州藩出身。国会開設の勅諭(1881)後、伊藤博文はヨーロッパに留学して、
君主権の強いプロイセン(ドイツ)憲法の調査を行った。
行政府の効率化を目指して太政官制を廃止、内閣制度を創設して初代内閣総理大辞任に就任する。
他にも岩倉使節団の副使や韓国統監府の初代統監、初代枢密院議長も歴任している。

2:西郷隆盛…薩摩藩。維新三傑の1人。明治六年の政変で下野。西南戦争で自決する。
3:板垣退助…土佐藩。西郷とともに下野。自由民権運動の急先鋒。自由党を結成。
4:大隈重信…佐賀藩。立憲改進党を結成。貨幣制度の改革。早稲田大学の創設者。

@雄弁な大隈さん@
江戸時代の通貨は4進法であったが、これを10進法に変えたのは大隈重信である。
また、貨幣の形を従来の方形(四角)を維持するか円形に改めるかにつき彼が述べた内容がコチラ↓

早稲田ウィークリーより。
貨幣が〇か□か大事な問題だと思うけど、ここまで突かれたら〇が正しく思えますね(;`ω´)
彼の精神は早大の雄弁会に受け継がれていることでしょう。

(イ)2 64.0%
*第1回帝国議会(1890)~関東大震災(1923年9月1日)
a:野口英世がエクアドルで黄熱病を研究した年号は知らないので消去法。
幼少期に左手を火傷して農作業ができなくなり、学問の道を志したらしい(σ’д’)σ
b:テレビ放送は戦後の1953年。ちなみに、ラジオ放送は1925年
c:日米安保の改定をめぐる安保闘争は1960年の岸信介内閣。時代がかけ離れている

d:富山の漁村から始まった米騒動(1918)で寺内正毅が辞職。平民宰相こと原敬内閣へ。

@跡形もない社交場@
問題文の『帝国ホテルが外国人と迎えるための施設として開業した』は井上馨の欧化政策に関連する。日本が新しい文明国として生まれ変わった姿を諸外国にアピールすることで、明治政府における喫緊の課題であった不平等条約の是正を狙った。


NHKより、鹿鳴館(ろくめいかん)。
お雇い外国人の1人、イギリス人技師コンドルが設計した。
しかし、井上の政策は失敗に終わり、外務大臣を辞職。鹿鳴館は閉鎖される。

鹿鳴館のあった東京都千代田区内幸町1-1をグーグルマップで調べてみると、
皇居の南側、日比谷公園に隣接した敷地で、帝国ホテルの隣に鹿鳴館がありました・・。


Walkerひで物見遊山記より。跡地には1枚の石碑が埋まっている。むなしすぎる(´゚д゚`)

ちなみに、麻布中学でジョルジュ・ビゴーが描いた風刺の意図を問う問題が出題されました。
中身の抜けた西洋かぶれだと外国人は見抜いていたのです。

(ウ)4 75.3%
*関東大震災(1923)~第1回東京オリンピック開催(1964)

帝国ホテルが関連する史実。なかなか興味深いのでスクショさせて頂きましたφ(`д´)
Ⅱ:二・二六事件(1936)。
国家主義者である北一輝の著作『日本改造法案大綱』に影響を受けた陸軍の青年将校らが反乱を起こし、内大臣の斉藤実、大蔵大臣の高橋是清(これきよ)など政府や軍部の重役を殺害した。
軍部が政権に大きく関与するようになり、軍国主義の道へまっしぐら。
Ⅲ:戦後のGHQによる占領統治。
帝国ホテルのサイトにはこのように書かれてありました。
『1945年9月17日 連合軍の将官およびGHQ高官用宿舎として接収される』
接収とは公益のために権力者が個人の財産を取り上げること。
サボも泊まったことないのに図々しいね(*’ω’*)💢
Ⅰ:
サンフランシスコ平和条約の調印(1951)
吉田茂内閣。主に西側諸国との関係で日本の主権が回復する。
同年には日米安全保障条約が結ばれ、戦後における日本外交の基本方針が定まる。

(エ)ⅰ―満州 74.0%

*ウィキペディアより。中国北東部にあった満州国
けっこう広いです。面積は約130万km2で現在の日本の国土面積の3倍を超す。
1931年、関東軍が満州を占領(満州事変)。
翌年、清朝最後の皇帝・溥儀(ふぎ)を元首に擁立して『満州国』の独立を宣言する。しかし、実態は日本の支配下にある傀儡(かいらい)政権であった。1933年、国際連盟を脱退した日本はますます国際的に孤立していき、ドイツとイタリアと手を組んで2度目の世界大戦へとつながる。

ⅱ―3 67.6%
*Y:世界恐慌(1928年10月24日;暗黒の木曜日)
ニューヨークのウォール街で株価が大暴落。5年間で実質GDPは27%も縮小し、失業者が大量にあふれ出た。フランクリン=ルーズベルト大統領のニューディール政策は入試で頻出である。
なお、五カ年計画で近代化を進めていたソ連は世界恐慌の影響を免れている。
X:日清戦争(1894-95)。Cの時期の前。

a:五・四運動(1919)。
第一次世界大戦(1914-18)後の国際協調ムードのなか、アメリカ大統領ウィルソンの十四ヶ条で示された民族自決
しかし、独立を果たしたのは北欧や東欧諸国に限られ、パリ講和会議で二十一か条の要求の無効を求めた中国側の主張は受け入れられなかった。五・四運動では北京大学の学生らが愛国デモを展開。のちに抗日運動へ。
b:日中戦争(1937-45)。


大問5(経済)

(ア)節分 76.3%
*慶應中等部など私立中の一部では、社会科の枠を超えた常識問題が出題されるが、
公立高校入試では意外である:(っ`ω´c):

