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大問１（小問集合）

（１）①　91.4％
６－９－（－２）
＝－３＋２＝－１

②　77.3％
（－２/５＋４/３）÷４/５
＝－２/５÷４/５＋４/３÷４/５　←先に展開してみた。
＝－１/２＋５/３
＝７/６

③　64.7％
（－３ａ）²÷６ａｂ×（－16ａｂ²）
＝－24ａ²ｂ

④　76.6％
（√３＋１）（√３＋５）－√48
＝８＋６√３－４√３
＝８＋２√３

（２）　79.5％
答案では解き方も記述する。
（２ｘ－１）（ｘ－４）＝－４ｘ＋２
２ｘ²－９ｘ＋４＝－４ｘ＋２
２ｘ²－５ｘ＋２
＝（２ｘ－１）（ｘ－２）＝０
ｘ＝１/２、２

（３）　51.4％
すべての場合は、２×３×３＝18通り
『少なくとも１個は白』＝すべて－全部白
全部白の場合は、１×１×２＝２通り
『少なくとも１個は白』…18－２＝16通り
確率は、16/18＝８/９

（４）　46.8％
円錐の側面積となる扇形の中心角は【×半径/母線】で処理。
360×５/10＝180°
半円であるウ。

（５）　48.2％
ア：最頻値は１組…7.75時間、２組…7.75時間で同じ。×
イ：１組…32人の中央値は16番目と17番目の平均で7.25時間。
　２組…33人の中央値は17番目で7.75時間。２組の方が大きい。×
ウ：１組…７人、２組…11人で２組のほうが多い。×
エ：１組…21/32、２組…21/33
分子が同じ。分母が小さい１組の方が値が大きい。〇
エ

大問２（小問集合２）

（１）①　52.9％
反比例の変化の割合。
ｘ＝１のとき、ｙ＝12
ｘ＝４のとき、ｙ＝３
変化の割合＝（ｙの増加量）/（ｘの増加量）
＝（３－12）/（４－１）＝－３

②　46.8％
ｙ＝12/ｘにｘ＝３を代入して、Ａ（３、４）。
これをｙ＝ａｘ²に代入してａを求める。
４＝９ａ
ａ＝４/９
ｙ＝４/９ｘ²にｘ＝－６を代入して、Ｂ（－６、16）。

直角三角形をつくると、辺の比が３：４：５！
ＡＢ＝15

（２）得点率100％－19.8％！、50～99％－14.7％、１～49％－14.4％
整数の証明問題。
４けたの自然数は、1000ａ＋100ｂ＋10ａ＋ｂと表すことができる。
1000ａ＋100ｂ＋10ａ＋ｂ
＝1010ａ＋101ｂ＝101（10ａ＋ｂ）
10ａ＋ｂが整数だから、101（10ａ＋ｂ）は101の倍数である。

（３）①　64.0％
観戦者の人数をｘとおく。最初に持っていた金額で等式を立てる。
3300ｘ－4400＝2700ｘ＋400
*過不足の扱いに注意しよう！
連立の場合は、最初に持っていた金額をｙ円とし、
ｙ＝3300ｘ－4400
ｙ＝2700ｘ＋400

②　55.4％
うえの一次方程式を解く。
600ｘ＝4800
ｘ＝８
最初に持っていた金額は、2700×８＋400＝22000円

（４）　57.9％

①『点Ａで直線ℓと接する円』→中心から伸びる半径と接線は直交する→Ａを通る直線ℓの垂線。
②『２点Ｂ、Ｃを通る円』→ＢＣの垂直二等分線
これらの交点が２つの円の中心Ｐ。

大問３（数量変化）

（１）①　76.3％
動く距離が４ｃｍになるまで、重なる部分は正方形。
ｙ＝３×３＝９

②ア；74.8％、イ；57.9％、ウ；45.3％、グラフ；76.6％

０≦ｘ≦４のとき、１辺がｘの正方形。ｙ＝ｘ²
ｘ＝４のとき、１辺４ｃｍの正方形（ｙ＝16）がスポっと入る。
正方形が長方形ＰＱＲＳから出る直前は辺ＡＤが辺ＰＳに接したとき。
それまで重なる部分は16で一定。
４≦ｘ≦６のとき、ｙ＝16

６≦ｘ≦10のときの式を求める。
ｘ＝６のとき、ｙ＝16
ｘ＝10のとき、ｙ＝０
（６、16）（10、０）の２点を通る式。
傾きは、（０－16）÷（10－６）＝－４
０＝－４×10＝ｂ
ｂ＝40
ｙ＝－４ｘ＋40
ア…６、イ…ｘ²、ウ…４ｘ＋40

最初はｙ＝ｘ²なので、（１、１）（２、４）（３、９）の格子点を通過するように描く！

（２）　9.4％！
重なっている部分ｙと△ＡＰＱの面積が等しくなる瞬間はどこか？|д･)
ｘ＝４のとき、ｙ＝16
試しに、このときの△ＡＰＱの面積を求めると、
ＰＱ×ＱＯ÷２＝６×（10－４）÷２＝18
ということは、０≦ｘ≦４では等しくならない。

今度は次の転換点であるｘ＝６のときを計算すると、
△ＡＰＱの面積は、４×（10－６）÷２＝８
４≦ｘ≦６のとき、重なっている部分ｙは16で一定なので、この変域のどこか。

６×（10－ｘ）÷２＝16
30－３ｘ＝16
ｘ＝14/３

大問４（平面図形）

（１）100％—14.4％！、50～99％—13.7％，１～49％—50.0％
△ＡＣＧ≡△ＡＤＥの証明。

仮定から、ＡＣ＝ＡＤ。この両端角に狙いを定める。
共通角で∠ＣＡＧ＝∠ＤＡＥ
弧ＡＦの円周角→ＡＢ＝ＡＤより△ＡＢＤは二等辺三角形→∠ＡＣＧ＝∠ＡＤＥ
１辺と両端角相等で合同。
*平行線は使わなかった。

（２）①　49.6％

△ＡＤＥ∽△ＣＢＥ。
ＡＥ：ＣＥ＝ＡＤ：ＣＢ＝６：３＝２：１
ＡＣ＝６ｃｍなので、ＡＥ＝６×２/３＝４ｃｍ

＠別解＠

二等辺三角形ＡＢＤの底角と、平行線→錯角で∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ
角の二等分線の定理より、ＢＡ：ＢＣ＝ＡＥ：ＥＣ＝６：３＝２：１
ＡＥ＝６×２/３＝４ｃｍ

②　2.2％!!

△ＡＢＥと△ＣＥＦは対頂角と円周角で２角が等しく相似。
辺の比さえわかれば、隣辺比の積から面積比が出せる。
ＦＣ：ＦＥ＝ＡＢ：ＡＥ＝６：４＝③：②
ＢＥの値が出せないものか(´ω`).。0

等角の●に注目して共通角と合わせると、△ＢＣＦ∽△ＣＥＦ。
ＢＣ：ＢＦ＝ＣＥ：ＣＦ
３：ＢＦ＝２：③
ＢＦ＝③×３/２＝〇4.5
ＢＥ＝〇4.5－②＝〇2.5

隣辺比から面積比。
△ＡＢＥ：△ＣＥＦ
＝ＡＥ×ＢＥ：ＦＥ×ＣＥ
＝４×〇2.5：②×２
＝10：４
＝５：２

＠別解＠

（１）の△ＡＣＧ≡△ＡＤＥから、ＡＧ＝ＡＥ＝４ｃｍ、ＧＤ＝６－４＝２ｃｍ
２つの合同図形から斜線部分を除くと、余りの△ＣＥＦと△ＤＧＦも合同。
ＤＦ＝③
△ＢＣＦ∽△ＤＧＦより、ＢＦ＝③×３/２＝〇4.5
ＢＥ＝〇4.5－②＝〇2.5
あとは先ほどと同様に隣辺比で５：２。

大問が４つしかない(‘Д’)
大問１
（３）『少なくとも』ときたら余事象の確率。
（４）×半径/母線は他でもでるよ！取れないのはもったいない。
（５）機械的に調べるだけ。もう少し正答率を上げたい。
大問２
（１）①大阪Ｃでも反比例の変化の割合が出た。
（２）数を文字式で表す→101でまとめる→お決まりの常套句を披露。
大問３
（１）②グラフの方が正答率高いのは何故？？
混乱したら絵を描いて整理。
（２）まず、どのｘの変域に答えが含まれるか。
転換点ごとに△ＡＰＱの面積を算出して絞る。
大問４
似たような図形を他でも見かけたような。
（２）②隣辺比の処理に慣れておきたい。
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平均31.9点（60点満点；前年比＋7.2点）

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大問１（小問集合）

（１）①　98.4％
２－６＝－４

②　87.9％
－３×（－２²）
＝－３×（－４）
＝12

③　88.2％
（２ａ＋ｂ）/３＋（ａ－ｂ）/２
＝｛２（２ａ＋ｂ）＋３（ａ－ｂ）｝/６
＝（７ａ－ｂ）/６

④　91.7％
ｘｙ²×ｘ²÷ｘｙ
＝ｘ²ｙ

⑤　79.2％
６/√３＋√15×√５
＝２√３＋５√３
＝７√３

（２）　79.6％
ｘ²＋７ｘ－18
＝（ｘ＋９）（ｘ－２）＝０
ｘ＝－９、２

（３）　90.6％

典型問題。平行線をひき、同位角や錯角で集める。
ｘ＝70°

（４）　67.0％
ａ²－６ａ＋９
＝（ａ－３）²　_{←ここで代入。}
＝（√５＋３－３）²
＝５

（５）　44.2％
円錐の高さは、母線５ｃｍを斜辺とする３：４：５の直角三角形→４ｃｍ
３×３×π×４÷３＝12πｃｍ³

（６）２点－53.8％、１点－22.9％

①∠Ａの二等分線。ＢＣとの交点がＰ。
②ＡとＰが重なる折り目→ＡＰの垂直二等分線。
垂直二等分線は対称の軸でＡとＰが対応する関係になる。

大問２（小問集合２）

（１）①　70.9％
それぞれの硬貨の結果は表か裏かの２択。
２×２×２＝８通り

②　43.0％
500以下より、500超の場合が少ない。
500超のパターンは、550・600・650の３通りしかない。
500以下は８－３＝５通り
確率は５/８。

（２）①　64.6％
12～15冊は10人。
相対度数は小数で求めよう。
10÷40＝0.25

②　36.8％
16冊は15冊以上18冊未満の階級に含まれる。
15冊以上借りた人は19人いるので、はなこは上位20人に入っているので正しくない。
*平均値と順位は話が異なる。

大問３（関数）

（１）　83.1％
ｙ＝ａｘ²にＡ（３、３）を放り込む。
３＝９ａ
ａ＝１/３

（２）　42.8％
ｙ＝１/３ｘ²に代入。
ｘ＝３のとき、ｙ＝３
ｘ＝５のとき、ｙ＝25/３
変化の割合＝（ｙの増加量）÷（ｘの増加量）
＝（25/３－３）÷（５－３）＝８/３

＠別解＠
ｙ＝ａｘ²において、ｘの値がｐからｑまで増加するときの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）。
１/３×（３＋５）＝８/３

（３）　18.8％！

赤い直角三角形は合同。
ＡとＢの座標の差から、横は２、縦は16/３。
Ｃはｙ軸上の点なのでｘ座標は０。Ｄのｘ座標は０－２＝－２
Ｄのｙ座標は、１/３×（－２）²＝４/３
Ｃのｙ座標は、４/３＋16/３＝20/３