豆まきと立春の前日で決められる。
”季節を分ける”を書いて節分。立春、立夏、立秋、立冬の前日に年4回あった。

(イ)い:B、う:アイヌ 82.8%
*い―女子差別撤廃条約の批准を受け、条約の精神を国内法で具現化させるために男女雇用機会均等法が施行された。当局の勧告に従わないと企業名を公表されることもある。Aは男女共同参画社会基本法4条。紛らわしい(#`Д´)ノノ┻┻
男女共同参画社会基本法はあらゆる社会生活に関する男女同権を定めるが、男女雇用機会均等法は雇用の場に限定されるので、そこから判断する。
う―北海道の先住民族。
人種差別撤廃条約に批准(1995)したのちの最初の国内法整備として行われたのが、北海道旧土人保護法の廃止とアイヌ文化振興法の成立である。しかし、政府は賠償問題への発展を懸念して先住民族の明言を避けた。2008年では国連で『アイヌ民族を先住民族とすることを求める決議案』が採択、11年後の2019年にアイヌ人を先住民族と認めたアイヌ新法が施行される。

↑アイヌのお守り、ニポポ人形。ネーミングがかわいい。

↑アイヌ語を聞いてみよう。日本語とは程遠い。ハンキリキリ~
@ストーリー概要@(ハリネズミが酒を作った)
ハツカネズミが酒を作った。おいしくできあがったので、カラスとカケスを家に招いた。宴会は盛り上がり、カケスは外に行き、どんぐりをくわえて帰ってきた。ドングリをシントコ(行器「ほかい」とよばれる器)の縁で転がして、宴会はさらに盛り上がった。今度はカラスが外に行き、ウンチをくわえて帰ってきた。同様にシントコの縁で転がして、宴会と酒は台無しに。
カケスとカラスは大喧嘩。カラスが首をしめられ、ハツカネズミはシギに知らせにいったが、シギは「お前らは良いことがあると俺を忘れ、悪いことがあると俺を思い出す」と言った。あきらめてうちに帰ると、カラスは殺されていた。

@同性パートナーシップ条例@
渋谷区男女平等と多様性を尊重する社会を推進する条約に関連して、LGBTの認知度が(電通の力で)急速に広がった2015年度に、ダイバーシティ(多様性)を進める渋谷区で日本初の同姓パートナーシップ条例が可決された。

虹色ダイバーシティより。2021年1月8日時点で74自治体でパートナーシップ制度が導入されています。(サボがいる松戸市も!)私情をはさみますが、応援しております。
しかし、渋谷区は条例ですが、それ以外は首長の独断で制定できる要綱式がとられているようで、この要綱は新しく選ばれた首長がその気になれば即座に撤廃できてしまい、法的安定性はかなり乏しいと聞きます。LGBTに関する報道やパートナーシップ制度の広がりがみえても、いまだ地方議会レベルで多数決を得られるほどではありません。また、身分関係にかかわる
権利義務の設定は条例では限界があり、どうしても国会での立法が不可欠になります。同性婚の合法化は厳しい道でしょうが、サボが生きている間に実現してもらいたいものです。

(ウ)4 71.9%
*表問題。
1:地方税だけで過半数×
ちなみに、地方譲与税とは国税として徴収されたもので地方公共団体に譲渡される税らしい。
地方税は自主財源。地方税以外は国に依存する財源。
地方交付税交付金と違い、国庫支出金は使用用途が決まっている
地方債は債権者に対する借金。国が発行する国債、会社が発行する社債と同じ。
2:表の単位は億円。1.013.453→101兆3453億円×
3:地方交付税交付金の目的は、地方自治間の財政格差を是正するため。
 東京都は宿泊税など多方面で儲かっているので、唯一地方交付税交付金を受け取っていない×
4:東京都1.8%<日本全体10.4%〇

(エ)2 70.9%
*X:カルテル。複数の企業間で価格や生産量の調整を結託されると競争原理が働かなくなり、
不当な取引制限として独占禁止法違反となる。〇
独禁法を所管する公正取引委員会から排除措置命令が出されてカルテルを解消させられ、
多額の課徴金を納付する経済制裁や刑事罰も用意されている。
Y:問題文に『消費者はニーズに合った商品を選択することができ~』とある。×

大問6(政治)

(ア)2 88.5%
*合意を得るための効率と公正について。
公正はfare。合意の内容が他者の権利自由を不当に侵害していないか。
関係者全員が合意の形成過程に参加できて、その決定方法に納得しているか。
これらは公正を重視している。
一方で、公正ばかりに重きをおくと、いつまでも経っても合意形成に結び付かず、
何も決まらない事態が生ずる。そもそも万人の利益を満足させる合意はない
『合意の内容が、無駄を省き最大の利益が得られるものかどうかを重視する』→効率

@@
憲法学で『民意の反映』と『民意の統合』のバランスが大事だと習いました。
民主主義の理念は国民の意思(民意)を国政に反映すること。
一方で、民意を統合して統一的な国家意思の形成を図る必要もある。
日本国憲法は間接民主制を基礎としながら、国民審査や憲法改正といった直接民主的制度を例外扱いしているのは何故なのか。考えてみてください。

@最大多数の最大幸福@
ベンサムやジョン・スチュアート・ミルが提唱した功利主義の原則。
最大多数の最大幸福
善悪の基準は快(幸福)・苦痛(不幸)の総計で測られる。多くの人々の快を最大化し、苦痛を最小化する行為は善に値する最大幸福である。何をもって快・苦痛とするか、その定量化は解釈の分かれるところだが、功利主義の考えは他者の幸福を侵害しない限り(公共の福祉に反しない限り)個人の幸福追求は最大限保障されるべきとする日本国憲法13条にもあらわれている。
一方で、功利主義では個人の利益より公の利益が優先されやすく、少数者の幸福尊重が軽視されがちになってしまう。このような矛盾や問題点を解消すべく、アメリカの哲学者ロールズは自著『正義論』で功利主義を批判し、社会的・経済的不平等が許される場合を正義の二原理で発表する。

(イ)ⅰ―3 83.8%
*X:憲法96条に改正手続きの定めがある。×
各議院総議員の3分の2以上の賛成(発議)→国民投票で
過半数の賛成→天皇が国民の名で公布。
最高法規としての憲法秩序を守るため、通常の立法手続きよりも要件が厳しい(硬性憲法)。
Y:生存権
憲法25条1項『すべての国民は、健康で文化的な最低限度の生活を営む権利を有する』。〇
何をもって最低限度の生活といえるか、その具体的な保障の度合いは国家の財政問題に絡むため、
広範な立法裁量に服し、司法判断には限界がある。(著名な判例では朝日訴訟・堀木訴訟)
ちなみに、世界ではじめて生存権を認めたのはドイツのワイマール憲法。

ⅱ―3 67.2%
*どんな人権が問題になっているのかを把握する。
薬局の開設が認められなかった⇒経済的自由権の1つである営業の自由の侵害が問題になる。
憲法22条1項では職業選択の自由となっているが、裁判所の判例や学会の通説的な見解によると、
選択した職業を営む「営業の自由」の保障を含むと解されている。

1:勤労条件の法定(憲27条2項)
2:労働三権の保障(憲28条)
4:最高裁の長官は内閣の指名を受けて天皇が任命する(憲6条2項)

@薬事法距離制限事件@(最判50年4月30日)
旧薬事法では新規の薬局を開設する際に、既存の薬局からある程度離れて開設しなければならないとする距離制限が設けられていた。規制の根拠は薬局が特定の地域に密集してしまうと過当競争を招き、なかには経営戦略で優位に立つために安価な不良医薬品を供給する者があらわれるおそれがあることから、国民の健康の安全を守るうえで薬局間の競争を防ぐ趣旨にあった。事件の原告はスーパーの経営者でフロアの一角に薬局を開こうとしたが、距離制限にひっかかってしまい、医薬品の一般販売にかかる不許可処分を言い渡された。これを不服として提起された行政訴訟が本件である。
 専門分野に立ち入るので深入りはしませんが、最高裁は職業選択の自由に関する違憲審査基準で『二元論』を援用し、距離制限の法的性質を示したうえで新規参入を阻害する同制限は強力な規制ゆえ、憲法22条1項に反すると判示しました。なお、同じ距離制限で公衆浴場のほうでは合憲判断が下されている。

(ウ)4 65.0%
*a:『予算に基づいて政策を実施する』⇒行政。×
政(まつりごと)を執行する機関が行政である。
b:提出された法案に関連する委員会で審査を受けた後、本会議で議決される。〇
現在は委員会中心主義で本会議に回された時点で根回しの完了済みが多い。
重要法案については公聴会を開き、利害関係者や専門家を招いて意見を聴取することもある。
c:直接国税を一定額以上納める満25歳以上の男子に選挙権…
日本史にでてくる普通選挙法(1925)の内容。×加藤高明内閣で治安維持法とともに成立。
d:公職選挙法の改正により、現在は満18歳以上に選挙権が認められている。〇

(エ)1 83.6%
*自転車保険の加入義務を定めた条例について。
都道府県によって強制義務だったり努力義務だったり、条例そのものがないところもある。

XY:読解問題。
16条本文で自転車利用者の保険加入が義務付けられている。ただし書きでは、たとえば親権者が保険に加入していたら、自転車利用者の子供名義で新たに加入しなくても良いと書かれてある。

a:地方公共団体は法律の範囲内で条例を制定することができる(憲94条)。
『法律の範囲内』の詳しい中身も複数の解釈があり、場合によっては法令よりも厳しい基準(上乗せ条例)や法令の規制対象でないものを規制(横出し条例)することもできる。
b:条例の制定改廃に関する直接請求権の請求先は地方自治体の首長。
内閣総理大臣は内閣の首長で国政の人間である。


大問7(総合問題)

(ア)3 78.6%
*X:国土地理院が発行する2万5千分の1地形図は上が北。南北方向×
Y:北西にみえる日吉大社。八王子山の山頂付近に神社がある。〇

(イ)4 82.0%
*滋賀は内陸県こと海なし県なので、増水といえば近江の海・琵琶湖しかない。
フナ寿司が有名。琵琶湖は滋賀県の面積の約6分の1を占めるそうだ。

2:霞ヶ浦…茨城にある2番目に広い湖。ワカサギ釣りやレンコンの栽培でも知られる。
水深が浅く平坦な湖底で、富栄養化による水質汚濁に悩まされた。

(ウ)1 57.7%
*X:正長の土一揆(1428)は室町時代⇒中世。
近江の馬脚(ばしゃく)が借金を帳消しにする徳政令の発布を幕府に要求する。
高利貸しの土倉や酒屋、寺院を襲い、借用証文を奪って焼き捨てた(私徳政)。
一時は沈静したが、畿内にも土一揆が拡大して混乱を極めた。

a:馬に荷を乗せて運搬する専門の運送業者→馬借
鎌倉~室町。水上運送では問丸(といまる)が活躍する。
b:株仲間は江戸時代。
営業税を納付する代わりに営業の独占が認められた同業者組合のこと。
田沼意次は推奨、水野忠邦の天保の改革で解散。

(エ)ⅰ;内閣から独立 30.4%!
*メモの前半は大津事件
ロシア皇太子ニコライ(のちのニコライ2世)が琵琶湖あたりを観光して京都に帰る道中、警備にあたっていた巡査の津田三蔵に切りつけられる事件が起きた。明治政府は外交の悪化を懸念して津田を死罪にするよう大審院(現在の最高裁)に働きかけた。これに対して当時の大審院院長(現・最高裁長官)であった児島惟謙(いけん)は圧力に抵抗し、担当裁判官を説得、津田には無期懲役が言い渡された。