大問４（数量変化）

（１）　72.8％
Ａの方法は、お湯を使うまでの時間と保温時間が一緒。
表２は使わない。表１の『１時間あたり0.9円』から、ｙ＝0.9ｘ

（２）３点－13.6％！、２点－28.3％

ｘ＝１のとき、３分間沸かすから、ｙ＝0.4×３＝1.2
以降、１時間ごとに湯を沸かす時間は１分間伸びるので、電気代は0.4円ずつ増加する。
グラフは（１、1.2）を通る傾き0.4の一次関数。
縦軸の１目盛りは0.2なので、１時間に２目盛りずつ増える。

（３）　18.1％！

先ほどのグラフを左に延長して、切片は0.8。
ｙ＝0.9ｘとｙ＝0.4ｘ+0.8の交点を求める。
0.9ｘ＝0.4ｘ＋0.8
ｘ＝８/５
１・３/５時間＝１時間36分

大問５（空間図形）

（１）①　64.4％

２角が等しく、△ＰＳＱ∽△ＴＳＲ。
ＰＳ：ＴＳ＝ＰＱ：ＴＲ＝④：①
ＱＲ：ＲＳ＝ＰＴ：ＴＳ＝③：①
ＱＲ＝３ｍなので、ＲＳ＝３×１/３＝１ｍ

②　3.6％!!
前問のＱＲ：ＲＳ＝３：１は、本問も維持される。

ＲＳ＝ａ×１/３＝ａ/３ｍ
△ＱＢＡ∽△ＱＥＦ。
辺の比は高さの比と等しく、ＢＡ：ＥＦ＝ＱＲ：ＱＳ＝③：④
ＥＦ＝２×３/４＝８/３ｍ

台形ＡＢＥＦの面積は、（２＋８/３）×ａ/３÷２＝７/９ａｍ²

（２）　4.0％!!

△ＰＦＱ∽△ＤＦＡより、ＰＦ：ＤＦ＝④：①
△ＰＣＤ∽ＰＥＦより、ＣＤ：ＥＦ＝③：④
ＥＦ＝２×４/３＝８/３ｍ

大問６（平面図形）

（１）３点－41.4％、２点－5.6％、１点－15.5％
△ＡＤＦ∽△ＢＣＦの証明。基本レベル。

１つは対頂角。もう１つは円周角。
２角相等で∽。

（２）①　30.6％！

先ほどの相似で、対応する角●に注目する。
これと∠Ｅもしくは直角から、２角相等で△ＡＣＥ∽△ＢＤＥ。
求めたいＣＥをｘとおいて、
ＡＥ：ＥＣ＝ＢＥ：ＥＤ
８：ｘ＝ｘ＋２：３
内項と外項の積で、ｘ（ｘ＋２）＝24
ｘ²＋２ｘ－24
＝（ｘ＋６）（ｘ－４）＝０
ｘ＞０より、ｘ＝４
４ｃｍ

②　0.4％!!!
ムズいべ(ﾟ∀ﾟ)
ＥＧが中途半端な位置にある。
ひとまず直角三角形の斜辺にあたるＥＦが求まりそう。

直角三角形ＡＣＥの辺の比に注目すると、ＡＥ：ＥＣ＝８：４＝２：１
直角三角形ＢＤＥの辺の比も、ＢＥ：ＥＤ＝６：３＝２：１
ここから、△ＡＣＥと△ＢＤＥは１：２：√３の直角三角形であり、
これらと相似関係にある△ＡＤＦと△ＢＣＦの辺の比も１：２：√３である。
ＦＣ＝２×１/√３＝２√３/３ｃｍ
面倒だが…△ＣＥＦで三平方。
ＥＦ²＝４²＋（２√３/３）²＝156/９
ＥＦ＝２√39/３ｃｍ

ここからどうやってＥＧ：ＧＦを出すべきか(-_-;)
四角形ＣＥＤＦは対角の和が180°で内接四角形。
４辺の長さはでるので、対角線ＤＣとＥＦで分けられた４つの三角形の相似比を
統一してもできそうだが、しち面倒くさい(;´Д｀)
そこで、直角三角形の辺の比１：２：√３を活用する。

ＣからＤＥに向けて垂線。ＥＦ、ＥＤとの交点をそれぞれＨ、Ｉとする。
△ＣＥＩも１：２：√３の直角三角形。ＥＩ＝４÷２＝２ｃｍ、ＩＤ＝３－２＝１ｃｍ
同位角が等しく、ＩＣ//ＤＦ。
△ＥＩＨ∽△ＥＤＦより、ＩＨ＝②とすると、ＤＦ＝③となる。
また、△ＡＤＦ∽△ＡＩＣより、ＩＣ＝③×６/５＝〇18/５
ＨＣ＝〇18/５－②＝〇８/５

△ＣＨＧ∽ＤＦＧより、ＨＧ：ＧＦ＝ＣＨ：ＤＦ＝８/５：３＝⑧：⑮
再び△ＥＩＨ∽△ＥＤＦに戻り、ＥＨ：ＨＦ＝２：１だから、ＥＨ＝㉓×２＝㊻
したがって、ＥＨ＝２√39/３×〇54/〇69＝12√39/23ｃｍ

大問１
全問とるべき。
（５）よくあるパターンなので、もう少し正解したい。
大問２
（１）②確率は基本レベル。
（２）②16冊がどの階級に属するか。上から数えて少なくとも何番目か。
大問３
（３）2020年富山大問２にも似たような問題が。
大問４
問題文が長いが、必要な情報は少ない。
（３）題意をくみとれれば計算はしやすかった。
大問５
（１）②前問はＱＲ＝３ｍでこちらはＱＲ＝ａｍだから、
別問だと判断した生徒は少なくないかもしれない…。
混乱を誘発しやすい設問だったと思う(´・＿・`)
大問６
（２）ここまで解ければ十分。
（３）難問:;(∩´＿`∩);:
もっとうまいやり方があるかも。。できなくても問題無い。
１：２：√３を使うしかないと思うが、なぜＣからＤＥに向けて垂線を引こうとしたのか、
と尋ねられるとサボもうまく答えられない。やってみたら運良くできました。。
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平均47.1点（前年比；－14.2点）
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大問１（小問集合）

（１）
５＋（－３）×２
＝５－６＝－１

（２）
３ｘｙ²÷（－２ｘ²ｙ）×４ｙ
＝－６ｙ²/ｘ

（３）
√45＋√５－√20
＝３√５＋√５－２√５
＝２√５

（４）
ａ（ａ＋２）－２（ａ＋２）　_{←共通因数ａ＋２}
＝（ａ－２）（ａ＋２）
＝ａ²－４　_{←ここで代入}
＝（√６）²－４
＝６－４＝２

（５）
３ｘ＋２ｙ＝７
２ｘ＋ｙ＝６
加減法がやりやすいかな？
これを解いて、ｘ＝５、ｙ＝－４

（６）
ｘ²＋６ｘ－16
＝（ｘ＋８）（ｘ－２）＝０
ｘ＝－８、２

（７）
1500円のａ割→1500×ａ/10＝150ａ円。
定価－ａ割
＝1500－150ａ円

（８）
∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡをどう使うか。

線対称で対応する角は等しい。
ＡＢの垂直二等分線をひき、ＡＣとの交点がＰとなる。

（９）

△ＡＢＤは二等辺→∠ＤＢＡ＝ｘ
△ＡＢＤで外角定理→∠ＢＤＣ＝ｘ＋ｘ＝２ｘ
△ＢＣＤは二等辺→∠ＢＣＤ＝２ｘ
△ＡＢＣの内角より、ｘ＋２ｘ＋90°＝180°
ｘ＝30°

（10）
最頻値（モード）…最もあらわれているい値。
階級値で答えること！
7.0と7.5の平均である7.25秒。

大問２（関数）

（１）
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝３のとき、最大値ｙ＝９
０≦ｙ≦９

（２）
グラフの式に代入して、座標を確認。
Ａ（１、１）⇒Ｂ（３、９）
右に２、上に８だから、傾きは４。
Ａから左に１、下に４移動して、切片は１－４＝－３
ｙ＝４ｘ－３

（３）
問題文の正確な読解を(‘Д’)

線分ＡＢを平行移動して線分ＣＤに移す。
ＡがＣ、ＢがＤに移動する。（Ｄは必ずしもグラフ上の点ではない）
四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。

Ｂから下に８、左に２移動してＡ。
Ｄから下に８、左に２移動してＣ。
Ｄのｘ座標が－１だから、Ｃのｘ座標は－３となる。
ｙ＝１/３ｘ²に代入。
Ｃのｙ座標は、１/３×（－３）²＝３
Ｄのｙ座標は、３＋８＝11

大問３（確率）

（１）
ＯＢ上にくるということは、大・小の目が同じ。
６通りだから、６/36＝１/６

（２）

意外と少ないです(・ω・)
ＯＡの長さは６で固定なので、ＡＯ＝ＡＰからＰ（６、６）。
０は出せないのでこれしかない。
また、ＯＡを斜辺としてＰ（３、３）。
ＯＡを直径とする半円を描くと、直径に対する円周角で格子点を通るのはこれだけ。
以上、２通り。
２/36＝１/18

（３）

Ｏから半径の長さが４となる円を描く。
気を付けるべき点は、（３、３）は含まない！
Ｏから（３、３）までの距離は３√２。
（３√２）²＞４²だから、３√２＞４となる。
格子点の数は８個。
８/36＝２/９

大問４（規則）

（１）

三角形の数に注目。
１番目…１個、２番目…３個、３番目…６個、４番目…10個
６番目の三角形の数は１～６の和。１＋２＋３＋４＋５＋６＝21個
棒の本数は、３×21＝63本

（２）

１辺２の正三角形の個数を各段で数えてみると、
２段目１個、３段目２個、４段目３個…10段目９個。
１～９の和を求める。
（１＋９）×９÷２＝45個

（３）
（１）と同じ考え。
234÷３＝78個の正三角形ができるのは何番目か。
数字が小さいので足していった方が早い（´-`）.｡oO
１～10までの和が55だから、
55＋11＝66
66＋12＝78！
したがって、12番目。

大問５（空間図形）

（１）
△ＯＡＢは１辺４ｃｍの正三角形。
斜辺を４ｃｍとする１：２：√３の直角三角形より、高さは４×√３/２＝２√３ｃｍ
４×２√３÷２＝４√３ｃｍ²

（２）
最短距離なので展開図を作成。

四角形ＡＢＣＯは１辺４ｃｍの菱形。
△ＡＢＰ∽△ＱＯＰより、ＯＰ：ＰＢ＝ＯＱ：ＡＢ＝１：２
ＯＢ＝４ｃｍだから、ＯＰ＝４×１/３＝４/３ｃｍ

（３）

Ａ、Ｃ、Ｐで切断したとき、底面は△ＡＢＣになる。
→ポイントは【三角錐Ｏ－ＡＢＣ⇒三角錐Ｐ－ＡＢＣ】
ＯＢ：ＰＢがこれらの高さの比にあたる。
ＰＢ＝４－４/３＝８/３ｃｍ
ＯＢ：ＰＢ＝４：８/３＝③：②

Ｏの真下をＨとする。三角錐Ｏ－ＡＢＣの高さＯＨを求める。
△ＡＢＣは直角二等辺で辺の比は１：１：√２→ＡＣ＝４√２
△ＯＡＣの辺の比を調べると、４：４：４√２＝１：１：√２
△ＯＡＣも直角二等辺である。
それを二等分した△ＯＡＨも同様に直角二等辺。ＯＨ＝４×１/√２＝２√２ｃｍ