公正な裁判を行うには司法権が立法権や行政権から干渉を受けず、独立していなければならない。
児島惟謙は司法権の独立を守り抜いた人物だといわれている。しかし、司法権の独立は司法内部にも適用されるので、大審院院長の彼が担当裁判官を説得した行為がその原則に抵触するのではないかと問題視されている。

ⅱ―A
*A:司法権の独立の核は裁判官の職権独立にある。
憲法76条3項『すべて裁判官は、その良心に従ひ独立してその職権を行ひ、
この憲法及び法律にのみ拘束される』
78条では裁判官の身分保障があり、心身の故障や弾劾裁判を除いて罷免されない。

B:国民審査の対象は最高裁判所の裁判官のみ。
裁判官は公選されず、かつその独立が保障されているゆえ、国民の意思が反映されない。
そこで、最高裁裁判官については主権者である国民の信任を直接問うことで、
司法に対する民主的統制を及ぼすのが国民審査の狙いである。
2009年から始まった裁判員制度も同様の趣旨である。
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2021年度 福岡県公立高校入試過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外は三平方の定理の活用と標本調査。
*三平方の定理の意味を理解し、それが証明できることを知ることは出題に含まれる。

大問1(小問集合)

(1)
7+2×(-6)
=7-12=-5

(2)
3(2a+b)-2(4a-5b)
=6a+3b-8a+10b
=-2a+13b

(3)
14/√2-√32
=7√2-4√2
=3√2

(4)
(x+6)(x-5)=9x-10
2+x-30=9x-10
2-8x-20
=(x+2)(x-10)=0
x=-2、10

(5)
4枚の硬貨を投げて表裏が出る結果→24=16通り
『少なくとも1枚は表』→全体からすべて裏の場合を引く。
すべて裏は1通りしかないから、『少なくとも1枚』は15通り。
確率は15/16。

(6)
y=1/2x2はa>0で下に凸のグラフ。
x=0のとき、最小値y=0
x=-4のとき、最大値y=8
0≦y≦8

(7)
y=-6/xのグラフを描く。

反比例なので双曲線となる。
xとyの積は比例定数-6で一定。
a>0だから、グラフは左上(第2象限)と右下(第4象限)にあり、
格子点を結んで描く。

(8)
∠Aが90°である直角三角形ABC。
三平方の定理(辺の比が3:4:5)から、AC=8cm

(9)

BOを延長して円との交点をEとする。
直径BEに対する円周角∠BCE=90°
∠EBC=180-90-48=42°
二等辺ABCの底角である∠ACB=(180-48)÷2=66°
△BCDで外角定理→∠ADB=42+66=108°

大問2(資料問題)

(1)
図1の13m以上14m未満の度数は4回。
4÷30=0..133…≒0.13

(2)説明問題。
中央値の場合は『中央値がふくまれる階級』、最頻値の場合は『その数値』と
書くべき要素が微妙にズレている(´・_・`)

30回の中央値(メジアン)は15番目と16番目の平均。
Aは11m以上12m未満の階級、Bは10m以上11m未満の階級でAの方が遠くまで飛んでいる。

最頻値(モード)は最もあらわれている値。
Aは9.5m、Bは11.5mでBの方が遠くまで飛んでいる。
モードが手っ取り早く書ける。


大問3(整数)

(1)
偶数は2m。
連続する2つの偶数は2mと2m+2
2m(2m+2)+1
=4m2+4m+1
=(2m+1)2
mは整数だから、2m+1は奇数である。
したがって、連続する2つの偶数の積に1を加えた数は、奇数の2乗になる。

@余談@

↑幾何で捉えるとこうなる。
4×6の青い長方形において、
右のを上のに移動して+1すると5×5の正方形になる。

(2)
1と3は連続する奇数だが、下線部①では『n、n+2』となっている。
連続する2つの奇数は『2n+1、2n+3』や『2n-1、2n+1』など。
nに係数のない『n、n+2』は、差が2である2つの整数。

n(n+2)+1
=n2+2n+1=(n+1)2
n+1はnとn+2の間の数。
”もとの2つの数の間の整数”が答えになる。
A…エ B…オ

(3)

先ほどは『差が2である2つの整数』をいじくると『あいだの数』になったが、
これら3つの整数は連続する3つの整数である。
連続する3つの整数をA、B、Cとすると、A×C+1=B×B

最終的に真ん中の数の2乗になるので、連続する5つの整数A、B、C、D、Eでは、
計算結果がC×Cとなりそうな組み合わせを探す。
中央のCから等しい距離で離れ、かつ+1ではないとするとAとEが怪しい('ェ')ジィー

Cをnとおいてみよう
A…n-2、E…n+2
A×E+P=C2
(n-2)(n+2)+P=n2
2-4+P=n2
P=4
X…ア、Y…オ、Z…ウ、P…4(X・Yは順不同)

@余談@

8×12=96の長方形を10×10=100にするには+4する。
具体的な数値を適当にあてはめて検証してもいい。
ちなみに、連続する7つの整数では、最小値×最大値+9=中央値2となる。
平方数を足していくことになる。

大問4(数量変化)

(1)
説明問題。いちいち方程式を記述しなくてはならない(;`ω´)

0≦x≦30のグラフは原点(0、0)から(30、2400)を通過する。
傾きは2400÷30=80
y=80x
これにx=11を代入して、y=80×11=880m
図より家から駅までの距離は900mで、880<900だから家から駅までの間にいる。

@余談@
30分後に2400m歩くから、11分後は2400×11/30=880mで良いと思うのだが、
直線の式を忠実に書けるようにしてねという県教委会からのメッセージか。

(2)
希が図書館を出発した時刻がわからないのでBから決める。

60分後の駅からさかのぼる。
図書館~駅間は2400-900=1500m
これを分速75mで歩くから、1500÷75=20分
希が図書館を出発したのは20分前の9時40分。
B(40、2400)