求積すべき体積は、４×４÷２×２√２÷３×２/３＝32√２/９ｃｍ³

大問６（数量変化）

（１）
６秒後の様子を描く。

折り返したＲは台形ＡＢＰＱと面積が等しい。
ｙ＝（６＋２）×４÷２＝16

（２）
転換点に注意する。

Ｒは折り返された部分と合同。
０≦ｘ≦４では、△ＡＰＱの底辺と高さがともに伸びる。
面積はｙ＝ａｘ²で増加し、ｘ＝４のとき、ｙ＝４×４÷２＝８

４≦ｘ≦８では、台形ＡＢＰＱは上底と下底が伸びる。
面積は一次関数で増加し、ｘ＝８のとき、ｙ＝（８＋４）×４÷２＝24

８≦ｘ≦10では、△ＤＰＱの部分が底辺のみ伸びる。
面積は一次関数で増加し、ｘ＝10のとき、ｙ＝24＋２×４÷２＝28

↑まとめるとこうなる。

（３）
ここも転換点に気を付けながら調べる(;´･ω･)

０≦ｘ≦４はＳとＲは同じ。
４≦ｘ≦８はＳは等積のまま右に移動する。
８≦ｘ≦10は高さが小さくなるので、Ｓの値も小さくなる。
オ

（４）

先ほどのグラフにＲを描く。
Ｓの面積が８ｃｍ²のときが長いので、このときのＲを計算すると、
Ｒ＝８×５/２＝20ｃｍ²
グラフより、７秒後。

大問７（平面図形）

（１）
△ＡＢＤ∽△Ｏ’ＢＰの証明。

１つは共通角。
半径ＯＰと接線ＤＢは垂直だから、∠Ｏ’ＰＢ＝90°
直径ＡＢに対する円周角である∠ＡＤＢ＝90°
２角が等しいので∽。

（２）①
こっから難しくなります(;´Д｀)
ＰＥが変な位置にあるので、図形の特徴をつかむために少し調べる。

Ｏ’Ｐ＝２ｃｍ、Ｏ’Ｂ＝４ｃｍ、∠Ｏ’ＰＢ＝90°から、
△Ｏ’ＢＰの辺の比が１：２：√３である直角三角形であることに勘づきたい。
∠ＰＢＯ’＝30°

前問で△ＡＢＤ∽△Ｏ’ＢＰだから、△ＡＢＤの辺の比も１：２：√３。
ＡＢ＝６ｃｍより、ＢＤ＝６×√３/２＝３√３ｃｍ
ＢＤとＢＥは円Ｏ’の接線であり、ＰとＱはそれぞれの接点である。
円外の点から接線までの距離は等しいので、ＢＱ＝ＢＰ＝２√３ｃｍ
その延長線でＢから円Ｏとの交点までの距離も等しく、ＢＥ＝ＢＤ＝３√３ｃｍ
ようするに、直径ＡＢを対称の軸としてこれらが上下で線対称の関係にある！(ﾉ)`ω´(ヾ)
∠Ｏ’ＢＱ＝30°

ごちゃごちゃして申し訳ない(;`ω´)
ＰからＢＥに向けて垂線、その足をＲとする。
△ＢＰＲの内角も30°－60°－90°で１：２：√３から、ＰＲ＝３ｃｍ、ＢＲ＝√３ｃｍ。
（△Ｏ’ＣＰは正三角形で∠ＢＰＣ＝30°。すなわち、ＣはＰＲ上にある）
ＥＲ＝３√３－√３＝２√３ｃｍ
△ＰＲＥで三平方→ＰＥ＝√21ｃｍ
*ちなみに、△ＢＰＱは正三角形になる。図に描いたけど別にいらんかった(;^ω^)

②

△ＢＣＲも１：２：√３→ＣＲ＝１ｃｍ
ＰＣ＝３－１＝２ｃｍ
△ＣＰＥは底辺ＰＣで高さＥＲだから、２×２√３÷２＝２√３ｃｍ²

大問１
ここはミスを最小限におさえたい。
大問ごとの後ろの小問がやりにくいので重要な得点源。
大問２
（３）Ｄは必ずしもグラフ上の点とは限らない。
ここを踏まえないとおかしくなる。
大問３
（２）いろいろありそうだが２通りしかない。
ＯＡが斜辺かそうでないかで場合分けが良いかも。
（３）（３、３）は含まない！
大問４
（２）ここも問題文の条件を的確に。段ごとで調べると規則がある。
大問５
（３）断面ＡＰＣを作図⇒底面は四角形ＡＢＣＤではなく△ＡＢＣ！
前問から高さの比。正四角錘の高さも素早く求めたい。
大問６
（２）（３）時間が足りないので、要領良く調べ上げたい。
大問７
（２）①ＰＥを１辺とする直角三角形が見当たらないので作る。
辺の比に注意して１：２：√３を早々に気がつきたい。
問題文に角度の情報がないので見つけにくいが、図形問題でつまったら角度の調査！
円の中心ＯとＯ’が直径ＡＢ上にあり、２本の接線から上下で線対称。
処理自体は多くはないが、図形の特徴を正確にひもとくのが大変な問題であった。
30°か60°がでたら垂線をひくと便利な直角三角形がつくれる。ぜひ応用してみよう。
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平均45.3点（前年比；＋8.8点）

説明問題が多いです。以下、解答に説明が求められる設問に★をつけています。
問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合１）－75.4％

（１）　97.2％
７×２－９
＝14－９＝５

（２）　92.6％
３（５ａ＋ｂ）＋（７ａ－４ｂ）
＝15ａ＋３ｂ＋７ａ－４ｂ
＝22ａ－ｂ

（３）　92.0％
６ａ²ｂ×ａｂ÷２ｂ²
＝３ａ³

（４）　87.0％
ｘ－４ｙ＝９
２ｘ－ｙ＝４
連立を解く。
ｘ＝１、ｙ＝－２

（５）　89.4％
√24÷√３－√２
＝√８－√２
＝２√２－√２
＝√２

（６）　76.2％
ｘ²＋３ｘ－１＝０
因数分解ができないので解の公式を適用。
ｘ＝（－３±√13）/２

（７）　68.9％
ｘ＝１のとき、ｙ＝３
ｘ＝６のとき、ｙ＝１/２
１/２≦ｙ≦３

（８）　23.9％！

△ＡＤＥ∽△ＣＢＥより、ＤＥ：ＥＢ＝②：⑤
△ＤＥＦ∽△ＤＢＣで、ＥＦ：ＢＣ＝ＤＥ：ＤＢ＝②：⑦
ＥＦ＝５×２/７＝10/７ｃｍ

（９）　47.9％

∠ＢＡＣは∠ＢＯＣの円周角→72÷２＝36°
円周角は弧の長さの比例する。
ｘ＝36×４/３＝48°

（10）　79.0％
無作為に取り出した40個のうち、青は７個。
480×７/40＝84個

大問２（小問集合２）－54.2％

（１）★　45.7％
２つのパターンを鉛筆の本数ｙで等式。
ｙ＝４ｘ－８
ｙ＝３ｘ＋12
過不足の処理に気を付けよう！
４ｘ－８＝３ｘ＋12
ｘ＝20
ｙ＝４×20－８＝72
ｘ＝20、ｙ＝７

（２）★　56.5％
５×５＝25なので、26以上の方が少ない。
積が26以上は（５、６）（６、５）（６、６）の３通りだけ。
積が25以下は、６×６－３＝33通り。
確率は33/36＝11/12

（３）①　56.1％
ｙ＝ｘ²に代入→Ａ（－３、９）
Ａ（－３、９）を通る、傾きが－１の直線の式を求める。
Ａから右に３、下に３移動すると切片。９－３＝６
ｙ＝－ｘ＋６

②★　52.6％

典型問題ゆえミスしたくはない。
辺ＯＢを底辺として、６×３÷２＝９
説明問題でなくて良かったと思うが(;´･ω･)

（４）　60.0％
『２つの点Ａ，Ｂを通る円の中心Ｐ』→ＰはＡＢの垂直二等分線上にある。
これと直線ℓとの交点がＰとなる。

大問３（平面図形）－45.0％

★△ＡＥＦ≡△ＣＥＧの証明１題。

対頂角。ＡＤ//ＢＣから錯角。
平行四辺形の対角線は各々の中点で交わる→ＡＥ＝ＣＥ
以上、１辺と両端角相等で合同。

大問４（数量変化）－26.4％

（１）　41.1％

Ｐは反時計回りに秒速１ｃｍ、Ｑは時計回りに秒速３ｃｍ。
ＰＱが円Ｏの直径、すなわち反対側にくるとき、ＰとＱの移動距離の和は半周12ｃｍ。
１秒間にＰとＱは４ｃｍずつ離れていくから、12÷４＝３秒後

その後、ＰとＱは近づいていき、両者が重なる。
そこから１秒あたり４ｃｍずつ離れていき、再びＰとＱが反対側にくるのは、
ＰとＱの移動距離の和が１周半である36ｃｍのとき。
36÷４＝９秒後
ｘ＝３、９

（２）①　53.3％
ＰとＱが重なるのは、前問の３秒後と９秒後のあいだである６秒後。
計算式でかくと、ＰとＱの移動距離の和が１周24ｃｍだから、24÷４＝６秒後。
ｘ＝６

②　11.1％！
ｘ＝３のとき、ＰＱは半周でｙ＝12
ｘ＝６のとき、ＰとＱは重なっているのでｙ＝０
（３、12）と（６、０）を通る直線の式を求める。
　12＝３ａ＋ｂ
－)０＝６ａ＋ｂ
　12＝－３ａ
ａ＝－４
ｂ＝24
ｙ＝－４ｘ＋24

（３）★　13.3％！
ここも説明いるのか(;`ω´)

グラフを描写。
ｙ≧10を考えよう。
赤い三角形の∽から、ｙ≧10のときは１＋１＝２秒間。
ｙ≦10は、10－２＝８秒間

大問５（規則）－26.9％

（１）①　41.1％
初問で規則を見つけておきたい。

外側に白い辺ができる。四隅（角）は２辺が白なので除く。
ａ＝｛（４－２）＋（５－２）｝×２＝10

②　53.3％
同様。
ａ＝｛（12－２）＋（18－２）｝×２＝52

（２）★　11.1％！

外側から中に１つ進むとｂ。
ｂの縦はｘ－２、横はｙ－２。
ｂ＝（ｘ－２）（ｙ－２）
＝ｘｙ－２ｘ－２ｙ＋４

（３）★　13.3％！
前図より、ａ＝｛（ｘ－２）＋（ｙ－２）｝×２＝２ｘ＋２ｙ－８
ｂ－ａ＝20
ｂ－ａ
＝ｘｙ－２ｘ－２ｙ＋４－（２ｘ＋２ｙ－８）
＝ｘｙ－４ｘ－４ｙ＋12＝20
ｘｙ－４ｘ－４ｙ－８＝０
ｙ＝ｘ＋５を代入。
ｘ（ｘ＋５）－４ｘ－４（ｘ＋５）－８
＝ｘ²－３ｘ－28＝（ｘ＋４）（ｘ－７）＝０
題意よりｘ≧３なので、ｘ＝７
ｙ＝７＋５＝12
ｘ＝７、ｙ＝12

＠別解＠

ｘの両端を除き、ｘ－２＝★とします。ｂの縦は★。
ｙはｘより５を大きい⇒ｙ－２はｘ－２より５大きい。ｂの横は★＋５。
ａ＝４×★＋10
ｂ＝★×★＋５×★
ｂ－ａ＝★²＋５★－（４★＋10）＝20
★²＋★－30
＝（★＋６）（★－５）＝０
★＞０より、★＝５
ｘ＝★＋２＝５＋２＝７
ｙ＝７＋５＝12

大問６（空間図形）－18.1％

（１）①　40.4％

△ＡＢＣは１辺６ｃｍの正三角形。
△ＢＣＰで三平方→辺の比は１：２：√３だから、ＢＰ＝３√３ｃｍ

②　45.0％
６×３√３÷２＝９√３ｃｍ²

（２）★　13.4％！

△ＡＰＱの内角は30°－60°－90°で辺の比は１：２：√３。
ＡＱ＝３÷２＝３/２ｃｍ

（３）①★　1.9％!!