姉は2400mを分速200mで移動するので、2400÷200=12分
家を出発した時刻は12分前の9時28分。
A(28、0)

A…(28、0)、B…(40、2400)

(3)

グラフの最後のほうに追記。
兄は65分後の10時5分に家を出発。
駅で15分間おしゃべりしてから、行きと同じ速さで帰る。
行きと帰りの時間は同じ(図形は等脚台形)。
兄が駅までかかる時間は、(10:38-10:05-15)÷2=9分

家-駅間を希は15分、兄は9分。
時間の比は希:兄=15:9=

中学受験の戦法を使わせていただきます(´д`)
希と兄がすれ違う交点から垂線を下ろす。
この垂線の距離を移動する時間の比が希:兄=
=10分×/=3・3/4分=3分45秒
したがって、希と兄がすれちがったのは、10時5分から3分45秒後。
10時8分45秒


大問5(平面図形)

(1)

1つしか変更できないので、『1組の対辺が平行でかつ長さが等しい』を使う。
平行は変わらない。変わったのは上と下の長さ。
符号を入れ替えればいい。
エ;AD+DE=CB+BF

@余談@
私どこかでコレ見かけたことあるな(´ω`).。0
とデジャブにかられて記憶をたどると、3年前の全国学力テスト数学Bに酷似してました。

良い問題は記憶に残ります。

(2)
△DGE≡△BHFの証明。

仮定より、DE=BF
AE//CFの錯角より、∠GED=∠HFB(
同じ錯角とAB//DCの同位角で、∠EDG=∠FBH(×
1辺と両端角が等しく合同。

(3)

面積の小さい△HBFに狙いを定める
△HBF∽△HAEにおいて、辺の比は1:4。
△HBFの面積を【1】とおくと、△AHFは【4】。

△AFBは【5】。
△AFB:△AFC=FB:FC=1:4ゆえ、
△AFC=【5】×4=【20】
平行四辺形AFCE=△AFC×2=【40】

対角線ACとEFで分けると、平行四辺形の面積は4等分される
△OFC=【40】÷4=【10】
四角形OHBC=【10】-【1】=【9】
したがって、12×【9】/【40】=27/10cm2

大問6(空間図形)

(1)

サボは③から考えました。
③底面の面FGHIと平行なのは青線の4辺。
②面BFIEと垂直なのは辺BCと辺DE。
①辺BCは辺ABと交わるので辺DEが答え。

@余談@

昨年の埼玉でも同じ図形が出ています。
そこで出題されたのが『辺BFとネジレにある辺は何本か』という設問です。
学校裁量問題という難関校を目指す生徒たちのなかで正答率が23.1%しかありませんでした。
正解は6本。

(2)

△AKJ∽△AEDより、KJ:ED=
KJ//ED//FGより、FG=ED=
四角形KFGJは台形(正面からみると左右対称で等脚台形)。
下底FG()=6cmだから、上底KJ()=2cm。
JLは台形の高さにあたる
JK=16√5×2÷(2+6)=
4√5cm

(3)

E・C・Hは直方体の頂点、Pだけ変な位置にある。
P方向から四面体PHECを眺めると、左右対称の立体である。
辺PHと面EIGCが交わる点をN、Nの真上にある面BCDE上の点をMとする。
正面方向の長方形BFHDで切断するとCとEが重なり、図中のMNが求められそう。

PF= 5-2=3cm
△PFH∽△NGHにおいてGはFHの中点だから、
中点連結定理でNG=3÷2=1.5cm
MN=5-1.5=3.5cm

MNは△ENC上の辺であり、辺BFと辺DHは△ENCと平行
PをBへ、HをDへ等積変形して立体を変形する。
すると、四面体PHECは正四角錘N-BCDEとなる。
6×6×3.5÷3=
42cm3
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2021年度 京都府公立高校入試・中期過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の除外は三平方の定理と標本調査。

大問1(小問集合)

(1)
(-4)2-9÷(-3)
=16+3=
19

(2)
6x2y×2/9y÷8xy2
=1/6x

(3)
1/√8×4√6-√27

=-√3

(4)
(7x-3y)-(2x+5y)
=5x-8y
=5×1/5-8×(-3/4)
=1+6=7

(5)
(x+1)2=72
x+1=±6√2
x=-1±6√2

(6)
x=2のとき、y=-2
x=6のとき、y=-18
変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)
={-18-(-2)}÷(6-2)=-4

@別解@
y=ax2において、xの値がp→qまで増加するときの変化の割合はa(p+q)
-1/2×(2+6)=-4

(7)
点対称。回転の中心はO。

対応する点をつなげる。

(8)
4枚の表裏の出方は、24=16通り
4枚すべてが表
1通りしかない。
◆3枚が表
4枚のうち1枚だけが裏→4通り

合計5通り。
確率は、5/16。

大問2(資料問題)

(1)
階級値×度数の合計を15で割る。
(10×4+14×8+18×3)÷15
=206÷15=13.73…≒13.7℃

(2)

不等式にでてくる●―○で情報整理。
●はその数値を含み、○は含まない。

17℃以上20℃未満は0日。
16℃以上17℃未満は3日。
14℃以上16℃未満は、8-3=5日


大問3(空間図形)

すんごくシンプル( ;゚д゚)
(1)
錘の体積…底面積×高さ÷3
底面は1辺6cmの正方形。
6×6×3√3÷3=36√3cm3

(2)

立面図の赤い正三角形を立体図で示すと右図のようになる。
底面積
は1辺6cmの正方形、側面積は底辺6cm、高さ6cmの二等辺三角形。
表面積は、6×6+6×6÷2×4=108cm2

大問4(関数)

(1)
y=1/2x+2にx=10を代入→B(10、7)
y=-x+5にx=10を代入→C(10、-5)
BC間の距離は、7-(-5)=12

@@
Aはy=1/2x+2とy=-x+5の交点。
1/2x+2=-x+5
x=2
y=-2+5=3
A(2、3)
Aのx座標とBのx座標の差で距離を求める。
10-2=8