ポイントは△ＡＢＤと△ＡＣＥ！
ＢＤとＣＥは底辺の正方形の対角線なので、２つの三角形はＡＦで直交している。
ＢＤとＣＥの交点をＦとする。△ＡＢＦ⊥△ＡＣＥ
∠ＢＦＡ＝90°
△ＡＰＥは△ＡＣＥ上にある。辺ＡＢ上の点Ｑからひいた垂線もＡＦと交わる。∠ＱＨＡ＝90°
同位角が等しく、ＱＨ//ＢＦ。
△ＡＱＨと△ＡＢＦは相似である。

前問より、ＡＱ＝３/２ｃｍ
ＡＱ：ＡＢ＝ＱＨ：ＢＦ＝３/２：６＝１：４
ＱＨ＝３√２×１/４＝３√２/４ｃｍ

②★　0.7％!!!
高さＱＨが出たので、底面である△ＡＰＥの面積さえわかればいい。

ここも△ＡＣＥで考える。
直角二等辺三角形ＣＤＥ→辺の比が１：１：√２より、ＣＥ＝６√２ｃｍ
△ＡＣＥの３辺の比は、６：６：６√２＝１：１：√２！
すなわち、△ＡＣＥも直角二等辺三角形であり、∠ＰＡＥ＝90°
（正四角錘を対角線で切った断面は直角二等辺三角形）
よって、四面体ＡＰＥＱの体積は、
３×６÷２×３√２/４÷３＝９√２/４ｃｍ³

大問１
全体的に正答率が高い。
（８）相似を器用に扱う。ＥＦを１辺とする△ＤＥＦと∽関係な三角形はどれか。
（９）弧の比が提供されたら円周角の比。
大問２
処理がしやすい設問が多い。
（１）ｙがでてくるが、実質的には一次方程式。
大問３
ここも典型問題であった。
大問４
算数の旅人算で解いちゃった(´ﾟωﾟ`;)
大問５
（２）より（３）の方が正答率が高いのは部分点か？？
大問６
（２）までは取りたい。１：２：√３で決着がつく。
（３）どの面に着目すべきか、空間認識が鋭く問われた。
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平均53.9点（前年比；－1.7点、最高97点最低０点）

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（１）　97％
10－（－４）
＝10＋４＝14

（２）　84％
７/15×（－３）＋４/５
＝－７/５＋４/５
＝－３/５

（３）　98％
（－３）²＋７
＝９＋７＝16

（４）　95％
√24＋８√６
＝２√６＋８√６
＝10√６

（５）　89％
27ｘｙ×ｘ²÷（－９ｘ²ｙ）
＝－３ｘ

（６）　87％
３（ｘ＋６ｙ）－２（ｘ＋８ｙ）
＝３ｘ＋18ｙ－２ｘ－16ｙ
＝ｘ＋２ｙ

大問２（小問集合）

（１）　75％
２ｘ²－７ｘ＋４＝０
因数分解ができそうでできないので、素直に解の公式。
ｘ＝（７±√17）/４

（２）　47％
『ＡＢ、ＡＣまでの距離が等しい点』
→∠ＢＡＣの二等分線
これとＢＣとの交点に●をかく。

（３）　79％
比例；ｙ＝ａｘ
（ｘ、ｙ）＝（－３、36）を代入。
36＝－３ａ
ａ＝－12
ｙ＝－12ｘ

（４）　41％
４本中３本が当たりだから、Ａが当たる確率は３/４。
Ａがひいたくじは戻すので、Ｂが当たる確率は３/４で同じ。
２人とも当たる確率は、３/４×３/４＝９/16

（５）①　86％

対応する角に気をつけよう。
∠ＥＣＤ＝∠ＣＡＢ＝180－（115＋40）＝25°

②　45％

ここで130°を用いる。
Ａの回転先はＣ。∠ＡＯＣ＝130°
この円周角である∠ＡＥＣ＝130÷２＝65°
∠ＣＥＤ＝∠ＡＣＢ＝40°なので、∠ＡＥＤ＝65＋40＝105°
イ

大問３（資料問題）

（１）①　88％
最頻値（モード）…最もあらわれている値。
2.0ｇ

②　61％
424個の中央値（メジアン）は212番目と213番目の平均→2.2ｇ
ウ

（２）①記号―88％、説明―58％（部分正答11％）
イ；キャップと回収箱の合計の重さから空の回収箱の重さを引き、
その差をキャップ１個あたりの重さで割る。
*キャップの個数を求める方法を説明する。
（合計の重さ－回収箱の重さ）÷キャップ１個の重さ＝キャップの個数

②　14％！
標本調査。
無作為に取り出した50個のうち、印付きは４個。
印付きは全部で100個だから、50×100/４＝1250個

大問４（整数）

（１）　43％
ａやｂの中身は考えない。問題文から等式を立てる。
ａ－ｂ＝－18
ｂ＝ａ＋18

（２）　37％
18の倍数にならない反例を挙げる。
ａとｂの差が18未満だと18の倍数にならない。
12と21の差は９で×。（ア：21、イ：９）
34と43もダメ。（ア：43、イ：９）
ｘとｙの値が１違いだと差が９になるからである。

後ろの設問でやるが、ｘ－ｙが奇数だとダメ。
ａが10、30、50もダメ。14、18、27、38どれも差が奇数でダメ。
位の数の差が奇数ということは、ａが奇数であればｂは偶数となり、
ａが偶数であればｂは奇数となる。（27は奇数だが72は偶数のように）
奇数－偶数も偶数－奇数も奇数だから、ａとｂの差が偶数の18の倍数にはならない。

（３）①　27％！
情報整理が問われる。
問題文より、ａ－ｂ＝９（ｘ－ｙ）
この値が54であり、ｘ＝８を代入してｙを求める。
９（８－ｙ）＝54
ｙ＝２
（ｘ、ｙ）＝（８、２）
ｘはａの十の位、ｙはａの一の位なので、ａ＝82
ｂはそれを逆にした数だから、ｂ＝28

②条件―14％！（部分正答１％）、最大値―13％！
９（ｘ－ｙ）のｘ－ｙが整数だから、９（ｘ－ｙ）は９の倍数。
さらに、９（ｘ－ｙ）が18の倍数といえるには、ｘ－ｙが２の倍数（偶数）のとき。
（９の倍数×２の倍数＝18の倍数）
ｘとｙは位の数なので０≦<x,ｙ≦９。
偶数の最大値は８（９－１＝８、８－０＝８）
（ｘｰｙが）２の倍数である、最大値：ｘ－ｙ＝８

大問５（関数）

（１）　78％
ｙ＝ａｘ²にＡ（－２、２）を代入。
２＝（－２）²ａ
ａ＝１/２

（２）　17％！

４つの座標を確認。ＡとＤのｙ座標が等しい！
四角形ＡＣＤＢをＡＤで分割して△ＡＢDと△ＡＣＤに分ける。
ＡＤ＝４
２つの三角形の高さは★のところ。その合計はＢＧにあたる。
ＢＧ＝９/２－１/２＝４
四角形ＡＣＤＢの面積は、４×４÷２＝８

（３）①　38％
ＥとＦの座標を確認。
Ｅ（－３、９/２）
Ｆ（４、８）
Ｅ→Ｆは右に７、上に８－９/２＝７/２移動する。
傾き（変化の割合）はｙの増加量÷ｘの増加量→７/２÷７＝１/２
Ｆから左に４移動すると、傾きは１/２だから下に２移動する。
切片は８－２＝６
ｙ＝１/２ｘ＋６

②　２％!!

なんとなくＥＦとＣＤが平行にみえる(*´～`*)
幾何ではこういう発想は大事です。
試しにＣＤの傾きを調べてみる。
Ｃ→Ｄは右に３、上に２－１/２＝３/２
傾き（変化の割合）は、３÷３/２＝１/２
前問でＥＦの傾きは１/２だったから、やはりＥＦ//ＣＤ！

四角形ＡＥＣＤは１組の対辺が平行な台形となる。
台形を対角線で分割した２つの三角形の面積比は上底：下底の比。
すなわち、△ＦＥＣ：△ＦＣＤの面積比はＥＦ：ＣＤに相当する。

ＥＦとＣＤを斜辺とする、２つの直角三角形は相似。
各々の辺の比はｘ座標の差から７：３。
ＥＦ：ＣＤ＝７：３
△ＦＥＣ：△ＦＣＤの面積比は７：３。

大問６（平面図形）

（１）　24％！（部分正答55％）
△ＡＢＨ∽△ＡＯＤの証明。

共通角●。
接点Ｄから接線ＡＢと半径ＯＤは直交する→∠ＯＤＡ＝90°
２角相等で∽。

（２）①　81％
△ＡＢＨで三平方。
ＡＨ＝√（６^２－４²）＝２√５ｃｍ

②　６％!!
円Ｏの面積を求めるには、半径ＯＤが知りたい。
ＯＤは△ＡＯＤの１辺。
そこで、（１）の△ＡＢＨ∽△ＡＯＤを用いる。
ＡＨ：ＢＨ＝ＡＤ：ＯＤ
ＡＤの長さが不明。

ＢＯに補助線。
共通辺ＯＢ、半径ＯＤ＝ＯＨ、垂直
→斜辺と他の１辺が等しい直角三角形で△ＢＯＤ≡△ＢＯＨ
（内接円の問題でよくでてくる）
ＢＤ＝ＢＨ＝４ｃｍ
ＡＤ＝６－４＝２ｃｍ

ＡＨ：ＢＨ＝ＡＤ：ＯＤ
２√５：４＝２：ＯＤ
ＯＤ＝４×２/２√５＝４√５/５
円Ｏの面積は、（４√５/５）²π＝16/５πｃｍ²

（３）①　４％!!
△ＡＢＣは１辺６ｃｍの正三角形。

△ＢＯＤ≡△ＢＯＨから∠ＯＢＤ＝30°（内接円の中心（内心Ｏ）は∠ＡＢＣの二等分線にある）
同様に∠ＯＣＢ＝30°、直線ℓ//ＢＣより、錯角で∠ＯＦＥ＝30°
接線と半径は垂直に交わるので、∠ＯＤＢ＝ＯＥＦ＝90°
△ＯＤＢと△ＯＥＦの内角はともに30°－60°－90°で、
半径ＯＤ＝ＯＥを加味すると、１辺と両端角が等しく合同。

ＣＤは△ＡＢＣを２等分する→ＢＤ＝３ｃｍ
△ＯＤＢの辺の比は１：２：√３だから、
ＤＯ＝√３ｃｍ、ＢＯ＝２√３ｃｍ

〔図形Ｔの周の長さ＝△ＯＤＢ＋△ＯＥＦ－ＯＤ×２〕
△ＯＤＢの周の長さを２倍して、重複するＤＯを２倍した長さを引く。
（３＋√３＋２√３）×２－√３×２
＝４√３＋６ｃｍ