(2)
(1)が本問の布石になっている。

(Eの位置がおかしくて申し訳ない)
△ABCの面積は、12×8÷2=48
DEで△ABCを区切ると、△DCEの面積が24になればいい
y=-x+5にy=0を代入。D(5、0)
△DCEで底辺をCEとすると、高さはDとECの距離である5。
EC=24×2÷5=48/5
Eのy座標…-5+48/5=23/5

D(5、0)→E(10、23/5
右に5、上に23/5移動するので、変化の割合は23/5÷5=23/25
y=23/25x+bにD座標を代入。
0=23/25×5+b
b=-23/5
y=23/25x-23/5


大問5(平面図形)

(1)
A,B,Cは円を3等分する点なので、
∠AOB=360÷3=120°

(2)
円の3分の1である扇形OABの面積が54πcm2
円Oの面積は、54π×3=162πcm2
円の半径をrとすると、πr2=162πなので、
2=162
r=√162=9√2cm

(3)

本問の図形を見たとき、サボは正六角形を思い浮かべました。
A、B、Cが円周の3分の1、Eは弧ABの中点。
△AEOと△EBOの内角はすべて60°で正三角形。
∠AEO=∠EOBで錯角が等しく、AE//BO。

DO=、AE=
2角が等しく、△AEF∽△DOF
EF:FO=
半径9√2cmがに相当する。
FC=9√2×/+9√2
=23√2/2cm

大問6(規則)

(1)

魔方陣の要領で考えていく。
5番目のAは、5×4=20枚

(2)

タイルAだったところがタイルBに変わっていく。
9番目のタイルBの枚数は、1~8番目でタイルAであった枚数の合計+1
最後の+1は最初からタイルBであった図形中央のタイルである。

Aであった枚数の合計は、先ほどの魔方陣のやり方を応用して1~8番目を一括処理。
(1+2+3+4+5+6+7+8)×4+1
=36×4+1=145枚

(3)
今までのおさらい。
n番目のタイルA…4n
n番目のタイルB…(1~n-1番目までの和)×4+1。
1~n-1までの和は、{1+(n-1)}×(n-1)÷2=1/2n(n-1)

4n+1009=1/2n(n-1)×4+1
2n2-6n-1008=0
2-3n-504
=(n-24)(n+21)=0
n>0だから、n=24
答えは24番目の図形。

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2021年度 鹿児島県公立高校入試過去問【数学】解説

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出題範囲の除外はないが、『主として基礎的・基本的な事項及び思考力・判断力・表現力などを
検査できるものを出題するものとする』。

大問1(小問集合)

(1)①
5×4+7=27


2/3-3/5÷9/2
=2/3-2/15
=8/15


√6×√8-9/√3
=4√3-3√3
=√3


20分は1/3時間。
4km÷1/3時間=時速12km



正四面体は4つの正三角形からなる。
辺の数は6本。

(2)
7x-3a=4x+2a
5a=3x=3×5=15
a=3

(3)
底面は3:4:5の直角三角形→高さは4cm
3×4÷2×7=42cm3

(4)
28=22×7
『ある自然数の2乗』→平方数は各素因数が偶数個。
7をかければ22×72=142で平方数。
n=7

(5)

『約47%多い』ということは、1193を【147】としたときの【100】が答え
概算で処理しよう。
1193→1200、【147】→【150】とみなすと、
1200×【100】/【150】=800
これに近いのは平成29年。ウ

大問2(小問集合2)

(1)

直径に対する円周角は直角→∠ADC=90°
∠DCA=180-(26+90)=64°
弧ADに対する円周角より、∠x=64°

(2)
和が11以上は(5、6)(6、5)(6、6)の3通りしかない。
和が10以下は、6×6-3=33通り
確率は、33/36=11/12

(3)
(x+3)2-2(x+3)-24 ←(x+3)をXをおくと…
=X2-2X-24
=(X-6)(X+4) ←Xを(x+3)に戻す
=(x+3-6)(x+3+4)
=(x-3)(x+7)

(4)
△AGL∽△BIHの証明。

△DGHを媒介にすればいい。
正三角形の内角60°と対頂角で2角相等。
△AGL∽△DGHを指摘し、同様の手段で△DGH∽△BIHとなり、
△AGL∽△DGH∽△BIH→△AGL∽△BIHが導ける。

(5)
答案では方程式と計算過程も記述する。
Mサイズを5枚、Lサイズをy枚とする。
ペットボトルの個数で等式。
5x+8y=70 …①
代金で等式。
3x+5y=43 …②

①と②の連立を解く。
サボは②×5-①×3をしました。
x=6、y=5
Mサイズ…6枚、Lサイズ…5枚


大問3(資料問題)

(1)
問題文より、20冊以上30冊未満は6人(a)
表から、b=40-(3+5+6+10+7)=40-31=9人(b)
a…6、b…9

(2)
40人の中央値(メジアン)は20番目と21番目の平均値。
20冊未満の合計が8人。残りは問題文の情報を手がかりに数える。
20番目が35冊、21番目が36冊、その間は35.5冊。

(3)①
40冊以上50冊未満は7人。
相対度数は、7÷20=0.35



図にあるAの度数を表の横に書き足す。Bの度数も出しておく。
ア:0~30冊はA…5人、B…9人。Bの方が多い。〇
イ:20人の中央値は10番目と11番目の平均。A…35冊、B…35冊で同じ。×
ウ:最頻値(モード)は最もあらわれている値。A…45冊、B…55冊でBが多い。〇
エ:最も差が大きい階級は40冊以上50冊未満。×
ア・ウ

大問4(関数)

(1)
y=2x2にx=3を放り込む。
y=2×32=18

(2)
Cのx座標は、-1+2=1
y=2×12=2
C(1、2)