②　１％!!!
( ﾟAﾟ)y-~

↑こんな感じの立体の体積を求めます(´ﾟдﾟ｀)
どういう切り口で挑めばよいのやら・・。

思うに、△ＯＥＦと△ＯＨＢは合同なので、
回転させたときの円錐の体積も同じである。

というわけで、△ＯＥＦを△ＯＨＢに引越しさせて回転させる。
正面からみると台形ＤＢＣＤ’の回転体（円錐台）から、
二等辺三角形ＤＯＤ’の回転体（円錐）を引くイメージ。

辺の比が１：２：√３の直角三角形より、ＡＯ＝２√３ｃｍ、ＯＨ＝√３ｃｍ
ＤはＡＢの中点なので、Ｄから回転の軸までの距離は３÷２＝３/２ｃｍ

体積の算出は底辺の半径３ｃｍ、高さ３√３ｃｍの円錐から、
上部にある底辺の半径３/２ｃｍ、高さの合計２√３ｃｍの円錐を引くと計算しやすい。
３×３×π×３√３÷３－３/２×３/２×π×２√３÷３
＝９√３π－３√３/２π
＝15√３/２πｃｍ³

大問１
正答率が高い！ここでミスしたくない。
大問２
（２）作図。正答率が50％未満だけど難しくないヨ。
（５）②回転問題に対処できていた。
大問３
（２）②標本調査が悪い(ﾟДﾟ)中身は小問に出てくるタイプと一緒。
大問４
ａ・ｂ・ｘ・ｙがそれぞれ何を指しているか、しっかりおさえる。
（１）見慣れない形式で戸惑ったか。等式の整理で終了。
（２）答えはたくさんあるので、適当な代入でも正答できる。
大問５
（２）ＡＤがｘ座標に平行な場合はそこで分割。等積変形しない。
（３）②なんとなくそう見えるという発想は大事。そのあとの検証も大事。
大問６
（２）②内接円と相似。今年の沖縄大問９に類題あり。
（３）①角度認定。有名な直角三角形で辺の長さを洗い出し、重複部分を控除する。
②ここはとくにムズかしかった(( ;ﾟдﾟ))
分割で足してもできるが、計算量が多くなると時間とミスがこわい。
平面で合同図形を移転させ、回転体を柔軟に変形させる。
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平均25.7点（50点満点；前年比－1.6点）

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）①　95.1％
２－（－５）
＝２＋５＝７

②　94.0％
２/３÷（－２/15）
＝－５

③　90.8％
６√３－√27－√12
＝６√３－３√３－２√３
＝√３

④　87.0％
３（２ｘ－ｙ）－２（ｘ＋ｙ）
＝６ｘ－３ｙ－２ｘ－２ｙ
＝４ｘ－５ｙ

⑤　88.0％
３ａ²ｂ×４ａｂ²÷２ａｂ
＝６ａ²ｂ²

（２）　73.9％
（２ａ－３）²
＝４ａ²－12ａ＋９

（３）　73.4％
－ａ²－２ａ－１
＝－（ａ²＋２ａ＋１）
＝－（ａ＋１）²　_{←ここで代入。}
＝－（－２＋１）²
＝－（－１）²＝－１

（４）　83.7％
ｘ²－３ｘ－10
＝（ｘ＋２）（ｘ－５）
*因数分解で終わり。ｘについて解かない。

（５）式－68.5％、ア－77.2％
反比例はｘとｙの積が一定。
式；ｙ＝12/ｘ
ア；12÷２＝６

（６）　75.5％
ｘ²－３ｘ－１＝０
因数分解ができないの素直に解の公式を適用。
ｘ＝（３±√13）/２

（７）　34.8％
側面積は半径６ｃｍの扇形。中心角は〔×半径/母線〕で対処しよう。
６×６×π×３/６＝18πｃｍ²

（８）　66.3％
48匹のうち、印付きは６匹。
印付きは全部で50匹だから、総数は48×50/６＝400匹

（９）　57.6％
３点を通る円の中心Ｏの作図。
ＡＢの垂直二等分線、ＢＣの垂直二等分線、ＣＡの垂直二等分線。
これら３本のうち２本を作図し、交点がＯとなる。

（10）　43.5％
△ＡＥＦ≡△ＤＥＣの証明。

合同の証明では最低でも１組の等辺が必要なので、
ＡＥ＝ＤＥからどこの等角を指摘すべきかを捉える。
対頂角と平行線＋錯角で、１辺と両端角相等→合同。

（11）　56.0％
平均値はともに5.9点。
最頻値（モード）は最もあらわれている値。
10回の中央値（メジアン）は５番目と６番目の平均値。
そらの最頻値は７点、中央値は６点。
あずまの最頻値は９点、中央値は5.5点。
あずまを代表に選ぶので、最頻値を比較してあずまが大きい点を理由に挙げる。

大問２（確率）

（１）　58.7％
最も出にくい和は２。
（１、１）の１通りしかない。確率は１/36。
ア…２
イ…１/36

（２）　42.4％
６が最も出やすそうだが違うという(‘Д’)
〔１・２・２・３・３・３〕
〔１・２・２・３・３・３〕
和を６にするには３を２回出すので、３×３＝９通り
確率は９/36＝１/４

数字の並びをながめると、２＋３＝５の組み合わせが多そう。
和が５となる（２、３）は２×３＝６通り。
（３、２）も６通りだから、合計で12通りもある。
確率は12/36＝１/３
１/３＞１/４だから、出た目の数の和が５になる確率のほうが大きい。

（３）　21.7％！
ｙ＝ａｘ²に（ｍ、ｎ）を代入すると、
ｎ＝ａｍ²
ａ＝ｎ/ｍ²
ｎ/ｍ²の値が整数になる場合を考える。
〔１・２・２・３・３・３〕
分母ｍに２や３を入れてしまうとｎ/m²は整数にならない。
ｍ＝１で確定。
分母が１だから、分子ｎは何でも良い→６通り。
６/36＝１/６

大問３（方程式）

（１）　58.7％
15分＝１/４時間
時速６ｋｍ×１/４時間＝３/２ｋｍ

（２）①82.1％　②81.0％
何をｘ、ｙに置いたかを問う。

よくあるパターン。
距離の合計が１周10ｋｍ。
道のり÷速さ＝時間で、時間の合計が６/５時間。

今度はｘ＋ｙ＝６/５となっているので、ｘとｙは時間。
１つ目は速さ×時間＝道のりで距離の等式を立てている。
①イ、②エ

（２）　38.6％
前問のどちらかの連立を解く。
１つ目の連立を解くとｘ＝３、ｙ＝７
走った距離は７ｋｍ。走った時間は７ｋｍ÷時速10ｋｍ＝７/10時間。

２つ目の連立を解くとｘ＝１/２、ｙ＝７/10
走った時間は７/10時間。走った距離は時速10ｋｍ×７/10時間＝７ｋｍ
７ｋｍ、７/10時間

（３）①　13.0％！

道のりの関係を表すので、〔速さ×時間〕を両辺に設置して道のりで等式を立てる。
こういちは父より先にｔ時間走っている点に注意！
父…時速40ｋｍ×ａ時間＝40ａｋｍ
こういち…時速10ｋｍ×（ｔ＋ａ）時間＝10（ｔ＋ａ）ｋｍ
10（ｔ＋ａ）＝40ａ

②　2.2％!!

父が出発するｔ時間後は、２人の距離は10ｔｋｍ離れている。
ｔの値が小さければ２人の距離は接近しており、
父が反対の向きより同じ向きで出発して、こういちを追いかけた方が早く会える。
そのときのｔの最大値を求める。

父が反対の向きで出発すると、両者は時速50ｋｍで近づくので、
（10－10ｔ）ｋｍ÷時速50ｋｍ＝（10－10ｔ）/50＝（１－ｔ）/５時間で出会う。
父が同じ向きで出発すると、両者は時速30ｋｍで近づくので、
10ｔｋｍ÷時速30ｋｍ＝10ｔ/30＝１/３ｔ時間で追いつく。

（１－ｔ）/５＝１/３ｔ
３－３ｔ＝５ｔ
ｔ＝３/８
３/８時間後まで

大問４（数量変化）

（１）　66.3％、51.1％
■プラン１
2500＋25×（220－100）
＝2500＋25×120＝2500＋25×４×30
＝2500＋3000＝5500円

■プラン２
1000＋20×（200－50）＋35×（220－200）
＝1000＋3000＋700＝4700円
プラン１…5500円　プラン２…4700円

（２）　32.1％！

50ｋＷｈまでは基本料金の1000円。
50～200ｋＷｈまでは傾きが20円。50ｋＷｈで1000円増加する。
200ｋｗｈ以降は傾きが35円。100ｋＷｈで3500円増加する。

（３）　26.1％！
先ほどのグラフにプラン１を書き込む。

プラン１は100ｋＷｈまで2500円、そこから傾き25円で上昇。
（200、5000）（300、7500）の格子点を通る。
300ｋＷｈでプラン１とプラン２の料金が7500円で等しくなるので、
300ｋＷｈ未満まではプラン２の方が安い。
300ｋＷｈ未満のとき

（４）　3.8％!!
（１）より、プラン２の料金は4700円。

プラン３の料金を考える。
基本料金500円。
平日昼の電気使用量がａｋＷｈだから、平日昼分は35ａ円。
平日昼以外と土日祝日は１ｋＷｈあたり15円で同じ→まとめて処理！
２つの電気使用量は（220－ａ）ｋＷｈなので、料金は15（220－ａ）円。
これらの合計がプラン２の4700円より安い。
500＋35ａ＋15（220－ａ）＜4700
*ちなみに、この一次不等式を解くとａ＜45。
平日昼の電気使用量を45ｋＷｈより小さく抑えればプラン３の方が安くなる。

大問５（図形）

（１）　63.6％

∠ＢＣＤ＝90°に刮目<●><●>ｶｯ!
直径に対する円周角は90°。
ＢＤが円の直径。
△ＢＣＤは直角二等辺三角形で辺の比は１：１：√２。
ＢＤ＝２×√２＝２√２ｃｍ

（２）　35.3％

１つは対頂角で∠ＣＢＦ。
もう１つは内接四角形の内角は、その対角の外角に等しい→∠ＥＤＣ
ウ・オ

（３）　1.6％!!

結論からいうと、△ＡＢＥ∽△ＣＤＥ。
前問の∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＥ（●）。共通角∠ＡＥＢ＝∠ＣＥＤ（×）
２角相等で∽。

△ＣＤＥでＤＣ：ＥＣ＝２：６＝①：③
辺の比で三平方→ＤＥ＝〇√10
△ＡＢＥでＡＢ：ＢＥ＝①：〇√10なので、
ＡＢ＝４×①/〇√10＝２√10/５ｃｍ

（４）　12.0％！

半径√２ｃｍの球のなかに、底辺の半径が√２ｃｍ、高さの合計が２√２ｃｍの円錐が入る。
斜線部分は〔球－円錐〕。
４/３π×（√２）³－√２×√２×π×２√２÷３
＝８√２/３π－４√２/３π
＝４√２/３πｃｍ³

（５）　2.2％!!