ABがx軸に平行で距離が1。
Bのx座標は1/2。
Cのx座標は、1/2+1=3/2
Cのy座標は、y=2×(3/2)2=9/2
C(3/2、9/2)
イ…(1、2)、ウ…(3/2、9/2)

(3)①
Aのx座標がt。
Bのx座標はt+1、Cはt+2。
2x2のxをt+2に置き換えればいい。
Cのy座標は、2(t+2)2


説明問題。大変です(;´・ω・)
問題文の流れから、△ABCの面積は2で一定のような気がする。


↑Aのx座標が正なので、AB,BCは右上のグラフ。
x座標の差は1。各点はy座標だけ示しています。
△ABCの面積を出して変数tが残れば、tの値によって面積が変わる。
変数tがなければ△ABCの面積は一定である。

ACの中点をD。DとCの下にそれぞれE、Fをおく。
CF=2(t+2)2-2t2=8t+8
中点連結定理から、DE=CF÷2=(8t+8)÷2=4t+4
BE=2(t+1)2-2t2=4t+2
DE=(4t+4)-(4t+2)=2

等積変形でAとCをズラすと、底辺2高さ2の三角形になる。
△ABCの面積は、2×2÷2=2
△ABCの面積は点Aのx座標がどのような値でも2である。


大問5(総合問題)

(1)

点Oを回転の中心として点対称➡④
CFを対称の軸として線対称➡⑤

@薩摩切子@
江戸切子は耳にしたことありますが、薩摩にもあったとは(;`ω´)

なんでも鑑定団お宝情報局2より。番組で2000万円の鑑定額がでた。もともとガラス工芸は出島のあった長崎から徐々に広がり、江戸切子のあとを追うように薩摩藩でも産業として振興。うえのサイトによると、特に紅色は着色剤の調合や温度管理が難しく、国内ではじめて成功したのが薩摩藩であったそうです。幕末~明治初期の混乱で一時は途絶えた薩摩切子を、およそ100年後に
島津家が復活させたんだとか。

(2)
1本の対角線から正六角形を作図する。

↑円に内接する正六角形を思い浮かべよう。
正六角形を6分割すると6つの正三角形があらわれ、
円周を6分割すると正六角形の頂点があらわれる。

①ADの垂直二等分線。対角線ADの中点が円の中心である。
②円の作図。
③△ABOは正三角形ゆえ、AOの長さをとり、Aから出発して円周を6等分。
これらを結んで正六角形ができる。

(3)①

これも正六角形の分割で考えるとPの位置が特定しやすい。
ADの中点をOとする。正三角形ABOからAO=4cm
ℓがBにきたとき、PはAOの中点にあり、AP=2cm
Pが出発して1秒後ということは、Mは辺AB上にいる

△AMPの内角は30°-60°-90°の直角三角形で辺の比は1:2:√3。
PM=√3cm



5秒後のℓはCの上。AP=5cm
底辺MNはCEと等しい。
1辺4cmの正三角形の高さである2√3を2倍して、MN=4√3cm
△AMPの面積は、4√3×5÷2=10√3cm2


ラストに説明問題。

MがCD上にあるので、6≦t≦8
のちの方程式で使うので、tの範囲はしっかり定めていく。
△AMNの高さはt。あとは底辺MNの長さがわかればいい。

PD=8-tcm
△MPDは1:2:√3の直角三角形ゆえ、MP=√3(8-t)cm
MN=2√3(8-t)cm

2√3(8-t)×t÷2=8√3
t(8-t)=8
2-8t+8=0
解の公式を適用。tの係数が偶数だからb=2b’が使える。
t=4±2√2
6≦t≦8だから、t=4+√2
4+2√2秒後

大問1
(5)47%多い→もとを100%としたら147%。
大問2
(4)3つの三角形が∽。△EIJ、△CKJ、△FKLも∽。
大問3
(2)折れ線の情報を度数分布表に足す。
関連する情報は近くに書いた方が良い。
大問4
(3)②この説明はツライ…。図を描きたい…。後回し推奨。
大問5
(1)点対称&線対称。
(2)正六角形の作図。6分割スタイルを素早く想起。
円の半径が正三角形の1辺に相当する。
(3)Mがどの辺上にあるかを見極める。
③底辺MNは下にある△DMNに見当をつける。

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2021年度 静岡県公立高校入試過去問【数学】解説

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出題範囲の除外はなし。

大問1(計算)

(1)ア
18÷(-6)-9
=-3-9
=-12


(-2a)2×÷8a×6b
=4a2÷8a×6b
=3ab


(4x-y)/7-(x+2y)/3
={3(4x-y)-7(x+2y)}/21
=(12x-3y-7x-14y)/21

=(5x-17y)/21


(√5+√3)2-9√15
=5+2√15+3-9√15
=8-7√15

(2)
16a2-b
=(4a+b)(4a-b)
=(4×11+43)(4×11-43)
=87×1=87

3)
(x-2)(x-3)=38-x
2-5x+6=38-x
2-4x-32
=(x+4)(x-8)=0
x=-4、8

大問2(小問集合)

(1)

∠AOP=∠BOP→∠AOBの二等分線
半径と接線は直交するので、∠OAP=90°をつくりたい。
Pの位置が不明。そこで、AについてOと対称な点O’をおき、
対応するOとO’の対称の軸であるOO’の垂直二等分線から∠OAP=90°を作成する。
①∠AOBの二等分線。
②OAを延長。OAの長さをとり、Aに針を合わせてO’を作る。
③OO’の垂直二等分線。①との交点がPとなる。

(2)ア
小さい方からa番目の数…a
大きい方からb番目の数…1番目が14、2番目が13、3番目が12、b番目は15-b。
a+(15-b)
=a-b+15


7と8の正六角形は必ず残る
◆丸だけをなくす
〇は全てとるので3以上…4通り
□は1枚以上残すので5未満…4通り
4×4=16通り
◆四角だけをなくす
〇は1枚以上残すので3未満…2通り
□は全部とるので5以上…2通り
2×2=4通り