直径探し。どう見てもＥＣは直径ではなさげ(;`ω´)
こういう場合は他の点も通るだろうと予測しよう。Ｆが怪しいね(σ’д’)σ

前問を手がかりに、∠ＥＡＦ＝∠ＥＣＦ＝90°
『２点Ａ、Ｃが直線ＥＦについて同じ側にあって、∠ＥＡＦ＝∠ＥＣＦが成り立つから、
４点Ａ、Ｅ、Ｆ，Ｃは同一円周上にある！』（円周角定理の逆）
等角が90°なので、円Ｐの直径はＥＦとなる。

ＥＦは△ＣＥＦの三平方で求まるので、ＣＦが知りたい。
２角相等→△ＡＢＥ∽△ＣＢＦ
（３）の辺の比から、△ＡＢＥでＡＢ：ＡＥ＝①：③
ＣＢ：ＣＦ＝①：③ゆえ、ＣＦ＝２×３＝６ｃｍ
△ＣＥＦで三平方→１：１：√２の直角三角形からＣＦ＝６√２ｃｍ

2020年度　豊島岡女子学園高校過去問【数学】大問５解説

類題を置いておきます。

大問１
計算問題の正答率が高め◎
（７）中心角は×半径/母線！なぜそうなるのか。わからなかったら先生に聞いてみよう。
（10）合同の証明は素直であった。
大問２
普通のサイコロではないが、正答率はまずまずであった。
大問３
（２）等式から文字の中身を推測する設問。８割以上が正解◎
（３）処理は少ないが、問題文を読解して式を立てるのが大変。図を描いて情報整理！
大問４
（４）ここも不等式を立てるのに読解力と整理力が要求された。
大問５
（２）内接四角形の性質はちゃんと使えるかな？|-`)｡oO
（３）ＡＢを１辺とする三角形と∽関係にある三角形に着目する。
（５）円周を通るもう１つの点の存在に素早く気づくこと。
直径の捜索は90°を手がかりに。前問の解答をうまく活用する良問であった。
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合格者平均53.9点（前年比；＋3.4点）

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）－82.2％

（１）　97.9％
－９＋（－８）
＝－17

（２）　91.3％
３/４÷（－５/６）
＝－９/10

（３）　90.0％
２（ａ＋４ｂ）－（－３ａ＋７ｂ）
＝２ａ＋８ｂ＋３ａ－７ｂ
＝５ａ＋ｂ

（４）　83.4％
√12×√２÷√６　_{←根号のまま約分。}
＝２

（５）　84.8％
２ｘ＋３ｙ＝20　…①
４ｙ＝ｘ＋１　…②

②より、ｘ＝４ｙ－１
①に代入。２（４ｙ－１）＋３ｙ＝20
11ｙ＝22
ｙ＝２

②に代入して、４×２＝ｘ＋１
ｘ＝７
ｘ＝７、ｙ＝２

（６）　71.7％
３ｘ²－ｘ－１＝０
因数分解ができないので解の公式。
ｘ＝（１±√13）/６

（７）　66.3％
和が８にならないよりなる場合のほうが少ない。
和が８→（２、６）（３、５）（４、４）（５、３）（６、２）
以上、５通り。
全体が６×６＝36通りで、和が８にならないのは36－５＝31通り
確率は、31/36。

（８）　72.0％
基本レベル。

①∠ＡＯＢに二等分線
②ＯＢの垂直二等分線
これらの交点がＰとなる。

大問２（資料問題&規則）－58.4％

（１）①　98.4％
40－（４＋７＋11＋６＋２）
＝10

②　48.1％
完全解答。
ア：16冊以上はともに８人で等しい。〇
イ：最頻値（モード）は１年が14冊、２年が14冊で等しい。×
ウ：最大値の含まれる階級は20～24冊で等しい。〇
エ：30人の中央値（メジアン）は15番目と16番目の平均で14冊。
40人の中央値は20番目と21番目の平均で10冊。１年の方が大きい×
ア・ウ

③　57.6％
答案では説明を記述する。
相対度数を算出して比較すればいい。
１年生…10÷30＝0.333…≒0.33
２年生…11÷40＝0.275≒0.28
0.33＞0.28だから、12冊以上16冊未満の生徒の割合が大きいのは１年生。

（２）①　56.7％

１行目の〔１、２、５、10、17、26…〕は
最初の１を除き、ｎ列目の〔ｎ－１の平方数＋１〕。
１行目６列目は５×５＋１＝26
３行目６列目は26＋２＝28
１―28
*（３、６）と（６、３）を取り違えないように！(‘Д’)
横行→縦列の順です。

右列は平方数が並ぶ。
31行目１列目は、31×31＝961
２—961

②　32.9％！

これも平方数から攻めた方がやりやすいと思う。
１²－０＝１
２²－１＝３
３²－２＝７
４²－３＝13
…ｎ²－（ｎ－１）
＝ｎ²－ｎ＋１

大問３（数量変化）－46.7％

（１）　72.4％
△ＰＢＱは等辺が１ｃｍの直角三角形。
ｙ＝１×１÷２＝１/２

（２）　49.8％
４秒後までは底辺ＢＱと高さＰＢが１ｃｍずつ長くなる。
底辺と高さがともに伸びるので、ｙ＝ａｘ²で増えていく。
ｘ＝２のとき、ｙ＝２×２÷２＝２
ウ

（３）　43.5％
転換点はどこか(‘Д’)

４秒後～６秒後は高さＰＢが伸びる。
ｙ＝４×ｘ÷２＝２ｘ
①…６、②…２ｘ

６秒後から12秒後までは等積変形で面積が一定。
ｙ＝４×６÷２＝12
③…12、④…12

12秒後～18秒後の高さは、ＢからＣまでの距離18ｃｍから
Ｐの移動距離ｘｃｍを引いて18－ｘｃｍ。
ｙ＝４×（18－ｘ）÷２＝－２ｘ＋36
⑤…－２ｘ＋36

（４）　21.9％！
ｙ＝６×６÷８＝９/２となるｘの値を求める。
ｘ＝４のとき、ｙ＝４×４÷２＝８だから、１つは０≦ｘ≦４。

ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（４、８）を代入してａ＝１/２
ｙ＝１/２ｘ²
ｙ＝９/２を代入。
１/２ｘ²＝９/２
ｘ＞０、ｘ＝３

ｘ＝12のときｙ＝12だから、もう１つは12≦ｙ≦18。
ｙ＝－２ｘ＋36にｙ＝９/２を代入して、ｘ＝63/４
ｘ＝３、63/４

大問４（平面図形）－38.0％

（１）　62.9％

直径ＡＣに対する円周角で、∠ＡＢＣ＝90°
∠ＥＢＣ＝90－24＝66°
△ＢＣＥで外角定理→∠ＡＣＢ＝100－66＝34°

（２）　51.4％
△ＦＢＤ∽△ＦＣＡの証明。

共通角で∠ＢＦＤ＝∠ＣＦＡ
弧ＡＤに対する円周角で∠ＦＢＤ＝∠ＦＣＡ
２角が等しく∽。

（３）　33.2％！
前問の相似を用いる。

対応する辺がごっちゃになったら、三角形を描いて整理してみよう。
ＦＤ：ＦＢ＝ＦＡ：ＦＣ
５：ｘ＋４＝ｘ：12
内項と外項の積より、ｘ（ｘ＋４）＝60
ｘ²＋４ｘ－60
＝（ｘ＋10）（ｘ－６）＝０
ｘ＞０、ｘ＝６
ＡＦの長さは６ｃｍ。

（４）　1.1％!!

内接四角形の内角は、その対角の外角に等しい。
∠ＦＡＤ＝∠ＦＣＢ、∠ＦＤＡ＝∠ＦＢＣ
２角相等で△ＦＡＤ∽△ＦＣＢ。
ＡＤ：ＣＢ＝ＦＡ：ＦＣ＝６：12＝①：②

対頂角と円周角で△ＡＢＥ∽△ＤＣＥ。
対応する辺を誤らないように！
ＡＥ：ＤＥ＝ＡＢ：ＤＣ＝④：⑦

同様に、△ＡＤＥ∽ＢＣＥ。
△ＡＤＥと△ＢＣＥの辺の比は、ＡＤ：ＢＣ＝①：②
ということは、ＥＣ＝ＥＤ×２＝⑭

ＡＤ：ＤＣ＝５：７
△ＡＤＦの面積を【５】とおくと、△ＡＤＣの面積は【７】。
ＡＥ：ＥＣ＝④：⑭＝２：７より、△ＡＤＥの面積は【７】×２/９＝【14/９】
△ＡＤＥ：△ＡＤＦ＝【５】：【14/９】＝45：14
△ＡＤＥは△ＡＤＦの14/45倍。

大問５（空間図形）－30.1％

（１）　85.2％
ネジレ→交わらない、かつ平行でない。
辺ＡＤとネジレにある辺は、辺ＢＦ、辺ＣＧ、辺ＥＦ、辺ＧＨ。
イ・ウ・オ。

（２）　30.5％！

ＡＩ//ＤＪから立体①は三角柱。
△ＡＥＩで三平方→ＥＩ＝３√３ｃｍ
側面積は展開図をイメージし、３つの長方形を合わせて計算する。
３√３×３÷２×２＋（３＋６＋３√３）×４
＝36＋21√３ｃｍ²

（３）　4.3％!!
最短距離は展開図。

面ＪＩＡＤを左側へ折りかえす。
△ＪＣＦ∽△ＰＢＦより、ＰＢ＝14×３/７＝６ｃｍ

ＡＰ＝８－６＝２ｃｍ
△ＡＱＰ∽△ＦＢＰより、ＡＱ：ＡＰ＝ＢＦ：ＢＰ＝１：２でＡＱ＝１ｃｍ。
△ＡＰＱで三平方→ＰＱ＝√５ｃｍ

（４）　0.5％!!!
面の軌跡。経験の差と時間をどれだけ残せたかで決着がつく。
奥行きは４ｃｍで一定なので、正面からみたときの辺ＡＥの軌跡から考える。

↑こんな感じになる。
とりあえず、中心角が欲しい。
直角三角形ＡＥＩの辺の比は、３：６：３√３＝１：２：√３なので、
内角は30°－60°－90°。

移植。
外径は６ｃｍ、内径は３√３ｃｍ、中心角は150°。
求めたいのは体積なので、最後に奥行き４ｃｍをかけるのを忘れないように！
（６×６×π×150/360－３√３×３√３×π×150/360）×４
＝（９π×５/12）×４
＝15/４π×４＝15πｃｍ³

大問１
（８）和が８になる方が少ないと直感でわかる。
（９）基本的な作図なのでもっと正解したい。
大問２
（２）①逆Ｌ字で数字が並ぶので、上から攻めた方が良いと思う。
②斜めにどんな数字が並んでいるか。平方数との差がポイント。
大問３
Ｑが中途半端なところで止まる|･ω･` )
それを除けば典型問題。
大問４
（２）正答率は約半数だが、方針が立てやすく記述もしやすい。
（３）対応する辺が混乱しやすい。２つの三角形をわきに描いて整理！
（４）内接四角形の対角線が何対何で内分されているのか。
相似図形を器用に扱わないと探し出せない。
大問５
（３）最短経路の直線がＵターンしている。やや難。
（４）手法は典型。移植して細いドーナッツを求める。
上の学校を目指すのであれば、本番までにどこかで経験しておきたい。
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平均40.0点（前年比；－9.6点）

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）ア
－３－６
＝－９

イ
７＋（－２³）×４
＝７－８×４
＝－25

ウ
（－３ａｂ）²÷６/５ａ²ｂ
＝９ａ²ｂ²×５/（６ａ²ｂ）　_{←カッコ内は分母にあります。}
＝15/２ｂ

エ
（ｘ＋３ｙ）/４－（２ｘ－ｙ）/３
＝（３ｘ＋９ｙ－８ｘ＋４ｙ）/12
＝（－５ｘ＋13ｙ）/12

オ
√60×１/√３－√45　_{←前半は根号同士で約分}
＝２√５－３√５
＝－√５

（２）
ｘ²＋５ｘ－３＝０
因数分解ができないので素直に解の公式を適用。
ｘ＝（－５±√37）/２

（３）
『20枚以上余った』→配り終わって余ったａ－５ｂ枚が20以上。
ａ－５ｂ≧20

（４）
ｘ²－ｙ²
＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）　_{←ここで代入。}
＝（√７＋√２＋√７－√２）（√７＋√２－√７＋√２）
＝２√７×２√２＝４√14

（５）
４冊の度数は、１－（0.15＋0.15＋0.3＋0.25）＝0.15
各々の度数と相対度数から平均値を算出。
０×0.15＋１×0.15＋２×0.30＋３×0.25＋４×0.15
＝2.1冊

大問２（確率）

（１）
４枚残る→２枚とる。
約数が２個ということは素数。
２、３、５
*１は素数ではない！

（２）
答案では過程も記述する。
右端は偶数の６なので、右端が奇数になるには６と奇数のどれかを交換するしかない。
（１、６）（３、６）（５、６）これらの逆を含めて６通り。
全体は６×６＝36通り。偶数になる場合は、36－６＝30通り
確率は30/36＝５/６

大問３（関数）

（１）
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝－３のとき、最大値ｙ＝９
０≦ｙ≦９

（２）

↑このようなドーナッツ型になる。
外径はＱ座標から、√（９²＋３²）＝√90
内径はＯＡ・ＯＰでないことに注意！
Ｏを中心にＡＰを回転させると、ＡＰとＯの距離にあたる１が内径。
（√90）²π－１²π＝89π

（３）
答案では過程も記述する。

おなじみの等積変形。
Ｒのｘ座標が負なので、上図のようにＱを直線ＯＡ上に持ってくる。
Ａ（－１、１）→Ｐ（３、９）
右に４、上に８だからＡＰの傾きは２。

ＲＱの式を求める。
傾きは２、Ｑ（４、16）を通るので、
16＝２×４＋ｂ
ｂ＝８
ｙ＝２ｘ＋８

Ｒはｙ＝２ｘ＋８とｙ＝－ｘの交点。
２ｘ＋８＝－ｘ
ｘ＝－８/３
したがって、Ｒ（－８/３、８/３）

大問４（方程式）

答案では過程も記述する。
求めたいものを文字に置く。
2008年度、2018年度の３種類のゴミの排出量の合計をそれぞれｘ、ｙとする。
排出量の合計の比較から、ｘ－ｙ＝225…①
燃えないゴミの排出量の比較から、
0.08ｘ：0.04ｙ＝10：４_{（←６割減は４割）}
内項と外項の積で0.32ｘ＝0.4ｙ
４ｘ＝５ｙ…②

①×４
４ｘ－４ｙ＝900
②より、４ｘに５ｙを代入。
５ｙ－４ｙ＝ｙ＝900
②に代入。４ｘ＝５×900
ｘ＝1125

2008年度の３種類のゴミの排出量の合計…1125ｇ
2018年度の３種類のゴミの排出量の合計…900ｇ

大問５（作図）

①∠ＡＢＰ＝∠ＣＢＰ→∠ＡＢＣの二等分線
∠ＡＢＰ＝∠ＰＢＣに置き換えると少しわかりやすくなるかも。
②∠ＡＤＣ＝∠ＡＰＣ→弧ＡＣに対する円周角で等しくなる→Ａ・Ｄ・Ｃを通る円の作成。
ＡＤとＣＤの垂直二等分線を描き、その交点が円の中心となる。
③二等分線と円周の交点がＰ。

大問６（平面図形）

（１）

半径で△ＯＡＣは二等辺。
△ＯＡＣで外角定理→ｘ＝70＋70＝140°

（２）
答案では過程も記述する。

与えられた60°から有名三角形に気づきやすい。
△ＡＯＣは正三角形。

∠ＢＯＥ＝60°
直径ＡＢと接線ℓは垂直。
△ＯＢＥは30°－60°－90°で辺の比が１：２：√３。
△ＯＢＥから扇形ＯＢＤを引く。
４√３×４÷２－４×４×π×60/360
＝８√３－８/３πｃｍ²

（３）
△ＣＰＥ∽△ＱＤＥの証明。
辺の情報が乏しいので角度攻め。

共通角から∠ＣＥＰ＝∠ＱＥＤ（★）
直径ＡＢと垂線ℓは垂直、直径ＣＤに対する円周角ＣＡＤ＝90°
直角三角形ＡＢＰとＣＡＤをうまく利用する。
△ＡＢＰで∠ＡＰＢ＝●、ＰＡＢ＝×とおく。
●＋×＝90°から、∠ＯＡＤ＝90－×＝●
また、半径から△ＯＡＤは二等辺で∠ＯＤＣ＝●
対頂角でＱＤＥ＝●
２角相等で∽。

大問７（空間図形）

（１）
ネジレ→交わらない、かつ平行でもない。
辺ＡＣ

（２）
答案では過程も記述する。

△ＡＢＤで三平方→ＡＤ＝３√３ｃｍ
△ＡＢＣと△ＯＢＣは合同な正三角形で、
底辺をＢＣとすると、高さはＡＤ＝ＯＤで等しい！
ということで、△ＯＡＤは二等辺三角形。
ＤからＡＯに向けて垂線、交点ＥはＡＯの中点だからＡＥ＝３ｃｍ
△ＡＥＤで三平方→ＤＥ＝３√２ｃｍ
△ＯＡＤの面積は、６×３√２÷２＝９√２ｃｍ²

（３）
ここも過程を記述するのね( ;∀;)

△ＯＡＣを底面に捉えよう。
三角錐Ｂ－ＯＥＦと四角錘Ｂ－ＥＡＣＦの体積比が１：２。
これらは高さが等しいので、底面の△ＯＥＦと四角形ＥＡＣＦの面積比が１：２。
△ＯＥＦの面積を【１】とすると、△ＯＡＣの面積は【３】。

隣辺比から、△ＯＥＦ＝①×②＝〔２〕＝【１】
（辺の比が〇。辺の比の２乗の面積が〔　〕。これを【　】と比較）
△ＯＡＣの面積は【３】だから〔６〕。
△ＯＡＣは二等辺なので、ＯＡ×ＯＣ＝〔６〕
ＯＡ＝ＯＣ＝〇√６

ＯＡ＝８ｃｍだから、
ＯＥ＝８×①/〇√６
＝４√６/３ｃｍ

大問１
（６）平均値は階級値と相対度数から直接出せる。
大問２
気づいてしまえば短時間で処理できた。
大問３
（２）内径に注意！線分ＡＰと中心Ｏの距離が内径。
（３）こちらの方が典型問題。
大問４
後半の比例式が厄介。式の整理が問われる。
大問５
条件整理！２角が等しくなる理由から作図方法を模索する。
大問６
（３）●＋×＝90°で等角を認定していく。捉えるのが難しかったと思われる。
大問７
（３）隣辺比を使うと式がスッキリするが、面積比の変換が求められる。
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平均46.0点（前年比；－0.1点）
問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（小問集合）

（１）
３×（－５）
＝－15

（２）
２（３ａ－2ｂ）－３（ａ－２ｂ）
＝６ａ－４ｂ－３ａ＋６ｂ
＝３ａ＋２ｂ

（３）
ｘ²－３ｘ－４
＝（ｘ＋１）（ｘ－４）＝０
ｘ＝－１、４

（４）
ネジレ→交わらない、かつ平行でもない。
辺ＣＧ、辺ＤＨ、辺ＥＨ、辺ＦＧ

（５）
ｘ－ｙ＝－ｘ＋４ｙ＝３
ｘ－ｙ＝３…①
－ｘ＋４ｙ＝３…②
これを解いて、ｘ＝５、ｙ＝２

（６）

四捨五入で整数→小数第１位の５に注目。
不等号に気をつけよう！10.5を四捨五入で整数に丸めると11になる。
9.5≦ａ＜10.5

（７）
ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²
＝（ｘ＋ｙ）²　_{←ここで代入。}
＝（√２＋１＋√２－１）²
＝（２√２）²＝８

（８）
何をｘ、ｙに置いたのか注意しよう！
ｘは往復の時間、ｙはふりこの長さ。
ｙに長さを代入する。

■ｙ＝１のとき
１＝１/４ｘ²
ｘ²＝４
ｘ＞０より、ｘ＝２

■ｙ＝９のとき
９＝１/４ｘ²
ｘ²＝36
ｘ＞０より、ｘ＝６

往復時間は１ｍの振り子が２秒、９ｍの振り子が６秒。
６÷２＝３往復
*ふりこの周期はおもりの重さや振れ幅ではなく、
ふりこの長さに依存する。これを振り子の等時性という。

（９）
２ｘ－ｙ＝５
ｙで場合分け。
◆ｙ＝１
２ｘ＝６、ｘ＝３
◆ｙ＝３
２ｘ＝８、ｘ＝４
◆ｙ＝５
２ｘ＝10、ｘ＝５
*２ｘは偶数、５は奇数なので、等式が成り立つにはｙが奇数でなければならない。
→つまり、ｙ＝１、３、５
以上、３通り。

全体は６×６＝36通りだから、確率は３/36＝１/12。

（10）

弧の長さは中心角の大きさに比例する。
弧ＡＰ：弧ＰＢ＝３：１とするには、その中心角を３：１にすればいい。
∠ＡＯＢを二等分、さらに二等分したＢ側がＰとなる。

大問２（規則）

（１）

なかの白は正方形。
５番目の白の数は、５×５＝25個
ア…25

５番目の全体の正方形は１辺が７個。
全体から白をひいて黒の数が求まる。
７×７－25＝24
イ…24

全体の正方形の１辺は、
１番目→３個、２番目→４個、３番目→５個…
ｎ番目はｎ＋２個。
タイルの総数は（ｎ＋２）²個。
白の１辺ｎ個だから、白の数はｎ²個。
よって、黒の数は、
（ｎ＋２）²－ｎ²
＝４ｎ＋４

＠別解＠

魔方陣でよくある手口。
黒の数は、（ｎ＋１）×４＝４ｎ＋４個

（２）
白…ｎ²個、黒…４ｎ＋４個
ｎ²－４ｎ－４＝92
ｎ²－４ｎ－96
＝（ｎ－12）（ｎ＋８）＝０
ｎ＞０より、ｎ＝12
12番目

大問３（小問集合）

（１）
問題文から文字式をつくれるか|-`)｡oO
料金の合計は2000ａ＋1200ｂ＋500×40円。
これを40で割ればいい。
（2000ａ＋1200ｂ＋500×40）÷40
＝50ａ＋30ｂ＋500円

（２）
１人の面積は等辺が５/２ｍの二等辺三角形。

二等辺の頂角は、360÷８＝45°
うえのように垂線をひくと内角が45°－45°－90°の直角二等辺が見つかる。
辺の比は１：１：√２で斜辺が５/２ｍだから、
高さは５/２×１/√２＝５√２/４ｍ
面積は、５/２×５√２/４÷２＝25√２/16ｍ²