合計で20通り。
確率は20/36=5/9

大問3(資料問題)

(1)
それぞれの値を書いておこう。
    ア・イ・ウ・エ
最大値…85・75・55・65
中央値…65・45・35・55
(*便宜上、最大値は階級値で示した。
30人の中央値は15番目と16番目の平均値)

ここから推論です(;`ω´)
『最大値は2組の方が大きい』『中央値は1組の方が大きい』
アは最大値、中央値ともに最大だから、1組でも2組でもない。
同様に、ウは最大値、中央値ともに最小で1組でも2組でもない。
残りのイ・エで中央値が大きいエが1組、最大値が大きいイが2組。
3年1組…エ、3年2組…イ

(2)

面積図で表す。
上位10位を均すと高さが62.9cm、60人全員を均すと高さが45.4cmの長方形。
が残り50人の平均値。
45.4より上の部分と下の部分を均して45.4になるから、赤い部分の面積が等しい。

左上の長方形は、(62.9-45.4)×10=175
右上の長方形の高さは、175÷50=3.5cm
したがって、残り50人の平均値は、45.4-3.5=
41.9cm


大問4(方程式)

説明問題。表を使って情報を整理しよう。

可燃が33kg減少、プラは18kg増加、合計は5%減少。
6月の可燃はプラの4倍であった。
6月のプラをxとすると、いろんなところがxで表せそう。。

↑こうなる。
合計の-5%で等式を作成。
(5x+15)×95/100=5x
95x-285=100x
x=57
4x=57×4=228
6月の可燃ごみ…228kg、6月のプラスチックごみ…57kg

大問5(空間図形)

(1)

感覚でわかってしまう(;^ω^)
底面BCDと辺ADが垂直なので、直角は∠ADB、∠ADC。

(2)

正三角形DBCと正三角形DPQの辺の比は、12:9=④:③
△DBCの面積…④×④=【16】
△DPQの面積…③×③=【9】
四角形BCQPの面積…【16】-【9】=【7】
四角形BCQPは△BCDの7/16倍。

(3)
手早く処理するには経験を積むしかない:(っ`ω´c):

斜め線を求めるとき、サボはそれを対角線とする直方体をイメージします。
BEを対角線とする青い直方体の縦×横×高さを調べる。

直方体の頂点をF、Gとする。
K・L・M・Nは各々の辺の中点で、EはKN、LMの中点。
三角錐を上から眺めると、Eを中心にK・LとM・Nは左右対称にある。
底面の正三角形DBCにおいて、Eの真下にあるGはMNの中点にあり、
右図のようにDから底辺BCに垂線をひくと、GとFを通過する。
BF=12÷2=6cm
△DBFは内角が30°-60°-90°で辺の比は1:2:√3→GF=6√3÷2=3√3cm
AD=8cm
△ACD∽△LCN→LN=8÷2=4cm
△LMN∽△EMG=EG=4÷2=2cm

お膳立ては整った( ✧Д✧)キラーン
【辺の長さがa、b、cの直方体の対角線の長さ→√(a2+b2+c2
BE=√{62+(3√3)2+22}
=√67cm


大問6(関数)

(1)
y=-1/2x2は上に凸のグラフ。
x=0のとき、最大値y=0
x=2のとき、最小値=-1/2×22=-2
-2≦y≦0

(2)
y=-1/
2x2にx=4を代入。
y=-1/2×42=-8
D(4、-8)
Eはy軸についてDを対称移動させた点
E(-4、-8

(3)
解答では求める過程も記述する。

AからBに移動するには右に7、上に7a→傾きはa。
Aから右に3、上に3a移動。9a+3a=12a
G(0、12a)

OからAに移動するには左に3、上に9a。
B(4、16a)から左に3、上に9a移動してF(1、25a)。

FCの傾き…(0-25a)÷(4-1)=-25/3a
GDの傾き…(-8-12a)÷(4-0)=-3a-2
FC//GDゆえ、-25/3a=-3a-2
a=3/8

大問7(平面図形)

(1)
△BOE≡△DOGの証明。

半径より、BO=DO
弧CDに対する円周角と錯角で∠OBE=∠ODG
問題はもう1つの等角(´゚д゚`)

ポイントは半径OC=OAから、△OCAが二等辺三角形であること。
∠BOE=××とする。
弧ABの円周角∠ACB=×
二等辺三角形OCAの底角∠OAC=×
仮定より、∠CAD=×
弧CDの中心角∠DOG=××
∠BOE=∠DOG=××
以上、1辺と両端角が等しく合同。

(2)

先ほどの図を観察すると、弧CDに対する円周角から∠CBD=∠CAD
つまり、
×は同じ角度である

中心角∠AODさえわかれば、弧ADの長さがでる。
△ODGで外角定理→×××=72°
前問の証明より、∠BOE=∠DOG。
∠BOE+∠DOG=××××=72×4/3=96°
∠AOD=180-96=84°
弧ADの長さは、6×2×π×84/360=
14/5πcm

大問2
(2)良い問題だと思う。
正六角形は必ず残るので、〇を残すか□を残すかで場合分け。
大問3
(1)やや推論を含む。少し焦るが、落ち着いて対処しよう。
(2)平均。解説では面積図を利用した。
大問4
表で情報整理をする。内容があっていたら別の立式でも良い。
大問5
(3)大問7まであるので、なるべく時間をかけたくない。
無理そうであれば後回し推奨。
真上から見た図、正面から見た図を頭のなかで素早くイメージする。
大問6
(3)変化の割合からG座標を算出。
2直線の傾きの処理。本問も時間をかけ過ぎたくはない。
大問7
(1)記述が大変(´゚д゚`)
△OCDが二等辺であることが見えないと繋げられない。
(2)前問の角度を利用するので、(1)を間違えると立て続けに間違える。
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