（３）

下に延長して円錐を作成。
直角三角形の相似から、下の円錐の高さは27ｃｍ。
４×４×π×36÷３－３×３×π×27÷３
＝192π－81π＝111πｃｍ³

大問４（関数）

（１）
ｙ＝３/ｘにｘ＝－１を代入して、ｙ＝－３

（２）
ｙ＝－３ｘ²に代入。
ｘ＝－２のとき、最小値ｙ＝－12
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
－12≦ｙ≦０

（３）
（１）よりＡ（－１、－３）
Ｂは原点に関してＡに対称なので、Ｂ（１、３）
ＰはＯＢの中点だから、Ｐ（１÷２、３÷２）＝Ｐ（１/２、３/２）

Ｃ（０、４）→Ｐ（１/２、３/２）
右に１/２、下に４－３/２＝５/２移動する。
→２倍すると右に１、下に５移動する→傾きは－５
切片はＣのｙ座標だから、ｙ＝－５ｘ＋４

（４）

関数で角度の活用がキタ(‘Д’)
∠ＯＣＰ＝①とすると∠ＢＰＣ＝②
ここからなんとかならないものか…(´～｀)

Ｐを通るｙ軸に平行な線をひく。
錯角で∠ＢＰＣの左側が①。
右側は①になり、同位角で∠ＣＯＰ＝①
△ＯＣＰは底角が①で等しく、二等辺三角形になる！
Ｐからｙ軸に向けて垂線。その交点はＯＣの中点でｙ＝２。
Ｐのｙ座標が２。これをｙ＝３ｘに代入。
Ｐ（２/３、２）

＠別解＠

ｙ軸との平行線は∠ＢＰＣの二等分線であり、
これを対称の軸とすると、Ｐを通る２本の直線は線対称の関係。
傾きは３⇒－３。切片は４だから、ｙ＝－３ｘ＋４
Ｐはｙ＝３ｘとｙ＝－３ｘ＋４の交点となり、
３ｘ＝－３ｘ＋４
ｘ＝２/３
これをｙ＝３ｘに代入してＰ（２/３、２）

大問５（平面図形）

（１）（ａ）

ＣＤに補助線。
仮定より、∠ＣＡＤ＝80÷２＝40°
△ＡＣＤは二等辺ゆえ、∠ＡＣＤ＝（180－40）÷２＝70°
弧ＡＤに対する円周角で、∠ＡＢＤ＝70°

（ｂ）

半径はわかっているので中心角さえわかればいい。
∠ＢＡＣの中心角ＢＯＣ＝40×２＝80°
15×15×π×80/360＝50πｃｍ²

（２）
△ＡＢＣ≡△ＡＥＤの証明。

証明問題としてはイージーです。
仮定から∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ
同じく仮定から、ＡＣ＝ＡＤ
弧ＡＢに対する円周角で、∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＥ
１辺と両端角相等で合同。

（３）

円周角が等しい＝弧の長さが等しい。
下の弧ＢＣ＝弧ＣＤ＝●とする。
弦ＡＣ＝弦ＡＤから、赤線の弧の部分が等しい。
弧ＡＣ＝弧ＡＤ＝８π＋●
円周は15×２×π＝30ｃｍ
８π＋●＋●＋（８π＋●）＝30
●×３＝14π
●＝14/３πｃｍ
弧ＡＤ＝８π＋14/３＝38/３πｃｍ

大問１
（６）概数は中学受験でもっと難しいのが出るよ！解けるようにしておきたい。
（８）ｘではなくｙに代入する。
大問２
そんなに難しくはない。計算も複雑ではなかった。
大問３
数学の活用。要点をうまくつかもう。
大問４
（３）までは確実にとりたい。
（４）∠ＯＣＰと∠ＢＰＣの位置関係から平行線を描きたい。
大問５
（３）円周に着目した設問であった。
どこの弧が等しくなるか、印をつけよう。
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問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（１）
－５＋２＝－３

（２）
３（４ａ－３ｂ）－６（ａ－１/３ｂ）
＝12ａ－９ｂ－６ａ＋２ｂ
＝６ａ－７ｂ

（３）
４ｘ²ｙ×３ｙ÷６ｘ²
＝２ｙ²

（４）
（２√５＋１）（２√５－１）＋√12/√３　_{←うしろの項は根号の中を約分}
＝（２√５）²－１²＋√４
＝20－１＋２＝21

（５）
（ｘ－４）（ｘ－３）－（ｘ＋２）²
＝ｘ²－７ｘ＋12－ｘ²－４ｘ－４
＝－11ｘ＋８

大問２（小問集合）

（１）
－12/ａ－ｂ²
＝－12/２－（－３）²
＝－６－９
＝－15

（２）
ｘ²＋２ｘ－35
＝（ｘ＋７）（ｘ－５）＝０
ｘ＝－７、５

（３）
反比例はｙ＝ａ/ｘ
比例定数ａ＝－６を代入。
式；ｙ＝－６/ｘ

反比例なので双曲線を描く。
ｘとｙの積は－６で一定。
ａ＜０だから、第２象限と第４象限となる。

（４）①
愛媛だからミカン🍊の糖度が題材に。
ア＝40－（２＋13＋12＋９）＝４

②
糖度11～13度は40個中25個の割合。
8000×25/40＝5000個

（５）
６枚から２枚を選ぶ→₆Ｃ₂＝15通り

負の数の－３か－２をとると、和が正にならない可能性がでてくる。
そこで、和が負か０になる場合を求めて全体から引く。
◆－３をひく
もう１枚は何をとっても負か０になる→５通り。
◆－２をひく
もう１枚は０～２→３通り。（－３は先ほどカウント済み）
以上８通り。

和が正になる場合は15－８＝７通り
確率は７/15。

（６）

『２点Ａ、Ｂから等しい距離にある』→ＡＢの垂直二等分線
『Ｃから最も近いＰ』→Ｃを通る垂線、交点がＰとなる。

（７）
解答では過程も記述する。

まずは邪魔な赤ピーマンを除外。
大根とレタスの重さの合計は、175－50＝125ｇ

カロリーは１ｇあたりに直すこと！
赤ピーマンは１ｇあたり0.3kcalなので、
大根とレタスの熱量の合計は、33－0.3×50＝18kcal

大根をｘｇ、レタスをｙｇとすると、
ｘ＋ｙ＝125
0.18ｘ＋0.12ｙ＝18
これを解いて、ｘ＝50、ｙ＝75
大根…50ｇ、レタス…75ｇ

大問３（文字式）

（１）
扇形は円の一部。中心角の処理は時間で考えよう！
円を１周するのに16分。４分間乗るので、
20×２×π×４/16＝10πｍ

（２）①
今度はゴンドラの台数で考える。
１周24台で16分かかる。
８台では、16分×８/24＝16/３分後

②

24台のうちの８台だから、太郎と花子は円の１/３離れている。中心角は120度。
この位置関係で時計回りに回ると、右図で高さが等しくなる。

円の中心を通る、地面に平行な直線を引く。
左右対称の図形だから、（180－120）÷２＝30°
内角が30°－60°－90°の直角三角形は辺の比が１：２：√３
→直角三角形の高さは10ｍ。
10＋20＋５＝35ｍ

（３）
発想力がとわれる( ˘ω˘ )
これもゴンドラの台数で考える。

太郎とまことのあいだがｎ台。
観覧車１周は16分で24台まわる。
ｔ分後のゴンドラの台数は、24台×ｔ/16＝３/２ｔ台
この３/２ｔ台は、まことと太郎が同じ高さになったときのＰ～太郎までの台数。

対称性から、反時計回りにＰからまことまでの台数も３/２ｔ台。
３/２ｔ＋３/２ｔ－ｎ＝24
３ｔ＝ｎ＋24
ｔ＝１/３ｔ＋８

大問４（数量変化）

（１）

図に書き込んでみよう。
■ｘ＝１のとき
ｙ＝２×１÷２＝１

■ｘ＝４のとき
ｙ＝６×４÷２＝12

（２）
正方形ＡＢＣＤの周の長さは24ｃｍ。
言い換えれば、ＰとＱは24ｃｍ離れた状態から毎秒３ｃｍずつ近づいていく。
24÷３＝８秒後

（３）
変化するポイントごとに調べる。

０～３秒は底辺と高さがともに伸びる。△ＡＰＱは放物線で増加。
３～６秒はＡＱを底辺とすると底辺のみ毎秒１ｃｍずつ伸びる。
高さは６ｃｍで変化なし。面積は比例で増加。
６～８秒はＰＱを底辺とすると底辺が毎秒３ｃｍずつ縮む。
高さは６ｃｍで変化なし。面積は比例で減少（３～６秒の傾きの－３倍）。
ウ

（４）

３秒後の△ＡＰＱの面積は６×３÷２＝９ｃｍ³だから、３秒より前に１つある。
ＡＱ＝ｘとすると、ＡＰ＝２ｘ。
２ｘ×ｘ÷２＝６
２ｘ²＝12
ｘ＞０より、ｘ＝√６

ＱＰ＝２ｃｍになれば、△ＡＰＱの面積は６ｃｍ²となる。
ＰとＱの速さの比から、ＤＱ：ＰＣ＝①：②
ＤＱ＝（６－２）×①/③＝４/３ｃｍ
Ｑの移動距離は、６＋４/３＝22/３ｃｍ
Ｑは毎秒１ｃｍなので、22/３秒後。
ｘ＝√６、22/３

大問５（平面図形）

（１）①
『△ＡＦＣと△ＢＥＣ』とあるので、もしこれらが合同であった場合、
ＡＦに対応する辺を選べばいい。
ＢＥ
*うしろの証明を終わった後に戻ってきても可。

②
△ＡＦＣ≡△ＢＥＣの証明。

仮定からＡＣ＝ＢＣ
弧ＣＤに対する円周角で∠ＣＡＦ＝∠ＣＢＥ
直径に対する円周角から∠ＡＣＦ＝90°
反対側の角度である∠ＢＣＥ＝180－90＝90°
以上から、１辺と両端角が等しく合同。

（２）

△ＡＢＥ＝40ｃｍ²、△ＡＢＦ＝20ｃｍ²
前問より△ＡＦＣ≡△ＢＥＣだから、おのおの10ｃｍ²。

面積しかわかっていないので、どこかの長さを確定したい。
△ＡＢＣが直角三角形であることを利用しよう！
ＡＣ×ＡＣ÷２＝30
ＡＣ²＝60
ＡＣ＝２√15ｃｍ

ＣＦ：ＦＢは△ＡＣＦと△ＡＦＢの面積比に等しい。
ＣＦ：ＦＢ＝10：20＝①：②
ＡＣ＝ＢＣ＝③

△ＡＣＦで三平方。
ＡＦ²＝①²＋③²＝⑩²
ＡＦ＝〇√10

したがって、ＡＦの長さは、
２√15×√10/３
＝10√６/３ｃｍ

大問１
全問死守！
死守！死守！
大問２
基本問題が多い。
（７）類題が去年のどっかの公立高校にあった。
大問３
愛媛はここで変なことをする(‘Д’)
時間と台数の割合計算は正確に！
（２）②図を描くべし。１/３円→有名直角三角形の活用。
（３）解きにくい。ここも図を描いてとっかかりを掴む。
他にもやり方ありそう。
大問４
よくある数量変化の問題。
（３）コーナーを曲がると変化する。
（４）解説は算数で書きました( ˘ω˘ )
大問５
この形もどこかの公立高校で見かけた。
（２）面積しかわかっていないので、確定できる長さに狙いを絞る。
直角が大きなヒント。
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